exercices extrait bac exponentielle maths terminale 157 .pdf


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Extrait bac - exponentielle.

Probleme :(Amerique du nord) Partie A

On donne un entier naturel n strictement positif, et on considere l'équation différentielle :

1. On fait l'hypothèse que deux fonctions g et h, définies et dérivables sur
réel :

a. Montrer que g est solution de

, vérifient, pour tout x

si et seulement si, pour tout x réel :

.
b. En déduire la fonction h associée à une solution g de

, sachant que f(0)=0.

Quelle est alors la fonction g?
2. Soit

.

une fonction dérivable sur

a. Montrer que

est solution de

si et seulement si

est solution de l'équation :

(F) y'+y=0
b. Résoudre (F) .
c. déterminer la solution générale

de l'équation

d. Déterminer la solution f de l'équation

.

vérifiant f(0)=0 .

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Partie B

Le but de cette partie est de montrer que :

1. On pose, pour tout x réel,
.
a. vérifier que

est solution de l'équation différentielle : y'+y=

b. Pour tout entier strictement positif n, on définit la fonction
différentielle y'+y=

vérifiant

.
comme la solution de l'équation

.

En utilisant la partie A, montrer par récurrence que , pour tout x réel et tout entier

:

.
2. Pour tout entier naturel n, on pose :

a. Montrer, pour tout entier naturel n et pour tout x élément de l'intervalle [0;1], l'encadrement :
.
En déduire que
, puis déterminer la limite de la suite

.

b. Montrer, pour tout entier naturel k non nul, l'égalité :

.
c. Calculer

et déduire de ce qui précéde que :

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.
d. En déduire finalement :

Correction de l'exercice :
Non corrigé

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