dl 03 suites.pdf


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Q 14 En d´eveloppant pour n ≥ 1,
pn = (1 + ν1 ) . . . (1 + νn )
= 1 + ν1 + · · · + νn + ν1 ν2 + · · · + νn−1 νn + · · · · · · + ν1 . . . νn
≥ ν1 + · · · + νn
on en d´eduit que ∀n ≥ 1, Tn ≤ pn . Par cons´equent, si (pn ) converge, la suite (Tn ) est major´ee. Comme elle est
croissante, elle converge ´egalement.
Q 15 a) Montrons par l’absurde que la suite (Tn ) est divergente. Si elle convergeait, d’apr`es la question 13, le produit
Qn
pn = k=1 1 + 1/k) convergerait aussi, ce qui est faux d’apr`es la question 7. Comme d’autre part la suite (Tn )
est croissante et diverge, d’apr`es le th´eor`eme de la limite monotone, elle diverge vers +∞.
b) Soit k ≥ 2. Comme la fonction x 7→ 1/x est d´ecroissante sur ]1, + ∞[, on encadre (faire un dessin !)
Z

1
k+1
ce qui donne l’encadrement suivant :

Z

k+1

dx
1

x
k

k

k+1

1

k

k

Z

k

k−1

dx
x

On en d´eduit l’encadrement suivant de Tn pour n ≥ 2 :
n
X
k=1

1

k+1
n+1
X
p=2

Tn − 1 +

Z

n+1

1

n

dx X 1

x
k
k=1

1
≤ ln(n + 1) ≤ Tn
p

1
≤ ln(n + 1) ≤ Tn
n+1

ln(n + 1) ≤ Tn ≤ ln(n + 1) + 1 −

1
n+1

En divisant ces in´egalit´es par ln(n + 1), on trouve l’encadrement suivant de Tn :
1≤

1
Tn
≤1+
ln(n + 1)
ln(n + 1)

Tn
−−−−−→ 1 et donc Tn ∼ ln(n+1). Mais ln(n+1) = ln n+ln(1+1/n) ∼
ln(n + 1) n→+∞
ln n. et donc finalement, Tn ∼ ln n.
Par le th´eor`eme des gendarmes,

n

Q 16 Lorsque a > 1, la suite (un ) associ´ee au produit v´erifie ∀n ≥ 1, un = 1 + a2 et donc un −−−−−→
n→+∞

+ ∞.

Comme la suite (un ) ne converge pas vers 1, d’apr`es la question 6, le produit (pn ) diverge.
Lorsque a = 1, la suite (un ) converge vers 2 6= 1, et l`
a aussi, le produit (pn ) diverge. (On aurait pu ´egalement
minorer simplement pn par 2n ).
Q 17 Consid´erons la suite (Tn ) de la question 13 d´efinie ici par
∀n ≥ 1, Tn =

n
X

k

a2

k=1

Il est clair que cette suite (Tn ) est croissante. Comme l’intervalle d’entiers [1,2n ] contient tous les entiers 2k pour
k ∈ [1,n] et que tous les r´eels ak sont positifs, on majore facilement la suite (Tn ) par une s´erie g´eom´etrique :
Tn =

n
X
k=1

n

a

2k



2
X
p=1

n

ap =

1 − a2 +1
1

2
1−a
1−a

Par cons´equent, la suite (Tn ) est croissante et major´ee, et d’apr`es le th´eor`eme de la limite monotone, elle
converge. D’apr`es la question 13, le produit (pn ) converge.