Fichier PDF

Partage, hébergement, conversion et archivage facile de documents au format PDF

Partager un fichier Mes fichiers Convertir un fichier Boite à outils Recherche Aide Contact



Geometrie 2009 .pdf



Nom original: Geometrie_2009.pdf
Titre: Géométrie élémentaire
Auteur: Mohamed HOUIMDI

Ce document au format PDF 1.4 a été généré par / L'auteur plainpages, et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 08/03/2013 à 02:18, depuis l'adresse IP 196.206.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 3354 fois.
Taille du document: 1.3 Mo (79 pages).
Confidentialité: fichier public




Télécharger le fichier (PDF)









Aperçu du document


GEOMETRIE ELEMENTAIRE
Mohamed HOUIMDI
Université Cadi Ayyad
Faculté des Sciences Semlalia
Département de Mathématiques

F IGURE 1 – Droite d’Euler

0

M.HOUIMDI

Page 2 sur 78

Table des matières

1

2

3

Espaces affines
1.1 Définition et propriètés élémentaires . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Règles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Proprièté du parallélogramme . . . . . . . . . . . . .
1.2 Sous-espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Sous-espace affine engendré par un ensemble de points
1.2.3 Intersection de deux sous-espaces affines . . . . . . .
1.2.4 Parallélisme de deux sous-espace affines . . . . . . . .
1.3 Barycentre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Fonction vectorielle de Leibnitz . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Définition et prooprièté du barycentre . . . . . . . . .
1.4 Espaces affines de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Repère affine - Coordonnées barycentriques . . . . . .
1.4.2 Repère cartésien - Coordonnées cartésiennes . . . . .
1.4.3 Représentation paramétrique d’un sous-espace affine .
1.4.4 Représentation cartésienne d’un sous-espace affine . .
1.5 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

5
5
6
7
7
7
8
9
11
12
12
13
16
16
19
19
21
23

Applications affines
2.1 Propriètés caractéristiques d’une application affine . . . . . .
2.1.1 Définition et propriètés élémentaires . . . . . . . . . .
2.1.2 Représentation analytique d’une application affine . .
2.1.3 Composée de deux applications affines - Groupe affine
2.1.4 Points fixes d’une application affine . . . . . . . . . .
2.2 Exemples d’applications affines . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Homothétie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Projection affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Symétrie affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

29
29
29
30
31
32
33
33
35
38
42
47

Espace affine euclidiens
3.1 Notions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Repère orthonormé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Sous-espaces affines orthogonaux . . . . . . . . . . . . .
3.4 Hyperplan médiateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Perpendiculaire commune et distance de deux droites de E3

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

51
51
52
53
54
56

3

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

0

M.HOUIMDI

3.6

3.7
3.8

3.9

3.5.1 Distance de deux droites de E3 . . . . . . . . . .
Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2 Distance d’un point à un sous-espace affine . . .
3.6.3 Distance d’un point à une droite affine de E3 . .
3.6.4 Distance d’un point à un plan affine affine de E3
Symétrie orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Isométries affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.1 Définition et propriètés de base . . . . . . . . . .
3.8.2 Isométrie du plan affine euclidien . . . . . . . .
3.8.3 Isométries de l’espace affine de dimension 3 . . .
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Page 4 sur 78

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

57
59
59
61
62
63
64
65
65
68
70
75

Chapitre

1

Espaces affines
1.1

Définition et propriètés élémentaires

Définition 1
Soient E un R-espace vectoriel et E un ensemble quelconque, non vide. On dit que E est un
espace affine attaché à E (ou de direction E), s’il existe une application

E × E −→ E



(A, B) 7−→ AB

vérifiant les propriètés suivantes :
i) Pour tout A ∈ E , l’application

E −→ E

−→
M 7−→ AM

est bijective.

ii) Relation de Chasles :

→ −
→ −

∀A ∈ E , ∀B ∈ E , ∀C ∈ E , BC = BA + AC
Un espace affine E est dit de dimension finie, si sa direction est de dimension finie. Dans ce cas,
la dimension de E est égale à celle de sa direction.
Remarque 1
Si E est un espace affine de direction E, alors les éléments de E sont appelés des points et sont désignés par des lettres majuscules A, B,C, D, M, N, P, . . . . Tandis que les éléments de E sont appelés des
− − →

− →
− →

vecteurs et sont désignés par des lettres minuscules surmontées d’une flêche i , j , k , →
u ,−
v ,→
w ,....
Exemples 1
1. Si dim(E) = 1, on dit que E est une droite affine.
2. Si dim(E) = 2, on dit que E est un plan affine.
3. Tout R-espace vectoriel E, peut-être considéré, canoniquement, comme un espace affine attaché
à lui même, lorsqu’on considère l’application suivante :
E × E −→ E


(a, b) 7−→ ab = b − a
qui vérifie les conditions de la définition.
C’est pour cela que les éléments d’un R-espace vectoriel sont considérés, selon les situations,
comme des points ou comme des vecteurs.
5

1

1.1.1

M.HOUIMDI

Règles de calcul

Soit E un espace affine attaché à l’espace vectoriel E, alors
a)

−→ −→
∀M ∈ E , ∀N ∈ E , AM = AN =⇒ M = N

b)


→ →

∀A ∈ E , ∀B ∈ E , AB = 0 ⇐⇒ A = B

c)





∀A ∈ E , ∀B ∈ E , BA = −AB

d)


→ −
→ −

∀A ∈ E , ∀B ∈ E , ∀C ∈ E , BC = AC − AB


e) Pour tout point A ∈ E et pour tout vecteur →
u ∈ E, il existe un unique point M ∈ E , tel que
−→ →
AM = −
u

→ −

f) Si A et B sont deux points de E , alors il exite un unique vecteur →
u ∈ E, tel que AB = →
u.
Preuve
a) D’après la première proprièté de la définition, l’application

E −→ E

−→
M 7−→ AM

est bijective.

Donc cette apploication est injective, par suite, on a le résultat.
b) (⇐=) D’aprè la relation de Chasles, pour tout A ∈ E , on a

→ −
→ −

AA + AA = AA


→ →

donc AA = 0 .

(=⇒)

→ →

→ −


AB = 0 =⇒ AB = AA
=⇒ B = A

→ →

c) Pour tout A ∈ E , on a AA = 0 , donc d’après la relation de Chasles, pour tout B ∈ E , on a

→ −
→ →





AB + BA = 0 , par suite, BA = −AB.
d) Pour A, B et C éléments de E , on a, d’après Chasles,

→ −
→ −


→ −

BC = BA + AC = −AB + AC
e) Lorsque on fixe un point A, l’aplication

E −→ E

−→
M 7−→ AM

est bijective.

−→ −

Donc pour tout →
u ∈ E, il existe un unique M ∈ E , tel que AM = →
u.
Page 6 sur 78

1

M.HOUIMDI

1.1.2

Proprièté du parallélogramme

Proposition 1
Soient A, B, C et D quatre points d’un espace affine E . Alors les propriètés suivantes sont équivalentes,

→ −→
i) AB = CD.

→ −→
ii) AC = BD.

→ −
→ −→
iii) AB + AC = AD.
Si quatre points A, B, C et D vérifient l’une des trois propriètés équivalentes, précédentes, on dit
que A, B, C et D forment un parallélogramme.
Preuve
i) ⇐⇒ ii)

→ −→
AB = CD ⇐⇒
⇐⇒


→ −
→ −
→ −→
AC + CB = CB + BD

→ −→
AC = BD

i) ⇐⇒ iii)

→ −→
AB = CD ⇐⇒
⇐⇒

1.2

Sous-espaces affines

1.2.1

Définition et exemples


→ −→ −

AB = AD − AC

→ −
→ −→
AB + AC = AD

Définition 2
Soit E un espace affine attaché à E. On dit qu’une partie non vide F de E est un sous-espace
affine de E , s’il existe un point A ∈ F et il existe un sous-espace vectoriel F de E, tels que
−→
∀M ∈ E , M ∈ F ⇐⇒ AM ∈ F
Dans ce cas, on dit que F est le sous-espace affine de E passant par le point A et de direction le
sous-espace vectoriel F.
Exemples 2
1. Pour tout point A ∈ E , le singleton {A} est un sous-espace affine de E . C’est le sous-espace


affine de E passant par A et de direction F = { 0 }.
2. Soit E un R-espace vectoriel, alors pour tout sous-espace affine F de E, il existe un point a ∈ E
et il existe un sous-espace vectoriel F de E, tels que,

F = a+F
Donc, en particulier, tout sous-espace vectoriel de E peut-être considéré comme un sous-espace
affine de E, tandis que la réciproque n’est pas toujours vraie.
En effet, si F est un sous-espace affine de E, alors, par définition, il existe a ∈ F et il existe un
sous-espace vectoriel de E, lel que
∀x ∈ E, x ∈ F ⇐⇒ x − a ∈ F ⇐⇒ x ∈ a + F
Donc F = a + F.
Page 7 sur 78

1

M.HOUIMDI
3. Soit F un sous-espace affine de E passant par A et de direction F.

i) Si dim(F) = 1 avec F = Vect(→
u ), on dit que F est la droite affine de E passant par A et de


vecteur directeur →
u . On la note D(A, →
u ), donc pour M ∈ F on aura
−→ −

M ∈ D(A, →
u ) ⇐⇒ (AM, →
u ) est lié
−→

⇐⇒ ∃α ∈ R : AM = α→
u


ii) Si dim(F) = 2 avec F = Vect({→
u ,→
v }), on dit que F est le plan affine passant par A et de




vcteurs directeurs →
u et →
v . On le note P(A, →
u ,→
v ), donc pour M ∈ F on aura
−→ − →


M ∈ P(A, →
u ,→
v ) ⇐⇒ (AM, →
u ,−
v ) est lié
−→


⇐⇒ ∃(α, β) ∈ R2 : AM = α→
u + β→
v
iii) Si F est un hyperplan de E, on dit que F est un hyperplan affine de E .

Remarque 2
Soit F un sous-espace affine de E passant par A et de direction F. Alors pour tout point B ∈ F , on a
−→
∀M ∈ E , M ∈ F ⇐⇒ BM ∈ F

1.2.2

Sous-espace affine engendré par un ensemble de points

Définition 3
Soient E un espace affine attaché à E, A une partie non vide de E et A ∈ A . On appelle sousespace affine engendré par A , qu’on note A f f (A ), le sous-espace affine de E passant par le


point A et de direction F = Vect({AB : B ∈ A }).
Remarque 3
A f f (A ) est le plus petit sous-espace affine de E contenant A . C’est à dire, si F est un sous-espace
affine de E qui contient A , alors F contient A f f (A ).
En effet, Fixons un point A ∈ A et désignons par F la direction de F .
Soit M ∈ A f f (A ), alors, par définition, il existe (A1 , A2 , . . . , Am ) ∈ A m et il existe (α1 , α2 , . . . , αm ) ∈
Rm , tels que
m
−→
−→
AM = ∑ αi AAi
i=1

−→
Or, pour tout i ∈ {1, 2, . . . , m}, Ai ∈ F et A ∈ F , donc, pour tout i ∈ {1, 2, . . . , m}, AAi ∈ F, donc
−→
AM ∈ F, par suite, M ∈ F .
Définition 4

→−

Trois points A, B et C d’un espace affine E sont dits non alignés, si le système (AB, AC) est lible.
Remarque 4

→−
→ −
→−


→−

Si A, B et C sont trois points non alignés, alors les systèmes (AB, AC), (BA, BC) et (CA, CB) sont
libres. (à vérifier)
Exemples 3
Soit E un espace affine de direction E.
1. Pour tout point A ∈ E , on a A f f ({A}) = {A}.
Page 8 sur 78

1

M.HOUIMDI
2. Si A et B sont deux points distincts de E , alors A f f ({A, B}) est le sous-espace affine de E pas−

sant par A et de direction Vect(AB). A f f ({A, B}) est donc la droite passant par A et de vecteur


directeur AB. Dans ce cas, A f f ({A, B}) s’appelle la droite passant par les points distincts A et
B, on la note (AB), donc on aura
−→ −

∀M ∈ E , M ∈ (AB) ⇐⇒ (AM, AB) est lié
−→


⇐⇒ ∃α ∈ R : AM = αAB
3. Si A, B et C sont trois points non alignés de E , alors A f f ({A, B,C}) est le sous-espace affine

→−


→−

de E passant par A et de direction Vec({AB, AC}). Puisque le système (AB, AC) est libre, alors

→ −

A f f ({A, B,C}) est le plan affine passant par A de vecteurs directeurs AB et AC. dans ce cas,
A f f ({A, B,C}) s’ppelle le plan affine passant par les trois points non alignés A, B et C, on la
note (ABC), donc on aura
−→ −
→−

∀M ∈ E , M ∈ (ABC) ⇐⇒ (AM, AB, AC) est lié
−→




⇐⇒ ∃(α, β) ∈ R2 : AM = αAB + βAC

1.2.3

Intersection de deux sous-espaces affines

Proposition 2
Soient E un espace affine de direction E, F et G deux sous-espaces affines de E de directions
respectives F et G. Alors l’intersection de F et G , s’il n’est pas vide, est un sous-espace affine
de E de direction F ∩ G.
Preuve
Supposons que F ∩ G 6= 0/ et soit A ∈ F ∩ G , alors on a
M ∈ F ∩ G ⇐⇒ M ∈ F et M ∈ G
−→
−→
⇐⇒ AM ∈ F et AM ∈ G
−→
⇐⇒ AM ∈ F ∩ G
Donc F ∩ G est un sous-espace affine de direction F ∩ G.
Exemples 4
Soit E un espace affine de dimension 3 et de direction E.
1. Si D et D 0 sont deux droites affines de E , alors l’une des propriètés suivantes est vérifiée
/
i) D ∩ D 0 = 0.
ii) D ∩ D 0 est réduite à un seul point.
iii) D = D 0 .
2. Si P et P 0 sont deux plans affines de E , alors l’une des propriètés suivantes est vérifiée
/
i) P ∩ P 0 = 0.
ii) P ∩ P 0 est une droite affine de E .
iii) P = P 0 .
3. Si D est une droite affine de E et P un plan affine de E , alors l’une des propriètés suivantes est
vérifiée
/
i) D ∩ P = 0.
ii) D ∩ P est réduite à un seul point de E .
Page 9 sur 78

1

M.HOUIMDI
iii) D ⊆ P .

Proposition 3
i) Soient E un espace affine quelconque, F et G deux sous-espaces affines de E de directions
respectives F et G. Alors



F ∩ G 6= 0/ ⇐⇒ ∃(A, B) ∈ F × G : AB ∈ F + G

ii) Soient E un espace affine de dimension 3, D une droite affine de E de vecteur directeur →
u




et P un plan affine de E de vecteurs directeurs v et w . Alors D ∩ P est réduite à un seul



point, si et seulement si, le système (→
u ,→
v ,→
w ) est libre.
Preuve
i) (=⇒) Supposons que F ∩ G 6= 0/ et soit Ω ∈ F ∩ G , alors
−→
−→
∀A ∈ F , ∀B ∈ G AΩ ∈ F et BΩ ∈ G
−→ −→
−→ −→ −



donc AΩ − BΩ ∈ F + G avec AΩ − BΩ = AB, donc AB ∈ F + G.


(⇐=) Supposons qu’il existe (A, B) ∈ F × G , tel que AB ∈ F + G, donc il existe

→ − →


(→
u ,→
v ) ∈ F × G, tel que AB = →
u +−
v.
−→ →
−→

Soit M le point de F défini par AM = −
u et N le point de G défini par BN = −→
v , alors
on a
−→ →

→ −→ −
AM = −
u =⇒ AB + BM = →
u
−→


=⇒ BM = − v
−→ −→
=⇒ BM = BN
=⇒ M = N
/
Donc M ∈ F ∩ G , par suite F ∩ G 6= 0.
ii) (=⇒) Supposons que D ∩ P est réduite à un seul point A de E , puis supposons, par absurde,

→ −



que (→
u ,→
v ,→
w ) est lié. Puisque A ∈ D , alors il existe un point B ∈ D , tel que AB = →
u,

→→



donc (AB, v , w ) est lié et puisque A ∈ P , alors B ∈ P , par suite, B ∈ D ∩ P . Ce qui est
absurde, car A 6= B.



(⇐=) Supposons que (→
u ,→
v ,→
w ) est libre. Puisque dim(E) = 3, où E est la direction de E ,









alors ( u , v , w ) est une base de E, donc E = Vect(→
u ) +Vect({→
v ,→
w }).








/
Donc AB ∈ Vect( u ) +Vect({ v , w }), par suite, d’après i), D ∩ P 6= 0.
Supposons que D ∩ P contient plus qu’un point et soient A et B deux points distincts de
D ∩ P , donc on aura
(−


AB = a→
u
avec a 6= 0






AB = b v + c w








donc a→
u − b→
v − c→
w = 0 , avec a 6= 0, par suite, (→
u ,→
v ,→
w ) est lié, ce qui est absurde,
donc D ∩ P est réduite à un seul point.
Remarque 5
Soient E un espace affine quelconque, F et G deux sous-espaces affines de E de directions respectives
F et G.
/
1. Si E = F + G, alors F ∩ G 6= 0.
2. Si E = F ⊕ G, alors F ∩ G est réduit à un seul point.
Page 10 sur 78

1

M.HOUIMDI

1.2.4

Parallélisme de deux sous-espace affines

Définition 5
Soient E un espace affine de direction E, F et G deux sous-espaces affines de directions respectives F et G. On dit que F et G sont parallèles, si F ⊆ G ou G ⊆ F.
Dans le cas où F = G, on dit que F et G sont strictement parallèles.
Si F et G sont parallèles, on note F k G .
Exemples 5
E un espace affine de direction E


1. Soient D = D(A, →
u ) et D 0 = D(B, →
v ) deux droites affines de E , alors


D k D 0 ⇐⇒ (→
u ,→
v ) est lié




2. P = P(A, →
v ,→
w ) et P 0 = P(B, →
v 0, →
w 0 ) deux plans affines de E , alors






P k P 0 ⇐⇒ (→
v ,→
v 0, →
w 0 ) et (→
w ,→
v 0, →
w 0 ) sont liés
Définition 6
Soit E un espace affine, on dit que deux droites D et D 0 de E sont coplanaires, s’il existe un plan
P de E qui contient les droites D et D 0 .
Exemples 6
1. Deux droites parallèles sont toujours coplanaires.
2. Deux droites dont l’intersection n’est pas vide, sont toujours coplanaires.

F IGURE 1.1 – Droites coplanaires

F IGURE 1.2 – Droites non coplanaires
Page 11 sur 78

1

M.HOUIMDI

Théorème 1


Soient E un espace affine de dimension 3, D = D(A, →
u ) et D 0 = D(B, →
v ) deux droites affines
0
de E . On suppose que D et D ne sont pas prallèles, alors, l’une des deux propriètés suivantes
est vérifiée,

→− →
i) Si (AB, →
u ,−
v ) est lié, alors D et D 0 sont coplanaires et dans ce cas, D ∩ D 0 est réduit à un
seul point.

→− →
/
ii) Si (AB, →
u ,−
v ) est libre, alors D et D 0 sont non coplanaires et dans ce cas, D ∩ D 0 = 0.

Preuve


D a pour direction F = Vect(→
u ) et D 0 a pour direction G = Vect(→
v ), donc, d’après la proposition
3, on a


D ∩ D 0 6= 0/ ⇐⇒ AB ∈ F + G

→− →


/
i) Si (AB, →
u ,−
v ) est lié, alors AB ∈ F + G, donc D ∩ D 0 6= 0.

→− →


/
ii) Si (AB, →
u ,−
v ) est libre, donc AB ∈
/ F + G, et puisqiue A et B sont arbitraires, alors D ∩ D 0 = 0.

1.3

Barycentre

1.3.1

Fonction vectorielle de Leibnitz

Définition 7
Soit E un espace affine de direction E.
i) On appelle point pondéré de E , tout couple (A, α), où A ∈ E et α ∈ R.
Dans ce cas, α s’apelle le poids ou la masse de A.
m

ii) Si (A1 , α1 ), (A2 , α2 ), . . . , (Am , αm ) sont des points pondérés de E , alors α =

∑ αi s’appelle

i=1

la masse totale des points pondérés (A1 , α1 ), (A2 , α2 ), . . . , (Am , αm ).

Proposition 4
Soient E un espace affine de direction E et (A1 , α1 ), (A2 , α2 ), . . . , (Am , αm ) des points pondérés
de E . On considère l’application suivante, appelée fonction vectorielle de Leibnitz, définie par,
ϕ : E −→ E
m
−−→
M 7−→ ϕ(M) = ∑ αi MAi
i=1

Alors,
m

i) Si

∑ αi = 0, ϕ est constante.

i=1
m

ii) Si

∑ αi 6= 0, ϕ est bijective.

i=1

Page 12 sur 78

1

M.HOUIMDI

Preuve
i) Soint M et N deux points quelconques de E , alors on a
m

−−→ m −−→
ϕ(M) − ϕ(N) = ∑ αi MAi − ∑ αi NAi
i=1
m

i=1

−−→ −−→
= ∑ αi (MAi − NAi )
i=1
m

=

!

∑ αi

−−→
MN

(d’après la relation de chasles)

i=1
m

Donc si

∑ αi = 0, alors ϕ est constante.

i=1


−−→ →
ii) D’après la relation précédente, si ϕ(M) = ϕ(N), alors MN = 0 , donc M = N, par suite ϕ est
injective.


Soit →
u ∈ E. Montrons qu’il existe M ∈ E , tel que ϕ(M) = →
u.
Pour cela fixons un point A ∈ E , alors d’après la relation de Chasles, on a
!
m
m
m
−→ −→
−→
−→
ϕ(M) = ∑ αi (AAi − AM) = ∑ αi AAi − ∑ αi AM
i=1

i=1

i=1

Donc,

∃M ∈ E : ϕ(M) = →
u ⇐⇒ ∃M ∈ E :

m

m

−→

∑ αiAAi − ∑ αi

i=1

!

−→ →
AM = −
u

i=1

m

−→ −
−→ 1
u)
⇐⇒ ∃M ∈ E : AM = ( ∑ αi AAi − →
α i=1
Donc si on pose
1 m −→ −


u)
w = ( ∑ αi AAi − →
α i=1
−→ −
alors M est l’unique point de E , tel que AM = →
w.
Remarque 6
D’près la proposition précédente, si (A1 , α1 ), (A2 , α2 ), . . . , (Am , αm ) sont des points pondérés de E ,
m

tel que


v ∈ E, il existe un unique point M ∈ E , tel que
∑ αi 6= 0, alors pour tout vecteur →

i=1

m

−−→


v
∑ αiMAi = →

i=1

1.3.2

Définition et prooprièté du barycentre

Définition 8
Soient (A1 , α1 ), (A2 , α2 ), . . . , (Am , αm ) des points pondérés d’un espace affine E de direction E,
tels que,
m

∑ αi 6= 0

i=1

On appelle barycentre des points (A1 α1 ), (A2 , α2 ), . . . , (Am , αm ), l’unique point G de E défini
par
m
−−→ →

∑ αiGAi = 0
i=1

Page 13 sur 78

1

M.HOUIMDI

Remarque 7
1. Soit G le barycentre des points pondérés (A1 , α1 ), (A2 , α2 ), . . . , (Am , αm ), alors pour tout point
A ∈ E , on a
m
−→ 1 m −→
AG = ∑ αi AAi où α = ∑ αi
α i=1
i=1
2. Si α1 = α2 = · · · = αm = 1, on dit que G est l’isobarycentre des points A1 , A2 , . . . , Am ,. Dans ce
cas, on a
−→ 1 m −→
AG = ∑ AAi
m i=1
3. Pour tout λ ∈ R∗ , les points pondérés (A1 , α1 ), (A2 , α2 ), . . . , (Am , αm ) et (A1 , λα1 ), (A2 , λα2 ), . . . , (Am , λαm )
ont même barycentre.
m
1
Donc, si on prend λ = m , on peut toujours supposer que ∑ αi = 1.
i=1
∑ αi
i=1

Exemples 7
soit E un espace affine de direction E.
1. Soient A et B deux points distincts de E , l’ensemble des barycentres des points pondérés (A, α)
et (B, β), avec α ≥ 0 et β ≥ 0, s’appelle le segment joignant les points A et B et se note [A, B].
Donc on aura,
−→

−→ →
M ∈ [A, B] ⇐⇒ ∃(α, β) ∈ R2+ : α + β 6= 0 et αMA + βMB = 0
Puisque pour tout λ ∈ R∗ , les points (A, α) et (B, β) ont même barycentre que les points (A, λα)
1
, on peut supposer que α + β = 1. Ainsi, on aura
et (B, λβ), alors en cosidérant λ =
α+β
−→

−→ →
M ∈ [A, B] ⇐⇒ ∃(α, β) ∈ R2+ : α + β = 1 et αMA + βMB = 0
−→

−→ →
⇐⇒ ∃α ∈ [0, 1] : (1 − α)MA + αMB = 0
−→


⇐⇒ ∃α ∈ [0, 1] : AM = αAB
En particulier, le milieu I du segment [A, B] est caractérisé par,

− →

− →
I est milieu de [A, B] ⇐⇒ IA + IB = 0

→ 1 −→ −→
⇐⇒ ∀O ∈ E , OI = (OA + OB)
2
1−



⇐⇒ AI = AB
2
2. Soient A, B et C trois points non alignés de E , alors A, B et C forment ce qu’on appelle un
triangle qui sera noté ABC, les segments [A, B], [A,C] et [B,C] sont appelés les cotés de ce
triangle. L’isobarycentre G des points A, B et C s’appelle le centre de gravité du triagle ABC,
il est défini par
−→ −→ −→ →

GA + GB + GC = 0
Si donc G est le barycentre du triangle ABC, alor on a
−→ 1 −
→ −
→ −→ 1 −
→ −

−→ 1 −
→ −

AG = (AB + AC), BG = (BA + BC), et CG = (CA + CB)
3
3
3
Page 14 sur 78

1

M.HOUIMDI

Définition 9
On appelle médiane issue de A d’un triangle ABC, la droite (AI) passant par le point A et le
point I milieu de [B,C].
Remarque 8
Un triangle possède trois médianes, (AI), (BJ) et (CK), où I, J et K sont respectivement les milieux
de [B,C], [A,C] et [A, B].

F IGURE 1.3 – Médianes d’un triangle

Théorème 2
Les trois médianes d’un triangle ABC se coupent au centre de gravité G de ce triagle et on a
−→ 2 →
− −→ 2 −
−→ 2 −→

AG = AI, BG = BJ et CG = CK
3
3
3
où I, J et K sont respectivement les milieux de [B,C], [A,C] et [A, B].
Preuve
I, J et K sont respectivement les milieux de [B,C], [A,C] et [A, B], donc on a
1 −


→ −
→ −
→ −

−→ 1 −
→ −

→ 1 −
AI = (AB + AC), BJ = (BA + BC) et CK = (CA + CB)
2
2
2
On en déduit, donc, que
2→
−→ 1 −
→ −


AG = (AB + AC) = AI
3
3
Donc G ∈ (AI). Et de la même manière, on montre que
−→ 2 −
→ −→ 2 −→
BG = GJ et CG = CK
3
3
Donc G ∈ (AI) ∩ (BJ) ∩ (CK).
Page 15 sur 78

1

M.HOUIMDI

1.4
1.4.1

Espaces affines de dimension finie
Repère affine - Coordonnées barycentriques

Repère affine
Définition 10
Soient E un espace affine de direction E, A0 , A1 , . . . , Am des points de E . On dit que le système
−−→ −−→
−−−→
(A0 , A1 , . . . , Am ) est affinement libre, si le système (A0 A1 , A0 A2 , . . . , A0 Am ) est libre.
Exemples 8
1. Si A et B sont deux points distincts de E , alors (A, B) est un système affinement libre.
2. Si A, B et C sont trois points non alignés, alors le système (A, B,C) est affinement libre.
3. Si quatre points A, B, C et D sont affinement libres, on dit qu’ils forment un thétreidre. .

F IGURE 1.4 – Un thétreidre
Définition 11
Soit E un espace affine de direction E, un repère affine de E est un système (A0 , A1 , . . . , An ) de
points de E , tels que
i) E = A f f ({A0 , A1 , . . . , Am })
ii) (A0 , A1 , . . . , Am ) est affinement libre.
Exemples 9
1. Si A et B sont deux points distincts, alors (A, B) est un repère affine de la droite affine (AB)
passant par A et B.
2. Si A, B et C sont trois points non alignés, alors (A, B,C) est une repère affine du plan (ABC)
passant par A, B et C.
Théorème 3
Soit E un espace affine de direction E et de dimension finie = n. Alors E possède au moins un
repère affine.
Page 16 sur 78

1

M.HOUIMDI

Preuve
Soit (e1 , e2 , . . . , en ) une base de E. Fixons un point A0 ∈ E , alors pour tout i ∈ {1, 2, . . . , n}, il existe
−−→ −
un unique point Ai ∈ E , lel que A0 Ai = →
ei . Il est facile de vérifier que E = A f f ({A0 , A1 , . . . , An }) et
que (A0 , A1 , . . . , An ) est affinement libre.
Coordonnées barycentriques
Théorème 4
Soient E un espace affine de dimension finie = n et (A0 , A1 , . . . , An ) un repère affine de E . Alors
pour tout point M ∈ E , il existe un unique (α0 , α1 , . . . , αn ) ∈ Rn+1 , tel que α0 + α1 + · · · + αn = 1
et tel que
n
−−→ →

∑ αiMAi = 0
i=0

Dans ce cas, α0 , α1 , . . . , αn s’appelle les coordonnées barycentriques du point M dans le repère
affine (A0 , A1 , . . . , An ).
Remarque 9
Si (A0 , A1 , . . . , An ) est un repère affine de E , alors pour tout point M ∈ E , il existe un unique
(α0 , α1 , . . . , αn ) ∈ Rn+1 , tel que α0 +α1 +· · ·+αn = 1 et tel que M soit barycentre des points pondérés
(A0 , α0 ), (A1 , α1 ), . . . , (An , αn ).
Preuve
−−→ −−→
−−→
(A0 , A1 , . . . , An ) est affinement libre, donc, par définition, (A0 A1 , A0 A2 , . . . , A0 An ) est libre dans E, or
−−→ −−→
−−−→
dim(E) = n, donc (A0 A1 , A0 A2 , . . . , A0 Am ) est une base de E. Soit M ∈ E , alors il existe un unique
(β1 , β2 , . . . , βn ) ∈ Rn , tel que,
n
−−→
−−→
A0 M = ∑ βi A0 Ai
i=1

n
n
−−→
−−→
−−→
−−→ −−→
A0 M = ∑ βi A0 Ai =⇒ A0 M = ∑ βi (MAi − MA0 )
i=1

i=1
n

−−→
−−→ n −−→ →

=⇒ MA0 + ∑ βi MAi − ∑ βi MA0 = 0
i=1
n

=⇒

i=1
n

!

−−→
−−→ →

1 − ∑ βi MA0 + ∑ βi MAi = 0
i=1

i=1

Posons α0 = 1 − ∑ni=1 βi et ∀i ∈ {1, 2, . . . , n}, αi = βi , alors on aura,
n

n

∑ αi = 1 et

i=0

−−→

∑ αiMAi =



0

i=0

d’où l’existence de α0 , α1 , . . . , αn . Pour l’unicité, on suppose qu’il existe λ0 , λ1 , . . . , λn vérifiant la
même chose que α0 , α1 , . . . , αn , alors on aura
n
n
−−→
−−→
−−→
−−→
A0 M = ∑ αi A0 Ai et A0 M = ∑ λi A0 Ai
i=1

i=1

Donc ∀i ∈ {1, 2, . . . , n}, αi = λi et puisque
n

n

∑ αi = ∑ λi = 1

i=0

i=0

alors on obtient α0 = λ0 .
Page 17 sur 78

1

M.HOUIMDI

Quelques applications des coordonnées barycentriques
Proposition 5
Soit E un plan affine de direction E, muni d’un repère affine (A, B,C). Soient M, N et P trois
points de E , de coordonnées barycentriques respectivement (α, β, γ), (α0 , β0 , γ0 ) et (α00 , β00 , γ00 )
dans le repère (A, B,C). Alors M, N et P sont alignés, si et seulement si,


α α0 α00


β β0 β00 = 0


γ γ0 γ00
Preuve
Puisque α + β + γ = α0 + β0 + γ0 = α00 + β00 + γ00 = 1, alors on a




0

α α0 α00 1 1 1 1
0
0

β − β β00 − β


0
00
0
00
0
00

β β β = β β β = β β − β β − β = 0

γ − γ γ00 − γ


γ γ0 γ00 γ γ0 γ00 γ γ0 − γ γ00 − γ
D’autre part, on a
−→

→ −
→ −→










AM = βAB + γAC, AN = β0 AB + γ0 AC et AP = β00 AB + γ00 AC
Donc









−−→
−→
MN = (β0 − β)AB + (γ0 − γ)AC et MP = (β00 − β)AB + (γ00 − γ)AC

→−

−−→ −→
On sait que M, N et P sont alignés, si et seulement si, (MN, MP) est lié. Puisque (AB, AC) est une
base de E, alors
−−→ −→
−−→ −→
(MN, MP) est lié ⇐⇒ det(MN, MP) = 0
0

β − β β00 − β

=0
⇐⇒ 0
γ − γ γ00 − γ
d’où le résultat.
Théorème 5 (de Ménélaüs)
Soient E un plan affine, ABC un triangle, P, Q et R trois points de E , tels que P ∈ (AB), Q ∈ (BC)


−→

→ −→
et R ∈ (AC) avevc P ∈
/ {A, B}, Q ∈
/ {B,C} et R ∈
/ {A,C}. On suppose que PA = αPB, QB = βQC




et RC = γRA. Alors P, Q et R sont alignés, si et seulement si, αβγ = 1.

Preuve

Page 18 sur 78

1

M.HOUIMDI

E est un plan affine et A, B, C non alignés, donc (A, B,C) est un repère affine de E . P a pour co-

−β
−α
1
1
, 1−α
, 0), Q a pour coordonnées byrycenrtiques (0, 1−β
ordonnées byrycenrtiques ( 1−α
, 1−β
) et R a
−γ
1
pour coordonnées byrycenrtiques ( 1−γ
, 0, 1−γ
). Donc d’après la proposition précédente,



1

0
−γ


0 = 0
P, Q, R sont alignés ⇐⇒ −α 1
0 −β 1
⇐⇒ 1 − γαβ = 0
⇐⇒ αβγ = 1

1.4.2

Repère cartésien - Coordonnées cartésiennes

Définition 12
Soit E un espace affine de direction E et de dimension fine = n. Un repère cartésien de E est






un système (O, →
e1 , →
e2 , . . . , →
en ), où O est un point quelconque de E et (→
e1 , →
e2 , . . . , →
en ) une base
quelconque de E.
Remarque 10
−−→ −−→
−−→
Si (A0 , A1 , A2 , . . . , An ) est un repère affine de E , alors (A0 , A0 A1 , A0 A2 , . . . , A0 An ) est un repère cartésien de E .
Exemples 10


1. Si A et B sont deux points distincts de E , alors (A, AB) est un repère affine de la droite affine
passant par A et B.

→−

2. Si A, B et C sont trois points non alignés de E , alors (A, AB, AC) est un repère cartésien du plan
affine passant par A, B et C.
Définition 13



Soit E un espace affine de dimension finie = n, muni d’un repère cartésien (O, →
e1 , →
e2 , . . . , →
en ).
Donc pour tout point M ∈ E , il existe un unique (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn , tel que,
n
−−→

OM = ∑ xi →
ei
i=1

Dans ce cas, x1 , x2 , . . . , xn s’appellent les coordonnées cartésiennes du point M par rapport au



repère cartésien (O, →
e1 , →
e2 , . . . , →
en ).

1.4.3

Représentation paramétrique d’un sous-espace affine




Soit E un espace affine de dimension finie = n, muni d’un repère cartésien (O, →
e1 , →
e2 , . . . , →
en ). Soit
F un sous-espace affine de E , passant par le point A de coordonnées (a1 , a2 , . . . , an ), de direction F



avec dim(F) = p. Soit (→
v1 , →
v2 , . . . , →
v p ) une base de F, alors on a
n



∀ j ∈ {1, 2, . . . , p}, →
v j = ∑ αi j →
ei
i=1

Page 19 sur 78

1

M.HOUIMDI

Soit M un point quelconque de E de coordonnées (x1 , x2 , . . . , xn ), alors,
M∈F

−→
⇐⇒ AM ∈ F
−→
⇐⇒ ∃(λ1 , λ2 , . . . , λ p ) ∈ R p : AM =

p


vj
∑ λ j→

j=1

p

n
−→
⇐⇒ ∃(λ1 , λ2 , . . . , λ p ) ∈ R p : AM = ∑

!

∑ λ j αi j



ei

j=1

i=1

p

n
−−→
⇐⇒ ∃(λ1 , λ2 , . . . , λ p ) ∈ R p : OM = ∑

∑ λ j αi j

!

−→


ei + OA

j=1

i=1

On obtient, donc, le système suivant, appelé représentation paramétrique de F ,




x1 =









x2 =



M ∈ F ⇐⇒ ∃(λ1 , λ2 , . . . , λ p ) ∈ R p : ..

.



..


.







xn =


p

∑ λ j α1 j + a 1

j=1
p

∑ λ j α2 j + a 2

j=1

p

∑ λ j αn j + a n

j=1

Exemples 11



Soit E un espace affine de dimension finie = n, muni d’un repère cartésien (O, →
e1 , →
e2 , . . . , →
en ).
1. Représentation paramétrique d’une droitre affine

Soit D = D(A, →
u ) une droite affine passant par A de coordonnées (a1 , a2 , . . . , an ) et de vecteur

directeur →
u , tel que
n




u = ∑ αi →
ei
i=1

Soit M un point quelconque de E de coordonnées (x1 , x2 , . . . , xn ), alors d’après ce qui précéde,
on a


x1 = λα1 + a1



x2 = λα2 + a2
M ∈ D ⇐⇒ ∃λ ∈ R : .
..




x = λα + a
n
n
n
2. Représentation paramétrique d’un plan affine


Soit P = P(A, →
u ,→
v ) un plan affine de E , passant par A de coordonnées (a1 , a2 , . . . , an ) et de


vecteurs directeurs →
u et →
v , tels que
n

n

i=1

i=1






u = ∑ αi →
ei et →
v = ∑ βi →
ei
Soit M un point quelconque de E de coordonnées (x1 , x2 , . . . , xn ), alors d’après ce qui précéde,
Page 20 sur 78

1

M.HOUIMDI
on a


x1 = λ1 α1 + λ2 β1 + a1



x2 = λ1 α2 + λ2 β2 + a2
M ∈ D ⇐⇒ ∃(λ1 , λ2 ) ∈ R2 : .
..




x = λ α + λ β + a
1 n

n

1.4.4

2 n

n

Représentation cartésienne d’un sous-espace affine

Théorème 6
Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie = n et F un sous-espace vectoriel de E de dimension = p. Alors, il existe n − p formes linéaires, linéairement indépendants, ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn−p ,
lelles que
∀x ∈ E, x ∈ F ⇐⇒ ∀i ∈ {1, 2, . . . , n − p}, ϕi (x) = 0
Preuve
Soit F ⊥ l’orthogonal de F dans E ∗ , puisque dim(F) = p, alors dim(F ⊥ ) = n − p.
Soit (ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn−p ) une base de F ⊥ , alors on a
∀x ∈ E, x ∈ F =⇒ ∀i ∈ {1, 2, . . . , n − p}, ϕi (x) = 0.
Réciproquement, supposons que ∀i ∈ {1, 2, . . . , n − p}, ϕi (x) = 0 et supposons, par absurde, que
x∈
/ F. Soit G un supplémentaire de Vect(x) + F dans E et soit H = F + G, alors E = Vect(x) ⊕ H et
F ⊆ H. Soit ϕ la forme linéaire sur E définie par
∀y ∈ E, y = αx + z =⇒ ϕ(y) = α où z ∈ H
Alors on aura ϕ(x) = 1 et ∀y ∈ F, ϕ(y) = 0, par suite ϕ ∈ F ⊥ . Or (ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn−p ) est une base de
F ⊥ et ∀i ∈ {1, 2, . . . , n − p}, ϕi (x) = 0, donc ϕ(x) = 0, ce qui est absurde.



Soient E un espace affine de dimension finie = n, muni d’un repère cartésien (O, →
e1 , →
e2 , . . . , →
en ), et F
un sous-espace affine de E de dimension = p. Soit F la direction de F et soit A un point quelconque
de F de coordonnées (a1 , a2 , . . . , an ). D’après le théorème précédent, il existe n − p formes linéaires,
linéairement indépendants, ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn−p , telles que



∀→
u ∈ E, →
u ∈ F ⇐⇒ ∀i ∈ {1, 2, . . . , n − p}, ϕi (→
u)=0
Soit M un point quelconque de E de coordonnées (x1 , x2 , . . . , xn ). Donc si on pose
(

∀i ∈ {1, 2, . . . , n − p}, ∀ j ∈ {1, 2, . . . , n}, αi j = ϕi (→
ej )
−→
∀i ∈ {1, 2, . . . , n − p}, βi = ϕi (OA)
Alors, on aura
M∈F

−→
⇐⇒ AM ∈ F
−→
⇐⇒ ∀i ∈ {1, 2, . . . , n − p}, ϕi (AM) = 0
−−→
−→
⇐⇒ ∀i ∈ {1, 2, . . . , n − p}, ϕi (OM) = ϕ(OA)
n


⇐⇒ ∀i ∈ {1, 2, . . . , n − p}, ϕi ( ∑ x j →
e j ) = βi
j=1

n

⇐⇒ ∀i ∈ {1, 2, . . . , n − p},

∑ αi j x j = β i

j=1

Page 21 sur 78

1

M.HOUIMDI

Ainsi, on obtient le système suivant de rang n − p, appelé représentation cartésienne de F ,


α11 x1 + α12 x2 + · · · + α1n xn = β1


α21 x2 + α22 x2 + · · · + α2n xn = β2
M ∈ F ⇐⇒ .
..




α
x +α
x +···+α
x =β
n−1,1 1

n−p,2 2

n−p,n n

n−p

Remarque 11
1. Tout sous-espace affine de dimension p, possède une représentation cartésienne sous forme
d’un système de rang n − p et de n − p équations.
2. Soit F u n hyperplan affine de E , donc dim(F ) = n−1, par suite, F possède une représentation
cartésienne sous forme d’une seul equation,
M ∈ F ⇐⇒ α1 x1 + α2 x2 + · · · + αn xn = β
Exemples 12
1. Cas d’un plan affine


− →

Soit E un plan affine muni d’un repère cartésien (O, i , j ). Les sous-espaces affines non triviaux de E sont les droites affine de E . Soit D une droite affine de E , alors D est un hyperplan
` une représentation cartésienne, sous la forme
affine de E , donc D possde
M ∈ D ⇐⇒ ax + by + c = 0

avec (a, b) 6= (0, 0)


− →

où x et y sont les coordonnées de M dans le repère (O, i , j ).





Dans ce cas, on vérifie que D est la droite de vecteur directeur →
u = −b i + a j .
a) Soit maintenant D la droite affine de E , passant par le point A de coordonnées (x0 , y0 ) et





de vecteur directeur →
u = α i + β j . soit M un point quelconque de E de coordonnées
(x, y), alors léquation cartésien de D est déterminée par
−→ −
M ∈ D ⇐⇒ (AM, →
u ) est lié
−→ →
⇐⇒ det(AM, −
u)=0


x − x0 α
=0
⇐⇒
y − y0 β
⇐⇒

β(x − x0 ) − α(y − y0 ) = 0

b) Soient A un point de coordonnées (a, b) et B un point de coordonnées c, d), avec A 6= B.
Soit (AB) la droite passant par les points A et B, alors léquation cartésien de (AB) est
déterminée par
−→ −

M ∈ (AB) ⇐⇒ (AM, AB) est lié
−→ −

⇐⇒ det(AM, AB) = 0


x − a c − a
=0
⇐⇒
y − b d − b
⇐⇒

(d − b)(x − a) − (c − a)(y − b) = 0

2. Cas d’un espace affine de dimension 3



− →
− →
Soit E un espace affine de dimension 3, muni d’un repère cartésien (O, i , j , k ). Les sousespaces affines non triviaux de E sont ou bien des droites affines ou bien des plans affines.
Page 22 sur 78

1

M.HOUIMDI
a) Soit P un plan affine de E , puisque dim(E ) = 3, alors P est un hyperplan affine de E , donc
P possède une représentation cartésienne sous la forme d’une seule équation,
M ∈ P ⇐⇒ ax + by + cz + d = 0

avec (a, b, c) 6= (0, 0, 0)



− →
− →
où (x, y, z) sont les coordonnées de M dans le repère (O, i , j , k ).





− −



Dans ce cas, →
u = −b i + a j et →
v = −c i + a k sont deux vecteurs directeurs de P .
Puisque (a, b, c) 6= (0, 0, 0), alors on peut supposer, par exemple, que a 6= 0 et dans ce cas,
en posant y = λ et z = µ, on obtient une représentation paramétrique de P , définie par

c
b


x = − a λ − a µ − d
y=λ



z=µ
b) Soit D une droite affine de E , puisque dim(E ) = 3, alors D possède une représentation
cartésienne sous forme d’un système de deux équations,
(
ax + by + cz + d = 0
M ∈ D ⇐⇒
a0 x + b0 y + c0 z + d 0 = 0
D’aprè ce qui précède, ce système est de rang deux, donc on doit avoir






a b




0 0 6= 0 ou a0 c0 6= 0 ou b0 c0 6= 0
a b
a c
b c

1.5

exercices

Exercice 1
Soit F = { f ∈ RR : ∀x ∈ R, f (x + 1) = f (x) + 1}. Montrer que F est un sous-espace affine de RR
dont on déterminera un point et la direction.
Exercice 2
Soient E un R-espace vectoriel, x0 ∈ E et F = {u ∈ L(E) : u(x0 ) = x0 }. Montrer que F est un
sous-espace affine de L(E) dont on déterminera un point et la direction.
Exercice 3
Soient A, B, C et D quatre points deux à deux distincts d’un plan affine E . On suppose que (AD) est
parallèle à (BC), (AD) ∩ (CD) = {E} et (AC) ∩ (BD) = {F}. Soient I et J les milieux de [A, D] et
[B,C] respectivement. Montrer que les points E, F, I et J sont alignés.
Exercice 4
Soient A, B et C trois points non alignés d’un plan affine E . P, Q et R trois points tels que P ∈ (AB),
Q ∈ (AC) et R ∈ (BC). On considère les points I, J et K, tels que BPIR, APJQ et CQKR soient des
parallélogrammes. montrer que les points I, J et K sont alignés.
Exercice 5
Dans un plan affine, soient ABC et A0 B0C0 deux triangles de centre de gravité G et G0 respectivement.
−→ −→ −→
1. Calculer AB0 + BC0 + CA0 en fontion de G et G0 .
2. On suppose que les triagles ABC et A0 B0C0 ont même centre de gravité. Soit M le point du plan,
tel que MBA0C soit un parallélogramme. Montrer que MB0 AC0 est aussi un parallélogramme.
Page 23 sur 78

1

M.HOUIMDI
3. Réciproquement, on suppose qu’il existe un point M du plan, tel que MBA0C et MB0 AC0 soient
des parallélogrammes. Montrer que les triagles ABC et A0 B0C0 ont même centre de gravité.

Exercice 6
Soient A, B et C trois points non alignés d’un plan affine E et M un point quelconque de E .
1. Soit ∆A la médiane du triangle ABC issue de A. Montrer que
−→ −
→ −

∀M ∈ E , M ∈ ∆A ⇐⇒ det(AM, AB + AC) = 0
2. Montrer que
−→ −
→ −

→ −

−→ −
→ −

−→ −
∀M ∈ E , det(AM, AB + AC) + det(BM, BA + BC) + det(CM, CB + CA) = 0
3. En déduire que les trois médianes d’un triangle sont concourantes.
Exercice 7
Soient A, B et C trois points non alignés d’un plan affine E et M un point quelconque de E . On pose
−→ −→
−→ −→
−→ −→
λA = det(MB, MC), λB = det(MC, MA), λC = det(MA, MB)
1. Montrer que λA + λB + λC 6= 0.
2. Montrer que M est le barycentre de (A, λA ), (B, λB ) et (C, λC ).
3. En déduire que si G est le barycentre du triangle ABC, alors
−→ −→
−→ −→
−→ −→
det(GB, GC) = det(GC, GA) = det(GA, GB)
Exercice 8
Soint P un plan affine muni d’un repère affine (A, B,C) et M un point de P de coordonnées barycentriques (α, β, γ). Trouver une condition necessaire et suffisante liant α, β et γ, telle que :
a) Le point M appartient à la droite (AB).
b) Le point M appartient à la médiane issue de A du triangle ABC.
c) Le point M appartient à la parallèle à la droite (BC) mené par le milieu du segment [A, B].
Exercice 9 (Théorème de Pappus)
Soient D et D 0 deux droites d’un plan affine, on considère trois points distincts A, B et C de D et trois
points distincts A0 , B0 et C0 de D 0 . On suppose que les droites (AB0 ) et (BA0 ) et que les droites (BC0 )
et (CB0 ) sont parallèles. Montrer que les droites (CA0 ) et (AC0 ) sont parallèles.
Exercice 10 (Théorème de Menelaüs)
Soit A, B et C trois points non alignés, P, Q et R trois points, tels que
P ∈ (BC) \ {B,C}, Q ∈ (AC) \ {A,C} et R ∈ (AB) \ {A, B}

→ −→
−→ −





On suppose que PB = αPC, QC = βQA et RA = γRB. Montrer que les points P, Q et R sont alignés,
si et seulement si, αβγ = 1.
Exercice 11 (Théorème de Ceva)
Soit A, B et C trois points non alignés, P, Q et R trois points, tels que
P ∈ (BC) \ {B,C}, Q ∈ (AC) \ {A,C} et R ∈ (AB) \ {A, B}

→ −→
−→ −





On suppose que PB = αPC, QC = βQA et RA = γRB. Montrer que les droites (AP), (BQ) et (CR)
sont concourantes, si et seulement si, αβγ = −1.
Page 24 sur 78

1

M.HOUIMDI

Exercice 12
Soient A, B et C trois points non alignés d’un plan affine. Déterminer l’ensemble des points ayant

→−


→−

mêmes coordonnées dans les repères cartésiens (A, AB, AC) et (B, BA, BC).
Exercice 13


− →
− →
L’espace affine de dimension 3 est rapporté à un repère cartésien (O, i , j , k ). On considère les
pints A, B et C de coordonnées respectives (1, 2, 3), (2, −1, 2) et (0, 1, −2). Soient D1 et D2 les droites
affines définies par




x
=
−λ
+
3

x = 3µ + 1
D1 : y = 2λ + 1 , λ ∈ R, D2 : y = −2µ
, µ∈R




z = λ−1
z = 5µ + 3
Soient P1 , P2 et P3 les plans affines définis par


x = −2λ + 3µ + 1
P1 : y = λ + µ − 2
, (λ, µ) ∈ R2 ,


z = −λ − 2µ + 4

P2 : 2x − y + 3z − 1 = 0, P3 : x + 2z − 4 = 0

1. Donner une équation cartésienne de P1 .
2. Déterminer une représentation paramétrique de P2 ∩ P3 .
3. Donner une équation cartésienne du plan pssant par les points A, B et C.
4. Montrer que D1 et D2 sont coplanaires et donner une équation du plan Q contenant D1 et D2 .
5. Donner une équation cartésienne du plan P passant par le point C et contenant la droite D1 .
6. Donner une représentation paramétrique de la droite passant par A, parallèle à P2 et coupant
D1 .
Exercice 14


− →
− →
Soit E un espace affine de dimension 3 muni d’un repère cartésien (O, i , j , k ). On considère les
points A, B et C de coordonnées respectives (1, 2, 3), (2, −1, 1) et (1, 1, 1).
1. Montrer que les points A, B et C sont non alignés.
2. Trouver une équation cartésienne du plan P1 passant par les points A, B et C.
3. Soit D la droite affine de E définie par,
(
2x + y + z − 5 = 0
D:
−2x − y + z + 3 = 0
a) Trouver une représentation paramétrique de D .
b) Vérifier que le point A0 de coordonnées (2, −2, −3) n’appartient pas à D et trouver une
représentation paramétrique du plan P2 contenant la droite D et le point A0 .
c) Montrer que P1 et P2 sont parallèles et que P1 6= P2 .
4. Soient α et β deux réels, tels que α + β = 1. Pour chaque point M de coordonnées (x, y, z), on
considère le point M 0 de coordonnées (x0 , y0 , z0 ) barycentre du système ((A0 , α), (M, β)).
a) Déterminer x0 , y0 et z0 en fonction de α, β, x, y et z.
b) On considère l’ensemble P des points M 0 lorsque M décrit P1 . Montrer que si β 6= 0, alors P
est un plan parallèle à P1 . Dans quel cas a-t-on P = P1 ? Que devient l’ensemble P , lorsque
β = 0?
Page 25 sur 78

1

M.HOUIMDI
5. Soit D 0 la droite affine de E définie par,
(
x−y+z = a
D0 :
x−z = 2
a) Pour quelles valeurs du réel a, les droites D et D 0 sont coplanaires ?
b) Dans le cas où D et D 0 sont coplanaires, déterminer une équation cartésienne du plan contenant D et D 0 .

Exercice 15


− →
− →
L’espace affine de dimension 3 est rapporté à un repère cartésien (O, i , j , k ). On considère les
droites D1 et D2 définies par
(
(
x − 2z = 1
x+y+z = 1
,
y = z+2
x − 2y + 2z = a
Déterminer le réel a pour que D1 et D2 soient coplanaires et dans ce cas, déterminer une équation
cartésienne du plan les contenant.
Exercice 16


− →
− →
L’espace affine de dimension 3 est rapporté à un repère cartésien (O, i , j , k ). Soient D et D 0 les
droites définies par :




x
=
−1

λ

x = 2 − 3µ
0
,µ ∈ R
D : y = 1 + 2λ , λ ∈ R, D : y = 1 + µ




z = 3+λ
z = −2µ
1. Montrer que D et D 0 ne sont pas coplanaires.
2. Soit m ∈ R et soient M et M 0 les points appartenant respectivement à D et D0 en prenant
λ = µ = m. Montrer que la droite (MM 0 ) reste parallèle à un plan fixe lorsque m varie.
Exercice 17


− →
− →
Soit E un espace affine de dimension 3, muni d’un repère cartésien (O, i , j , k ). Pour chaque
m ∈ R, on considère le plan Pm d’équation,
(2m + 1)x − 2y + (m + 1)z − 3m + 4
1. Montrer que tous les plans Pm contiennent une droite ∆ dont on déterminera une représentation
paramétrique.
2. On considère les droites ∆1 et ∆2 définies par :

(

x = 1 − 2λ
x − 2y + 3 = 0
∆1 : y = 3 + λ
, λ ∈ R et ∆2 :

x + 2z = 0

z = 1 + 4λ
a) Montrer que ∆1 et ∆2 sont sécantes et déterminer le point I intersection de ∆1 et ∆2 . Vérifier
que I ∈ P0 .
b) Ecrire une équation cartésienne du plan Q contenant ∆1 et ∆2 .
c) Soit O0 l’image de O par la symétrie centrale de centre I. Ecrire une équation cartésienne du
plan Q0 passant par O0 et parallèle à P0 .
d) Donner une représentation paramétrique de D = Q ∩ Q0 .
Page 26 sur 78

1

M.HOUIMDI
1
3. a) Existe-t-il un plan Pm passant par le point A de coordonnées ( , 0, 2).
2
b) Ecrire une équation cartésienne du plan Q passant par le point A et la droite ∆.
c) Soient P l’ensemble de tous les plans Pm et Q celui de tous les plans contenant ∆.
P est-t-il égal àQ ?

Exercice 18


− →
− →
L’espace affine de dimension 3 est rapporté à un repère cartésien (O, i , j , k ).
A tout couple (a, m) ∈ R2 , on associe la droite ∆a et le plan Pm définis par :
(
x+1 = 0
∆a :
y − z − a = 0 et Pm : (m + 1)x − (m − 1)y + (2m + 3)z + 2 = 0

1. Trouver un point A et un vecteur directeur →
u de la droite ∆a .
2. Etudier, suivant les valeurs de a et m, la position relative de ∆a et Pm .
3. Démontrer que tous les plans Pm contiennent une droite fixe D dont on déterminera un point A

et un vecteur directeur →
u.
4. a) Déterminer a pour que ∆a et D soient coplanaires.
b) Dans le cas où ∆a et D sont coplanaires, donner une équation cartésienne du plan Q contenant ∆a et D.
Exercice 19
Soient A, B et C trois points non alignés, I le barycentre de ((A, 2), (C, 1)), J celui de ((A, 1), (B, 2))
et K celui de ((C, 1), (B, −4)).
a) Montrer que J est le milieu de [I, K].
b) Soient L et M les milieux respectifs de [C, I] et [C, K]. Montrer que IJML est un parallélogramme
dont le centre G est le barycentre du triangle ABC.
Exercice 20


− →
− →
L’espace affine de dimension 3 est rapporté à un repère cartésien (O, i , j , k ). Soient A, B, C et D
les points de coordonnées respectives (4, −1, 2), (2, −5, 4), 5, 0, −3) et (1, −5, 6).
1. Montrer que les points A, B, C et D sont non coplanaires.


− →
− →
2. On considère les droites et les plans suivants dont les équations par rapport au repère (O, i , j , k )
sont données par
i) x + y = 1 = 0.
ii) 2x − 3y + 4z − 1 = 0.
(
x+y+z = 1
iii)
.
2x − y + 4z = 3
(
3x − y − z = −1
iv)
.
4x − 3y − z = −2

→−
→ −→
Donner les équations de ces droites et ces plans par rapport au repère (A, AB, AC, AD).
Exercice 21
Soient A, B, C et D quatres points non coplanaires de l’espace affine de dimension 3. On définit les
points K, L, M et N par

→ →
−→ →
−→
− −
− −→ −−→ →
− −→

−→ →

KA + αKB = 0 , LB + βLC = 0 , MC + γMD = 0 , ND + λNA = 0
Caractériser (α, β, γ, λ) pour que les plans (KCD), (LDA), (MAB) et (NBC) aient un point commun.

Page 27 sur 78

1

M.HOUIMDI

Page 28 sur 78

Chapitre

2

Applications affines
2.1
2.1.1

Propriètés caractéristiques d’une application affine
Définition et propriètés élémentaires

Définition 14
Soit E un espace affine de direction E. On dit qu’une application f : E −→ E est une application


affine, s’il existe un endomorphisme de E, noté f , telle que
−−−−−−→ →
− −−→
∀M ∈ E , ∀N ∈ E , f (M) f (N) = f (MN)


Dans ce cas, f s’appelle l’application linéaire associée à f
Exemples 13
Soit E un R-espace vectoriel muni de sa structure affine canonique :
E × E −→ E


(a, b) 7−→ ab = b − a
Alors toute application affine f de E s’écrit sous la forme,
∀x ∈ E, f (x) = u(x) + b

où u ∈ L(E) et b ∈ E

En effet, si f (x) = u(x) + b, alors on aura,
−−−−−→
∀x ∈ E, ∀y ∈ E, f (x) f (y) =
=
=
=

f (y) − f (x)
u(y) − u(x)
u(y − x)

u(→
xy)

Donc f est une application affine.
Réciproquement, soit f une application affine, alors il existe une application linéaire u de E, telle
que :
∀x ∈ E, ∀y ∈ E, f (x) − f (y) = u(x − y), donc pour y = 0 et b = f (0) nous obtenons,
∀x ∈ E, f (x) = u(x) + b
Proposition 6
Soient E un espace affine de direction E et f : E −→ E une application. Alors f est une


application affine, si et seulement si, il existe une application linéaire f de E et il existe
un point A ∈ E , tel que,
−−−−−−→ →
− −→
∀M ∈ E , f (A) f (M) = f (AM)
29

2

M.HOUIMDI

Preuve
(=⇒) Trivial.
(⇐=) Soient M et N deux points quelconques de E , alors on a
−−−−−−→
−−−−−−→ −−−−−−→
f (M) f (N) = f (A) f (N) − f (A) f (M)

− −→ →
− −→
= f (AN) − f (AM)

− −→ −→
= f (AN − AM)

− −−→
= f (MN)
Proposition 7
Soient E un espace affine de direction E, f une application affine de E et F un sous-espace
affine de E passant par le point A et de direction F, alors,


i) f (F ) est un sous-espace affine de E passant par f (A) et de direction f (F).


ii) f −1 (F ), s’il n’est pas vide, est un sous-espace affine de direction f −1 (F).
Preuve
i) Montrons que

−−−−→ →

∀M ∈ E , M ∈ f (F ) ⇐⇒ f (A)M ∈ f (F)
−−−−→ −−−−−−→ →
− −

Soit M ∈ f (F ), alors, il existe P ∈ F , tel que M = f (P), donc, f (A)M = f (A) f (P) = f (AP).
−−−−→ →

Donc f (A)M ∈ f (F).
−−−−→ →
−−−−→ →

− −

Supposons que f (A)M ∈ f (F), donc il existe →
u ∈ F, tel que f (A)M = f (→
u ).
−−−−→ −−−−−−→
−→


Soit N ∈ F , tel que u = AN, donc f (A)M = f (A) f (N), par suite, M = f (N).
ii) Supposons que f −1 (F ) 6= 0/ et soit A ∈ f −1 (F ), alors on a
M ∈ f −1 (F ) ⇐⇒ f (M) ∈ F
−−−−−−→
⇐⇒ f (A) f (M) ∈ F

− −→
⇐⇒ f (AM) ∈ F
−→ →

⇐⇒ AM ∈ f −1 (F)


Donc f −1 (F ) est le sous-espace affine passant par A et de direction f −1 (F).
Remarque 12
Pour tout point M ∈ E , f −1 ({M}), s’il n’est pas vide, est un sous-espace affine de E de direction


ker( f ).

2.1.2

Représentation analytique d’une application affine




Soit E un espace affine de dimension finie = n, muni d’un repère cartésien (O, →
e1 , →
e2 , . . . , →
en ). Soient







f une application affine et A = (ai j )1≤i, j≤n la matrice de f par rapport à la base ( e1 , e2 , . . . , →
en ).
On désigne par (b1 , b2 , . . . , bn ) les coordonnées de Ω = f (O) et pour chaque point M ∈ E de coordonnées (x1 , x2 , . . . , xn ), on désigne par (x10 , x20 , . . . , xn0 ) les coordonnées de M 0 = f (M), puisque
−−−−−−→

− −−→
f (OM) = f (O) f (M), alors on aura
−−→0 →
− −−→ −→
OM = f (OM) + OΩ, par suite, on obtient le système suivant, appelé représentation analytique de
l’application affine f :


x10 = a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn + b1



x0 = a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn + b2
2
.
..




x0 = a x + a x + . . . + a x + b
n

n1 1

n2 2

Page 30 sur 78

nn n

n

2

M.HOUIMDI

Remarque 13
D’après ce qui précède, si on pose
 
 
 
x1
x10
b1
x2 
x0 
b2 
 
 2
 
X =  ..  , X 0 =  ..  et b =  .. 
.
.
.
0
xn
xn
bn
alors, on obtient ce qu’on appelle la représentation matricielle de l’application affine f , par rapport



au repère cartésien (O, →
e1 , →
e2 , . . . , →
en ) :
X 0 = AX + b

2.1.3

Composée de deux applications affines - Groupe affine

Proposition 8
Soient E un espace affine, f et g deux applications affines de E . Alors g ◦ f est une application



affine dont l’application linéaire associée est →
g◦ f.
Preuve
Soient M et N deux points quelconques de E , alors on a
−−−−−−−−−−−−−−→
−−−−−−−−−−−→
(g ◦ f )(M)(g ◦ f )(N) = g( f (M))g( f (N))
−−−−−−→

= →
g ( f (M) f (N))


−−→

= →
g ( f (−
→MN))

− −−→

= (→
g ◦ f )(MN)
−−→ − →

Donc g ◦ f est une application affine et g ◦ f = →
g◦ f.
Proposition 9
Soient E un espace affine de direction E et f une application affine de E . Alors,
i)



f est bijective ⇐⇒ f est bijective
−−→ →

ii) Si f est bijective, alors f −1 est une application affine et on a f −1 = f −1 .
Preuve
i) Fixons un point A ∈ E . Supposons que f est bijective et soient ϕ et ψ les applications définies par
ϕ : E −→ E
−→
M 7−→ AM

et

ψ : E −→ E
−−−−−−→
M 7−→ f (A) f (M)

alors, par définition, ϕ est bijective et puisque f est bijective, alors ψ est bijective. On voit






facilement que ψ ◦ f = f ◦ ϕ, donc f = ψ ◦ f ◦ ϕ, par suite f est bijective.


Réciproquement, supposons que f est bijective et montrons que f est à la fois injective et
surjective.
Page 31 sur 78

2

M.HOUIMDI
Soint M et N deux points de mathcalE, tels que f (M) = f (N), a-t-on M = N ? Pour cela fixons
un point A ∈ E , alors on aura,
−−−−−−→ −−−−−−→
f (M) = f (N) =⇒ f (A) f (M) = f (A) f (N)

− −→


=⇒ f (AM) = f (AN)
−→ −→


=⇒ AM = AN (car f est bijective)
=⇒ M = N
Soit P un point de E , existe-t-il M ∈ E , lel que f (M) = P ?
−−−→



− −

Puisque f est bijective, alors il existe →
v ∈ E, tel que f (→
v ) = f (A)P. Soit M ∈ E , tel que
−−−−−−→ −−−→
−→ →

− −

− −→
AM = −
v , donc f (→
v ) = f (AM) = f (A) f (M) = f (A)P, par suite, P = f (M).

ii)
Remarque 14
Soit E un espace affine. On note GA(E ) l’ensemble de toutes les bijections affines de E , alors
(GA(E ), ◦) est un groupe, appelé groupe affine de E .

2.1.4

Points fixes d’une application affine

Définition 15
Soient E un espace affine et f une application affine de E . On dit que A ∈ E est un point fixe de
f , si f (A) = A. On note Fix( f ) l’ensemble de tous les points fixes de f .
Remarque 15
Soient E un espace affine de dimension finie = n et f une application affine de E . On muni E d’un



repère cartésien (O, →
e1 , →
e2 , . . . , →
en ), où O est un point fixe de f . Alors la représentation matricielle de
f par rapport à ce repère s’écrit sous la forme :
X 0 = AX
Donc, dans ce cas, f se comporte comme une application linéaire.
Proposition 10
Soient E un espace affine et f une application affine de E . Alors Fix( f ), s’il n’est pas vide, est


un sous-espace affine de E de direction ker( f − IdE ).
Preuve
Supposons que Fix( f ) 6= 0/ et fixons un point A ∈ Fix( f ), alors on a,
M ∈ Fix( f ) ⇐⇒ f (M) = M
−−−−→ −→
⇐⇒ A f (M) = AM
−−−−−−→ −→
⇐⇒ f (A) f (M) = AM

− −→
−→
⇐⇒ f (AM) = AM
−→


⇐⇒ AM ∈ ker( f − IdE )


Donc Fix( f ) est le sous-espace affine de E passant par A et de direction ker( f − IdE ).
Théorème 7
Soient E un espace affine de dimension finie = n et f une application affine de E . Alors les deux
propositions suivantes sont équivalentes,
i) f possède un unique point fixe.


ii) 1 n’est pas valeur propre de f .
Page 32 sur 78

2

M.HOUIMDI

Preuve
i) =⇒ ii) Si f possède un unique point fixe A, donc le sous-espace affine Fix( f ) est réduit à un seul






point, par suite, Fix( f ) est de direction { 0 }, donc ker( f − IdE ) = { 0 }, donc 1 n’est pas


valeur propre de f .


ii) ⇐= i) Fixons un point A ∈ E . Puisque 1 n’est pas valeur propre de f et E de dimension finie,
−−−→



− −

alors IdE − f est bijective, par suite, il existe →
u ∈ E, tel que (IdE − f )(→
u ) = A f (A). Soit
−−−→ −→ →
−−−−→ −→
−→ −
− −→
−→ −−−−−−→
M ∈ E , tel que AM = →
u . Ainsi, A f (A) = AM − f (AM) = AM − f (A) f (M), donc A f (M) = AM,
/
par conséquent, f (M) = M, donc Fix( f ) 6= 0.

→ −−−−−−→ →
− −


→ →

Soient A et B deux points de Fix( f ), alors on a AB = f (A) f (B) = f (AB), donc AB = 0 , car


1 n’est pas valeur propre de f , par suite A = B.

2.2
2.2.1

Exemples d’applications affines
Translation

Définition et propriètés élémentaires
Définition 16

Soient E un espace affine de direction E et →
u un vecteur de E. On appelle translation de vecteur


u , l’application de E vers E qui à tout point M ∈ E , fait correspondre l’unique point M 0 de E ,
tel que
−−→0 →
MM = −
u

− la translation de vecteur →
On note t→
u.
u

Proposition 11
Soit E un espace affine de direction E, alors toute translation de E est une application affine
dont l’application linéaire associée est l’identité de E.
Preuve

Soit f une translation de E de vecteur →
v et soient M et N deux points quelconques de E , alors,
d’après la relation de Chasles, on a,
−−−−−−→ −−−−→ −−→ −−−−→
−−→ − −−→
−−→

f (M) f (N) = f (M)M + MN + N f (N) = −→
v + MN + →
v = MN = IdE (MN)


Donc f est une application affine et f = IdE .
Proposition 12
Soient E un espace affine et f une application affine de E . Alors f est une translation de E , si


et seulement si, f = IdE .
Preuve
(=⇒) D’après la proposition précédente.


(⇐=) Supposons que f = IdE , alors on aura,
−−−−−−→ −−→
∀M ∈ E , ∀N ∈ E , f (M) f (N) = MN
Donc, d’après la proprièté du prallélogramme, on a
−−−−→ −−−−→
∀M ∈ E , ∀N ∈ E , M f (M) = N f (N)
−−−→


Fixons A ∈ E et soit →
v = A f (A), alors f est la translation de vecteur →
v.
Page 33 sur 78

2

M.HOUIMDI

Groupe des translations de E
Proposition 13
Soit E un espace affine de direction E. Alors
− = IdE .
i) t→
0








ii) ∀→
u ∈ E, ∀→
v ∈ E, t→
u = t(→
u +→
v ).
v ◦ t→
v = t→
u ◦ t→


−1


= t−→
iii) Pour tout u ∈ E, t→

u est bijective et on a t→
u.
u
iv) Soit T l’ensemble de toutes les translations de E , alors (T , ◦) est un groupe commutatif,
appelé groupe des translations de E .
v) L’application
(E, +) −→ (T , ◦)



u 7−→ t→
u
est un isomorphisme de groupes.
Preuve
Exercice
Proposition 14
Le groupe T des translations de E est un sous-groupe distingué du groupe affine GE(E ) et le
groupe quotient de GE(E ) par T est isomorphe au groupe linéaire de E.
GE(E )/T ' GL(E)
Preuve
En effet, il suffit de considérer l’application
ϕ : (GE(E ), ◦) −→ (GL(E), ◦)


f 7−→ ϕ( f ) = f
−−→ − →

On a vu que g ◦ f = →
g ◦ f , donc ϕ est un homomorphisme de groupes. D’après la proposition


précédente, f = IdE , si et seulement f est une translation de E , donc
ker(ϕ) = { f ∈ E : ϕ( f ) = IdE } = T
Donc T est un sous-groupe distingué et GE(E )/T est isomorphe à ϕ(GE(E )) avec
ϕ(GE(E )) = GL(E).
Décomposition d’une application affine
Lemme 1

Soient E un espace affine de direction E, f une application affine de E et →
v un vecteur de E.
Alors






f ◦ t→
v = t→
v ◦ f ⇐⇒ v ∈ ker( f − IdE )
Preuve
(=⇒) On sait que

−−−−−→ →


∀M ∈ E , Mt→
v (M) = v
−−−−→ −−−−−−−−−→ →



Soit A ∈ E , alors on aura At→
v (A) = f (A)t→
v ( f (A)) = v , donc,

− →

− −−−−−→

f (−
v ) = f (At→
v (A))
−−−−−−−−−→

= f (A) f (t→
v (A))
−−−−−−−−−→



= f (A)t→
v ( f (A)) (car f ◦ t→
v = t→
v ◦ f)


= v
Page 34 sur 78

2

M.HOUIMDI

(⇐=)
−−−−−−−−−−→
−−−−−−−−−−−→


∀M ∈ E , f (M)( f ◦ t→
v (M))
v )(M) = f (M) f (t→

− −−−−−→

= f (Mt→
v (M))
−−−−−→

− →




= Mt→
v (M) (car f ( v ) = v )
−−−−−−−−−−→

= f (M)t→
v ( f (M))
−−−−−−−−−−−→

= f (M)(t→
v ◦ f )(M)


Donc f ◦ t→
v ◦ f.
v = t→

Théorème 8
Soient E un espace affine de direction E et f une application affine sans points fixes, telle que




E = ker( f − IdE ) ⊕ Im( f − IdE )



/ tels que
Alors il existe →
v ∈ ker( f − IdE ) et il existe une application affine g avec Fix(g) 6= 0,


f = t→
v ◦ g = g ◦ t→
v

Preuve
−−−→
−−−→



Supposons qu’il existe un point A ∈ E , tel que A f (A) ∈ ker( f − IdE ), puis posons →
v = A f (A) et

g = t−→
v ◦ f , alors on aura


i) f = t→
v ◦ g = g ◦ t→
v.
−−−→ →
−−−→ −−−−−−−−−→ −−−→ →


− →


ii) Ag(A) = A t→
v ( f (A)) = A f (A) + f (A)t→
v ( f (A)) = A f (A) − v = 0 , donc g(A) = A.
−−−→


Donc il suffit de montrer qu’il existe un point A ∈ E , tel que A f (A) ∈ ker( f − IdE ). Pour cela, fixons







un point B ∈ E , puisque E = ker( f − IdE ) ⊕ Im( f − IdE ), alors il existe →
v ∈ ker( f − IdE ) et il

existe →
u ∈ E, tels que
−−−→ →

− −
B f (B) = −
v + (IdE − f )(→
u)
−−−→ − −
−−−→ −

→ −
→ −−−−−−→
Soit A ∈ E , tel que BA = →
u , alors on aura B f (B) = →
v + BA − f (B) f (A), donc A f (A) = →
v.

Remarque 16
−−−−→


1. M ∈ Fix(g) ⇐⇒ M f (M) ∈ ker( f − IdE ).
−−−→

2. →
v = A f (A), pour n’importe quel point A ∈ Fix(g).

2.2.2

Homothétie

Définition 17
Soient E un espace affine de direction E, Ω un point de E et k un nombre réel. On appelle
homothétie de centre Ω et de rapport k, l’application h : E −→ E qui à tout point M de E fait
correspondre le point M 0 de E défini par
−−→0
−−→
ΩM = kΩM
Remarque 17
Soit h une homothétie de E de centre Ω et de rapport k.
Page 35 sur 78

2

M.HOUIMDI
1. Ω, M et h(M) sont toujours alignés.

F IGURE 2.1 – Une homothétie de rapport 3 et une autre de rapport −2
2. Si k = 0, alors ∀M ∈ E , h(M) = Ω, donc, dans ce cas, h est constante.
3. Si k = 1, alors ∀M ∈ E , h(M) = M, donc, dans ce cas, h = IdE .
Proposition 15
Soient E un espace affine de direction E et h une homothétie de E de centre Ω et de rapport k.


Alors h est une application affine dont l’application linéaire associée est h = kIdE .
Preuve
Soient M et N deux points quelconques de E , alors on a,
−−−−−−→ −−−−→ −−−−→
−→
−−→
−−→
−−→
h(M)h(N) = Ωh(N) − Ωh(M) = kΩN − kΩM = kMN = kIdE (MN)


Donc h est une application affine et h = kIdE .
Remarque 18
Soit h est une homothétie de centre Ω et de rapport k, avec k 6= 1.
1. Alors Ω est l’unique point fixe de h.
2. Si k = −1, on dit que h est une symétrie centrale de centre Ω.

F IGURE 2.2 – Symétrie de centre Ω
Proposition 16
Soient E un espace affine et f une application affine de E . Alors f est une homothétie, si et


seulement si, il existe un réel k 6= 1, tel que f = kIdE .
Page 36 sur 78

2

M.HOUIMDI

Preuve
(=⇒) Déjà vu.




(⇐=) f = kIdE , donc 1 n’est pas valeur propre de f , donc d’après le théorème 7, f possède un
unique point fixe Ω, ainsi on aura
−−−−→ −−−−−−−→ →
−−→
− −−→
∀M ∈ E , Ω f (M) = f (Ω) f (M) = f (ΩM) = kΩM
Donc f est l’homothétie de centre Ω et de rapport k.
Remarque 19
1. On note HT (E ) l’ensemble des applications affine de E , défini par


f ∈ HT (E ) ⇐⇒ ∃k 6= 0 : f = kIdE
Alors d’après ce qu’on a vu sur les translations et les homothéties, f ∈ HT (E ), si et seulement
si, f est une translation ou f est une homothétie. Ainsi, si on désigne par H (E ) l’ensemble des
homothéties de E , alors
HT (E ) = T (E ) ∪ H (E )
2. (HT (E ), ◦) est un sous-groupe de GA(E ), ◦)
En effet, soit H = {kIdE : k ∈ R∗ }, alors H est un sous-groupe de GL(E) et on a
HT (E ) = ϕ−1 (H ), où ϕ est l’homomorphisme de groupes défini par
ϕ : GA(E ) −→ GL(E)


f 7−→ f
Les éléments de HT (E ) sont appelés des homothéties-translations.
Définition 18
Soit E un espace affine, on appelle dilatation de E , toute bijection affine de E qui transforme
toute droite D en une droite parallèle à D .
Lemme 2
Soit E un K-espace vectoriel, où K est un corps commutatif quelconque. Soit u un endomorphisme de E, tel que
∀x ∈ E, ∃α ∈ K ∗ : u(x) = αx
Alors il existe k ∈ K ∗ , tel que u = kIdE .
Preuve
Fixons x0 ∈ E, alors il existe k ∈ K ∗ , tel que u(x0 ) = kx0 . Montrons que
∀x ∈ E, u(x) = kx
Soit x ∈ E, alors deux cas sont possibles :
1er Cas (x0 , x) lié, alors il existe λ ∈ K, tel que x = λx0 , donc u(x) = λu(x0 ) = λkx0 = kx.
2ème Cas (x0 , x) libre. Dans ce cas, soit α ∈ K ∗ , tel que u(x) = αx et soit β ∈ K ∗ , tel que
u(x0 + x) = β(x0 + x), puisque u est linéaire, alors u(x0 + x) = u(x0 ) + u(x) = kx0 + αx, donc
kx0 + αx = βx0 + βx et puisque (x0 , x) est libre, alors α = β = k.
Proposition 17
Soient E un espace affine et f une application affine. Alors
f est une dilatation ⇐⇒ f ∈ HT (E )
Page 37 sur 78

2

M.HOUIMDI

Preuve
(=⇒) Soient M et N deux points quelconques distincts de E , puisque f est une dilatation, alors les
−−−−−−→
−−→
droites (MN) et ( f (M) f (N)) sont prallèles, donc il existe α 6= 0, tel que f (M) f (N) = αMN,
donc on aura

− −


∀→
v ∈ E, ∃α ∈ R∗ : f (→
v ) = α→
v


Donc, d’après le lemme précédent, il existe k ∈ R∗ , tel que f = kIdE , par suite, f ∈ HT (E ).
(⇐=) Trivial.

2.2.3

Projection affine

Proposition 18
Soient E un espace affine de direction E, F un sous-espace affine de direction F et G un supplémentaire de F dans E. Alors pour tout point M ∈ E , il existe un unique point M 0 ∈ F , tel que
−−→0
MM ∈ G.
Preuve
Fixons un point A ∈ F et soit M un point quelconque de E , puisque E = F ⊕ G, alors il existe
−→ − →



(→
u ,→
v ) ∈ F × G, tel que AM = →
u +−
v . Puisque →
u ∈ F et A ∈ F , alors il existe M 0 ∈ F , tel que
−−→0 →
−−→ −
−−→
AM = −
u , donc on aura M 0 M = →
v , par suite MM 0 ∈ G.
−−→
−−→
−−→
Supposons qu’il existe un autre point N de F , tel que MN ∈ G, donc M 0 N ∈ G et on a aussi M 0 N ∈ F,


or F ∩ G = { 0 }, donc M 0 = N.
Définition 19
Soient E un espace affine de direction E, F un sous-espace affine de direction F et G un supplémentaire de F dans E. On appelle projection affine sur F parallèlement à G (ou de direction
G), l’application de E vers E qui à tout point M de E fait correspondre l’unique point M 0 de F ,
−−→
tel que MM 0 ∈ G
Remarque 20
Soit f la projection sur F parallèlement à G, alors
1. Pour tout M ∈ E , on a f (M) ∈ F .
−−−−→
2. Pour tout M ∈ E , on a M f (M) ∈ G.
3. ∀M ∈ E , f (M) = M ⇐⇒ M ∈ F .
Définition 20 (Rappel d’algèbre linéaire)
soient E un K-espace vectoriel, F un sous-espace vectoriel de E et G un supplémentaire de F
dans E.
i) On appelle projection sur F parallèlement à G, l’application de E vers E définie par
pF : E = F ⊕ G −→ E
x = x1 + x2 7−→ pF (x) = x1
ii) On appelle projecteur de E tout endomorphisme u de E vérifiant u2 = u.
Remarque 21
1. Soit pF la projection sur F parallèlement à G, alors
i) pF est un endomorphisme de E.
ii) Im(pF ) = F et ker(pF ) = G.
Page 38 sur 78

2

M.HOUIMDI
iii) pF ◦ pF = pF , donc pF est un projecteur de E.
2. Réciproquement, supposons que u est un projecteur de E, alors on sait que
i) E = Im(u) ⊕ ker(u).
ii) ∀x ∈ E, x ∈ Im(u) ⇐⇒ u(x) = x
iii) ker(u) = Im(u − IdE ) et Im(u) = ker(u − IdE ).
iii) u est la projection sur F parallèlement à G, où F = Im(u) et G = ker(u).

Proposition 19
Soient E un espace affine, F un sous-espace affine de direction F et G un supplémentaire de
F dans E. Alors la projection p sur F parallélement à G est une application affine de E dont
−p = p .
l’applcation linéaire associée est →
F
Preuve
Soient M et N deux points quelconques de E , alors on a
−−→ −−−−→ −−−−−−→ −−−−→ −−−−−−→ −−−−→ −−−−→
MN = M p(M) + p(M)p(N) + p(N)N = p(M)p(N) + (M p(M) + p(N)N)
−−−−−−→
−−−−→ −−−−→
−−−−−−→
−−→
avec p(M)p(N) ∈ F et (M p(M) + p(N)N) ∈ G, donc p(M)p(N) = pF (MN).
−p = p .
Donc p est une application affine et →
F
Proposition 20
Soient E un espace affine et f une application affine de E . Alors




f est une projection affine ⇐⇒ Fix( f ) 6= 0/ et f 2 = f






Dans le cas où Fix( f ) 6= 0/ et f 2 = f , f est la projection sur Fix( f ) parallèlement à ker( f ).
Preuve
(=⇒) Si f est une projection affine sur F parallèlement à G, alors, d’après la proposition précédente,

−2 →

f = f et par définition, on a Fix( f ) = F .
/ alors, dans ce cas, on sait que Fix( f ) est un sous-espace affine de
(⇐=) Supposons que Fix( f ) 6= 0,




direction ker( f − IdE ), puisque f est un projecteur de E, alors on sait que




ker( f − IdE ) = Im( f ) et que




E = Im( f ) ⊕ ker( f )
Posons Fix( f ) = F , F = Im( f ) et G = ker( f ). Soit p la projection sur F de direction G, alors


−p = p = →
f
F
Montrons que ∀M ∈ E , f (M) = p(M), pour cela, fixons A ∈ F , alors on a
−−−−−−−→ −−−−→ −−−−→
f (M)p(M) = Ap(M) − A f (M)
−−−−−−→ −−−−−−→
= p(A)p(M) − f (A) f (M) (car p(A) = f (A) = A)
→ →
− −→
−p (−
=→
AM) − f (AM)



−p = →
f)
= 0 (car →
donc ∀M ∈ E , f (M) = p(M), par suite f = p.
Page 39 sur 78

2

M.HOUIMDI

Remarque 22
Soient E un espace affine de dimension et f une application afine de E .






/ alors f n’est pas une projection. Cependant, puisque f est un
1. Si f 2 = f et Fix( f ) = 0,








projecteur de E, alors ker( f ) = Im( f − IdE ) et Im( f ) = ker( f − IdE ), donc on aura




E = ker( f − IdE ) ⊕ Im( f − IdE )



Donc, d’après le théorème 8, il existe →
v ∈ Im( f ) et il existe une projection affine g de direction




ker( f ) sur un sous-espace affine de direction Im( f ), tels que


f = t→
v
v ◦ g = g ◦ t→




2. On suppose que E est de dimension finie = n muni d’un repère cartésien (O, →
e1 , →
e2 , . . . , →
en ).








Soit A la matrice de f par rapport à la base ( e1 , e2 , . . . , en ), alors
f est une projection affine ⇐⇒ A2 = A et Fix( f ) 6= 0/
Corollaire 1
Soient E un espace affine de direction E et f une application affine. Alors
f est une projection affine ⇐⇒ f 2 = f
Preuve




−−→ →
− →


− →
− →

Il suffit de montrer que Fix( f ) 6= 0/ et f 2 = f . Pour cela, on a f ◦ f = f ◦ f , donc f ◦ f = f .
D’autre part, on a f 2 = f , donc pour tout point M ∈ E , f ( f (M)) = f (M), donc ∀M ∈ E , on a
f (M) ∈ Fix( f ).
Exemples 14



1. L’epace affine E de dimension 3 est muni d’un repère cartésien (O, →
e1 , →
e2 , →
e3 ). Trouver l’expression analytique de la projection affine sur le plan P d’équation x + y + z = 1 parallèlement



à G = Vect(→
e1 + →
e2 − →
e3 ).
Réponse
Soit M un point de E de coordonnées (x, y, z)et soit (x0 , y0 , z0 ) les coordonnées de M 0 = f (M).
−−→
Puisque on sait que M 0 ∈ P et MM 0 ∈ G, alors on aura

0
0
0

x + y + z = 1
y0 − y = x0 − x

0
z − z = −(x0 − x)
Donc ce système en x0 , y0 et z0 admet pour solution,

0

x = −y − z + 1
y0 = −x − z + 1

0
z = x + y + 2z − 1



2. L’epace affine E de dimension 3 est muni d’un repère cartésien (O, →
e1 , →
e2 , →
e3 ). Soit l’application affine de E défine analytiquement par

1
0

x = 2 (x − y − z + 1)
y0 = −x − z + 1

0 1
z = 2 (x + y + 3z − 1)
Page 40 sur 78

2

M.HOUIMDI
a) Montrer que f est une projection affine et déterminer ses éléments caractéristiques.
x−1 y z−3
b) Trouver l’image de la droite D d’équations
= =
.
−1
2
4
c) Trouver l’image du plan P d’équation x + y − z + 5 = 0.
Réponse
a) En général, l’étude d’une application affine, définie analytiquement, commence par la recherche des points fixes.
Soit M un point de coordonnées (x, y, z), alors M ∈ Fix( f ), si et seulement si, x, y et z
vérifient le système suivant,

1

x = 2 (x − y − z + 1)
y = −x − z + 1


z = 12 (x + y + 3z − 1)
Ce système est équivalent à l’équation x + y + z − 1 = 0, donc Fix est le plan affine P
d’équation





x + y + z − 1 = 0. Soit A la matrice de f par rapport à la base (→
e1 , →
e2 , →
e3 ), alors on aura,


1 −1 −1
1
−2 0 −2
A=
2
1
1
3
Donc on aura






1 −1 −1
2 −2 −2
1 −1 −1
1
1
A2 = −2 0 −2 −2 0 −2 = −4 0 −4 = A
4
4
1
1
3
2
2
6
1
1
3
A2 = A et Fix( f ) 6= 0/ donc f est une projection affine P .
Pour déterminer la direction de f on doit chercher ker(A).
 

   
x
1 −1 −1
x
0
y ∈ ker(A) ⇐⇒ −2 0 −2 y = 0
z
1
1
3
z
0


x − y − z = 0
⇐⇒
−2x − 2z = 0


x + y + 3z = 0
(
y = 2x
⇐⇒
z = −x
Donc f est la projection affine sur le plan P d’équation x + y + z − 1 = 0 parallèlement à



G = Vect(→
e1 + 2→
e2 − →
e3 ).
b) D est la droite passant par le point A de coordonnées (1, 0, 3) et de vecteur directeur





u =→
e1 − 2→
e2 − 4→
e3 , donc f (D ) est le sous-espace affine de E passant par le point f (A)

− −

− −



e1 +6→
e3 −13→
e3 ), donc f (D ) est la droite
et de direction Vect( f (→
u )). On a f (→
u ) = 12 (7→
1
9
passant par le point B de coordonnées (− 2 , −3, 2 ) et de vecteur directeur





v = 12 (7→
e1 + 6→
e3 − 13→
e3 ).
c) P est le plan passant par le point A de coordonnées (−5, 0, 0) et de vecteurs directeurs







u = −→
e1 + →
e2 et →
v =→
e1 + →
e3 . Donc f (P ) est le sous-espace affine passant par f (A) et

− →




de direction Vect({ f ( u ), f (→
v )}). Donc f (P ) est le plan affine passant par le point B
−−→ − −−→ →
de coordonnées (−2, 6, 2) et de vecteurs directeurs −e1 + →
e2 et −e2 + −
e3 .
Page 41 sur 78

2

M.HOUIMDI

2.2.4

Symétrie affine

Définition 21
Soient E un espace affine, F un sous-espace affine de E de direction F, G un supplémentaire de
F dans E et p la projection affine sur E de direction G. On appelle symétrie affine par rapport
à F parallèlement à G (ou de direction G), l’application f : E −→ E qui à tout point M fait
correspondre le point M 0 défini par
−−→0
−−−−→
MM = 2M p(M)

Remarque 23
Soient E un espace affine, F un sous-espace affine de E de direction F, G un supplémentaire de F
dans E, p la projection affine sur E de direction G et f la symétrie affine par rapport à F parallèlement à G. Alors,
1.
f (M) = M ⇐⇒ p(M) = M
⇐⇒ M ∈ Fix(p)

2. p(M) est le milieu du segment [M, f (M)].
−−−−→
3. ∀M ∈ E , M f (M) ∈ G

F IGURE 2.3 – Symétrie affine
Page 42 sur 78

2

M.HOUIMDI

Définition 22 (Rappel d’Algèbre linéaire)
Soit E un K-espace vectoriel.
i) Soient F un sous-espace vectoriel de E et G un supplémentaire de F dans E. On appelle
symétrie vectorielle par rapport à F parallèlement à G, l’application sF définie par
sF : E = F ⊕ G −→ E
x = x1 + x2 7−→ sF (x) = x1 − x2
ii) On dit qu’un endomorphisme u de E est une symétrie, si u2 = IdE .
Remarque 24
1. Soit sF la symétrie vectorielle par rapport à F parallèlement à G. Alors,
a) ∀x ∈ E, sF (sF (x)) = sF (x1 − x2 ) = x1 − (−x2 ) = x1 + x2 = x, donc s2F = IdE .
b) ker(sF − IdE ) = F et ker(sF + IdE ) = G.
c) Si pF est la projection sur F parallèlement à G, alors sF = 2pF − IdE .
2. Soit u une symétrie de E. Alors,
a) E = ker(u − IdE ) ⊕ ker(u + IdE ).
b) u est la symétrie vectorielle par rapport à ker(u − IdE ) parallélement à ker(u + IdE ).
c) u est un automorphisme de E.
Proposition 21
Soient E un espace affine, F un sous-espace affine de E de direction F et G un supplémentaire
de F dans E. Alors la symétrie f par rapport à F parallélement à G est une application affine
dont l’application linéaire associée est la symétrie par rapport à F parallèlement à G.
Preuve
−p = p . Soient M et N deux
Soit p la projection affine sur F parallélement à G, alors on sait que →
F
points quelconques de E , alors on a
−−−−−−→
−−−−→ −−→ −−−−→
f (M) f (N) = f (M)M + MN + N f (N)
−−−−→ −−→
−−−−→
= −2M p(M) + MN + 2N p(N)
−−−−→ −−→
−−−−→
−−→
= −2M p(M) + MN + 2M p(N) − 2MN
−−−−−−→ −−→
= 2 p(M)p(N) − MN
−−→ −−→
= 2pF (MN) − MN
−−→
= (2pF − IdE )(MN)


Donc f est une application affine de E et f = 2pF − IdE = sF .
Remarque 25
Si f est la symétrie affine par rapport à F parallèlement à G, alors
a) Fix( f ) = F .
−−−−→
b) ∀M ∈ E , M f (M) ∈ G.
c) f est une bijection affine.
Page 43 sur 78

2

M.HOUIMDI

Proposition 22
Soient E un espace affine et f une application affine de E. Alors


f est une symétrie affine ⇐⇒ Fix( f ) 6= 0/ et f 2 = IdE


Dans le cas où Fix( f ) 6= 0/ et f 2 = IdE , alors f est la symétrie affine par rapport à Fix( f )


parallèlement à ker( f + IdE ).
Preuve
(=⇒) Trivial.


/ donc Fix( f ) est un sous-espace affine de E de direction F = ker( f −IdE ). Puisque
(⇐=) Fix( f ) 6= 0,

−2
f = IdE , alors E = ker( f − IdE ) ⊕ ker( f + IdE ). Soit p la projection affine sur Fix( f ) paral→

−p − Id . Montrons que f
lélement à G = ker( f + IdE ), alors, d’après la remarque 22, f = 2→
E
est la symétrie affine par rapport à Fix( f ) parallélement à G = ker( f + IdE ). Pour cela, soit M
un point quelconque de E et soit A ∈ Fix( f ), alors on aura
−−−−→
−−−−→ −−−−−−−→
M f (M) = M p(M) + p(M) f (M)
−−−−→ −−−−→ −−−−→
= M p(M) + A f (M) − Ap(M)
−−−−→ −−−−−−→ −−−−−−→
= M p(M) + f (A) f (M) − p(A)p(M)
−−−−→ →
− −→ − −→
= M p(M) + f (AM) − →
p (AM)
−−−−→
→ −→ − −→
−p (−
= M p(M) + 2→
AM) − AM − →
p (AM)
−−−−→ →
−→ −→

= M p(M) + p (AM) − AM
−−−−→ −−−−→ −→
= M p(M) + Ap(M) − AM
−−−−→
= 2M p(M)


Donc f est la symétrie affine par rapport à Fix( f ) parallèlement à ker( f − IdE ).
Corollaire 2
Soient E un espace affine et f une application affine de E . Alors
f est une symétrie affine ⇐⇒ f 2 = IdE
(=⇒) Supposons que f est une symétrie affine et soit p la projection affine sur Fix( f ) parallélement à


ker( f +IdE ), alors on sait que pour tout point M ∈ E , p(M) est le milieu su segment [M, f (M)],
−−−−→
−−−−−−−→
par suite, f (M)M = 2 f (M)p(M), donc, par définition, pour tout point M ∈ E , on a
f ( f (M)) = M.
−−→ −→

− →

(⇐=) On a f ◦ f = IdE , donc f ◦ f = IdE , par suite, f ◦ f = IdE . Il suffit donc de vérifier que
/ pour cela, soit A un point de E et soit B le milieu de [A, f (A)], alors on aura,
Fix( f ) 6= 0,

→ −−−→ →

− −
→ →
− −−−→



BA + B f (A) = 0 =⇒ f (BA) + f (B f (A)) = 0
−−−−−−→ −−−→ →

=⇒ f (B) f (A) + f (B)A = 0 (car f ( f (A)) = A)
=⇒ f (B) est le milieu de [A, f (A)]
=⇒ f (B) = B
=⇒ Fix( f ) 6= 0/
Page 44 sur 78

2

M.HOUIMDI

Remarque 26


/ Alors f n’est
Soient E un espace affine et f une application de E , telle que f 2 = IdE et Fix( f ) = 0.
pas une symétrie affine de E .
Lemma 1
Soient K-espace vectoriel de dimension finie et u une symétrie vectorielle de E. Alors
E = ker(u − IdE ) ⊕ Im(u − IdE )
Preuve
on a u2 = IdE , donc (u + IdE ) ◦ (u − IdE ) = 0, donc Im(u − IdE ) ⊆ ker(u + IdE ).
Or on sait que E = ker(u − IdE ) ⊕ ker(u + IdE ), et dim(E) = dim(ker(u − IdE )) + dim(Im(u − IdE )).
Donc dim(Im(u − IdE )) = dim(ker(u + IdE )), par suite on a E = ker(u − IdE ) ⊕ Im(u − IdE ).
Proposition 23


Soient E un espace affine de dimension finie et f une application de E , telle que f 2 = IdE et



/ Alors, il existe un vecteur →
Fix( f ) = 0.
v ∈ ker( f − IdE ) et il existe une symétrie affine g de E ,
tels que


f = t→
v
v ◦ f = f ◦ t→


Dans ce cas, f s’appelle une symétrie glissée par rapport à Fix(g) parallèlement à ker( f + IdE )

et de vecteur →
v.
Preuve
D’après le lemme précédent, E = ker(u − IdE ) ⊕ Im(u − IdE ), donc d’après le théorème 8, il existe


/ tels que
v ∈ E et il existe une application affine g avevc Fix( f ) 6= 0,


f = t→
v ◦ f = f ◦ t→
v





/ alors g est la symétrie affine par rapport à
Puisque →
g = f , alors →
g 2 = IdE et puisque Fix(g) 6= 0,


Fix(g) parallélement à ker( f + IdE ).
Exemples 15


− →
− →
L’espace affine E de dimension 3 est muni d’un repère cartésien (O, i , j , k ).
1. (
Déterminer l’expression analytique de la symétrie affine par rapport à la droite D d’équations
x−y+z = 2
parallélement au plan vectoriel G d’équation x + y + 2z = 0.
3x + y + z = 4
Réponse Pour déterminer l’expression analytique de f nous allons utiliser le fait que pour
−−−−→
tout point M de E , M f (M) ∈ G et le milieu N de [M, f (M)] appartient à D .
(
x0 − y0 + z0 = −x + y − z + 4
N ∈ D ⇐⇒
3x0 + y0 + z0 = −3x − y − z + 8
−−−−→
M f (M) ∈ G ⇐⇒ x0 + y0 + 2z0 = x + y + 2z
On obtient donc le système suivant

0
0
0

x − y + z = −x + y − z + 4
3x0 + y0 + z0 = −3x − y − z + 8

 0
x + y0 + 2z0 = x + y + 2z
Page 45 sur 78

2

M.HOUIMDI
qui admet pour solution,

1
0

x = 2 (−3x − y − 2z + 7)
y0 = 12 (x − y + 2z − 3)

0
z = x+y+z−1
2. Soit f l’application affine définie analytiquement par

0

x = −y − z + 1
y0 = −2x − y − 2z + 2

0
z = x + y + 2z − 1
Montrer que f est une symétrie dont on déterminera les éléments caractéristiques.
Réponse





− →
− →
Soit A la matrice de f par rapport à la base ( i , j , k ), alors on a


 

0 −1 −1
0 −1 −1
1 0 0
A2 = −2 −1 −2 −2 −1 −2 = 0 1 0 = I
1
1
2
1
1
2
0 0 1
M ∈ Fix( f ), si et seulement les coordonnées x, y et z de M vérifient le système suivant,


x = −y − z + 1
y = −2x − y − 2z + 2


z = x + y + 2z − 1
qui est équivalent à l’équation x + y + z = 1.









Pour conclure, on doit chercher ker( f +IdE ). Soit →
u = a i +b j +c k un vecteur quelconque
de E, alors

   
1 −1 −1
a
0




u ∈ ker( f + IdE ) ⇐⇒ −2 0 −2 b = 0
1
1
3
c
0


a − b − c = 0
⇐⇒
−2a − 2c = 0


a + b + 3c = 0
(
b = 2a
⇐⇒
c = −a






− →
Donc ker( f + IdE ) = Vect( i + 2 j − k ).


f est la symétrie affine par rapport au plan d’équation x + y + z = 1 parallélement à Vect( i +


− →
2 j − k ).
3. Soit f l’application affine définie analytiquement par

0

x = 3x − 4z − 1
y0 = 2x − y − 2z − 2

0
z = 2x − 3z − 3
Montrer que f est une symétrie glissée dont on déterminera les éléments caractéristiques.

Page 46 sur 78

2

M.HOUIMDI
Réponse



On vérifie facilement que f n’a aucun point fixe et que A2 = I, où A est la matrice de f


− →
− →
par rapport à la base ( i , j , k ). Donc f est une symétrie glissée. Pour obtenir les éléments
−−−−→
caractéristiques de f , on cherche d’abord l’ensemble des point M ∈ E , tels que M f (M) ∈


ker( f − IdE ).


  
2
0
−4
2x

4z

1
0
−−−−→


M f (M) ∈ ker( f − IdE ) ⇐⇒ 2 −2 −2 2x − 2y − 2z − 2 = 0
2 0 −4
2x − 4z − 3
0
(
2x − 4z − 5 = 0
⇐⇒
x−y−z−8 = 0
5
11
Donc, par exemple, pour z = 0, on a x = 52 et y = − 11
2 . Soit B le point de coordonnées ( 2 , − 2 , 0),
−−−→














alors A f (A) ∈ ker( f . Soit →
v = A f (A), alors on a →
v = 4 i + 14 j + 2 k(.
2x − 4z − 5 = 0
f est donc la symétrie glissée par rapport à la droite affine d’équations
x−y−z−8 = 0
− →





− →







parallélement à ker( f + IdE ) = Vect( i + k , j ) et de vecteur v = 4 i + 14 j + 2 k .

2.3

Exercices

Exercice 22
Soient E un espace affine, A et B deux points distincts de E . On considère l’application f : E −→ E
qui à tout point M fait correspondre le point M 0 barycentre du triangle ABM. Trouver la nature de f
et déterminer ses éléments caractéristiques.
Exercice 23
Soient E un espace affine, A et B deux points distincts de E . Pour chaque point M de E , soit N le
point de E , tel que (A, B, M, N) forme un parallélogramme. On considère l’application f : E −→ E
qui à tout point M fait correspondre le point M 0 milieu de [A, N]. Trouver la nature de f et déterminer
ses éléments caractéristiques.
Exercice 24
Soient E un espace affine, A et B deux points distincts de E . Soient α et β deux réels différents de 1,
f l’homothétie de centre A et de rapport α et g l’homothétie de centre B et de rapport β. On considère
l’application h : E −→ E qui à tout point M fait correspondre le point M 0 milieu de [ f (M), g(M)].
a) Montrer que si α + β = 2, alors h est une translation dont le vecteur a une direction fixe.
b) Montrer que si α + β 6= 2, alors h est une homothétie dont on déterminera le rapport k et le centre
Ω. Montrer que Ω ∈ (AB).
Exercice 25
Soient E un espace affine de dimension 3, (A, B,C, D) un repère affine de E et G le centre de gravité
du triangle ABC. Soit f l’application affine de E , telle que f (A) = A, f (B) = B, f (C) = C et f (D) = G.
Trouver la nature de f et déterminer ses éléments caractéristiques.
Exercice 26
Soit E un espace affine. On appelle dilatation de E toute bijection de E qui transforme toute droite
en une droite parallèle. Dans la suite f désigne une dilatation de E .
1. On suppose qu’il existe A ∈ E , tel que f (A) = A. Montrer que toute droite passant par A est
globalement invariant par f .
Page 47 sur 78

2

M.HOUIMDI
2. On suppose que f possède au moins deux points fixes A et B. Montrer que f = IdE .
3. On suppose que f admet un unique point fixe Ω. Monter que f est l’homothétie de centre Ω.
−−−→

4. On suppose que f n’admet aucun point fixe. Soit A un point de E et →
v = f (A)A. Montrer que


t→
v ◦ f = IdE . En déduire la nature de f .
v ◦ f est une dilatation et que t→

Exercice 27
Soient A, B, C trois points deux à deux distincts d’un espace affine E , (α, β, γ) ∈ R3 , tels que
α + β + γ 6= −1 et σ = (α, β, γ). On considère l’application fσ : E −→ E qui à tout point M de E fait
correspondre le point M 0 barycentre de ((A, α), (B, β), (C, γ), (M, 1)).
1. Montrer que fσ est une application affine et préciser la nature de fσ suivant la valeur de σ.


2. Soit →
v un vecteur de E. existe-t-il une valeur de σ telle que f soit la translation de vecteur →
v ?
σ

3. Soit Ω ∈ E et k un réel non nul. existe-t-il une valeur de σ, telle que fσ soit la transtation de
rapport k et de centre Ω ?
Exercice 28


− →
− →
L’espace affine de dimension 3 est muni d’un repère cartésien (O, i , j , k ). Déterminer la nature et
les éléments caractéristiques des applications affines définies analytiquement par


0
0 = 7x − 4y − 2z + 4


x
x = 3x − 4z − 4

,
y0 = 2x − y − 2z − 2
y0 = 6x − 3y − 2z + 4


0
0
z = 2x − 3z − 4
z = 12x − 8y − 3z + 8

0

x = −x + 2y − 2z − 2
y0 = −3y + 2z + 6

0
z = −4y + 3z + 6

,


1
2
0

x = 2 (y − z) + 3
y0 = 12 (−2x + 3y − z) + 23

0 1
z = 2 (−2x + y + z) + 23

Exercice 29


− →
− →
L’espace affine de dimension 3 est muni d’un repère cartésien (O, i , j , k ). On considère les applications affines définies analytiquement par


1
0 = −y − z − 1
0


x

x = 3 (x − 2y − 2z + 1)
y0 = 13 (−2x + y − 2z + 2)
y0 = −2x − y − 2z + 1 ,


0
0 1
z = x + y + 2z − 2
z = 3 (−2x − 2y + z − 1)
Montrer que ces applications sont des symétries glissées dont on déterminera les éléments caractéristiques.
Exercice 30


− →
− →
L’espace affine de dimension 3 est muni d’un repère cartésien (O, i , j , k ). Déterminer la nature
et les éléments caractéristiques des applications affines définies analytiquement par les expressions
suivantes :



1
0 = 3x + 4y + 2z − 4
0 = −4x − 2y + z − 7
0



x
x


x = 11 (9x + 2y − 6z + 38)
1
,
y0 = −2x − 3y − 2z + 4 ,
y0 = x − y − z − 1
y0 = 11
(2x + 9y + 6z + 17)



0
0
0
1
z = 4x + 8y + 5z − 8
z = −3x − 6y − 9
z = 11
(−6x + 6y − 7z − 29)
Exercice 31


− →
− →
L’espace affine de dimension 3 est muni d’un repère cartésien (O, i , j , k ). Déterminer l’expression
analytique des applications affines suivantes :
Page 48 sur 78

2

M.HOUIMDI
1. La projection
( sur le plan affine d’équation x + y + z = 2 parallélement à la droite vectorielle
x = 2z
d’équations
.
x+y+2 = 0
(
x−y+z = 2
2. La symétrie affine par rapport à la droite affine d’équations
parallélement
3x + y + z = 4
au plan vectoriel d’équation x + y + 2z = 0.


− →
− →
3. La symétrie par rapport au plan d’équation x + 2y + z = 1 et de direction Vect( i + j + k ).
(
x+y+1 = 0
4. La symétrie par rapport à la droite d’équation
de direction le plan vectoriel
2y + z + 2 = 0
d’équation 3x + 3y − 2z = 0.

Exercice 32


− →
− →
L’espace affine de dimension 3 est muni d’un repère cartésien (O, i , j , k ). Soient A, B, C et D
qautres points de coordonnées respectives (1, 2, −1), (1, 0, 2), (2, −4, 3) et (−2, −1, 0).
1. Donner l’expression analytique de la symétrie affine par rapport au plan P = (ACD) paralléle−

ment à G = Vect(AB).
→.
2. Soit h l’homothétie de centre A et de rapport −2. Reconnaitre l’application affine f = h ◦ t−
AB
Exercice 33
Soient D1 et D2 deux droites affines de l’espace affine E de dimension 3. Soit P un plan affine de
E qui n’est parallèle ni à D1 ni à D2 . On désigne par q la projection affine sur P parallèlement à la
direction de D1 et par p la projection affine sur P parallèlement à la direction de D2 . Soit α ∈]0, 1[
et soit f : E −→ E l’application qui à chaque point M fait correspondre le point M 0 barycentre de
((p(M), α), (q(M), (1 − α)).


−p et →

1. Montrer que f est une application affine et déterminer f en fonction de →
q.












2. Montrer que p ◦ q = p et q ◦ p = q .

− →
− →

3. Montrer que f ◦ f = f et en déduire que f est une projection affine.
4. Déterminer les éléments caractéristiques de f .
Exercice 34
Soient E un espace affine, F un sous-espace de E de direction F, G un supplémentaire de F dans
E, p la projection sur F parallélement à G et α un nombre réel. On appelle affinité de base F , de
direction G et de rapport α, l’application f : E −→ E qui à tout point M de E fait correspondre le
point M 0 défini par
−−−−−→0
−−−−→
p(M)M = α p(M)M


1. Montrer que f est une application affine et déterminer l’application linéaire associée f .
2. Identifier f dans le cas α = 0, α = 1 et α = −1.
3. Montrer que si α 6= 0, alors f est une bijection affine et que f −1 est une affinité dont on déterminera la base, la direction et le rapport.
4. Montrer que f ◦ f est une affinité dont on déterminera la base, la direction et le rapport.
Exercice 35


− →
− →
L’espace affine de dimension 3 est muni d’un repère cartésien (O, i , j , k ). On considère les application affines f et g définies analytiquement par


0
0


x = 2x + 2y + 2z + 1
x = 3x + 4y + 2z − 4
f : y0 = −x − y − 2z − 1
g : y0 = −2x − 3y − 2z + 4


0
0
z = x + 2y + 3z + 1
z = 4x + 8y + 5z − 8
Page 49 sur 78


Documents similaires


Fichier PDF geometrie 2009
Fichier PDF applications affines
Fichier PDF algebre lineaire
Fichier PDF 142 utilisation de groupes en geometrie
Fichier PDF geometrie 2018
Fichier PDF serie espace bac science


Sur le même sujet..