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VECTEURS ET REPERES
Dérivée de vecteurs

4.4
Coordonnées
curvilignes,
ou(etrepère
de .....................................................................
Frenet..........................................................
4.34.2
Coordonnées
sphériques.
...........................................................................................
6165 51
Coordonnées
cylindriques
polaires)
55
,
ET
DANS
LES
DIFFERENTS
SYSTEMES
DE
COORDONNEES
...........................
V
OM
4.
4.3.....................................................................................................................
Coordonnées
sphériques.
...........................................................................................
61
5. C4.4
ONCLUSION
69
Coordonnées
curvilignes,
ou
repère
de
Frenet..........................................................
65
4.3
Coordonnées
sphériques.
...........................................................................................
61
4.1 Coordonnées
cartésiennes..........................................................................................
51 65
4.4
Coordonnées
curvilignes,
ou
repère
de
Frenet..........................................................
A5.NNEXE
:
DIFFERENTIELLES
DE
SCALAIRES
,
VECTEURS
..........................................................
69
CONCLUSION
.....................................................................................................................
4.4 Coordonnées
oucylindriques
repère de Frenet.
.........................................................
6569
4.2curvilignes,
Coordonnées
(et polaires)
.....................................................................
55 69
5.
C
ONCLUSION
.....................................................................................................................
ANNEXE
: DIFFERENTIELLES
DE SCALAIRES
, VECTEURS
..........................................................
5. CONCLUSION
.....................................................................................................................
6969
4.3 Coordonnées
sphériques.
...........................................................................................
61
A
NNEXE: DIFFERENTIELLES DE SCALAIRES, VECTEURS.......................................................... 69
ANNEXE: DIFFERENTIELLES
DE SCALAIRES
, VECTEURS
..........................................................
69
4.4 Coordonnées
curvilignes,
ou repère
de Frenet..........................................................
65

Rappels sur les vecteurs

5. CONCLUSION ..................................................................................................................... 69
ANNEXE: DIFFERENTIELLES DE SCALAIRES, VECTEURS.......................................................... 69

Position, vitesse et accélération
PositionOM(t+dt)Position,
Accélération
vitesse et accélération
Position,
vitessevitesse
et accélération
Position,
et accélération
V(t+dt)
Position, vitesse et accélération

OM(t)

OM(t+dt)
OM
(t+dt)
OM

OM(t+dt)

dOM
dOM
dOM

(t+dt)

dOM
dOM

VV
(t)(t)

dV
dV
dV

colinéaire

V
dOM
Vest
est colinéaire
colinéaire àà dOM
V est colinéaire à dOM

=

dt

===
dV
dV
dtdtdt =
= dt
dt à dV
est colinéaire
est colinéaire à dV

dV = dt
forme différentielle
dV== dtdV
dt
=forme
V dtdifférentielle
forme
différentielle
dV
forme différentielle

Forme
différentielle dV= =dt dt
forme différentielle

dOM

dOM = V dt

dV

dV

estest
colinéaire
à dVà dV
colinéaire
est colinéaire
à dV
est
colinéaire à dV

V est colinéaire à dOM

V dt
dOMdOM
= V=dt

V(t+dt) (t)

V(t)(t)(t)
V

dOM

dOM = V dt

V(t+dt)
V

V

OM(t)OM(t)

dOM
dOM
dOM
dt
V
=
dOM
VV
= = dtdt
dOM
dtV = V = dt
dt
V est colinéaire
à dOM
V est colinéaire
à dOM

dV
dV
dV

V(t+dt)
V(t+dt)
V

OM(t+dt)

(t+dt)

OM(t)
OM
OM
(t) (t)

V=

dOM

forme différentielle

dV =

dt

dV

dV

DANS LES
DIFFERENTS SYSTEMES DE COORDONNEES ........................... 51 61
Ves ET
sphériques.
...........................................................................................

données
cartésiennes..........................................................................................
51 65
es curvilignes,
ou repère de Frenet..........................................................
données
cylindriques (et polaires) ..................................................................... 55 69
..................................................................................................................
données sphériques. ........................................................................................... 61
NTIELLES DE SCALAIRES, VECTEURS.......................................................... 69
données curvilignes, ou repère de Frenet.......................................................... 65
SION ..................................................................................................................... 69
FFERENTIELLES DE SCALAIRES, VECTEURS.......................................................... 69

Rappels sur les vecteurs
Accélération

Position, vitesse et accélération
V

dV

(t+dt)

Position, vitesse et accélération

dOM

M(t+dt)

V(t+dt)
V

OM(t+dt)

V(t+dt) (t)

dV

dV

Attention, c'est très important, il s'agit bien
de la dérivée du vecteur.

dOM
dOM

(t)OM(t)

VV
(t)(t)

=
dOM

dOM
V
=
dt

colinéaire

dt

=

dV
dt

dV
dV

= dt
dt à dV
est colinéaire
est colinéaire à dV

colinéaire à dOM

est colinéaire à dV

ire à dOM

Forme
différentielle
dV = = dt dt
forme différentielle
dV
forme différentielle

OM = V dt

= V dt

forme différentielle

dV =

dt

Erreur classique:
Tournant sur un manège à vitesse de rotation
constante, il est courant de penser que
l'accélération est nulle.
C'est FAUX, ces 2 mouvements sont
accélérés. En effet dans les 2 cas, si le module
de la vitesse est bien constant, il n'en est pas
de même du VECTEUR vitesse qui lui
change de direction à chaque instant.

Ennouvelle.
mécanique, la différentielle d'un vecteur est à la base de
la

La différentielle
d'une d’un
grandeur,
c'est simplement la modi
Différentielle
vecteur
d'un paramètre: changement du temps, mais aussi d'une long
U
Il
est
souvent
commode
d'exprimer
un
vecteur
pa
En d'autres termes c'est très exactement ce qu'il faut ajouter
Nous avons vu qu’en mécanique, la différentielle d'un vecteur est à la base de très nombreux
développements.
la nouvelle.
U
luLa différentielle d'une grandeur, c'est simplement la modification engendrée
par l'évolution d'un paramètre: changement du temps, mais aussi d'une longueur, d'un angle ...
En d'autres termes c'est ce qu'il faut ajouter à la grandeur initiale pour obtenir la nouvelle.

Où est un scalaire et u un vecteur unitaire.

Il est souvent commode d'exprimer un vecteur U par :
Où l est un scalaire et u un vecteur unitaire.
la
de
est
le
module
du
vecteur.
Sa
d
U valeur
lu absolue
La valeur absolue de l est le module du vecteur. Sa dimension est celle
de U .
u

est
un
scalaire
et
un
vecteur
unitaire.
u précise la direction, il n'a pas de dimension, et son
u précise la direction, il n'a pas de dimension, et son module est égal à
1.

la valeur absolue de est le module du vecteur. Sa dimensio

U dimension,
varie:
Lorsque
(ou) u ilvarient,
u précise laetdirection,
n'a pas de
et son modul

dU
u
dl
l
du
Lorsque et (ou) u varient, U varie:

On voit bien ce que signifie dl , c'est la variation de
son module, mais du ?

On voit bien ce que signifie dl , c'est la variation de
dU

u dl l du

Différentielle d’un vecteur dans l’espace
Différentielle
d’unlevecteur
dU
(a fortiori dans
plan)

u dl l du

On voit bien ce que

U (t dt )

l du

l du

dU

Nous dl
allons
examine
u
dans un plan, par 3

dl u

U (t )

U
dU

dU Différenti
3.1

lu

dl u l du

Première propr
(u )

2

1

=>

Le produit scalaire e

Nous allons examiner le cas très important de la différentielle
dans
un
plan,
par
3
approches
successives.
Différentielle d’un vecteur unitaire dans un plan
Nous allons examiner le cas de la différentielle du vecteur unitaire qui tourne dans un plan, par
approches successives.

Première propriété
(u )

2

1

2u.d u

=>

0

d u est perpendiculaire
àu
Le produit
scalaire
estnul,nul,
donc
Le produit
scalaire est
donc du
est perpendiculaire
à u (propriété qui reste
valable à 3 dimensions)
Cette
propriété
reste évidemment valable à 3 dimensions.
Différentielle (variation) d’un vecteur unitaire dans le plan
La direction de u est repérée par un angle. Lorsque
l’angle augmente augmente , ce vecteur u devient u1 .

Approche
"géométrique"
(cf. figure)
v
du
u
1

d

Elle permet de "sentir"
la différentielle.
1 u
O
La direction de u est repérée par un angle . Lorsque augm
devient u1 .
Rappelons que la différentielle de u , notée d u , c'est ce qu'il
Origine arbitraire
Sens rotation arbitraire

La direction de u est repérée par un angle
Différentielle
d’un
vecteur
unitaire
dans
un
plan
devient u1 .
Rappelons que la différentielle de u , notée du , c'est ce
qu'il faut ajouter à u pour obtenir u .
Rappelons que la différentielle de u , notée
Il est évident sur la figure que si la variation d’angle est
petite du possède les caractéristiques suivantes:
Il est évident sur
la figure que si d est petit
- il est porté par la tangente au cercle, et il est donc
perpendiculaire
à u; tangente au cercle,
il est porté
par la
leest
rayon suivant
du cercle étant égal
à 1, soncroissants
module est égal à
son sens-1.d(theta)
les
(cf. définition du radian)
le rayon du cercle étant égal à 1, son
du v d
En définissant le vecteur v perpendiculaire
croissants, d u s'écrit
- son sens estfinalement:
suivant les angles croissants
En définissant le vecteur v perpendiculaire à u obtenu par une
d u d .v rotation de 90° dans le sens de croissance des angles

ifférentielle (variation) d’un vecteur unitaire dans le plan

1

v

u1

d

du

1 u

O

Origine arbitraire
Sens rotation arbitraire

46

Différentielle d’unConvention
vecteur
dans un plan
pour leunitaire
vecteur v
v est perpendiculaire à u dans le sens des

croissants

du

v

u

u

O

du

O
v

du

d v

du

d v

v est perpendiculaire à u dans le sens des angles croissants

Différentielle d’un vecteur unitaire dans l’espace

analytique
(la démonstratio
jDémonstration
)d
Démonstration
analytique
(la
démo
Différentielle
d’un vecteur
unitaire dans
undémonstration
plan
Démonstration
analytique
(la
Démonstration
analytique
(la
Démonstration
analytique
(la
démonstration
i
et
Dans
un
repère
Oxyz
fixe

sont
définis
les
vecteurs
alement
démonstration
officielle)
que
le
vecteur
sin
i
cos
j
Dans
un
repère
Oxyz
fixe

sont
définis
les
ve
i
et
j
Dans
un repère OxyzDans
fixe où
sont
définis
les
vecteurs
Calcul
un
repère
Oxyz
fixe

sont
défin
i
et
j
Dans
un
repère
Oxyz
fixe

sont
définis
les
vecteurs
u
cos
i
sin
j
u
i
et
j
le
vecteur
peut
s'écrire
nis
les
vecteurs
égal à u1 cos
u icossin i j sin j
u
cos
i
sin
j
cospasse
i
sin
j
Si u Si
passe
de
à
+d
passeà de
àproduit
+d
de
+dle
scalaire
… mais n
culaire à uSi( utilisez
Si
passe
de
à
+d
Si d upasse
de
à
+d
d
u
sin
d
i
cos
d
j
sin
d
i
cos
d
j sin dd ij cos d j
d u graphique!).
sin d d ui cos
e construction
d i cos d j
soitd usoit sin
soit
soit
l’approche
"géométrique".
(d usini ( icos
cos
j
)
d
d usoitd(u sin
j
)
d
sin id u cos
( sinj )di cos j )d
d uVous
( sin
i
cos
j
)
d
v
oncVous
bien
porté
par
et
a
pour
module
d
.
prouverez
facilement
que
le
vecteur
à
un
module
égal
à
1
prouverez facilement que le vecteur sin
sin i i cos
cos j

Vous
prouverez que
facilement
que le vect
Vous
prouverez
facilement
le
vecteur
sin
teur Vous
sin prouverez
i cos
j
facilement
que
le
vecteur
sin
i
cos
j
a
un
module
égal
à
1
est perpendiculaire
à u module
(vérifier par égal
produitàscalaire)
a un module
égal
à
1
a
un
1
a
un
module
égal
à
1
a un
égal
à
1
tion plus rapide
consiste
à
utiliser
les
propriétés
u
(
utilisez
le
produit
scalair
estmodule
perpendiculaire
à
ce vecteur est donc
le
vecteur
v
de
l’approche
géométrique
utili
est
perpendiculaire
à u ( scal
u
(
utilisez
le
produit
est
perpendiculaire
à
précédente
iproduit
i n'hésitez
u
(
utilisez
le
pr
est
perpendiculaire
à
isez
le
produit
scalaire

mais
pas
en
plus
à
effectuer
une
construction
graphique!).
u
(
utilisez
le
scalair
est
perpendiculaire
à
Z construction
e , d’où
dZuneie
d : i grap
ind
t représenté
par une
effectuer
construction
effectuer
graphique!).
phique!).
effectuer
une
construction
graphique!).
effectuer
une
construction
graphique!).
v
C'est
le
vecteur
de
l’approche
"géométrique".
i
v ded l’approche
C'est
le
vecteur
"géom
tial
,
et
le
module
de
dZ
est
bien
.
e
Le
vecteur
du
est
donc
bien
porté
par
v
et
a
pour
module:
v
C'est
le
vecteur
de
l’approche
"géométrique".
métrique".
v
C'est
de
l’approche
"géométrique".
C'est
vecteur
dedonc
l’approche
"géométrique".
v
dleuvvecteur
est
bien
porté
par
Le le
vecteur
et
pour porté
module
pard
Le vecteur d u est donca bien

NB : un démonstration plus rapide consiste à utiliser les propri
dv
d .vecteur
u
unitaire est représenté par Z ei , d’où dZ iei d :
Différentielle d’un
vecteur
unitaire
plan
2 du vecteur
initial
moduleun
de dZ
est bien d .
ei , et le dans

Nous
Conclusion
dans
un plan donc, très
Conclusion
dans
unretenons
plan
ans
unNous
planretenons
planNous
Conclusion
dans
un
plan
donc,
important,
que dans
un :pla
retenons
donc,
trèsquetrès
important,
que dans
un plan
A vous
de vérifier
Conclusion:

c,
très
important,
que
un.plan
v : que dans un plan :
portant,
que
dans
: dimportant,
Nous
retenons
donc,
très
d v un
ddu
.plan
u dans

unitaire,
m
( u vecteur
du du
d .vd .v
unitaire,
mouve
( u vecteur
u vecteur unitaire, mouvement dans un plan
u
vecteur
unitaire,
mouvement
dans
un
pla
(
unitaire,
mouvement
dans
un
plan)
( u vecteur
u
du
d
.
v
vecteur
unitaire,
mouv
(
dans
un plan à u , àobtenu
u , obtenu
v étant
pa
un vecteur
perpendiculaire
v étant
par rota
unConclusion
vecteur
perpendiculaire
Nous
retenons
donc,
très
important,
que
dans
un
plan
:
u
u
,
obtenu
par
rotation
de
de
/2
dans
sens
iculaire
à
vecteur
perpendiculaire
à
obtenu
par
rotation
de
u
v
,
obtenu
par
ro
étant
un
vecteur
perpendiculaire
à
de
/2
r perpendiculaire
à u , obtenu par rotation de u le
croissants.
croissants.
du d .v
unitaire,
mouvement
dan
( u vecteur
dans
le
sens
des
angles
croissants
croissants.
v étant un vecteur perpendiculaire à u , obtenu par rotation de u
différentielle
étant
connue,
le calcul
d'une
dérivée
La différentielle
connue,
leestcalcul
dérivée
LaLa
différentielle
étant connue,
le
calculétant
d'une
dérivée
quelconque
simple.
End'une
mécanique,
la quel
croissants.
dérivée par rapport au temps s'écrira donc:
e,
le
calcul
d'une
dérivée
quelconque
est
trivial.
En
mécaniqu
La
différentielle
étant
connue,
le
calcul
d'une
dérivée
qu
plus
communément
rencontrée
est
la
dérivée
par
rapport
au
plus
communément
rencontrée
est
la
dérivée
par
rapp
ant connue, leLacalcul
d'une
dérivée
quelconque
est
trivial
différentielle
étant
connue,
le calcul
d'une dérivée
quelconque
es
ée
est
la
dérivée
par
rapport
au
temps
qui
s'écrira
donc:
plus
communément
rencontrée
est
la
dérivée
par
rapport
dupar
du d du .vest
durapport
dplus.la
vcommunément
t rencontrée
dérivée
au
temps
qui
rencontrée
est la dérivée
par rapport
au s'écrir
temps q
v v
du dudt v
d u dtddt .vdu
d .v
dt
dt
dt
v du
v
dt
dt
dt
v
dt
dt
ddt dt
représente
la
vitesse
de
rotation
que
l'on
app
d
dt
représente
la
vitesse
de
rotation
que
l'on
Vitesse
de
rotation
en
radian/s
qui
n’est
pas
forcément
constante
d
dt
représente
la
vitesse
de
rotation
que
l'on
appelle
.S
dt
esseseconde
rotation
queles
l'on
appelle
. Son
unité
est
leet
radian
dde seconde
dt
représente
la
vitesse
de
que
l'on
ap
seconde
(bannir
les
degrés,
grades,
toursrotation
…),
et elle
n'est
pas
forcém
(bannir
degrés,
grades,
tours
…),
et
elle
n'est
pn
(bannir
les
degrés,
grades,
tours
…),
elle
nte la vitesseOndedéfinit
rotation
que
l'on
appelle
.
Son
unité
alors
le pas
vecteur
rotationtours
, constante!
perpendiculaire
au
plan
grades,
tours
…),
et
elle
n'est
forcément
seconde
(bannir
les
degrés,
grades,
…),
et
elle
n'est
On définit
alorsalors
le vecteur
rotation
, perpendiculair
On définit
le vecteur
rotation
, perpendic

v étant un vecteur perpe
croissants.

La différentielle étant con
plus communément renco
du
du d .v

du
du
d
.
v
différentielle
étant
connue,
le
calcul
d'une
dérivée
quelconq
est donné par la règle du tire-bouchon ce quiv pe
Différentielle d’un
vecteur
unitaire
dans un
us communément
rencontrée
la dérivée
parplan
rapport
dt au tem
dt est
dt
d
u
représente la vitesse
u d Conclusion:
.v
u du d vdt
dt seconde (bannir les degrés, grades
t
dtdt
dt A vous
représente
la vitesse
de
rotation
que
l'on
appelle
de
vérifier
que
la
direction,
le
sens
et
l'amp
On
définit
alors
le
vecteur
rota
On définit alors le vecteur rotation, perpendiculaire au plan de rotation, dont le
conded u
(bannir
les
degrés,
tours
…),
et
elle
n'est
pas
fo
sens
est
donné par lagrades,
règle du tire-bouchon
ce qui permet
d'écrire:
est donné par la règle du tire-bo
d .v
n définit alors le vecteur rotation , perpendiculaire au
du
d
v
t donné
par
la règleaussi
du tire-bouchon
Vous
pourrez
vérifier uquece qui permet vd'écrire
dt
dt
u

rotation que l'on appelle . S
ours …), et elle n'est pas forcém
on , perpendiculaire au plan
chon ce qui permet d'écrire
u

A vous de vérifier que la directio
d u d .vle sens et l'amplitude de
vous de vérifier que la direction,

dt

u

d .v

Cinématiq
Vous pourrez aussi vérifier
que

ous pourrez aussi vérifier que

dv

v

La démonstration nécessite une projection et un
figure),
mais
vous
pouvez
aussi
consulter
votre
glo
approche
géométrique
(cf.
figure),
m
que
nous
avons
effectuédans
dans
le plan,
La démonstration
nécessite d’un
une projection
et ununitaire
développement
analytique
du style mais
de celuià
Différentielle
vecteur
l’espace
du effectué
d v dans le plan, mais à 3 du
que nous avons
dimensions.
Nous
nous contenterons
d'une
d v(cf.
approche
géométrique
figure),
mais
vous
po
quand w et u ils ne sont pas perpendiculaires

Rappel
:
nous
savons
d
queRappel
: : nous savons déjà
Rappel
:
nous
savons
déjà
que
:
que
:
Rappel : nous savons
2 déjà que :
d)u est perpendiculaire
2u.d u 20
=>
donc
à u =>
(u ) 1
(
u
1
u 0
est=>
perpendiculaire
àu
2u.d u 20u.d u
) 1
1 d u =>
0 donc
(u )(udonc
approche géométrique (cf. figure), mais vous pouvez aussi consulter votre globe terrestre.

2

2

Ceci se comprend très bien lorsqu'on réalise que, quelles que soient les variations de u , son
d’un
vecteur
unitaire
dansque
l’espace
Ceci
seDifférentielle
comprend
très bien
lorsqu'on
réalise
que,constant
quelles
soient
les figure)
variations de u , son
extrémité
se déplace
sur
une
sphère
de
rayon
égal
à
1
(cf.
Ceci se comprend très bien lorsqu'on réalise qu

se déplace sur
une sphère de
rayon constant
égal à 1.
Ceci
se
comprend
très
n extrémité
lorsqu'on
réalise
que,
quelles
que
soient
les
vari
Ceci
se
comprend
très
bien
lorsqu'
extrémité
se
déplace
sur
une
sphère
de
rayon
con
(donné) sur lequel nous
1/ Direction et sens de d u : u tourne autour de l'axe défini par
ne sphère
de
rayon
constant
égal
à
1
(cf.
figure)
extrémité
se
déplace
su
n.
définissons un vecteur unitaire
extrémité
se déplace sur une sphère

1/
Direction
et
sens
n
Direction
et sensde
de d u : u tourne autour d
P
Il est clair sur le dessin que
l'extrémité de u décrit un cercle et que d u est perpendiculaire à
du
n
.
définissons
un
vecteur
unitaire
n et à u : il est doncudirigé comme n u . tourne autour de l'axe défini par

u : u tourne autour
de
l'axe
défini
par
(donné)
u
d
u
tou
:
1/
Direction
et
sens
de
n
1/
Direction
et
sens
d
O
2/ Module : rayon.d soit : 1.sin( ).d
aire n .
Il est clair sur le dessin que l'extrémité de u dé
sur lequel
nous
définissons un vecteur
unitaire
n.
définissons
un
vecteur
unitaire
Ces deux propriétés peuvent être rassembléesdéfinissons
en écrivant
un vecteur
du

d (n u )

u.
n et à u L’extrémité
: il est donc
dirigé
P du vecteur
unitairecomme n

n
n
ue l'extrémité de u décrit un cercle et que d u est p
Il est clair sur le dessin que l'extré
est toujours sur une sphère de rayon 1.

Pour vérification essayez avec =0 ( d u 0 ) et = /2 ( d u d .v , cf. différentielle
Toute
variation
différentielle
du: 1.sin( ).d
2/ une
Module
:
rayon.d
soit
dans un plan). Il lui correspond
écriture
dérivée
:
s’appuie donc sur la surface de la sphère :
elle est donc perpendiculaire à u
du d

tant
égal àet 1sens
(cf.defigure)
d ude
tourne défini
autour depar
l'axe défini
par
: u l'axe
(donné)
sur lequel nous
nous
1/
Direction
u
tourne
autour
(donné)
sur
lequel
Différentielle
d’un
vecteurégal
unitaire
dans
l’espace
. un vecteur
re extrémité
se
déplace
sur
une
sphère
de
rayon
constant
à
1
(cf.
figure)
n
.
définissons
unitaire
n
axe
défini
par
(donné) sur lequel nous
(donc valable aussi dans un plan)
re n .n
l'axeIl défini
par
(donné)
sur
lequel
nous
décrit
un cercle
que ds
sur
lel'extrémité
dessin
l'extrémité
dededuul'axe
un cercle
et que
est
perpendiculaire
Il est clair
sur clair
le dessin
uque
tourne
autour
défini
par à et
: u udécrit
(donné)
1/est
Direction
etquesens
de d de
Vue de dessus à
décrit
un
et nqueu . est perpendiculaire
u :et
u . cercle
nl'extrémité
il est
et à n
u : de
ildirigé
estcomme
donc ndirigé
comme
à donc

n

Différentielle d’un vecteur unitaire

d
u
u
. que d u est perpendiculaire à
définissons
vecteurununitaire
u décrit
cerclenet
l'extrémité
de un
=d /dt
n: rayon.d
omme
2/un
Module
soit :d 1.sin(
nu
u est ).d
cercle
et. que
perpendiculaire à

du
n
u
omme
.
d u est perpendiculaire
rit un2/cercle
et que
à
d
Module
:
rayon.d
soit
:
1.sin(
).d
un cercle et que d u est pe
Il est
clair peuvent
sur le être
dessin
que l'extrémité
Ces deux
propriétés
rassemblées
en écrivant de u décrit
d
du
d1.sin(
u d n (et
n ).d
àu )u : il est donc dirigé comme n u .
1.sin(
).d
Ces deux propriétés peuvent être rassemblées en écrivant
rayon=sin( )

Pour vérification essayez avec =0 ( d u 0 ) et =n /2 ( d u d .v , cf. différentielle
dans un plan). Il lui correspond une écriture dérivée :
d2/
uModule
d ( n: rayon.d
uen
) écrivant
soit
:
1.sin(
).d
u
être
rassemblées
écrivant
être
rassemblées
en
du d
(n u )
(n u )
n u
u.
Définition du
dt Pour
dt
rivant
) et = /2 (
vérification
essayez avec =0 ( d uvecteur0 rotation
crivant
Vérifier
que
:
Ces deux
peuvent être rassemblées en écrivant
En conclusion
pour propriétés
les vecteurs unitaires
du/dt =

du
u

dans un plan). Il lui correspond une écriture dérivée :
=différentielle
n différentielle
d
u
d
.
v
d
u
0
d u= =
)
et
/2
(
,
cf.
vec
=0
(
d
u
d
.
v
d
u
0
)
et
/2
(
,
cf.
vec
=0
(
d
u
d
(
n
u
)
u (vecteur unitaire)
d u d (n u )
ou
u
du
d
dt
nd
une
écriture
dérivée
:
d
u
d
.
v
et
=
/2
(
,
cf.
différentielle
ndet une
écriture
dérivée
:
d
u
d
.
v
=
/2
(
,
cf.avec
différentielle
.
(
n
u
)
(
n
u
)
n
u
u
d
u
d
.
v
d
u
0
)
et
=
/2
(
,
c
Pour
vérification
essayez
=0
(
Valabledt
à 2 ou 3dt
dimensions, quelles que soient les directions relatives de et u
:
ée
: relation
dans un
Il lui pour
correspond
écriture
dérivée
:
Cette
est plan).
très commode
traiter des une
problèmes
de manière
systématique,
surtout à
nnEnuuconclusion
uu. . pour les vecteurs unitaires
3 dimensions.
du d

Important: le vecteur
(n rotation
u ) a(toutes
n u )les propriétés
n u d'un vecteur.
u . Si la rotation s'effectue
du des vecteurs rotations liés à
urs unitaires
autour
de
dt 2 axes,
dt le vecteur rotation est la somme vectorielle
urs dunitaires
u C'est
d le( ncas upar) exemple d'uneou
ulorsque le guidon
chaque
axe.
roue
de
vélo
en
mouvement
En conclusion pour les vecteurs unitairesdt
du
ourne.

u (v

udu(vecteur unitaire)
u
du
Différentielle
d’un unitaire)
vecteur
dans l’espace
u
(vecteur
Valable
à
2
ou
3
dimensions,
quelles
que
soient
les
directions
relative
u
dt
u
d
u
d
(
n
u
)
ou
(vecteur
u
u
u
(vecteur
unitaire)
3.3 Différentielle d'un vecteur quelconque: conclusion

u
n
u
n
:
il
est
donc
dirigé
comme
et
à
.
u
décrit
un cercle
Il est
clair
sur
le
dessin
que
l'extrémité
de
48
Différentielle d’un vecteur unitaire
Valable à 2 ou 3 dimensions, quelles que soient les directions relatives. Cette relation est pratique pour
u
n
u
n
:
il
est
donc
dirigé
comme
et
à
.
traiter des problèmes de manière systématique, surtout à 3 dimensions.
2/ Module : rayon.d

soit : 1.sin( ).d

Important: le vecteur rotation
a toutesd’un
les propriétés
d'un vecteur.
Si la rotation s'effectue autour de 2
Différentielle
vecteur unitaire
dans l’espace
axes, le vecteur rotation est la somme vectorielle des vecteurs rotations liés à chaque axe. C'est le cas
(donc valable aussi dans un plan)
par exemple d'une roue de vélo en mouvement lorsque le guidon tourne.

2/ Module : rayon.d

soit : 1.sin( ).d

Ces deux propriétés peuvent être rassemblées en éc
Ces deux
propriétés
peuvent
être
rassemblées
en
écrivant
d u d (n u )
=d /dt
Vue de dessus

du

d (n u )

d

du

d
Pour vérification
essayez
avec =0 ( d u 0 )
du
d
u
0
)
et
=
/2
Pourdans
vérification
essayez
avec
=0
(
un plan).
Il lui correspond une écriture dérivée
n
dans un plan). Il lui correspond une écriture dérivée :
u
du
d
du d
Définition
du u )
.
(
n
u
)
(
n
n
u
u
.
(
n
u
)
(
n
u
)
n
u
u
vecteur
rotation
dt
dt
du/dt =
u
dt
dt
= n
En conclusion
pour
les vecteurs
En conclusion
pour les
vecteurs
unitairesunitaires
rayon=sin( )

d u ddu ( nd u() n

u)

ou

du
ou
dt

du
u
dt

u

i , j et àk isont
i ,Les
) et constants.
(perpendiculaires
j vecteurs
k i j ce qui nous conduit à:
dOM
systèmes
de coordonnées
xDans
sont Vles trois
coordonnées
d'espace
, y etlesz différents
dOM dxet
.i varient
dy. j dz.k de

dt
vecteurs
i , j et kun
sontdéplacement
constants.
52
dOM
lor
faut
imaginer
élémentaire
Coordonnées
cartésiennes Il Les
qui
est
plus
souvent
éc
Nous
serions
évidemment
arrivés
x , y et z sont les trois coordonnées d'espace et varient dans les réels
Position
z varient. Ici, c'est évident, ce
OMsont :
Vitesse
OM
xi y j zkdx suivant i , dy suivant j et dz suivant
dx k dy
dz
V
i peut êtrej manipulée
.kà
Cette relation
ce qui
nous conduit à:
Sa définition a été
donnée:

diviser dt
par dt : dt
dt
Les vecteurs i , j et k sont constants.
dOM dx.i dy. j dz.k
dOM
Coordonnées
cartésiennes:
vitesses
xV
trois coordonnées
d'espace
etplusvarient
de sous la àform
, y et z sont lesdOM
est
souvent
écrite
dx.i dy. j dz
.k qui
dtest plus souvent
dt écrite sous la
qui
dt
Ou encore avec
dx
dy
dz
V
i audy
j même
.dz
k résultat en
dx
Nous
serions
évidemment
arrivés
dx
dy
dOM
lorsque
le
Il faut imaginer
un
déplacement
élémentaire
dt
dt
dt
z
V
i
j V .k
V
dt
dt y
x dt
OM
Vitesse
z varient. Ici, c'est évident, ce sont : Ou encoredtavec
dt
dx
dy
dz
Ou
encore
avec
Sadx
définition
Vk
V donc V
suivant j et dz suivant qui
suivant ia,été
dyVdonnée:
sont
simplem
dtdx
dt dy
dt dz
V
M
Cette
relation peut être manipulée
à loisir.
En particulie
Vx sont donc
Vy
qui
simplement
lesVztrois scal
V
ce dOM
qui nous
conduit
à:
dt
dt
dt
k
V
dt
diviser
par
:
j
z
qui Vsont
donc
simplement
les
troi
dt i
V
iVV
j
V
k
V
i
V
j
V
k
y
x
y
z
x
dOM dx.i dy. j dz.k
O
dxy.i dy
dz.k
dOM
lorsque
les
va
Il dOM
faut imaginer
un. jdéplacement
élémentaire
V Vx i V y j Vz k
dt
dt
z varient. Ici, c'est évident, ce sont :
Accélération
Nous serions évidemment arrivés au même
dV résultat en différe
x

z

y

z

y

x

x

y

z

dt
En
divisant
par
dt
on
obtient
l'accélération
dt
Accélération
dV les différents systèmes
Même
démarche,
nous calculons d'abord la variation
Dans
de coordonnées

Même démarche, nous calculons d'abord la variation de vitesse
dt
dV dVxdV
.i dV y . j dVz .k
Coordonnées cartésiennes: accélération
Même
démarche,
nous
calculons
d'abord
la
variation
de
vitesse
dt
dV
.
i
dV
.
j
dV
.
k
dV dVx .ix dV y . j dV
y z .k
z
et,
en posant
démarche,
nous
calculons
d'abord
En Même
divisant par
dt on obtient
l'accélération

dt
dV
dV
.
i
dV
.
j
dV
.
k
x
y
z
En divisant par dt on obtient l'accélération

dVx .i dVy . j dVz .k

dVz .k et, en posant
dV ydV dVdtx .i dVdV
y. j
dVx
z
x dV .i dV . j dV y.k
z dV
dV
dV
En divisant
par
dt
on
obtient
l'accélération
x dt y
z
dt Endtdivisant
dt
et, en posant
dt dt on obtient
dt
par
l'accélérati
x

x

y

y

z

z

dt

dV
y .k
dVdV
.
i
dV
.
j
dV
x
x
y
z

dVx zi y j z k
dVet,
dVposant
dVz .k
x .i en
y. j
x
y
z
et,
dt x i dt y jdt
dt pour les positions et les vitesses, l'accéléra
z k Comme
composantes suivantdt
chacun des axes.
dV
dV y
dV
dVdV
dVz
y positions
x
z et
x
Comme
pour
les
les
vitesses,
l'accélé
x
y
z
x
y zk
z
xi
y j
dt
dt
dt
dt
dt
dt
Remarque
composantes
suivant
chacun
des
axes.
Comme pour les positions et les vitesses,
l'accélération
est donc simp
d 2x
dVx
s'écrit aussi 2 etc …
composantes suivant chacun desx axes.
dt k
dt i
j
x
y
z
i
j
k
x

y

z

En règle générale, il faut éviter les dérivées sec
intermédiaires,
comme
, qui ont souvent
un sens
ph
Comme pour
lesVxpositions
et les
vitess

Comme pour les positions et les vitesses, l'accélération est donc

uu dans
lecylindriques:
plan Oxy, déplacements
perpendiculaire à
Vous
vérifierez
que
k
u
Coordonnées
Suivant
les 3 vecteurs,
les (pour
déplacements
sontladans
l'ordre:
Essayons d'évaluer
directement
visualiser, voir
figure)
un déplacement élémentaire
Dans
les
différents
systèmes
de
coordonnées
dOM
lorsque
,
et
z
varient
u
dans
le
sens des croissants.
suivant u
d

Suivant les 3 vecteurs, les déplacements sont dans l'ordre:
Si problème
deu
vue dans l’espac
Coordonnées
cylindriques
k
u
d z(il vérifierez
et non pas Vous
suivant
faut obtenirque
une
distance!)
suivant
u u et polaires:
dd
aller tout de suite à la figure coordonnée

Position

u k et non pas d (il faut obtenir une distance!)
suivant
dzd OM
suivant
u zk
dz
suivant k
Donc:
Position
Donc:
dz
dOM : distance
d .u
dà .l'axe,
u dz.kvarie généralement
dde
dOM

d .u

d .u

dz.k

OM

u

zk

0à+

, mai

avec
.
d
k
z
: distance
à l'axe,
varie généralemen
u
La
vitesse
s'écrit
La vitesse
s'écrit
doncdonc
: azimut (0 à 2 )
O
avec
.
dd .u .u d .ud .u
dz.k dz.k
57
y
57
u
V z : hauteur (- , + )
d
V
dt
: azimut (0 à 2 )
dt
Que Attention
nous réécrirons sous
forme:
à lal’écriture
"automatique"
parfaitement
a
M’
z
:
hauteur
(,
+
)
dnous réécrirons
dz sous la forme:
Que
V
udz
u
k
uOM
k
dt
dt u x zk Attention à l’écriture "automatique
u
dt
M

Projection de M sur Oxy

où est défini par
défini par = d /dt

Vitesse

= d /dt

OM

u

u

zk

Pour éviter les dérivées secondes, il est utile de définir:
er les dérivées
secondes, il est utile de définir:
d
qui se nomme vitesse radiale (suivant le rayon)
V
Cinématique
dt nomme vitesse radiale (suivant
qui se
le rayon)
Essayons
d'évaluer directement (pour visualiser, voir la
dz
Vz
Essayons
d'évaluer
directement
(pour
dt
lorsque , et z varientCinématique

dOM

Vitesse



est défini par

= dVV /dtdd

dz
dz
dt
uu
uu
kk
dt
Dans
les
différents
systèmes
de
coordonnées
dt
dtdt
ondes,
est utile
définir:
Pouril éviter
les de
dérivées
secondes,
il
est
utile
de
définir:

est
défini
par
=
d
/dt

est
défini
par
=
d
/dt
Pour éviter les dérivées secondes,
il est utile de définir: 57 57
dz/dt

d
e vitesse
(suivant
le
rayon)
se nomme
vitesse
radiale
(suivant
lederayo
V d radiale qui
Pour
éviter
les
dérivées
secondes,
il
est
utile
dedéfi
déf
Pour
éviter
les
dérivées
secondes,
il
est
utile
qui
se
nomme
vitesse
radiale
(suivant
le
rayon)
V d dt
dz
Coordonnées cylindriques : vitesses
dd
M
dt
V
u dz
u
k
quiradiale
nommevitesse
vitesseradiale
radiale(suivan
(suiva
vitesse
qui
sesenomme
VV
u
udt dz k
dt
dt d dt
dt
dt
k
dz
V
z
où z est défini par = d /dtu
d
Vz par dt= d /dt
dz
dz
défini
V
V
V
O
zz
dt
dt
z
Pour
éviter
les
dérivées
secondes,
il
est
utile
de
définir:
dt
dt
Finalement
u utile de définir:
terFinalement
les
dérivées
secondes,
il
est
y
d
V
Finalement
Finalement
d
qui se nomme vitesse radiale (suivant le rayon)
V
quidt
se
nomme
vitesseuradiale
(suivant
le rayon)
V
V
u
V
k
V
V
u
uu VVz kz k
u ’
dz
V dz
V u
u Vz kz V V M
Vz
V
dz/dt
Projection de M sur Oxy
dt porte le nom de vitesse
dt(nom
porte
nom
porte leleorthoradiale
nom de
de vitesse
vitesse orthoradiale
orthoradiale
(nom
(nommée
V
ssexFinalement
orthoradiale
(nommée
), orientée (nommée
suivant une
porte
le de
nom
de
vitesseVorthoradiale
V ),diro
porte le nom
vitesse
orthoradiale
perpendiculaire
ne
perpendiculaireau
aurayon.
rayon.AAM
nepas
pasconfondre
confondreavec
avecl
ent
V V u
u V k au rayon. A ne pas confondre avec la vitesse
perpendiculaire
k
d ladt
z qui
auavec
rayon.
A
ne pastangentielle,
confondre
avec
vitesse
tan
neperpendiculaire
pas
la
vitesse
est
justeme
u confondre
Vk
u
porte le nom de vitesse orthoradiale (nommée V ), orientée suivant une direction
Coordonnées cylindriques et polaires:

z

z

z

Remarque
aurions
Remarque 1:1: nous
nous
aurionsévidemment
évidemmentobtenu
obtenulele
O
rte le nom de vitesse orthoradiale (nommée V ), orientée
suivant une direction
u
perpendiculaire au rayon. A ne pas OM
confondre
avec zk
la
vitesse
tangentielle, qui est justement
V
y
u
soit
:
OM
u
zk
soit
:
d
Remarque 1: nous aurions évidemment obtenu
le même ré

Remarque
nous
aurions
obtenu
le même
iculaire
au rayon. A1:
ne
pas confondre
avec évidemment
la vitesse
tangentielle,
qui
est justement
V résult
évidemment
obtenu
le même
résultat
en
différentiant
la
po
M’
Remarque 1: nous aurions évidemment
obtenu
le
même.d.drésultat
en
différentiant
la position
dOM
d
.
u
u
dz
.
k
dOM
d
.
u
u
dz
.
k
OM
u
zk
soit
:
OM
u évidemment
zk soit :obtenu le même résultat en différentiant la position
ue 1:
nous aurions
OM
u zk soit :
u dOM
zk soit d: .u
dOM dd .u..duu
dOM

Projection de M sur Oxy

dz..d
k.u
du

Qui
Qui
comptetenu
tenude
delalarelation
relationdduu
x compte

dzdz
.k .k

dd .u.u ( (cf.
cf.dér
d

Il rapport
estpouvez
toutauàaussi,
fait possible
de rapide,
"visualiser"
directement
lesavec
variations
Vous
pouvez
aussi,
et
c’est
très
les
M Vous
k Z( ede
par
temps,
etc’est
en utilisant
étant porté
par Z
d u utiliser
dt
u ,imaginaires,
et
très
rapide,
utiliser
les
imaginaires,
avec
eki v).

dt
i
maintenant
un
peu
rodés
aux
différentielles,
nous
écrirons
direct
ous pouvez
aussi,
et
c’est
très
rapide,
utiliser
les
imaginaires,
avec
Z
e
Dans
les
différents
systèmes
de
coordonnées
dz
V
z
tionAccélération
l'expression
précédente de V :
dt
Coordonnées cylindriques et polaires:
Accélération
dV
dV
.
u
V
.
d
u
d
.
.
u
.
d
.
u
.
.
du
dV
.
k
Finalement
fait
possible
de
"visualiser"
directement
les
variations
de
vitesse;
cependa
z
ccélération
Il est tout à fait possible de "visualiser" directement les variations de vitesse;
cep
Il est tout à fait possible de "visualiser" directement les variations de vitesse; c
dV à éta
p
un maintenant
rodés
nouslesécrirons
directement
est
tout
"visualiser"
variations
de vitesse;
cependant,
VpeuàVfait
u possible
ude différentielles,
Vz k aux directement
dV
unaux
peu
rodés
différentielles,
nous écrirons
directement
maintenant
un rodés
peu rodés
aux différentielles,
nous directement
écrirons directement
dV à partir
aintenant
un
peu
aux
différentielles,
nous
écrirons
et
d
u
d
.
u
En tenant
compte
de
d
u
d
.
u
V
l'expression
précédente
de
:
V
précédente
de
:
porteprécédente
le nom de
vitesse
orthoradiale (nommée V ), orientée
V
l'expression
de
:
V : d . .u
xpression
précédente
de
dV
dV
.
u
V
.
d
u
.u
. .du
dVz .k
VdV
.d u ( dVd . ..u .d ).du .u(V .d ..d .du
dV
.
k
z.du
d
.
d ) dV
ulazvitesse
perpendiculaire
au
rayon.
A
ne
pas
confondre
dV
dV
.
u
V
.
d
u
d
.
.
u
.
d
.
u
.
.k dVz k tangentiell
V dV .u V .d u d . .u
.d .u
. .du dVz .k.avec

Nous
avons
ici les
de vitesse.
.u
En
tenant
compte
de d3ucomposantes
d .u et d ude la dvariation

det d.duu.u dobtenu
de
d ucompte
.u detaurions
nmpte
tenant
compte
de1:dd nous
u de
.u
EnRemarque
tenant
u.ud uetd d .uuévidemment

le même résultat en di

dV
( dV u . zk.dsoit
) u : (V .d
d .
.d ) u dVz k
OM
V dV
dV
u .dd ()Vu.d
d (.Vd .d. .ddV
.d). u) u dV
dV
k) u dV k
. (Le
.dcalcul
) u. .dde(V). l'accélération
zk
(
dV
d
.
d
permet zde
2 termes, et fin
Nous avons ici les 3 composantes de la variation
de regrouper
vitesse.z

dOMici les
d 3.ucomposantes
.d u dedz
k dt de vitesse.
ous avons
la .variation

ici les 3 composantes
de lade
variation
iciNous
les 3avons
composantes
de la variation
vitesse.de vitesse.
dV
d d .u dV
2 de la relation
z
dV
Qui
compte
tenu
d
u
(
cf.
dérivée
d'un
vecteur
un
u
V
u
k
(
)
(2
)
dV
permet
de
regrouper
2
termes,
et
finalement
:
Le
calcul
de
l'accélération
permet
de regrouper
2 termes,
et finalement :
e calcul de l'accélération
dt
dt
dt
dV
dt
dV dt précédent.
déplacement
élémentaire
permet de regrouper
2ettermes,
et finalement
Le
calcul
de
l'accélération
permet
de
regrouper
2
termes,
finalement
:
l'accélération
dV
dVz
dtd dV
2
dV (
d
dt
2
u (2V ) u
k
)V
)zuk
u
(
)
(2
dt z à retrouver cette relation en
ddtdt exercer
dV
Remarque
2:2 vous
pouvez
vous
dt ( dVdt
dt
dVz ) u
k
) u d (2V
2
V
) u dt
(2rapport
) u et en
dt kutilisant
dt d u dt
OM
par
audttemps,
,
étant
por
u
dt

)u
k
)( u 2 (2 ( ) ) u 2 (2
)u
k
2
2
2
dt
dt dt
dt
dt
dt dt
dt
Dans
les
différents
systèmes
de
coordonnées
minons
desproblème,
termes (Une
de l'accélération
(Uneaccélération
approche
numérique
sera
des
termes
l'accélération
approche
numérique
enbien
atelier)
dVsera faite
kchacun
, de
aucun
il
s'agit
d'une
conn
ivant
permet de regrouper
Le calcul de l'accélération
dt
Coordonnées cylindriques et polaires:

dV
ddV
dVz2
2
( il s'agit
) u accélération
(2V ( le long
) uconnue
roblème,
il s'agit
d'une accélération
bien
connue
d'un
axe. lek)long
k , aucun
problème,
d'une
bien
d'u
vant
accélération
radiale
comp
,
suivant
u
dt
dt
dt

dt

2
dV
dV
2
dV
2
d
Accélération
radiale:
(
)
iale
comprend
2
termes:
,
suivant
u
) comprend 2 termes
ccélération radiale
,) suivant u (
(ou
dt
2
dt
dt
dt
2
2
dV
d
)
qui est aussiordinaire
l'accélération ordinaire
le long
d'un axe
est
aussi
l'accélération
le
long
d'un
axe:
faire
=Cte
p
(ou
)
2
2
t

dt
dt
ération
ordinaire
le
long
d'un
axe:
faire
=Cte
pour
comprendre.
est aussi l'accélération
ordinaire le long d'un axe: faire =Cte pour compren
2
Cinématique
toujours dirigée vers l'origine, appelée accélération centripète
2

jours dirigée vers l'origine, appelée accélération centripète: fair

s l'origine, appelée accélération centripète: faire =Cte.
ours dirigée vers l'origine, appelée accélération centripète: faire =Cte.

d
d
u ( elle
accélération
orthoradiale
u (
horadiale
suivant
2V suivant) comprend,
d 2Vaussi, 2
ccélération orthoradiale
suivant u dt(
2V
) comprend
dt

mes :

(
) comprend
ationaussi
radiale l'accélération
2 termes:
, suivant u dV
est
ordinaire
le
d'un
axe:
faire
=Cte
dt
dt
dt long
dt
dt
) comprend
dV .u u V( .d u Examinons
d . dt.uchacun
.ude l'accélération
. .du
dVz .numérique
k
ale dV , suivant
2 termes:
des.d
termes
(Une approche
sera faite en atelier)
Nous
avons
ici
les
3
composantes
de
la
variation
dt appelée
l'origine,
accélération
centripète: faire =Cte.de vites
Vours dirigée
dDansvers
les
différents
systèmes
de
coordonnées
(ou
)
2

2

2

2

2

dt 2 2
t )
Suivant k , aucun problème, il s'agit d'une accélération bien connue le long d'un axe.
et d u=Cte pour
d comprendre.
.u
En tenant compte
dpolaires:
u d'undaxe:
.u faire
ordinairede
le et
long
tsi2 l'accélération
Coordonnées
cylindriques
d
dV

dV
u
ccélération
orthoradiale
suivant
(
2V permet
) comprend,
(
) comprend 2de
L'accélération
radiale
termes:
,
suivant
u
regrouper
Le
calcul
de
l'accélération
ration
ordinaire
le
long
d'un
axe:
faire
=Cte
pour
comprendre.
dt
ours
dirigée
vers
l'origine,
appelée
accélération
centripète:
fai
( dV
. .d ) u (VdV.d
d .
.d ) u dtdVz k dt
2 dV
d
(ou
)
mes
:
dt
dt
Nous
iciappelée
les 3 composantes
de
la ordinaire
variation
de vitesse.
rigée
vers avons
l'origine,
accélération
centripète:
fairele long
=Cte.
dV
dVz
2
qui est aussi l'accélération
d'un axe: d
faire =Cte pour comprendre.
k
(
) u (2V
)u
2V
d
l'origine, appelée accélérationdtcentripète: faire =Cte.
dt
dt
d
u
célération
orthoradiale
suivant
(
2
V
u
ation
orthoradiale de suivant
comprend,
elle
aussi,
2
(
2
)
V
elée accélération
Coriolis,
couplage
des
vitesses
de
translation
dVvers l'origine, appelée accélération centripète: faire =Cte. et de rotatio
toujours dirigée
dt regrouper 2 termes, et finalement :
permet
de
Le calcul de l'accélération
d
alissade
mathématique:
mais:
2V
V
V
d
dt
u
horadiale
suivant
comprend,
2
(
2
)
V
Accélération othoradiale:
L'accélération orthoradiale
suivant u ( elle
elle aussi, 2
2V aussi, ) comprend,
2

2

2

2

dt
es : dV
dt
termes :
dd dansdVlaz différentielle dV (cf. dV ). I
premier( V
est 2issu
du
terme
V
u
V
u
k
)
(2
)
2V des vitesses
accélération
de
Coriolis,
couplage
de
translation
et
de
rotation
célération
des vitessesdt
de translation
et
de
rotation.
2V dedt Coriolis, couplageappelée
dt
accélération de Coriolis, couplage des vitesses de translation et de rotation.
d
le
compte de la2Vrotation
(
),
donc
du changement
de direction de la vitesse
e mathématique:
mais:
V
V
Lapalissade
mathématique:
mais:
2V
V
V
de Coriolis,
couplage des
vitesses
deV translation
et Vded rotation.
lée
accélération
de
Coriolis,
couplage
des
vitesses
de
translat
dV
dV
).
Il
est à mettre
(cf.
Un
premier
est
issu
du
terme
dans
la
différentielle
dV
dV
).
Il
est
à
mettre
(cf.
rdeuxième
V
est issu V
du terme
dans
la
différentielle
V
d
.
est
lade direction
différentielle
atique: 2V
mais:
V
V issu
d ),.donc dudans
sur le du
compte terme
de la rotation (d
changement
de la vitesse radiale dV
V .
alissade
mathématique:
mais:
2V
V
V
pte de la rotation
( d ), donc duLechangement
de
direction
de
la
vitesse
radiale
. dV . Il est dû à
V
Cinématique
deuxième V
est issu du terme d .
dans la différentielle

lorsque
le
rayon
augmente.
dV
dV
).
Il
est
à mettre
(cf.
tgmentation
issu du termedeVlad vitesse
dans laorthoradiale
différentielle
l’augmentation de la vitesse orthoradiale lorsque le rayon augmente.

dV . Il est dû à
est issu du terme d .
dans la différentielle
d d
d
d
d .
, mais une
fois dt divise
Dans les 2 de
cas nous
avons à V
faire
d ),nous
otation
(cas
doncavons
du changement
direction
deàdladtune
vitesse
radiale
V .d , etdl'autre, fois
dt
,
mais
fois
divise
et
l'autre
s
les
2
à
faire
à
ation de la vitesse orthoradiale lorsque le rayon augmente.
d
dt
d
d
dV
. Il est

à
estnous
issuavons
du àterme
dansune
différentielle
d . , mais
dt la fois
dt
d
divise
,
et
l'autre
fois
.
cas
faire
à
d
Cinématique
d
qui se comprend bien avec =Cte : c'est l'accélération liée au fait que la vitesse orthoradiale,
dt
vitesse orthoradiale
lorsqueliéele
c'est l'accélération
aurayon
fait
laaugmente.
vitesse
orthoradiale,
varieNotons
si la vitesse
de rotation
change.
varie
si laque
vitesse
de rotation
change.
que dans
le cas très
particulier de mouvement
d
dt
circulaire ( =Cte), la vitesse orthoradiale est aussi la vitesse tangentielle.

ème V

premier V

est issu du terme

dans la différentielle d

e compte de la rotation ( d ), donc du changement de directi
d d

deuxième
avons à faire à V

estuneissu
d fois
. d dans
, mais
fois dt du
diviseterme
.
d , et l'autre

la diffé

Coordonnées polaires.

Elles sont un cas particulier des coordonn
Coordonnées polaires
C'est un repère à 2 dimensions où les vari
Elles sont un cas particulier des coordonnées cylindriques (cf. fig.).
Elles reviennent à prendre un repère cylin
C'est un repère à 2 dimensions où les variables sont et
z Cte ou plus simplement z 0 , ainsi é
Coordonnées
polaires,
cas particulier
ducylindrique
cas cylindrique:
Elles reviennent
à prendre
un repère
et ày faire: orthoradial
z Cte ou plus simplement z 0 , ainsi évidemment que Vz 0 et z 0 .

Dans les différents systèmes de coordonnées

4.3
Coordonnées
sphériques
radial
Coordonnées polaires
y
4.3 Coordonnées sphériques.
x

O Ces coordonnées, comme les cylindriqu

utilisées lorsque le système étudié présent
Ces coordonnées, comme les cylindriques particularisent
un axe,
z en général,
et de
seront
Aucun
des
vecteurs
unitaires
la base
y
orthoradial
u présente un ou plusieursposition
utilisées lorsque le système étudié
axes dedurotation
point M(cf. fig.)
Aucun des vecteurs unitaires de la base n’est fixe dansCe
le système
repère, s’appuie
ils dépendent
toussurdeunlasystè
lui aussi
u
position du point M
radial
Ce systèmeys’appuie lui aussi surM
un système orthonormé
Oxyz fixe
dans
le repère.
Si besoin
rareunitaires
:
Vecteurs

u

u

x

Vecteurs unitaires
ur
selon OM
O

y

ur .cos selon
O OM

x

.sin

u
perpendiculaire au plan défini par
croissants,
dir
rotation dans leàsens
des
u
u
perpendiculaire au plan défini par
Oz
et
OM
et
perpendiculaire
,
obtenu
par
une
r
u
, dans le plan défini par Oz
u ur u
croissants,
dirigé
vers
l’Est
rotation
dans
le
sens
des
Important, pour évaluer les variations des vecteurs, il est très commode de les ramener au centre:
vecteurdéfini
unitaire se
déplace
un cercle
de rayon
1 le Nord
, dansd’un
le plan
par
Oz,sur
OM,
dirigé
vers
u ur u l’extrémité
u

x

Position

NB: dans un repère orthonormé, nous représentons très généralement les vecteurs unitaires à l’origine, non?

Position
u
OM

r ur

u

M

Si
besoin
rare
:
OM r ur
x définie
.cos très simplement p
La position est

base plus complexes
y
.sinqu'en coordonnées c
Coordonnées
sphériques
La position est définie
très simplement
par un seul vecteur! Ceci se paie par des vecteurs de

Elles reviennent à prendre un repère cyli
reviennent
à prendre
un
repère
cylind
z CteElles
z
0
ou
plus
simplement
,
ainsi
évidem
A
3 dimensions,
zz Cte
z
0
ou
plus
simplement
,
ainsi
Dans les différents
systèmes
de
coordonnées
Cte ou plus simplement z 0 , ainsi év
z
en coordonnées sphériques,
le globe terrestre s’impose:

Coordonnées
sphériques
u
Coordonnées sphériques:

4.3u Coordonnées
sphériques.
4.3
Coordonnées
sphérique
r : rayon
4.3 Coordonnées
sphériques
r

z
u

M Ces

u

A 3 dimensions,
en coordonnées sphériques,
urs’impose:
verticale
le globe terrestre

coordonnées,
comme
les
cylindriques
pa
u
Ces
coordonnées,
commeles
lescylindriqu
cylindriq
Ces
coordonnées,
comme
r
:
rayon
r utilisées
: longitudeétudié présente un o
lorsque le système
utilisées
lorsque
le
système
étudié
présen
u
lorsque
le
système
étudié
présente
u
verticale
Aucun des vecteurs
unitaires
de
la
base
n’est
u
vers l’Estunitaires
ydes
Aucun
des
vecteurs
unitairesdedelalabase
bas
vecteurs
:
longitude
position du point M
position
du
point
M
du
point
M
: latitude
Ce système
lui aussi sur un système ort
vers l’Est
y u s’appuie
Ce système
système s’appuie
lui
aussi
sur
ununsystèm
Ce
s’appuie
lui
aussi
sur
syst
M’
r

Or
x
x

M

O

r

: latitude

M’

u

vers le Nord

Vecteurs unitaires
u vers le Nord
Vecteurs
Vecteurs unitaires
unitaires
OM
ur X selon
est destinée
à rendre plus tangible
OM
uNB:
selon
OM
rr la sphère
u
selon
X
des vecteurs.
NB: la sphèrelaestdisposition
destinée à rendre
plus tangible
u la dispositionperpendiculaire
au
plan
défini
par
Oz
et
Ildes
estvecteurs.
bien évident que son rayon
r est variable.
au
plan
défini
Il est bien évident
sonperpendiculaire
rayon r est variable.
au plan défini par Oz
et OM
et perpendiculaire
à urpa
uu queperpendiculaire
perpendiculaire
au
plan
définipar
croissants,
dirigé
ve
rotationrotation
dans ledans
sensledes
croissants,
diri
sens
des
croissants,
d
rotation dans
le
sens
des
dans le plan
défini
par Oz,
OM, dirigé
vers le
Nord OM,
,
dans
le
plan
défini
par
Oz,
u
u
u
ru
, dans le plan défini par Oz,
ur u
Cinématique
Cinématique
, dans le plan défini par O
u ur u

r

u
perpendiculaire au plan défini par Oz et OM et perpendiculaire à ur , obtenu par une
rotation dans le sens des croissants, dirigé vers l’Est
, dans le plan défini par Oz, OM, dirigé vers le Nord
u ur u

63

6

Dans les différents systèmes de coordonnées

Position
Coordonnées
Position
dOM dr.sphériques:
u r d . u r cos

os OM
d r.uu
Position:
Relation

r

dOMd . udr. ur

r d .u

r cos d . u

La position est définie très simplement par un seul vecteur. Ceci se paie par des vecteurs de
importante
à
bien
assimiler.
Attention,
le bien
cos assimiler.
estet asouvent
oublié. Illesignifi
Relation
importante
à
cos
OM
r
u
base
plus complexes
qu'en coordonnées
cylindriques,
fortiori Attention,
cartésiennes.
r
La position est définie très simplement par un seul vecteur! Ceci se paie par des vecteurs de
simplement
qu'il
plus
de faire
lesouvent
"tour"
monde
d'un pôle
qu'à l'équateur
simplement
est du
plus
courtprès
de
le "tour"
du mon
base
plus complexes
qu'enest
coordonnées
cylindriques,
et a qu'il
fortiori
cartésiennes.
assimiler.
Attention,
le court
cos
est
oublié.
Il faire
signifie
aussi
de
negénéralement
pas est
permuter
ettrès
cosinus.
Si permuter
vous
pas sûr,
leseul
mieuxSi
es
r Attention
: distance àLa
l'origine,
varie
de
0, àsinus
mais
il est
possible
de
traitern'êtes
un sinus
position
définie
simplement
par
un
ve
Attention
aussi
de
ne
pas
et
cosinus.
urtproblème
de
faire
le
"tour"
du
monde
près
d'un
pôle
qu'à
l'équateur.
avecavec
r0
.
d'essayer
et
.
La
vitesse
s'en
déduit
immédiatement
:
dOM
dr. u -r dà + .)u d'essayer
r cos d avec
. u 0 et
. La vitesse s'en déduit
immédiatemee
: longitudebase
(0 à 2 r, ou
plus
complexes
qu'en
coordonnées
cylindriques,
ermuter
et cosinus.
vous
n'êtes
pasunesûr,
le demieux
est
drsinus
d de – /2dSi
:
latitude,
varie
généralement
à
+
,
mais
on
peut
utiliser
amplitude
2
,
Relation
Attention,
le d cos est souvent oublié. I
V
ur importante
r cos
u à bien
r
uassimiler.
dr
d
pours'en
traiter
l’orbite
satellite
exemple.
dt déduit
dt Spot Image
Vàdtparl'origine,
u: r r cos varie
u généralement
r
u
esse
immédiatement
r : dudistance
de 0, à
r

simplement qu'il est plus court
du dtmonde près d'un pôle qu'à l
dt de faire le "tour"
dt
d Vitesse:
Ce
sont typiquement
les de
grandeurs
utilisées
pour se repérer
sur et
terre,
donc n'hésitez
pas
à
problème
avec
r
.
Attention
aussi
ne
pas
permuter
sinus
cosinus.
Si
vous
n'êtes pas sûr, le m
dOM
dr
.
u
r
d
.
u
r
cos
d
.
u
u
Deuxième
méthode
:
consulter … votre globe terrestre.
2
)
r La co-latitude, habituelle chez les physiciens, (
avec
0latitude
et des. géographes
LaDeuxième
vitesse
s'en
déduit :immédiatement :
dt estd'essayer
méthode
le
complément
de
la
.
à partir est
de d OM
dt
Il est iciRelation
particulièrement
instructif
: longitude
(0ààde
2calculer
, assimiler.
ou directement
- à+
)la vitesseleV cos
importante
bien
Attention,
souven
dr
d
d ici particulièrement instructif de calculer directement
Il
est
Vitesse
V
ur lar: cos
u est
r dplus
en utilisant
relation
générale
Prendre
garde–audu
vecteur
rotation.
Ici,
uu dtgénéralement
u faire
total de
simplement
qu'il
court
le "tour"
monde
près, d'un
latitude,
varie
de
/2
à
+
mai
dtencore d'évaluer directement,
dt
dt
Essayons
en visualisant
surla
unrelation
globe terrestre
par exemple,
undt
représente
la
somme
vectorielle
des
deux
rotations
possibles
:
en
utilisant
générale
Prendre
d
u
u n'êtes
Attention
aussi
de
ne
pas
permuter
sinus
et
cosinus.
Si
vous
p
total
déplacement élémentaire dOM , lorsque r , et varient.
dcalculer
dinstructif
pour
traiter
l’orbite
satellite
Spot
Image
par
exempl
Il est icide
particulièrement
de calculer
directement
ladu
vitesse
V àV
partirvectorielle
dedéduit
dOM/dt
, immédiatement
à
partir
de
dOM
dt
,
tructif
directement
la
vitesse
représente
la
somme
des
deux
rotations
possible
d'essayer
avec
0
et
.
La
vitesse
s'en
:
k
u
total
Deuxième
:
dt méthode
dt
d d d
Le vecteur rotation représente la somme vectorielle
dr
d
k
u
ale Ilattention
Prendre
garde
au
vecteur
rotation.
Ici,
il
d uestdticiVau
u
signe

qui
vous
sera
confirmé
par
le
tire-bouchon.
V à partir de
particulièrement
instructif
de
calculer
directement
la
vitesse
total
cos
r
u
r
u
total umoins
des
deux
rotations
possibles.
r
dt grandeurs
dt dtIl commence
dtles
Ce
sont
typiquement
L'exercice
estdt
fortement
recommandé.
comme ceci : utilisées pour se
lle des
deux rotations
possibles
: d uaudtsigne total
en utilisant
la relation
générale
vecteurpar
rotatio
u …Prendre
attention
moins
qui vousgarde
sera au
confirmé
le ti
dOM consulter
dr … dvotre
d globe terrestre. La co-latitude, hab
d (ru
ur vectorielle
r L'exercice
k desudeux
urotations
)
... recommandé.
est fortement
Il commence comme
représente
la
possibles
:
r somme
r
dt Deuxièmedtméthode
dt :
dt
dest led complément
dOM de la latitude
dr
d
d
des
géographes
.
k
u

Dans les différents systèmes de coordonnées
Coordonnées
sphériques:
Coordonnées
sphériques: déplacements élémentaires et vitesses
Vitesse:

dOM

z
V

rd . u

Il est plus court de faire le tour du monde près
des pôles qu’à l'équateur !

V

r

y

O
n
x

r cos d . u

Vr

M

k

dr ur

Vr
V

M’

V

X
Cinématique

dr
dt
r cos d
dt
rd
dt

to
Accélération
effectuerons quelques calculs d'accélération dans des cas particuliers en TD.
us Les
poserons
pour
simplifier
l’écriture
:
développements
sont
un
peu
longs
et
nous
ne
donnons ici
que l’expression
finale.
Dans
systèmes
de
coordonnées
Encore
une les
fois, différents
il est tout à fait
possible de
"visualiser"
directement
les variations
effectuerons quelques calculs
d'accélération dans des casdparticuliers en TD.
d
dr
vitesse:
à
vos
globes
terrestres.
Sinon,
il
faut
utiliser
à
nouveau
.
d
u
dt
u
total
Encore une fois, il est tout à fait possible de "visualiser" directement les variations
Coordonnées
sphériques:
Nous
poserons
pourterrestres.
simplifier
l’écriture
: utiliser à nouveau
dt
dt Sinon,
dt d u dt total u .
vitesse: à vos globes
il faut

d longs, nous ne donnons ici quedl’expression finale.
Les développements sont

dr
Accélération:

Nous
Vr poserons pour simplifier l’écriture :
dt
dt
d
dr
accélération
s’écrit
alors
:
Vr
dt
dt
dV
L’accélération s’écrit alors :

[

r

r

2

r cos

2

cos ] u r

ddt
dt

dVr
2
dt
[
r s’écrit
r cos
L’accélération
alors : 2 cos ] u r
dt
d dVr
2
2
2
cos2 sin
] ur ] u
rr
r cos
[ r [ [r d2 V
cos
r
sin ] u
r cos
dt dt dt 2 Vr
d
2
[ r d 2dVr
sin ] u
r cos
22
r sin
[ r cos[rdtcos dt 2 V2rVcos
r sin ] u ] u
r cos
dtd
[ r cos 0 , ou 2 VrCte
cos, nous retrouvons
2 r sin
u
Avec
les]coordonnées
polaires.
on
retrouve retrouvons
les coordonnées polaires
dt
Cte
ec Certains
,
nous
les coordonnées polaires.
0 , ou
termes sont très simples à comprendre : essayez en bloquant successivement 2
Avec
, nous
retrouvons
les coordonnées
polaires.
0r, ,ou et Cte
variables
,
puis
en
fixant
une
seule
variable.
rtains termes sont très simples à comprendre : essayez en bloquant succ
Certains termes sont très simples à comprendre : essayez en bloquant successivement 2
perpendiculaire
à
k
,
et
situé
dans
le
En
définissant
un
nouveau
vecteur
unitaire
n
iables
,
et
,
puis
en
fixant
une
seule
variable.
r
variables r , et , puis en fixant une seule variable.

méridien (cf. figure), deux termes se regroupent et s’interprètent alors très facilement c
à dans
k , etle
définissant
ununcentripète
nouveau
vecteur
unitaire
n :perpendiculaire
perpendiculaire
à k , et situé
En
nouveau (essayer
vecteur
unitaire
unedéfinissant
accélération
avec
=0,n /2
…)
méridien
(cf.
figure),deux
deux termes
se regroupent
et s’interprètent
alors très facilement c
ridien
(cf.
figure),
termes
se
regroupent
2
2
2 et s’interprètent alors très
r cos
cos u r r cos
sin u
r cos
cos u r sin u
r cos

62

dt l’expression finale. Nous
dt
Les développements sont un peu longs dt
et nous ne donnons ici que
effectuerons quelques calculs d'accélération dans des cas particuliers en TD.
Encore une fois, il est tout à fait
possible de "visualiser"
directement
les variations de la
L’accélération
s’écrit alors
:
vitesse: à vos globes terrestres. Sinon, il faut utiliser à nouveau d u dt
u.
total
dVr
2
[:
cos ] u r
r 2 r cos
Nous poserons
pour simplifier l’écriture
Coordonnées
sphériques:
dt
d
d
dr
V
r
d
Accélération:
2
dt
dt
[r
2dtV
sin ] u
r cos

Dans les différents systèmes de coordonnées

dt

r

L’accélération s’écrit alors :
d
[
cos
2
cos
2
sin
]
r
V
r
u
r
dVr
2
dt
[
cos ] u r
r 2 r cos
dt
, ou
Cte , nous retrouvons les coordonnées p
Avec Plan0 équatorial
Plan
d méridien
2
[r
2 Vr
sin
]u
r cos
Certains
termes sont très simples à comprendre : essayez en
dt
z
y
variables
r , et , puis en fixant une seule variable.
d
[ r cos
2 Vr cos
2 r sin
] u ' r cos
OM
dt
En définissant
un nouveau
vecteur
n
M
perpendicu
En définissant un nouveau
vecteur
unitaire
n unitaire
perpendiculaire à k , et situé dans le plan
Cte , nous retrouvons les coordonnées
Avec
0 , ou
M’ polaires.
méridien (cf. figure), deuxméridien,
termes
regroupent
etets’interpr
deuxse
termes
se regroupent
Certains termesr sont très simples à comprendre : essayez en bloquant
successivement
2 des 3
s’interprètent
comme une accélération
une
accélération
centripètecentripète
(essayer avec =0, /2 …) :
urr ,
variables
et
,
puis
en
fixant
une
seule
variable.
n
u
u
M’

2
2
r
cos
cos
u
r
cos
sinsituéu dans rlecos
r
plan
En définissant un nouveau vecteur unitaire n perpendiculaire à k , et
O
x

O

X

méridien (cf. figure), deux termes se regroupent et s’interprètent alors très facilement comme
une accélération centripète (essayer avec =0, /2 …) :
r cos

2

cos u r

Si besoin2 (sin
rare) :u
r cos
x

r.cos .cos

y

r.cos .sin

z

r.sin

r cos

2

cos u r

sin u

r cos

2

n

Cinématique

2

cos

M.
Certaines
relations
et
propriétés
s'exprim
localement
la tr
mouvement

Ainstant
un instant
donné, il
est
possible
de dé
Coordonnées
curviligne:
de
Frenet
A un
donné,
ilrepère
esttoujours
toujours
possible
Trois vecteurs u
localement la trajectoire C du point.
localement
la
trajectoire
C
du
point.
T
:
tangent
à
C'est
un
repère
local
uniquement
défini
à partiràdesla
caractéristiques
dedéfinis
la trajectoire
au manièr
Trois
vecteurs
unitaires
sont
alors
deCaussi
la
A
un
instant
donné,
il
est
toujours
poss
N
:
normal
à
T
,
et
donc
trajectoire
C,
lui
dan
point M. Certaines relations et propriétés s'expriment plus simplement dans cemouvement
repère.
Trois
vecteurs
unitaires
sont
alors
définis
de
la
T : maintenant
tangent
à
la
trajectoire
C,
donc
dans
le
pla
relation,
classique,
de
la
différentielle
d’un
localement
la
trajectoire
du
point.
A un
instant donné, il est toujours
possible
de définir un planC
osculateur
qui
contient
localement
trajectoire C du point.
T
: lamouvement
tangent
à la trajectoire C, donc
dans
plan:
N
:
normal
à
T
Trois
vecteurs
unitaires sont alors
définis
d
Trois
vecteurs unitaires
sont alors définis:
relation, mainte
mouvement
dT d . N
N
:
normal
à
T
,
et
donc
à
la
trajectoire
C,
lui
aussi
da
plan:
tangent
à
la
trajectoire
C,
donc
dans
le
plan
osculateur,
orienté
dans
le
sens
du
mouvement
T : tangent à la trajectoire C, donc d

relation, maintenant classique, de la différentielle
d’
dT
d
.
N
normal
à
T
,
et
donc
à
la
trajectoire
C,
par
conséquent
aussi
dans
le
plan
osculateur.
Il
est
En
définissant
l’abscisse
curviligne
s,
distance
mesurée
mouvement
plan:
défini
par la relation
deT
la différentielle
d’un vecteur
unitaire
qui tourne dans un plan:
N
:
normal
à
,
et
donc
à
la
trajectoire
C,
lui
quelconque, et R le rayon de courbure de C au point M,
En
définissant
l
dT
d
.
N
relation, maintenant classique, de la différent

Rd

d’où la définition plus classique
:
quelconque, et

ds
R
d
R
ds
plan:

N dT:
d’où la définition plus classique

ds

N : En
normal
à
T
,
et
donc
à
la
trajectoire
C,
plan:
d
définissant l’abscisse curviligne s, distance mesuré
N est dirigé
vers
la concavité
dede
la courbe
: par exemple
siC
Cla
est
unpoint
cercle, M
relation,
maintenant
classique,
de
diffé
N
dT
quelconque,
et
R
le
rayon
courbure
de
au
dT d . N Ndéfinition
est dirigé vers sonde
centre.
N

En définissant l’abscisse curviligne s, distance mesurée sur la trajectoire à partir d'une origine
quelconque, et R le rayon de courbure de C au point M, l’angle peut s’écrire: ds
Rd

R

ds

d

son centre.
Coordonnées curviligne: repère de Frenet
B est le vecteur binormal, qui respecte:
B est normal
au plan
Repère
deosculateur
Frenet puisqu’il est normal à T et N , qui sont tous
B T N les deux dans le plan osculateur.
Plan osculateur
Plan de la feuille
B est normal au plan osculateur puisqu’il est normal à T et
T
dT = d N = ds/R N
plan osculateur.
ds
R
B

d

N

Le centre du cercle n’est pas fixe,
la valeur du rayon non plus

Ici, la trajectoire
est localement dans
le plan de la feuille.

Ici, la trajectoire
n’est pas
obligatoirement
dans le plan
de la feuille

Position
Coordonnées curviligne:Position
repère de Frenet
Position

La position
est par
définition
confondue
avecavec
l'origine
du système
La position
estVitesse
par définition
confondue
l'origine
du systèmeconfondue ave
La position est par définition

LeTvecteur
T étant
tangent
à lelasens
trajectoire,
dans
Le vecteur
étant tangent
à la trajectoire,
dans
du déplacement,
de Frenet
laRepère
vitesse s'écrit
directement:
ds
ds

Vitesse
Vitesse
Vitesse

lateur

Plan de la feuille

manière évidente: VVitesse
T soit avec V
dt

dt

le sens d

qui représen

Le vecteur
T étant
tangent
à laàtrajectoire,
dansdans
le sens
du déplacement,
la vites
Le vecteur
T étant
tangent
la trajectoire,
le
sens
du
déplacement,
la v
Le
vecteur
T
étant
tangent
à
la
trajectoire,
TT
V V
ds
dT = d N =dsds/R
N
ds
ds
ds vitesse,
avecavec
manière
évidente:
représente
la
forcément
V V dsT Tsoit soit
V V qui qui
s est une
distance
manière
évidente:
représente
la
vitesse,
forcém
soit
avec
manière
évidente:
V
T
V
Elle ddtn'adtdonc qu'une composante,
qui est la vitesse tangent
dt dt
dt
Ici, la trajectoire
R
est localement dans
V VT VT
Elle n'a qu'une composante, qui
leV
plan deV
la T
feuille.
B
N
Elle Elle
n'a donc
qu'une
quitotale
est
la
vitesse
tangentielle.
esttangentielle.
la vitesse
n'a donc
qu'une
qui
est
la
vitesse
NBcomposante,
: lacomposante,
distance
parcourue
entre
t1 tangentielle.
et t2 se déduit
Elle n'a donc qu'une
composante,
qui estim
la

ds
dstotale
Vdttparcourue
ou
st1t2etset2déduit
Vdt
NB
:NB
la
distance
totale
parcourue
entre
t
et
immédiatement
V
:
la
distance
entre
se de
déduit
immédiatement
de tV1 et
1
la distance
totale
parcourue
entre
et
t
se
déduit
immédiatement
Vtotale
NB : la distance
parcourue de
entre
2
Le centre du cercle n’est pas fixe, 1
t1
dt
la valeur du rayon non plus
Ici, la trajectoire
t2

ds ds
Vdt Vdt ou ou s

t2

t2

s Vdt Vdt

t
Accélération
1

t1

n’est pas
obligatoirement
dans le plan
de la feuille

ds Vdt

ou

La variation de vitesse s'écrit aisément:
Accélération
Accélération
Accélération
dV dV .T V .dT

s

t2
t1

Vdt

La variation
de vitesse
s'écrit
aisément:
La variation
de vitesse
s'écrit
aisément:
La variation de vitesse s'écrit aisément:
T .dT
V .dT
dV dVdV .TdV .V

D'où l'accélération,
Le
vecteur
T
étan
relation,
maintenant
cla
Lal'accélération,
variation de vitesse s'écrit aisément:
D'où
Coordonnées
curviligne:
repère
de
Frenet
plan: dV
dV
dT
dT
Accélération
Accélération
T V dT
Tévidente
V
dV dV .T V .dT
manière
d
.
N
LadV
variation de vitesse
s'écrit
aisément:
dT
dV
dT
ds
dt
dt
dt
ds
La
variation
de
vitesse
s'écrit
aisément:
T.T VV .dT
T V
dV
dV
D'où
utilisant En
laVdéfinition
de N p
définissant
dt l'accélération,
dtdV dV
dt .T V .et,
dsen dt
Accélération
dT
V T l’abscisse

2quelconque, et R le rayo
dV
dT
dV
dT
ds
l'accélération,
dV exprimer
V dsElle
dT
n'a
donc
qu'u
:
et, D'où
en utilisant
T V la définition
T V de N pour
d’où
la

R
d
T
N
dt dT dsds dt dt
D'où
dVdt
dT2 dt
dV l'accélération,
R
T
V
T
V
Vdt la définition
dt utilisant
dt dV dsdedtN
exprimer dT
et,dV
en
dTpourdV
dT
N : ds
dT
T
N

T
V
T
2
dT
N
:
pour
exprimer
et, en
utilisant
la
définition
de
dt dV RV

définitiont
V NB : la distance
R dt
ds
dV
dt
dt
dt
ds
L'accélération
est
située
dans
le
2
2
T
N
dV versd las conc
dV
V
N
est
dirigé
dtT
R et, en utilisant lavecteur
dt
N
N
pour
exprimer
définition
de
2 dT
binormal
B
.
dt
R
dt dt ou
son
centre.
ds
Vdt
2n'adV
L'accélération
est
située
dans
le
plan
osculateur,
et
n'a
do
L'accélération
est située dans
le plan
osculateur,
et
donc
aucune
composante
suivant
le
vecteur
dV
V
est etl'accélération
tangentie
L'accélération
est
située
leNosculateur,
plan osculateur,
et len'a
donc
aucun
binormal
B
Tdans
Bdonc
est
vecteur
binorma
L'accélération
est
située
dans
le
plan
n'a
aucune
composan
vecteur binormal B .dt
dt
R
vecteurbinormal
binormal
B T N
vecteur
B. B.
2
Accélération
dVdV
V
dVaccélération
B est normal
au plan osc
tangentielle
accélération
normale
est
l'accélération
tangentielle
l'accélération
normale
estest
l'accélération
tangentielle
l'accélération
tangentielle
L'accélération
estR située dans plan
leLaplan
osculateur,
osculateur.
variation
de vi
dt dtdt
22
V
2 V
vecteur
binormal
B
.
dV
dV
.
T
V
.
d
normale
V R l'accélération
l'accélération
normale
dV
En prenant l'exemple particulier
R l'accélération normale
est l'accélération tangentielle
R
l'accélération
dans
un
système
cy
dt
D'où
En prenant l'exemple particulier d'une trajectoire circulaire,
vousl'accélératio
pouvez essaye

Coordonnées
Accélération

T V

dt
dt
dt
ds
dt
curviligne: repère de Frenet
et, en utilisant la définition de N pour exprimer dT

Repère de Frenet: accélération
dV/dt

V2/R

T V

dV
T
dt

2

V
N
R

Le repère
Frenet est
doncle
un plan
repère osculateur
qui
L'accélération
est desituée
dans
T
conduit à une expression simple de la vitesse et
vecteur
binormal
B . mais dont l’origine et tous les
de l'accélération,
M
vecteurs de base sont fonction du point M. Il ne
dV
est permet
l'accélération
tangentielle
pas de décrire
directement la trajectoire,
N dt
mais est très commode pour en exprimer
2
certaines propriétés.
V
l'accélération normale
R

En prenant l'exemple particulier d'une trajectoire
l'accélération dans un système cylindrique puis da
expressions.

Le repère de Frenet est donc un repère qui condui



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