ExeRevMath5Chap2 .pdf

ANALYSE COMPLEXE
Chapitre II

RAPPELS SUR LA GÉOMÉTRIE DANS LE PLAN COMPLEXE

EXERCICES DE RÉVISIONS : ANALYSE COMPLEXE-CHAPITRE II
Quelques Courbes du Plan et leurs Équations
y

y

y

b

a

a

x

Droite: x = a.

Droite: y = a.

y

x

−b
a

x

Droite: y = ax + b.

y
a

b

a
F1 (x0 , y0 ) F2

(x0 , y0 )

x
x0 )2 + (y

Cercle: (x

x

y0 )2 = a2 :

Ellipse:

2

(x

x0 )
a2

2

(y

+

y0 )

y

y
b
a F2
(x0 , y0 )

F1

a

F

(x0 , y0 )

x

x
Hyperbole:

= 1.

b2

2

(x

x0 )

2

(y

y0 )

a2

b2

= 1.

Parabole: y

y0 =

(x

2

x0 )
:
4a

Autres positions de l’hyperbole et de la parabole
y

y

y
F2

F2

a

a

y
(x0 , y0 )

a
F

x

a

x
F1

F1

a
xy = p :
2

y

(x0 , y0 )

xy =

a
p :
2

F

x

y

y0 =

(x

a

(x0 , y0 )

x

2

x0 )
: x
4a

F

x0 =

(y

x
2

y0 )
: x
4a

x0 =

(y

2

y0 )
:
4a

Transformations Conformes du Plan complexe
Si une transformation de la variable z du plan complexe garde les angles inchangés
elle est appelée transformation conforme.
(Une transformation z = f (z) est conforme si f est une fonction holomorphe (Voir Chap.III))
F. HAMMAD

http://exerev.yolasite.com

-

http://sites.google.com/site/exerev

E X E R C I C E S D E R É V I S I O N S : A N A LY S E C O M P L E X E - C H A P.I I ( F . H A M M A D )

U N IV E R S IT É A .M IR A D E B E J A IA 2 0 0 9 -2 0 1 0

1) LIEUX GÉOMÉTRIQUES DU PLAN COMPLEXE
1.1 Représenter les lieux géométriques dé…nis par chacune des équations suivantes
a) jz

3

2ij = 2.

d) jz

3j = jz

g) arg(z) =

3

b) jz 3 + ij + jz + 1+ij = 6.
p
z 2i
= 3.
e)
z+1

ij.

c) jz + 4+ij

Solution :
i) jz 3 2ij = 2 ) q
j(x

3) + i(y

2+ij =

i) arg(

2z + 3
3
)=
[ ].
z+i
4

2)j = 2

2

4.

f) jzj = 3 et 0 6 arg(z)< 2 .

h) arg(z) = [ ].
3

.

jz

y

2

) (x 3) + (y 2) = 2
2
2
) (x 3) + (y 2) = 4:

2

(3 ,2 )

2

Les lieux géométriques sont les points du cercle de rayon 2 et de centre (3,2).
b) jz

3+ij + jz + 1+ij = 6 ) q
j(x
)

3) + i(y + 1)j + j(x +q
1)+i(y + 1)j = 6
2

2

2

(x 3) + (y + 1) = 6
(x 1)2
(y + 1)2
)
+
= 1.
9
5

x

3

y
5

2

(x + 1) +(y + 1)

(1,−1)

x

3

p

Les lieux géométriques sont l’ellipse de centre (1, 1) et demi-axes a=3, b= 5:
c) jz + 4 + ij

jz

2+ij =

4 )q
j(x + 4) + i(y + 1)j
)

2

2

j(x

(x + 4) + (y + 1) =
(x + 1)2
(y + 1)2
)
= 1:
4
5

2)
q+ i(y + 1)j = 4
2
2
4+ (x 2) + (y + 1)

y
5

F1

Les lieux géométriques sont une branche d’hyperbole (la branche autour du
foyer ( 4, 1)). Le centre
de l’hyperbole est ( 1, 1). Ses asymptotes ont
p

les pentes

d) jz

b
=
a

3j = jz

ij ) q
jx

3+iyj = jx+i(y
q 1)j
2

) (x 3) + y 2 =
) y = 3x 4:

p
z 2i
= 3 ) jz
z+1
q

2ij =

(− 1,−1)

y
2

x2 + (y 1)

tan θ = 3

−4

4
3

4.

p

3 jz + 1j
p q
2
2
) x2 + (y 2) = 3 (x+1) + y 2
15
2
2
) (x + 23 ) + (y + 1) =
.
4

x

y

x

15 2

(− 3 2 ,−1)

Les lieux géométriques sont les points du cercle de centre (
et de rayon

2

5
.
2

Les lieux géométriques sont les points de la droite d’équation y = 3x

e)

(−4,−1)

p

15
.
2

3
; 1)
2

y

f) jzj = 3 et 0 6 arg(z) < .

2

Les lieux géométriques sont les points du quart-de-cercle de centre (0,0)
et de rayon 3. Le point (0,1) correspondant à arg(z) =

2

est exclu.

3

x

F2

x

2

E X E R C I C E S D E R É V I S I O N S : A N A LY S E C O M P L E X E - C H A P.I I ( F . H A M M A D )

U N IV E R S IT É A .M IR A D E B E J A IA 2 0 0 9 -2 0 1 0

y
=
x
3p
) y = x tan = 3x.
3
Les lieux géométriques
sont les points de la demi-droite (à partir du centre)
p
d’équation y = 3x.

g) arg(z) =

3

y

) arctan

π

3

x
y

y
h) arg(z) = [ ] ) arctan = [ ] (=
+k )
3
x
3 p
3
) y = x tan = 3x.
3

π 3+π

Les lieux géométriques sont les points de la droite entière d’équation y =

i) arg(

3

p

π

3

x

3x.

2z + 3
3
2x + i2y + 3
3
)=
[ ] ) arg[
]= [ ]
z+i
4
x + i(y + 1)
4
) arg[

(2x + i2y + 3)(x

i(y + 1))
2

x2

+ (y + 1)
2x + 3x + 2y 2 + 2y

]=

3
[ ]
4

y

2

i(2x + 3y + 3) 3
]= [ ]
2
4
x2 + (y + 1)
2x + 3y + 3
3
) arctan[
]=
[ ]
2x2 + 3x + 2y 2 + 2y
4
2x + 3y + 3
)
= 1
2x2 + 3x + 2y 2 + 2y
1 2
1 2
13
) (x + ) +(y
) =
.
4
4
8
r
1 1
13
Les lieux géométriques sont les points du cercle de centre (
; ) et de rayon
.
4 4
8
) arg[

(−

1 1
, )
4 4

x

2) DOMAINES GÉOMÉTRIQUES DU PLAN COMPLEXE
2.1 Représenter le domaine du plan complexe correspondant à chacun des cas suivants
a) jz
d)jz

3ij < 2:
1

2ij 6 2 et

g) Im(z) > 0.

6

< arg(z) 6

b) jz

3.

1

ij > 1:

e) 1 6 jzj 6 2 et 0 6 arg(z) <

c) 2 < jz + 1j + jz
.

f) 0 6 arg(z) 6

y
Solution :
a) Le domaine géométrique est un disque de centre (0,3) et de rayon 2.
2
La bordure du disque est exclue (<2). ( jz 3ij < 2 , x2 + (y 3) < 4)

2
(0 ,3)

x
y

b) Le domaine géométrique est tout le plan complexe à l’exclusion du disque
de centre (1,1) et de rayon 1. La bordure du disque est incluse ( > 1.)

1

(1 ,1 )

1

x

y
c) Le domaine géométrique est une couronne elliptique de demi-grand
axe interne 1 et de demi-grand axe externe 3/2. Le centre de la couronne est (0,0) La bordure interne de la couronne est exclue. (>2)
Les foyers sont ( 1,0) et (1,0).

3 2
1

x

4.

1j 6 3.

E X E R C I C E S D E R É V I S I O N S : A N A LY S E C O M P L E X E - C H A P.I I ( F . H A M M A D )

U N IV E R S IT É A .M IR A D E B E J A IA 2 0 0 9 -2 0 1 0

y

π

2

d) Le domaine géométrique est une portion du disque de rayon 2 et de
centre (1,2), comprise entre les angles 6 et 3 .
La bordure inférieure de la portion est exclue. (> 6 )

π

(1,2 )

4

3

6

x
y

e) Le domaine géométrique est une demi-couronne circulaire de
centre (0,0) et de rayon interne 1 et externe 2. Les points arg(z )=

exclus.

2

1

x

y y=x

f) Le domaine géométrique est toute la partie du plan complexe comprise
entre les demi-droites y =0 et y =x. Les demi-droites incluses.

π

4

x

y

g) Le domaine géométrique est toute la partie supérieure du plan complexe,
la droite réelle y =0 est incluse. ( > 0)

x

3) APPLICATIONS CONFORMES DU PLAN COMPLEXE
3.1 Soit w(z) = z 4 une application du plan complexe (x; y) vers le plan complexe
(u; v).
p
a) Représenter l’image par w(z) du cercle de centre (0; 0) et de rayon 2.
b) Trouver le nombre de tours e¤ectués par l’image w d’un point z lorsque celui-ci
e¤ectue un tour complet.
Solution :
p
a) Dans le plan (x; y ) ce cercle est dé…ni par les points z tels que jzj = 2. Par conséquent son image
4
sont les points w tels que: jwj = z 4 = jzj = 4: qui est un cercle de centre (0,0) et de rayon 4.

p

b) Prenons un point z 1 = 2ei du cercle. p
Son image est w1 = (z1 )4 = 4ei4 .
Après un tour complet z1 devient z2 = 2ei( +2 ) = ei2 z1 :
L’image de z2 est w2 = (z2 )4 = (ei2 z1 )4 = ei4 2 w1 . L’image a donc e¤ectué 4 tours complets.

3.2 Soit w(z)=2z + 1 une application du plan complexe (x; y) vers le plan complexe (u; v).
Représenter dans le plan (u; v) l’image par w(z) de la circonférence d’équation x2 + y 2 = 1.
Solution :
On a w = 2z + 1 = 2(x + iy) + 1 ) u = 2x + 1 ; v = 2y:
Trouvons l’image dans le plan (u; v ) de la circonférence x2 + y 2 = 1.
Pour celà il faut éliminer x et y dans l’équation de la circonférence et
la transformer en une équation uniquement en u et v :

v2
+
= 1 =) (u 1)2 + v 2 = 4:
x2 + y 2 = 1 =)
4
4
Ceci est l’équation d’un cercle: Donc l’image dans le plan (u; v)
est un cercle de centre (1; 0) et de rayon 2:
(u

1)2

x2 + y2 =1

v

y

(u −1)2 +v2 =4

W
2

1
x

1

u

E X E R C I C E S D E R É V I S I O N S : A N A LY S E C O M P L E X E - C H A P.I I ( F . H A M M A D )

5

U N IV E R S IT É A .M IR A D E B E J A IA 2 0 0 9 -2 0 1 0

3.3 Soit w(z)=z 2 + 1 une application du plan complexe (x; y) vers le plan complexe (u; v).
Représenter l’image par w(z) du rectangle de sommets A(2; 1); B(3; 1); C(3; 3); D(2; 3).
(Remarquer la conservation des angles.)

Solution :
On a w = z 2 + 1 = x2 y 2 + 1 + i2xy ) u = x2 y 2 + 1.
v = 2xy.
Trouvons l’image dans le plan (u,v ) des sommets A, B, C, D.
A(2,1) ! A(4,4). B (3,1) ! B (9,6). C (3,3) ! C (1,18). D (2,3) ! D ( 4,12).
Trouvons l’image dans le plan (u,v ) des droites (AB ), (BC ), (CD ), (DA).
2
u = x2
) u = v4 .
v = 2x
2
u = 10 y 2
) u 10 = v36 .
v = 6y
2
u = x2 8
) u + 8 = v36 .
v = 6x
2
u = 5 y2
) u 5 = v16 :
v = 4y

(AB ): y = 1 !
(BC ): x = 3 !
(CD ): y = 3 !
(DA): x = 2 !

v
y

C( 1,18 )

w

( 2,3 )
D

D

C ( 3,3 )

( −4 ,12 )

A

B ( 3,1 )

( 2,1 ) A

B( 9,6 )
( 4 ,4 )

u

x

3.4 Soit f (z) = z 2 + z une application du plan complexe (x; y) vers le plan complexe (u; v).
Représenter l’image par f (z) du triangle de sommets A(0; 0); B(2; 2); C(0; 2).
(Remarquer la conservation des angles et véri…er cette conservation sur l’angle droit au point C.)

Solution :
On a f = z 2 + z = x2 y 2 + x + i(2xy + y) ) u = x2 y 2 + x.
Trouvons l’image dans le plan (u,v ) des sommets A, B, C.
A(0,0) ! A(0,0). B (2,2) ! B (2,10). C (0,2) ! C ( 4,2).
Trouvons l’image dans le plan (u,v ) des droites (AB ), (BC ), (CA).

u=x
2
) v + 81 = 2(u+ 14 ) .
v = 2x2 + x
u = x2 4 + x
v2
) u + 17
4 = 16 .
v = 4x + 2
u = y2
) u = v2 .
v=y

(AB ): y = x !
(BC ): y = 2 !
(CA): x= 0 !

L’angle initiale au point C est

tanC =

tanCB tanCA
1 + tanCB tanCB

C

2

8
v

1

1
2v
8 1
v : 2v C

+

y
( 0 ,2 )C

v

w

B( 2,10 )

( −4 ,2 )

B( 2,2 )

A ( 0 ,0 )

: Pour trouver l’angle au point image

C

x

( 0 ,0 )

A

u

C , calculons sa tangente en utilisant

: Où tanCB et tanCA sont les tangentes aux courbes CB et CA respectivement.

dv
: En di¤érentiant l’équation de chacune des courbes on obtient:
du
2vdv
dv
8
(CB ) ! du =
)
= :
16
du
v
dv
1
(CA) ! du = 2vdv )
=
:
du
2v
8
+1
= 2 8 41 = 1: L’angle au point image C est donc bien égale à :
2
1 2:4 C

La tangente à une courbe v=f (u) est donnée par

Donc, tanC =

v = 2xy + y.

E X E R C I C E S D E R É V I S I O N S : A N A LY S E C O M P L E X E - C H A P.I I ( F . H A M M A D )

6

U N IV E R S IT É A .M IR A D E B E J A IA 2 0 0 9 -2 0 1 0

3.5 Soit f (z)=z 2 une application du plan complexe (x; y) vers le plan complexe (u; v).
Représenter l’image par f (z) du domaine D délimité par les courbes d’équations:
y = 2; y = 3; xy = 2; xy = 3: (Remarquer la conservation des angles.)
Solution :
On a f =z 2 = x2 y 2 + i2xy ) u = x2 y 2 et v = 2xy .
Trouvons l’image dans le plan (u,v ) de chacune des courbes.
2

u=x
4
)u+4=
v = 4x
2
u=x
9
y= 3 !
)u+9=
v = 6x
xy = 2 ! v = 4: (une droite)
xy = 3 ! v = 6: (une droite)
y= 2 !

v2
16 .

(une parabole)

v2
36 .

(une parabole)

y

y=3

y=2

w

C
D

B

C
D

B

v

A

v=4

xy = 3

A

xy = 2

−9

x

u+9 =

v

v=6

−4

u

2

u+4 =

36

v

2

16

3.6 Soit w(z) = ln z une application du plan complexe (x; y) vers le plan complexe (u; v).
Représenter l’image par w(z) du domaine dé…ni par 26 jzj 6 3.
Solution :
Le domaine du plan complexe (x,y ) est la couronne de centre (0,0),
et de rayon interne 2 et externe 3.
On a z = rei ) w= lnr + i ) u = ln r et v = :
D’autre part, on a 2 6 jzj 6 3 ) 26r 6 3.
Donc l’image dans le plan (u,v ) sont les points w = u + iv tels que:
ln2 6 u 6 ln3 et 0 6 v 6 2 : qui est un rectangle.

v

y
w
2 3

2π

0

x

ln 2 ln 3

3.7 Soit w(z) = 1=z une application du plan complexe (x; y) vers le plan complexe (u; v).
Représenter l’image par w(z) du domaine dé…ni par jzj > 2.
Solution :
Le domaine du plan complexe (x,y ) est tout le plan privé du disque
de centre (0,0) et de rayon 2. La bordure du disque est incluse.
Comme jwj = 1= jzj ,la condition jzj > 2 nous donne jwj 6 1=2:
L’image dans le plan complexe (u,v ) sont les points w tels que:
jwj 6 1/2: qui est un disque de centre (0,0) et de rayon 1/2.
La bordure est incluse.

y

w

v
1

2

x

2

u

u