dl 03 suites.pdf

Q 18 Soit n ≥ 1. Calculons
2

n

(1 − a2 )pn = (1 − a2 )(1 + a2 )(1 + a2 ) . . . (1 + a2 )
2

2

n

n

n

= (1 − a2 )(1 + a2 ) . . . (1 + a2 )
= ...
= (1 − a2 )(1 + a2 )
n+1

= 1 − a2
On d´emontre par r´ecurrence que ∀n ≥ 1,

n+1

(1 − a2 )pn = 1 − a2
Il vient alors que ∀n ≥ 1,

n+1

et comme a2

n

1 − a2 +1
pn =
1 − a2

−−−−−→ 0, pn −−−−−→
n→+∞

n→+∞

1
.
1 − a2