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Me5.1 .pdf



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RÉFÉRENTIELS GALILÉENS
Transformations galiléennes

Référentiels galiléens
Nous avons vu que le choix des repères, pour décrire les mouvements, est crucial.
La notion de force présentées précédemment prend en compte le mouvement du
repère.
On dénomme force d’inertie une force due seulement au mouvement du repère.
Un repère où ne s’exerce pas une force d’inertie est dit galiléen ou encore repère
inertiel.
La première loi de Newton ou loi d’inertie n’est valable que dans ce type de repère.
deux repères seront considérés comme galiléens s’il existe une transformation
galiléenne qui permet le passage de l’un à l’autre.
Une transformation galiléenne n’affecte pas les lois des forces concernant
l'environnement.
Les lois de la physique sont invariantes par rapport à tout changement de repère
galiléen.

orce
d’inertie
s’exerce
estvalide
dit galil´
enl’on
ou seencore
erentiel
e Newton
ou loine
d’inertie
n’est
queesi
ref`ere r´
`aef´
un
tel rep
Newton
ou
loi
d’inertie
n’est
valide
que
si
l’on
se
ref`
e
re
a
`
un
tel
Référentiels
galiléens:
invariance
des
lois
physiques
postulat de base de la physique classique d’admettre l’existence d’a

54
5. Dynamique de point mat´eriel : Galil´ee & Newton
n,
en
fait
d’une
classe
d’´
e
quivalence,
deuxd’admettre
rep`eres ´etant
´equivalen
stulat de base de la physique classique
l’existence
unefait
transformation
enne. Une transformation
eenne
n’a↵
en
d’une classegalil´
d’´eequivalence,
deux rep`eres galil´
´etant
´equiva
ui
concernent, quant
a` eelles,
l’influence
de l’environnement.
nenetransformation
galil´
enne.que
Une
transformation
galil´eenneOn
n
ique
classique
sont
invariantes
par
rapport
a
`
tout
changement
de
rep
ne concernent, quant a
` elles, que l’influence de l’environnement.

ˆtout
ue
classique
sont
invariantes
par
a
changement
de
formation
galil´
eenne
d’un rep`ere
K rapport
⌘ (O,ˆı,ˆ⌘`
, k),
associ´
e `a une horloge

ˆ associ´e `
ngement galil´
d’origine,
pasKl’orientation.
rmation
eennen’a↵ectant
d’un rep`ere
⌘ (O,ˆı,ˆ⌘, k),
a une horl

0
0
ˆ
K
!
K
=
(O
,ˆı,ˆ⌘, k)
ement d’origine, n’a↵ectant pas l’orientation.

ˆ
K ! K = (O ,ˆı,ˆ⌘, k)

Figure
5.6 –d’un
Changement
de r´
comme0 transformation
position
pointd’origine
M , on
aef´erentiel
la 0relation
suivante :galil´eenne. Les axes
demeurent inchang´es.

!0
0 =~
~
0
~
r
=
r
r OO
,
osition
d’un
point
M
,
on
a
la
relation
suivante
:
|K
• Un changement d’orientation des axes en gardant l’origine fixe.

Une transformation galiléenne peut être un changement d’origine sans changement
d’orientation.
!
0
0 0 ˆ0
~r|K .
K!K =
(5.19)
~0(O,ˆ
0 = r
~r|K
=ı ,ˆ~r⌘ , k ) . OO0 ,
Aucune
de l’espace
n’est privilégiée,
est homogène.
ance
desdirection
lois de
la physique
parl’espace
rapport
`a une telle transformation

.ese
Kh`

Une matrice orthogonale, ou de rotation, Rop , transforme les composantes de M par
rapport
a K en celles
`
due mˆ
emel’espace
point par rapport
a K 0 : origine n’est privil´
`
de
l’homog´
en´eit´
de
: aucune
egi´ee.
0 0 1
0 1

orientation des axes en gardant l’origine fixe.

Remarque.
Si det R
= 1, alors on a chang´e l’orientation du r´ef´erentiel, e.
on des axes
en
gardant
l’origine
fixe.
Référentiels galiléens: invariance des lois physiques
direct
a un rep`ere indirect. )
0 passe `
ˆon
K ! K 0 = (O,ˆ
ı0 ,ˆ⌘0 , k
).

0
ˆ
K!
Krotation,
= (O,ˆ
,k ).
ogonale,
ou de
Rıop,ˆ
, ⌘transforme
0

0

0

les composantes de M par

les du mˆeme point par rapport `
a K0 :
0 0 1
0 1
ou de rotation,
R
,
transforme
les
op
x
x
0 A = R @ y A0 = R ~
0 =~
@ yrapport
r|K 0 ⌘
op `
op r|K
ˆeme r~point
par
a
K
:
z0
z

0= I .0
Rop t Rop

1

0

(5.19)

composantes de M par

1

(5.20)
(5.21)

x
x
0
@
A = eRl’orientation
0
y
=et~rR|K
=
Rop~r|K
op @ y A
= ⌘
1, alors on a chang´
du r´
ef´erentiel,
e.g. de rep`ere
n rep`ere indirect.z)0
z

p

t

Rop = I .

(5.19)

(5.20)

Figure 5.7 – Changement d’orientation, ou rotation, des axes de r´ef´erentiel comm
(5.21)
mation galil´eenne. L’origine demeure inchang´ee.

L’invariance des lois de la physique par rapport `a une telle transformation
l’hypoth`ese de l’isotropie de l’espace : aucune orientation n’est privil´egi´ee da

1, alors on a chang´e l’orientation du r´ef´erentiel, e.g. de rep`ere
Une transformation galiléenne peut être une rotation ou changement d’orientation sans
indirect.
) d’origine.
changement
Isotropie de l’espace aucune direction n’est privilégiée.

Référentiels galiléens: invariance des lois physiques

Une changement d’origine des temps : t’=t+t0
Aucune origine temporelle n’est priviligiée.

d’inertie absolu, c’est-`
a-dire en immobilit´e “absolue”.

mps = t t0 , aucune origine temporelle n’est privil´egi´ee.
Référentiels galiléens: invariance des lois
lation uniforme (transformation pure de Galil´ee englobant
t0

!0
~ t,
OO = ~q0 + V
~t
r~0 = ~r|K 0 = ~r|K V

~ , Rop ,
Les combinaisons arbitraires des quatre op´erations ci-dessus, param´etr´ees par ~q0 , V
forment un groupe de transformations de l’espace-temps `
a dix param`etres (3 coordonn´ees p
~ , 3 angles pour Rop , un temps t0 : le groupe de Galil´ee.
~q0 , 3 coordonn´ees pour V

physiques

(5.22)
~q0 ,

(5.23)

nstant : c’est le vecteur vitesse de translation du rep`ere K 0

ansformation, c’est saisir le fait qu’il n’y a pas de r´ef´erentiel
bilit´e “absolue”.

~, R , t ,
quatre op´erations ci-dessus, param´etr´ees par ~q , V
s de l’espace-temps `a dix param`
tres (3
eess’´enonce
pour
Et leeprincipe
de lacoordonn´
relativit´e galil´eenne
: les lois de la Physique sont invarian
par rapport aux op´erations du groupe de Galil´ee.
our Rop , un temps t0 : le groupe
de Galil´ee.
Un corollaire essentiel de ce principe est que le temps et l’espace sont “absolus” : interva
Figure 5.8 – Mouvement de translation uniforme du r´ef´erentiel comme transformation
0
opees. 0
lil´eenne. Les directions d’axe demeurent
inchang´

Une mouvement uniforme de translation
c-à-d à vitesse constante.
de temps et d’espace ne sont pas modifi´es par

une transformation quelconque du groupe

Galil´ee.

Il n’y a pas de référentiel inertiel absolu,
il n’existe
de
référentiel
en immobilité
Les rep`
eres d´ecr´et´epas
s galil´
eens
par les physiciens
ne le sont jamais absolument. Associ´es `
a
certain corps rigide dans l’espace (murs du laboratoire, rep`ere g´eocentrique : centre de la te
absolue

et directions fixes par rapport aux ´etoiles, rep`ere heliocentrique : centre de masse de syst`e
solaire et directions fixes par rapport aux ´etoiles lointaines, etc . . .), ils ne repr´esentent que

(5.23)
Principe
de relativité galiléenne:
0
ef´erentiel
epas
Kloisde
les
de lar´
physique
sont invariantes par rapport aux
0
opérations
du
ep`ere K groupe des transformations galiléennes

de r´ef´erentiel

Les combinaisons arbitraires des quatre transformations présentées forment un
groupe de transformation de l’espace-temps qui sont paramétrées par:

~
3V
coordonnées
pour
latposition
r
~
q
,
,
R
,
,
0
op
0
´ef´erentiel
ntiel
oordonn´
e
es
pour
~
coordonnées
pour,la vitesse
, V , 3R
,
t
op 0
e.
, Rop , 3tangles
0 , pour la rotation

onn´ees pour

,ees
t0pour
,

le temps, grandeur universelle

Un groupe est un ensemble muni d'une
loi de composition interne suivant trois
conditions : la loi est associative, admet
un élément neutre et chaque élément
est symétrique.
Exemple: le groupe des entiers muni de
la loi d’addition, associative, élément
neutre 0 et il existe un symétrique tel
que a+b=0=b+a (noté -a).


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