Me3 .pdf



Nom original: Me3.pdf

Ce document au format PDF 1.3 a été généré par Apple Keynote 5.1.1 / Mac OS X 10.7.3 Quartz PDFContext, et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 26/03/2013 à 01:04, depuis l'adresse IP 82.236.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 972 fois.
Taille du document: 10.1 Mo (29 pages).
Confidentialité: fichier public




Télécharger le fichier (PDF)










Aperçu du document


information
les notes de séminaires de l’année passée sont
reportées

1

essayons d’appliquer ce que nous savons

2

Grande  aiguille,  petite  aiguille.  
Quel  angle  forment  les  aiguilles  d'une  montre  à  7h38?

petite  aiguille  :  mouvement  circulaire  uniforme
grande  aiguille  :  mouvement  circulaire  uniforme
période  de  la  petite  aiguille  :  T  =  12  heures

période  de  la  grande  aiguille  :  T  =  1  heure

en  radians  

en  degrés  

3

Il  manque  quelque  chose????
Qui  n’est  pas  dit  dans  l’énoncé  
angle  en  degrés

mais  qui  est  implicite
“après  un  tour  les  angles  
recommencent  à  0”

temps  en  heures

4

mais  Modulo  360

Grande  aiguille,  petite  
aiguille.  
Quel  angle  forment  
les  aiguilles  d'une  
angle=219-­‐218=1°
montre  à  7h38?
entre  7h  et  8h  quelles  
sont  les  équations?

5

Deux tuyaux.
Un homme rempli d'eau deux bidons avec deux tuyaux.
Le premier tuyau débite de l'eau à 2.9 litres par minute, le second à
8.7 litres par minute.
Lorsque le plus petit des bidons est à moitié plein, il permute les
tuyaux.
Il continue à remplir et les deux bidons sont remplis au même instant.
Quel est le volume du grand bidon si le volume du petit est de
12.6 litres?
Le  scénario  en  mathématiques

6

Maintenant  il  faut  
résoudre  avec  des  
inconnues  :  VTotg  ,  T,  T1/2,  
habilité  mathématique  ...

7

symétrique  entre  D1  et  D2  donc  l’ordre  n’a  pas  
d’importance  !
8

9

plus classique
un chien courant à 10 m s-1
est 30 m derrière
un lapin qui s’enfuit à la vitesse de 5 m s-1.
Quand le chien attrapera-t-il le lapin?

30 m

10

plus classique
Un avion A, volant à 500 m s-1, se trouve 10.000 m derrière un
avion B qui se déplace à 400 m s-1 dans la même direction.
Le pilote de l’avion A tire un missile qui a une accélération de 100 m s-2.
Combien de temps faudra-t-il au missile pour atteindre l’avion B?

10.000 m

11

chute
Un saumon saute verticalement hors de l’eau, avec une vitesse de 6 ms-1
a) quelle hauteur atteindra-t-il?
b) pendant combien de temps le saumon sera-t-il hors de l’eau?

z
rien n’est précisé
donc l’instant initial
peut être choisi arbitrairement
x

12

Un saumon saute verticalement hors de l’eau, avec une vitesse de 6 ms-1
a) quelle hauteur atteindra-t-il?
b) pendant combien de temps le saumon sera-t-il hors de l’eau?

13

Graphiquement
z (hauteur)

Vz (vitesse selon la hauteur)

temps

temps
14

Un saumon saute verticalement hors de l’eau, avec une vitesse de 6 ms-1
a) quelle hauteur atteindra-t-il?
b) pendant combien de temps le saumon sera-t-il hors de l’eau?

15

chute à deux dimensions
On sert une balle de tennis horizontalement à une hauteur de 2.40m. Le service s’effectue à
12m du filet. Celui-ci a une hauteur de 0.9m.
a) si la balle passe au moins à 0.2m au-dessus du filet, quelle était sa vitesse initiale minimum?
b) où retombera-t-elle?

z
(0,H)

v

H

(D,h)
h
D

x
16

b) où retombera-t-elle?

17

Mouvement en coordonnées cylindriques
mouvement selon une direction:

Oz

combiné avec un mouvement plan
perpendiculaire à cette direction

nt dans l’espace en coordonn´
ees cylindriqu
Ceci
est
du
texte
On décrit le mouvement dans le plan en4.2.
coordonnées
ρ,enφcoordonn´ees cylindriques
Mouvement polaires:
dans l’espace

ont souvent
utilis´
eestexte
lorsqu’on a une translation le long d’un axe
Ceci est
du
ec un mouvement plan, perpendiculaire `a Oz , que l’on a choisi
ˆ
On définit trois vecteurs unitaires:
u
ˆ
,
u
ˆ
,
k
ˆ

ˆ
s ⇢, '.uˆOn
dispose
ainsi
de
trois
vecteurs
unitaires
:
u
ˆ
,
u
ˆ
,
k,
⇢ '
⇢ , uˆ , k
!
!
ˆ
! OM
=
~
r
=
⇢ˆ
u
+
z
k,
⇢ˆ
!

OM = r = ⇢uˆ⇢ + OM
zk

=

8
< x = ⇢ cos '
y = ⇢ sin '
~r =
:
z
ˆ
Oˆıˆ⌘ k

ylindriques ⇢, ', z admettent
domaines
de l’espace
variation,
Figure comme
4.3 – Coordonn´
ees cylindriques pour
euclidien. Notez
18

8
< x = ⇢ cos '
y = ⇢ sin '
~r =
:
z
ˆ
Oˆıˆ⌘ k

Mouvement en coordonnées cylindriques

Les coordonnées
cylindriques⇢,admettent
commecomme
domainedomaines
de variation:
Les coordonn´
ees cylindriques
', z admettent
de variation,
!
kOM k = ⇢ = (x2 + y 2 )1/2 2 [0, +1[
y
(Ox, O↵) = ' = arctan
2 [0, 2⇡[
x
ON
= z en 2
] 1,
4.2. Mouvement dans
l’espace
coordonn´
ees +1[
cylindriques

(4.27)

(4.28)
(4.29)
(4.30)
43

19

Mouvement en coordonnées cylindriques

dans l’espace en coordonn´ees cylindriques
43
Les lignes de coordonnées sont obtenues en fixant deux des coordonnées (ρ, φ, z) et en faisant
varier la troisième.

es de coordonn´ees sont obtenues en fixant deu
la troisi`eme.
ρ varie , φ= constante, z = constante

' = cste, z = cste} :
On obtient une demi-droite parallèle au
plan
ne demi-droite parall`ele au plan (O,ˆı,ˆ⌘) de cˆote
de cote z

, ⇢ = cste, z = cste} :
n cercle d’axe Oz , de cˆote z, de rayon ⇢.

⇢ = cste, ' = cste} :
ne droite parall`ele `a Oz , passant par (⇢ cos ', ⇢ s

oordonn´ees cylindriques pour l’espace euclidien. Notez les lignes et surfaces de

aces de coordonn´ees sont obtenues en fixant une
ux autres

20

Mouvement en coordonnées cylindriques

dans l’espace en coordonn´ees cylindriques
43
Les lignes de coordonnées sont obtenues en fixant deux des coordonnées (ρ, φ, z) et en faisant
varier la troisième.

ρ constante , φ= varie, z = constante
On obtient un cercle d’axe Oz, de cote z et
de rayon ρ

oordonn´ees cylindriques pour l’espace euclidien. Notez les lignes et surfaces de

21

Mouvement en coordonnées cylindriques

dans l’espace en coordonn´ees cylindriques
43
Les lignes de coordonnées sont obtenues en fixant deux des coordonnées (ρ, φ, z) et en faisant
varier la troisième.

ρ constante , φ= constante , z = varie
On obtient une droite parallèle à Oz
passant par ρ cos(φ), ρ sin(φ)

oordonn´ees cylindriques pour l’espace euclidien. Notez les lignes et surfaces de

22

Mouvement
en
coordonnées
cylindriques
l’espace en coordonn´ees cylindriques
43

Les surfaces de coordonnées sont obtenues en fixant une des coordonnées (ρ, φ, z) et en faisant
varier les deux autres.
ρ constante ,
On obtient un cylindre d’axe Oz,
perpendiculaire aux lignes de coordonnées
ρ
φ= constante ,
On obtient un demi-plan méridien
perpendiculaire aux lignes de cordonnées φ
z = constante
On obtient un plan parallèle à (O, i, j), de
côte z et perpendiculaire aux lignes de
coordonnées z.

nn´ees cylindriques pour l’espace euclidien. Notez les lignes et surfaces de

23

Ceci est du texte

ˆ
Mouvement en coordonnées
cylindriques
u
ˆ
,
u
ˆ
,
k
ˆ
uˆ ,⇢uˆ , k

Les vecteurs

uˆ⇢ , uˆ , kˆ



sont tangents aux lignes de coordonnées et perpendiculaires aux

! !
!
ˆ
!
ˆ
OM
=
r
=

u
ˆ
+
z
k
l’espace en coordonn´ees cylindriques
43
⇢ zk
OM
=
r
=

u
ˆ
+
!

surfaces de coordonnées. Ils !
sont dirigés dans le sens croissant de ρ (t), φ(t), z(t) :
OM = r = ⇢uˆ⇢ + z kˆ

!
!
r
r
!
r = {x = ⇢cos( ) y = ⇢sin(d d)
uˆuˆ==d duˆ⇢uˆ⇢

d
d
uˆ⇢uˆ⇢==d duˆuˆ

Les vecteurs de la base varient aussi lorsque M se
déplace et dépendent donc du temps; c'est important
de le savoir lorsque l'on veut calculer par exemple les
vecteurs vitesse et accélération et donc chaque
fois que l'on dérive par rapport au temps.

nn´ees cylindriques pour l’espace euclidien. Notez les lignes et surfaces de

ordonn´ees sont obtenues en fixant deux des coordonn´ees (⇢, ', z) et en

24

u
ˆ
=
d d uˆ

u
ˆ
=
u
ˆ

d
Mouvement en coordonnées cylindriques
Calculons l’expression des vecteurs vitesse et accélération
Notation (de Newton) en physique de la dérivée par rapport
au temps:

d
[
d

4.4.Coordonn
d
Coordo
[⇢(t)]
!
⇢˙
d d
[⇢(t)]
!

˙
d
d
˙
[
(t)]
!
d
˙

(t)] !

d~r
~v =d~
r = ⇢˙ uˆ⇢ + ⇢ '˙ uˆ' + z˙ kˆˆ
~v = dt= ⇢˙ u
ˆ⇢ + ⇢ '˙ u
ˆ' + z˙ k

dt

ds
2
2 2
2 1/2
v=
= (⇢˙ + ⇢ '˙ + z˙ )
dsdt
2
2 2
2 1/2
v=
= (⇢˙ + ⇢ '˙ + z˙ )

dt

ds2 = d⇢2 + ⇢2 d'2 + dz 2 ,
2

25

d~
r
d
ˆ
Mouvement
en
~v = d [⇢(t)]
= coordonnées
⇢˙!
u
ˆ⇢⇢˙+ ⇢ '˙ u
ˆ'cylindriques
+ z˙ k
d
dt ⇢˙
[⇢(t)] !
d

Calculons l’expression
des vecteurs
vitesse et accélération
d
˙
[
(t)]
!
d
d
˙
[
(t)]
!
d
!
a =

!
d!
d d!
a =dsdt
= 2dt ( dt
!) 2=
d!
d vd !
d2 2r

d2 !
r
2
dt 2 1/2

v = dt (=dt (r⇢˙) =
vdt =
+dt⇢2 r'˙ + z˙ )
dt

Notation des dérivées par rapport au temps:
d

d

d d
d2
(
[⇢(t)])
dt d= dt2 ⇢
dt ( d [⇢(t)])

ds = d⇢ + ⇢ d' + dz ,
2
ˆ.
⇢ '˙ ) u
ˆ' + (2⇢˙ '˙ + ⇢ ')
¨ u
ˆ' + z¨ k
2

~a = (¨


!⇢¨⇢¨
!
2

2

2

2

nt de volume dV en coordonn´ees cylindriques est :
@(x, y, z)

26

dV dV
= dx
⇢ d⇢⇢ d'
dz .dz .
= dy
dxdz
dy =
dz =
d⇢
d'
@(⇢,@(⇢,
', z)
', z)

Mouvement en coordonnées cylindriques

Consid´
erons
l’exemple
simple
du du
mouvement
h´elico¨
ıdalıdal
quiqui
s’exprim
Consid´
e
rons
l’exemple
simple
mouvement

e
lico¨
s’exp
Considérons l’exemple d’un mouvement hélicoïdal simple
driques
par par
: :
driques
⇢ =⇢a,= a, ' =''(t),
= '(t), z =z =' '( (> 0)
> 0)

La trajectoire
se situe
sur
uneune
h´eselice
circulaire
dont
la la
projectio
La trajectoire
se situe
sur

elice
dont
projec
La trajectoire
situe
surcirculaire
une hélice
circulaire
la
dans
plan
Oxy
estest
un
un cercle
d’axe
Oz Oz
et de
a.projection
Le
paspas
de lede
l’h´
el’h´
lice
est
2⇡ 2⇡: c’est
la
un cercle
d’axe
et rayon
dedont
rayon
a. Le
elice
: c’est
d’axe
Oz etles
de rayon
a. Le pas dede
l’hélice
points
dontdont
les '
rent
decercle
2⇡.
Notons
expressions
la c´
rit´
points
lesdi↵`
' edi↵`
erent
de 2⇡.
Notons
les
expressions
de
lael´ec´
el´eerite
est de 2 π λ.
acc´eacc´
l´eration
: :
el´eration
2 1/2
˙
v =v(=2(+2a+
)a2 )|1/2
'|
˙ |'|
ˆ
ˆ k)
u
ˆ' +k)
~v =~v'˙=(a'˙u
ˆ(a
'+

ˆ
ˆ
u
ˆ⇢a+'¨au
¨
u
ˆ
+
'
¨
k
.
~a =~a =a '˙ 2a u
ˆ'˙⇢2 +
ˆ'
+
'
¨
k
.
'
'
ou encore
ou encore

'¨ '¨
2
2'
~
a
=
~
c
a
˙
ˆ⇢ .
~a = ~c a '˙ u
ˆ⇢ .u
'˙ '˙
27

)

2
dV = dx dy
dz
=
⇢a
d⇢'
d'u
dz +
.
~a = 2(4.38)
a@(⇢,
'˙ ',u
ˆz)
+
¨
ˆ

'
ˆ
coordonnées
~a = a '˙ cylindriques
u
ˆ⇢ + a '¨ u
ˆ' + '¨ k

|'|
˙
Mouvement en
ˆ
+ k)
(4.39)
ou encore Consid´
erons l’exemple
simple du hélicoïdal
mouvementsimple
h´elico¨ıdal qui s’exp
Considérons
l’exemple
d’un
mouvement
ˆ
+
a
'
¨
u
ˆ
+
'
¨
k
.:
(4.40)
driques
par
core

'

2 1/2


2
~
a
=
~
c
a
'
˙
u
ˆ
.

⇢ = a,
''
=
'(t),
z
=
'
(
> 0)
¨
'
˙
2
~a = ~c a '˙ u
ˆ .



La trajectoire se situe sur une h´elice circulaire dont la projec
2
a '˙ u
ˆ⇢ .
(4.41)
2
ˆ
ˆ est
un
cercle
d’axe
Oz
et
de
rayon
a.
Le
pas
de
elice
Comme d’autre part ~a = dv/dt T + v l’h´
/R
N
, on2⇡en: c’est
d´ed
points
dont
les '
erent
dede2⇡.
Notons
les:N
expressions
c´el´eriti
ˆ , on ended´la
valeurd’autre
(constante)
du
rayon
omme
part
~adi↵`
=
dv/dt
Tˆcourbure
+ v 2 /R
eduit
acc´el´eration :
ˆ(constante)
ˆ = :u
duimm´
rayon
de courbure
N
, on en d´eduit
ediatement
N
ˆ⇢ et 2la
2 + a2
2 v 2 1/2
v = ( + a ) |'|
˙
R2=
=
.
2
2+
2a
ˆ
˙
~v =
+
k)
v '˙ (a ruˆ'
a
'
2 + a2
R =~a = 2a =
.
2
ˆ.
'
˙
u
ˆ
+
a
'
¨
u
ˆ
+
'
¨
k

'
r'˙ (4.42) 2a 2
.
Notons
aussi la valeur de la torsion ⌧ = /( + a ), et l’ang
a
ou encore
l’axe
Oz
:
cot

=
/a
=
R

.
Plus

e

e
ralement,
les
courbe
2
2
Ou
R
est
le
rayon
de
s
aussi
la
valeur
de
la
torsion

=
/(
+
a
),
et
l’angle

2
+les
a ),h´
etlices
l’angle
✓tangente
que fait le
vecteur
vitesse
courbureavec un axe fi
'¨ avec
e
:
la
fait
un
angle
constant
2
~
a
=
~
c
a
'
˙
u
ˆ .courbes ga
Oz : cot ✓ = /a = R ⌧ . Plus g´en´eralement, les


nt, les courbes gauches telles que R⌧ =cste'˙ sont
lices
: laaxe
tangente
avec un
fixe (ici fait
Oz).un angle constant avec un axe fixe (
28

29



Documents similaires


programme de colle n 6
mouv espace cours
6 mouvement dans l espace www stsmsth blogspot com
examen rattr corrige phys 1 1ere annee st 08 09
exercmvtrotationtsmfr 2
programme de colle n 5


Sur le même sujet..