cours le produit scalaire maths terminale 22 .pdf
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Le produit scalaire
I. Différentes expressions du produit scalaire :
1. Vecteurs colinéaires :
Définition :
soient
deux vecteurs colinéaires non nuls, tels que
et
et
• Si
et
• Si
et
• Si
.
sont de même sens :
.
sont de sens contraires :
ou
•
alors
.
.
est le carré scalaire du vecteur
2. Vecteurs quelconques : Propriété 1 :
Soient
et
et
deux vecteurs non nuls tels que
.
Alors :
.
A' et B' sont respectivement les projetés orthogonaux de A sur (OB) et de B sur (OA).
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3. Propriétés : Propriété 2 :
Soient (x;y) et (x';y') les coordonnées respectives des vecteurs
quelconque.
et
dans un repere orthonormé
.
II. Produit scalaire et orthogonalité : Définition :
Dire que
• Soit
et sont deux vecteurs orthogonaux signifie que :
ou
;
• Soit (OA) (OB), avec
et
non nuls.
2. Propriété : Propriété :
.
III. Propriétés du produit scalaire : Propriétés : Propriétés :
Soient
•
•
trois vecteurs et k un nombre réel.
(symétrie).
(linéarité)
•
(linéarité)
•
(linéarité)
•
(identite remarquable)
•
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(identite remarquable)
•
(identite remarquable)
IV. Applications du produit scalaire : 1. produit scalaire et cosinus : Propriété :
Soit
et
non nuls.
2. Théorème d'Al-Kashi : Théorème :
Soit ABC un triangle tel que AB=c, AC=b et BC=a.
On a :
•
•
•
3. Théorème de la médiane : Théorème :
Soient A et B deux points distincts et I le milieu du segment [AB] .
Pour tout point M, :
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