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introductionalanalyseetalacommandedessystemesnonlineaires .pdf



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Philippe M¨ullhaupt

Introduction `a l’Analyse et `a la
Commande des Syst`emes Non
Lin´eaires
12 juin 2007

Avant-propos

L’objectif de ce livre est de pr´esenter les fondements de l’analyse et de la
synth`ese de loi de commande pour les syst`emes non lin´eaires.
Le terme de syst`eme apparaˆıt de plus en plus pour d´esigner une multitudes de choses, par exemple pour un ensemble organis´e de concepts, d’arrangements, d’assemblage, de composition d’id´ees et d’objets concrets.
Nous entendrons par syst`eme, une repr´esentation math´ematique par des
´equations diff´erentielles ordinaires non lin´eaires d’une r´ealit´e physique pouvant provenir de plusieurs disciplines diff´erentes : biologie, g´enie m´ecanique,
´electrique, chimique, physique, etc.
Ainsi, nous nous d´emarquons `a la fois du sens biologique classique qui entend par syst`eme, un ensemple structur´e d’´el´ements naturels de mˆeme esp`ece
ou de mˆeme fonction, et du sens m´ecaniste qui entend par syst`eme, un appareil
ou dispositif form´e par une r´eunion d’organes, d’´el´ements analogues.
Toutefois, la nature de structure est clairement pr´esente dans notre d´efinition
de syst`eme, et nous mettons clairement la notion d’universalit´e d’application
des th´eories d´evelopp´ees, pour autant qu’elles puissent donner une ad´equation
a la fois avec l’observation des ph´enom`enes et avec la pr´edicabilit´e de ceux-ci.
`
Finalement, la provenance des ´equations d´ecrivants un mod`ele de la r´ealit´e
disparaˆıt lorsque l’on ´etudie, par voie math´ematique, son comportement.
La compr´ehension de ce comportement fera l’objet de la premi`ere partie
intitul´ee ”Analyse”, et sa modification, l’objet de la seconde partie intitul´ee
”Synth`ese”.
Le comportement est ici `a comprendre dans son sens large, `a savoir non
seulement l’´evolution temporelle des solutions de l’ensemble des ´equations
diff´erentielles ordinaires d´ecrivant le mod`ele, mais ´egalement certaines propri´et´es topologiques caract´eristiques de cet ensemble : par exemple, type et
qualit´e des points singuliers (c.-`a-d, la classification des points d’´equilibre
stables ou instables), l’existence de cycle limite, la d´elimitation du bassin
d’attraction des points d’´equilibre stables, etc.

VI

Avant-propos

Une grande partie du livre est consacr´e `a d´efinir convenablement le concept
de stabilit´e et de donner des outils permettant de d´eterminer avec un nombre
d’op´eration r´eduit cette propri´et´e.
Nous verrons ´egalement que le comportement peut ˆetre modifi´e par le
concept de r´etroaction (ou loi de commande). En modifiant certaines variables
apparaissants dans le syst`eme d’´equations diff´erentielles (que l’on d´esigne par
le nom d’entr´ee) en utilisant l’information de certaines autres variables de
cet ensemble (appel´ee sortie) de telle sorte que les variables d’entr´ees soient
mises en correspondance avec les variables de sortie, le concept de boucle de
r´etroaction fait son entr´ee, et permet de modifier radicalement le comportement de l’ensemble des ´equations diff´erentielles. Ainsi, un syst`eme initialement
instable peut devenir stable.
Il est alors n´ecessaire d’exploiter la d´efinition de la stabilit´e et de ces
caract´erisations pour ´elaborer les correspondances entre entr´ees et sorties (les
lois de commande) de telle sorte de parvenir `a ces fins.
Ce livre est issu d’un enseignement `a des ´etudiants en fin d’´etudes
d’ing´enieur en g´enies ´electrique, microtechnique, et m´ecanique. La mati`ere est
couverte `
a raison de deux heures par semaines sur une dur´ee d’un semestre.
Je conseille vivement d’intercaller des s´eances `a l’ordinateur permettant aux
´etudiants d’ˆetre confront´es eux-mˆemes aux probl`emes, ce qui rend le contenu
de la mati`ere plus concr`ete et plus facilement assimilable. Je remercie les
nombreuses vol´ees d’´etudiants qui m’ont permis d’affiner l’ouvrage propos´e et
surtout ma compr´ehension du sujet.
J’esp`ere ´egalement avoir pu leur transmettre les connaissances de cette
discipline et transmis un peu de mon enthousiasme pour cette mati`ere parfois
d’aspect superficiellement aride.
Ce texte est une introduction au sujet et l’objectif est de permettre,
dans un volume compact, l’acc`es `a une litt´erature difficile `a un large spectre
de lecteurs de formation scientifique et technique diverse. Les pr´erequis ne
sont pas excessifs ; de bonnes notions sur les ´equations diff´erentielles et les
repr´esentations associ´ees comme la transform´ee de Laplace et la notion de
fonction de transfert sont requises ; il est n´ecessaire ´egalement de connaˆıtre
les concepts de repr´esentation d’´etat lin´eaire, de commandabilit´e et d’observabilit´e.
Malheureusement, le traitement propos´e dans cet ouvrage ne couvre que
les syst`emes ayant une seule entr´ee et ne d´ependant pas du temps. Le concept
d’observateur non lin´eaire n’est pas abord´e et le concept de gouvernabilit´e
non lin´eaire n’est pas trait´e dans toute sa complexit´e. L’accent est mis sur
l’accessibilit´e, pr´esent´ee comme condition n´ecessaire `a la lin´earisation d’´etat.
Les concepts qui ne sont pas trait´es peuvent ˆetre abord´es sereinement une fois
que la mati`ere de ce cours est assimil´ee. Leur exposition correspond mieux `a
un cours au niveau doctoral.

Avant-propos

VII

Une bibliographie se trouve `a la fin de l’ouvrage qui contient exclusivement
des r´ef´erences `
a des livres complets. C’est un choix personnel dict´e par la
difficult´e de faire une bibliographie pertinente au niveau introductif sans l´eser
les auteurs d’´eminentes publications qui seraient laiss´es de cˆ
ot´e, non pas par
manque d’int´erˆet, mais par soucis de compacit´e. Une solution aurait ´et´e de
faire une bibliographie exhaustive mais elle demanderait une liste ´enorme. Par
exemple, les r´ef´erences `
a la litt´erature (essentiellement russe) se trouvant dans
l’ouvrage [BS70] couvre d´ej`
a plus de 35 pages.
J’invite donc le lecteur de se r´ef´erer aux bibliographies d´etaill´ees des ouvrages cit´es `
a la fin de cet ouvrage. Le premier de ceux-ci qui m’a transmis
l’enthousiasme de la discipline est [SL91]. Il n’est pas ´etonant que le pr´esent
ouvrage en est fortement inspir´e pour la r´edaction de plusieurs chapitres, en
particulier pour la s´eparation en deux parties, analyse et synth`ese. Egalement
dans cette mˆeme optique, l’ouvrage incontournable de [Kha02], longtemps
utilis´e comme support au cours (avec l’ouvrage de [SL91] pr´ec´edemment mentionn´e), m’a ´egalement fortement inspir´e `a plusieurs reprises. Je f´elicite l’auteur pour son ouvrage, un mod`ele de rigueur et un excellent point d’entr´ee
pour quiconque voulant approfondir au del`
a du pr´esent contenu.
Le chapitre g´eom´etrie est inspir´e de [Isi89], [NvdS90], [KN63],[Car71] et
[For59], en particulier j’attire l’attention sur ces deux derni`eres r´ef´erences pour
la notion des 1-formes, du calcul ext´erieur et de la d´eriv´ee ext´erieure. J’invite
´egalement le lecteur int´eress´e `a consulter l’excellent [Mor01].
La commande par les m´ethodes de Lyapunov est inspir´ee par plusieurs
passages dans [SJK97] et j’en remercie les auteurs.
Cet ouvrage est ´egalement le fruit de mes nombreuses interactions avec
mes doctorants que je remercie vivement, sans qui l’exposition de la mati`ere
serait plus opaque. C’est ainsi que je t´emoigne ma sinc`ere gratitude `a Davide
Buccieri, Jean-Yves Favez, Basile Graf, Yvan Michellod, Thierry Prud’homme
et Christophe Salzmann.
Le premier professeur m’ayant transmis les notions essentielles de commande d’´etat est le professeur Roland Longchamp dont la p´edagogie et le
goˆ
ut pour la science m’ont pouss´e `a m’orienter vers l’automatique durant mes
´etudes. Je le remercie vivement pour cela, mais surtout j’aimerais le remercier
particuli`erement pour avoir encourag´e la r´ealisation de cet ouvrage, ainsi que
pour son soutient sans faille tout au long de la r´edaction de celui-ci.
Ensuite, j’aimerais chaleureusement remercier le professeur Jean L´evine
qui m’a permis de me sp´ecialiser en commande non lin´eaire, me transmettant
les connaissances indispensables durant mon s´ejour au Centre Automatique et
Syst`emes de l’Ecole des Mines de Paris `a Fontainebleau. Je remercie ´egalement
le professeur Laurent Praly avec qui j’ai pu discut´e de mani`ere quotidienne
lors du repas de midi.
J’aimerais ´egalement remercier le professeur Zhong-Ping Jiang pour l’excellent travail en commun effectu´e `a Lausanne et `a New York. Son aisance

VIII

Avant-propos

avec les in´egalit´es math´ematiques est impressionnante. J’ai r´esum´e quelques
unes de ces techniques dans le pr´esent ouvrage, et je le remercie vivement
pour m’avoir transmis cette connaissance.
J’aimerais ´egalement remercier les professeurs Dominique Bonvin, Sebastian Dormido, Balint Kiss, Balasubrahmanyan Srinivasan, ainsi que le Dr.
Denis Gillet pour le tr`es bon travail scientifique effectu´e en commun aboutissant `
a des publications internationales.

Lausanne, Juin 2007

Philippe M¨
ullhaupt

Table des mati`
eres

Partie I Analyse
1


efinition et propri´
et´
es des syst`
emes non lin´
eaires . . . . . . . . .
1.1 Principe de superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Classe de syst`emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 R´eponse indicielle disym´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Termes d’ordre sup´erieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Points d’´equilibre isol´es multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Explosion en temps fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 R´eponse harmonique multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Orbites chaotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3
3
4
4
6
7
8
8
8

2

Diagramme de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 Plan de phase pour les syst`eme du second ordre . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Syst`eme masse-ressort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Techniques de graphe du plan de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Syst`emes lin´eaires du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Solutions num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Graphe des pentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Elimination du temps explicitement . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Elimination du temps implicitement . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.5 M´ethode des isoclines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.6 Exemple : oscillateur de van der Pol . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Cycles limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Classification des cycles limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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X

3

Table des mati`eres

2.5 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Type de points d’´equilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Classification des points d’´equilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3 Th´eor`eme de l’index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.4 Th´eor`eme de Bendixson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Impossibilit´e du chaos planaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Th´eor`eme de Poincar´e-Bendixson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Exemple : dynamique de populations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1 Comp´etition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.2 Pr´edateur-proie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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24
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30


ethode du premier harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Syst`eme lin´eaire et non-lin´earit´e statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Excitation sinuso¨ıdale en boucle ouverte . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Caract´eristique passe-bas du syst`eme lin´eaire G(s) . . . . .
3.1.3 Gain complexe ´equivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Premier harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 D´ecomposition en harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Equivalent du premier harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Calcul de l’´equivalent du premier harmonique . . . . . . . . .
3.3 Non-lin´earit´es communes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Saturation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Zone morte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Relais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Hyst´er`ese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.5 Non-lin´earit´es sym´etriques, continues par morceaux . . . .
3.4 Syst`eme en r´etroaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Repr´esentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Double int´egrateur et oscillateurs lin´eaires . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Th´eor`eme de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Crit`ere de stabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Cycle limite stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Cycle limite instable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Fiabilit´e de l’analyse par le premier harmonique . . . . . . . . . . . . .
3.7 Oscillateur de Van der Pol revisit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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58
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61
61

Table des mati`eres

4

Stabilit´
e au sens de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Point d’´equilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Rappel de la notion de stabilit´e pour les syst`emes lin´eaires . . . .
4.3 Notion intuitive de la stabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 D´efinition math´ematique pr´ecise de la stabilit´e . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Notion de distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Stabilit´e : d´efinition formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3 Illustration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.4 Stabilit´e asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.5 D´esavantages de la d´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 M´ethode directe de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Candidat de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Fonction de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Exemple : robot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.1 Loi de commande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.2 Lois de la m´ecanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.3 Candidat Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.4 Fonction de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Th´eor`eme de stabilit´e locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.1 Preuve (stabilit´e locale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.2 Preuve de stabilit´e locale asymptotique . . . . . . . . . . . . . .
4.8 Stabilit´e exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.1 Exemple : Dynamique des populations . . . . . . . . . . . . . . .
4.9 Stabilit´e globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10 Fonction de Lyapunov pour les syst`emes lin´eaires . . . . . . . . . . . .
4.11 Stabilit´e locale et lin´earisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11.1 Inconv´enients de la m´ethode indirecte . . . . . . . . . . . . . . . .
4.12 Stabilit´e exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.13 Th´eor`eme d’invariance de LaSalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.13.1 Ensemble invariant M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.13.2 Ensemble d’annulation de la d´eriv´ee de la fonction de
Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.13.3 Exemple : le pendule simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.14 M´ethodes de construction des fonctions de Lyapunov . . . . . . . . .
4.14.1 M´ethode de Krasovskii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.15 M´ethode du gradient variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XI

65
65
65
66
66
66
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70
70
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71
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73
73
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75
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79
79
81
82
84
84
85
85
86
87
91
92
92

XII

Table des mati`eres

4.16
4.17
4.18
4.19

R´esultat d’instabilit´e 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
R´esultat d’instabilit´e 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
R´esultat d’instabilit´e 3 : th. de Chetaev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Techniques de comparaison et majoration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.19.1 Les formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.19.2 Inflation et d´eflation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.19.3 Le d´eveloppement limit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.19.4 La r´eintroduction de V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.19.5 L’´equation int´egrale associ´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.19.6 Quelques in´egalit´es standards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5

Passivit´
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.1 Notion intuitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.2 Exemple de syst`eme statique passif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.3 Syst`eme statique passif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.4 Exemple de syst`eme dynamique passif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.5 D´efinition diff´erentielle de la passivit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.6 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.6.1 Connexion parall`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.6.2 Connexion par r´etroaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.6.3 D´efinition int´egrale de la passivit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.7 Passivit´e des syst`emes lin´eaires SISO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.7.1 Preuve du lien entre passivit´e et r´eponse harmonique
positive r´eelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.8 Syst`eme r´eel positif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.8.1 Degr´e relatif et minimum de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.8.2 Lien entre Lyapunov et syst`eme RP . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.9 Stabilit´e absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.9.1 Non-lin´earit´e statique de secteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.9.2 D´efinition de la stabilit´e absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.9.3 Conjecture de M. A. Aizerman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.9.4 Crit`ere du cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.9.5 Crit`ere de Popov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Table des mati`eres

XIII

Partie II Synth`
ese
6

Elements de G´
eom´
etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.2 Vari´et´e, Cartes et Atlas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.2.1 Diff´eomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.3 Solution de l’´equation diff´erentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.4 Champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.5 Espace dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.6 Produit tensoriel et forme multilin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.7 Produit scalaire et produit ext´erieur en dimension deux . . . . . . 153
6.7.1 forme bilin´eaire sym´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.7.2 forme bilin´eaire antisym´etrique (altern´ee) . . . . . . . . . . . . . 154
6.7.3 Produit ext´erieur de deux formes lin´eaires . . . . . . . . . . . . 155
6.8 Forme multilin´eaire altern´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.9 Cotangent et les 1-forme diff´erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.10 Le gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.11 D´eriv´ee de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.12 Crochet de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.12.1 Propri´et´es du crochet de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.13 Diff´erentiation ext´erieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.13.1 Diff´erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.13.2 D´erivation ext´erieure d’une 1-forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.13.3 D´erivation ext´erieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.13.4 Th´eor`eme de Stokes g´en´eralis´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.14 Int´egrabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.15 Diff´erence entre une 1-forme exacte et int´egrable. . . . . . . . . . . . . 170
6.16 Diff´erentielles et d´erivation ext´erieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.17 Propri´et´es de la diff´erentielle ext´erieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.18 Condition d’exactitude et d’int´egrabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.19 Interpr´etation g´eom´etrique de l’int´egrabilit´e et de la
non-int´egrabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
6.20 Les deux formes du th´eor`eme de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

7

Commande par lin´
earisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.1 Lin´earisation locale et stabilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.1.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

XIV

Table des mati`eres

7.2 Lin´earisation exacte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.3 Equation d’erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
7.3.1 Fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
7.3.2 Equation diff´erentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
7.3.3 Placement de pˆ
oles et ´equation d’erreur . . . . . . . . . . . . . . 201
7.4 Syst`emes lin´eaires SISO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
7.4.1 Sortie sp´ecifi´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
7.4.2 Sortie non sp´ecifi´ee, formule d’Ackermann . . . . . . . . . . . . 212
7.5 Lin´earisation entr´ee-sortie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
7.6 Lin´earisation exacte entr´ee-´etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
7.6.1 Conditions pour la sortie plate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
7.6.2 Exemple : Robot avec joint flexible . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
7.6.3 Exemple : Bille roulant sur une barre . . . . . . . . . . . . . . . . 224
7.7 Commande d’une chaˆıne d’int´egrateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
7.7.1 Stabilisation et poursuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
7.7.2 Transit en temps fini avec commande a priori . . . . . . . . . 227
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
8

Commande par les m´
ethodes de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
8.2 Fonction de Lyapunov de Commande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
8.3 Structure cascade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
8.3.1 Restriction de la croissance du terme de couplage . . . . . . 237
8.4 Passivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
8.5 Ph´enom`ene du peaking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
8.6 Backstepping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
8.6.1 Fonction de Lyapunov r´eduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
8.6.2 Fonction de Lyapunov compl`ete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
8.6.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

Litt´
erature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

Partie I

Analyse

1

efinition et propri´
et´
es des syst`
emes non
lin´
eaires

La notion de syst`eme non lin´eaire est fond´ee sur le non respect du principe
de superposition. Les syst`emes n’ob´eissant pas au principe de superposition
sont tr`es nombreux. Nous pr´esenterons une sous-classe de tels syst`emes pour
lesquels les ´equations diff´erentielles ordinaires sont suffisantes `a leur description. Cette classe sera ´etudi´ee tout au long de cet ouvrage. Finalement, plusieurs propri´et´es propres `
a cette classe sont illustr´ees `a travers divers exemple.

1.1 Principe de superposition
Un syst`eme lin´eaire pourvu d’une entr´ee u et d’une sortie y ob´eit au principe de superposition.

efinition 1.1. (Prinicipe de superposition). Soit deux signaux d’entr´ees u1
et u2 engendrants deux signaux de sorties y1 y2 . La r´eponse a
` la somme des
entr´ees u = u1 + u2 est la somme des r´eponses individuelles, i.e. y = y1 + y2 .
Une cons´equence directe de ceci est :
Caract´eristique 1.2. Pour tout syst`eme ob´eissant au principe de superposition,
la r´eponse `
a une amplification du signal par un facteur α engendre une amplification de la sortie par un mˆeme facteur α. En d’autres termes si y corrspond
a u alors la r´eponse `
`
a αu est αy.
Ce principe est `
a l’origine mˆeme de la d´efinition d’un syst`eme lin´eaire.

efinition 1.3. Tout syst`eme ob´eissant au principe de superposition est un
syst`eme lin´eaire.
Par cons´equent tout syst`eme qui n’ob´eit plus au principe de superposition
est un syst`eme non-lin´eaire, l’objet de ce livre.

4

1 D´efinition et propri´et´es des syst`emes non lin´eaires

1.2 Classe de syst`
emes
La classe de syst`eme qui sera ´etudi´ee dans ce texte est celle d´ecrivant les
mod`eles de syst`emes physiques qui peuvent se repr´esenter par un ensemble
d’´equations diff´erentielles ordinaires. Le mod`ele math´ematique du syst`eme
physique s’´ecrit
x˙ = f (x, u),

(1.1)

T
de dimension n et
o`
u x repr´esente le vecteur d’´etat x = x1 x2 . . . xn
T
u un vecteur de grandeur d’entr´ee u = u1 , u2 , . . . um avec m grandeurs de
commandes ui ∈ R, i = 1, . . . , m.
Tout au long de cet ouvrage, nous supposerons que f (x, u) apparaissant
dans (1.1) est une fonction continue de ces deux arguments. De plus cette
continuit´e sera telle que la solution de (1.1) est unique pour des conditions
initiales x0 et une commande uo d´etermin´ees. La condition sur cette continuit´e est que f (x, u) soit Lipschitz continue (en chaque point l’´evolution infinit´esimale locale de f (x, u) doit ˆetre born´ee).

efinition 1.4. La fonction f (x, u) est appel´ee Lipschitz continue selon ces
deux arguments x et u lorsque, d’une part, elle est continue selon ses deux
arguments x et u et, d’autre part, lorsqu’il existe deux constantes c1 ∈ R et
c2 ∈ R telles que pour toute valeur de x1 et x2 , (resp. u1 et u2 ),
kf (x1 , u) − f (x2 , u)k ≤ c1 kx1 − x2 k,
resp.
kf (x, u1 ) − f (x, u2 )k ≤ c2 ku1 − u2 k.
Le lecteur int´eress´e par la n´ecessit´e et la suffisance de cette condition est
invit´e `
a consulter [Kha02].
Cependant, nous n’expliquerons pas compl`etement comment obtenir un
tel mod`ele, ´etant donn´e qu’il serait alors n´ecessaire de couvrir un tr`es grand
nombres de disciplines connexes : chimie, physique, m´ecanique du solide, electrotechnique, etc., chacune ayant une th´eorie de la mod´elisation propre conduisant `
a des ´equations diff´erentielles ordinaires susmentionn´ees.
Avant d’entrer dans le vif du sujet, mentionnons que les syst`emes non
lin´eaires poss`edent des particularit´es singuli`eres qui sont compl`etement absente des syst`emes lin´eaires. Certaines de ces propri´et´es sont pr´esent´ees ciapr`es.

1.3 R´
eponse indicielle disym´
etrique
Consid´erons le syst`eme lin´eaire simple

1.3 R´eponse indicielle disym´etrique

5

x˙ = −x + u.
Un signal d’entr´ee sym´etrique et carr´e entre 0 et +1 lui est appliqu´e. Le signal
de sortie x(t) associ´e suit le signal d’entr´ee, mais avec une inertie. Les phases
de mont´ees alternent avec les phases de descentes de mani`ere sym´etrique. Le
diagramme de gauche de la figure 1.1 illustre le r´esultat.
Par contre, le syst`eme non-lin´eaire simple
x˙ = −|x|x + u
exhibe un comportement disym´etrique. En effet, la phase de mont´ee est plus
rapide que la phase de descente (`
a droite de la figure 1.1).
3

2

2
1

1

0
0

0

20

40

0

20

40

Fig. 1.1. A gauche, les phases de mont´ee et de descente sont sym´etriques dans le
cas de l’´equation x˙ = −x+u, o`
u u est un signal carr´e entre +1 et 0. A droite, lorsque
x˙ = −[x[x + u, ce n’est plus le cas.

Remarque 1.5. Dans le cas du syst`eme non lin´eaire x˙ = |x|x + u, le terme |x|x
peut ˆetre localement interpr´et´e comme le membre de droite ax d’un syst`eme
lin´eaire x˙ = ax, o`
u l’inverse de la constante de temps, d´enot´ee a, correspond
a |x|. Ainsi, autour de la valeur maximale de x, correspondant au r´egime
`
permanent lorsque l’entr´ee vaut 1, le syst`eme est rapide. Par contre, autour
de la valeur de x nulle, la constante de temps est grande, et le syst`eme lent.
A la mont´ee, seul l’entr´ee u = +1 force rapidement le syst`eme `a se d´eplacer,
bien que la constante de temps soit grande (syst`eme lent). L’effet de x est
n´egligeable par rapport `
a l’entr´ee dans la phase de mont´ee. A la descente, par
contre, mˆeme si la constante de temps est initialement grande, l’entr´ee est
nulle, et la valeur x se modifie en fonction d’elle mˆeme, sans ˆetre aid´ee par la
contribution de l’entr´ee. Initialement rapide, le syst`eme ralentit vite, `a cause
de la diminution de x.

6

1 D´efinition et propri´et´es des syst`emes non lin´eaires

1.4 Termes d’ordre sup´
erieur
Lorsque la solution d’un syst`eme non lin´eaire s’´eloigne suffisamment d’un
point d’´equilibre, les termes d’ordre sup´erieur du d´evelopement en s´erie (autour de ce point d’´equilibre) contribuent de mani`ere croissante `a l’influence sur
la d´eriv´ee. Il se peut tr`es bien que ces termes pr´esentent un effet d´estabilisant
sur le comportement global.
Par exemple, le syst`eme
x˙ = −x + x2 ,

(1.2)

ne comporte pas d’entr´ee et poss`ede un point d’´equilibre `a l’origine.
Plusieurs conditions initiales sont consid´er´ees, certaines inf´erieures en valeur absolue `
a l’unit´e, et d’autres sup´erieures. Elles sont choisies sym´etriques
par rapport `
a l’origine, au sens o`
u, si une simulation est effectu´ee pour
x(0) = x0 , alors une autre l’est ´egalement pour x(0) = −x0 . Les solutions
de l’´equation diff´erentielle associ´ees aux conditions initiales sont repr´esent´ees
a la figure 1.2.
`
x

3

2

1

0

-1

t
0

2

4

Fig. 1.2. Les solutions de x˙ = −x+x2 sont repr´esent´ees pour les conditions initiales
x(0 suivantes : ±0.2, ±0.4, ±0.6, ±0.8, ±1.01, ±1.1. L’instabilit´e apparaˆıt d`es que
x(0) > 1.

La premi`ere constatation est que le comportement n’est pas sym´etrique par
rapport au signe des conditions initiales. La seconde, et la plus importante, est
qu’il y a, `
a la fois des conditions initiales pour lesquelles la solution s’´eloigne
de plus en plus du point d’´equilibre au fur et `a mesure que le temps progresse,
et d’autres pour lequel la solution converge vers la valeur d’´equilibre x = 0.
La s´eparation se produit lorsque la condition initiale x(0) est sup´erieure `a 1.
Remarque 1.6. Contrairement au syst`emes lin´eaires, la stabilit´e peut d´ependre
des conditions intiales.

1.5 Points d’´equilibre isol´es multiples

7

Pour mieux comprendre le ph´enom`ene, les fonctions x et x2 sont repr´esent´ees
a la figure 1.3
`
x2
1.5

x
1

0.5

x

0
0

0.5

1

Fig. 1.3. La stabilit´e de x˙ = −x + x2 est d´etermin´e par le signe du membre de
droite. La figure repr´esente les deux fonctions x et x2 . On constate que x2 devient
plus grand que x lorsque x > 1. Le signe du membre de droite change et conduit `
a
l’instabilit´e.

Remarque 1.7. Le signe devant le terme x ou x2 est fondamental. En effet,
x˙ = x est un syst`eme instable, car la solution x(t) = et diverge lorsque t → ∞.
Par contre x˙ = −x est stable ; la solution x(t) = e−t converge vers 0 lorsque
t → ∞. Ainsi, dans l’´equation diff´erentielle, le terme x2 a une tendance `a
d´estabiliser le syst`eme, et −x `a le stabiliser. La stabilit´e est garantie pour
autant que le terme −x domine x2 pour x positif, ce qui est le cas lorsque
x < 1.

1.5 Points d’´
equilibre isol´
es multiples
En examinant l’´equation (1.2) de l’exemple pr´ec´edent, une particularit´e
suppl´ementaire peut ˆetre remarqu´ee. Bien que x = 0 soit un point d’´equilibre,
car x˙ = 0, il n’est pas unique. En effet, Il existe d’autres points d’´equilibre
qui sont obtenus en r´esolvant −x + x2 = 0 par factorisation, conduisant `a
x(x − 1) = 0, et un nouveau point d’´equilibre x = 1 apparait..
Ceci est `
a mettre en perspective avec le cadres des syst`emes lin´eaires, pour
lesquels, lorsque le point d’´equilibre est isol´e, alors il est unique. En effet, la
condition d’´equilibre pour un syst`eme x˙ = Ax est 0 = A¯
x. Lorsque A est
invertible (i.e. |A| =
6 0) le point d’´equilibre est unique et correspond `a x
¯ = 0.
Lorsque A est singuli`ere alors le noyau est un sous-espace vectoriel et donc
les points d’´equilibre multiples sont connect´es. Ainsi dans ce cas, si x
¯ 6= 0 et
x
¯ ∈ {x | Ax = 0} alors λ¯
x 6= 0 est aussi un point d’´equilbre ∀λ ∈ R∗ .

8

1 D´efinition et propri´et´es des syst`emes non lin´eaires

1.6 Explosion en temps fini
Dans le cas lin´eaire, l’instabilit´e est toujours born´ee par une exponentielle.
Par exemple x˙ = 3x tend vers l’infini sans jamais d´epasser une exponentielle
x(t) < x0 e3.01t . La raison de ceci tient au fait que l’expression de la d´eriv´ee
peut ˆetre born´ee par une quantit´e proportionnelle `a la valeur de l’´etat. La
constante de proportionalit´e donne la vitesse de l’exponentielle.
Dans le cas non lin´eaire des surprises peuvent se produire. Par exemple,
pour le syst`eme (1.2), la divergence vers l’infini est beaucoup plus rapide que
dans le cas lin´eaire. La solutions analytique de cette ´equation est

x(t) =

x0 e−t
1 − x0 + x0 e−t .

La solution devient de plus en plus grande lorsque t → 1. Ainsi, elle diverge
vers l’infini en un temps fini.

1.7 R´
eponse harmonique multiple
Un autre ph´enom`ene tr`es int´eressant est la r´eponse polyharmonique d’un
syst`eme non lin´eaire `
a une excitation ne contenant qu’une seule harmonique.
Cet aspect sera pr´esent´e dans le contexte de la m´ethode du premier harmonique au chapitre 3

1.8 Orbites chaotiques
On consid`ere le syst`eme
x¨ + 0.1x˙ + x5 = u = 6 sin(t)

(1.3)

Deux trajectoires sont repr´esent´ees, l’une correspondant `a la condition
T
T
intiale x0 = 0.1 0.2 et l’autre `a x0 = 0.105 0.2 . On constate que mˆeme
si les deux conditions initiales sont tr`es proches l’une de l’autre, les trajectoires
r´esultantes sont rapidement tr`es diff´erentes, sans pour autant devenir non
born´ees (les valeurs de la position x demeurent dans un interval ferm´e et
born´e).
Cette hypersensibilit´e aux conditions intiales et l’aspect presque impr´evisible
du r´esultat donne l’impression que le syst`eme est soumis `a des perturbations
al´eatoires. Mais il n’en n’est rien. Le syst`eme est parfaitement d´eterministe.
Un tel comportement est appel´e ”chaos”. Comme exemple suppl´ementaire,
consid´erons l’oscillateur de Lorenz,

1.8 Orbites chaotiques

x

9

2

1

0

-1

-2

t
0

10

20

30

40

50

60

Fig. 1.4. Les solutions de l’´equations diff´erentielle (1.3) sont repr´esent´ees pour
deux conditions initiales proches (x(0) = 0.1, et x(0) = 0.105 ; x(0)
˙
= 0.2 pour les
deux cas). Bien que les trajectoires r´esultantes sont proches dans la premi`ere portion
horizontale, elles deviennent tr`es diff´erentes dans la deuxi`eme portion horizontale
du graphique.

x˙ = −σx + σy
y˙ = rx − y − zx
z˙ = −bz + xy,

o`
u seuls les deux termes en bleu, zx d’une part, et xy d’autre part, chacun
produits de deux ´etats, sont responsables de la nature non lin´eaire de la dynamique. Les param`etres σ, b, r sont fixes. Un exemple de trajectoire est
repr´esent´e `
a la figure 1.5.
20
10
0
-10
-20
40

30

20

10
-10
0
10

Fig. 1.5. Orbite chaotique de l’oscillateur de Lorenz pour σ = 10, b = 38 , r = 28.

10

1 D´efinition et propri´et´es des syst`emes non lin´eaires

On constate plusieurs ph´enom`enes int´eressants :
– Une trajectoire solution ne repasse jamais par le mˆeme point.
– Il n’y a pas de solution p´eriodique.
– Il existe des voisinages tels que pour toute condition initiale comprise
dans ce voisinage, la solution repasse une infinit´e de fois dans le voisinage. De plus ce voisinage peut ˆetre pris arbitrairement. Autrement dit,
en d´efinissant V0 (x0 ∈ V0 ), il existe une infinit´e d’instant temporels
t0 < t1 < t2 < . . . t∞ pour lesquels x(ti ) ∈ V0 pour i ∈ N.
– Les solutions demeurent dans un cube (un ensemble ferm´e et born´e, ou
autrement dit un ensemble compact).
– Pour deux conditions intiales arbitrairement proches, les solutions respectives finissent par diverger l’une de l’autre pour finalement plus se
ressembler du tout.

2
Diagramme de phase

Pour les syst`emes m´ecaniques, la mod´elisation en utilisant les coordonn´ees
g´en´eralis´ees (m´ecanique analytique) conduit `a un mod`ele comportant des
d´eriv´ees secondes des coordonn´ees g´en´eralis´ees exprim´ees en fonction des coordonn´ees g´en´eralis´ees ainsi que de leur premi`ere d´eriv´ee. Pour simuler de tels
syst`emes, il est n´ecessaire de connaˆıtre les conditions initiales, c’est-`a-dire l’ensemble des coordonn´ees g´en´eralis´ees ainsi que leurs premi`eres d´eriv´ees. Ainsi,
une solution du syst`eme d’´equations est un ensemble de fonctions du temps,
une pour chacune des coordonn´ees g´en´eralis´ees et une pour la premi`ere d´eriv´ee
(vitesse) correspondante. Les variables de phase forment un tel ensemble de
grandeurs. De mani`ere plus g´en´erale, le formalisme d’Hamilton permet d’associer aux coordonn´ees g´en´eralis´ees q1 , . . . , qn , des variables vitesses particuli`eres, appel´ees moments g´en´eralis´es p1 , . . . , pn . L’espace de phase est l’ensemble des 2n grandeurs q1 , . . . , qn et p1 , . . . pn . Cet ensemble constitue donc
T
les grandeurs d’´etat du syst`eme, `a savoir x = q1 . . . qn p1 . . . pn . Cependant nous s´eparons ces grandeurs d’´etat en deux groupes.
Dans ce chapitre, les syst`emes de seond ordre, o`
u l’espace de phase est
l’ensemble q, et q,
˙ seront ´etudi´es. De plus, ces syst`eme ne proviendrons pas
forc´ement du domaine m´ecanique.

2.1 Plan de phase pour les syst`
eme du second ordre
Pour les syst`emes du second ordre donn´es par
q¨ = f (q, q),
˙

(2.1)

on d´esignera par q ∈ R et q˙ ∈ R les variables de phases.
Maintenant le plan de phase n’est rien d’autre que le plan o`
u l’on repr´esente
dans l’axe horizontal, la variable q et selon l’axe vertical, la variable q.
˙ Une

12

2 Diagramme de phase

solution `
a l’´equation (2.1) sera donn´e par deux fonctions du temps
q = φq (t)
q˙ = φq˙ (t)
telles que

dφq˙
= f (φq˙ , φq )
dt

Maintenant, en faisant varier le temps, q et q˙ sont obtenus par substitution.
Une courbe param´etr´ee est alors d´ecrite dans le plan de phase par les deux
coordonn´ees x = φq (t) et y = φq˙ (t). Il est important de remarquer que le
temps n’apparaˆıt pas explicitement.
2.1.1 Syst`
eme masse-ressort
Afin d’illustrer les techniques de trac´es des orbites dans le plan de phase,
le syst`eme simple suivant est utilis´e :
q¨ + q = 0.
C’est l’´equation dynamique d’un syst`eme m´ecanique comportant un ressort parfait `
a l’extrˆemit´e duquel se situe une masse. L’ensemble forme un oscillateur m´ecanique. Les param`etres sont normalis´es `a l’unit´e. La repr´esentation
sch´ematique est donn´ee `
a la figure 2.1.

k=1

m=1

Fig. 2.1. Syst`eme masse ressort.

2.2 Techniques de graphe du plan de phase
Plusieurs techniques sont disponibles pour repr´esenter les orbites des
trajectoires d’un syst`eme dynamique `a deux ´etats. Certaines consistent a

2.3 Syst`emes lin´eaires du second ordre

13

repr´esenter exactement le trac´e d’autres `a n’obtenir qu’une information partielle concernant celles-ci, par exemple en ne repr´esentant que l’information
concernant la direction de la tangente en plusieurs points du plan de phase.
Les m´ethodes suivantes seront d´etaill´ees :
1. M´ethodes informatiques
– Solutions num´eriques pour diverses conditions initiales
– Graphe des pentes
2. M´ethodes papier crayon
– Solution explicite des ´equations
a) en ´eliminant le temps explicitement
b) en ´eliminant le temps implicitement
3. M´ethodes mixtes
– M´ethode des isoclines

2.3 Syst`
emes lin´
eaires du second ordre
Un syst`eme lin´eaire autonome du second ordre ne comporte pas d’entr´ee
et est repr´esentable par un mod`ele d’´etat comportant deux ´etats.

x˙ 1 = a11 x1 + a12 x2
x˙ 2 = a12 x2 + a22 x2
que l’on peut repr´esenter matriciellement sous la forme x˙ = Ax avec

A=



a11 a12
a21 a22

Les trajectoires d’un tel syst`emes peuvent ˆetre repr´esent´ees dans la plan
par des courbes param´etr´ees par le temps

Fig. 2.2. Figure repr´esentant une trajectoire d’un syst`eme lin´eaire du second ordre

Les trajectoires possibles qui varient en fonction de la valeur num´eriques
des param`etres aij peuvent ˆetre regroup´ees en cat´egories en fonction de la
nature des valeurs propres de la matrice A.
Soit λ1 et λ2 les deux valeurs propres obtenues en r´esolvant | A − λI |= 0.
Quatre cas sont `
a distinguer, ainsi les valeurs propres sont :

14

2 Diagramme de phase

1. toutes deux r´eelles de mˆeme signe. C’est un foyer stable.
2. r´eelles mais de signe oppos´e. C’est un point scelle.
3. purement imaginaire. C’est un centre.
4. complexes conjugu´ees. C’est un foyer.
2.3.1 Solutions num´
eriques
Les logiciels d’aide au calcul diff´erentiels qu’ils soient orient´es vers le calcul
formel (Maple, Mathematica, Reduce) ou vers le calcul num´erique (Matlab,
SysQuake, LME, Scilab) poss`edent un solveur d’´equations diff´erentielles ordinaire. Il est alors tr`es ais´e d’obtenir les solutions d’un syst`eme dynamique
planaire en y changeant les conditions initiales d’une simulation `a l’autre rendant ainsi la possibilit´e d’y r´ev´eler la nature des orbites sous-jacentes. Dans
le cas du syst`eme masse ressort pr´ec´edemment d´ecrit nous pourrions obtenir
la repr´esentation donn´ee `
a la figure suivante :

3

2

1

-3

-2

-1

1

2

3

-1

-2

-3

Fig. 2.3. Trajectoires simul´ees du syst`eme masse-ressort.

2.3.2 Graphe des pentes
Autrefois, l’ordinateur faisait d´efaut et la d´etermination de solutions ne
pouvaient pas proc´eder par une m´ethode inductive comme celle de RungeKutta ´etant donn´e le nombre d’op´erations prohibitif que cela impliquerait.
Ainsi il ´etait plus commode de ne calculer qu’un certain nombre de pentes
en des points pr´ed´etermin´es du plan de phase. Les pentes sont obtenues en
´evaluant f1 (x1 , x2 ) et f2 (x1 , x2 ), puis en repr´esentant un petit segment de
droite ayant une d´enivel´ee f2 (x1 , x2 ) sur une distance horizontale f1 (x1 , x2 ) au
point (x1 , x2 ). La longueur du segment peut soit ˆetre proportionel `a la norme
de f o`
u fix´e `
a une longueur unitaire arbitraire. Ironiquement, l’ordinateur

2.3 Syst`emes lin´eaires du second ordre

15

est ici aussi d’une grande aide. En prenant une grille equidistribu´ee selon les
deux axes x1 et x2 , on obtient une repr´esentation donn´ee `a la figure 2.4 pour
le syst`eme masse-ressort.
´T
`
x = x1 x2

f (x) =

«

f1 (x1 , x2 )
f2 (x1 , x2 )

Fig. 2.4. Graphique des ´el´ements de pente pour le syst`eme masse-ressort.

2.3.3 Elimination du temps explicitement
Lorsque le syst`eme dynamique est relativement simple comme c’est le cas
du syst`eme masse ressort, il est envisageable d’obtenir la solution de mani`ere
explicite `
a l’´equation diff´erentielle d´ecrivant la dynamique.
x(t) = x0 cos t + x˙ 0 sin t
x(t)
˙
= −x0 sin t + x˙ 0 cos t
Cependant il est n´ecessaire de se d´ebarasser de la param´etrisation du temps
afin de repr´esenter l’orbite. En utilisant l’identiti´e cos2 t + sin2 t = 1, il est
possible d’exprimer la relation
x2 + x˙ 2 = x20 + x˙ 20 ,
qui repr´esente un cercle centr´e en (0, 0) de rayon

p
x20 + x˙ 20 .

2.3.4 Elimination du temps implicitement
Remarquons que dans l’exemple pr´ec´edent le temps est ´elimin´e apr`es
l’int´egration de l’´equation diff´erentielle. Il est tout a fait possible d’en faire
l’´elimination lorsque celui-ci apparaˆıt encore `a l’´etat de diff´erentielle :

16

2 Diagramme de phase

dx1
dt
dx2
x˙ 2 = −x1 =
dt

x˙ 1 = x2 =

dx2
dx1
=−
= dt
x2
x1
L’int´egration se fait alors sans faire intervenir le temps et revˆet dans le
cas du syst`eme masse un caract`ere plus simple que l’obtention de la solution
explicite.
Z

x2 dx2 = −

Z

x1 dx1

x21 + x22 = c = x210 + x220
Remarque 2.1. La relation avec le param´etrage temporel est perdue.
graphique de x2 + x˙ 2 = x20 + x˙ 20

Fig. 2.5. Graphique associ´ee `
a l’´equation x2 + x˙ 2 = 1 = x20 + x˙ 20 .

2.3.5 M´
ethode des isoclines
Le m´ethode du graphique des pentes a proc´ed´e par l’´evaluation sur une
grille donn´ee a priori et de g´eom´etrie arbitraire. Il est int´eressant de se demander s’il y a une possibilit´e de trouver un lieu de points, le long duquel il



2.3 Syst`emes lin´eaires du second ordre

17

serait plus int´eressant de calculer les pentes. Par exemple, afin de minimiser le
nombre d’´evaluation, il serait int´eressant de calculer l’ensemble de points auquel le champ de vecteur de la dynamique ait une pente commune. En variant
la pente, il est alors possible d’obtenir un ensemble de lieux.
f2 (x1 , x2 )
dx2
=α=
dx1
f1 (x1 , x2 )
x¨ + x = 0
−x1
α=
x2
1
x2 = − x1
α
α = 1, x2 = −x1

Fig. 2.6. La m´ethode des isoclines consiste `
a choisir un ´el´ement de pente et de
repr´esenter le lieu des points comportant la mˆeme pente.

application syst´ematique pour diff´erentes valeurs de α
2.3.6 Exemple : oscillateur de van der Pol
x
¨ + ǫ(x2 − 1)x˙ + x = 0
ǫ = 0.5

x0 = x˙ 0 = 1

Graphe des pentes et trajectoires

Droite d’isocline α



18

2 Diagramme de phase

Fig. 2.7. Lorsque la m´ethode des isoclines est utilis´ee pour repr´esenter les ´el´ements
de pentes identiques, ces derniers sont trac´es en respectant la sym´etrie du cercle et
donne un aspect plus naturel que lorsqu’une grille uniform´ement espac´ee est utilis´ee.

2

1

-2

-1

1

2

-1

-2

Fig. 2.8. Une trajectoire de l’oscillateur de van der pol est repr´esent´ee pour la
condition intiale x1 (0) = 1 et x2 (0) = 1 et pour la valeur du param`etre ǫ = 0.5.

x
¨ + ǫ(x2 − 1)x˙ + x = 0
α=

x
¨
x
= −ǫ(x2 − 1) −



avec droites d’isoclines

2.4 Cycles limites

19

3

2

1

-3

-2

-1

1

2

3

x0 = x˙ 0 = 1
-1

-2

-3

Fig. 2.9. Superposition du graphe des pentes et d’une trajectoire dans le cas de
l’oscillateur de van der Pol (ǫ = 0.5, x10 = 1, x20 = 1).

Fig. 2.10. M´ethode des isoclines appliqu´ee `
a l’oscillateur de van der Pol.

2.4 Cycles limites
Un cycle limite est une trajectoire ferm´ee solution du syst`eme.

efinition 2.2. Un syst`eme x˙ = f (x) poss`edent un cycle limite C s’il existe
un interval de temps [t0 ; t0 + T [ et un point de d´epart x0 ∈ C, tel que en
d´esignant par Φ(t) la solution de syst`eme avec pour condition initiale x(t0 ) =
x0 = Φ(t0 ) on ait :
– Φ(t) ∈ C ∀t ∈ [t0 ; t0 + T [,

20

2 Diagramme de phase

– Φ(T ) = x0 .
2.4.1 Classification des cycles limites

efinition 2.3. Soit C un cycle limite
1. stable : toutes les trajectoires dans un voisinage du cycle → C.
2. instable : toutes les trajectoires divergent de C.

3. semi-stable : certaines trajectoires convergent vers C.

2.5 Index
L’index est une propri´et´e topologique des syst`emes en rapport avec une
r´egion d´etermin´ee du plan de phase. Elle est invariante pour des petites perturbations continues du syst`eme consid´er´e. Cette propri´et´e permet, entre autres,
d’´etablir des conditions n´ecessaires pour l’existence de cycles limites.

efinition 2.4. (Index en un point du plan de phase). Trois choix sont effectu´es :
1. Une courbe autour du point auquel l’index est ´evalu´e. Cette courbe est
choisie de mani`ere arbitraire, mais comprise dans un disque de taille suffisamment petite. Th´eoriquement, le disque est de taille infinit´esimale.
2. Une param´etrisation de la courbe dans le sens trigonom´etrique positif.
3. Une suite arbitraire de points de la courbe dans le sens de la param´etrisation.
Les points sont alors num´erot´es selon cette progression (xi , i = 1, . . . , n). Le
dernier point xn correspond au point initial x1 (x1 = xn ). En chacun des
points choisis xi , i = 1, . . . n, le vecteur f (xi ), correspondant au syst`eme x˙ =
f (x), est ´evalu´e. On obtient ainsi une suite de vecteurs fi = f (xi ). num´erot´es
de i = 1 a
` i = n. Les vecteurs sont ensuite report´es sur un autre espace de telle
sorte que leurs origines se confondent. L’index mesure alors l’angle modulo 2π
que l’extr´emit´e des vecteurs fi parcourent dans le sens trigonom´etrique positif.
L’index est ind´ependant a
` la fois de la courbe choisie (pour autant quelle
soit comprise dans un disque de taille suffisamment petite), des points choisis
xi et de leur nombre n.

2.5 Index

Exemple 2.5. Soit un contour et un syst`eme tel que :

3

3

4

4

2

2

5

5
6

1

1

6

8

7

8
7

alors l’index vaut : +1.
Exemple 2.6. Soit un contour et un syst`eme tel que :

3

7
2

8

6

1
4
5

8

5
6

alors l’index vaut : −1.

7

1

4

2
3

21

22

2 Diagramme de phase

Exemple 2.7. Soit un contour et un syst`eme tel que :

5

4

6

3

357
6

2
1

7

248
1

8

alors l’index vaut : 0.
2.5.1 Type de points d’´
equilibre
Les points d’´equilibre peuvent ˆetre classifi´es selon leur index. Par exemple,
les points d’´equilibre rencontr´es lors de l’analyse des syst`emes lin´eaires du
deuxi`eme ordre peuvent ˆetre regroup´es en fonction de leur caract´eristique exprim´ee par la position des valeurs propres. Ils peuvent ´egalement ˆetre classifi´es
en fonction de leur index. Ceci donne :
1.
2.
3.
4.

point selle (S) index : −1
noeud (N) index : +1
foyer (N) index : +1
centre (N) index : +1

Caract´eristique 2.8. Les index sont ind´ependants de la stabilit´e.
Pour illustrer la validit´e de cette propri´et´e, il suffit de renverser le sens
des vecteurs dans les trois exemples pr´ec´edents. Il est alors ains´e de v´erifier
que l’index ne change pas. Le fait de renverser le sens des vecteurs a comme
cons´equence de changer la stabilit´e du point d’´equilibre lorsque ce dernier est
compris dans la courbe de taille infinit´esimale. Les consid´erations de stabilit´e
seront abord´es dans le prochain chapitre. Il y sera question d’un traitement
rigoureux de la question.
2.5.2 Classification des points d’´
equilibre
Il est possible de classifier les points d’´equilibre x¯ d’un syst`eme non lin´eaire
x˙ = f (x) en fonction du type de point d’´equilibre du syst`eme lin´earis´e x˙ =
∂f
x x = Ax. Ainsi on parlera d’un
∂x |x=¯

2.5 Index

23

1. point selle (S)
2. noeud (N)
3. foyer (N)
4. centre (N)
en fonction des valeurs propres de A conform´ement `a l’´etude des syst`emes
lin´eaires planaires.
2.5.3 Th´
eor`
eme de l’index
La d´efinition 2.4 d´etermine l’index d’un point particulier de l’espace de
phase. De mani`ere analogue, il est possible de d´efinir un index pour une courbe
quelconque.

efinition 2.9. L’index d’une courbe est obtenu de mani`ere analogue a
` celle
de l’index d’un point du plan de phase. Seul la restriction a
` une courbe comprise dans un disque de taille suffisamment petite est relax´ee. Ainsi, l’index
d’une courbe d´epend de la courbe choisie contrairement au cas de la d´efintion
2.4.
A l’aide de cette d´efinition, il est possible d’´evaluer l’index d’un cycle
limite, ´etant donn´e que ce dernier est une courbe particuli`ere. Le r´esultat
suivant est important.
Th´
eor`
eme 2.10. (Th. de l’index de Poincar´e) Soit N le nombre de noeuds,
centres et de foyers et S le nombre de points selles. Si un cycle limite existe,
les points singuliers que le cycle encercle sont tels que N = S + 1.
Par contraposition au principe susmentionn´e, il est possible d’´etablir la
non existence d’un cycle limite en fonction du non respect de la condition de
ce th´eor`eme. La d´emonstration d´ecoule d’une propri´et´e simple d’addition des
index des points d’´equilibre compris dans une courbe particuli`ere.
Caract´eristique 2.11. Soit une courbe particuli`ere donn´ee. L’index de cette
courbe est la somme des index de tous les points d’´equilibre compris `a
l’int´erieur de cette courbe.
Comme un cycle limite est une solution du syst`eme dynamique, les vecteurs
y sont en tout point tangent. Il est donc ais´e, en reportant ces vecteurs en un
point donn´e d’un nouvel espace, de constater que leur extrˆemit´e parcourt un
tour complet dans le sens identique au sens de parcours du cycle. Ainsi, l’index
du cycle est +1. Par cons´equent, il doit y avoir n´ecessairement un exc`es de 1,
des points d’´equilibre (compris `a l’int´erieur du cycle) dont l’index est +1 par
rapport `
a ceux dont l’index vaut −1, ce qui donne les conditions du th´eor`eme
2.10.

24

2 Diagramme de phase

2.5.4 Th´
eor`
eme de Bendixson
Soit
x˙ 1 = f1 (x1 , x2 )
x˙ 2 = f2 (x1 , x2 )
Th´
eor`
eme 2.12. Pour un tel syst`eme, aucun cycle limite ne peut exister dans
∂f2
∂f1
+ ∂x
ne s’annule pas ni ne
une r´egion Ω du plan de phase dans laquelle ∂x
1
2
change de signe.
1
Preuve. C’est une cons´equence du th´eor`eme de Stokes. En posant dx
dt = f1
dx2
et dt = f2 , la diff´erentielle du temps est ´elimin´ee pour obtenir l’expression
f1
f2
dt = dx
= dx
, d’o`
u l’on d´eduit que la 1-forme ω = −f1 dx1 + f2 dx2 s’an1
2
nule le long du cycle. D’autre part, le long du cycle, cette mˆeme 1-forme
ω = −f1 dx1 + f2 dx2 peut ˆetre int´egr´ee. Cette int´egrale de chemin doit ˆetre
´egale `
a l’int´egrale de surface, sur l’aire comprise
H
R`a Rl’int´erieur du cycle, de la
diff´erentielle ext´erieure de cette 1-forme : ω =
dω.

0=

I

−f1 dx1 + f2 dx2 =
∂f1
∂f1
dx1 ∧ dx1 −
dx2 ∧ dx1
∂x1
∂x2
∂f2
∂f2
+
dx1 ∧ dx2 +
dx2 ∧ dx2
∂x1
∂x2

Z Z
∂f2
∂f1
dx1 ∧ dx2
+
=
∂x2
∂x1
Z Z



Par cons´equent, le seul moyen d’annuler cette int´egrale de surface est (i)
que l’int´egrant, s’il est non nul, puisse changer de signe a` l’int´erieur de la
surface ou (ii) que l’int´egrant soit nul en tout point. V´erifier que l’int´egrant
ne s’annule pas et ne change pas de signe garantit donc la non existence d’un
cycle limite autour de la surface consid´er´ee.

2.6 Impossibilit´
e du chaos planaire
Dans le chapitre introductif, un exemple tridimensionel (trois ´etats) a ´et´e
construit exhibant une trajectoire particuli`ere. Cette trajectoire restait comprise dans un ensemble ferm´e et born´e (un compact repr´esent´e par un cube).
Elle exhibait de surcroit la particularit´e de ne jamais passer par le mˆeme point.
La trajectoire n’´etait donc pas p´eriodique bien qu’un mouvement d’apparence
cyclique y ´etait le th´eaˆtre. Le prochain th´eor`eme d´emontre, entre autre, l’impossibilit´e qu’un tel ph´enom`ene puisse avoir lieu pour des syst`emes dont l’´etat
est de dimension 2.

2.7 Exemple : dynamique de populations

25

2.6.1 Th´
eor`
eme de Poincar´
e-Bendixson
Syst`eme du second ordre uniquement.
Th´
eor`
eme 2.13. Si une trajectoire demeure dans une r´egion finie Ω alors
une des trois propositions suivantes est vraie :
1. La trajectoire va vers un ´equilibre.
2. La trajectoire tend asymptotiquement vers un cycle limite.
3. La trajectoire est elle mˆeme un cycle limite.
La d´emonstration de ce th´eor`eme est fort int´eressante. On peut la trouver
dans [GH83]. Pour l’illustrer de mani`ere ludique, il suffit de prendre une plume
et une feuille de papier et de tracer une courbe continue qui ne passe jamais
par le mˆeme point. On aboutira sans trop de difficult´es aux cons´equences
donn´ees par le th´eor`eme.

2.7 Exemple : dynamique de populations
Pour illustrer les concepts introduits dans ce chapitre, nous pr´esentons
deux exemples tr`es simplifi´es de dynamique de populations. Nous envisageons
a la fois les mod`eles math´ematiques de deux esp`eces en comp´etition pour une
`
ressource unique, ainsi que la dynamique pr´edateur-proie, o`
u deux esp`eces distinctes s’affrontent, l’une jouant le rˆole de proie, et l’autre celui de pr´edateur.
Les hypoth`eses simplificatrices suivantes sont adopt´ees :
– La densit´e de l’esp`ece, c.-`a-d. le nombre d’individus par unit´e d’aire, est
repr´esent´ee par une variable unique, la diff´erence d’age de sexe et de
g´enotype sont ignor´es.
– L’effet de surpeuplement affecte le groupe dans son entier. Tous les
membres de la population sont touch´es de mani`ere similaire. Bien que
ceci soit peu probable lorsque les membres se repartissent en sousgroupes, de telle sorte qu’ils ne soient pas uniform´ement distribu´es dans
tout l’ensemble du territoire consid´er´e, nous faisons n´eanmoins cette
hypoth`ese.
– Les effets des interactions au sein de la mˆeme esp`ece et avec des esp`eces
diff´erentes sont instantan´es. Il n’y a pas de d´elai lors d’action prise par
un individu.
– Les facteurs abiotiques environnementaux (c.-`a-d. l’influence du nonvivant sur le vivant) sont suffisamment constants.
– La croissance du taux de la population est d´ependante de la densit´e,
mˆeme lors de tr`es faibles densit´es.
– Les femelles trouvent toujours `a s’accoupler, mˆeme lorsque la densit´e
est basse.
Ces hypoth`eses, tr`es simplificatrices, se justifient essentiellement par le fait
qu’il y aura n´ecessairement un effet limitant par le manque de ressources.

26

2 Diagramme de phase

2.7.1 Comp´
etition
Deux populations distinctes sont en comp´etition pour une mˆeme ressource
qui se trouve en quantit´e limit´ee. s1 d´esigne la population de la premi`ere
esp`ece et x2 celle de la seconde. Un mod`ele d’´evolution diff´erentielle est obtenu
en consid´erant une croissance exponentielle en absence d’effet inhibitif. Deux
coefficients positifs a1 et a2 sont introduits pour repr´esenter les taux de croissances instantan´es. Les populations agissent alors de mani`ere ind´ependante.
Cependant, les ressources ne sont pas infinies et la pr´esence d’une densit´e
croissante aura tendance `
a inhiber la croissance des populations respectives.
Ainsi, nous distinguons les coefficients d’auto-inhibition b11 et b22 (deux quantit´es positives, cr´ees par la pr´esence d’un comp´etiteur de mˆeme esp`ece), de
ceux des coefficients d’inhibition crois´ee b12 et b21 (´egalement deux nombres
r´eels positifs mais dus cette fois-ci `a la pr´esence d’un comp´etiteur de l’autre
esp`ece). En cons´equence, nous posons comme mod`ele d’´evolution

x˙ 1 = x1 (a1 − b11 x1 − b12 x2 )
x˙ 2 = x2 (a2 − b21 x1 − b22 x2 ).
Notons, en r´esolvant x˙ 1 = x˙ 2 = 0, la pr´esence de plusieurs points
d’´equilibre. Lorsque b11 b22 − b12 b21 6= 0, il y a quatre points d’´equilibre isol´es
distincts :
(i) x¯1
(ii) x¯1
(iii) x¯1
(iv) x¯1

=0
= ba111
12 −a1 b22
= ba112 bb22
−b12 b21
=0

x
¯2
x
¯2
x
¯2
x
¯2

=0
=0
−a2 b11
= ba111 bb21
22 −b12 b21
a2
= b22

Ils correspondent respectivement `a (i) l’extinction des deux esp`eces ; (ii)
l’extinction de la seconde esp`ece au profit de la premi`ere ; (iii) la survie des
deux esp`eces en ´equilibre ; (iv) l’extinction de la premi`ere au profit de la
seconde.
Lorsque b11 b22 −b12 b21 = 0, outre le point d’´equilibre `a l’origine, la pr´esence
d’une droite continue de points d’´equilibre est constat´ee. En effet, en prenant
pour valeur num´erique a1 = a2 = 2 et b11 = b12 = b21 = b22 = 2, on
obtient les deux ´equations d´efinissant les points d’´equilibres 2x1 − x1 x2 − x21 =
0 et 2x2 − x1 x2 − x22 = 0. En soustrayant ces deux ´equations, l’expression
(x2 − x1 )(x2 + x1 − 2) = 0 est obtenue faisant apparaˆıtre la droite x2 = 2 − x1
comme un lieu continu de points d’´equilibre.
Le syst`eme non lin´eaire x˙ = f (x) peut s’estimer par le premier terme du
d´eveloppement en s´erie de Fourier. Ceci donne x˙ = A(¯
x)(x − x
¯) o`
u x¯ d´esigne
le point d’´equilibre o`
u l’on d´eveloppe f (x). La matrice A s’´ecrit

2.7 Exemple : dynamique de populations



a1 − 2b11 x¯1 − b12 x¯2
−b12 x¯1
A=
−b21 x¯2
a2 − b21 x¯1 − 2b22 x¯2

27

(2.2)

et d´epend des valeurs x¯1 et x¯2 du point d’´equilibre.

Fig. 2.11. Plan de phase et points d’´equilibre pour deux population en comp´etition
pour une ressource unique. a1 = a2 = 2 et b11 = b22 = 1. Dans les trois cas, l’origine
un foyer instable. A gauche, (i) b12 = b21 = 2. L’inhibition crois´ee est plus grande que
l’auto-inhibition et cel`
a conduit une population `
a survivre au d´etriment de l’autre ; la
population survivante d´epend des conditions initiales et les densit´es convergent soit
vers (2 0)T ou (0 2)T . Le point d’´equilibre central (2/3 2/3)T est un point selle.
Au centre, (ii) b12 = b21 = 1. L’inhibition crois´ee est identique `
a l’auto-inhibition,
ce qui conduit les deux populations `
a vivre avec des rapport qui d´ependent des
conditions initiales. A droite, (iii) b12 = b21 = 21 . L’auto-inhibition est plus grande
que l’inhibition crois´ee, et les deux populations finissent au point d’´equilibre ( 43 43 )
pour presque toutes les conditions initiales.

Le plan de phase est repr´esent´e `a la figure 2.11 pour trois choix de valeurs
num´eriques. Les facteurs de croissance sont fix´es `a a1 = a2 = 2.
Dans le premier cas, les facteurs inhibitifs crois´es sont plus importants
que les facteurs auto-inhibitifs (b11 = b22 = 1 et b12 = b22 = 2). Le point
d’´equilibre (0 0)T est localement instable puisque les valeurs propres de la
matrice A sont toutes deux ´egales `a +2. Les points d’´equilibres (2 0)T et
(0 2)T sont des points stables (les valeurs propres sont toutes deux ´egales
a −2). Le point d’´equilibre ( 32 23 )T est un point selle dont une des valeurs
`
propres vaut −2 et l’autre + 32 . Ainsi, trois points d’´equilibre d’index +1 et
un d’index −1 sont obtenus, pour donner un index global de +2. L’index
global s’obtient en consid´erant une courbe ferm´ee quelconque englobant tous
les points d’´equilibre.
Dans le second cas, lorsque l’auto-inhibition est identique `a l’inhibition
crois´ee, on constate une vie mutuelle des deux esp`eces et une convergence
vers des points d’´equilibre qui d´epend des conditions initiales.
Dans le troisi`eme cas, c.-`a-d. lorsque l’inhibition crois´ee est moins forte
que l’auto-inhibition, il y a ´egalement une survie mutuelle des deux esp`eces,

28

2 Diagramme de phase

mais toujours avec la mˆeme densit´e. Le point d’´equilibre ( 43 43 )T est stable
avec pour valeur propre de la matrice A, −2 et − 32 . Le point d’´equilibre
(0 0)T est instable (les valeurs propres de A sont toutes deux ´egales `a +2).
Les deux points d’´equilibres restants (0 2)T et (2 0)T sont des points selles
avec comme valeurs propres −2 et +1.
Il est int´eressant de constater que le passage de l’index global +2 `a celui
de 0 c’est fait par l’interm´ediaire de l’apparition d’un lieu continu de points
d’´equilibre.
On constate ´egalement qu’il n’y a pas de cycle limite.
2.7.2 Pr´
edateur-proie
Dans ce mod`ele, x1 repr´esente la densit´e de population des proies, et x2
celle des pr´edateurs.
L’´equation de l’´evolution de x1 est identique au cas des populations en
comp´etition de la section pr´ec´edente. En effet, les proies croissent de mani`ere
exponentielle en l’absence de pr´edateur (coefficient a1 positif). Leur croissance
est limit´ee par les ressources (effet auto-inhibitif, b11 ) et par la pr´esence de
pr´edateurs (effet d’inhibition crois´e, b12 ).
Par contre, l’´evolution des pr´edateurs x2 est fonci`erement diff´erente. En
l’absence de proie, les pr´edateurs disparaissent progressivement de mani`ere
exponentielle, et le signe devant le coeffcient a2 est cette fois-ci n´egatif. De
plus, la pr´esence des proies n’a pas un effet inhibitif, mais bien au contraire,
un effet de croissance : le signe devant le facteur b21 est positif. Il n’y a pas
d’effet auto-inhibitif ce qui implique l’annulation du coefficient b22 = 0.
Sous ses hypoth`eses, les deux ´equations diff´erentielles qui gouvernent
l’´evolution des populations sont :
x˙ 1 = x1 (a1 − b11 x1 − b12 x2 )
x˙ 2 = x2 (−a2 + b21 x1 )
Ce syst`eme comporte trois points d’´equilibre :
(i) x
¯1 = 0
(ii) x
¯1 = ba111
(iii) x
¯1 = ba212

x
¯2 = 0
x
¯2 = 0
2 b11
x
¯2 = a1 bb2112−a
b21

Le premier point d’´equilibre est l’extinction mutuelle des deux esp`eces.
Le second correspond uniquement `a la survie des proies ; il y a absence de
pr´edateurs. Le troisi`eme correspond `a une survie mutuelle.
Lorsque a1 b21 < a2 b11 , les pr´edateurs meurent par manque de facteur de
reproduction des proies (coefficient a1 ) par rapport au besoin de nourriture
des pr´edateur (coefficient a2 ). La condition de survie mutuelle pond`ere les

2.7 Exemple : dynamique de populations

29

deux facteurs a1 et a2 par la qualit´e de satisfaction ´energ´etique de la proie
pour un pr´edateur b21 et du taux d’auto-inhibition des proies b11 . En effet,
l’auto-inhibition des proies rend la reproduction et la survie des pr´edateurs
difficiles.
La figure 2.12 repr´esente le plan de phase pour les valeurs num´eriques
a1 = a2 = b21 = 2,

b11 = b12 = 1.

Deux courbes solution de l’´equation diff´erentielle sont ´egalement repr´esent´ees,
une pour la condition initiale x1 (0) = x2 (0) = 0.2 et une autre pour la condition initiale x1 (0) = 1.7 et x2 (0) = 1.4. On constate que dans les deux cas, la
solution correspondante converge vers le point d’´equilibre de survie mutuelle
x
¯1 = x¯2 = 1.
Pour la premi`ere courbe, la densit´e des pr´edateurs commence l´eg`erement
a diminuer puis demeure relativement modeste `a cause du faible nombre de
`
proies disponibles. Toutefois, ces derni`eres se reproduisent en pr´esence de la
faible densit´e des pr´edateurs. Lorsqu’une taille critique est atteinte, `a partir
de laquelle les pr´edateurs peuvent mieux se d´evelopper, la tendance s’inverse,
et les pr´edateurs augmentent au d´etriment des proies.
De mani`ere g´en´erale, le taux de pr´edateurs par rapport a` celui des proies
oscille jusqu’`
a atteindre l’´equilibre de survie mutuelle.

Fig. 2.12. Plan de phase et points d’´equilibre pour le mod`ele pr´edateur-proie.
La variable x1 repr´esente la densit´e des proies (axe horizontal) et la variable x2
repr´esente la densit´e des pr´edateurs (axe vertical). Les valeurs num´eriques choisies
sont a1 = a2 = 2 = b21 = 2 et b11 = b12 = 1. Deux trajectoires sont ´egalement
repr´esent´ees pour x1 (0) = x2 (0) = 0.2 et pour x1 (0) = 1.7, x2 (0) = 1.4. Trois points
d’´equilibre sont constat´es : (i) l’origine x
¯1 = x
¯2 = 0 (en bas, `
a gauche), (ii) la
survie des proies et l’extinction des pr´edateurs x
¯1 = 2, x
¯2 = 0 (en bas, `
a droite), et
finalement (iii) la survie mutuelle x
¯1 = x
¯2 = 1 (au centre).

30

2 Diagramme de phase

Exercice
2.1. Saturation et syst`
eme lin´
eaire. Soit le syst`eme lin´eaire
x˙ 1 = x1 + u
x˙ 2 = −x2 + u
avec u = sat(v), o`
u

1
sat v v

−1

v>1
−1 ≤ v ≤ 1.
v < −1

(2.3)

On applique ´egalement un bouclage stabilisant
v = −k1 x1 − k2 x2 .
(i) Choisir les gains afin d’avoir deux pˆ
ole en −1 et −1 dans la partie
lin´eaire.
(ii) Trouver tous les points d’´equilibre.
(iii) Dessiner le plan de phase avec le champ de vecteur associ´e. Tracer
plusieurs trajectoires pour diff´erentes conditions initiales (il faut simuler les
´equations diff´erentielles).
(iv) D´eterminer la nature du bassin d’attraction en simulant le syst`eme
en temps r´etrograde, i.e. x˙ 1 = −x1 − u et x˙ 2 = +x2 − u, la commande u
demeurant identique. Il faut prendre plusieurs conditions initiales r´eparties
sur un petit cercle centr´e sur l’origine.
(v) R´ep´eter l’op´eration en (iv) en changeant la position des pˆ
oles, en les
ralentissant (p. ex − 21 et − 21 ) et en les rendant plus rapides (p. ex. −2 et −2).
(vi) Est-ce que la position des points d’´equilibre joue-t-il un rˆole ?

3

ethode du premier harmonique

Dans les deux pr´ec´edents chapitres, un syst`eme ´etait donn´e par un ensemble d’´equations diff´erentielles ordinaires de la forme x˙ = f (x). Certaines de
ses caract´eristiques comme la pr´esence de plusieurs points d’´equilibre, l’existence de cycles limites ou d’orbites chaotiques ont ´et´e pr´esent´ees, ainsi que des
crit`eres permettant de d´eterminer de telles propri´et´es (th´eor`eme de l’index,
crit`ere de Poincar´e-Bendixson, etc.).
Toutefois, la notion de syst`eme en boucle ferm´ee n’a pas ´et´e mentionn´ee
de mani`ere explicite. En effet, x˙ = f (x) pouvait `a la fois repr´esenter un
syst`eme en tant que tel, ou provenir de l’association en boucle ferm´ee de deux
syst`emes interconnect´es entre eux. Par exemple, w˙ = g1 (w, u) et z˙ = g2 (z)
avec dim u = dim z donnent lieu lorsque u = z `a un syst`eme x˙ = f (x) avec
T
x = wT z T .
Nous allons rendre ainsi la pr´esence d’une telle configuration en boucle
ferm´ee plus explicite dans le cours du pr´esent chapitre. L’objectif ´etant d’exposer une m´ethode d’analyse approximative d’une classe relativement restreinte
de syst`emes, mais apparaissant tr`es fr´equemment en pratique.
Il s’agit de la combinaison en r´etroaction d’un syst`eme lin´eaire ayant une
seule entr´ee et une seule sortie, boucl´e par un ´el´ement non lin´eaire. Ce dernier
´el´ement ne poss`ede pas de dynamique et correspond `a une fonction statique
arbitraire.
L’importance de cette classe de syst`eme provient du fait, qu’en pratique,
beaucoup de syst`emes poss`edent des imprfections qui ne disparaissent pas
apr`es lin´earisation locale. De telles imperfections proviennent par exemple
d’une zone morte pour certains syst`emes m´ecaniques, d’hyst´er`ese pour les
pi´ezo´electriques et les mat´eriaux magn´etiques, ainsi que la saturation pour
presque tous les types d’actioneurs.
En effet, on ne peut pas `a proprement parler ´eliminer un jeu dans un
engrenage, si ce n’est recourir `a le changer ou `a le r´eparer. Tout au plus, nous

32

3 M´ethode du premier harmonique

pouvons esp´erer compenser son effet n´efaste par la mani`ere dont le syst`eme
comportant cet ´el´ement est command´e.
De plus, de tels ph´enom`enes ont la particularit´e de pouvoir se s´eparer entre
un effet non-lin´eaire purement statique (le jeu et la saturation, par exemple,
font intervernir leur effet de mani`ere instantan´ee sans ph´enom`ene de m´emoire)
et un effet dynamique propre au syst`eme dans son ensemble (par exemple, les
inerties et les frottements d’un r´educteur comportant le jeu susmentionn´e
constituent alors la partie lin´eaire du mod`ele du syst`eme).
Ainsi, bien que la majeure partie du syst`eme se comporte de mani`ere
lin´eaire, il peut y avoir une non-lin´earit´e statique qui subsiste. Celle-ci peut
ˆetre isol´ee du reste du comportement lin´eaire pour aboutir au sch´ema que l’on
va analyser.
L’objectif de cette analyse est de d´etecter et caract´eriser la pr´esence
d’´eventuels cycles limites. Il s’agit de d´eterminer `a la fois la propri´et´e de
se maintenir apr`es une l´eg`ere perturbation (stabilit´e) et de trouver les param`etres repr´esentatifs tels que l’amplitude et la fr´equence du cycle limite.

3.1 Syst`
eme lin´
eaire et non-lin´
earit´
e statique
Consid´erons la mise en s´erie, en boucle ouverte, d’un premier bloc, dont
le comportement est non-lin´eaire, et d’une simple fonction de transfert qui
constitue le second bloc (Figure 3.1).
Chacun des blocs comporte une entr´ee unique et une sortie unique. L’entr´ee
de la non-lin´earit´e est not´ee u et sa sortie y. L’entr´ee de la fonction de tranfert
est alors y (attention `
a ne pas confondre avec u) et sa sortie est z. Il est
important d’insister sur cette convention.

u

N.L.

y

G(s)

z

Fig. 3.1. Association d’un bloc non-lin´eaire statique N.L. et d’une fonction de
transfert G(s).

La non-lin´earit´e du premier bloc est clairement s´epar´ee du comportement
lin´eaire de la fonction de transfert. La contre-r´eaction du second bloc sur le
premier est momentan´ement absente. Nous ´etudierons les cons´equences de la
boucle ferm´ee (u = −z) ult´erieurement.

3.1 Syst`eme lin´eaire et non-lin´earit´e statique

33

De plus, nous ne consid´ererons qu’une relation non-lin´eaire statique du
premier bloc. Ainsi, `
a chaque instant t, la sortie y(t) est une simple fonction
de son entr´ee u(t), c.-`a-d.
y(t) = φ(u(t)).
Il y a donc absence d’´etat pour le comportement du premier bloc. Les ´etats
ne sont n´ecessaires que pour r´ealiser la fonction de transfert.
3.1.1 Excitation sinuso¨ıdale en boucle ouverte
Pour illustrer le principe, une saturation constituera le premier bloc. La
combinaison en s´erie des deux blocs est soumise `a une excitation sinuso¨ıdale
d’amplitude A et de pulsation ω :
u(t) = A sin(ωt)
La saturation est d´ecrite par la fonction

u(t) > a
 ka
ˆ
−a ≤ u(t) ≤ a
φ(u(t))
= ku(t)

−ka
u(t) < −a

(3.1)

(3.2)

o`
u k d´efinit le gain de la partie non-satur´ee et le param`etre a correspond `a
la valeur d’entr´ee `
a partir de laquelle la saturation est active. La figure 3.2
illustre le ph´enom`ene pour un choix particulier des param`etres.
u(t)

y(t)

4

4

2

2

0

0

-2

-2

-4

-4

Fig. 3.2. Repr´esentation graphique de l’entr´ee u(t) et de la sortie y(t) de la saturation pour les valeurs A = 2, ω = 5, k = 2 et a = 1.

3.1.2 Caract´
eristique passe-bas du syst`
eme lin´
eaire G(s)
En examinant la figure 3.2, nous constatons que le signal sinuso¨ıdal est
fortement transform´e par la saturation. Il ne correspond plus `a une courbe

34

3 M´ethode du premier harmonique

lisse et de mˆeme nature que la sinuso¨ıde de d´epart. Il n’est pas possible de
superposer une seule sinuso¨ıde, mˆeme lorsque celle-ci est d´ephas´ee et amoidrie
de facteurs appropri´es.
Par contre, le constat peut ˆetre diff´erent `a la sortie du syst`eme G(s),
puisque ce dernier agit comme un filtre suppl´ementaire.
Par exemple, consid´erons un syst`eme G(s) du second ordre avec un param`etre b unique permettant de d´eterminer sa bande passante. Son gain statique est fix´e ´egal `
a l’unit´e. Le param`etre b correspond `a la valeur r´eelle o`
u se
trouve la paire de pˆ
oles sur l’axe r´eel n´egatif.

G(s) =

b2
s2 + 2bs + b2

(3.3)

Le syst`eme est stable pour autant que b soit strictement positif. Un gand
b d´etermine un syst`eme rapide qui filtre peu, et un petit b correspond `a un
syst`eme de nature passe-bas qui filtre les hautes fr´equences. La figure 3.3
illustre le r´esultat du filtrage lorsque b = 3 et b = 30.
z(t)

z(t)

4

4

2

2

0

0

-2

-2

-4

-4

Fig. 3.3. Repr´esentation graphique de la sortie du syst`eme lin´eaire lorsque A = 2,
ω = 5, k = 2 et a = 1 pour deux valeurs du param`etre b de la fonction de transfert
(3.3). A gauche b = 3 et `
a droitre b = 30.

Dans les deux cas, un r´egime transitoire est constat´e. Celui-ci d´ecoule
du fait que les conditions initiales de G(s) ne sont pas compatibles avec le
r´egime forc´e que tend `
a imposer l’entr´ee u(t). Ce r´egime transitoire disparaˆıt
rapidement pour laisser place `a un r´egime forc´e de nature diff´erente en fonction
de la valeur de b.
Lorsque le syst`eme filtre peu (b = 30), le signal z(t) est tr`es proche de la
sortie de la non-lin´earit´e y(t). Par contre, en examinant le premier r´esultat
(b = 3), l’effet conjoint de la saturation φˆ et du syst`eme lin´eaire G(s) revient
simplement `
a d´ephaser et `
a att´enuer la sinuso¨ıde d’origine, un peu comme
le ferait un syst`eme lin´eaire. La non-lin´earit´e a en quelque sorte disparu, ou

3.1 Syst`eme lin´eaire et non-lin´earit´e statique

35

de mani`ere plus rigoureuse, elle a ´et´e englob´ee pour constituer avec G(s) une
sorte de nouvelle fonction de transfert.
3.1.3 Gain complexe ´
equivalent
Pardoxalement, nous avions initialement clairement s´epar´e le comportement non lin´eaire du comportement lin´eaire, et voil`a que le dernier r´esultat
de la section pr´ec´edente revient `a simplement d´ephaser et amoindrir le signal
d’origine.
Le comportement global de la mise en s´erie des deux ´el´ements montre
qu’il est peu commode de le s´eparer en une partie purement non-lin´eaire caract´erisable et une partie lin´eaire. En effet, il n’est pas ais´e en examinant le
signal z(t) (b = 3) de d´etecter la pr´esence d’une saturation.
Cependant, il est possible de substituer `a la non-lin´earit´e, un nombre complexe N , permettant de caract´eriser celle-ci sans perdre trop de qualit´e dans
la r´eponse z(t). Ceci est rendu possible par la nature passe-bas du syst`eme
lin´eaire. Clairement, z(t) pour b = 30 ne permet pas une telle simplification.
En cons´equence, lorsque le syst`eme lin´eaire poss`ede des propri´et´es passe-bas
marqu´ees, le sch´ema de la figure 3.1 peut ˆetre remplac´e par l’approximation
repr´esent´ee `
a la figure 3.4.

u

N

y

G(s)

z

Fig. 3.4. La non-lin´earit´e statique N.L. est remplac´ee par un gain ´equivalent complexe N .

Pour d´eterminer le gain N , nous proc´edons par essais/erreurs et il est
relativement ais´e de trouver la sinuso¨ıde
0.329A sin(ωt − 2.00)
qui se superpose tr`es bien avec le signal z(t). Ceci est repr´esent´e `a la figure
3.5.
Cette d´etermination repose sur le caract`ere du r´egime permanent sinuso¨ıdal. Le signal d’excitation est multipli´e par N puis par G(jω) avec ω = 5.
Pour d´eterminer N , il suffit donc de diviser la repr´esentation fr´equentielle de
la sortie par G(j5) et ensuite de comparer le r´esultat avec le signal d’entr´ee.
Une mani`ere similaire de proc´eder est de d´ephaser et d’amplifier les signaux

36

3 M´ethode du premier harmonique
z(t)
4
2
0
-2
-4

Fig. 3.5. Repr´esentation graphique de la sortie du syst`eme lin´eaire lorsque A = 2,
ω = 5, k = 2, a = 1 et b = 3. Une sinuso¨ıde 0.329A sin(ωt − 2.00) y est superpos´ee.

temporels par respectivement la phase et l’amplitude des nombre complexes
correspondants.
On d´eduit sans peine que N ≈ 1.2. C’est un nombre purement r´eel. Le
d´ephasage est donc caus´e exclusivement par G(j5) = 9(30j − 14)−1 .
Il est important `
a ce stade d’insister sur le fait que le gain N d´epend
en g´en´eral de l’amplitude et de la pulsation ω du signal d’entr´ee. C’est l`a
que r´eside la diff´erence essentielle entre un comportement purement lin´eaire
(repr´esentable par une fonction de transfert `a part enti`ere) et l’approximation
de la non-lin´earit´e par un gain ´equivalent N .
En prenant une autre amplitude pour le signal d’entr´ee, nous aurions
trouv´e une autre valeur pour le gain N . C’est la raison pour laquelle il est
not´e soit N (A) ou N (A, ω), selon son type de d´ependance.
Ceci n’est pas surprenant pour la saturation par exemple, car lorsque l’amplitude du signal est faible, de telle sorte que la saturation n’est pas active, le
signal de sortie est amplifi´e par le gain k de la saturation. Par contre, lorsque
le signal est tr`es grand, il est fortement limit´e par la saturation, et le gain
´equivalent peut devenir bien inf´erieur `a l’unit´e.
Il faut ´egalement faire attention `a ne pas confondre le param`etre d’amplitude A et la valeur instantan´ee u(t) du signal `a l’entr´ee de l’´el´ement approxim´e
par N (A). Ce sont deux choses diff´erentes. L’amplitude A correspond `a la valeur maximale d’une sinuso¨ıde unique pouvant ˆetre appliqu´ee `a l’entr´ee de la
non-lin´earit´e, auquel cas cette mˆeme entr´ee sera amplifi´ee d’un facteur N (A)
o`
u A est l’amplitude fixe de la sinuso¨ıde A sin(ωt). Ce n’est pas la valeur de
A sin(ωt) `
a un instant t donn´e. C’est la raison pour laquelle lorsque le signal
n’est pas proche d’une sinuso¨ıde unique (de pulsation ω), il est difficile de
donner une interpr´etation `
a A, et de surcroit `a N (A).

3.2 Premier harmonique

37

3.2 Premier harmonique
Il est fastidieux de d´eterminer le nombre complexe N en fonction des deux
param`etres A et ω par une succession de simulations du type que nous avons
expos´e `
a la section pr´ec´edente. Il est plus efficace de trouver une expression
analytique du gain ´equivalent N (A, ω).
3.2.1 D´
ecomposition en harmoniques
Comme la non-lin´earit´e est d´epourvue de dynamique, lorsque le signal
u(t) = A sin(ωt)
est appliqu´e `
a l’entr´ee de la non-lin´earit´e statique φ, le signal `a la sortie de
la non-linarit´e y(t) est p´eriodique et de mˆeme p´eriode T = 2π
ω que le signal
d’entr´ee. Ceci implique que le signal de sortie y(t) puisse ˆetre d´ecompos´e en
s´erie de Fourier :
y(t) =



a0 X
+
[al cos(lωt) + bl sin(lωt)]
2

(3.4)

l=1

Z
1 π
y(t)d(ωt)
π −π
Z
1 π
y(t) cos(lωt)d(ωt)
al =
π −π
Z
1 π
y(t) sin(lωt)d(ωt)
bl =
π −π

a0 =

(3.5)
(3.6)
(3.7)

La s´erie (3.4) donne une d´ecomposition exacte de y(t). Les coeffcients a0 ,
al , bl , (l = 1, . . . , ∞) caract´erisent alors le type de non-lin´earit´e φ.
Le seul incov´enient de cette d´ecomposition (et non le moindre) est qu’il
n´ecessite une infinit´e d’´evaluations d’int´egrales le long d’une p´eriode. En effet,
les coefficients al et bl doivent ˆetre d´etermin´es d’une mani`ere ou d’une autre
en utilisant les d´efinitions (3.6) et (3.7).
Il est important d’insister `a nouveau sur le fait que chaque coefficient
a0 , al et bl d´epend de l’amplitude A et de la pulsation ω. Formellement, on
devrait ´ecrire a0 (A, ω), al (A, ω) et bl (A, ω), les int´egrales (3.5), (3.6) et (3.7)
conduisant alors `
a une formule respective. Nous n’insisterons pas sur cette
pr´ecision de notation, sauf lorsque cela est vraiement indispensable.
3.2.2 Equivalent du premier harmonique
Bien que tous les termes de la s´erie soient n´ecessaires pour repr´esenter
exactement la sortie y(t), ceux associ´es aux hautes harmoniques n’ont pas


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