Corrig´
e.
Q1
a. Soit n ∈ N. Calculons

vn+1 = un+1 sin

Mais puisque ∀α ∈ R, sin α cos α =

x
x x
cos
=
u
sin n+1
n
2n+1
2n+1
2

1
sin(2α), il vient que
2
x 1
1
vn+1 = un sin n = vn
2
2
2

Par cons´equent, la suite (vn ) est g´eom´etrique de raison 1/2 et donc vn =
b. Soit n ∈ N,
un =

sin

v
nx =
2n

v0
sin x cos x
sin(2x)
=
= n+1 .
2n
2n
2

sin(2x)
x
2n

2n+1 sin

(Remarquons que puisque 0 < x < π/2, tous les sinus et cosinus consid´er´es sont non nuls)
x
x
x
∼
c. Utilisons l’´equivalent usuel du sinus. Comme n −−−−−→ 0, sin n
(x 6= 0). Par produitn→+∞ 2n
2 n→+∞
2
sin(2x)
quotient d’´equivalents, on trouve alors que un ∼
. Par cons´equent,
n→+∞
2x
un −−−−−→
n→+∞

sin(2x)
2x

Q2
a. On calcule a1 =

1
1
+
puis
2 2 cos x

r
b1 =

cos x + 1
2 cos2 x

Mais puisque cos x = 2 cos2 (x/2) − 1, il vient que cos x + 1 = 2 cos2 (x/2) et puisque les cosinus sont
strictement positifs (0 < x < π/2), on trouve finalement
r
cos2 (x/2)
cos(x/2)
b1 =
=
cos2 x
cos x
b. Par r´ecurrence :
P(n) : an > 0 et bn > 0
P(0) est vrai puisque a0 = 1 > 0 et b0 = 1/ cos(x) > 0 (0 < x < π/2).
an + b n
> 0 et bn+1 est bien d´efini avec
P(n) ⇒ P(n + 1) : D’apr`es P(n), an > 0 et bn > 0. Alors an+1 =
2
bn+1 > 0.
Q3
a. Soit n ∈ N. D’apr`es les relations de r´ecurrence et en utilisant les quantit´es conjugu´ees (les termes sont
> 0) :
p
bn+1 − an+1 = an+1 bn − an+1
p
√
√
= an+1 ( bn − an+1 )
bn − an+1
√
= an+1 √
√
bn + an+1
√
b − a
an+1
n
n
= √
√
2
bn + an+1
b. Par r´ecurrence en utilisant a).