Bases regulateur PID .pdf



Nom original: Bases_regulateur_PID.pdfTitre: Régulateur PID

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Plan

Régulateur PID

Octobre 2010

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1 / 35

Plan

Plan

1

Mise en contexte

2

Actions proportionnelle, intégrale et dérivée

3

Ajustement par les méthodes de Ziegler-Nichols

4

Quand utiliser un régulateur PI ou PID

5

Récapitulation

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Mise en contexte
Actions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-Nichols
Quand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation

Motivation
Structure de régulateur la plus utilisée (95 pourcents des
régulateurs dans les procédés industriels)
Développée initialement par des expériences; approche par
essais et erreurs
P: action proportionnelle à l’erreur de réglage (la plus naturelle)
I: action par intégration ; permet d’annuler l’erreur statique (pour
une référence constante); dégrade généralement la réponse
transitoire
D: action dérivée permet d’améliorer la réponse transitoire grâce
à l’effet d’anticipation

Fonction de transfert de base:
Dbf (p) = kp +

kI
kD p
+
p
pTf + 1

Pôle de filtrage introduit notamment pour rendre la fonction de
transfert propre → réalisable en pratique

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Mise en contexte
Actions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-Nichols
Quand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation

Objectif

Comprendre le rôle des différentes actions P, I et D
Introduire une méthode heuristique d’ajustement des paramètres
kP , kI , kD et sensibiliser à ses limitations

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Mise en contexte
Actions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-Nichols
Quand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation

Régulateur proportionnel (1)
Loi de réglage
u(t) = kP e(t)

soit

Dbf (p) =

U(p)
= kP
E(p)

kP gain proportionnel
Bande proportionnelle (proportionnal band): Pb
Définition: plage d’erreur dans laquelle umin ≤ u(t) ≤ umax
ou encore umax − umin = kP Pb
Si l’on considère umax − umin = 100%, alors
kP =

100
Pb

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Mise en contexte
Actions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-Nichols
Quand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation

Régulateur proportionnel (2)

Effet dans une rétroaction unitaire sur un système du 1er ordre ?
Effet dans une rétroaction unitaire sur un système du 2e ordre
Système réglé G(p) = p2 +ab1 p+a2
kP
Fonction de transfert de la boucle fermée : T (p) = p2 +a1bp+a
2 +kP b
Possibilité de modifier la pulsation naturelle du système mais pas
son facteur d’amortissement
Système de type 0 → erreur statique d’autant plus faible que kP
grand
Augmentation de la fréquence naturelle mène à diminution de
l’amortissement (cf a1 = 2ζωn constant)

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Mise en contexte
Actions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-Nichols
Quand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation

Régulateur à actions proportionnelle et intégrale (PI)
Loi de réglage
u(t) = kP e(t) + kI

Z

t

e(τ )dτ
0

Fonction de transfert du régulateur
Dbf (p) =

U(p)
kI
= kP +
E(p)
p

Boucle fermée obtenue pour un système réglé du premier ordre
K
Système réglé: Y(p) = 1+pτ
(U(p) + W(p))
Régulateur : U(p) = kP (R(p) − Y(p)) + kpI (R(p) − Y(p))
Boucle fermée :

Y(p) =

τ p2

K(kP p + kI )
Kp
R(p)+ 2
W(p)
+ (KkP + 1)p + KkI
τ p + (KkP + 1)p + Kkuniversity-logo
I
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Mise en contexte
Actions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-Nichols
Quand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation

Régulateur à actions proportionnelle et intégrale (PI)

Boucle fermée obtenue pour un système réglé du premier ordre
(suite)
Possibilité de choisir kP et kI pour obtenir des pôles complexes
conjugués
naturelle et l’amortissement requis:
p avec la pulsation
P +1
ωn = KkI /τ et ζ = Kk
2τ ωn
Noter le zéro à l’origine au numérateur de la fonction de transfert
entre W(p) et Y(p) et le gain statique unitaire de la fonction de
transfert entre Y(p) et R(p) → erreur statique nulle vis-à-vis
d’une référence constante et pour une perturbation constante
Système de type 1 vis-à-vis de la référence et de la perturbation
(noter l’action par intégration en amont de la perturbation)

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Mise en contexte
Actions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-Nichols
Quand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation

Régulateur à actions proportionnelle et intégrale (PI)
Boucle fermée obtenue pour un système réglé du deuxième ordre
Système réglé: Y(p) = p2 +ab1 p+a2 (U(p) + W(p))
Equation caractéristique du système en boucle fermée
1 + Dbf (p)G(p) = 1 +

kP p + kI
b
=0
p
p2 + a1 p + a2

soit
p3 + a1 p2 + (a2 + kP b)p + bkI = 0
Possibilité de fixer deux coefficients sur trois
Mêmes propriétés de précision que dans le cas du système du
premier ordre (à démontrer comme exercice)

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Mise en contexte
Actions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-Nichols
Quand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation

Régulateur à actions proportionnelle, intégrale et dérivée
(PID)
Action dérivée proportionnelle à la pente de l’erreur e(t) (action anticipative)
Loi de réglage
u(t) = kP e(t) + kI

Z

t

e(τ )dτ + kD
t0

de(t)
dt

Fonction de transfert du régulateur
Dbf (p) =

U(p)
kI
= kP + + kD p
E(p)
p

Donne une réponse brusque lors d’un changement abrupt de référence →
souvent utile de placer l’action dérivée dans la rétroaction
Z t
dy(t)
u(t) = kP e(t) + kI
e(τ )dτ − kD
dt
0

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Mise en contexte
Actions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-Nichols
Quand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation

Régulateur à actions proportionnelle, intégrale et dérivée
(PID)

Figure: Schémas fonctionnels sans ou avec dérivée de la référence [Franklin
et al., 2010]

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Mise en contexte
Actions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-Nichols
Quand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation

Régulateur à actions proportionnelle, intégrale et dérivée
(PID)
Système réglé: Y(p) = p2 +abp+a (U(p) + W(p))
1
2
Boucle fermée dans le cas où l’action dérivée porte sur e(t)
Y(p) =

b(p2 kD + pkP + kI )
bp
R(p) +
W(p)
DEN(p)
DEN(p)

où DEN(p) = p3 + (a1 + bkD )p2 + (a2 + bkP )p + bkI
Possibilité d’assigner arbitrairement les 3 racines de DEN(p) par
choix de kP , kI et kD
Boucle fermée dans le cas où l’action dérivée porte sur y(t)
Y(p) =

b(pkP + kI )
bp
R(p) +
W(p)
DEN(p)
DEN(p)

Propriétés de précision similaires au régulateur PI

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Mise en contexte
Actions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-Nichols
Quand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation

Régulateur à actions proportionnelle, intégrale et dérivée
(PID)
Rôle du pôle de filtrage
Assure que le régulateur soit réalisable
Evite l’amplification du bruit de mesure
Considérons v(t) = α sin ωO t
Contribution dans l’action dérivée :
kD dv(t)
dt = αkD ω0 cos ωO t
Effet d’autant plus important que ω0 grande
Filtrage du terme dérivé
Dbf (p) = kp +
Valeur de bonne pratique: Tf =

ki
kD p
+
p
pTf + 1

kD
kP N

avec N entre 8 et 20

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Mise en contexte
Actions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-Nichols
Quand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation

Régulateur à actions proportionnelle, intégrale et dérivée
(PID)

Autre paramétrisation courante


1
pTD
Dbf (p) = kP 1 +
+
pTI
1 + pTD /N
Equivalence:
Constante de temps de l’action par intégration TI = kP /kI
Constante de temps de l’action dérivée TD = kD /kP
N entre 8 et 20

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Mise en contexte
Actions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-Nichols
Quand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation

Régulateur à actions proportionnelle, intégrale et dérivée
(PID)
Illustration des effets P, I et D; régulation de vitesse d’un moteur à
courant continu [Franklin et al., 2010]
(a) Réponse à un échelon de perturbation
(b) Réponse à un échelon de consigne

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Mise en contexte
Actions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-Nichols
Quand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation

Méthode basée sur la réponse indicielle(1)
Représentation de la réponse indicielle sous la forme d’un système intégrateur
−pL
Y(p)
avec temps mort U(p)
= AeLp

Ajustement des paramètres du régulateur pour obtenir une réponse avec un
facteur de décroissance d égal à 0.25

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Mise en contexte
Actions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-Nichols
Quand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation

Méthode basée sur la réponse indicielle(2)
Règles d’ajustement des paramètres
Pour un régulateur proportionnel
kP = 1/A
Pour un régulateur PI


kP = 0.9/A
TI = 3L

Pour un régulateur PID

 kP = 1.2/A
TI = 2L

TD = L/2

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Mise en contexte
Actions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-Nichols
Quand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation

Méthode basée sur la réponse indicielle (3)
1
Exemple d’application au système décrit par G(p) = (p+1)
3
A = 0.218, L = 0.806 → kP = 5.50, Ti = 1.61, Td = 0.403
[Aström et Hagglund, 1995]

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Mise en contexte
Actions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-Nichols
Quand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation

Méthode basée sur la réponse indicielle (4)

Faible amortissement car d = 0.25 équivaut à ζ ≃ 0.21
Dépassement indiciel important
Meilleure réponse vis-à-vis d’une perturbation abrupte (en
échelon) que vis-à-vis d’un échelon de consigne

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Mise en contexte
Actions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-Nichols
Quand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation

Méthode de la sensibilité ultime (1)
Boucle fermée à rétroaction unitaire; régulateur proportionnel
Augmenter le gain du régulateur jusqu’à l’apparition d’une oscillation
entretenue (une paire de pôles sur l’axe imaginaire pour la boucle fermée)
→ Gain ultime kP = Ku ; Période ultime Tu

Figure: Expérience pour la détermination de Tu et Ku [Franklin et al., 2010]

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Actions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-Nichols
Quand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation

Méthode de la sensibilité ultime (2)
Règles d’ajustement des paramètres
Pour un régulateur proportionnel
kP = 0.5Tu
Pour un régulateur PI


kP = 0.4Ku
TI = 0.8Tu

Pour un régulateur PID

 kP = 0.6Ku
TI = 0.5Tu

TD = 0.125Tu

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Actions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-Nichols
Quand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation

Méthode de la sensibilité ultime (3)
1
Exemple d’application au système décrit par G(p) = (p+1)
3
Ku = 8, Tu = 3.63 → kp = 4.8, TI = 1.81, TD = 0.45 [Aström et
Hagglund, 1995]

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Quand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation

Méthode de la sensibilité ultime (4)

kP généralement plus faible par la méthode de la sensibilité
ultime que par l’approche basée sur la réponse indicielle →
dépassement indiciel plus faible mais encore fort important
kP important → faibles marges de stabilité
Requiert mise en oscillation de la boucle fermée

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Actions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-Nichols
Quand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation

Quand utiliser un régulateur PI

Action dérivée peu fréquemment utilisée pour la régulation des
procédés industriels
Approprié pour les systèmes réglés dont le comportement
transitoire est proche de celui d’un système du premier ordre
Approprié pour les systèmes d’ordre supérieur s’il n’est pas
nécessaire d’atteindre des performances élevées

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Quand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation

Quand utiliser un régulateur PID

Approprié pour les systèmes réglés dont le comportement
transitoire est proche de celui d’un système du deuxième ordre
Intérêt de l’action dérivée apparaît en particulier quand les
constantes de temps sont significativement différentes (ex:
régulation de température)
Pour les systèmes d’ordre supérieur à 2, l’action dérivée permet
d’améliorer la rapidité de la réponse par rapport à la réponse
obtenue avec un PI. L’amélioration du facteur d’amortissement
permet d’augmenter le gain proportionnel

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Actions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-Nichols
Quand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation

Quand un régulateur plus sophistiqué est-il requis ? (1)
Sytème d’ordre élevé et performances exigentes
1
Exemple : G(p) = (p+1)
3
Comparaison des résultats obtenus par un régulateur PID et un régulateur de
type RST (régulateur à deux degrés de liberté) [Aström et Hagglund, 1995]

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Mise en contexte
Actions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-Nichols
Quand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation

Quand un régulateur plus sophistiqué est-il requis ? (2)
Sytème avec un temps mort important par rapport à sa constante de temps
dominante
Exemple : dy(t)
= −0.5y(t) + 0.5u(t − 4)
dt
Comparaison des résultats obtenus par un régulateur PI et un prédicteur de
Smith [Astrom et Hagglund, 1995]

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Mise en contexte
Actions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-Nichols
Quand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation

Quand un régulateur plus sophistiqué est-il requis ? (3)

Systèmes avec modes oscillants peu amortis
Régulateur PID peut suffire si il y a une seule paire de pôles
complexes conjugués peu amortis dans la bande passante
souhaitée pour la boucle fermée
Besoin d’un ajustement de TI et de TD spécifique (voir
ultérieurement utilisation d’un correcteur ”notch”)

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Mise en contexte
Actions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-Nichols
Quand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation

Récapitulation

Augmenter le gain proportionnel réduit l’erreur staitique, mais
un grand gain déstabilise presque toujours la boucle fermée et
sollicite fortement les actionnneurs (cf bruit de mesure)
L’action par intégration annule l’erreur statique vis-à-vis d’une
perturbation constante et/ou d’une référence constante mais a un
effet déstabilisant
L’action dérivée augmente l’amortissement et a un effet
stabilisant
Loi de réglage PID


kI
U(p) = kP + + kD p E(p)
p
ou


1
U(p) = kP 1 +
+ TD p E(p)
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TI p
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Mise en contexte
Actions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-Nichols
Quand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation

Récapitulation

Méthode de Ziegler Nichols permet un premier ajustement
rapide sur la base du relevé de la réponse indicielle du système
réglé ou d’une expérience en boucle fermée
Méthode de Ziegler Nichols résulte en une boucle fermée avec
un amortissement faible et de faibles marges de stabilité
Méthode heuristique plus performante : méthode κ-τ [Aström et
Hagglund, 1995]
Meilleures performances que la régulation PID possibles pour un
système réglé d’ordre élevé, un système avec temps mort
important ou un système avec modes oscillants peu amortis

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