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phys s201 chap1 130212 .pdf



Nom original: phys-s201-chap1_130212.pdf
Titre: PHYS-S201_1213_1_130205.ppt
Auteur: Philippe Emplit

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Université libre de Bruxelles

Signaux dépendant du temps
OPERA

1
Signaux dépendant du temps
Descriptions temporelle et
fréquentielle

PHYS-S201 "Physique des technologies de l'information"

05/02/12

Université libre de Bruxelles

Signaux dépendant du temps
OPERA

Table des matières
0. Avant-propos : le plan de cours
1. Signaux dépendant du temps
Descriptions temporelle et fréquentielle
- objectifs de matière
- signaux dépendant du temps : description fréquentielle
§

but et principe

§

familles de signaux

§

signal harmonique : paramètres
caractéristiques

§

signal périodique : série de Fourier et spectre
discret

§

signal non périodique : transformée de Fourier
et spectre continu

§

propriétés de la transformée de Fourier

2. Electricité, magnétisme et électronique
- rappels et conventions
§

unités et ordres de grandeur

§

définitions et conventions

§

symbôles

-…
PHYS-S201 "Physique des technologies de l'information"
Ch1 page 2

15/02/05

Université libre de Bruxelles

Signaux dépendant du temps

1. Objectifs

OPERA

1. Objectifs de matière du chapitre
1.1 Objectifs
A l'issue de ce chapitre, l'éudiant sera capable de :
§ utiliser à bon escient les notations et conventions ad hoc
§ observer l'omniprésence de la description duale tempsfréquence de signaux dépendant du temps
§ différencier temporellement et spectralement 3 classes
complémentaires de signaux dépendant du temps
§ expliquer les notions d'analyse fréquentielle, de spectre et
de norme spectrale d'un signal dépendant du temps
§ comprendre la transformation qui permet de construire une
des 2 représentations temps-fréquence à partir de la seconde
§ comprendre les propriétés des descriptions temporelle et
spectrale d'un signal physique décrit par une fonction réelle

1.2 Portefeuille de références
§ J.-Cl. Dehaes : cours de 1er bachelier
§ S. Deletaille et al. : notes personnelles (GES en ligne, 2005)
§ Ph. Emplit, S. Attif et A. Cohen : notes de cours animées et
sonorisées (notes en ligne et syllabus correspondant, 2006)
• Chapitre 1 Signaux dépendant du temps

§ E. Hecht : Physique (De Boeck Université, Paris, 1999)
• Chapitre 13 Le son
• 13.2 Superposition des ondes
PHYS-S201 "Physique des technologies de l'information"
Ch1 page 3

12/02/13

Université libre de Bruxelles

Signaux dépendant du temps
OPERA

2. Description fréquentielle

2. Signaux dépendant du temps
Description fréquentielle
2.1 But de la description fréquentielle
- 2.1.1 décrire un phénomène physique via une autre
variable :
• fréquence (ou pulsation)

espace "conjugué"

• dans cette description, le signal ne dépend plus du temps
explicitement

- 2.1.2 choisir une description temporelle ou fréquentielle
selon le contexte :
• fréquentielle : en régime permanent
• temporelle : en régime transitoire

cf émetteur VIVACITE :
99,3 MHz

ν
[MHz]

Sinus
440 Hz
PHYS-S201 "Physique des technologies de l'information"
Ch1 page 4

Carré
440 Hz
12/02/13

Université libre de Bruxelles

Signaux dépendant du temps
2. Description fréquentielle

OPERA

2.2 Principe
- 2.2.1 énoncé "physique" :
réel, continu et d'énergie finie …

Tout signal "physique" possédant une dépendance
temporelle peut être décrit par une somme pondérée
de signaux harmoniques
la propriété peut être étendue à toute dépendance en une ou
plusieurs variables indépendantes (cf spatiale ou …
fréquentielle)

- 2.2.2 énoncé mathématique *:
Toute fonction d'une variable, satisfaisant au critère de
Dirichlet-Jordan, peut être décrite par une somme
discrète ou continue pondérée de signaux
harmoniques
critère de Dirichlet-Jordan
Une fonction s(t) satisfait le critère de Dirichlet-Jordan si :
- elle est bornée
- elle présente au maximum un nombre fini de discontinuités et
un nombre fini d'extrema dans tout intervalle fini de la variable t
- elle est de norme intégrable

#!" s (t )
+"

dt < + "

(toute fonction physiquement réalisable satisfait ce critère)
* : "mathématiquement", la famille des fonctions d'une ou plusieurs variables
indépendantes pouvant faire l'objet d'une analyse fréquentielle englobe les
signaux complexes, continus par morceaux, … ; le critère de Dirichlet-Jordan
est une condition suffisante mais non nécessaire

PHYS-S201 "Physique des technologies de l'information"
Ch1 page 5

05/02/13

Université libre de Bruxelles

Signaux dépendant du temps
OPERA

2. Description fréquentielle
x

2.3 Familles de signaux
- 2.3.1 1er cas : signal harmonique

0

t

• signal sinusoïdal (ou cosinusoïdal)
exemple : tension du réseau de distribution Electrabel

• caractéristiques : fréquence (ou période), amplitude et phase
exemple : 50 Hz (20 ms), 308 V, …

• valeur moyenne nulle
⇒ analyse fréquentielle "triviale" : 1 terme dans la somme
x
- 2.3.2 2e cas : signal périodique

0

t

• signal dont un motif se répète

exemple : tension alimentant l'ampoule d'un clignoteur directionnel

• caractéristiques : fréquence (ou période) du motif, et … (!!)
exemple : 2 Hz (0,5 s), …

somme discrète infinie

⇒ analyse fréquentielle : série de Fourier

- 2.3.3 3e cas : signal non périodique

x
0

t

• signal dont on ne peut, à t = τ, prévoir la valeur à t > τ
exemple : tension de réception d'une antenne radio AM

⇒ analyse fréquentielle : transformée intégrale de Fourier
somme continue infinie
PHYS-S201 "Physique des technologies de l'information"
Ch1 page 6

31/01/09

Université libre de Bruxelles

Signaux dépendant du temps
2. Description fréquentielle

OPERA

2.4 Signal harmonique
période
T

s (t ) T/k
smax = A

s (t ) = 0

T

0

2T

amplitude
A
t

smin = -A
hypothèses
- le signal s(t) est harmonique, d'amplitude A et de période T
- la phase du signal s(t) est égale à ϕ
(ce qui implique qu'il est possible que le signal s(t) ≠ A en t = 0)

# 2!

s (t ) = Acos %

$ T

( )

'

dans notre exemple : ! = "

2#
k

( )

s! !

norme spectrale de s(t) : s! !

A
0

&

t + " ( = Acos () T t + " )

1/T

ν

représentation, dans l'espace des
fréquences, de la norme des
composantes fréquentielles de s(t)

propriétés de s(t) et définitions
! = 2"# = pulsation
2!
"#! $% = rad s &1
= 2!"T = # T
s(t) = s(t + nT)
T
où n !!
! = fréquence
"#! $% = s &1 = Hz
PHYS-S201 "Physique des technologies de l'information"
Ch1 page 7

02/02/05

Université libre de Bruxelles

Signaux dépendant du temps
2. Description fréquentielle

OPERA

2.5 Signal périodique
période T

s (t )

s (t ) ! 0

s(t) = s(t + nT)
où n !!

T

0

2T
t

hypothèses
- le signal s(t) satisfait le critère de Dirichlet-Jordan
- le signal s(t) est périodique de période T = 2π

Série de Fourier (I) :

s (t ) =

1
2!


cn =

()

s! !
c1
c3
c
c2 0
c4
0

" cn exp ( + jnt )

1
2!

#

+!
"!

)

s (t ) exp ( " jnt ) dt

norme spectrale*

1/2π

2/2π

3/2π

( )

( )

exp + jnt = cos nt + j sin nt

( )
s (t )

cos nt

4/2π

ν

* : illustration de principe

NB : quelques rappels …

(

n = 0, ±1, ±2

n

période

fréquence

2π / n

n / 2π



1 / 2π

PHYS-S201 "Physique des technologies de l'information"
Ch1 page 8



j 2 = !1

02/02/05

Université libre de Bruxelles

Signaux dépendant du temps
2. Description fréquentielle

OPERA

bn =

posons :

1
T

=

1

b2

"!

s (t ) exp ( " jnt ) dt

b0

0 ! "T

2"

#

+!

b1

0

!T =

1
2!

norme spectrale

()

s! !

b4

n = 0, ±1, ±2

n



bn =

b3

2!

s (t ) = ! bn exp ( + jnt )

Série de Fourier (II) :
(autre notation)

cn

1/2π

2/2π

3/2π

4/2π

1! "T

2 ! "T

3 ! "T

4 ! "T

ν

⇒ tout signal périodique "physique" - qui possède les
caractéristiques mathématiques d'un signal physique réaliste de période T, peut être décrit par une somme discrète
pondérée de signaux harmoniques dont les fréquences sont
des multiples entiers de sa fréquence fondamentale 1 / T
l'évolution du poids de chacun de ces signaux
harmoniques en fonction de la fréquence à laquelle il
se rapporte constitue le spectre du signal
NB : le terme b0 est la composante du signal s(t) à fréquence nulle
composante DC

b0 =

1

#
2!

+!
"!

()

()

s t dt = s t

⇒ b0 est la valeur moyenne de s(t)

PHYS-S201 "Physique des technologies de l'information"
Ch1 page 9

05/02/13

Université libre de Bruxelles

Signaux dépendant du temps
2. Description fréquentielle

OPERA

t! =

posons :

T
2"

2"
t! = t
T

#

t

$ 2"

! s (t ) = s &

% T

'

t # ) = g (t # )
(

période en t : 2π

période en t' : T

⇒ le signal g(t') est périodique de période T
g (t ! ) " s (t )

π

0


t

T/2

0

T
t'

dt =

on a :

2!
dt "
T

#

%

+!
$!

dt =

2!
T

%

+T
$T

2

dt "

2

Série de Fourier (III) : g (t ! ) = " bn exp $& + jn 2# t ! ')
n = 0, ±1, ±2
T
%
(
n
(3e notation !) où
$
1 +T
2# '
bn = * "T 2 g (t ! ) exp & " jn t ! ) dt !
T

b4

T

(

norme spectrale*

()

g! !
b3

%

2

b1
b2
0

b0
1/T

2/T

3/T

4/T

ν

* : illustration de principe

PHYS-S201 "Physique des technologies de l'information"
Ch1 page 10

02/02/05

Université libre de Bruxelles

Signaux dépendant du temps
2. Description fréquentielle

OPERA

1er exemple de série de Fourier :
signal "carré" périodique impair de moyenne nulle
période T
+1

-T/2

s (t )

+1

0 < t < T/2

-1

-T/2 < t < 0

s(t) =
+T/2

0

t

s (t ) = 0

≡ 1 période

-1
fonction impaire : s(t) = -s(-t)

Série de Fourier (III) :
)

#

+*

$

s (t ) = ! bn + cos % +n
n

#
2" &
2" & ,
t ( + j sin % +n t ( .
T '
T ' .$

+T

)
" 2! %
" 2! % ,
1 2
bn = / s t + cos $ n t ' ( j sin $ n t ' . dt
T (T
# T &
# T & .+*
2

fn impaire

b0

b±1

b0 =

b1 =

1
T

1
T

+T

"

!T

+T

/

(T

2

()

s t dt = 0

2

2

2

! b1 = "
! b1 = "

T
2j

#

intégration de -T/2 à +T/2 d'une fn impaire : s(t)

intégration de -T/2 à +T/2 d'une fn impaire : s(t) cos(..t)

" 2! %
" 2! % ,
)
j
s t + cos $ t ' ( j sin $ t ' . dt = (
T
# T &
# T &*

()

fn impaire
2j

()

+T

0
0

2

fn paire

+T

/

(T

2

2

) " 2! % ,
s t + sin $ t ' . dt
* # T & -T

()

"

fn impaire
+T

* $ 2# ' 2j T *
$ 2# ' s t , sin & t ) / dt = +
cos
&% T t )( /
,
T 2# +
.0
+ % T (.

()

+T

= "b"1

+

0

!" ... #$ 0

2

PHYS-S201 "Physique des technologies de l'information"
Ch1 page 11

2

!T

dt =

"

2

dt

0

2

= %2
02/02/05

Université libre de Bruxelles

Signaux dépendant du temps
2. Description fréquentielle

OPERA

intégration de -T/2 à +T/2 d'une fn impaire : s(t) cos(..t)

b±3 b3 =

1
T

+T

" 2! %
" 2! % ,
)
j
s t + cos $ 3 t ' ( j sin $ 3 t ' . dt = (
T
# T &
# T &*

/ ()

(T

2

2

fn impaire

! b3 = "
! b3 = "

2j
T

+T

0

2

0

2j
3#

fn paire

+T

/

(T

2

2

()

"

()

+T

$ 2# ' *
, cos &% 3 T t )( /
+
.0
+T

!" ... #$ 0

= "b"3
bn =

+

0

fn impaire

* $ 2# ' 2j 1 T
s t , sin & 3 t ) / dt = +
T 3 2#
+ % T (.

pour les n impairs :

) " 2! % ,
s t + sin $ 3 t ' . dt
* # T T& -

2

!T

2

dt =

"

2

dt

0

2

= %2

b1
n

s
fn impaire constante sur [0,T/2] et [-T/2,0]

b±2 b2 =

1
T

+T

/

(T

2

2

0

T/2

t

" 2! %
" 2! % ,
)
s t + cos $ 2 t ' ( j sin $ 2 t ' . dt
# T &
# T &*

()

+T

0

!

#

"T

fns harmoniques de période T/2
f
f
T/2
0
0
t
T/2 t

dt =

#

2

dt = 0

0

2

! b2 = 0 = b"2
pour les n pairs, pour les mêmes raisons :

bn = 0

la pondération de toutes les harmoniques
d'ordre n pair de cette série particulière
de Fourier est nulle
PHYS-S201 "Physique des technologies de l'information"
Ch1 page 12

01/10/09

Université libre de Bruxelles

Signaux dépendant du temps
2. Description fréquentielle

OPERA

!b1

" 2! %
" 2! % +
" 2! %
" 2! % +
(
t ' + j sin $ t ' - + b.1 * cos $ t ' . j sin $ t ' - +
# T &
# T &,
# T &
# T &,
)
)
!b3
" 2! %
" 2! % +
" 2! %
" 2! % +
(
(
... b3 * cos $ 3 t ' + j sin $ 3 t ' - + b.3 * cos $ 3 t ' . j sin $ 3 t ' - + ...
# T &
# T &,
# T &
# T &,
)
)
(

s(t) s ( t ) = b1 * cos $

) # 2" & ,
) # 2" & ,
! s t = 2 jb1 + sin % t ( . + 2 jb3 + sin % 3 t ( . + ...
* $ T '* $ T '-

()

) # 2" & 1 # 2" & 1 # 2" &
,
! s t = 2 jb1 + sin % t ( + sin % 3 t ( + sin % 5 t ( + ....
* $ T ' 3 $ T ' 5 $ T '
-

()

()

!s t =

,
4 ) # 2" & 1 # 2" & 1 # 2" &
sin
t
+
sin
3
t
+
sin
5
t
+
...
.
" +* %$ T (' 3 %$ T (' 5 %$ T ('
-

la série de Fourier de la fonction impaire s(t) est
une somme de fonctions harmoniques impaires
norme spectrale

()

s! !

2jb1 = 4/π
2jb3 = 4/3π
2jb5 = 4/5π
0

1/T

2/T

3/T

4/T

5/T

ν

- la première composante de Fourier est
l'harmonique fondamentale, soit la fonction
harmonique qui "ressemble le plus" à la fonction
carrée à décrire
- une série de Fourier tronquée est une approche
mathématique de la fonction à décrire
- chaque terme rajouté permet de diminuer l'écart
entre la série tronquée et la fonction à décrire
PHYS-S201 "Physique des technologies de l'information"
Ch1 page 13

05/03/07

Université libre de Bruxelles

Signaux dépendant du temps
2. Description fréquentielle

OPERA

norme spectrale

()

s! !

2jb1 = 4/π
2jb3 = 4/3π
2jb5 = 4/5π
0

1/T

2/T

3/T

4/T

5/T

ν

()

s t
1

T/2

0

harmonique
@ 1/T

T

t

(fondamentale)

-1

()

s t
1

T/2

0

T

t

harmonique
@ 3/T

-1

()

s t
1
0

T/2

T

t

harmonique
@ 5/T

-1

PHYS-S201 "Physique des technologies de l'information"
Ch1 page 14

28/01/09

Université libre de Bruxelles

Signaux dépendant du temps
2. Description fréquentielle

OPERA

fonction carrée (…)
somme des 1, 2, 3, 4 et à 5
premiers termes de la série
de Fourier

série de Fourier
(tronquée à 5 termes)

()

s t

1

T/2
0

-1

T
t

δ

PHYS-S201 "Physique des technologies de l'information"
Ch1 page 15

28/01/09

Université libre de Bruxelles

Signaux dépendant du temps
2. Description fréquentielle

OPERA

2e exemple de série de Fourier :
signal "carré" périodique de moyenne non-nulle
période T

≡ 1 période

s ! (t )

+2

+2

0 < t < T/2

0

-T/2 < t < 0

s'(t) =
+1

s'(t) = s(t) + 1

s ! (t ) = 1

0
0

-T/2

t

+T/2

intégration de -T/2 à 0 ne contribue pas car s'(t) y est nulle

b0

b±1

b0 =

b1 =

! b1 =

1
T

1
T
2
T

+T

#

"T

2

0

)T

0

()

s ! t dt =

2

+T

+T

2

2

2

0

1
T

+T

#
0

2

()

s ! t dt = 1
fn constante sur cet intervalle

# 2" &
# 2" & *
s ! t , cos % t ( ) j sin % t ( / dt
$ T '
$ T '.
+

()

#

"T

# 2" &
# 2" & *
cos
t
)
j
sin
,
%$ T ('
%$ T t (' / dt
+
.

T
4

!

()

0

s ! t .... dt = 0
2

T

( )

cos ... dt = "

0

! cos (...) dt
2

T

4

! b1 = "

2j
T

+T

0
0

2

+T

* $ 2# ' 2j T *
$ 2# ' cos &
t) /
, sin & t ) / dt = +
,
%
( .0
T
T
2
#
T
%
(
+
+
.
+T

! b1 = "

2j

#

= "b"1

!" ... #$ 0

2

2

f
T/2
0

t

= %2

ces coefficients bn sont, pour n ≠ 0, strictement
identiques à ceux de la fonction s(t)

PHYS-S201 "Physique des technologies de l'information"
Ch1 page 16

02/02/05

Université libre de Bruxelles

Signaux dépendant du temps
2. Description fréquentielle

OPERA

s'(t)

()

()

()

s ! t = s t + b0 = s t + 1

()

! s " t = 1+

cf graphique … ou
évaluation de b0 !

4 * $ 2# ' 1 $ 2# ' 1 $ 2# '
sin
t
+
sin
3
t
+
sin
5
t
+
...
/
# ,+ &% T )( 3 &% T )( 5 &% T )(
.

- l'évaluation de la série de Fourier est une opération
linéaire
série Fourier [f(t) + g(t)] = série Fourier f(t) + série Fourier g(t)
- la "série" de Fourier d'une constante est limitée à la
composante à fréquence nulle, c'est-à-dire à
… cette constante !

()

norme spectrale

s! ! "
2jb1 = 4/π
1 = b0
2jb3 = 4/3π
2jb5 = 4/5π
0

1/T

2/T

3/T

4/T

5/T

ν

- la première composante de Fourier est
l'harmonique à fréquence nulle, soit la valeur
moyenne de la fonction carrée à décrire

PHYS-S201 "Physique des technologies de l'information"
Ch1 page 17

01/10/09

Université libre de Bruxelles

Signaux dépendant du temps
2. Description fréquentielle

OPERA

3e exemple de série de Fourier :
signal "carré" périodique pair de moyenne non-nulle
≡ 1 période

période T

s !! (t )

+2

+2

-T/4 < t < T/4

0

ailleurs

s"(t) =

+1

s"(t) = s'(t + T/4)

s !! (t ) = 1

0

-T/2 -T/4

0

+T/4

t

+T/2

fonction paire : s"(t) = s"(-t)

- physiquement, s"(t) ne diffère de s'(t) que par le choix
de l'origine du temps t = 0
⇒ les composantes de Fourier des fonctions s'(t) et s"(t)
doivent être similaires
s"(t)

"
T%
s !! t = s ! $ t + '
4&
#

()

()

4 * $ 2#
, sin
# + &% T

()

4 * $ 2#
# ' 1 $ 2#
3# ' 1 sin
t
+
+
sin
3
t
+
+ .../
&% T
# ,+ &% T
2 )( 3
2 )( 5 .

! s "" t = 1+

! s "" t = 1+

#
$

sin % ! +

()

$
T ' ' 1 $ 2#
t
+
+ sin & 3
&%
4 )( )( 3
% T

"&

( = cos (! )
2'

! s "" t = 1+

$
%

sin & " ! +

3# '

)
2 (

$
T '' 1 t
+
+ .../
&%
4 )( )( 5 .

π/2

α

( )

= * cos " !

$ 2# ' 1
$ 2# ' 1
$ 2# ' 1 .
4+
cos
t
*
cos
3
t
+
cos
&% T )( 3
&% T )( 5
&% 5 T t )( * 7 ...0
# -,
/

s !! (t ) = b0 = 1

PHYS-S201 "Physique des technologies de l'information"
Ch1 page 18

02/02/05

Université libre de Bruxelles

Signaux dépendant du temps
2. Description fréquentielle

OPERA

()

! s "" t = 1+

$ 2# ' 1
$ 2# ' 1
$ 2# ' 1 .
4+
cos
t
*
cos
3
t
+
cos
&% T )( 3
&% T )( 5
&% 5 T t )( * 7 ...0
# -,
/

la série de Fourier de la fonction paire s"(t) est une somme
de fonctions harmoniques paires avec alternance de signe

()

norme spectrale

s! !! "

4/π

4/3π

1 = b0

4/5π
- 4/3π 0

1/T

2/T

3/T

4/T

ν

5/T

- la norme spectrale de Fourier de s"(t) est identique à celle
de s'(t), seul le signe du poids d'une harmonique sur deux
étant différent
les poids, qui en toute généralité sont des
nombres complexes, ont des normes
égales mais des phases différentes (0 ou π)

PHYS-S201 "Physique des technologies de l'information"
Ch1 page 19

05/02/13

Université libre de Bruxelles

Signaux dépendant du temps
2. Description fréquentielle

OPERA

4e exemple de série de Fourier :
signal "triangulaire" périodique pair de moyenne non-nulle
période T

≡ 1 période

s (t )

+T/2

s(t) =

+t

0 < t < +T/2

-t

-T/2 < t < 0

s (t )
0

-T

0

-T/2

+T/2

t

+T

fonction paire : s(t) = s(-t)
+T

0

"

fn paire ⇒

!T

b0

b0 =
! b0 =

b±1
+T

0

"

!T

b1 =

dt =

"

2

dt

1
T

+T

"

!T

2

2

()

2
T

+T

"

2

()

s t dt =

0

2
T

+T

"

2

0

2

t dt =

2
2 #t &

2

% (
T$2'
0

=

1 #T

&
! 0(
%
T$ 4
'
2

()
intégration de -T/2 à +T/2 d'une fn impaire :
s(t) sin(..t)

+T

/

(T

2

2

+T

" 2! %
" 2! % ,
" 2! % ,
)
)
1 2
s t + cos $ t ' ( j sin $ t ' . dt =
s t + cos $ t ' . dt
/
T (T
# T &
# T &# T &*
*

()

fn paire

fn paire

()

2

fn impaire

( )

+T

!" sin ... #$ 2 = 0 ,
0
.
t
# 2" & .
+
sin %
t
$ T (' .
# 2" &
.
%$ T ('
.-

)
+
+T
# 2" & ,
2 2 )
2+
1
# 2" &
! b1 =
t + cos % t ( . dt = +
cos %
t
/
2
$ T ('
T 0 *
T # 2" &
$ T '+
+* %$ T ('
2
4$ T '
T
+T
! b1 = " &
= " 2 = b"1
2
)
!
#
cos
...
T % 2# (
#
"
$ 0 = %2
0

2

+T

s t

4

T

dt

0

s t dt =

T

1

"

dt =

2

+T

2

0

( )

PHYS-S201 "Physique des technologies de l'information"
Ch1 page 20

02/02/05

Université libre de Bruxelles

Signaux dépendant du temps
2. Description fréquentielle

OPERA

b3 =

1
T

0

"

intégration de -T/2 à +T/2 d'une fn impaire :
s(t) sin(..t)

fn paire

b±3

dt =

+T

/

+T

" 2! %
" 2! % ,
" 2! % ,
)
)
1 2
s t + cos $ 3 t ' ( j sin $ 3 t ' . dt = / s t + cos $ 3 t ' . dt
T (T
# T &
# T &# T &*
*

()

2

(T
2
+T
2

"

fn paire

dt

()

2

fn impaire

( )

+T

+T

!" sin ... #$ 2 = 0 ,
)
2
0
+
.
+T
# 2" & ,
2 2 )
2+
1
t
# 2" &
# 2" & .
! b3 =
cos % 3
t( +
sin % 3
t(
/ t + cos %$ 3 T t (' . dt = T +
2
$
'
$
'.
T 0 *
T
T
#
&
2
"
+ # 3 2" &
.
3
%$ T ('
%
(
+* $ T '
.- 0
2
+T
4$1 T '
T
2
!
#
! b3 = " &
=
"
=
b
cos
...
= %2
"3
)
2
"
$
0
T % 3 2# (
9#
!T

0

2

( )

bn =

pour les n impairs :

b2 =

1
T

+T

/

(T

2

2

n

2

intégration de -T/2 à +T/2 d'une fn impaire :
s(t) sin(..t)

fn paire

b±2

b1

" 2! %
" 2! % ,
)
s t + cos $ 2 t ' ( j sin $ 2 t ' . dt
# T &
# T &*

()

fn paire

fn impaire

( )

+T

( )

+T

+T

!" sin ... #$
0

2
=0 ,
) !" cos ... #$ 0 = 0
T
+
.
+
# 2" & ,
2 2 )
2+
1
t
# 2" &
# 2" & .
! b2 =
cos % 2
t( +
sin % 2
t(
/ t + cos %$ 2 T t (' . dt = T +
2
$
'
$
'.
T 0 *
T
T
#
&
2
"
+ # 2 2" &
.
%$ 2 T ('
%
(
+* $ T '
.- 0
f
f
2

2

T/2

! b2 = 0 = b"2

0

T/2 t

0

t

pour tous les n pairs : b = 0
n

PHYS-S201 "Physique des technologies de l'information"
Ch1 page 21

02/02/05

Université libre de Bruxelles

Signaux dépendant du temps
2. Description fréquentielle

OPERA

s(t)

b1
" 2! %
" 2! % +
" 2! %
" 2! % +
(
(
s t = b0 + b1 * cos $ t ' + j sin $ t ' - + b.1 * cos $ t ' . j sin $ t ' - +
# T &
# T &,
# T &
# T &,
)
)
b3
" 2! %
" 2! % +
" 2! %
" 2! % +
(
(
... b3 * cos $ 3 t ' + j sin $ 3 t ' - + b.3 * cos $ 3 t ' . j sin $ 3 t ' - + ...
# T &
# T &,
# T &
# T &,
)
)

()

# 2" & ,
# 2" & ,
# 2" & ,
)
)
)
! s t = b0 + 2b1 + cos % t ( . + 2b3 + cos % 3 t ( . + 2b5 + cos % 5 t ( . + ...
$ T '$ T '$ T '*
*
*

()

()

!s t =

$ 2# '
$ 2# '
$ 2# '
T
T
T 1
T 1
" 2 2 cos &
t ) " 2 2 2 cos & 3
t ) " 2 2 2 cos & 5
t + ...
4
% T (
% T (
% T )(
#
# 3
# 5

la série de Fourier de la fonction paire s(t) est
une somme de fonctions harmoniques paires

()

norme spectrale

s! !
T
-2b1 /T =

2/π2

1/4 = b0 /T

-2b3 /T = 2/9π2
0
-2b5 /T = 2/25π2

1/T

2/T

3/T

4/T

5/T

ν

- la décroissance du spectre en fréquence est très rapide
(en 1/n2)
(à comparer à la décroissance en 1/n pour la fonction carrée)
- une série de Fourier tronquée au 3e terme non nul
semble, selon le spectre, suffisante pour décrire
correctement un signal triangulaire
⇒ le spectre de la fonction triangulaire est moins "étendu"
que celui de la fonction carrée
composantes
PHYS-S201 "Physique des technologies de l'information"
Ch1 page 22

significatives
05/10/07

Université libre de Bruxelles

Signaux dépendant du temps
2. Description fréquentielle

OPERA

()

s! ! / T
2/π2

norme spectrale

1/4

2/9π2
2/25π2
0

1/T

2/T

3/T

4/T

5/T

ν

()

s t
0,5

T/2

0

composante
@ 0/T

T

t

(valeur moyenne)

-0,5

()

s t
0,5

T/2

0

harmonique
@ 1/T

T

t

(fondamentale)

-0,5

()

s t
0,5
0

T/2

T

t

harmonique
@ 3/T

-0,5

PHYS-S201 "Physique des technologies de l'information"
Ch1 page 23

31/01/09

Université libre de Bruxelles

Signaux dépendant du temps
2. Description fréquentielle

OPERA

fonction triangle (…)
somme des 1, 2, 3, 4 et
5 premiers termes de la
série de Fourier

série de Fourier
(tronquée à 5 termes)

()

s t
0,5

0

δ

T/2

PHYS-S201 "Physique des technologies de l'information"
Ch1 page 24

T

t

31/01/09

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Signaux dépendant du temps
2. Description fréquentielle

OPERA

5e exemple de série de Fourier :
signal sinusoïdal "redressé"
période τ

!=

s (t )

T
2

+1
s (t )



-T

!

0

"
2

! +τ
+T = 2τ
t
2
fonction paire : s(t) = s(-t)

0

+

" 2! %
"! %
t ' = sin $ t '
# T &
#( &

s (t ) = sin $

T ≡ 1 période du signal sinusoïdal

0

#

fn paire ⇒

!"

b0

b0 =

1

!

+!

# ()

"!

2

s t dt =

2

!

+!

"

#

développement en
harmoniques de la fréquence
fondamentale 1/τ

2

dt

0

2

s t dt =

0

2

!

+!

#
0

2

%$ (
2
sin ' t * dt =
!
&! )

+!

#
0

2

%$ (
+ sin ' t * dt
&! )

2

+"

2

dt =

# ()
2

%$ (.
2+ "
! b0 = - # cos ' t * 0
", $
& " ) /0
! b0 =

+"

τ ≡ 1 période du signal redressé

2

=#

.
%$(
2+
2
- cos ' * # cos 0 0 = +
$,
$
& 2)
/

()

=0

=1

()

s t

PHYS-S201 "Physique des technologies de l'information"
Ch1 page 25

15/02/07

Université libre de Bruxelles

Signaux dépendant du temps
2. Description fréquentielle

OPERA

intégration de -τ/2 à + τ /2 d'une fn impaire :
s(t) sin(..t)
+!

#" & *
# 2" &
# 2" & 1 2
bn = 0 sin % t ( , cos % n
t ( ) j sin % n
t / dt
! )!
$! ' +
$ ! '
$ ! (' .

bn

2

fn paire
fn impaire

fn paire
+"

0

#

!"

+"

#

dt =

+"

2

0

0

2

$# '
$ 2# '
1 2
2
! bn = + sin & t ) cos & n
t ) dt =
" *"
"
%" (
% " (

+"

+

+"

2
0

1
! bn =
2 j"

2

+"

1
0

2

sin( t ) ... dt =
"

#
0

2

!
sin( t ) ... dt
"

$ 2# '
$# '
sin & t ) cos & n
t ) dt
%" (
% " (

+
$
$
# '
# '.
exp
j
2n
+
1
t
+
exp
j
1*
2n
t ) 0 dt + ...
&%
)(
&%
"
"
(/
,

(

+!

"

)

(

2

exp(at ) dt =

0

1

+!

0
0

2

)

*
$
$
# '
# '"
exp
j
2n
"
1
t
"
exp
j
"2n
"
1
t ) / dt
,
&%
)(
&%
!
!
(.
+

(

+!

#$ exp(at ) %& 0
a

)

(

)

2

1
1 3
"
! bn =
2
2 j " 3 j ( 2n + 1) #
4

# '$
*
, exp &% j ( 2n + 1) " t )( /
+
.0

0
!
1"
2 j ! 2 j ( 2n " 1) #
3

# '$
*
, exp &% j ( 2n " 1) ! t )( /
+
.0

... +

+"

!

$ # '
$ # '. 1+
$ 2# '
$
1 +
2# ' .
t ) + exp & * jn
t 0 dt
- exp & j t ) * exp & * j t ) 0 1 - exp & jn
2j ,
" (/ 2,
" (
" )( /
% " (
%
%
%

1
...
2 j!

1 2

2

0

2

2
! bn =
"

#

dt

2

+"

2

+!

+"

# '$
*
+
exp & j ( 1 0 2n ) t ) /
,
%
j ( 1 0 2n ) # +
" ( .0
"

2n - 1

2

2

5
3
6 + ...
37
+!

# '$
*
"
exp & j ( "1 " 2n ) t ) /
,
%
j ( "1 " 2n ) # +
! ( .0
!

PHYS-S201 "Physique des technologies de l'information"
Ch1 page 26

2

13/02/07

4
2
5
26

Université libre de Bruxelles

Signaux dépendant du temps
2. Description fréquentielle

OPERA

1
"
! bn =
2
2 j " 3 j ( 2n + 1) #
4

# '$
*
exp
j
2n
+
1
t) /
(
)
&
,
%
( .0
"
+

0
!
1"
2 j ! 2 j ( 2n " 1) #
3

# '$
*
exp
j
2n
"
1
t) /
(
)
&%
,
( .0
!
+

1 3

... +

+"

+"

# '$
*
+
exp
j
1
0
2n
t)
(
)
&
,
%
j ( 1 0 2n ) # +
" ( /. 0
"

2n - 1

+!

1 2

2

2

2

5
3
6 + ...
37
+!

# '$
*
"
exp
j
"1
"
2n
t)
(
)
&%
,
j ( "1 " 2n ) # +
! ( /. 0
!

2

4
2
5
26

+$
+$ ( 5
1
%
1
# (. 2 +
# (. 2 3
%
%
+
' - exp ' j ( 2n + 1) t * 0
! bn = 2
+ - exp ' j ( "2n " 1) t * 0 * 6 + ...
&
&
2 3 ( 2n + 1) # ' ,
$ ) /0
$ ) /0 * 3
,
&
)7
4

"1 3

... +

0
1
1
2 2 ( 2n ! 1) "
3
12

( )

+#
+# ' 4
$
" '- 2 *
" '- 2 2
$
$
*
& , exp & j ( 2n ! 1) t ) /
)5
+ , exp & j ( 1 ! 2n ) t ) /
%
%
# ( .0
# ( .0 ) 2
&% +
+
(6

+%

2 !" cos ... #$
0

( )

+%

2 !" cos ... #$
0

= &2

2

= &2

2

+$
+$ 5
1
+
+
%
%
"1 3
1
# (. 2
1
# (. 23
! bn =
"
2
6
- 2 cos ' 2n + 1 t * 0
- 2 cos ' 2n " 1 t * 0
2 3 2n + 1 # ,
$ ) /0
$ ) /0 3
&
&
2n " 1 # ,
4
7

(

(

)

)

(

(2n+1) = nbre impair

(

)

)

(2n-1) = nbre impair

,*
"1 (*
1
1
1 (*
1
1
$% "2 &' "
$% "2 &' - = + )
! bn =
"
)
2 * 2n + 1 #
# * 2n + 1
2n " 1 #
2n " 1
*.
+
+

(

)

(

(

) (
)(

) (& = # 2

1 $& 2n # 1 # 2n + 1
! bn = + %
" & 2n + 1 2n # 1
'

(

)

)

)
&*

(

(

1

)

" 4n 2 # 1

) (

)

,*
*.

= b# n

pour tous les n entiers : bn = !

PHYS-S201 "Physique des technologies de l'information"
Ch1 page 27

b0
4n ! 1
2

29/02/08

Université libre de Bruxelles

Signaux dépendant du temps
2. Description fréquentielle

OPERA

s(t)

b1

# 2! &
# 2! & ,
# 2! &
# 2! & ,
)
)
s t = b0 + b1 + cos % t ( + j sin % t ( . + b/1 + cos % t ( / j sin % t ( . +
$ " '
$ " '$ " '
$ " '*
*
b2
" 2! %
" 2! % +
" 2! %
" 2! % +
(
(
... b2 * cos $ 2 t ' + j sin $ 2 t ' - + b.2 * cos $ 2 t ' . j sin $ 2 t ' - + ...
# T &
# T &,
# T &
# T &,
)
)

()

$ 2" ' $ 2" ' *
*
$ 2" ' *
! s t = b0 + 2b1 , cos &
t ) / + 2b2 , cos & 2
t ) / + 2b3 , cos & 3 t ) / + ...
% # (.
% # (.
% # (.
+
+
+

()

#! &
s t = sin % t (
$" '

()

()

!s t =

/
& 2" )
& 2" )
& 2" )
2 4, 1
1
1
# .
cos (
t+ +
cos ( 2
t+ +
cos ( 3
t + + ...1
" " - 1$ 3
' % * 3$5
' % * 5$7
' % *
0

la série de Fourier de la fonction paire s(t) est
une somme de fonctions harmoniques paires

()

norme spectrale

s! !

2/π = b0
2b1 = - b0 x 2/3
2b2 = - b0 x 2/15
2b3 = - b0 x 2/35
0

1/τ

2/τ

3/τ

4/τ

5/τ

ν

- la décroissance du spectre en fréquence est très rapide
(en 1/n2)
(à comparer à la décroissance en 1/n pour la fonction carrée)
- comme pour le signal triangulaire, une série de Fourier
tronquée au 3e terme non nul semble, selon le spectre,
suffisante pour décrire correctement un signal sinusoïdal
redressé
composantes
PHYS-S201 "Physique des technologies de l'information"
Ch1 page 28

significatives
29/02/08

Université libre de Bruxelles

Signaux dépendant du temps
OPERA

2. Description fréquentielle

Autres exemples de série de Fourier :
[ M. R. Spiegel, "Analyse de Fourier", Mc Graw Hill (New York, 1980)]

PHYS-S201 "Physique des technologies de l'information"
Ch1 page 29

02/02/05

Université libre de Bruxelles

Signaux dépendant du temps
OPERA

2. Description fréquentielle

PHYS-S201 "Physique des technologies de l'information"
Ch1 page 30

02/02/05

Université libre de Bruxelles

Signaux dépendant du temps
2. Description fréquentielle

OPERA

2.6 Signal non périodique
cf champ électrique
émis par une
antenne radio AM

s (t )

s (t ) ! 0

0

t

hypothèses
- le signal s(t) est défini pour -∞ < t < +∞
- le signal s(t) satisfait le critère de Dirichlet-Jordan

Transformée
de Fourier :

( )

! !
S

s (t ) =

( )

1
2!

! ! =
S

%

+$
#$

! " exp + j" t d" = TF #1 &S
! " (
S
( ) ( )
' ( ))
poids

1
2"

%

+$
#$

()

fn harmonique

(

)

()

s t exp # j! t dt = TF &' s t ()

!

norme spectrale*

()

! 0
S

ω

0

* : illustration de principe

⇒ tout signal "physique" peut être décrit par une somme
pondérée et continue - intégrale - de signaux harmoniques
PHYS-S201 "Physique des technologies de l'information"
Ch1 page 31

05/02/13

Université libre de Bruxelles

Signaux dépendant du temps
2. Description fréquentielle

OPERA

1er exemple de transformée de Fourier :
signal "carré" pair de durée 2a
durée 2a
+1

s (t )

+1

-a < t < +a

0

ailleurs

s(t) =
signal unique
0
0

-a

t

+a

fonction paire : s(t) = s(-t)

( )

1

S! ! =

2"

( )

%

+$
#$

1

! " =
!S

(

)

s t exp # j! t dt =

(

1

)

( )

2

#

a

+a

( )

1
2"
1

%

+a
#a

(

+a

= # dt
!a

)

exp # j! t dt
s ( t ) = 1 ds "# !a,+a $%

( )

1

"a

! !
S
( )

0



à comparer avec le spectre
du signal carré périodique !

)

S (" )

!1
2a

"a
!=
2# a

+ 2π

(

% $ j sin " a + j sin $" a '
&
(
$
j
"
2#
!!

sin " a

a 2!



# dt

!"

% exp $ j" t ' =
&
($a
$
j
"
2#

! " =
!S

- 2π

()

+"

0

!2
2a

ωa

! "
S
( )
!

!2
T
!4
T

1
2a

0
!1
1
T
T

PHYS-S201 "Physique des technologies de l'information"
Ch1 page 32

ν

2
2a
a=

T
4

2
T
4
T

ν
09/02/10

Université libre de Bruxelles

Signaux dépendant du temps
2. Description fréquentielle

OPERA

2e exemple de transformée de Fourier :
signal "gaussien" pair de durée 2T
FW1/e : largeur totale du signal
à 1/e fois sa valeur maximale

FW1/e : 2T

s (t )

+1

" t2 %
s t = exp $ ! 2 '
# T &

()

signal unique
+1/e
0
0

-T

t

+T

fonction paire : s(t) = s(-t)

( )

S! ! =

1
2"

%

+$
#$

()

(

)

s t exp # j! t dt =

& t2 )
%#$ exp (' # T 2 +* exp # j! t dt
2"
1

(

+$

)

2

" t j ! T % ! 2T 2
or
+ j! t = $ +
' + 4
2
#T
2 &
T
t

( )

! " =
!S

2

% T 2" 2 (
exp ' $
4 *)
&
2#
1

2
+ %t
j" T ( .
2$1 exp -- $ '& T + 2 *) 00 dt
,
/

gaussienne en ω
(FW1/e : 4/T)

FW1/e : 4/T

M

⇒ plus un événement
temporel est bref,
plus son spectre est
étendu

constante
complexe

+1

( )

S! !

+M/e
0
-2/T

0

PHYS-S201 "Physique des technologies de l'information"
Ch1 page 33

+2/T

ω

02/02/12

Université libre de Bruxelles

Signaux dépendant du temps
2. Description fréquentielle

OPERA

propriétés de la transformée de Fourier (I)
⇒ le poids de chacune des composantes fréquentielles
constitue une fonction -imaginaire- de la fréquence ν (ou de la
pulsation ω) appelée la transformée intégrale de Fourier
la norme du poids de chacune des
composantes fréquentielles constitue la
norme spectrale du signal

( )

! !
S

( )

! !
S

⇒ il y a une relation biunivoque entre une fonction s(t) et sa
transformée intégrale de Fourier S! (! )
2 fonctions différentes possèdent des
transformées de Fourier distinctes
⇒ les descriptions temporelle et fréquentielle d'un signal
dépendant du temps sont strictement équivalentes

Joseph Fourier
(1768-1830)

… mon pote ;-)

PHYS-S201 "Physique des technologies de l'information"
Ch1 page 34

05/02/13

Université libre de Bruxelles

Signaux dépendant du temps
2. Description fréquentielle

OPERA

propriétés de la transformée de Fourier (II)
- transformée de Fourier d'une fonction réelle
! ! =S
S
( ) ! ( #! )
"

1

( )

!
S! " =

&

2#

+%
$%

()

(

)

s ! t exp + j" t dt =

1
2#

&

()

+%
$%

()

(

)

( )

" $"
s t exp + j" t dt = S

!

( )

S !

s t

0

ω

0

t

pour un signal réel, la seule connaissance du spectre de
fréquences positives suffit à le connaître

- transformée de Fourier d'une fonction réelle paire
! ! =S
!" ! = S
S
( ) ( ) ! ( #! ) $ S! (! ) est réelle paire

1

( )

!
S! " =

2#

( )

! S! # =
"

1
2$

&

+%
$%

(

+'
&'

t = !t "
$1
s t exp + j" t dt =
2#

()

(

( )

(

)

&

$%
+%

( )

)

s ( !t " ) = s ( +t " )

( )
!

()

(

s $t ' exp $ j" t ' dt '

s +t % exp & j# t % dt % = S! #

( )

S !

s t

0

)

t

0

PHYS-S201 "Physique des technologies de l'information"
Ch1 page 35

ω

05/02/13

Université libre de Bruxelles

Signaux dépendant du temps
2. Description fréquentielle

OPERA

propriétés de la transformée de Fourier (III)
- transformée de Fourier de la dérivée d'une fonction

( )

()

! %
TF !" s t #$ = S
+$

1

()

!d
#
! %
TF ' s t ( = j% S
" dt
$

( )

()

&

% S (" ) exp ( + j" t ) d"
2! #$

s t =

!

d
d ' 1
s t =
)
dt
dt ( 2"

!

d
s t =
dt

()

! # exp + j# t d# * =
S
,
&$%
+

( )

+%

+%

1

()

!

(

! # ' d exp + j# t * d#
S
) dt
,
&
2" $%
(
+
1

)

j# S (# ) exp ( + j# t ) d# = TF
&
$%
2"
!

$1

+%

( )

(

)

( )

! # )
' j# S
(
*

- transformée de Fourier de la somme de 2 fonctions
! " =F
s (t ) = f (t ) + g (t ) ! S
( ) ! (" ) + G! (" )

( )

S! ! =

( )

! S! " =

1

()

(

)

& ()
2#

(

)

2"

%

1

+$
#$
+%

$%

1

s t exp # j! t dt =
f t exp $ j" t dt +

2"
1
2#

%
&

+$
#$

+%
$%

()

(

)

()

(

)

( )

( )

! "
g t exp $ j" t dt = F! " + G

!

()

()

&f t + g t ( exp # j! t dt
'
)

( )

S !

s t

()

s t

0

t

0

ω

la transformée de Fourier permet de transformer une équation
différentielle dans le domaine du temps en une équation
algébrique dans le domaine fréquentiel
PHYS-S201 "Physique des technologies de l'information"
Ch1 page 36

10/02/09

Université libre de Bruxelles

Signaux dépendant du temps
2. Description fréquentielle

OPERA

propriétés de la transformée de Fourier (IV)
- transformée de Fourier inverse du produit de 2 fonctions
fréquentielles

( )

( ) ( )

! ! =F
! ! G
! !
S

" s t =

&

2#

$%

f (' ) g ( t $ ' ) d ' =

2#

s ( t ) exp ( # j! t ) dt
%
#$
2"

! ! =
S

( )
( )

'

+& ( +&

(

'

1
2#

() (

+% '

&$%

! "
! S! (" ) = G
( )

)

)

(

(

f (t ) ( g (t )
produit de
convolution

+
f
$
g
t
%
$
d
$
*
- exp % j" t dt
%& * '
-,
) %&
+# +#
%
(
$ ' $ q ( t , ! ) d! * p ( t ) dt =
)
"# & "#
+& ( +&
+
1
! S! " =
* ' g t $ % exp $ j" t dt - f % d%
2# $& *) $&
-,
1
! S! " =
2#

! S! (" ) =

1

+$

1

( )

()

+%

1

)

)

()

% +#
(
$ ' $ q ( t , ! ) p ( t ) dt * d!
)
"# & "#
+#

t ! " = z # dt = dz

*
) & g z exp $ j" z dz , exp $ j"- f - d)( $%
,+
+%

1

( )

(

)

(

+&

) ()

exp ( $ j"% ) f (% ) d% = G (" ) F (" )
'
$&
2#
!

!

exemple : mesure d'une impulsion carrée ⇒ implication ?
!

()

( )

G !

0
-2π/T 2π/T

!
F (! )

!

0

0

ω

+T

-T

()

t

()

f t

0
-T

ω

s t

0

ω

( )

S !

g t

0
+T

t

-T

PHYS-S201 "Physique des technologies de l'information"
Ch1 page 37

+T

t

02/02/05

Université libre de Bruxelles

Signaux dépendant du temps
2. Description fréquentielle

OPERA

propriétés de la transformée de Fourier (V)
via symétrie temps-fréquence de l'analyse de Fourier !

- corollaire : transformée de Fourier du produit de 2 fonctions
temporelles
s (t ) = f (t ) g (t )

( )

! " =
! S

1
2#

+%

&

$%

! ' G
F
( ) ! (" $ ' ) d' =

( )

( )

1 !
! "
F " (G
2#

produit de convolution

exemple : modulation d'amplitude d'un signal harmonique ⇒ implication ?
!

( )

()

T

G !

!

g t

( )

S !

0
-2π/T

t

0

2π/T ω

ω

()

!
F (! )

0
-2π/T

f t

s (t )

2π/T

! !T
0
0
0

ω



τ

t





t

⇒ un signal monofréquentiel : stricto sensu, cela n'existe pas !

conséquence de l'analyse de Fourier
l'analyse fréquentielle de Fourier d'un signal
couplée au principe de superposition

"physique"

⇒ limite l'étude de la physique linéaire aux seuls signaux issus
de sources continues et harmoniques

PHYS-S201 "Physique des technologies de l'information"
Ch1 page 38

05/02/13

Université libre de Bruxelles

Signaux dépendant du temps
OPERA

2. Description fréquentielle

Autres exemples de transformée de Fourier :
[ M. R. Spiegel, "Analyse de Fourier", Mc Graw Hill (New York, 1980)]
2!

~

PHYS-S201 "Physique des technologies de l'information"
Ch1 page 39

02/02/05

Université libre de Bruxelles

Signaux dépendant du temps

2. Conclusion

OPERA

3. Conclusions du chapitre
3.1 Conclusions
§ il existe 2 représentations équivalentes, liées par
l'analyse de Fourier, d'un signal qui évolue dans le temps :
• la description temporelle
• la description fréquentielle (ou spectrale)

§ une variation rapide δt du signal temporel implique une
importante extension spectrale δν
les télécommunications numériques à haut
débit font appel à des fréquences élevées

!" # 1
!t
§ la composante du spectre d'un signal à fréquence nulle
représente sa valeur moyenne

PHYS-S201 "Physique des technologies de l'information"
Ch1 page 40

10/02/08

Université libre de Bruxelles

Signaux dépendant du temps

2. Conclusion

OPERA

3.2 Discussion
§ il n'existe aucun signal physique strictement
monofréquentiel
un signal harmonique est une modélisation d'un
signal oscillant à amplitude constante durant un
laps de temps TL, tel que TL>>T

()

g t

T

début du signal

T étant la période
"apparente" du signal

0
t

fin du signal

TL

§ il est physiquement impossible de mesurer un spectre au
sens de Fourier
! ! =
S
( )

1
2"

%

+$
#$

s (t ) exp ( # j! t ) dt

( )

" ! =
& S
mes

1
2"

%

t2
t1

()

()

(

)

( s t ' fenêtre t * exp # j! t dt
)
+

v. mesure FFT sur
oscilloscope Tektronix
intégration sur intervalle [t1,t2]
plus long que la durée de la
fenêtre choisie

[Flattop windowing]

PHYS-S201 "Physique des technologies de l'information"
Ch1 page 41

10/02/08

Université libre de Bruxelles

Signaux dépendant du temps
OPERA

Notes personnelles

Notes personnelles

PHYS-S201 "Physique des technologies de l'information"
Ch1 page 42

02/02/05

Université libre de Bruxelles

Signaux dépendant du temps

Annexes

OPERA

Annexes
A.1 Spectres de signaux acoustiques
[UNSW, School of Physics, http://www.phys.unsw.edu.au/jw/research.html ]

Sol 4 joué par une flûte traversière

ν

Sol 5 joué par une flûte traversière

ν
PHYS-S201 "Physique des technologies de l'information"
Ch1 page 43

11/02/07

Université libre de Bruxelles

Signaux dépendant du temps
OPERA

Annexes

Ré 5, Fa 5, Ré 6 et Fa 6 joués par une flûte traversière

ν

PHYS-S201 "Physique des technologies de l'information"
Ch1 page 44

25/02/05

Université libre de Bruxelles

Signaux dépendant du temps

Annexes

OPERA

A.2 Spectres de signaux périodiques
Signaux périodiques sinusoïdal, triangulaire et
carré de tension issus d'un générateur de fonction
Hameg HM 8030
[Amplitude : 25mV] [Fréquence fondamentale : 2,5kHz]
Tension
[10mV/div]

0

-0,5

0

0,5

t [ms]

0

12,5

25

ν [kHz]

Spectre
[10dB/div]

PHYS-S201 "Physique des technologies de l'information"
Ch1 page 45

11/02/07

Université libre de Bruxelles

Signaux dépendant du temps

Annexes

OPERA

A.3 Exercice interactif
Philipps 6/6 :
norme spectrale d'un signal sinusoïdal redressé

T

s !! (t )

-T/2

PHYS-S201 "Physique des technologies de l'information"
Ch1 page 46

0

+T/2

t

11/02/07


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