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UNIVERSITE DE LIEGE
FACULTE DES SCIENCES APPLIQUEES
DEPARTEMENT D’ELECTRICITE, ELECTRONIQUE ET
INFORMATIQUE

ELECTROMAGNETISME
S´
eances d’exercices - transparents
septembre 2012

P. Rousseaux
Institut Montefiore Bˆat. B28
Sart-Tilman, 4000 Li`ege.

TP1 :
RAPPEL ANALYSE VECTORIELLE
~ et V
ELECTROSTATIQUE - E

ELEN0076

1-1

• vecteur :

zˆ
~
A

~ = Ax x
A
ˆ + Ay yˆ + Az zˆ

yˆ
x
ˆ

• produit scalaire :

~
B

~·B
~ = Ax Bx + Ay By + Az Bz
A
~ B|
~ cos θ
= |A||

θ
~
A

• produit vectoriel :

~×B
~ = (Ay Bz − Az By )ˆ
x + (Az Bx − Ax Bz )ˆ
y
A
~ B|
~ sin θ ~n
+ (Ax By − Ay Bx )ˆ
z = |A||


 x
yˆ
zˆ 
 ˆ


=  Ax Ay Az 


 Bx By Bz 
ELEN0076

1-2

n
ˆ

~
B

θ
~
A

~ :
´
• Operateur
∇

∂
∂
~ = ∂ x
∇
ˆ+
yˆ +
zˆ
∂x
∂y
∂z

´ cartesiennes
´
uniquement en coordonnees

• Gradient (d’une grandeur scalaire) :
∂A
∂A
~ = ∂A x
ˆ+
yˆ +
zˆ
∇A
∂x
∂y
∂z
• Laplacien (d’une grandeur scalaire) :

∂2
∂2
∂2
∇ =
+
+
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
2

ELEN0076

~ · ∇)
~
(= ∇

1-3

• Divergence (d’une grandeur vectorielle) :
~ ·A
~ = ∂Ax + ∂Ay + ∂Az
∇
∂x
∂y
∂z
• Rotationnel (d’une grandeur vectorielle) :
∂Ay
∂Ax ∂Az
∂Ax
~ ×A
~ =( ∂Az − ∂Ay )ˆ
∇
x+(
−
)ˆ
y+(
−
)ˆ
z
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y


 x
yˆ
zˆ 
 ˆ
 ∂
∂
∂ 
=  ∂x

∂y
∂z


 Ax Ay Az 

ELEN0076

1-4

´ cylindriques :
• Coordonnees

p
r = x2 + y 2
y
θ = arctan
x

zˆ

x = r cos θ

z

y = r sin θ

zˆ

dx , dy , dz ←→ dr , rdθ , dz
´ spheriques
´
• Coordonnees
:
p
r = x2 + y 2 + z 2
p
x2 + y 2
θ = arctan
z
y
ϕ = arctan
x

x
ˆ

r

θ

θˆ

x = r sin θ cos ϕ

zˆ

y = r sin θ sin ϕ

θ

z = r cos θ

dx , dy , dz ←→ dr , rdθ , r sin θdϕ

ELEN0076

1-5

ELEN0076

1-6

x
ˆ

ϕ

yˆ
rˆ

r

rˆ
ϕˆ
θˆ
yˆ

´ eme
`
Theor
de la divergence

S

R

~ · A)
~ d3~r =

V (∇

R

S

~
~ · dS
A

V

´ eme
`
1.1 Divergence et theor
de la divergence

~
Soit le vecteur A

= xx
ˆ + y yˆ + z zˆ.

´
1. Calculez l’integrale

IS =

Z

S

~ ·A
~
dS

` de rayon R centree
´ a` l’origine.
sur la surface d’une sphere

~ ·A
~ , ainsi que l’integrale
´
2. Calculez ∇
Z

IV =



~
~
d ~r ∇ · A .
3

V

ˆ
`
sur le volume de la meme
sphere.

ELEN0076

1-7

´
´
Schema
de resolution
:
´ spheriques
´
1. Coordonnees

~ = R2 sin θdθdϕˆ
~ = Rˆ
A
r
dS
r
Z π Z 2π
IS =
R3 sin θdθdϕ = 4πR3

`
sur la sphere

0

2.

0

~ ·A
~ = ∂Ax + ∂Ay + ∂Az = 1 ∂ (r2 Ar ) = 3
∇
∂x
∂y
∂z
r2 ∂r
Z R Z π Z 2π
IV =
3r2 sin θdrdθdϕ = 4πR3
0

0

0

ELEN0076

1-8

´ eme
`
Theor
de Stokes

R

R

~
~ ~
S (∇ × A) · dS =

C

~
~ · dℓ
A

S

C

´ eme
`
1.2 Rotationnel et theor
de Stokes

~ = A0 x
ˆ ou` A0 est une conSoit le vecteur A
´
stante. Calculez les integrales
curvilignes suivantes :
I1 =
I2 =

Z

ZC1
C2

yˆ

C1

R

~
d~ℓ · A,

A

~
d~ℓ · A.

B x
ˆ
C2

ELEN0076

1-9

´
´
Schema
de resolution
:
1. sur C1 :

~ = R|dθ|(−θ)
~
dℓ
θ~ = − sin θ~x + cos θ~y
Z
Z B
~ =
~ · dℓ
A0 R sin θ(−dθ)
A
C1
ZAπ
=
A0 R sin θdθ = 2A0 R
0

2. sur C2 :

Z

C2

~ = dx ~x
dℓ
Z B
~ =
~ · dℓ
A
A0 dx
=

3.

Z

A
R

A0 dx = 2A0 R
−R

~ est un champ irrotationnel : ∇
~ ×A
~=0
A
ELEN0076

1 - 10

´
Champ electrique
cre´ e´ (dans le vide)

• par une charge ponctuelle q

P

q
~ =
rˆ
E
4πε0 r2

~
E

rˆ

+q

• par une ensemble de charges ponctuelles : application de la superposition
X qi
~ =
E
2 rˆi
4πε
r
0 i
i
´ sur un volume V
• par une charge distribuee

~ r) = 1
E(~
4πε0

Z

V

ρ
′
~r

′

ρ(~r ) 
′
3 ′
~
r
−
~
r
d
~r
|~r − ~r ′ |3

ELEN0076

0

1 - 11

~ , regime
´
• Equations de Maxwell relatives a` E
statique
~ ·E
~ = ρ
∇
ε0
~ ×E
~ =0
∇
´
permittivite´ dielectrique
du vide : ε0

=

1
10−9 = 8.85 10−12 F/m
36π

´
• Potentiel electrique
V

~ ×E
~ =0
∇

~ = −∇V
~
=⇒ E

´
`
V determin
e´ a` une constante pres.
´
• Difference
de potentiel entre deux points A et B
Z A
Z
~ =
~ · dℓ
VA − VB = −
E
B

B
A

´
´
Difference
de potentiel independante
du chemin choisi !

ELEN0076

1 - 12

~
~ · dℓ
E

~r

P

´
Potentiel electrique
cre´ e´ (dans le vide)

• par une charge ponctuelle q

V =

q
+C
4πε0 r

• par une ensemble de charges ponctuelles : application de la superposition
X qi
V =
+C
4πε0 ri
i

´ sur un volume V
• par une charge distribuee

1
V (~r) =
4πε0

Z

V

′

ρ(~r ) 3 ′
d ~r + C
|~r − ~r ′ |

ELEN0076

1 - 13

ˆ electrique
´
2.2 Dipole
ˆ electrique
´
Un dipole
est constitue´ de deux charges
´
´
electriques
d’amplitudes egales
et de signes op´ distantes de d et placees
´ dans le vide.
poses,
´
1. Determinez
l’expression du potentiel et du
´
`
r,
champ electrique
du systeme
en un point ~
r|.
dans la limite d ≪ |~

´
2. Representez
les lignes de champ.

´
3. Determinez
l’expression de la densite´ de
´
ρ.
charge electrique

ELEN0076

1 - 14

ρ
′
~r
0

~r

P

1.
´ spheriques
´
• Coordonnees

• Par superposition

q 1
q 1
−
4πε0 |r~1 | 4πε0 |r~2 |
d
d
~r2 = ~r + zˆ
~r1 = ~r − zˆ
2
r
r2
d2
d2
2
2
|~r1 | = r +
− rd cos θ
|~r2 | = r +
+ rd cos θ
4
4
V (r) =

• Pour d ≪ r

1
q
r2 +

d2
4

V =

avec p

∓ rd cos θ

≃

1 1 d cos θ
±
r 2 r2

qd cos θ 1
p zˆ · rˆ
=
4πε0 r2
4πε0 r2

= qd le moment dipolaire

ELEN0076

1 - 15

´
• Champ electrique

~ = −∇V
~ = − ∂V rˆ − 1 ∂V θˆ = p
E
∂r
r ∂θ
4πε0
´
2. Lignes de champ et equipotentielles

´
• Equation des equipotentielles
:
1

p cos θ 1
p cos θ 2
=
V
=⇒
r
=
0
4πε0 r2
4πε0 V0

• Lignes de champ ⊥ en tout point aux
´
equipotentielles

ELEN0076

1 - 16

2 cos θˆ
r + sin θθˆ
r3

!

3. Charge volumique

~ ·E
~
ρ = ε0 ∇
~ ·E
~ = 1 ∂ (r2 Er ) + 1 ∂ (sin θEθ )
∇
r2 ∂r
r sin θ ∂θ
=0
Finalement ρ

=0

OUF !

ELEN0076

1 - 17

´
2.3 Distribution lineaire
de charges
` un systeme
`
´
On considere
de charges electriques
´
´
´
distribuees
uniformement
sur une droite indefinie,
´ : C/m).
´
ρL (unites
avec une densite´ lineique
´
´
1. Determinez
l’expression du champ electrique
de cette distribution
´
(a) par integration
directe,
´ eme
`
(b) en utilisant le theor
de Gauss.
´
2. Determinez
l’expression
´
electrique
correspondant.

du

potentiel

ELEN0076

1 - 18

~
1. Calcul du champ E
´
Par integration
directe

~ r) = 1
E(~
4πε0
~r = rˆ
r
Ez = 0

Z

∞

′

′

ρL (~r )(~r − ~r ) ′
dz
|~r − ~r ′ |3
−∞
p
′
′
′
~r = z zˆ
|~r − ~r | = r2 + z ′ 2 ρL dz ′
Z ∞
r
ρL
′
′
√
Er =
dz
~
r
′2 3
2
4πε0 −∞ ( r + z )

Changement de variable z

ρL
Er =
4πε0

Z

′

zˆ

~r − ~r

′

zˆ

α
rˆ

~r

= r tan α

π/2

ρL
cos3 α r
dα
=
r 3
r
cos2 α
2πε0 r
−π/2

ELEN0076

1 - 19

´ eme
`
Theor
de Gauss

~ ·E
~
´ eme
`
´
Application du theor
de la divergence a` l’equation
de Maxwell ∇
Z

S

~ =
~ · dS
E

Z

V

~ ·E
~ d3~r =
∇

Z

S
V

ρ 3
d ~r
ε0

V

En pratique :
´
`
• exploiter la ou les symetries
du probleme

` judicieuse la surface de Gauss S
• choisir de maniere

ELEN0076

1 - 20

ρ

=

ρ
ε0

´ eme
`
Par application du theor
de Gauss

• Surface de Gauss = cylindre de hauteur h et de rayon r
~ = Er (r)ˆ
´
r
E
• Par symetrie
Z

S

~ =
~ · dS
E

Z

~ +
~ · dS
E
{z
| S1

Z

=0

~ +
~ · dS
E
S2
}

Er 2πrh =
Er =

Z

S3

~ =
~ · dS
E

ρL h
ε0

ρL
2πε0 r

h
S1 r
S2
~
E

S3

ELEN0076

1 - 21

2. Calcul du potentiel V

~ = −∇V
~ = − ∂V rˆ
E
∂r
ρL
V =−
ln r + C
2πε0
r0
ρL
ln + C
V =
2πε0
r
´
r0
C permet de fixer la valeur de V pour la dimension caracteristique
´
3. Lignes de champ et equipotentielles
´
Equation des equipotentielles
:

r0
ρL
ln
= V0
2πε0
r

⇒

ELEN0076

r = r0 e

1 - 22

2πε0 V0
ρL

Rh
0

ρL dz
ε0

Equipotentielles = cylindres de rayon r

~ radiales
Lignes de champ E

ELEN0076

1 - 23

TP2 : ELECTROSTATIQUE
EQUATION DE LAPLACE - CAPACITE
METHODE DES IMAGES

ELEN0076

2-1

´
`
´
´
Resolution
de problemes
d’electrostatique
via l’equation
de Laplace
´
de Poisson
Le potentiel V satisfait a` l’equation

∇2 V = −

ρ
ε0

´
´
Dans une region
de l’espace depourvue
de charges sources (ρ
Laplace:

´
= 0), equation
de

∇2 V = 0
´
´
Methode
de calcul de V dans un domaine de l’espace exterieur
aux charges sources:
´ e;
´
• rechercher une solution a` ∇2 V = 0 dans le domaine de l’espace consider
´ es
´ de symetrie
´
• exploiter les propriet
pour “deviner” une solution;

`
• appliquer les conditions aux limites sur les frontieres
du domaine.
´ eme
`
Theor
d’unicite´
`
La solution a` ce probleme
est unique !

ELEN0076

2-2

Condensateur et capacite´
Condensateur :
´
´ +Q, −Q,
ensemble de deux conducteurs portant des charges egales
et opposees
´
faisant naˆıtre une difference
de potentiel ∆V entre les deux conducteurs.

~
E

+Q

Capacite´ du condensateur :

−Q

C=

Q
∆V

´
´
´
`
´
de la geom
etrie
du systeme
(ainsi que du materiau
C est une constante dependant
´
separant
les deux conducteurs)

ELEN0076

2-3

´
Determination
de la capacite´ d’un condensateur.
´
Deux procedures
possibles :
1. Imposer la d.d.p ∆V entre les deux conducteurs
´
• rechercher l’expression du potentiel V et du champ electrique
dans l’espace
´
entre les deux conducteurs (equation
de Laplace)

´
´ par les conducteurs (theor
´ eme
`
• en deduire
la charge Q portee
de Gauss)

´ par les conducteurs
2. Imposer la charge Q portee

´
• rechercher l’expression du champ electrique
dans l’espace entre les deux
´ eme
`
conducteurs (theor
de Gauss)

´
• en deduire
la d.d.p. ∆V entre les deux conducteurs.

ELEN0076

2-4

2.4 Capacite´ du condensateur plan - Equation de Laplace
` un condensateur plan a` air dont les plateaux sont separ
´
´ d’une distance d.
On considere
es
´
´
Le potentiel du plateau superieur
vaut V0 volts, celui du plateau inferieur
vaut 0 volt.
´
´
1. En partant de l’equation
de Laplace, determinez
les expressions du potentiel et du
´
´
champ electrique
entre les deux plateaux. On negligera
les effets de bord.
´ par le plateau superieur
´
2. Quelle est l’expression de la charge surfacique portee
?
´
`
3. Determinez
l’expression de la capacite´ de ce systeme.

ELEN0076

2-5

1. Calcul du potentiel V

zˆ
+Q

d
~
E

V0

~ = Ez (z)ˆ
´
´ :E
• Effets de bord neglig
es
z , V = V (z)
• Domaine de l’espace : 0 ≤ z ≤ d
• Conditions aux limites :
V = 0 pour z = 0
V = V0 pour z = d

−Q
´ erale
´
de ∇2 V :
• Solution gen

∂2V
=0
∂z 2

⇒

• Application des conditions aux limites :
• V = 0 pour z = 0 : B = 0
V0
• V = V0 pour z = d : A =
d
z
V (z) = V0
d

ELEN0076

V (z) = Az + B

⇒

2-6

~ = − V0 zˆ
E
d

2. Charge surfacique:

~ est nul en tout point exterieur
´
• E
au condensateur

´ eme
`
´
`
• Application du theor
de Gauss sur un parallelipip
ede
de base S → 0 et
´
entourant la plaque superieure
du condensateur

ε 0 E S = QS , ε 0 E =
lim (

S→0

QS
) = σS
S

⇒

σ S = ε0

QS
S

ε0 E = σ S

V0
d

3. Capacite´

Q = σ S S = ε0

V0 S
ε0 S
Q
=
⇒C=
d
V0
d

ELEN0076

2-7

ˆ
2.5 Capacite´ d’un cable
coaxial
ˆ
ˆ
Un cable
coaxial est constitue´ de deux conducteurs de meme
axe et de rayons respectifs
´
´ par un milieu isolant de permittivite´
a et b, avec b > a. Les conducteurs sont separ
es
´
ε.
electrique
´
`
1. Determinez
l’expression de la capacite´ unitaire du systeme.
´
´
´
2. Donnez-en une valeur numerique
dans le cas suivant : le rayon exterieur
est egal
a`
´
b = 0.5 cm, le conducteur interieur
a une section de 1 mm2 et la permittivite´ relative
´
du dielectrique
vaut εr = 2.5.

ELEN0076

2-8

`
1. Capacite´ du systeme
´
• Recherche du potentiel V dans l’espace separant
les deux conducteurs
´
´
Resolution
de l’equation
de Laplace

∇2 V = 0 pour a ≤ r ≤ b avec V = V (r) et

(

V = V0
V =0

r=a
pour r = b
pour

´ cylindriques
Coordonnees

1 ∂ ∂V
(r
)=0
r ∂r ∂r

⇒

∂V
A
=
∂r
r

⇒

V = A ln r + B

r = a : V0 = A ln a + B
r = 0 : 0 = A ln b + B
V0
r
ln
ln a/b b
~ = −∇V
~ = − ∂V rˆ = V0 1 rˆ
E
∂r
ln b/a r
V =

ELEN0076

2-9

´
´
´ par le cylindre interieur
´
• Determination
de la densite´ de charge lineique
ρL portee
´ eme
`
Application du theor
de Gauss sur la surface d’un cylindre de rayon a ≤ r ≤ b
et de hauteur h = 1m
ρL
2πεrEr = ρL Er =
2πεr
Expression identique a` celle du conducteur
´
lineique
!
Remplac¸ant Er = f (V0 ) :

r
a
b ρL

2πεV0
ρL =
ln b/a
C=

ρL
2πε
=
V0
ln b/a

´
2. Numeriquement
:

C = 63.7 pF/m

ELEN0076

2 - 10

−ρL

Lignes de champ et equipotentielles

-

-

-

-

-

-

-

~
E

+

+
+

-

+

+

-

+

~ =0
E

+

-

+

+
+

-

+

~ =0
E

ELEN0076

2 - 11

´
`
2.6 Deux lignes chargees
paralleles
` deux lignes uniformement
´
´
On considere
chargees,
portant respectivement une charge
´
´ parallelement
`
lineique
ρL et −ρL , placees
dans le vide a` une distance d l’une de l’autre.
´
´
`
1. Determinez
l’expression du potentiel electrique
du systeme.
´
´
2. Esquissez l’allure des courbes equipotentielles
et des lignes de champ electrique.

zˆ
P (0, y, z)
~r+
~r−

d

ρL

yˆ

x
ˆ
−ρL

ELEN0076

2 - 12

1. Expression du potentiel V
Application de la superposition

ρL
|~r− |
V (x, y, z) = V+ + V− =
ln
+C
2πε0 |~r+ |
q
y 2 + (z + d2 )2
ρL
=
ln q
+C
2πε0
d 2
2
y + (z − )
2

Si C

= 0 : V → 0 pour P → ∞

´
2. Equation des equipotentielles
´ par :
Donnees

q

y 2 + (z + d2 )2
|~r− |
=a
=q
|~r+ |
d 2
2
y + (z − 2 )

ELEN0076

2 - 13

zˆ
V >0

V =0
yˆ
V <0

ELEN0076



d a2 + 1
2
y + z−
2 a2 − 1

2

=(

da 2
)
a2 − 1

Equation de cercles de rayon |a2da
−1|

2 +1
et de centre (0, d2 a
)
a2 −1

2 - 14

´
2.7 Distribution lineique
de charges au dessus d’un plan conducteur : application
´
de la methode
des images
´
´ (densite´ de charge ρL ) est placee
´ parallelement
`
Une ligne uniformement
chargee
a` un
plan conducteur d’extension infinie, a` une distance h de celui-ci.

~ au dessus du
´
´
E
1. Determinez
les expressions du potentiel V et du champ electrique
plan conducteur.
´
´
2. Determinez
la charge electrique
induite par unite´ de surface dans le plan conducteur.
´
´
3. A partir du principe de superposition, determinez
les valeurs du champ electrique
aux
points A et B du plan.

zˆ

+ρL
h
V =0 A

B

yˆ

h

ELEN0076

`
• Probleme
:

2 - 15

∇2 V = 0 dans le domaine z ≥ 0
(
V → 0 pour y, z → ∞
avec les conditions limites
V = 0 pour z = 0
´
Resoudre

• En l’absence de plan conducteur
V =

ρL
r0
ln p
2πε0
y 2 + (z − h)2

satisfait ∇2 V = 0 mais pas la condition limite V
concentriques a` ρL )

• Par contre, le potentiel

´
= 0 (equipotentielles
= cercles

p
y 2 + (z + h)2
ρl
V =
ln p
2πε0
y 2 + (z − h)2

´
satisfait a` l’equation
de Laplace et aux conditions limites dans le domaine z
´ eme
`
´ c’est la solution du probleme
`
• En vertu du theor
d’unicite,
!
ELEN0076

2 - 16

≥0

´
Methode
des images

zˆ

+ρL
d = 2h
V =0

´
Le potentiel solution est equivalent
a` celui cre´ e´ par
´
`
´
´
deux charges lineiques
paralleles
separ
ees
d’une
distance d = 2h.

yˆ

−ρL
Le plan conducteur est remplace´ par une charge −ρL , “image” de la charge ρL par
` a` satisfaire les conditions limites sur le plan.
rapport au plan, de maniere

ELEN0076

2 - 17

´
• Champ electrique
:

~ = −∇V
~ = − ∂V yˆ − ∂V zˆ
E
∂y
∂z


z
y yˆ + (z − h)ˆ
z y yˆ + (z + h)ˆ
ρL
− 2
=
2πε0 y 2 + (z − h)2
y + (z + h)2

• Densite´ de charge surfacique sur le plan conducteur :

h
~ z=0 = −ε0 |E|
~ z=0 = −ρL
σS = n
ˆ · ε0 E|
π y 2 + h2

On observe :

Z

∞
−∞

σS (y)dy = −ρL !
ρL

V =0

ELEN0076

~ z=0
E|

2 - 18

n
ˆ

• Lignes de champ :

zˆ

V =0
yˆ

ELEN0076

2 - 19

~ aux points A et B
• Champ E

´ par la charge ρL et son image −ρL
Par superposition des champs cre´ es
en A :

ρL
(−ˆ
z)
2πε0 h
ρL
~ 2 du a` − ρL :
E
(−ˆ
z)
2πε0 h
~ 1 du a` ρL :
E

+ρL
A

B

~2
~1 E
E
~2
E

−ρL

~ =E
~1 + E
~ 2 = −ρL zˆ
E
πε0 h
~1
E

en B :

ρL (ˆ
y − zˆ)
2πε0 2h
y − zˆ)
~ 2 du a` − ρL : ρL (−ˆ
E
2πε0
2h
~ 1 du a` ρL :
E

~ =E
~1 + E
~ 2 = −ρL zˆ
E
2πε0 h

ELEN0076

2 - 20

TP3 : ELECTROSTATIQUE
METHODE DES IMAGES - POLARISATION

ELEN0076

3-1

2.8 Ligne a` proximite´ d’un conducteur cylindrique
` une ligne uniformement
´
´ (charge lineique
´
´ parallelement
`
On considere
chargee
ρL ) placee
a` un conducteur cylindrique plein de rayon a, porte´ a` un potentiel nul.
´
´
`
Determinez
l’expression du potentiel electrique
du systeme.

ρL

a
V =0
d

ELEN0076

3-2

`
• Probleme
:

∇2 V = 0 dans le domaine r ≥ a
(
V → Cte pour r → ∞
avec les conditions limites
V =0
pour r = a
´
Resoudre

´
des images
• Application de la methode
´
´
• placer une charge lineique
image −ρL de fac¸on a` obtenir une equipotentielle
V = 0 pour r = a, surface du cylindre conducteur
′
• l’emplacement de la charge image d doit permettre de satisfaire cette condition

ELEN0076

3-3

P

~r

V =0

~r+

a

~r−

A

ρL

B
0

d

−ρL

′

d
´ erale
´
• Forme gen
du potentiel :

V (~r) =
• Conditions en r = a :
au point A :
au point B :

ρL
2πε0
ρL
2πε0

ln
ln

′

d +a
d+a
′
a−d
d−a

ρL
|~r− |
+C
ln
2πε0 |~r+ |
+C =0
+C =0

ELEN0076

3-4

)

⇒

(

′

d =
C=

a2
d
ρL
2πε0

ln ad

`
´ polaires :
• Solution du probleme
en coordonnees
(
√
2 2
4
2
ρL
√ r d +a −2ra d cos θ
ln
pour r ≥ a
2
2
2
2
r a +a d −2ra2 d cos θ
V = 2πε0
0
pour r < a
´
:
• Lignes de champ et equipotentielles

ρL

ELEN0076

3-5

´
´
´
ˆ
• Autres geom
etries
qui presentent
la meme
configuration image:
`
Deux cylindres paralleles

ρL
´
´
Charge lineique
a` l’interieur
d’un cylindre creux

• Remarque :
′
´ au centre du
Si d ≫ a on a d ≪ a : on peut supposer la charge image placee
conducteur cylindrique.

ELEN0076

3-6

2.9 Capacite´ unitaire d’une ligne bifilaire
` une ligne bifilaire, constituee
´ de deux conducteurs cylindriques de rayon a
On considere
´ parallelement
`
places
a` une distance d l’un de l’autre.
´
´
En supposant que d ≫ a, etablissez
l’expression de la capacite´ electrique
par unite´ de
`
longueur du systeme.

ELEN0076

3-7

´ de charges portees
´ par les deux conducteurs
• Soient ρL et −ρL les densites

´
´
• Methode
des images : remplacer les conducteurs par deux charges lineiques
a`
´
placer a` l’interieur
des deux conducteurs

` :d≫a
• Hypothese
chaque conducteur

´ placees
´ au centre de
⇒ les charges images sont supposees
´
e´ au point A :
Potentiel du conducteur ρL evalu

a
A

ρL

V+ =

d

ρL
d
ln + C
2πε0 a

Potentiel du conducteur
B:

B

a

V− =

−ρL

ρL
a
ln + C
2πε0 d

´
de potentiel entre les deux conducteurs :
• Difference

∆V = V+ − V− =

ρL
d
ln
πε0 a

ELEN0076

⇒

3-8

´
e´ au point
−ρL evalu

C=

ρL
πε0
=
∆V
ln d/a

`
2.10 Capacite´ d’un systeme
compose´ d’un conducteur cylindrique et d’un plan
conducteur
` un cylindre conducteur place´ parallelement
`
On considere
a` un plan conducteur. Le
cylindre est porte´ au potentiel V0 , le plan conducteur est relie´ a` la masse.
´
`
Determinez
la capacite´ unitaire du systeme.

ELEN0076

3-9

`
• Recherche du potentiel. Probleme
:

∇2 V = 0 dans le domaine r ≥ a, z > 0
(
V = 0 pour z = 0
avec les conditions limites
V = V0 pour r = a

´
Resoudre

´
• Application de la methode
des images :

´ par deux charges image lineiques
´
Le cylindre conducteur et le sol sont remplaces
´ a` l’interieur
´
´ de charges ρL et −ρL et placees
des conducteurs
portant les densites

ELEN0076

3 - 10

´ erale
´
Forme gen
du potentiel :

V =

B

a
d
d

Il faut :

′

A

ρL
r−
ln
+C
2πε0 r+

ρL

h

′

• V (z = 0) = 0 ⇒ h − d =
C=0
• V (A) = V (B) = V0

′

d−d
2 et

ρL
d−a
ρL
d+a
ln
=
ln
−ρL
2πε0 a − d′
2πε0 a + d′
′
⇒ d = a2 /d
√
ρL
ρL
d
h + h2 − a2
ln =
ln
V0 =
2πε0 a
2πε0
a
2πε0
√
C=
h+ h2 −a2
ln
a

ELEN0076

3 - 11

´
Polarisation electrique
´
´
Dans un milieu dielectrique,
sous l’application d’un champ electrique
:
ˆ
´ ementaires
´
´
• des dipoles
el
se creent
et/ou s’organisent pour s’orienter dans le sens du
´
champ electrique
applique´ = polarisation

´ distribuees
´ en volume ρpol et de charges liees
´
• apparition de charges liees
´ ou de polarisation
´ en surface σpol : charges liees
distribuees

• Soit P~ le moment dipolaire par unite´ de volume, on a :
~ · P~
ρpol = −∇
σpol = P~ · n
ˆ

ELEN0076

3 - 12

~ :
´
´
• Vecteur deplacement
electrique
D
~ = ε0 E
~ + P~
D
~ ·D
~ =∇
~ · (ε0 E
~ + P~ ) = (ρlibres + ρpol ) − ρpol = ρlibres
∇
´
`
• Dans un milieu lineaire,
homogene
et isotrope

~
P~ = ε0 χE
~ = ε0 (1 + χ)E
~ = ε0 εr E
~ = εE
~
D
´
du milieu
χ est la susceptibilite´ electrique
εr est la permittivite´ relative du milieu
´
ε est la permittivite´ electrique
du milieu

ELEN0076

3 - 13

3.2 Condensateur plan

ε

ε0

~
E
+σ −σ

~
E
σ + σpol,1 −σ + σpol,2

` un condensateur plan (a` dielectrique,
´
On considere
de permittivite´ ε) dont les plateaux
´
´ de d. Le condensateur est soumis a` une difference
´
ont une surface S et sont separ
es
de
potentiel de V0 volts.
´
1. Determinez
les expressions de la densite´ de surface des charges libres, σ , de la
~ regnant
´
´
´
densite´ de surface des charges liees,
σpol1,2 , et du champ electrique
E
entre les plateaux.
´
2. Deduisez-en
l’expression de la capacite´ C du condensateur.

~ et C dans les deux cas suivants :
´
3. Calculez les valeurs numeriques
de σ , σpol1,2 , E
S = 1 mm2 , d = 1 mm, V0 = 10 V et εr = 1 (air),
(b) S = 1 mm2 , d = 1 mm, V0 = 10 V et εr = 6 (mica).

(a)

ELEN0076

3 - 14

´
• Expression du potentiel et du champ electrique
dans le condensateur: voir exercice
´
´
2.4 (effets de bord neglig
es)

V =

V0
z
d

~ = − V0 zˆ
E
d

´ induites par polarisation
• charges liees
~
~ = ε0 χE
´
`
• milieu lineaire
homogene
et isotrope : P
~ · P~ = 0
´ induites en volume ρpol = −∇
• charges liees
´ induites en surface
• charges liees

σlibres

σlibres + σpol,1

− +− +− + − + − +− +

− +− +− + − + − +− +

− +− +− + − + − +− +

σpol,1 ε

ε0

~
E

~
E

σpol,2

−σlibres

σpol1 = P~ · n
ˆ = −P = −ε0 χE

ELEN0076

−σlibres + σpol,2

σpol2 = P~ · n
ˆ = P = ε0 χE

3 - 15

´
• A la surface de la plaque superieure
:

ε0 E = σlibres + σpol,1

⇒

σlibres = ε0 ( 1 + χ)E = εE = ε

V0
d

´ la presence
´
´
du dielectrique
permet d’augmenter les charges
• Pour V0 (ou E ) fixe,
´ sur les plateaux du condensateur
libres stockees

´ la presence
´
´
´
´
• Pour σlibres fixe,
du dielectrique
permet de reduire
la champ electrique
´
necessaire

• Capacite´ du condensateur :
C=

Qlibres
Sσlibres
εS
=
=
V0
V0
d

ELEN0076

3 - 16

´
• Valeurs numeriques
:

E = 104 V/m

1. Condensateur a` air :
´
Polarisation negligeable

σlibres = ε0 E = 8.85 10−8 C/m2

σpol,1 = σpol,2 = 0

C = 8.85 10−3 pF
´
2. Condensateur a` dielectrique
de permittivite´ ε
´ induites par polarisation
Charges libres et charges liees

σlibres = εE = 53.12 10−8 C/m2

σpol,1 = −σpol,2 = −44.27 10−8 C/m2

C = 53.12 10−3 pF

ELEN0076

3 - 17

´
3.3 Condensateur a` deux dielectriques

z
d1 + d2
d2

ε0

d1
d2

~
E

ε

`
On considere
un condensateur plan dont la
´ de deux couches
partie isolante est constituee
´
`
dielectriques.
La premiere
couche est de l’air
´
d1 = 0.1 mm. La
(εr = 1) et a une epaisseur
`
´ de mica (εr = 6)
deuxieme
couche est composee
´
d2 = 0.9 mm. La surface des
et a une epaisseur
´
plateaux vaut S = 1 cm2 et leur separation
vaut
d = 1 mm. Le condensateur est soumis a` une
´
difference
de potentiel constante, V0 = 2.5 kV.

´
´
1. Determinez
la valeur champ electrique
dans chacune des couches de la partie
isolante. Le condensateur peut-il “claquer” ? (Champ de rupture de l’air :
Erupt = 2.7 MV/m, champ de rupture du mica : Erupt = 14 MV/m).
´
2. Determinez
la capacite´ du condensateur.

ELEN0076

3 - 18

~ =0
E
Q
~1
E

~1
E

ε0

~2
E

ε
~2
E
−Q

~ =0
E

ELEN0076

3 - 19

´ par les deux armatures du condensateur
Soit Q, −Q la charge portee

~ = E(z)ˆ
´
• Champ electrique
E
z
´ eme
`
• dans l’air (d2 < z < d) : application du theor
de Gauss autour de l’armature
´
`
1 (surface de Gauss = parallelipip
ede
de base S) :

Sε0 E1 = Q

⇒

~ 1 = − Q zˆ
E
Sε0

´
´ eme
`
(0 < z < d2 ) : application du theor
• dans le dielectrique
de Gauss autour de
l’armature 2 :

−SεE2 = −Q

⇒

~ 2 = − Q zˆ
E
Sε

´
´ eme
`
: application du theor
de Gauss autour de l’interface entre l’air et
• Verification
´
´
le materiau
dielectrique

−Sε0 E1 + SεE2 = 0

´
pas de charge libre sur la surface de separation
des deux milieux

ELEN0076

3 - 20

´
• Difference
de potentiel V0 :
Z
Z 1
~ =
~ · dℓ
E
V0 = −
2

d2

E2 dz +

0

`
:
• Capacite´ du systeme

C=

d2
εS

Z

d1 +d2

E1 dz = Q(
d2

1
=
+ εd01S

1
C2

• Expression de E1 et E2 en fonction de V0
E1 =

V0
d 1−

1
d2
d (1 −

E2 =

ε0
ε )

ELEN0076

E

1
+

d2
d1
+
)
εS ε0 S

1
C1

V0
d 1−

1
d1
d (1 −

ε
ε0 )

3 - 21

V

d2

d

z

d2

d

z

´
• Valeurs numeriques
:

E1 = 10 000 kV/m

E2 = 1667 kV/m

C = 3.54 pF

• Claquage ?
E1 > Erupt−air ⇒ la couche d’air “claque”
´
V0 applique´ a` la couche de dielectrique
d2
′

E2 =

V0
= 2778 kV/m < Erupt−die
d2

ELEN0076

3 - 22

′

C =

εS
= 5.57 pF
d2

TP4 : MAGNETOSTATIQUE

ELEN0076

4-1

Loi de Bio-Savart
´
• Induction magnetique
produite par un conducteur parcouru par un courant I continu
(dans le vide) :

Id~ℓ
~r
~r

I

′

~
B
P

~ r ) = µ0
B(~
4π

Z

′
Id~ℓ × (~r − ~r )
|~r − ~r ′ |3

0

~ r)
• Pour une distribution volumique de courant J(~
J~
′
~r

~r

P

~ r ) = µ0
B(~
4π

0

ELEN0076

4-2

Z ~ ′
′
J(~r ) × (~r − ~r ) 3 ′
d ~r
|~r − ~r ′ |3

´
• Champ magnetique
dans le vide :

~
B
~
H=
µ0
´
´
e´ magnetique
du vide
µ0 = 4π 10−7 H/m : permeabilit
´
´
• Champ magnetique
dans un materiau
:

~
~ =B
H
µ
´
´
´
µ= µ0 µr H/m : permeabilit
e´ magnetique
du materiau

~ et H
~ , regime
´
• Equations de Maxwell relatives a` B
statique
~ ·B
~ =0
∇
~ ×H
~ = J~
∇

´
(pas de “charge” magnetique)

ELEN0076

4-3

´
4.2 Champ magnetique
produit par une boucle de courant
` une boucle de courant de rayon a parcourue par un courant continu I .
On considere
´
´
Etablissez, par integration
directe, l’expression du champ magnetique
produit le long de
l’axe de la boucle.
´
´
Schema
de resolution
´ cylindriques
• Coordonnees

• Application de la loi de Bio-Savart :
zˆ

I

~r

~r − ~r

~ = I
H
4π

′

yˆ
θ ~r
x
ˆ

θˆ
rˆ

′

~r = z zˆ
Hr = 0

~
I dℓ

ELEN0076

4-4

Z

′

~ × ~r − ~r′
dℓ
|~r − ~r |3
′
~ = a dθθˆ
~r = aˆ
r
dℓ
a2 I
Hz =
2(a2 + z 2 )3/2

´
Lignes de champ magnetique

ELEN0076

4-5

´
4.3 Conducteur rectiligne indefini
` un conducteur rectiligne infiniment long, parcouru par un courant continu I .
On considere
´
`
Etablissez l’expression du champ magnetique
du systeme,
des trois fac¸ons suivantes :
´
1. en integrant
la relation de Biot-Savart,

~,
2. a` partir du potentiel vecteur A
´ eme
`
`
3. en utilisant le theor
d’Ampere.

ELEN0076

4-6

1. Application de la loi de Bio-Savart

~ = I
H
4π

Z

′

~ × (~r − ~r′ )
dℓ
|~r − ~r |3
p
′
′
~r = rˆ
r
~r = z zˆ
|~r − ~r | = r2 + z 2
~ = I dz zˆ
I dℓ
Z ∞
r
I
I
√
Hθ =
dz =
4π −∞ ( r2 + z 2 )3
2πr

zˆ

~
I dℓ
~r

~r − ~r

′

′

zˆ

α
~r

´
voir exercice 2.2 pour le calcul de l’integrale

~ = I θ~
H
2πr

ELEN0076

4-7

~
Potentiel vecteur A
~ ·B
~ =0
∇

~ =∇
~ ×A
~
B

⇒

~ est defini
´
`
a` une fonction scalaire pres.
A
~ ·A
~ = 0, on derive
´
´
´
une equation
similaire a` l’equation
de Poisson :
Si on impose ∇
~ = −µ0 J~
∇2 A
Expression du potentiel vecteur pour une distribution de courant J~

~ r ) = µ0
A(~
4π

Z

~ r ′)
J(~
3 ′
r
′ d ~
|~r − ~r |

ELEN0076

4-8

rˆ

´ eme
`
`
Theor
d’Ampere

~ ×H
~
´ eme
`
´
Application du theor
de Stokes a` l’equation
de Maxwell ∇
Z

S

~ =
~ × H)
~ · dS
(∇

Z

C

~ · d~ℓ =
H

Z

S

= J~

~
J~ · dS

En pratique :
´
`
• exploiter la ou les symetries
du probleme

` judicieuse le contour C
• choisir de maniere

ELEN0076

4-9

2. A partir du potentiel vecteur

~ = µ0
A
4π

Z

∞
−∞

Idz
√
r2 + z 2

Z

divergente

~ pour un tronc¸on [−L, L] en un point P du plan median
´
• calculer A
z=0
zˆ

Z

L

Idz
L
√
zˆ
r2 + z 2
−L
Z L
I dz zˆ
µ0
Idz
√
zˆ
=
2
′
4π 0
r2 + z 2
~
r
!
r
µ0 I
L
L
=
ln
+ ( )2 + 1 zˆ
2π
r
r

~ = µ0
A
4π

Pour L
r

~→
→ ∞ on a A

µ0 I
2π

ln 2L
ˆ
r z

ELEN0076

−L

4 - 10

~r − ~r

′

zˆ

α
~r

rˆ

~
• Induction B

~ =∇
~ ×A
~ = − ∂Az θˆ = µ0 I θˆ
B
∂r
2πr

⇒

~ = I θ~
H
2πr

´ eme
`
` : contour = cercle de rayon r
3. Application du theor
d’Ampere

~ = H(r)θˆ
´
:H
• Par symetrie
I=

Z

C

I

~ = 2πrH(r)
~ · dℓ
H

I
H(r) =
2πr

ELEN0076

S
C

r
~
H

4 - 11

´
´ ıde a` air
4.4 Champ magnetique
produit par un soleno¨
´ ıde a` air est constitue´ d’un fil conducteur enroule´ en forme de cylindre de rayon
Un soleno¨
`
a et comporte n tours de fil conducteur par metre
de longueur. La longueur ℓ du
´ ıde est supposee
´ beaucoup plus grande que son rayon a. Determinez
´
soleno¨
l’expression
´
´ par ce soleno¨
´ ıde en tout point interieur
´
´
de l’induction magnetique
cre´ ee
et exterieur
´
´ es.
´ On exploitera judicieusement les hypotheses
`
´
eloign
e´ de ses extremit
et symetries
du
`
probleme.

ELEN0076

4 - 12

S2
S1

S3
r

ELEN0076

4 - 13

´
´ symetrie
´
• Effets de bord neglig
es,
cylindrique : figure (a)

~ = Hr (r)ˆ
H
r + Hθ (r)θˆ + Hz (r)ˆ
z
~ ·B
~ = 0 sur le volume d’un cylindre
´
de ∇
• montrons que Hr = 0 : par integration
concentrique
Z
Z
~
~ ·B
~ d3~r = 0 =
~ · dS
∇
B
V

Z

S

~ · dS
~=
µ0 H

S

Z

µ0 Hz dS −
| S1
{z

=0

= µ0 2πrHr ℓ = 0

Z

µ0 Hz dS +
S2
}

⇒ Hr = 0 ∀r

´
car Hz independant
de z

ELEN0076

Z

4 - 14

µ0 Hr dS
S3

• montrons que Hθ = 0 ∀r : figure (b)
´ eme
`
`
application du theor
d’Ampere

• pour r < a

Z

C1

~ =
~ · dℓ
H

2πrHθ = 0

• pour r > a

Z

C2

~ =
~ · dℓ
H

2πrHθ = 0

Z

S1

Z

⇒

S2

⇒

~ =0
J~ · dS
Hθ = 0

~ =0
J~ · dS
Hθ = 0

On suppose que les lignes de courant sont parfaitement circulaires

ELEN0076

4 - 15

ℓ

ELEN0076

4 - 16

´ eme
`
` : figure (c)
´
d’Ampere
• Determination
de Hz par application du theor
• pour r > a
Z
~ = Hz (r2 )ℓ − Hz (r3 )ℓ = 0
~ · dℓ
H
′

DCC D

Or Hz

⇒

′

Hz (r2 ) = Hz (r3 ) = Cte ∀r2 , r3 > a

= 0 pour r → ∞ ⇒ Hz = 0 ∀r > a
• pour r < a
Z
~ = Hz (r1 )ℓ − Hz (r2 )ℓ = nIℓ
~ · dℓ
H
ABCD

Hz (r2 ) = 0

⇒ Hz (r1 ) = nI ∀r1 < a

ELEN0076

4 - 17

4.5 Conducteur de section circulaire
` un conducteur de rayon a parcouru par un courant continu I .
On considere
´
Etablissez l’expression du champ magnetique
´
1. a` l’interieur
du conducteur,
´
2. a` l’exterieur
du conducteur.

J~

zˆ

ELEN0076

4 - 18

~ = H(r)θˆ
´
´ :H
• Effets de bord neglig
es

´ eme
`
` sur un cercle de rayon r
• Application du theor
d’Ampere
´
du conducteur r < a
• a` l’interieur
Z
Z
~ =
~
~ · dℓ
H
J~ · dS
C

densite´ de courant :

J~ =

S

I
zˆ
πa2

πr2
2πrH(r) = I 2
πa
I r
H(r) =
2π a2
~ = I r θˆ
~ = µc I r θˆ
H
B
2π a2
2π a2

~
r H
~
a J

ELEN0076

4 - 19

´
• a` l’exterieur
du conducteur r > a

~
H

a
r

J~

2πrH(r) = I
I
H(r) =
2πr
~ = I θˆ
~ = µ0 I θˆ
H
B
2πr
2πr

ELEN0076

4 - 20

´
Flux d’induction magnetique
´
• Flux d’induction magnetique
a` travers une surface S :
Z
~
~ · dS
B
ΦS =
S

´
a` travers la
• Flux embrasse´ par une boucle de courant : flux d’induction magnetique
´ par la boucle de courant
surface limitee

~
B

~
B
~
dS

I

λ = ΦS
~
B

Pour un circuit a`
courant I ):

ˆ
N spires (parcourues par un meme

λ = N ΦS

ELEN0076

4 - 21

Inductance
`
´
• Inductance du circuit : (systeme
lineaire)

L=

λ
I

´
`
´
• Definition
alternative de l’inductance : systeme
capable de stocker une energie
´
magnetique

´
´ dans un volume V
• Energie magnetique
stockee
Z
1
~ · Hd
~ 3~r = 1 LI 2
WM =
B
2 V
2

L=

ELEN0076

2WM
I2

4 - 22

ˆ
4.6 Inductance d’un cable
coaxial
` un cable
ˆ
On considere
coaxial de longueur infinie alimente´ par un courant continu I . Ses
´
´
´
caracteristiques
geom
etriques
sont les suivantes :

:a

´
rayon du conducteur interieur

´
´
rayon interieur
du conducteur exterieur
:b
´
´
rayon exterieur
du conducteur exterieur
:c
´
permeabilit
e´ du milieu isolant

: µ0

´
permeabilit
e´ du conducteur

: µc

´
´
´
´
Determinez
l’expression du champ magnetique
produit dans les differentes
regions
du
ˆ
cable,
ainsi que son inductance unitaire.

ELEN0076

4 - 23

´
´ eme
`
` : contour =
Expression du champ magnetique
par application du theor
d’Ampere
cercle de rayon r
Z
Z
densite´ de courant :

J~int =

C

I
zˆ,
πa2

~ =
~ · dℓ
H

J~ext =

~
J~ · dS

S
−I
zˆ
π(c2 −b2 )

´
´
du conduteur interieur
:r<a
• a` l’interieur

~
r H
~
a Jint

~ 1 = I r θˆ
H
2π a2

~ 1 = µc I r θˆ
B
2π a2

voir exercice 4.5

ELEN0076

4 - 24

• entre les deux conducteurs : a < r < b
~
H
a

~ 2 = I θˆ
H
2πr

J~int

r

~ 2 = µ0 I θˆ
B
2πr

voir exercice 4.5

´
´
• a` l’interieur
b<r<c
du conducteur exterieur:

~
H
b

J~ext

J~int
r

π(r2 − b2 )
)
2πrH(r) = I(1 −
π(c2 − b2 )
r 2 − b2 ˆ ~
r 2 − b2 ˆ
I
µc I
~
(1 − 2
(1 − 2
)θ B3 =
)θ
H3 =
2πr
c − b2
2πr
c − b2

´
´
• a` l’exterieur
du conducteur exterieur
:r>c
~ =B
~ =0
Blindage !
H

ELEN0076

4 - 25

~ en fonction de r
• Evolution de H

´ de trois parties
• Inductance : composee
´ au champ magnetique
´
´
present
dans le conducteur
• Lcint : inductance liee
´
interieur

´ au champ magnetique
´
´
present
dans le conducteur
• Lcext : inductance liee
´
exterieur

´ au champ magnetique
´
´
• Li : inductance liee
present
dans l’espace compris entre
les deux conducteurs

ELEN0076

4 - 26

´
• Determination
de Li : recherche du flux total embrasse´ par la spire de courant (pour
1 m de longueur)

I
~
H

S
I

Z

~ = µ0 I
B~2 · dS
Φ=
2π
S
Li =

Z

b
a

µ0 I
b
dr
=
ln
r
2π
a

µ0
b
Φ
=
ln H/m
I
2π a

ELEN0076

4 - 27

´
´
´ dans 1 m
´
magnetique
emmagasinee
• Determination
de Lcint : recherche de l’energie
de conducteur

WM

1
=
2

Z

2
I
µ
c
~1 · H
~ 1 d ~r =
B
16π
3

V

Lcint =

2WM
µc
=
H/m
I2
8π

´
´
´ dans 1 m
´
magnetique
emmagasinee
• Determination
de Lcext : recherche de l’energie
de conducteur

WM =

1
2

Z

V

µc
2π

4

1 2
4b
c2

−
b
c
ln
−
(c2 − b2 )2 c
−
!
1 2
3 2
4
c
b
4b − 4c
−
ln
H/m
(c2 − b2 )2 c
c 2 − b2

~3 · H
~ 3 d3~r = µc I
B
4π

Lcext =

2

ELEN0076

4 - 28

3 2
4c
b2

!

4.7 Inductance d’une ligne bifilaire
` une ligne bifilaire, c’est-a-dire
`
´ de deux conducteurs
On considere
une ligne constituee
´
´ de d et parcourus par des courants continus egaux
´
rectilignes de rayon a separ
es
et
´
opposes.
´
Determinez
l’inductance unitaire de la ligne.

´
´
Schema
de resolution

• L = Li + Lc1 + Lc2
• Lc1 = Lc2 =

µc
8π

ELEN0076

4 - 29

´
• Li determin
e´ a` partir du calcul du flux total embrasse´ par la boucle de courant (1m
de longueur)

~ est suppose´ nul en dehors de l’espace separant
´
• H
les deux conducteurs
• dans l’espace entre les deux conducteurs :
H(x) =

I
I
+
2πx 2π(d − x)
x

I

d

I

−I

~
H

H−

a

H+

I

µ0 I
Φ=
2π

Z

d−a

1
µ0 I d − a
1
+
)dx =
ln
x d−x
π
a
µ0 d − a
Li =
H/m
ln
π
a
(

a

ELEN0076

4 - 30

TP5 : CONDUCTANCE - PERTES
CHAMPS VARIABLES

ELEN0076

5-1

Conductance d’un condensateur
´
´ au courant de conduction
En regime
statique : liee

~
J~ = σ E
´
´
´
σ est la conductivite´ du materiau
dielectrique
qui separe
les deux conducteurs.
´
´
Par definition,
pour une difference
de potentiel ∆V et un courant total I traversant le
´
´
materiau
dielectrique:

+Q
S

J~

~
E

−Q
On observe

I = Gc ∆V
C

∆V

⇒

R

~ ~
I
S J · dS
Gc =
= R
~ ~
∆V
C E · dℓ

´ qui entoure un des conducteurs
S = surface fermee
C = chemin qui joint les deux conducteurs

σ
Gc
=
C
ε

avec C la capacite´ du condensateur
´ a` Gc = pertes Joule
Pertes associees

ELEN0076

5-2



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