dl 03 suites.pdf


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c. On a d´ej`
a vu que ∀n ∈ N, 0 < bn − an . Montrons l’autre in´egalit´e en utilisant la formule (1). Soit n ∈ N.
Puisque an ≤ an+1 ≤ bn ≤ bn+1 , il vient que


an+1
an+1
1

≤ √
=


2( an+1 + an+1 )
4
2( bn + an+1 )
et donc 0 < bn+1 − an+1 ≤

b n − an
. Par r´ecurrence, on montre alors que ∀n ∈ N,
4

b 0 − a0
2−1
=
(bn − an ) ≤
n
4
4n

d. L’encadrement de π pr´ec´edent sera `a la pr´ecision ε lorsque

4
4
4(bn − an )

≤ ε, c’est `
a dire
≤ ε. Mais
an b n
an b n

1
1
≤ 2 et donc d’apr`es Q5c,
an b n
a0

4
4
b 0 − a0
2−1

≤ 4(bn − an ) ≤ n−1 = n−1
an
bn
4
4

2−1
Pour avoir un encadrement `a 10−8 pr`es, il suffit que
≤ 10−8 , et donc il suffit que 4n−1 ≥
n−1
4


108 ( 2 − 1), c’est `a dire (n − 1) log(4) ≤ 8 + log( 2 − 1). Avec la calculatrice, on touve qu’il suffit
de prendre n = 14.
puisque a0 ≤ an ≤ bn , il vient que

Q 6 On suppose que la suite (pn ) converge vers une limite non-nulle l. Soit n ≥ 1. On ´ecrit pour n ≥ 1,
un =

pn
pn−1

Donc la suite (un ) converge vers l/l = 1 d’apr`es les th´eor`emes g´en´eraux. (Attention, la suite (pn−1 ) n’est pas
extraite de (pn ), mais converge vers l comme on le voit imm´ediatement `
a partir de la d´efinition de la limite).
Q 7 Soit n ≥ 1. On calcule en r´eduisant au mˆeme d´enominateur
pn =

23
n+1
...
=n+1
12
n

Par cons´equent, la suite (pn ) diverge vers +∞ et le produit (pn ) diverge.

Q 8 Soit n ≥ 1. En notant vn = pn sin 2an , on calcule :
vn = cos

a
a
a
a
. . . cos n−1 cos n sin n
2
2
2
2

En utilisant la formule sin(2α) = 2 sin(α) cos(α) avec α =
vn =

a
2n ,

on trouve que

1
vn−1
2

La suite (vn ) est donc une suite g´eom´etrique de raison (1/2) et donc vn =
Mais puisque v1 = cos(a/2) sin(a/2) = sin(a)/2, on en tire que vn =
pn =

v1
.
n−1
2

sin(a)
, et donc que
2n

sin(a)

2n sin 2an

(car a/2n est diff´erent de kπ par hypoth`ese). En utilisant l’´equivalent classique du sinus, puisque a/2n −−−−−→ 0,
n→+∞

un ∼

sin(a)
sin(a)
a =
n
2 2n
a

sin(a)
6= 0 et le produit (pn ) converge vers cette limite non nulle.
a
Q 9 Il suffit de poser k = 1/2 < 1, et d’utiliser un th´eor`eme du cours.
Donc la suite (pn ) converge vers