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´ PARIS I
UNIVERSITE
´
PANTHEON-SORBONNE

´ CADI AYYAD
UNIVERSITE
´ DES SCIENCES
FACULTE

CENTRE D’ECONOMIE DE

SEMLALIA-MARRAKECH

LA SORBONNE
******************************************************************************************

`
THESE
pour obtenir le garde de
`
DOCTEUR ES-SCIENCES
´
´ MATHEMATIQUES
´
´
SPECIALIT
E
APPLIQUEES
pr´esent´ee et soutenue publiquement par
Khalifa ES-SEBAIY
25 avril 2009 `a Marrakech
sous le titre
´
CONTRIBUTIONS TO THE STUDY OF LEVY
PROCESSES AND
FRACTIONAL PROCESSES VIA THE MALLIAVIN CALCULUS AND
APPLICATIONS IN STATISTICS.
Directeurs de th`
ese
M. Youssef OUKNINE, Professeur `
a l’Universit´e Cadi Ayyad, Marrakech, Maroc
M. Ciprian TUDOR, Maˆıtre de Conf´erences `
a l’Universit´e Paris I, Paris, France

Jury

Rapporteurs :

Examinateurs :

M. Mohamed ERRAOUI, Professeur `
a l’Universit´e Cadi Ayyad, Maroc
M. Ivan NOURDIN, Maˆıtre de Conf´erences `
a l’Universit´e Paris VI, France
´ Professeur `
M. Josep Llus SOLE,
a l’Universit´e Autonome de Barcelone, Espagne
M. M’hamed EDDAHBI, Professeur `
a l’Universit´e Cadi Ayyad, Maroc
Mme. Annie MILLET, Professeur `
a l’Universit´e Paris I, France
M. Youssef OUKNINE, Professeur `
a l’Universit´e Cadi Ayyad, Maroc
M. Ciprian TUDOR, Maˆıtre de Conf´erences `
a l’Universit´e Paris I, France

Remerciements
Je voudrais tout d’abord remercier Youssef Ouknine, mon directeur de th`ese qui est `a l’origine
de ce travail. C’est un honneur pour moi d’avoir travaill´e avec lui et je ne peux qu’admirer son
talent. Je lui suis infiniment reconnaissant, non seulement parce qu’il a accept´e de me prendre
en th`ese, mais aussi parce qu’il a partag´e ses id´ees avec moi. Il a dirig´e ma th`ese avec beaucoup
de patience et il a d´edi´e beaucoup de temps `a mon travail en ´etant toujours tr`es disponible et
en venant me chercher tr`es souvent pour que l’on discute, ce qui m’a ´enorm´ement encourag´e.
Mes plus profonds remerciements s’adressent ´egalement `a mon co-directeur de th`ese Ciprian
Tudor, qui m’a accueilli d`es mon premier stage en 2006 au Centre d’Economie de La Sorbonne,
Equipe (Samos), de l’Universit´e Paris 1. Il m’a propos´e des sujets de recherche passionnants
et a toujours ´et´e disponible et prˆet `a donner une r´eponse ou un conseil ´eclair´e. Je tiens `a dire
que j’admire non seulement ses connaissances scientifiques mais aussi ses qualit´es humaines. Ses
encouragements m’ont permis d’aboutir `a ce travail dont je lui serais toujours reconnaissant.
Mes remerciements s’adressent `a Madame Annie Millet, Professeur `a l’Universit´e Paris 1,
pour avoir accept´e de pr´esider mon jury de th`ese.
Je tiens `a exprimer ma reconnaissance `a Josep Llu´ıs Sol´e Clivill´es pour avoir accept´e de
rapporter ma th`ese malgr´e son emploi du temps charg´e. Je lui suis reconnaissant pour la lecture
tr`es attentive du manuscrit et pour ses nombreuses remarques.
Un grand merci `a Ivan Nourdin d’avoir accept´e de rapporter ma th`ese et de faire partie du
Jury. Par ses questions et remarques constructives, il m’a ´et´e d’une aide pr´ecieuse et m’a permis
d’am´eliorer de mani`ere significative certaines parties de mon manuscrit.
Je remercie ´egalement Mohamed Erraoui qui a eu l’amabilit´e d’analyser mon travail, de
r´ediger un rapport sur ma th`ese, ainsi que d’accepter de faire partie du jury.
Je suis ´egalement tr`es reconnaissant envers M’hamed Eddahbi pour avoir accept´e de participer
au jury.
Au cours de cette th`ese, j’ai partag´e mon temps entre le Laboratoire Ibn al-Banna de
Math´ematique et Application (LIBMA) de l’Universit´e Cadi Ayyad et le Centre d’Economie
de La Sorbonne, Equipe (Samos), de l’Universit´e Paris 1. Je remercie donc l’ensemble des membres de LIBMA pour leur gentillesse et leur soutien. Je pense ´egalement `a tous ceux qui ont ´et´e
mes coll`egues de bureau, notamment `a Raby, Rachid, Lahcen, Yassine, Abdelali....Nous avons
eu des ´echanges math´ematiques tr`es int´eressants et je pense motivants pour chacun de nous. Je
remercie toute l’´equipe SAMOS de m’avoir bien accueilli. Merci notamment `a Annie, Marie,

1

2
Jean-Marc, Olivier.... Au sein de cette ´equipe, j’ai eu l’occasion de rencontrer des personnes qui
m’ont soutenu et que j’ai la chance de pouvoir consid´erer comme mes amis aujourd’hui : Omar
et Mohamed.
Je remercie vivement mes amis Mustapha et Adnane qui m’ont aid´e ´enorm´ement pendant
mon s´ejour en France.
Pour finir, je voudrais remercier ma famille et plus particuli`erement mes parents pour m’avoir
soutenu et aid´e jusque l`a.
Travail eff´
ectu´
e dans le cadre d’une convention de cotutelle entre l’Universit´
e Paris
1 et l’Universit´
e Cadi Ayyad


esum´
e
Cette th`ese se d´ecompose en six chapitres plus ou moins distincts. Cependant, tous font appel au
calcul de Malliavin, aux notions de processus gaussien et processus de L´evy, et `a leur utilisation
en statistique. Chacune des trois parties a fait l’objet de deux articles.
Dans la premi`ere partie, nous ´etablissons les th´eor`emes d’Itˆo et de Tanaka pour le mouvement
brownien bifractionnaire multidimensionnel. Ensuite nous ´etudions l’existence de la densit´e
d’occupation pour certains processus en relation avec le mouvement brownien fractionnaire.
Dans la deuxi`eme partie, nous analysons, dans un premier temps, le comportement asymptotique de la variation cubique pour le processus de Rosenblatt. Dans un deuxi`eme temps, nous
construisons d’une part des estimateurs efficace pour la d´erive de mouvement brownien fractionnaire et d’autre part des estimateurs biais´es de type James-Stein qui dominent, sous le riqsue
quadratique usuel, l’estimateur du maximum de vraisemblance.
La derni`ere partie pr´esente deux travaux. Dans le premier, nous utilisons une approche menant
`a un calcul de Malliavin pour les processus de L´evy, qui a ´et´e d´evelopp´ee r´ecemment par Sol´e et
al. [106], et nous ´etudions des processus anticip´es de type int´egrale d’Itˆo-Skorohod (au sens de
[111]) sur l’espace de L´evy. Dans le deuxi`eme, nous ´etudions le lien entre les processus stables
et les processus auto-similaires, `a travers des processus qui sont infiniment divisibles en temps.

3

Abstract
In the first part, we establish Itˆo’s and Tanaka’s formulas for the multidimensional bifractional
Brownian motion. We study the existence of an occupation density for certain processes related
to fractional Brownian motion.
In the second part, we study the cubic variation of Rosenblatt process. We consider the problem
of efficient estimation for the drift of fractional Brownian motion . We also construct superefficient James-Stein type estimators which dominate, under the usual quadratic risk, the natural
maximum likelihood estimator.
In the last part, we study Skorohod integral processes on L´evy spaces and we prove an equivalence between this class of processes and the class of Itˆo-Skorohod process. We give a link
between stable proceses and selfsimilaire processes through stochastic processes which are infinitely divisible with respect to time .

4

Contents
Remerciements

1


esum´
e

3

Abstract

4

Introduction et principaux r´
esultats
Calcul de Malliavin sur un espace gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mouvement brownien fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mouvement brownien bifractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapitre 1 : Formules d’Itˆo et Tanaka pour le mBbif multidimensionnel . . . . .
Chapitre 2 : Densit´e d’occupation pour certains processus en relation avec le
mouvement brownien fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Processus de Rosenblatt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapitre 3 : Th´eor`eme non-central limite pour la variation cubique d’une classe
des processus stochastiques autosimilaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapitre 4 : Estimation de la d´erive de mouvement brownien fractionnaire . . .
Calcul de Malliavin sur l’espace canonique de L´evy, la proche de Sol´e et al. [106] . . .
Chapitre 5 : Processus integral d’Itˆo-Skorohod sur l’espace canonique de L´evy .
Chapitre 6 : Classe des processus qui sont infiniment divisible en temps . . . . .

I

8
9
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13
15
17
18
20
21
23
26
28

MALLIAVIN CALCULUS AND LOCAL TIME ON GAUSSIAN SPACE
30

1 Multidimensional bifractional Brownian motion: Itˆ
o and Tanaka formulas
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Preliminaries: Deterministic spaces associated and Malliavin calculus . . . . . .
1.3 Tanaka formula for unidimensional bifractional Brownian motion . . . . . . . .
1.4 Tanaka formula for multidimensional bifractional Brownian motion . . . . . . .

5

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32
32
33
36
44

6
2 Occupation densities for certain processes related to fractional Brownian motion
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Occupation density for Gaussian processes with random drift . . . . . . . . . . .
2.4 Occupation density for Skorohod integrals with respect to the fractional Brownian
motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54
54
55
58
60

II LIMIT THEOREMS FOR ROSENBLATT PROCESS AND STEIN
ESTIMATION ON GAUSSIAN SPACE
67
3 Non-central limit theorem for the cubic variation of a class of selfsimilar
stochastic processes
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Multiple stochastic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 The Rosenblatt process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Renormalization of the cubic variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Estimation of the mean square . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Non-convergence to a Gaussian limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 The non-central limit theorem for the cubic variation of the Rosenblatt process .

69
69
71
71
72
73
73
82
84

4 Estimation of the drift of fractional Brownian motion
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 The maximum likelihood estimator and Cramer-Rao type bound
4.4 Superefficient James-Stein type estimators . . . . . . . . . . . . .

90
90
92
93
96

III

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´
CONTRIBUTIONS TO THE STUDY OF LEVY
PROCESSES

5 L´
evy processes and Itˆ
o-Skorohod integrals
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Generalized Clark-Ocone formula . . . . . .
5.4 Itˆo-Skorohod integral calculus . . . . . . . .

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101
101
102
104
106

6 How rich is the class of processes which are infinitely divisible with respect
to time?
110
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.2 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7
6.3

6.4

Stable IDT processes . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Strictly stable IDT processes . . . . .
6.3.2 Strictly semi-stable IDT processes . .
6.3.3 Subordination through an IDT process
Multiparameter IDT processes . . . . . . . .

Bibliographie

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112
113
114
117
118
123

Introduction et principaux r´
esultats
Au cours de cette introduction, nous pr´esenterons les th`emes ´etudi´es et mettrons en valeur les
r´esultats principaux.
L’objet de cette th`ese est une contribution, via le calcul stochastique (le calcul de Malliavin
en premier lieu), `a l’´etude de certains processus stochastiques, gaussiens ou non-gaussiens, li´es
au mouvement brownien fractionnaire et aux processus de L´evy. Nous avons divis´e le pr´esent
manuscrit en trois parties, chacune ayant deux chapitres. D’abord, nous ´etudions une classe
de processus gaussiens, ayant la propri´et´e de quasi-h´elice au sens de Kahane ([58], [59]) et qui
ne sont pas n´ecessairement des processus de Volterra, en particulier le mouvement brownien
bifractionnaire (mBbif). Deuxi`emement, nous nous int´eressons `a l’analyse du comportement
asymptotique de la variation cubique pour le processus de Rosenblatt et, troisi`emement, `a
l’´etude des processus de type Itˆo-Skorohod sur un espace de L´evy. Enfin, nous ´etudions, `a l’aide
de processus qui sont infiniment divisibles en temps, le lien entre les processus stables et les
processus auto-similaires.
Les diverses approches d’analyse stochastique, pour ´etudier des processus qui ne sont pas
forc´ement des semimartingales, peuvent ˆetre divis´ees en deux principales cat´egories : celles qui
reposent sur les propri´et´es trajectorielles (par exemple, la th´eorie des trajectoires rugueuses [100]
et le calcul stochastique par r´egularisation [102]) et celles qui utilisent le calcul de Malliavin via
le caract`ere gaussien. Dans cette th`ese, nous nous int´eressons principalement `a la deuxi`eme
approche.
Le calcul de Malliavin, aussi connu sous le nom de ”calcul stochastique des variations”, est un
¡
¢
calcul diff´erentiel sur un espace de dimension infinie, l’espace de Wiener C [0, 1], Rd . Introduit
par Paul Malliavin [67] en 1976, il fut con¸cu `a l’origine pour ´etudier la r´egularit´e des densit´es
des solutions des ´equations diff´erentielles stochastiques. Le premier fait marquant de ce calcul
est qu’il a permis de fournir une preuve probabiliste du c´el`ebre th´eor`eme d’H¨ormander, donnant
une condition d’hypoellipticit´e pour les op´erateurs aux d´eriv´ees partielles. Dans les ann´ees qui
ont suivi, de nombreux probabilistes ont travaill´e sur ce sujet et la th´eorie a ´et´e principalement
d´evelopp´ee soit dans le cadre de l’analyse sur l’espace de Wiener, soit dans le cadre du bruit
blanc. Plusieurs applications en calcul stochastique sont apparues. Il existe plusieurs ouvrages
de r´ef´erence sur le sujet, parmi lesquels aux de D. Nualart [81], D. Bell [9], D. Ocone [88], B.
Øksendal [90].
L’application du calcul de Malliavin en finance date du d´ebut des ann´ees 90. En 1991 Karatzas

8

9
et Ocone montr`erent comment le calcul de Malliavin peut ˆetre utilis´e pour calculer des portefeuilles de couverture en march´e complet [89]. Depuis, le calcul de Malliavin a suscit´e un int´erˆet
croissant et beaucoup d’autres applications en finance ont ´et´e r´ev´el´ees.
Plus r´ecemment, le calcul de Malliavin est aussi devenu un outil puissant pour d´evelopper le
calcul stochastique pour des processus gaussiens qui ne sont pas n´ecessairement des semimartingales (voir, par exemple, Watanabe [116], Nualart [81], Malliavin [68] et Kruk et al. [61]), en
particulier pour les processus de Volterra, g´en´eralisation du mouvement brownien fractionnaire,
et d´efinis par (voir, [28]):
½
¾
Z t
Bt =
K(t, s)dWs , t ∈ [0, T ]
(1)
0

o`
u K est un noyau d´eterministe et W un mouvement brownien standard. Les processus de
Volterra, avec leurs nombreuses propri´et´es int´eressantes, constituent un domaine d’´etude en
plein d´eveloppement actuellement.
Comme le calcul de Malliavin joue un rˆole important dans nos travaux, nous allons maintenant
en rappeler les principaux r´esultats.

Calcul de Malliavin sur un espace gaussien
Consid´erons un espace de probabilit´e (Ω, F, P ) sur lequel est d´efini un processus gaussien centr´e
(Bt , t ∈ [0, T ]), et o`
u F est la tribu engendr´ee par B.
Notons E la classe des fonctions simples sur l’intervalle [0, T ]. Soit H l’espace de Hilbert d´efini
comme la fermeture de E relativement au produit scalaire
­
®
1[0,t] , 1[0,s] H = R(t, s).
L’application 1[0,t] −→ Bt peut-ˆetre ´etendue en une isom´etrie entre H et l’espace gaussien associ´e
au processus B. Introduisons maintenant des propri´et´es fondamentales du calcul de Malliavin
relativement au processus gaussien B, qui seront utilis´ees de mani`ere r´ecurrente au cours de ce
travail.
Op´
erateur de d´
erivation. Notons Cb∞ (Rn , R) la classe des fonctions f : Rn −→ R infiniment d´erivables et telles que f et toutes ses d´eriv´ees partielles sont born´ees. Notons S la classe
des fonctionnelles cylindriques de la forme
F = f (B(ϕ1 ), . . . , B(ϕn ))

(2)

o`
u n ≥ 1, f ∈ Cb∞ (Rn , R) et ϕ1 , . . . , ϕn ∈ H.
L’op´erateur de d´erivation, au sens de Malliavin, d’une fonctionnelle F de la forme (2) est alors
l’application D : S −→ L2 (Ω; H) d´efinie par
n
X
∂f
DF =
(B(ϕ1 ), . . . , B(ϕn )) ϕi .
∂xi
i=1

10
Soient k ≥ 1 et p ≥ 1. On note Dk,p l’espace de Sobolev d´efini comme la fermeture de S par
rapport `a la norme
k
X
p
p
kF kk,p = E(|F | ) +
kDj F kpLp (Ω;H⊗j ) ,
j=1

o`
u Dj est l’op´erateur de d´erivation it´er´ee de D.
Op´
erateur de Skorohod. L’op´erateur de Skorohod,(ou op´erateur de divergence), not´e δ,
est l’adjoint de l’op´erateur D, d´efini grˆace `a la dualit´e
u ∈ L2 (Ω; H), F ∈ D1,2 .

E(F δ(u)) = E (hDF, uiH ) ;

(3)

Le domaine de δ, not´e Dom(δ), est l’ensemble des u ∈ L2 (Ω; H) tel que
p
E(hDF, uiH ) ≤ C E(F 2 ),
pour tout F ∈ D1,2 , o`
u C est une constante pouvant d´ependre de u. Par la suite, l’int´egrale de
Skorohod δ(u) sera aussi not´ee par
Z
δ(u) =
0

T

us δBs .

Formule d’int´
egration par parties. Soient F ∈ D1,2 et u ∈ Dom(δ). Supposons que les
´el´ements al´eatoires F u et F δ(u) − hDF, uiH sont de carr´e integrable. Alors
δ(F u) = F δ(u) − hDF, uiH .
Soit (un ) une suite de Dom(δ), qui converge vers u dans L2 (Ω; H). Supposons que δ(un ) converge
dans L1 (Ω) vers une variable al´eatoire de carr´e integrable G. Alors, on obtient
u ∈ Dom(δ) et δ(u) = G.
Formule de commutation. Soient F ∈ D1,2 et u ∈ Dom(δ) tels que F δ(u) est de carr´e
int´egrable. Alors F u ∈ Dom(δ) et
δ(F u) = F δ(u) − hDF, uiH .
Int´
egrales stochastiques multiples. Supposons maintenant que B est un mouvement
brownien, alors H = L2 ([0, T ]). On introduit l’ensemble Sn sur lequel on va d´efinir l’int´egrale
multiple par rapport au mouvement brownien B.
Sn d´esigne l’ensemble des fonctions simples `a n variables de la forme
f=

n
X

ci1 ...im 1Ai1 ×...×Aim

i1 ,...,im =1

o`
u ci1 ...im = 0 si deux indices ik et il sont ´egaux et o`
u les ensembles bor´eliens Ai ∈ B([0, T ]) sont
disjoints deux `a deux. Pour une telle fonction f on d´efinit
In (f ) =

n
X
i1 ,...,im =1

ci1 ...im B(Ai1 ) . . . B(Aim )

11
o`
u l’on a not´e B(A) := B(1A ) pour A ∈ B([0, T ]). On remarque que pour tout n ≥ 1, In est une
application lin´eaire continue entre Sn et L2 (Ω). In v´erifie : pour chaque h ∈ H avec khkH = 1,
n
on a In (h⊗ ) = n!Hn (B(h)), o`
u Hn (x) est le ni`eme polynˆome d’Hermite donn´e par
Hn (x) =

(−1)n x2 /2 dn −x2 /2
e
(e
)
n!
dxn

pour tout n ≥ 1,

avec H0 (x) = 1.
On d´efinit Hn , le ni`eme chaos de Wiener, par la fermeture dans L2 (Ω) du sous-espace vectoriel
engendr´e par {Hn (B(h)); h ∈ H, khk = 1}.
Ainsi, on obtient
E [In (f )Im (g)] = n!hf˜, g˜iL2 ([0,1]n ) si m = n
(4)
et
E [In (f )Im (g)] = 0 si m 6= n.
De plus, on a

³ ´
In (f ) = In f˜

1 P
o`
u f˜ d´esigne la fonction sym´etrique de f d´efinie par f˜(x1 , . . . , xn ) = n!
σ∈Sn f (xσ(1) , . . . , xσ(n) ).
2
n
Comme l’ensemble Sn est dense dans L ([0, 1] ) pour tout n ≥ 1, l’op´erateur In peut ˆetre
´etendu `a une application lin´eaire continue de L2 ([0, 1]n ) `a L2 (Ω) et les propri´et´es ci-dessus sont
toujours vraies pour cette cette extension. Notons que In peut aussi s’´ecrire comme une int´egrale
stochastique it´er´ee
Z
Z
Z
1

In (f ) = n!

0

tn

dBtn

t2

...
0

0

dBt1 f (t1 , . . . , tn );

ici les int´egrales sont au sens d’Itˆo.
Le produit de deux int´egrales multiples peut s’´ecrire comme une somme finie d’int´egrales
multiples (voir [81]). Plus pr´ecis´ement, si f ∈ L2 ([0, 1]n ) et g ∈ L2 ([0, 1]m ) sont des fonctions
sym´etriques, alors
m∧n
X
l
In (f )Im (g) =
l!Cm
Cnl Im+n−2l (f ⊗l g)
l=0

o`
u la contraction f ⊗l g, appartenant `a L2 ([0, 1]m+n−2l ), est donn´ee par
(f ⊗l g)(s1 , . . . , sn−l , t1 , . . . , tm−l )
Z
=
f (s1 , . . . , sn−l , u1 , . . . , ul )g(t1 , . . . , tm−l , u1 , . . . , ul )du1 . . . dul .
[0,1]l

Maintenant, nous allons donner une vue d’ensemble des propri´et´es probabilistes du mouvement brownien fractionnaire. Nous l’utiliserons comme processus de r´ef´erence dans les chapitres
1, 2 et 4.

12

Mouvement brownien fractionnaire
L’´etude de ph´enom`enes irr´eguliers a pris une place tr`es importante dans beaucoup de domaines
scientifiques, comme la m´ecanique des fluides, le traitement de l’image et les math´ematiques
financi`eres. L’auto-similarit´e est une propri´et´e d’invariance qui g´en`ere de l’irr´egularit´e. Par
ailleurs, l’utilisation de fonctions al´eatoires est un outil pratique pour obtenir des mod`eles
irr´eguliers. A l’intersection de ces deux techniques se trouve le mouvement brownien fractionnaire.
Kolmogorov [60] est le premier `a introduire le mouvement brownien fractionnaire (sous le nom
”Wiener Spirals”) en le d´efinissant comme l’unique processus gaussien centr´e B H = (BtH , t ≥ 0),
de covariance
¢
1 ¡ 2H
s + t2H − |s − t|2H
s, t ∈ R+ .
RH (s, t) = E(BsH BtH ) =
2
o`
u H ∈ (0, 1).
Plus tard, quand les articles de Hurst [48] et Hurst, Black et Simaika [49], consacr´es `a la capacit´e
de stockage `a long terme dans des r´eservoirs, ont ´et´e publi´es, le param`etre H a pris le nom de
”param`etre de Hurst”.
Le calcul stochastique du mouvement brownien fractionnaire a d´ebut´e avec le travail novateur
de Mandelbrot et Van Ness [71]. Ils ont consid´er´e la repr´esentation en moyenne mobile de B H ,
via le processus de Wiener (Wt ; t ≥ 0) sur un intervalle infini

Z t µ
1
H− 12
H− 12
H
Bt =
− (−s)+
dWs , t ≥ 0,
(t − s)+
Γ( 12 + H) −∞
et ont appel´e ce processus mouvement brownien frationnaire.
1
Remarquons que pour H = 12 , B 2 est le mouvement brownien usuel. On a E|BsH − BtH |2 =
|s − t|2H ; ainsi B H admet une version continue dont les trajectoires ne sont presque sˆ
urement
h¨old´eriennes que pour des indices strictement inf´erieurs `a H. Par cons´equent, plus H est petit
plus les trajectoires sont irr´eguli`eres. Ce ph´enom`ene est dˆ
u au fait que les accroissements, qui
sont stationnaires pour toutes les valeurs de H, sont positivement corr´el´es dans le cas H > 12 et
n´egativement corr´el´es dans le cas H < 12 , pr´ecis´ement :
¡
¢
H
Cov BhH , Bt+h
− BtH ∼ H(2H − 1)h2 t2(H−1) , pour H 6= 12 et h > 0 fix´es.
(5)
t→∞

Une propri´et´e simple du mouvement brownien fractionnaire de param`etre H est son autosimH , t ≥ 0) a la mˆ
eme loi que le processus (aH BtH , t ≥ 0). Cette derni`ere
ilarit´e : le process (Bat
propri´et´e montre l’int´erˆet de ce processus pour les mod´elisations de fluctuations boursi`eres, au
trafic dans les r´eseaux de t´el´ecommunications (voir, par exemple [26] ). De plus, plusieurs applications ont ´et´e trouv´ees en ´economie et sciences naturelles (voir, par exemple, Mandelbrot [70]).
Le processus B H admet aussi une repr´esentation int´egrale de type (1) sur l’intervalle compact
[0, 1](voir [27]) :
Z t
Bt =
KH (t, s)dWs , t ∈ [0, 1]
(6)
0

13
o`
u
Z t
³
3
1
s 1 ´
KH (t, s) = cH (t − s)
+ cH ( − H) (u − s)H− 2 1 − ( ) 2 −H du
2
u
s
Z t
1
³
´
H−
3
1
s
1
2
KH (t, s) = cH (H − ) (u − s)H− 2
du si H > ,
2 s
u
2
H− 12

si H ≤

1
2

si s < t, et KH (t, s) = 0 si s ≥ t. Ici, cH est la constante de normalisation
s
2HΓ( 32 − H)
cH =
.
Γ(H + 12 )Γ(2 − 2H)
La propri´et´e (5) implique que pour H >

1
2

la somme des correlations diverge, i.e.

∞ ¯
³
´¯
X
¯
¯
H
H
− B(n−1)h
¯Cov BhH , Bnh
¯=∞

pour tout h > 0 fix´e.

n=1

Cette derni`ere propri´et´e est connue sous le nom de d´ependance `a long terme (ou longue m´emoire).
Elle est souvent consid´er´ee comme une motivation pour ´etudier les processus fractionnaires.
Dans le cas H ∈ (0, 21 ) ∪ ( 12 , 1), le processus gaussien B H est ni un processus de Markov (voir
[101] exercice (1.13) chapitre III), ni une semimartingale relativement `a sa filtration naturelle.

Mouvement brownien bifractionnaire
Le mouvement brownien bifractionnaire est une g´en´eralisation du mouvement brownien fractionnaire. Rappelons que le mouvement brownien fractionnaire est le seul processus gaussien
centr´e, `a la fois autosimilaire et `a accroissements stationnaires. Pour des accroissements assez
petits, dans les applications telle que la turbulence, le mouvement brownien fractionnaire semble
un excellent mod`ele, mais apparaˆıt aussi inad´equat pour des accroissements larges. Pour cette
raison, Houdr´e et Villa [47] ont introduit le mouvement brownien bifractionnaire comme une
extension du mouvement brownien fractionnaire gardant certaines de ces propri´et´es (autosimilarit´e, stationnarit´e des accroissements assez petits, caract`ere gaussien) mais ´elargissant le kit
d’outil de mod´elisation.
Le mouvement brownien bifractionnaire (mBbif) est un processus gaussien centr´e B H,K =
(BtH,K , t ≥ 0) de covariance
´
¢K
1 ³¡
− |t − s|2HK ,
RH,K (t, s) = K t2H + s2H
2
pour des indices H ∈ (0, 1) et K ∈ (0, 1]. Dans le cas K = 1, B H,1 est un mouvement brownien
fractionnaire de param`etre de Hurst H ∈ (0, 1), not´e B H . En particulier, si K = 1 et H = 12 ,
1
B 2 ,1 co¨ıncide avec le mouvement brownien usuel.
Nous pr´esentons maintenant un bref rappel des propri´et´es de base du mouvement brownien
bifractionnaire.
Th´
eor`
eme 1. Le mouvement brownien bifractionnaire B H,K poss`ede les propri´et´es suivantes:

14
1. Auto-similarit´e:
³
´ ³
´
d
H,K
, t ≥ 0 = cHK BtH,K , t ≥ 0 pout tout c > 0.
Bct
2. Propri´et´e de quasi-h´elice au sens de Kahane ([58], [59]): pour tout 0 ≤ s ≤ t,
µ¯
¯2 ¶
¯
¯
2−K |t − s|2HK ≤ E ¯BtH,K − BsH,K ¯ ≤ 21−K |t − s|2HK .

(7)

olderienne : B H,K admet une version avec des trajectoires h¨
olderiennes d’ordre
3. Continuit´e h¨
δ pour tout δ < HK; de plus elles ne sont pas d´erivables.
4. B H,K n’est jamais un processus de Markov process ou une semimartingale, sauf quand
c’est un mouvement brownien.
5. Si HK <

1
2

(ou HK =

X

1
2

avec K 6= 1), B H,K est un processus `
a courte m´emoire, i.e.

³
´
H,K
H,K
H,K
E (Bj+1
− BjH,K )(Bm+1
− Bm
) < ∞, pour tout m ≥ 0.

j=m

6. Si HK > 12 , la somme des corr´elations diverge, i.e.

X

³
´
H,K
H,K
H,K
E (Bj+1
− BjH,K )(Bm+1
− Bm
) = ∞, pour tout m ≥ 0.

j=m

Cette derni`ere propri´et´e de d´ependance `a long terme justifie l’´etude du mouvement brownien
bifractionnaire.
Ramarques : i) Il est clair que, pour H 6= 21 et K ∈ (0, 1], B H,K n’est pas `a accroissement
stationnaire. En revanche, cette propri´et´e est remplac´ee par celle de quasi-h´elice (7).
ii)La propri´et´e suivante de B H,K est int´eressante : sa variation quadratique, dans le cas 2HK =
1, est similaire `a celle du mouvement brownien standard, i.e., [B H,K ]t = cst. × t; par cons´equent
ce cas est int´eressant du point de vue de calcul stochastique.
R´ecemment, Lei et Nualart [64] ont montr´e que le mouvement brownien bifractionnaire B H,K ,
admet se d´ecompose en la somme d’un mouvement brownien fractionnaire de param`etre de Hurst
HK plus un processus `a trajectoires absolument continues :
Ãs
!
´
³ 1−K
2−K K
d
(8)
XtK2H + BtH,K , t ≥ 0 = 2 2 BtHK , t ≥ 0
Γ(1 − K)
o`
u

Z
Xt =

0



(1 − e−θt )θ−

1+K
2

dWθ

avec W est un mouvement brownien ind´ependant de B H,K .
Ce lien entre le mouvement brownien bifractionnaire et le mouvement brownien fractionnaire

15
conduit, en utilisant les r´esultats sur le mouvement brownien fractionnaire, `a une meilleure
compr´ehension et `a des preuves simplifi´ees de quelques propri´et´es du mouvement brownien
bifractionnaire qui ont ´et´e obtenues dans la litt´erature.

Chapitre 1 : Formules d’Itˆ
o et de Tanaka pour le mBbif multidimensionnel
Il est bien connu que les formules d’Itˆo et de Tanaka sont un outil puissant de l’analyse stochastique `a cause de leur vaste domaine d’application. Ainsi, r´ecemment, plusieurs chercheurs ont
´etudi´e des extensions des formules classiques d’Itˆo et de Tanaka aux processus de type (1) (voir,
par exemple, [24] and [1] ) ainsi qu’aux processus multidimensionnels comme le mouvement
brownien multidimensionnel [114] et le mouvement brownien fractionnaire multidimensionnel
[115].
Le chapitre 1 de cette th`ese est constitu´e de la publication [39] en collaboration avec C.
Tudor. Cette publication propose une extension des formules d’Itˆo et de Tanaka au mouvement
brownien bifrationnaire unidimensionnel et multidimentionnel.
En supposant que 2HK ≥ 1, nous discutons les formules d’Itˆo et de Tanaka pour le mouvement brownien bifractionnaire. Dans le cas unidimensionnel, la formule d’Itˆo a d´ej`
a ´et´e ´etablie
dans [61] en utilisant une relation entre l’int´egrale de Skorohord et une int´egrale obtenue par
une m´ethode de r´egularisation. Dans notre travail, nous avons propos´e une approche diff´erente,
bas´ee sur un d´eveloppement de Taylor. Nous l’avons aussi utilis´ee dans le cas multidimensionnel.
Pr´ecis´ement, nous avons obtenu le th´eor`eme suivant.
Th´
eor`
eme 2 (Itˆo unidimensionnel). Soit f une fonction de classe C2 sur R telle que
2

max{|f (x)|, |f 0 (x)|, |f 00 (x)|} ≤ ceβx ,

x ∈ R,

1
o`
u c et β sont des constantes positives telles que β < 4T 2HK
. Supposons que 2HK ≥ 1. Alors
H,K
0
H,K
B
f (B
) ∈ Dom(δ
) et, pour tout t ∈ [0, T ],
Z t
Z t
³
´
¡
¢
¡
¢
f BtH,K = f (0) +
f 0 BsH,K δBsH,K + HK
f 00 BsH,K s2HK−1 ds.
(9)
0

0

Traitons le cas de la formule de Tanaka. Comme dans le cas du mouvement brownien fractionnaire, le temps local Lxt (`a poids) de B H,K est d´efini de comme suit:
Z t
x
Lt = lim 2HK
pε (BsH,K − x)s2HK−1 ds dans L2 (Ω),
(10)
ε→0

0

y2

1
o`
u pε (y) = √2πε
e− 2ε est le noyau gaussien de variance ε > 0. Notons que Lxt admet la
repr´esentation chaotique suivante :
∞ Z t
³ x ´
X
ps2HK (x)
x
Lt = 2HK
(11)
H
In (1⊗n
n
[0,s] )ds
(n−2)HK+1
sHK
s
0
n=0

o`
u In repr´esente l’int´egrale multiple par rapport au mBbif et Hn est le ni`eme polynˆome d’Hermite.
La combinaison de la d´ecomposition (11) et du th´eor`eme 2 est `a la base de la preuve du th´eor`eme
suivant.

16
³
´
Th´
eor`
eme 3 (Tanaka unidimensionnel). Soit BtH,K , t ∈ [0, T ] un mouvement brownien bifractionnaire avec 2HK ≥ 1. Alors, pour tout x ∈ R, on a sign(B.H,K − x) ∈ Dom(δ B
tout t ∈ [0, T ] et x ∈ R, on a
Z t
¯
¯
¯ H,K
¯
sign(Bs − x)δBsH,K + Lxt ,
− x¯ = |x| +
¯Bt

H,K

) et, pour

(12)

0

o`
u

(
sign(x) =

1 si x > 0
−1 si x ≤ 0.

Soient deux vecteurs H = (H1 , . . . , Hd ) ∈ [0, 1]d et K = (K1 , . . . , Kd ) ∈ (0, 1]d . Nous introduisons le mouvement brownien bifractionnaire d-dimensionnel
¡
¢
B H,K = B H1 ,K1 , ..., B Hd ,Kd
comme un vecteur gaussien centr´e dont les composantes sont des mouvements browniens bifractionnaires unidimensionnels ind´ependants.
Nous ´etendons la formule d’Itˆo au cas multidimensionnel.
¡
¢
Th´
eor`
eme 4 (Itˆo multidimensionnel). Soit B H,K = B H1 ,K1 , ..., B Hd ,Kd un mouvement brown¡
¢
ien bifractionnaire d-dimensionnel, et soit f une fonction de classe C2 Rd , R telle que, pour
tout x ∈ Rd ,

µ
∂2f
∂f
2
(x)|, |
(x)| ≤ ceβ|x| ,
max |f (x)|, |
1≤i,l≤d
∂xi
∂xi ∂xl
1
o`
u c et β sont des constantes positives telles que β < 4T 2(HK)
u (HK)∗ = max1≤i≤d Hi Ki .
∗ o`
Nous supposons que 2Hi Ki > 1 pour certain i = 1, ..., n. Alors pour tout i nous avons
Hi ,Ki
∂f ¡ Hi ,Ki ¢
∈ Dom(δ Bs
) et pour tout t ∈ [0, T ],
∂xi B
d Z
³
´
X
H,K
f Bt
= f (0) +
i=1

0

t

d
∂f ¡ Hi ,Ki ¢ Hi ,Ki X
Bs
δBs
+
Hi Ki
∂xi
i=1

Z
0

t

∂ 2 f ¡ H,K ¢ 2Hi Ki −1
Bs
s
ds. (13)
∂x2i

Dans le th´eor`eme de Tanaka unidimensionnel, on utilise la fonction |z| qui est la fonction
noyau du potentiel Newtonien unidimensionnel, i.e. 21 ∆|z| = δ(z) et que ∇|z| = sign(z). Intuitivement, dans le cas d−dimensionnel, on vas remplacer |z| et sign(z) dans (12) respectivement
par U (z) et ∇U (z); o`
u U (z) est la fonction noyau du potentiel Newtonien d−dimensionnel si
d ≥ 3 et le potentiel logarithmique si d = 2, i.e.,
( Γ(d/2−1)
1
si d ≥ 3
− 2πd/2 |z|d−2
U (z) =
1
si d = 2.
π log|z|
D´efinissons
1
¯ (s, z) = Q
sθ U
U
p
d
2Hj Kj
j=1

µ

(z1 − x1 ) 1/2−H1 K1
(zd − xd ) 1/2−Hd Kd

s
, ..., √
s
2Hd Kd
2H1 K1


(14)

17
o`
u x = (x1 , ..., xd ) ∈ Rd et 0 < γ :=
(HK)∗ = max{H1 K1 , . . . , Hd Kd }.

1
2 (2

− d) + θ + (d − 2)(HK)∗ −

Pd

i=1 Hi Ki ,

avec

Nous obtenons la formule de Tanaka suivante :
¢
¡
Th´
eor`
eme 5. Soit B H,K = B H1 ,K1 , ..., B Hd ,Kd un mBbif d-dimensionnel tel que 2Hi Ki > 1
pour tout i = 1, ...d. Alors la formule suivante est satisfaite sur l’espace de Sobolev Dα−1,2 pour
1
un certain α < 2(HK)
∗ − d/2 :
Z
¯ (t, B H,K ) = U
¯ (0, 0) +
U
t

0

t

¯ (s, BsH,K )ds +
∂s U

d Z
X
i=1

0

t

¯ (s, BsH,K )
∂U
δBsHi ,Ki + Lθ (t, x)
∂xi

(15)

o`
u le temps local (`
a poids) g´en´eralis´e Lθ (t, x) est d´efini par
θ

L (t, x) =

X

Z tY
d
ps2Hi Ki (xi )

n=(n1 ,...,nd ) 0 i=1

s

1
+(ni −1)Hi Ki
2

µ
Hni

xi


s2Hi Ki


θ
i
Ini i (1⊗n
[0,s] )s ds.

Chapitre 2 : Densit´
es d’occupation pour certains processus en relation avec
le mouvement brownien fractionnaire
Le chapitre 2 a pour objectif, en se basant sur les techniques de calcul de Malliavin, d’´etablir
l’existence d’une densit´e d’occupation de carr´e int´egrable pour deux classes de processus stochastiques. Premi`erement nous consid´erons un processus gaussien avec d´erive al´eatoire absolument
continue et, deuxi`emement, nous traˆıtons le cas d’une int´egrale de Skorohod par rapport au
mouvement brownien fractionnaire de param`etre de Hurst H > 12 . Ces r´esultats font l’objet
d’une publication soumise [36] en collaboration avec D. Nualart, Y. Ouknine et C. Tudor.
Soit x : [0, 1] → R une fonction mesurable. La mesure d’occupation de x est d´efinie de la
fa¸con suivante :
Z
1

µ(x)(C) =
0

1C (xs )ds,

o`
u C est un sous-ensemble bor´elien de R. On dit que x admet une densit´e d’occupation par
rapport `a la mesure de Lebesgue λ si la mesure µ est absolument continue par rapport `a λ; dans
ce ca, la densit´e d’occupation de la fonction x est d´efinie comme la d´eriv´ee de Radon-Nikodym

e d’occupation
dλ . Pour un processus continu X = {Xt , t ∈ [0, 1]}, on dit que X a une densit´
(ou un temps local) sur [0, 1] si, pour presque tout ω ∈ Ω, X(ω) a une densit´e d’occupation sur
[0, 1].
Les temps locaux des semimartingales ont ´et´e largement ´etudi´es (voir par exemple, la monographie [101] ). De mˆeme, les temps locaux des processus gaussiens ont aussi fait l’objet d’une
riche litt´erature (voir Marcus et Rosen [74]).

18
Berman [14] a montr´e l’existence d’un effet de r´egularit´e inverse entre le temps local et le
processus associ´e. Cette observation a fait du temps local un outil puissant pour ´etudier les
trajectoires irr´eguli`eres d’un processus continu.
En g´en´eral, les trajectoires d’un processus anticipant, en particulier celles du processus associ´e
`a une int´egrale de Skorohod, sont tr`es irr´eguli`eres. Ceci conduit `a ´etudier leur temps local (ou
densit´e d’occupation). Dans cet esprit, diff´erentes m´ethodes ont ´et´e utilis´ees pour ´etudier les
densit´es d’occupation des processus anticipants. En se basant sur l’id´ee de Berman [13] qui
utilise l’analyse de Fourier, Imkeller ([51], [52] et [53]) a donn´e un crit`ere pour l’existence d’un
temps local de carr´e int´egrable pour un processus int´egral de Skorohod qui vit dans le second
chaos de Wiener. Un autre crit`ere g´en´eral, pour l’existence d’un temps local pour la vaste
classe des processus anticipants, qui ne sont en g´en´eral ni des semimartingales, ni des processus
gaussiens a ´et´e ´etabli par Imkeller et Nualart [50]. La preuve de ce dernier r´esultat combine
les techniques du calcul de Malliavin avec le crit`ere donn´e par Geman et Horowitz [44], qui ont
´etudi´e le cas du mouvement brownien avec d´erive anticipante, et le cas d’un processus associ´e `a
une int´egrale de Skorohod.
Le but de ce chapitre est d’´etablir l’existence de la densit´e d’occupation pour deux classes
de processus stochastiques qui ont des relations avec le mouvement brownien fractionnaire. On
utilise l’approche introduite par Imkeller et Nualart [50]. Nous commen¸cons par le cas d’un
processus X = {Xt , t ∈ [0, 1]} de la forme
Z t
Xt = Bt +
us ds,
0

o`
u B est gaussien et o`
u u est un processus stochastique mesurable par rapport `a la tribu engendr´ee par B. Nous supposons que la variance de l’accroissement du processus gaussien B
sur un intervalle [s, t] se comporte comme |t − s|2ρ , pour un certain ρ ∈ (0, 1). Ceci inclut,
par exemple, le mouvement brownien bifractionnaire de param`etres H ∈ (0, 1) et K ∈ (0, 1]
et donc aussi le mouvement brownien fractionnaire (cas particulier o`
u K = 1). Sous des hypoth`eses raisonnables de r´egularit´e pour le processus u, nous montrons l’existence d’une densit´e
d’occupation de carr´e integrable par rapport `a la mesure de Lebesgue pour le processus X.
Notre deuxi`eme exemple est un processus sous forme divergence X = {Xt , t ∈ [0, 1]}, par
rapport au mouvement brownien fractionnaire B de param`etre de Hurst H ∈ ( 12 , 1), de la
forme :
Z
t

Xt =

0

us δBsH .

Nous fournissons des conditions d’int´egrabilit´e sur u et ses d´eriv´ees it´er´ees au sens de Malliavin
qui assurent l’existence d’une densit´e d’occupation de carr´e int´egrable pour X.

Processus de Rosenblatt
L’objet de cette section est de donner une br`eve introduction aux processus d’Hermite, en
particulier au processus de Rosenblatt.

19
Consid´erons une suite stationnaire centr´ee r´eduite gaussienne (Xn )n≥1 c’est-`a-dire que EX1 =
0 et EX12 = 1.
Soit G une fonction r´eelle qui v´erifie EG(X1 ) = 0 et E(G(X1 ))2 < ∞. Alors G admet un
d´eveloppement d’Hermite dans l’espace L2 (R, √12π e
G(x) =

+∞
X

−x2
2

dx), qui est de la forme

aj Hj (x), o`
u aj = E (G(X1 )Hj (X1 )) .

j=1

Notons par r(n) la fonction de covariance de (Xn )n≥1 et par k le rang de Hermite de G, i.e.
k = min{j; aj 6= 0}. Supposons que
r(n) := E(X1 Xn ) = n

2H−2
k

1
L(n), et H ∈ ( , 1)
2

o`
u L est une fonction `a variation lente `a l’infini, i.e. L est born´ee sur les intervalles finis et pour
tout t > 0
L(tx)
−→ 1, quand x −→ +∞.
L(x)
Le processus d’Hermite est apparu pour la premi`ere fois dans le th´eor`eme non-central limite
suivant, prouv´e par Taqqu [108] (voir aussi Dobrushin et Major [32]). Le processus
[nt]
1 X
G(Xj )
nH
j=1

converge (au sens des lois fini-dimensionnelles) lorsque n −→ ∞ vers le processus

Z Z tµ
−( 1 + 1−H )
Ztk,H = C(H, k)
dsdWy1 . . . dWyk
Πki=1 (s − yi )+ 2 k
Rk

0

o`
u x+ = max(x, 0) et (Wt ; t ∈ [0, T ]) est un mouvement brownien.
³
´

efinition. Le processus Z k,H = Ztk,H ; t ∈ [0, T ] est appel´e processus d’Hermite d’ordre k et
de param`etre H. Pour k = 1, on retrouve le mouvement brownien fractionnaire, et pour k = 2,
il s’agit du processus de Rosenblatt.
Le processus d’Hermite Z k,H v´erifie les propri´et´es suivantes:
1. Z k,H est un processus centr´e tel que V ar(Z1k,H ) = 1.
2. Ses accroissements sont stationnaires.
3. La fonction de covariance de Z k,H est donn´ee par
Cov(Ztk,H , Zsk,H ) =

par cons´equent

¢
1 ¡ 2H
|t| + |s|2H − |t − s|2H ,
2

¯
¯2
¯ k,H
k,H ¯
E ¯Zt − Zs ¯ = |t − s|2H .

t, s ∈ [0, T ];

20
4. Si k ≥ 2, alors Z k,H est non-gaussien; le processus de Hermite Z k,H d’ordre k vit dans le
chaos de Wiener d’ordre k de W .
5. Z k,H admet une version continue dont les trajectoires sont presque sˆ
urement h¨old´eriennes
pour tous les indices strictement inf´erieurs `a H. Grˆace au th´eor`eme de continuit´e de Kolmogorov, c’est une cons´equence de la propri´et´e 3 et de l’´equivalence des normes Lp dans
un chaos d’orde fix´e.
6. Z k,H a une longue m´emoire (d´ependance `a long terme). Plus pr´ecis´ement, sa fonction de
k,H
covariance Cov(Z1k,H , Zn+1
− Znk,H ) se comporte comme n2H−2 `
a l’infini.
Except´ee la propri´et´e 6 concernant le caract`ere gaussien, nous remarquons que les propri´et´es 1
`a 5 du processus d’Hermite Z k,H sont similaires `a celles du mouvement brownien fractionnaire
de param`etre de Hurst H > 21 .
Tudor a ´etabli dans [111] qu’un processus de Hermite Z k,H d’ordre k ≥ 1 peut ˆetre repr´esent´e, en
loi, comme une int´egrale multiple it´er´ee par rapport au processus de Wiener usuel. Ce r´esultat
fait l’objet de la proposition suivante.
Proposition 1. Fixons k ≥ 1 et H > 12 . Le processus de Hermite Z k,H d’ordre k et de param`etre
H a la mˆeme loi que le processus
Z t
Z t
Z t
0
0
∂K H
∂K H
(u, y1 ) . . .
(u, yk )du; t ∈ [0, T ]
(16)
d(H)
...
dWy1 . . . dWyk
∂u
y1 ∨y2 ...∨yk ∂u
0
0
o`
u (Wt , t ∈ [0, T ]) est un mouvement brownien,
H −1
;
H := 1 +
k
0

1
d(H) :=
H +1

µ

2(2H − 1)
H

¶1
2

,

0

et K H le noyau standard d´efini dans (6).
R´ecemment, la repr´esentation (16) a ´et´e utilis´ee par plusieurs auteurs pour d´evelopper l’analyse
stochastique pour les processus d’Hermite (voir [111], [79], [75], [112], [18], [22]).

Chapitre 3 : Th´
eor`
eme non-central limite pour la variation cubique d’une
classe des processus stochastiques autosimilaire
Nous nous int´eressons, dans ce chapitre, au comportement asymptotique, quand N −→ ∞, de
la variation cubique du processus de Rosenblatt Z (H) d´efinie par
 µ

¶3
(H)
(H)
Z i+1 − Z i
N −1

1 X
N
N


3,N
(H)
V
(Z ) =
 µ
¶3 − 1 .
N


(H)
(H)
i=0
E Z i+1 − Z i
N

N

Pour les processus autosimilaires (en particulier le processus de Rosenblatt), l’´etude de
leurs variations constitue un outil fondamental pour construire des estimateurs du param`etre

21
d’autosimilarit´e. Les processus autosimilaires sont des mod`eles convenables `a la mod´elisation de
nombreux ph´enom`enes, o`
u la longue m´emoire est un facteur important. Cela inclu le trafic internet (cf. [117]), l’hydrologie (cf. [76]) et l’´economie (cf. [69], [118]). La tˆache de mod´elisation
la plus importante est ensuite d’estimer le param`etre d’autosimilarit´e, parce qu’il caract´erise
toute l’importance des propri´et´es de d´ependance `a long terme du processus.
Il existe une connection directe entre le comportement des variations et la convergence d’un
estimateur statistique pour l’indice d’autosimilarit´e (voir [23], [112]).
(H)
Le cas de la variation quadratique du processus de Rosenblatt (Zt )t∈[0,1] d’indice H > 12 , avec
un horizon de temps fini [0, 1], a ´et´e ´etudi´e par Tudor et Viens dans [112].
Dans le cas d’un mouvement brownien fractionnaire B H , la non-normalit´e de la variation quadratique lorsque H ∈ ( 43 , 1) peut ˆetre ´evit´ee en utilisant soit les ”longer filters” (c’est `a dire on
H
H
H
H
remplace les accroissements B H
i+1 − B i par B i+1 − 2B i + B i−1 ), soit des variations d’ordre
N
N
N
N
N
grand. Dans notre travail, nous avons consid´er´e le deuxi`eme choix : nous rempla¸cons la variation quadratique par la variation cubique. Dans le cas de B H , ceci n’a pas de sens puisque le
troisi`eme moment d’une variable al´eatoire gaussienne est nul. Pour ´etudier la variation cubique
du processus Z (H) , nous avons utiliser la d´ecomposition chaotique de Wiener pour la statistique
V 3,N (Z (H) ) et nous l’avons d´ecompos´ee en plusieurs termes qui appartiennent aux chaos d’ordre
¡
¢2
2, 4 et 6. En normalisant par N 1−H , nous avons montr´e que E N 1−H V 3,N (Z (H) ) converge
vers une constante C(H) quand N −→ ∞. Ensuite, pour ´etudier la loi limite nous avons utilis´e
le crit`ere suivant:
Th´
eor`
eme 6 (Nualart-Ortiz−Latorre). Fixons n ≥ 2. Soit (Fk , k ≥ 1), Fk = In (fk ) une suite
de variables al´eatoires dans le n`eme chaos de Wiener telle que EFk2 −→ 1 lorsque k −→ ∞.
Alors
(Fk )k≥0 converge en loi vers une loi normal N (0, 1).
⇐⇒
kDFk k2H −→ n dans L2 (Ω) quand k −→ ∞.
Comme dans [112], [22], le terme dominant not´e TN de la d´ecomposition de V 3,N (Z (H) ) est
celui qui vit dans le deuxi`eme chaos et qui doit ˆetre normalis´e par N 1−H pour avoir une limite
non triviale. Nous avons ´etabli que kN 1−H DTN k2H −→ c > 2 dans L2 (Ω) quand N −→ ∞. Ce
qui implique que la loi limite de N 1−H V 3,N (Z (H) ) est non-normale. De plus et comme dans le
cas de la variation quadratique nous avons obtenu la mˆeme limite qui est, `a une constante pr`es,
une variable al´eatoire de Rosenblatt d’indice H. Ce resultat fait l’objet d’une publication [41]
soumise en collaboration avec C. Tudor.

Chapitre 4 : Estimation de la d´
erive de mouvement brownien fractionnaire


´
o
H,1
H,d
Soit
=
Bt , ..., Bt
; t ∈ [0, T ] un mouvement brownien fractionnaire (mbf) d-dimensionnel
de param`etre H ∈ (0, 1), d´efini sur un espace de probabilit´e (Ω, F, P ). Pour chaque i = 1, . . . , n,
BH

22
¢
¡
(Fti )t∈[0,T ] d´enote la filtration engendr´ee par B H,i t∈[0,T ] .
Soit M un sous espace de l’espace de Cameron-Martin d´efini par
½
Z t
M = ϕ : [0, T ] → Rd ; ϕit =
ϕ˙ is ds avec ϕ˙ i ∈ L2 ([0, T ])
0
¾
1 ¡
¢
H+
i
2
2
et ϕ ∈ I0+
L ([0, T ]) , i = 1, ..., d
H+ 1

o`
u I0+ 2 est l’int´egral fractionnaire `a gauche de Riemann-Liouville d’ordre (H + 12 ).
©
ª
Soit θ = (θt1 , . . . , θtd ); t ∈ [0, T ] une fonction de M . Alors, en appliquant le th´eor`eme de
Girsanov (voir [84]), il existe une mesure de probabilit´e Pθ absolument continue par rapport `a
e H d´efini par
P sous laquelle le processus B

etH = BtH − θt ,
B

t ∈ [0, T ]

est un mbf centr´e de param`etre H. Autrement dit, sous la probabilit´e Pθ , le processus B H est
un mbf de d´erive θ.
Nous nous consid´erons dans ce chapitre le probl`eme de l’estimation de la d´erive θ de B H
sous la probabilit´e Pθ , dans le cas o`
u H < 1/2. Nous ´etudions l’estimation de θ sous le risque
quadratique usuel, qui est d´efini pour tout estimateur δ = {(δt1 , . . . , δtd ), t ∈ [0, T ]} de θ par
·Z T
¸
2
R(θ, δ) = Eθ
||δt − θt || dt
0

o`
u Eθ est l’esp´erance relativement `a la probabilit´e Pθ .
Un estimateur δ de θ est dit sans biais si, pour tout t ∈ [0, T ]
Eθ (δti ) = θti ,

i = 1, . . . , d

¡ ¢
et il est adapt´e si, pour chaque i = 1, . . . , d, δ i est adapt´e `a Fti t∈[0,T ] .
R´ecemment, Privault et Reveillac dans [96] ont construit, dans un cadre infini dimensionnel,
des estimateurs sans biais de la d´erive (θt )t∈[0,T ] pour une martingale gaussienne (Xt )t∈[0,T ] de
variation quadratique σt2 dt, o`
u σ ∈ L2 ([0, T ], dt) est fonction non nulle. Pr´ecis´ement, ils ont
montr´e que θˆ = (Xt )t∈[0,T ] est un estimateur efficace de (θt )t∈[0,T ] . D’autre part, `a l’aide de
calcul de Malliavin, ils ont construit des estimateurs suroptimaux de la d´erive d’un processus
gaussien de la forme:
Z
t

Xt :=

0

K(t, s)dWs ,

t ∈ [0, T ],

o`
u (Wt )t∈[0,T ] est un mouvement brownien et K(., .) est noyau d´eterministe. Ces estimateurs
sont biais´es de la forme Xt + Dt log F , o`
u F est un surharmonique variable al´eatoire et D la
d´eriv´ee au sens de Malliavin.
Dans ce chapitre, nous utilisons des techniques bas´ees sur le th´eor`eme tout d’abord de Girsanov du mbf et le calcul fractionnaire pour ´etablir que θb = B H est un estimateur efficace de θ

23
sous la probabilit´e Pθ de risque
·Z
H

R(θ, B ) = Eθ

0

T

¸
kBtH

2

− θt k dt =

T 2H+1
d.
2H + 1

De plus, nous nous montrons que θˆ = B H est un estimateur de maximum de vraisemblance de
θ.
D’autre part, nous nous construisons une classe des estimateurs biais´es suroptimaux de type
James-Stein de la forme:
µ
µ
¶¶
r(kBtH k2 )
H
2H
δ(B )t = 1 − at
BtH ,
t ∈ [0, T ].
kBtH k2
Nous nous donnons des conditions suffisantes sur la fonction r et sur la constante a pour que
δ(B H ) domine B H sous le risque quadratique usuel i.e.
¡
¡
¢¢
¡
¢
R θ, δ B H < R θ, B H
for all θ ∈ M.
Ce chapitre fait l’objet d’une publication [37] en collaboration avec I. Ouassou et Y. Ouknine.

Calcul de Malliavin sur l’espace canonique de L´
evy : l’approche
de Sol´
e et al. [106]
Sur l’espace de Poisson et d’une fa¸con g´en´erale, deux approches du calcul de variations ont
´et´e introduites : l’approche variationnelle (voir par exemple Bichteler et al. [15] et Carlen et
Pardoux [21]), et l’approche chaotique (voir par exemple Nualart et Vives [85] et Le´on et Tudor
[65]). Depuis ces derni`eres ann´ees, la th´eorie du calcul de Malliavin a ´et´e ´etendue dans un cadre
plus g´en´eral `a l’espace de L´evy par plusieurs approches, avec pour motivations des applications
en finance (voir par exemple Løkka [66] , Di Nunno et al. [31] et Sol´e et al. [106]).
Un processus de L´evy est un processus stochastique `a accroissements ind´ependants et stationnaires. Si (Xt , t ≥ 0) est un processus de L´evy, alors Xt − Xs avec t ≥ s est ind´ependant
de l’histoire du processus avant le temps s et sa loi ne d´epend pas de t ou s s´epar´ement, mais
seulement de t − s.
Nous consid´erons un processus de L´evy X = (Xt , 0 ≤ t ≤ 1) d´efini sur un espace de proba¢
¡
u (FtX )0≤t≤1 est la filtration engendr´ee par X. Alors, il existe un
bilit´e Ω, (FtX )0≤t≤1 , P , o`
triplet (γ, σ 2 , ν): o`
u γ ∈ R, σ ≥ 0 et une mesure ν(dz) sur R appel´ee mesure de L´evy tels que
R
ν({0}) = 0, R 1 ∧ x2 ν(dx) < ∞ et
½
¾
Z
¡ itx
¢
1 2
E (exp(itX1 )) = exp iγt − σt +
e − 1 − itx1{|x|≤1} ν(dx) ,
∀t ∈ R.
2
R
R
Dans tout ce chapitre nous supposons que R x2 ν(dx) < ∞.
Il est bien connu que le processus X admet une repr´esentation de L´evy-Itˆ
o:
Z Z
Z Z
e (ds, dx)
Xt = γt + σWt +
xN (ds, dx) + lim
xN
(0,t]×{|x|>1}

ε↓0

(0,t]×{ε<|x|≤1}

24
o`
u W est un mouvement brownien standard, N est la mesure des sauts de X d´efinie pour tout
bor´elien E ∈ B([0, 1] × R − {0}) par :
N (E) = #{t : (t, ∆Xt ) ∈ E},
e est la mesure des sauts compens´ee :
o`
u ∆Xt = Xt − Xt− , # d´enote le cardinal et N
e (dt, dx) = N (dt, dx) − dtν(dx).
N
Suivant l’approche d’Itˆo [55], X peut ˆetre ´etendu `a une mesure al´eatoire sur ([0, 1] × R, B([0, 1] ×
R)):
Z
Z Z
e (ds, dx)
dWs + lim
M (E) = σ
xN
n→∞

{s∈[0,1]:(s,0)∈E}

1
{(s,x)∈E: n
<|x|<n}

pour tout E ∈ B([0, 1] × R) tel que µ(E) < ∞, o`
u µ est une mesure σ−finie sur [0, 1] × R:
Z
Z Z
µ(E) = σ 2
ds +
x2 dsν(dx).
{s∈[0,1]:(s,0)∈E}

{E−{s∈[0,1]:(s,0)∈E}×{0}}

M est appel´ee mesure `a valeur martingale de type (2, µ). Le second moment existe toujours et
peut s’exprimer en fonction de la mesure µ (voir Applebaum [3] ). De plus M est une mesure
al´eatoire ind´ependante centr´ee:
E (M (E1 )M (E2 )) = µ(E1 ∩ E2 )
pour tout E1 , E2 ∈ B([0, 1] × R) tels que µ(E1 ) < ∞ et µ(E2 ) < ∞.
Utilisant la mesure al´eatoire M , comme sur l’espace de Wiener [81], on peut construire l’int´egrale
multiple In (f ) par rapport au processus de L´evy comme une isom´etrie entre L2 (Ω) et l’espace
L2n = L2 (([0, 1] × R)n , B(([0, 1] × R)n ), µ⊗n ). En effet, on d´ebute en consid´erant le cas ´el´ementaire:
f = 1E1 ×...×En
o`
u E1 , . . . , En ∈ B([0, 1] × R) sont disjoints deux `a deux et µ(Ei ) < ∞ pour tout i. On d´efinit
alors In (f ) = M (E1 ) . . . M (En ). Ensuite, on prolonge In (f ) `a tout L2n par lin´earit´e et continuit´e.
On obtient ainsi la propri´et´e de repr´esentation chaotique suivante :
2
L2 (Ω, F X , P ) = ⊕∞
n=0 In (Ln ).

Par cons´equence, toute variable al´eatoire F ∈ L2 (Ω, F X , P ), peut ˆetre repr´esent´ee sous la forme
F = E(F ) +


X

In (fn )

n=1

o`
u fn ∈ L2n . A ce stade, et comme dans les cas brownien et poissonien, on peut introduire un
calcul de Malliavin pour les processus de L´evy. Si

X
n=0

nn!kfn k2L2n < ∞

25
alors la d´eriv´ee de Malliavin de F est introduite par
DF

(z, w) ∈ ([0, 1] × R) × Ω −→ Dz F (w) =


X

nIn−1 (fn (z, .)).

n=1

Le domaine de l’op´erateur de derivation D est d´efini par:
(
)


X
X
D1,2 = F =
In (fn ) :
nn!kfn k2L2n < ∞ .
n=0

n=0

Notons par Dk,2 , k ≥ 1, le domaine de la ki`eme d´eriv´ee it´er´ee D(k) , qui est un espace de
Hilbert muni du produit scalaire
hF, Gi = E(F G) +

k
X

Z
E
([0,1]×R)j

j=1

Dz(j) F Dz(j) Gµ(dz).

Maintenant, on peut d´efinir l’op´erateur adjoint de D, not´e δ et appel´e op´erateur de divergence
¡
¢
ou int´egrale de Skorohod. Soit u ∈ H = L2 [0, 1] × R × Ω, B([0, 1] × R) ⊗ FTX , µ ⊗ P . Alors,
pour tout z ∈ [0, 1] × R, u(z) admet la repr´esentation suivante
u(z) =


X

In (fn (z, .)),

(17)

n=0

o`
u on a fn ∈ L2 (([0, 1] × R)n+1 , µ⊗

n+1

) et fn est sym´etrique en ses n derni`eres variables. Si


X

(n + 1)!kf˜n k2n+1 < ∞

n=0

o`
u f˜n est la sym´etrisation de fn , dans ce cas, l’int´egrale de Skorohod δ(u) de u est d´efinie par
δ(u) =


X

In+1 (f˜n ).

n=0

Le domaine de δ est l’ensemble des processus de type (17) satisfaisants

X

(n + 1)!kf˜n k2n+1 < ∞.

n=0

En outre, on obtient la formule d’int´egration par parties
Z Z
E(F δ(u)) = E
Dz F u(z)µ(dz),

F ∈ D1,2 .

[0,1]×R

Nous utiliserons les notations suivantes
Z 1Z
Z
δ(u) =
uz δM (dz) =
0

R

0

1Z
R

us,x δM (ds, dx).

Dans le cas o`
u le processus u est adapt´e, Sol´e et al. [106] ont montr´e que l’int´egrale de Skorohod
co¨ıncide avec l’int´egrale semimartingale dirig´e par M introduit dans [3].

26
Pour k ≥ 1, notons par Lk,2 l’espace L2 (([0, 1] × R; Dk,2 ), µ). En particulier, on peut montrer
que l’espace L1,2 co¨ıncide avec l’ensemble des u de type (17) tel que

X

(n + 1)!kf˜n k2n+1 < ∞.

n=0

On a aussi Lk,2 ⊂ Dom(δ) pour k ≥ 1 et, pour tout u, v ∈ L1,2 ,
Z Z
Z Z
E(δ(u)δ(v)) = E
u(z)v(z)µ(dz) + E
Dz u(z 0 )Dz 0 v(z)µ(dz)µ(dz 0 ).
([0,1]×R)2

[0,1]×R

En particulier
Z Z

Z Z
2

2

u(z) µ(dz) + E

E(δ(u)) = E

([0,1]×R)2

[0,1]×R

Dz u(z 0 )Dz 0 u(z)µ(dz)µ(dz 0 ).

La relation de commutation entre l’op´erateur de d´erivation et l’op´erateur de divergence est
comme suit. Soit u ∈ L1,2 tel que Dz u ∈ Dom(δ). Alors δ(u) ∈ D1,2 et
Dz δ(u) = u(z) + δ(Dz (u)),

z ∈ [0, 1] × R.

Chapitre 5 : Processus int´
egral d’Itˆ
o-Skorohod sur l’espace canonique de L´
evy
Le chapitre 5 de cette th`ese porte sur l’´etude des processus int´egraux d’Itˆo-Skorohod (au sens de
[111]) sur l’espace canonique de L´evy. L’´etude du lien entre l’int´egrale de Skorohod et l’int´egrale
d’Itˆo a ´et´e pr´esent´ee par Tudor [111] sur l’espace de Wiener et par Peccati et Tudor [93] sur
l’espace de Poisson. Cette ´etude admet des applications en finance (voir Tudor [110]). En
utilisant la nouvelle approche du calcul de Malliavin pour les processus de L´evy introduite dans
[106], nous avons pu g´en´eraliser ce type d’int´egrale de Itˆo-Skorohod aux processus de L´evy.
L’objectif de ce chapitre est d’utiliser le calcul de Malliavin sur l’espace canonique de L´evy,
d´evelopp´e par Sol´e et al. [106], pour ´etudier la relation entre des processus anticip´es de type
int´egrale de Skorohod et des processus de type int´egrale d’ Itˆo-Skorohod (dans le sens de [111]
et [93] ).
Comme dans le cas brownien, nous avons ´etabli les propri´et´es suivantes:
n

1. Soit f ∈ L2s (([0, 1] × R)n , µ⊗ ) et A ∈ B([0, 1]). Alors
¡
¢
n
E In (f )/FAX = In (f 1⊗
(A×R) )
o`
u FAX = σ(Xt − Xs : s, t ∈ A).
2. Supposons que F ∈ D1,2 et A ∈ B([0, 1]). Alors l’esp´erance conditionnelle E(F/FAX )
appartient `a D1,2 et pour tout z ∈ [0, 1] × R
¡
¢
¡
¢
Dz E F/FAX = E Dz F/FAX 1A×R (z).
Par cons´equent, nous obtenons la formule de Clark-Ocone correspondante.

27
Proposition 2 (Formule de Clark-Ocone-Haussman g´en´eralis´ee). Soit F ∈ D1,2 . Alors pour
tout 0 ≤ s < t ≤ 1, nous avons
³
´
X
F = E F/F(s,t]
+ δ(hs,t (·))
c
¡
¢
o`
u pour (r, x) ∈ [0, 1] × R nous notons hs,t (r, x) = E Dr,x F/F(r,t]c 1(s,t]c (r). De plus
³
F =E
Z
³
´
X
= E F/F(s,t]
+
σ
c

X
F/F(s,t]
c

t

(p,t)

+
(s,t]×R

(Dz F ) dMz

Z Z
(p,t)

s

o`
u

Z Z

´

(Dr,0 F )dWr +

(p,t)
(s,t]×R0

e (dr, dx)
(Dr,x F ) N

³
´
X
est la projection pr´evisible de DF par rapport `
a la filtration F(r,t]
c

(p,t) (DF )

r≤t

.

A partir de ces r´esultats ci-dessus, nous avons prouv´e que toute int´egrale de la forme
Yt := δ(u. 1[0,t]×R (·)),

t ∈ [0, 1]

peut s’´ecrire comme une int´egrale de Itˆo-Skorohod dans le sens de [111].
Proposition 3. Soit u ∈ Lk,2 , avec k ≥ 3. Alors il existe un processus unique v ∈ Lk−2,2 tel
que pour tout 0 < t ≤ 1
Z Z
(p,t)
Yt := δ(u. 1[0,t]×R (·)) =
(vs,x ) M (ds, dx).
(0,t]×R

De plus vs,x = Ds,x Ys

µ ⊗ P presque partout sur [0, 1] × R × Ω.

En utilisant ce dernier r´esultat, nous avons pu ´etablir une formule d’Itˆo pour des int´egrales
anticip´es sur l’espace de L´evy.
Proposition 4 (Formule d’Itˆo). Supposons que v est un processus appartenant `
a L2 ([0, 1] × R ×
Ω, µ ⊗ P ). D´efinissons
Z Z
³
´
X
Yt =
E vs,x /F[s,t]
M (ds, dx)
c
(0,t]×R

et soit f une fonction de classe C 2 . Alors
Z Z
f (Yt ) = f (0) +

(0,t]×R

1
+
2
+
o`
u Yts :=

Z Z


(0,t]×R

f 00 (Yts )((p,t) (Ds,0 Ys ))2 ds






(f (Yts ) − f (Yts ) − f 0 (Yts )(Yts − Yts ))

0<s≤t

´

X
E
v
/F
M (ds, dx) et Yts = limr→s− Ytr pour tout 0 < s ≤ t.
c
s,x
[s,t]
(0,s]×R

RR

³

X



f 0 (Yts )(p,t) (Ds,x Ys ) M (ds, dx)

Ce chapitre fait l’objet d’une publication [40] en collaboration avec C. Tudor.

28

Chapitre 6 : Classe des processus qui sont infiniment divisible en temps
Dans ce chapitre, nous donnons un lien entre processus stochastique, infiniment divisible en
temps (IDT), et processus de L´evy. Nous ´etudions la connexion entre autosimilarit´e et stabilit´e
stricte pour les processus IDT. Nous consid´erons aussi une subordination d’un processus de L´evy
`a travers un processus IDT croissant. Enfin, nous introduisons une notion: celle des processus
stochastiques multiparam`etre IDT, extension naturelle de celle introduite par Mansuy [72].
Les processus IDT ont ´et´e introduits par Mansuy [72] comme une g´en´eralisations de processus
de L´evy. La motivation fut un travail de Barndorff-Nielsen et Thorbjørnsen [8]. Il s’agit de
processus X = (Xt , t ≥ 0) `a valeurs dans Rd qui ont la propri´et´e dite d’infiniment divisible en
temps : Pour tout n ∈ N∗ , la loi de (Xnt , t ≥ 0) est la loi de
(1)

(Xt

(n)

+ ... + Xt , t ≥ 0),

o`
u X (1) , . . . , X (n) sont des copies ind´ependantes de X.
Plusieurs propri´et´es des processus IDT ont ´et´e ´etudi´ees dans [72], concernant par exemple la
caract´eristique des processus IDT gaussien et leur autod´ecomposabilit´e temporale.
Le but du chapitre 6 est d’´etendre certains r´esultats sur les processus de L´evy ´etudi´es dans
[7], [35] et [73] au cas des processus IDT.
Le th´eor`eme suivant ´enonce une condition n´ecessaire et suffisante pour qu’un processus IDT soit
un processus de L´evy: l’hypoth`ese d’accroissements ind´ependants.
a accroissements ind´ependants,
Th´
eor`
eme 7. Si X = (Xt , t ≥ 0) est un IDT continu en probabilit´e `
alors X est un processus de L´evy.
Soit 0 < α ≤ 2. Une mesure de probabilit´e infiniment divisible µ est appel´ee strictement
α−stable si, pour tout a > 0
µ
ˆ(θ)a = µ
ˆ(a1/α θ), ∀ θ ∈ Rd
o`
u

Z
ei<θ,z> µ(dz).

µ
ˆ(θ) =
Rd

On dit qu’un processus X = (Xt , t ≥ 0) est strictement α−stable si toute loi finie-dimensionnelle
de X est strictement α−stable.
Nous ´etudions maintenant le lien entre trois notions de processus : processus autosimilaire,
processus strictement stable et processus IDT.
Th´
eor`
eme 8. Soit 0 < α ≤ 2. Si X = (Xt , t ≥ 0) est un processus stochastique continu en
probabilit´e, alors lorsque nous combinons deux propri´et´es parmi les trois suivantes nous obtenons
la troisi`eme.
♠ X est strictement α-stable.
♣ X est ( α1 )-autosimilaire.

29
¨ X est IDT.
Dans le cas o`
u X = (Xt , t ≥ 0) est un processus de L´evy, Embrechts et Maejima [35] ont
montr´e l’´equivalence entre les deux propri´et´es (♠) et (♣). Nous donnons un exemple qui prouve
que le th´eor`eme 8 n’est pas vrai en g´en´eral si nous rempla¸cons la propri´et´e (¨) par: X est un
processus de L´evy. Soit Sα une variable al´eatoire strictement α-stable. Le processus X d´efini
par
Xt = t1/α Sα , t ≥ 0,
est un processus (1/α)-autosimilaire, α-stable et IDT mais n’est pas de L´evy.
Nous ´etudions ´egalement la connexion entre la semi-autosimilarit´e et la semi-stabilit´e stricte
pour les processus IDT (voir la sous-section 6.3.2). Cette connexion a ´et´e d´emontr´ee par Sato
[105] pour les processus de L´evy.
La subordination est une transformation d’un processus stochastique en un nouveau processus stochastique, `a travers changement du temps al´eatoire par un processus de L´evy croissant
(subordinateur) ind´ependant du processus original. Nous ´enon¸cons notre r´esultat obtenu dans
ce cadre.
Th´
eor`
eme 9. Soit X un processus de L´evy `
a valeurs dans Rd et ξ un processus IDT croissant
continu en probabilit´e tels que X et ξ sont ind´ependants. Alors (Zt := Xξt : t ≥ 0) est un
processus IDT.
Dans la section 6.4 nous introduisons la notion de processus multiparam`etre infiniment divisible en temps. Puis nous caract´erisons les processus gaussien multiparam`etre qui sont IDT.
Ensuite, plusieurs prpri´et´es ont ´et´e ´etudi´ees comme dans le cas des processus IDT avec un seul
param`etre.
Ce chapitre fait l’objet d’une publication [38] en collaboration avec Y. Ouknine.

Les six chapitres de cette th`ese, qui correspondent chacun `a un article, publi´e ou soumis dans
une revue scientifique `a comit´e de lecture, sont ind´ependants les uns des autres. Il en est de
mˆeme pour les notations utilis´ees, qui peuvent varier d’un chapitre `a l’autre.

Part I

MALLIAVIN CALCULUS AND
LOCAL TIME ON GAUSSIAN
SPACE

30

31

Chapter 1

Multidimensional bifractional
Brownian motion: Itˆ
o and Tanaka
formulas
Using the Malliavin calculus with respect to Gaussian processes and the multiple stochastic
integrals we derive Itˆo’s and Tanaka’s formulas for the d-dimensional bifractional Brownian
motion.

1.1

Introduction

The stochastic calculus with respect to the fractional Brownian motion (fBm) has now a long
history. Since the nineties, many authors used different approaches to develop a stochastic
integration theory with respect to this process. We refer, among of course many others, to [1],
[27], [33] or [46]. The reason for this tremendous interest in the stochastic analysis of the fBm
comes from its large amount of applications in practical phenomena such as telecommunications,
hydrology or economics.
Nevertheless, even fBm has its limits in modeling certain phenomena. Therefore, several
authors introduced recently some generalizations of the fBm which are supposed to fit better
in concrete situations. For example, we mention the multifractional Brownian motion (see e.g.
[4]), the subfractional Brownian motion (see e.g. [16]) or the multiscale fractional Brownian
motion (see [5]).
Here our main interest consists in the study of the bifractional Brownian motion (bifBm).
The bifBm has been introduced by Houdr´e and Villa in [47] and a stochastic analysis for it can
be found in [103]. Other papers treated different aspects of this stochastic process, like sample
paths properties, extension of the parameters or statistical applications (see [17], [12], [113] or
[25]). Recall that the bifBm B H,K is a centered Gaussian process, starting from zero, with
covariance function
´
¢K
1 ³¡
RH,K (t, s) := R(t, s) = K t2H + s2H
− |t − s|2HK
(1.1)
2
32

Section 1.2. Preliminaries: Deterministic spaces associated and Malliavin calculus

33

where the parameters H, K are such that H ∈ (0, 1) and K ∈ (0, 1]. In the case K = 1 we
retrieve the fractional Brownian motion while the case K = 1 and H = 21 corresponds to the
standard Brownian motion.
The process B H,K is HK-selfsimilar but it has no stationary increments. It has H¨older
continuous paths of order δ < HK and its paths are not differentiable. An interesting property
of it is the fact that its quadratic variation in the case 2HK = 1 is similar to that of the standard
Brownian motion, i.e. [B H,K ]t = cst. × t and therefore especially this case (2HK = 1) is very
interesting from the stochastic calculus point of view.
In this paper, our purpose is to study multidimensional bifractional Brownian motion and to
prove Itˆo and Tanaka formulas. We start with the one dimensional bifBm and we first derive Itˆo
and Tanaka formulas for it when 2HK ≥ 1. We mention that the Itˆo formula has been already
proved by [61] but here we propose an alternative proof based on the Taylor expansion which
appears to be also useful in the multidimensional settings. The Tanaka formula is obtained from
the Itˆo formula by a limit argument and it involves the so-called weighted local time extending
the result in [24]. In the multidimensional case we first derive an Itˆo formula for 2HK > 1
and we extend it to Tanaka by following an idea by Uemura [114], [115]; that is, since |x| is
twice the kernel of the one-dimensional Newtonian potential, i.e. 12 ∆|x| is equal to the delta
Dirac function δ(x), we will chose the function U (z), z ∈ Rd which is twice of the kernel of
d-dimensional Newtonian (or logarithmic if d = 2) potential to replace |x| in the d-dimensional
case. See the last section for the definition of the function U . Our method is based on the
Wiener-Itˆo chaotic expansion into multiple stochastic integrals following ideas from [54] or [34].
The multidimensional Tanaka formula also involves a generalized local time. We note that the
terms appearing in our Tanaka formula when d ≥ 2 are not random variables and they are
understood as distributions in the Watanabe spaces.

1.2
³

Preliminaries: Deterministic spaces associated and Malliavin calculus

´
Let
∈ [0, T ] be a bifractional Brownian motion on the probability space (Ω, F, P ).
Being a Gaussian process, it is possible to construct a stochastic calculus of variations with
respect to B H,K . We refer to [1], [81] for a complete description of stochastic calculus with
respect to Gaussian processes. Here we recall only the basic elements of this theory.
The basic ingredient is the canonical Hilbert space H associated to the bifractional Brownian
motion. This space is defined as the completion of the linear space E generated by the indicator
functions 1[0,t] , t ∈ [0, T ] with respect to the inner product
BtH,K , t

h1[0,t] , 1[0,s] iH = R(t, s).
The application ϕ ∈ E → B H,K (ϕ) is an isometry from E to the Gaussian space generated by
B H,K and it can be extended to H.

Section 1.2. Preliminaries: Deterministic spaces associated and Malliavin calculus

34

Let us denote by S the set of smooth functionals of the form
F = f (B H,K (ϕ1 ), . . . , B H,K (ϕn ))
where f ∈ Cb∞ (Rn ) and ϕi ∈ H. The Malliavin derivative of a functional F as above is given by
DB

H,K

F =

n
X
∂f
(B H,K (ϕ1 ), . . . , B H,K (ϕn ))ϕi
∂xi
i=1

and this operator can be extended to the closure Dm,2 (m ≥ 1) of S with respect to the norm
kF k2m,2 := E |F |2 + EkDB

H,K

F k2H + . . . + EkDB

H,K ,m

F k2H⊗m
ˆ

ˆ
where H⊗m
denotes the m fold symmetric tensor product and the mth derivative DB ,m is
defined by iteration.
H,K
H,K
The divergence integral δ B
is the adjoint operator of DB . Concretely, a random variable
H,K
u ∈ L2 (Ω; H) belongs to the domain of the divergence operator (Dom(δ B )) if
¯
¯
H,K
¯
¯
E ¯hDB F, uiH ¯ ≤ ckF kL2 (Ω)
H,K

for every F ∈ S. In this case δ B

H,K

(u) is given by the duality relationship

E(F δ B

H,K

(u)) = EhDB

H,K

F, uiH

for any F ∈ D1,2 . It holds that
Eδ B
where (DB

H,K

H,K

(u)2 = Ekuk2H + EhDB

u)∗ is the adjoint of DB

H,K

H,K

u, (DB

H,K

u)∗ iH⊗H

(1.2)

u in the Hilbert space H ⊗ H.

Sometimes working with the space H is not convenient; once, because this space may contain
also distributions (as, e.g. in the case K = 1, see [95]) and twice, because the norm in this
space is not always tractable. We will use the subspace |H| of H which is defined as the set of
measurable function f on [0, T ] with
¯ 2
¯
Z TZ T
¯∂ R
¯
2
¯
kf k|H| :=
|f (u)| |f (v)| ¯
(u, v)¯¯ dudv < ∞.
(1.3)
∂u∂v
0
0
It follows actually from [61] that the space |H| is a Banach space for the norm k · k|H| and it is
included in H. In fact,
L2 ([0, T ]) ⊂ |H| ⊂ H.
and
Eδ B
where, if ϕ : [0, T ]2 → R
Z
2
kϕk|H|⊗|H| =

H,K

(u)2 ≤ Ekuk2|H| + EkDB

H,K

uk2|H|⊗|H|

¯
¯
2
¯
¯¯ 2
¯
0 0
0 0 ¯¯ ∂ R
0 ∂ R
0 ¯
¯
|ϕ(u, v)| ϕ(u , v ) ¯
(u,
u
)
(v,
v
)
¯ dudvdu dv .
∂u∂u0
∂v∂v 0
[0,T ]4

(1.4)

(1.5)

Section 1.2. Preliminaries: Deterministic spaces associated and Malliavin calculus

35

We will use the following formulas of the Malliavin calculus: the integration by parts
F δB
for any u ∈ Dom(δ B

H,K

H,K

(u) = δ B

H,K

(F u) + hDB

H,K

F, uiH

(1.6)

), F ∈ D1,2 such that F u ∈ L2 (Ω; H); and the chain rule
DB

H,K

ϕ(F ) =

n
X

∂i ϕ(F )DB

H,K

Fi

i=1

if ϕ : Rn → R is continuously differentiable with bounded partial derivatives and F = (F 1 , . . . , F m )
is a random vector with components in D1,2 .
H,K

H,K

By the duality between DB
and δ B
we obtain the following result for the convergence of
H,K
H,K
B
divergence integrals: if un ∈ Dom(δ
) for every n, un → u in L2 (Ω; H) and δ B (un ) →
n→∞

G ∈ L2 (Ω) in L1 (Ω) then
u ∈ Dom(δ B

H,K

) and δ B

H,K

n→∞

(u) = G.

(1.7)

It is also possible to introduce multiple integrals In (fn ), f ∈ H⊗n with respect to B H,K . Let
F =

X

In (fn )

(1.8)

n≥0

where for every n ≥ 0, fn ∈ H⊗n are symmetric functions. Let L be the Ornstein-Uhlenbeck
operator
X
LF = −
nIn (fn )
n≥0

if F is given by (1.8).
For p > 1 and α ∈ R we introduce the Sobolev-Watanabe space Dα,p as the closure of the set
of polynomial random variables with respect to the norm
α

kF kα,p = k(I − L) 2 kLp (Ω)
where I represents the identity. In this way, a random variable F as in (1.8) belongs to Dα,2 if
and only if
X
(1 + n)α kIn (fn )k2L2 (Ω) < ∞.
n≥0

Note that the Malliavin derivative operator acts on multiple integral as follows
H,K
DtB F

=


X

nIn−1 (fn (·, t)),

t ∈ [0, T ].

n=1
H,K

H,K

The operator DB
is continuous from Dα−1,p into Dα,p (H) . The adjoint of DB
is denoted
H,K
B
by δ
and is called the divergence (or Skorohod) integral. It is a continuous operator from

Section 1.3. Tanaka formula for unidimensional bifractional Brownian motion

36

Dα,p (H) into Dα,p . For adapted integrands, the divergence integral coincides to the classical Itˆo
integral. We will use the notation
Z
δB

H,K

T

(u) =
0

us δBsH,K .

Recall that if u is a stochastic process having the chaotic decomposition
us =

X

In (fn (·, s))

n≥0

where fn (·, s) ∈ H⊗n for every s, and it is symmetric in the first n variables, then its Skorohod
integral is given by
Z T
X
us dBsH,K =
In+1 (f˜n )
0

n≥0

where f˜n denotes the symmetrization of fn with respect to all n + 1 variables.

1.3

Tanaka formula for unidimensional bifractional Brownian
motion

This paragraph is consecrated to the proof of Itˆo formula and Tanaka formula for the onedimensional bifractional Brownian motion with 2HK ≥ 1. Note that the Itˆo formula has been
already proved in [61]; here we propose a different approach based on the Taylor expansion
which will be also used in the multidimensional settings.
We start by the following technical lemma.
Lemma 1. Let us consider the following function on [1, ∞)
h(y) = y 2HK + (y − 1)2HK −

¢K
2 ¡ 2H
y + (y − 1)2H .
K
2

where H ∈ (0, 1) and K ∈ (0, 1). Then,
h(y) converges to 0 as y goes to ∞.

(1.9)

Moreover if 2HK = 1 we obtain that
1
lim yh(y) = (1 − 2H).
4

y→+∞

1
Proof: Let y = , hence
ε
µ ¶
·
¸
¢
1
1
2 ¡
2HK
2H K
h(y) = h
= 2HK 1 + (1 − ε)
− K 1 + (1 − ε)
.
ε
ε
2

(1.10)

Section 1.3. Tanaka formula for unidimensional bifractional Brownian motion
Using Taylor’s expansion, as ε close to 0, we obtain
µ ¶
¢
1
1 ¡
h
= 2HK H 2 K(K − 1)ε2 + o(ε2 ) .
ε
ε

37

(1.11)

Thus
lim h(y) = lim h(1/ε) = 0.

y→+∞

ε→0

For the case 2HK = 1 we replace in (1.11), we have
µ ¶
1
1
1
h
= (1 − 2H) + o(1).
ε
ε
4
Thus (1.10) is satisfied. Which completes the proof.
Theorem 1. Let f be a function of class C2 on R such that
max{|f (x)|, |f 0 (x)|, |f 00 (x)|} ≤ ceβx
where c and β are positive constants such that β <
H,K
f 0 (B H,K ) ∈ Dom(δ B ) and for every t ∈ [0, T ]
³
f

BtH,K

Z

´

t

= f (0) +
0

1
.
4T 2HK

¡
¢
f BsH,K δBsH,K + HK

Z

0

0

t

2

(1.12)
Suppose that 2HK ≥ 1. Then

¡
¢
f 00 BsH,K s2HK−1 ds.

(1.13)

Proof: We first prove the case 2HK > 1. It follows from (1.12) (as in e.g. [1]) that f 0 (B H,K ) ∈
L2 (Ω; |H|). Let us fix t ∈ [0, T ] and let be π n := {tnj = jt
n ; j = 0, ..., n} a partition of [0, t]. Using
Taylor expansion, we have
³
´
f BtH,K

=

f (0) +

n
X
j=1
n

n
³
´³
´2
³
´³
´ 1X
H,K
f 0 BtH,K
BtH,K
− BtH,K
+
f 00 B j
BtH,K
− BtH,K
n
n
n
n
n
j
j−1
j−1
j
j−1
2
j=1

n

:= f (0) + I + J .
³
´
H,K
with B j
= BtH,K
+ θj BtH,K
− BtH,K
where θj is a r.v in (0, 1).
n
n
n
j−1
j
j−1
The growth condition (1.12) implies
Ã
!
³
´
¡ H,K ¢ p
H,K 2
E
sup |f Bs
|
≤ cp E ep sup0≤s≤T |(Bs )| < ∞

(1.14)

(1.15)

0≤s≤T

for any p <

1
.
2βT 2HK

In particular for p = 2. The same property holds for f 0 and f 00 . Combining

Section 1.3. Tanaka formula for unidimensional bifractional Brownian motion

38

this with the fact that B H,K is a quasi-helix (see [103]), we can bound the term J n as follows:


n ³
´2
X
¡
¢
1

E|J n | ≤
E  sup |f 00 BsH,K |
BtH,K
− BtH,K
n
n
j
j−1
2
0≤s≤T
j=1
°
°
°
°
°X
°
n ³
°
°
´
2
°
°
¡ H,K ¢ °

H,K
H,K
00
°
°


Btn − Btn
° sup |f Bs
°
°
j
j−1
° 2 °
2 °0≤s≤T
°
L (Ω)

≤ C(H, K)

n
X

j=1

L2 (Ω)

|tnj − tnj−1 |2HK

j=1

≤ C(H, K)

T 2HK
−→ 0
n2HK−1 n→∞

where C(H, K) a constant depends on H and K. Then
J n −→ 0 in L1 (Ω).

(1.16)

n→∞

On the other hand, we apply (1.6) we get
n
X

In =

³
´ H,K
f 0 BtH,K
δ B (1(tnj−1 ,tnj ] )
n
j−1

j=1

= δ

B H,K


n
³
´
X

f 0 B H,K
1(tn
n
j=1

n
j−1 ,tj ]

tj−1


(.) +

n
X
j=1

³
´
f 00 BtH,K
h1(0,tnj−1 ] , 1(tnj−1 ,tnj ] iH
n
j−1

= I1n + I2n .
Next
I2n

=
=
:=

n
X
j=1
n
X
j=1
n
X
j=1

³
´¡
¢
R(tnj−1 , tnj ) − R(tnj−1 , tnj−1 )
f 00 BtH,K
n
j−1

f

00

³

BtH,K
n
j−1


´ µ 1 ³¡
´
¢
n 2H
n
2H K
n
n
2HK
n
2HK
(tj ) + (tj−1 )
− (tj − tj−1 )
− (tj−1 )
2K

³
´
f 00 BtH,K
b(j).
n
j−1

We denote by
Z

t

1
s2HK−1 ds = t2HK .
2
0
´
Rt ³
To prove that I2n converges to HK 0 f 00 BsH,K s2HK−1 ds in L1 (Ω) as n → ∞, it suffices to
show that
¯
¯
¯
n
³
´³
´¯¯
¯ n X
f 00 BtH,K
Atnj − Atnj−1 ¯¯ −→ 0.
Cn := E ¯¯I2 −
n
j−1
¯ n→∞
¯
j=1
At := HK

Section 1.3. Tanaka formula for unidimensional bifractional Brownian motion

39

By Minkowski inequality, we have
Ã

! n ¯
¯
¯
¯
¡ H,K ¢ X
1 n 2HK
n
2HK ¯
¯
≤ E
sup |f Bs
|
b(j)

((t
)

(t
)
)
j
j−1
¯
¯
2
0≤s≤T
j=1


n
X
1
2
1
≤ C(H, K, T )  2HK
|h(j)| + K 2HK−1 
n
2 n
j=1
£
¤
= C(H, K, T ) Cn1 + Cn2

Cn

where C(H, K, T ) is a generic constant depends on H, K and T .
1
Since 2HK > 1 then Cn2 := 22K n2HK−1
−→ 0. According to (1.9), we obtain
n→∞

Cn1 :=

n
X

1
n2HK

h(j) ≤

j=1

C

−→ 0.

n2HK−1 n→∞

Thus
Z
I2n −→
n→∞

HK
0

t

¡
¢
f 00 BsH,K s2HK−1 ds in L1 (Ω).

We show now that
un. :=

n
X

³
´
¡
¢
f 0 BtH,K
1(tnj−1 ,tnj ] (.) −→ u. := f 0 B.H,K 1(0,t] (.) in L2 (Ω; H).
n
n→∞

j−1

j=1

(1.17)

¡
¢
Indeed, using (1.12) and the continuity of the process f 0 B H,K , we obtain
n

E||u −

u||2|H|

n h ³
´
X
¡
¢i
= E||
f 0 BtH,K
− f 0 B.H,K 1(tnj−1 ,tnj ] (.)||2|H|
n
j=1

j−1

¯
¯
¯ ³
´
¯
¡ H,K ¢¯¯ ¯¯ 0 ³ H,K ´
¡ H,K ¢¯¯ ¯ ∂ 2 R
¯ 0
H,K
0
0
(r, s)¯¯ drds
= E
¯f Btnj−1 − f Br
¯ ¯f Btl−1 − f Bs
¯ ¯¯
n
∂r∂s
j,l=1 tj−1 tl−1
Ã
!2 n Z n Z
¯
¯
tl ¯ 2
X tj
¯ 0 ¡ H,K ¢
¯
¡ H,K ¢¯
0
¯
¯ ∂ R (r, s)¯ drds
≤ E
sup ¯f Br
− f Bs
¯
¯
n
∂r∂s
|r−s|≤ nt
j,l=1 tj−1 tl−1
Ã
!2
¯ 0 ¡ H,K ¢
¡
¢¯
= E
sup ¯f Br
− f 0 BsH,K ¯ C(T ) →n→∞ 0.
n Z
X

tn
j

Z

tl

|r−s|≤ nt

Rt
The above steps prove that I1n converges in L1 (Ω) to f (BtH,K )−f (0)−HK 0 f ”(BsH,K )s2HK−1 ds.
H,K
By combining this and (1.17), by property (1.7) we deduce f 0 (B H,K ) ∈ Dom(δ B ) and
I1n converges to δ B
Therefore (1.13) is established.

H,K

¡ 0 ¡ H,K ¢
¢
f B.
1(0,t] (.) in L2 (Ω).

Section 1.3. Tanaka formula for unidimensional bifractional Brownian motion

40

The proof of the case 2HK = 1 is based on a preliminary result concerning the quadratic
variation of the bifractional Brownian motion. It was proved in [103] using the stochastic calculus
via regularization.
Lemma 2. Suppose that 2HK = 1, then
Vtn

:=

n ³
X

BtH,K
− BtH,K
n
n
j

j=1

´2

−→

1

n→∞ 2k−1

j−1

t in L2 (Ω).

Proof: A straightforward calculation shows that,
n

EVtn =

tX
t
t
h(j) + k−1 −→ k−1 .
n→∞ 2
n
2
j=1

To obtain the conclusion it suffices to show that
lim E(Vtn )2 = (

n→∞

t
2k−1

)2 .

In fact we have,
E(Vtn )2

=

n
X

³
´2
E (BtH,K
− BtH,K
)(BtH,K
− BtH,K
)
n
n
n
n
i

i,j=1

Denote by

i−1

j

j−1

³
´2
µn (i, j) = E (BtH,K
− BtH,K
)(BtH,K
− BtH,K
)
n
n
n
n
i

i−1

j

j−1

It follows by linear regression that
Ã
¯2 !
¯
q
¯
¯
µn (i, j) = E N12 ¯¯θn (i, j)N1 + δn (i, j) − (θn (i, j))2 N2 ¯¯
where N1 and N2 two independent normal random variables,
³
´
θn (i, j) := E (BtH,K
− BtH,K
)(BtH,K
− BtH,K
)
n
n
n
n
i
i−1
j
j−1
t £ 2H
2H K
=
(i + j ) − 2|j − i| − (i2H + (j − 1)2H )K + |j − i − 1|
2K n
¤
−((i − 1)2H + j 2H )K + |j − i + 1| + ((i − 1)2H + (j − 1)2H )K
and
³
´2 ³
´2
H,K
H,K
H,K
δn (i, j) := E BtH,K

B
E
B

B
.
n
tn
tn
tn
i

i−1

j

Hence
µn (i, j) = 2(θn (i, j))2 + δn (i, j).

j−1

Section 1.3. Tanaka formula for unidimensional bifractional Brownian motion

41

For 1 ≤ i < j, we define a function fj : (1, ∞) → R, by
fj (x) = ((x − 1)2H + j 2H )K − ((x − 1)2H + (j − 1)2H )K
−(x2H + j 2H )K + (x2H + (j − 1)2H )K .
We compute
µ

fj0 (x)

¶K−1 µ
¶K−1
(x − 1)2H + j 2H
(x − 1)2H + (j − 1)2H
=

(x − 1)2H
(x − 1)2H
µ 2H
¶K−1 µ 2H
¶K−1
x + j 2H
x + (j − 1)2H

+
x2H
x2H
:= g(x − 1) − g(x) ≥ 0

Hence fj is increasing and positive, since the function
µ
¶K−1 µ
¶K−1
j 2H
(j − 1)2H
g(x) = 1 + 2H
− 1+
x
x2H
is decreasing on (1, ∞). This implies that for every 1 ≤ i < j
|θn (i, j)| =

t

fj (i)
2K n



t

fj (j)
2K n



t
|h(j)|
n

and |θn (i, i)| = nt |h(i) + 2| for any i ≥ 1.
Thus
n
X

n
n
2t2 X
t2 X
2
h(j)
+
(h(i) + 2)2 .
n2
n2

θn (i, j)2 ≤

i,j=1

i<j

i=1

i,j=1

Pn

2
i,j=1 θn (i, j)

Combining this with (1.10), we obtain that
On the other hand, by (1.10)
n
X
i,j=1

converges to 0 as n → ∞.

¶µ

µ
¶2
n µ
t2 X
1
1
t
δn (i, j) = 2
h(i) + K−1
h(j) + K−1 −→
.
n→∞
n
2
2
2K−1
i,j=1

Consequently, E(Vtn )2 converges to

¡

¢2
t
2K−1

as n → ∞, and the conclusion follows.

Proof: [Proof of the Theorem 1 in the case 2HK = 1.] In this case we shall prove that
Z t
¡
¢
I1n −→
f 0 BsH,K δBsH,K in L2 (Ω),
(1.18)
n→∞

µ
I2n −→
n→∞

0

1
1
− K
2 2

¶Z
0

t

¡
¢
f 00 BsH,K ds in L2 (Ω),

(1.19)

Section 1.3. Tanaka formula for unidimensional bifractional Brownian motion

42

and
J n −→

n→∞

1
2K

Z

t

0

¡
¢
f 00 BsH,K ds in L1 (Ω).

(1.20)

To prove (1.19), it is enough to establish that
¯2 1/2
 ¯
¯
¯
¶X
µ
n
³
´
¯
¯ n
¡
¢
1
1
H,K
00
n
n
¯

f Btn
tj − tj−1 ¯¯ 
En := E ¯I2 −
− K
−→ 0.
j−1
n→∞
2 2
¯
¯
j=1
According to (1.12) and (1.10), we obtain
En

 Ã
!2 1/2 n ¯
¯
X¯ 1
¯
¡ H,K ¢
1
n
2H
n
2H
K
n
n
¯
¯
≤ E
sup |f Bs
| 
¯ 2K ((tj ) + (tj−1 ) ) − 2 (tj + tj−1 )¯
0≤s≤T
j=1
¯
¯
n
¯
2 2H
C(H, K) X ¯¯
2H K ¯
2j − 1 − K (j + (j − 1) ) ¯

¯
2n
2
=

C(H, K)
2n

j=1
n
X

n

h(j) ≤

j=1

C(H, K) X 1
−→ 0.
2n
j n→∞
j=1

m(n)

Suppose that n ≥ m, and for any j = 1, ..., n let us denote by tj
the point of the mth partition
n
that is closer to tj from the left. Then we obtain
¯
Z t ³
´ ¯¯
¯ n
1
H,K
00
¯
E ¯J − K
f Bs
ds¯¯
2
0
¯
¯
¯ n µ
¶¶ ³
µ
´2 ¯¯
1 ¯¯X 00 ³ H,K ´
¯
BtH,K
− BtH,K
E
− f 00 B H,K

f Bj
n
n
m(n)
¯
j
j−1
tj−1
2 ¯¯
¯
j=1
¯
¯
¯X
µ³
¶¯
m
n
n
´
³
´
X
2
tj − tj−1 ¯
1 ¯¯
¯
BtH,K
− BtH,K

+

f 00 BtH,K
m
n
n
¯
K−1
j
j−1
k−1
2 ¯
2
¯
n
m
j:tm
k=1
k−1 ≤tj−1 <tk
¯m Z
¯
¡
¢´ ¯¯
1 ¯¯X tk ³ 00 ³ H,K ´
+ KE¯
f Btm
− f 00 BsH,K ds¯
k−1
¯
¯
2
k=1 tk−1


n ³
´
X
2
¯
¡
¢
¡
¢¯
1 

E
sup ¯f 00 BrH,K − f 00 BsH,K ¯
BtH,K
− BtH,K

n
n
j
j−1
2
t
|r−s|≤ n
j=1
¯
¯
¯X
µ
m
³
´
³
´2 tn − tn ¶¯¯
X
1 ¯¯
j
j−1 ¯
f 00 BtH,K
BtH,K
− BtH,K
E

+
m
n
n
¯
K−1
j
j−1
k−1
2 ¯¯
2
¯
n n
m
j:tm
k=1
k−1 ≤tj−1 <tk
Ã
!
¯ ¡
¢
¡
¢¯
t
+ KE
sup ¯f 00 BrH,K − f 00 BsH,K ¯ .
2
|r−s|≤ t
m

By using Lemma 2, let us tender n to infinity and m to infinity. We deduce that (1.20) holds.
The rest of the proof is same as in the case 2HK > 1.

Section 1.3. Tanaka formula for unidimensional bifractional Brownian motion

43

Remark 1. The ”pathwise” Itˆ
o formula for the bifBm has been proved in [103] for any H ∈ [0, 1)
and K ∈ (0, 1] by using the so-called Newton-Cotes integral introduced in [46]. One can note
Rt
that the Skorohod integral 0 f 0 (BsH,K )δBsH,K appearing in Theorem 1 is equal to the pathwise
Rt
Rt
integral 0 f 0 (BsH,K )dBsH,K minus the ”trace” HK 0 f 00 (BsH,K )s2HK−1 ds.
Let us regard now the Tanaka formula. As in the case of the standard fractional Brownian
x
motion, it will involve the so-called weighted local time Lt (x ∈ R, t ∈ [0, T ]) of B H,K defined
as the density of the occupation measure
Z t
A ∈ B(R) −→ 2HK
1A (BsH,K )s2HK−1 ds.
0

³
´
Theorem 2. Let BtH,K , t ∈ [0, T ] be a bifractional Brownian motion with 2HK ≥ 1. Then
H,K

for every x ∈ R we have sign(B H,K . − x) ∈ Dom(δ B ) and for each t ∈ [0, T ], x ∈ R the
following formula holds
Z t
¯
¯
¯ H,K
¯
− x¯ = |x| +
sign(Bs − x)δBsH,K + Lxt .
(1.21)
¯Bt
0

Proof:
and put

We follow the original proof of [24]. Let pε (y) =
Z
Fε0 (z) = 2

y2

√ 1 e− 2ε
2πε

be the Gaussian kernel

z

−∞

pε (y)dy − 1,

and
Z
Fε (z) =

0

z

Fε0 (y)dy.

By the Theorem 1 we have
Z t
³
´
¡
¢
H,K
Fε0 BsH,K − x δBsH,K
Fε Bt
−x
= Fε (−x) +
0
Z t
¡
¢
+HK
pε BsH,K − x s2HK−1 ds.

(1.22)

0

Using (a slight adaptation of) Proposition 9 in [103] (or proposition 2 in [24]), one can prove
that
Z t
x
Lt = lim 2HK
pε (BsH,K − x)s2HK−1 ds in L2 (Ω)
(1.23)
ε→0

0

and Lxt admits the following chaotic representation into multiple stochastic integrals (here In
represents the multiple integral with respect to the bifBm)
Lxt

= 2HK

∞ Z
X
n=0 0

t

³ x ´
n
H
In (1⊗
)ds
n
[0,s]
HK
(n−2)HK+1
s
s
ps2HK (x)

(1.24)

Section 1.4. Tanaka formula for multidimensional bifractional Brownian motion

44

where Hn is the nth Hermite polynomial defined as
(−1)n x2 /2 dn −x2 /2
e
(e
) for every n ≥ 1.
n!
dxn
We have Fε (x) → |x| as ε → 0 and since Fε (x) ≤ |x|, then by Lebesgue’s dominated convergence
theorem we obtain that Fε (BtH,K − x) converges to |BtH,K − x| in L2 (Ω) as ε → 0.
On the other hand, since 0 ≤ Fε0 (x) ≤ 1 and Fε0 (x)
¯ 2→ sign(x)
¯ as ε goes to 0 the Lebesgue’s
¡
¢
¯∂ R
¯
2
2
dominated convergence theorem in L (Ω×[0, T ] ; P ⊗¯ ∂u∂v (u, v)¯ dudv) implies that Fε0 B.H,K − x
¡
¢
converges to sign B.H,K − x in L2 (Ω; H) as ε goes to 0 because
¡
¢
¡
¢
EkFε0 B.H,K − x − sign B.H,K − x k2|H|
Z TZ T
¯ 0 ¡ H,K
¢
¡
¢¯ ¯ ¡
¢
¡
¢¯
¯Fε Bu − x − sign BuH,K − x ¯ ¯Fε0 BvH,K − x − sign BvH,K − x ¯
= E
Hn (x) =

¯
¯02 0
¯
¯∂ R
¯
ׯ
(u, v)¯¯ dudv.
∂u∂v

Consequently, from the above convergences and (1.7), we deduce as in the proof of Theorem 1
¡
¢
H,K
that sign B H,K − x ∈ Dom(δ B ) for every x and
Z t
Z t
¡
¢
¡ H,K
¢ H,K
0
sign BsH,K − x δBsH,K in L2 (Ω).
Fε Bs
− x δBs
−→
0

ε→0

0

Then the conclusion follows.

1.4

Tanaka formula for multidimensional bifractional Brownian
motion

Given two vectors H = (H1 , . . . , Hd ) ∈ [0, 1]d and K = (K1 , . . . , Kd ) ∈ (0, 1]d , we introduce the
d-dimensional bifractional Brownian motion
¢
¡
B H,K = B H1 ,K1 , ..., B Hd ,Kd
as a centered Gaussian vector whose component are independent one-dimensional bifractional
Brownian motions.
We extend the Itˆo formula to the multidensional case.
¡
¢
Theorem 3. Let B H,K = B H1 ,K1 , ..., B Hd ,Kd be a d-dimensional bifractional Brownian mo¡
¢
tion, and let f be a function of class C2 Rd , R such that for every x ∈ Rd
µ

∂f
∂2f
2
d
max |f (x)|, |
(x)|, |
(x)| ≤ ceβ|x| ,
(1.25)
i,l=1
∂xi
∂xi ∂xl
1
∗ = maxd H i K i .
where c and β are positive constants such that β < 4T 2(HK)
∗ where (HK)
i=1
∂f ¡ Hi ,Ki ¢
We assume that 2Hi Ki > 1 for any i = 1, ...n. Then for every i we have ∂x
B

i
Hi ,Ki

Dom(δ Bs

) and for every t ∈ [0, T ]
Z t 2
d
d Z t
³
´
X
∂ f ¡ H,K ¢ 2Hi Ki −1
∂f ¡ Hi ,Ki ¢ Hi ,Ki X
H,K
Bs
Hi Ki
f Bt
δBs
+
= f (0) +
s
ds.(1.26)
2 Bs
∂xi
0 ∂xi
i=1
i=1 0

Section 1.4. Tanaka formula for multidimensional bifractional Brownian motion

45

Proof: Let us fix t > 0 and a partition {tnj = jt
n ; j = 0, ..., n} of [0, t]. As in above, the condition
(1.25) implies that
Ã
!
³
´
¡ H,K ¢ 2
H,K 2
E
sup |f Bs
|
≤ c2 E e2 sup0≤s≤T |(Bs )| < ∞.
(1.27)
0≤s≤T

The same property holds for any
have
³
´
f BtH,K

=

f (0) +

∂f
∂xi

and

∂2f
∂xi ∂xl

with i, l = 1, ..., d. Using Taylor expansion, we

n X
d
´
X
∂f ³ H,K ´ ³ Hi ,Ki
Btn
Btn
− BtHni ,Ki
j−1
j
j−1
∂xi
j=1 i=1

+

n
d
´³
´
1 X X ∂ 2 f ³ H,K ´ ³ Hi ,Ki
Bj
Btn
− BtHni ,Ki BtHnl ,Kl − BtHnl ,Kl
j
j−1
j
j−1
2
∂xi ∂xl
j=1 i,l=1
n

:= f (0) + I + J n
³
´
H,K
where B j
= BtH,K
+ θj BtH,K
− BtH,K
, and θj is a random variable in (0, 1).
n
n
n
j−1
j
j−1
n
1
We show that J converges to 0 in L (Ω) as n → ∞. Applying H¨older inequality and the
property (1.27), we have
d µ ³
n X
´2 ¶1/2 µ ³
´2 ¶1/2
X
Hi ,Ki
Hi ,Ki
Hl ,Kl
Hl ,Kl
E Btn
− Btn
E Btn
− Btn
E|J | ≤ C(H, K)
n

j

j=1 i,l=1

≤ C(H, K)

d
X
i,l=1

j−1

j

j−1



T 2(HK)

nHi Ki +Hl Kl −1

−→ 0

n→∞

(Note that if 2Hi Ki = 1 for some i then the above sum does not converge to zero). According
to (1.6), we get
I

n

n X
d
´
X
∂f ³ H,K ´ ³ B Hi ,Ki
=
Btn
δ
(1(tnj−1 ,tnj ] )
j−1
∂xi
j=1 i=1



d
n
³
´
X
X
∂f
H
,K
δ B i i 
=
BtH,K
1(tnj−1 ,tnj ] (.)
n
j−1
∂xi
i=1
j=1

n
³
´
2
X
∂ f
H,K
+
h1(0,tnj−1 ] , 1(tnj−1 ,tnj ] iH 
2 Btn
j−1
∂x
i
j=1

=

d h
i
X
I1n,i + I2n,i .
i=1

As the similar way in the above theorem, we obtain that for every i = 1, ..., d
Z t 2
∂ f ¡ H,K ¢ 2Hi Ki −1
I2n,i −→ Hi Ki
s
ds in L2 (Ω).
2 Bs
n→∞
∂x
0
i

Section 1.4. Tanaka formula for multidimensional bifractional Brownian motion
We show that for every i ∈ {1, ..., d}
Z
I1n,i −→
n→∞

t

0

46

∂f ¡ H,K ¢ Hi ,Ki
Bs
δBs
in L2 (Ω).
∂xi

We set
un,i
s =

n
X
∂f ¡ H,K ¢
∂f ³ H,K ´
Btj−1 1(tj−1 ,tj ] (s) −
Bs
1(0,t] (s).
∂xi
∂xi
j=1

By inequality (1.4), we have
³ H ,K
´2
E δ B i i (un,i ) ≤ Ekun,i k2|Hi | + EkDun,i k2|Hi |⊗|Hi |
where Hi is the Hilbert space associated to B Hi ,Ki and Ri its covariance function.
For every r, s ≤ t
Dr un,i
s

n
X
∂ 2 f H,K
∂ 2 f ³ H,K ´
=
B
1
(r)1
(s)

(B
)1(0,s] (r)
(0,t
]
(t
,t
]
t
j−1
j−1
j
j−1
∂x2i
∂x2i s
j=1

n,i
we remark that Dr un,i
s and us converge to zero as n −→ ∞ for any r, s ≤ t. Using (1.12), the
¯ ¯ ¯ ¯
Lebesgue dominated convergence theorem and the expression of the norm ¯Hi ¯ ⊗ ¯Hi ¯ we obtain
that

δB

Hi ,Ki

(un,i ) −→ 0 in L2 (Ω).
n→∞

The proof is thus complete.
One can easily generalize the above theorem to the case when the function f depends on
time.
¡
¢
¡
¢
Theorem 4. Let f ∈ C1,2 [0, T ] × Rd , R and B H,K = B H1 ,K1 , ..., B Hd ,Kd be a d-dimensional
bifBm with 2Hi Ki > 1 for any i = 1, ..., n. ³ Assume´ that the function f (t, ·) satisfies (1.12)
H ,K
∂f
uniformly in t. Then for every i one has ∂x
·, B·H,K ∈ Dom(δ B i i ) and for every t
i
Z
³
´
f t, BtH,K
= f (0, 0) +

d

X
∂f
(s, BsH,K )ds +
∂s

t

0

+

d
X

i=1

Z
Hi Ki

i=1

t

0

Z

t

0

¢
∂f ¡
s, BsH,K δBsHi ,Ki
∂xi

¢
∂2f ¡
s, BsH,K s2Hi Ki −1 ds.
2
∂xi

We consider twice of the kernel of the d−dimensional Newtonian potential
(
U (z) =

1
− Γ(d/2−1)
2π d/2 |z|d−2
1
π log|z|

if d ≥ 3
if d = 2.

(1.28)

Section 1.4. Tanaka formula for multidimensional bifractional Brownian motion
Set
¯ (s, z) = Q
U
d

1
p

j=1

µ
θ

2Hj Kj

s U

(z1 − x1 ) 1/2−H1 K1
(zd − xd ) 1/2−Hd Kd

s
, ..., √
s
2Hd Kd
2H1 K1

where x = (x1 , ..., xd ) ∈ Rd and 0 < γ :=
(HK)∗ = max{H1 K1 , . . . , Hd Kd }.

1
2 (2

− d) + θ + (d − 2)(HK)∗ −

47


(1.29)

Pd

i=1 Hi Ki

with

We shall prove the following Tanaka formula. It will involve a multidimensional weighted
local time which is an extension of the one-dimensional local time given by (1.24). Note for any
dimension d ≥ 2 the local time is not a random variable anymore and it is a distribution in the
Watanabe’s sense.
¡
¢
¯ as above and let B H,K = B H1 ,K1 , ..., B Hd ,Kd be a d-dimensional bifBm
Theorem 5. Let U
with 2Hi Ki > 1 for any i = 1, ...d. Then the following formula holds in the Watanabe space
1
Dα−1
for any α < 2(HK)
∗ − d/2.
2
Z
¯ (t, B H,K ) = U
¯ (0, 0) +
U
t

t

0

¯ (s, BsH,K )ds +
∂s U

d Z
X
i=1

0

t

¯ (s, BsH,K )
∂U
δBsHi ,Ki + Lθ (t, x) (1.30)
∂xi

where the generalized weighted local time Lθ (t, x) is defined as
Z tY
d
ps2Hi Ki (xi )

X

Lθ (t, x) =

n=(n1 ,...,nd ) 0 i=1

s

1
+(ni −1)Hi Ki
2

µ
Hni

x
√ i
2H
s i Ki


ni

θ
Ini i (1⊗
[0,s] )s ds.

¯ by standard convolution. Put U
¯ε = pdε ∗ U
¯ , with pdε is
Proof: We regularize the function U
the Gaussian kernel on Rd given by
pdε (x) =

d
Y

d
Y

x2
1

e− 2ε ,
2πε
i=1

pε (xi ) =

i=1

∀x = (x1 , ..., xd ) ∈ Rd .

Using the above Itˆo formula we have
Z
³
´
¯ε t, B H,K
¯ε (0, 0) +
U
=
U
t

t

0

+

d
X

Z
Hi Ki

i=1

0

d
X
¯ε ¡
¢
∂U
s, BsH,K ds +
∂s
i=1

t

Z

t

0

¯ε ¡
¢
∂U
s, BsH,K δBsHi ,Ki
∂xi

¯ε ¡
¢
∂2U
s, BsH,K s2Hi Ki −1 ds.
2
∂xi

¯ε (0, 0) + I1ε (t) + I2ε (t).
= U
On the other hand, if V (z) = U (a1 z1 , ..., ad zd ) and Vε = pdε ∗ V we have
d

1 X 1 ∂ 2 Vε
(z) = pdε (a1 z1 , ..., ad zd ).
2
a2i ∂zi2
i=1

Section 1.4. Tanaka formula for multidimensional bifractional Brownian motion

48

Hence
I2ε (t)

Z

1
p

= Qd

2Hj Kj

j=1

t

0

¡
¢
pdε c1 (s)(BsH1 ,K1 − x1 ), ..., cd (s)(BsHd ,Kd − xd ) sθ ds

1/2−H K

i i
where ci (s) = s√2H K
for every i = 1, ..., d. The next step is to find the chaotic expansion of
i i
ε
the last term I2 . By Stroock formula, we have


¡
¡
¢ X
¢¢
1 i¡
pε ci (s)(BsHi ,Ki − xi ) =
In ED.n pε ci (s)(BsHi ,Ki − xi )
n!
n=0

and
¡
¢
¡
¢ n
ED.n pε ci (s)(BsHi ,Ki − xi ) = ci (s)n Ep(n)
ci (s)(BsHi ,Ki − xi ) 1⊗
ε
[0,s] (.)
Ã
!
ε
ci (s)n n!(
+ s2Hi Ki )−n/2 ps2Hi Ki + ε (xi )
ci (s)2
ci (s)2

Hn

q

xi
s2Hi Ki +

ε
ci (s)2

n

(s)n+1

1⊗
[0,s] (.)


=

n!
ε
xi
(
+ s2Hi Ki )−n/2 ps2Hi Ki + ε (xi )Hn  q
2
ci (s)2
ci (s) ci (s)
s2Hi Ki +

 1⊗n (.)
[0,s]

:=

n
n! i
βn,ε (s)1⊗
(.)
[0,s]
ci (s)

=



ci

ε
ci (s)2

Consequently
pdε

X

¡
¢
c1 (s)(BsH1 ,K1 − x1 ), ..., cd (s)(BsHd ,Kd − xd ) =

d
Y
βni ,ε (s)
i

n=(n1 ,...,nd )∈Nd i=1

ci (s)

ni

Ini i (1⊗
[0,s] )

and
I2ε (t)

=

Z tY
d
βni i ,ε (s)

X
n=(n1 ,...,nd )∈Nd

=

0 i=1

Z tY
d

X

s

1
−Hi Ki
2

ps2Hi Ki +

ε
n=(n1 ,...,nd ) 0 i=1 ( ci (s)2

ni

θ
Ini i (1⊗
[0,s] )s ds
ε
ci (s)2

(xi )

+ s2Hi Ki )ni /2 s

1
−Hi Ki
2




xi

Hni  q
s2Hi Ki +

ε
ci (s)2

 Ini (1⊗ni )sθ ds.
i
[0,s]

This term (in fact, slightly modified) appeared in some other papers such as Proposition 12 in
[34], or in [113]. Using standard arguments we obtain that the last term converges in Dα2 to
1
Lθ (t, x) as ε goes to 0, with α < 2(HK)
∗ − d/2.
The rest of the proof consists to show that the following convergences are hold:
For every i = 1, ..., d
Z t
Z t
¡
¢ H ,K Dα−1
¡
¢
2
H,K
i
i
¯ε s, Bs
¯ s, BsH,K δBsHi ,Ki .
∂i U
δBs
−→
∂i U
0

ε→0

0

(1.31)



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