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Le raisonnement par récurrence.
1.Principe de récurrence et ses axiomes :

Axiome :
Soit P(n) une propriété qui dépend d’un entier naturel n.
Si les deux conditions suivantes sont réunies :
• P(n) est vraie pour le rang n = 0 ;
• Si pour tout entier n, P(n) est vérifiée implique P(n+1) est vérifiée ;
Alors pour tout entier n, P(n) est vraie.
Exemple :
On considère la suite

définie par :

Montrons par récurrence, sur l'entier n, que :

Soit la propriété de récurrence suivante :

Initialisation :
Montrons que

est vraie.
D'apres les hypothèses,
Donc
vraie .

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Hérédité de la propriété :
Supposons qu'il existe un entier
Montrons que
reste vraie .
Comme

tel que

soit vraie.

est vraie.

alors

donc

est vraie .

Conclusion :
(
donc d'après le principe de récurrence :

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