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Me1 .pdf



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LA POSITION
LE MOUVEMENT;
LA CINÉMATIQUE




définir les concepts de base : les vecteurs, les
systèmes de coordonnées
utiliser le temps : définir la vitesse, l’accélération



la position ?

Système cartésien

1-dimension : OP = (x)

2-dimensions : OP = (x,y) OP
3-dimensions : OP = (x,y,z)

(x,y,z) sont les
coordonnées de P
dans ce système
centré en O



Plusieurs notations



la position ?



Système polaire : 2-dimensions

= (r , θ)

OP

passage de l’un à l’autre : équation FONDAMENTALE
B
r
A

θ
x

y



la position ?



OP

Système cylindrique : 3-dimensions

= (r , ϕ, z)



la position ?



OP

Système sphérique : 3-dimensions

= (r , ϴ, ϕ)

CINEMATIQUE
Un lien entre les coordonnées et le temps donne une
trajectoire
(x(t),y(t),z(t)) : est une courbe dans l’espace avec
comme paramètre le temps;
Le choix du système de coordonnées va ou non faciliter
la compréhension du mouvement

essayez pour voir ?



On veut une propriété évidente d’addition
B
C
A

En coordonnées cartésiennes cela marche :

Donc on reste en coordonnées cartésiennes
la position évolue avec le temps, les coordonnées aussi
A(t1)
A(t2)

O
On appelle déplacement
On appelle durée

A(t3)

! ! def
!
!
!
!
!
P1 P2 : d 12 = P1 P2 . De mˆeme si le point repr´esentatif continue a` se d´eplacer {OP1 ; OP2 ; OP3 ; . . .OP5 },
! ! !
!
on d´efinit les d´eplacements successifs : d 23 ; d 34 ; d 45 ;. On peut aussi calculer le d´eplacement d 13 entre

les vecteurs déplacements

P1 et P3 par exemple.

Si l’on veut ˆetre en accord avec une compr´ehension intuitive des d´eplacements dans l’espace, on dira
en
coordonnées
retrouve
lesd’addition
propriétés
le syst`eme
cart´esien, il est ais´cartésiennes
e de montrer que ces on
op´erations
vectorielles
et de soust
par exemple :
!
!
! les coordonn´
aduisent
op´erations
+ et
-eplacement
sur les nombres
esentent
ees :
•d’addition
quepar
le d´eles
placement
d suivi
du d´
d vaut qui
le d´erepr´
placement
d
12

ou !
encore :

23

13

!

!

!

!

!1
OP1 = {X
= {X2 le; Yd´
> !
d 12
=position
OP2 OP
OP
1!; Y
1 } OP
2 ajoutant
2e}
• la position
OP
s’obtient
en
placement
d
a
`
la
2
12
1.

!

!

= {X2

X1 ; Y2

! les vecteurs,
! une op´eration !
!qui consiste a` dire et a` ´ecrire :
On introduit
d’addition
+
OP1 = ainsi,
X1 · 1sur
+
Y
·
1
OP
=
X
·
1
+
Y
·
x
1
y
2
2
x
2 1y
!
!
d 12 = OP2

!
! !
!
! !!
! Y )·!
OP1 = (X

1
+
(Y
d 212 + X
d 23
=
d
OP
=
OP
1
x13
2 2 1 1
y d 12
1 +

ou encore, plussimple
classiquement
une forme plus
qui rappelle
le processus
construction
: complexes :
omportement
n’est ´esous
videmment
correct
dans lesdesyst`
emes plus

Y1 }

Cela correspond aussi à un tableau, par exemple:
x

y

t

-1

0,00

0

1,25

0,97

8

∆x ∆y

∆t

1,5

2,25

0,97

1,50

0,43

3

6,75

-0,54

1,50

19,25

-0,78

4,5

11,25

-1,22

1,50

35

-0,78

6

15,75

-0,00

1,50

55,25

0,43

7,5

20,25

1,22

1,50

80

0,97

9

24,75

0,54

1,50

ou en graphique
x

Espace

40
30
20
10

∆x

0
-10

0

1,5

∆t

3

Temps

4,5

6

on définit la vitesse moyenne comme le rapport entre le
déplacement et la durée

x

y

t

∆x ∆y ∆t

Vx

Vy

-1

0,00

0

1,25

0,97

1,5

2,25

0,97

1,50

1,50

0,65

8

0,43

3

6,75

-0,54

1,50

4,50

-0,36

19,25

-0,78

4,5

11,25

-1,22

1,50

7,50

-0,81

35

-0,78

6

15,75 -0,00

1,50

10,50 -0,00

55,25

0,43

7,5

20,25

1,22

1,50

13,50

0,81

80

0,97

9

24,75

0,54

1,50

16,50

0,36

en graphique où on représente x en fonction de t
x
40

Espace

30

∆x
∆t

20
10

∆x

α

0
-10

0

1,5

∆t

3

Temps

4,5

6

vitesse moyenne
=Tan(α)

on définit alors la vitesse instantanée

x

y

t

-1

0,00

0

1,25

0,97

1,5

8

0,43

3

19,25

-0,78

4,5

35

-0,78

6

55,25

0,43

7,5

80

0,97

9

x

y

t

-1

0,00

0

1,25

0,97

1,5

8

0,43

3

19,25

-0,78

4,5

35

-0,78

6

55,25

0,43

7,5

80

0,97

9

x

y

t

-1

0,00

0

1,25

0,97

1,5

8

0,43

3

19,25

-0,78

4,5

35

-0,78

6

55,25

0,43

7,5

80

0,97

9

“géométriquement” la dérivée est la tangente
x
40

la sécante devient
la tangente
géométriquement,
dans le processus
limite

30
20

∆x

10
0
-10

∆t
0

1,5

3

4,5

6

on ne peut que calculer
mathématiquement ce
processus limite

la vitesse est un vecteur
aussi tangent à la
trajectoire dans (x-y-z)

de la même manière que pour la vitesse on définit
la vitesse, on peut d´efinir l’acc´el´eration moyenne :
l’accélération

!
a moy =

!
V
t

accélération moyenne

8
la d´eriv´ee du vecteur
dV vitesse par rapport au temps
ax =
!
dV
!
a =
dt

>

>
>
>
<
>
>
>
:

x

dt

ay =

dVy
dt

az =

dVz
dt

accélération instantanée

Cin´
ematique du point/

tion a` la position directement sans passer par la vitesse, on doit alors

notations suivantes :

La cinématique est donc:
se donner la position en
fonction du temps

déterminer la vitesse
instantanée

déterminer l’accélération
instantanée


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