dl 03 suites.pdf


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c. Soit n ∈ N. Calculons en utilisant b,
an+1 − an =

b n − an
>0
2

En utilisant les quantit´es conjugu´ees,
bn (an+1 − bn )
bn (an − bn )
bn+1 − bn = p
= p
<0
an+1 bn + bn
2( an+1 bn + bn )
Donc (an ) % et (bn ) &.
d. On a d´ej`
a montr´e que ∀n ∈ N, bn − an > 0 `
a la question 3b. Montrons l’autre in´egalit´e par r´ecurrence :
P(n) : bn − an ≤


1 1

1
2n cos(x)


1
1 1
−1= 0
−1 .
cos x
2 cos x
P(n) ⇒ P(n + 1) : En utilisant la formule (1),


an+1
b n − an
1 1
bn+1 − an+1 = √
(bn − an ) ≤
≤ n+1
−1

2
cos x
2( bn + an+1 )
P(n) 2
P(0) : b0 − a0 =




(On a utilis´e la majoration an+1 ≤ bn + an+1 ).
e. Notons (dn ) = (bn − an ). La suite g´eom´etrique (1/2n ) converge vers 0. D’apr`es la question 3d et le
th´eor`eme des gendarmes, la suite (dn ) converge vers 0. Comme la suite (an ) est croissante et la suite (bn )
d´ecroissante, les deux suites (an ) et (bn ) sont adjacentes. On sait alors qu’elles convergent vers la mˆeme
limite.
Q4
a. Par r´ecurrence :
P(n)an =
P(0) : Calculons

un cos(x/2n )
un
et bn =
cos2 x
cos2 x

u0
u0
=
= 1 = a0
cos(x/20 )
cos x
u0
1
=
= b0
2
cos x
cos x

P(n) ⇒ P(n + 1) Calculons, en utilisant la formule 1 + cos α = 2 cos2 (α/2) :

an + b n
un
un+1
=
cos(x/2n ) + 1 =
cos(x/2n+1 )
2
2
2 cos x
cos2 x
s
r
p
u2n+1
un+1
un+1 cos(x/2n+1 )un
= an+1 bn =
=
=
4
4
cos x
cos x
cos2 x

an+1 =

bn+1

b. Nous avons vu `a la question 1c, que un −−−−−→
n→+∞

bn =

sin x cos x
. Par cons´equent,
x

un
tan x
−−−−−→
cos2 x n→+∞
x

et par unicit´e de la limite, on trouve que L =

tan x
.
x

Q5
a. Ici, L =

4
.
π

b. Puisque ∀n ∈ N, an ≤ L ≤ bn , il vient que ∀n ∈ N,

4
4
≤π≤
.
bn
an