Fichier PDF

Partage, hébergement, conversion et archivage facile de documents au format PDF

Partager un fichier Mes fichiers Convertir un fichier Boite à outils PDF Recherche PDF Aide Contact



dl 03 suites.pdf


Aperçu du fichier PDF dl-03-suites.pdf

Page 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Aperçu texte


2.3

Un autre crit`
ere de convergence d’un produit

On consid`ere maintenant une suite (νn ) telle que ∀n ≥ 1, νn > 0 et le produit
pn =

n
Y

(1 + νk )

k=1

On d´efinit la suite (Tn ) de terme g´en´eral
Tn =

n
X

νk

k=1

Q 12 Montrez que ∀x > 0, ln(1 + x) ≤ x.
Q 13 Montrez que si la suite (Tn ) converge, alors le produit (pn ) converge ´egalement.
Q 14 Montrer la r´eciproque : si le produit (pn ) converge, alors la suite (Tn ) converge ´egalement.
Q 15 On consid`ere dans cette question la suite (Tn ) de terme g´en´eral
Tn =

n
X
1
k

k=1

a) En utilisant la question 7, que peut-on dire de la limite de la suite (Tn )?
R k+1 dx
b) En encadrant pour k ≥ 2, l’int´egrale k
, trouvez un ´equivalent de la suite (Tn ).
x

2.4

´
Etude
d’un produit

On consid`ere dans cette partie un r´eel a > 0 et le produit
pn =

n
Y

k

1 + a2



k=1

Q 16 Si a ≥ 1, que peut-on dire du produit (pn )?
On suppose d´esormais que a ∈]0,1[.
Q 17 Montrez que le produit (pn ) converge.
Q 18 Soit un entier n ≥ 1. Calculez (1 − a2 )pn et en d´eduire la limite de la suite (pn ).