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Le produit scalaire
I. Différentes expressions du produit scalaire :
1. Vecteurs colinéaires :
Définition :
soient

deux vecteurs colinéaires non nuls, tels que

et
et

• Si

et

• Si

et

• Si

.

sont de même sens :

.

sont de sens contraires :
ou



alors

.

.

est le carré scalaire du vecteur

2. Vecteurs quelconques : Propriété 1 :
Soient

et
et

deux vecteurs non nuls tels que
.

Alors :
.
A' et B' sont respectivement les projetés orthogonaux de A sur (OB) et de B sur (OA).

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3. Propriétés : Propriété 2 :
Soient (x;y) et (x';y') les coordonnées respectives des vecteurs
quelconque.

et

dans un repere orthonormé

.
II. Produit scalaire et orthogonalité : Définition :
Dire que
• Soit

et sont deux vecteurs orthogonaux signifie que :
ou
;
• Soit (OA) (OB), avec
et
non nuls.

2. Propriété : Propriété :
.
III. Propriétés du produit scalaire : Propriétés : Propriétés :
Soient



trois vecteurs et k un nombre réel.
(symétrie).
(linéarité)



(linéarité)



(linéarité)



(identite remarquable)



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(identite remarquable)


(identite remarquable)

IV. Applications du produit scalaire : 1. produit scalaire et cosinus : Propriété :
Soit

et

non nuls.

2. Théorème d'Al-Kashi : Théorème :
Soit ABC un triangle tel que AB=c, AC=b et BC=a.
On a :




3. Théorème de la médiane : Théorème :
Soient A et B deux points distincts et I le milieu du segment [AB] .
Pour tout point M, :

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