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Les suites numériques
I . Comportement d’une suite numérique :
Définition :
Une suite est une application de l'ensemble

dans l'ensemble

.

.
Définitions :
• Une suite
• Une suite
• Une suite

est croissante

.

est décroissante

.

est monotone signifie qu’elle est soit croissante soit décroissante.

Remarques :
• On parle aussi de suite

croissante à partir d’un rang

• On définit aussi les suites strictement croissantes ou décroissante en remplacant les inégalités par
des inégalités strictes .
Exemples :
•Methode 1 :
. Considérons la suite
(car n est un entier naturel donc positif) donc
strictement croissante sur .
•Methode 2 : Pour une suite

définie par
donc la suite

à termes strictement positifs : comparer
et 1.

Considérons la suite

définie par

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est

car la fonction exp est strictement
croissante sur

et 2n+1 >0 .

donc
car
ainsi

car

est à termes strictement positifs .
donc

est strictement croissante sur

.

Définitions :
• Une suite

est majorée lorsqu’il existe un réel M (un majorant) tel que
.

• Une suite

est minorée lorsqu’il existe un réel m tel que
.

• Une suite

est bornée lorsqu’elle est majorée et minorée .

Remarques :

· Si

est une suite croissante, alors elle est minorée par son premier terme

· Si

est une suite décroissante, alors elle est majorée par son premier terme

:
:

Exemple :

· La suite

est strictement croissante, elle est minorée par 1

· La suite

est strictement décroissante, majorée par -4,

définie par
par contre, elle n'est pas majorée.
définie par
par contre elle n'est pas minorée .
· La suite

définie par

est bornée, majorée par 1 et minorée par -1.

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Théorème :
• Une suite croissante et majorée est convergente .
• Une suite décroissante et minorée est convergente .
Théorème :
• Toute suite croissante non majorée, diverge vers

.

• Tout suite décroissante non minorée diverge vers

.

Exemple :
· La suite

définie par
.
donc diverge vers
· La suite

est strictement croissante, elle n'est pas majorée

définie par

est strictement décroissante, elle n'est pas
.

minorée donc diverge vers
· La suite

définie par

est bornée, elle est dite divergente .

Théorème :
Soit

définie par

Si

converge vers

et

.

et si f est continue en

alors
cette limite vérifie

.

Exemple :
Considérons

définie par

et
.

est décroissante et minorée par 0 ( à montrer...).
Donc

converge vers

d'après le théorème précédent .

Posons
On est amené à résoudre

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or

donc
d'où

II . Suites adjacentes : Définition :
Dire que deux suites

et

sont adjacentes signifie que :

• L’une est croissante.
• L’autre est décroissante.


Exemple :
Considérons les deux suites numériques suivantes :

.
Donc

donc

est croissante .

.

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donc

est décroissante .

Conclusion :
Les deux suites

et

sont adjacentes .

Définition :
Si deux suites sont adjacentes alors elles convergent vers la même limite.
Exemple :
Reprenons notre exemple précédente :

Les deux suites

et

sont adjacentes donc elles sont convergentes et convergent vers la

même limite .
Nous pourrions montrer que :

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