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LES LOIS FONDAMENTALES
DE LA PHYSIQUE
I. NEWTON
1687
Les forces

ntit´e de mouvement totale et le centre de masse

La quantit´
e de mouvement totale
le centre de
Conservation
de laetquantité
demasse
mouvement

sse
quantit´e de mouvement totale et le centre de masse

Poureun
un
système
N
matériels:
syst`
me
deeme
Nde
mat´
eriels
{A1 ,1·,··· ·, A
· ,i ,A
· ·}A
} de respective
masse respective
Pour
syst`
depoints
Npoints
points
mat´
eriels {A
· ·i·,A· N
deNmasse
{m1 , · · ·, mi{,

peut
´ecrire
des
´equations
de1 , Newton
explicitant
la force
suri , cha
ur
un l’ensemble
syst`
emel’ensemble
de N des
points
mat´
eriels {A
·Newton
· · , Ai , · en
··A
de masse
respective
{mtotale
· · ·, m
· to
··
rire
´equations
de
en
laexterne
force
N }explicitant
1 ,externe
}t les
demasse
masse
respective
{m
de
respective:
1 , · ·A·,i :mi , · · ·, mN }
forces
internes
entre
les
points
ut ´ecrire l’ensemble des ´equations de Newton en explicitant la force externe totale sur chaque

ces internes entre les points Ai :
force externe
totaleAisur
chaque point
stant
forceslainternes
entre les points
:

On peut écrire les équations de Newton en explicitant les forces externe et
!
!
!
!
internes sur chaque point: d !
p1 = F ext/1 + F 2/1 + F 3/1 + · · · + F N/1

dt
dd !
! !
!
!!
! !!
!
pp1d1=!
F ext/1
+ F+
+ 2/1
F 3/1!
+F
· · ·3/1
+ F+N/1
=
F
+
·
·
·
+
F
!ext/1
!F
!
2/1
N/1
p
=
F
+
F
+
F
+
·
·
·
+
F
dt
2
ext/2
1/2
3/2
N/2
dt dt
d! !
!
!
!
!
d
p
=
F
+
F
+
F
+
·
·
·
+
F N/2
!
!
···
2 ··· =
ext/2
1/2! 3/2 !
!
· · + F N/1
dt p2 = F ext/2 + F 1/2 + F 3/2 + · · · + F N/2
!
!
!
dt· · d· =p!· ·=· !
F
+
F
+
F
+
·
·
·
+
F N 1/N
N
ext/N
1/N
2/N
!
dt
·
· · =!· · ·
d
!
!
!
· · + F N/2
!
pN = F ext/N + F 1/N + F 2/N + · · · + F N 1/N
dt
boliquement r´esum´e en
d:
!
!
!
!

quement r´esum´e en :

dt

p!
N = F ext/N + F 1/N + F 2/N + · · · + F N

1/N

j=N
X !
d!
!
!résume en notation:
pi = F ext/i +j=N
F j/i
Que l’on
+
·
·
·
+
F
Ne 1/N
X
d !dt !
ment r´esum´
en :
j=1, j6!
=i
pi = F ext/i +
F j/i
dt
j=1, j6=i
Si nous sommons toutes ces ´equations dynamiques,
nous obtenons
l’affirmation : la d´eriv´ee pa
j=N
X
P

j=N
Conservation
de
la
quantité
de
mouvement
X
d
!
!

dt

!
pi = F ext/i +

F j/i

j=1, j6=i

Si nous sommons
ces équations
dynamiques, nous
la dérivée
par rapport
sommons
toutes toutes
ces ´equations
dynamiques,
nousobtenons:
obtenons
l’affirmation
: la d´eriv´ee p
au temps de la quantité de mouvement totale
à la somme des forces externes, la
P !
! est égale
e la
quantit´
deNewton
mouvement
totale
(= les forces
pi ) est
´egales’équilibrent
a` la somme
des forces ex
troisième
loie de
nous garantit
que P
toutes
internes
:
i

de Newton nous garantit que toutes les forces internes s’´equilibrent ) :

N
N
N X
N
X
X
X
X
d ! def d
!
!
!
def !
!
P =
pi =
F ext/i +
F j/i =
F ext/i = F T ot.Ext
dt
dt i=1
i=1
i=1
i=1
j6=i

Sommer les équations des N corps élimine les forces internes mais aussi remplace
les N équations du mouvement par une seule.
On perd donc le détail du comportement individuel de chaque point.

Th´
eor`
emes/ im

Sommer
les ´equations des
Nlacorps
´eliminedelesmouvement
forces internes mais aussi re
Conservation
de
quantité
mouvement par une seule. On perd donc le d´etail du com
uations
des Npar
corps
´elimine
forces
mais
aussi remplace
les N d
mouvement
une seule.
Onles
perd
doncinternes
le d´etail du
comportement
individuel
!
!
La
totale:
eesune
mouvement
totale
, du
qui
apparaˆ
ıt individuel
dans
l’´les
edequation
p
seule.
perd
donc
d´eP
tail
chaque
point
dequantité
mouvement
totale
Pforces
,lequi
apparaˆ
ıtcomportement
dans
l’´equation
pr´ec´edente,
nous
N
corpsdeOn
´emouvement
limine
les
internes
mais
aussi
remplace
N ´epermet
quation
!
! internes mais!
mer
les
´
e
quations
des
N
corps
´
e
limine
les
forces
aussi
remplace
les
N ´la
equatio
totale
P
,
qui
apparaˆ
ıt
dans
l’´
e
quation
pr´
e

e
dente,
nous
permet
de

e
finir
p
centre
de
masse
G,
dont
la
position
OG
va
ˆ
e
tre

e
termin´
e
e
pour
assurer
prop
. On
perd
donc
le d´euntail
dufictif
comportement
individuel
de chaque point. Laun
qua
Nous
permet
de
définir
point
:
le
centre
de
masse
G
entre
deunemasse
G,
dont
laduposition
vadeˆechaque
tre d´
etermi
vement par
seule. On perd
le d´etail
comportementOG
individuel
point.
La qu
! donc
equi
G, apparaˆ
dont laıtposition
va ˆetre

edente,
termin´
ee pour
assurer
la
propri´
et´epoint
suivante
dans
l’´eOG
quation
pr´
e

e
nous
permet
de

e
finir
un
ficti
!
N
N
N
mouvement
totale va
P , qui apparaˆıt dans
quation
ec´edente,
nousX
permet
de d´efinir un point fict
dont la position
pourl’´eassurer
la pr´
propriété
suivante
:
X
X
d !
d
! être déterminée
! def
! !
!
!
a de
position
va
ˆeposition
tre d´
assurer
propri´
epropri´
t´ei OA
suivante
m
= M: : OG =
Petermin´
= va ˆeetre
pei pour
=
m
vi =la
i suivante
i pour
re
masse G,OG
dont
la
OG

e
termin´
e
e
assurer
la
e

e
N
N
N
N
N
N
dt
dt
X
X
X
X
X
X
d
d
i=1
i=1
! def i=1
!
!d
!
!
!
!
m
OG!
= M VG
P =
pi N
=
mNi vi =
i OAi = M
!
N
X pi !
X
XX
N =
N
N!
dt
P
=
m
d dt
d
! i vi! =
def
X
X
!
!
d
d
i=1
i=1
i=1
!
mi´
OA
M :OG !
= M VG
Pmasse
= !totale
pi = desmN
= ! def
i =donc
i vi points.
!
o`
u
M
est
la
On
e
crira
dt
dt i = M
dt M VG
mi OA
OG =
=
pi =
mi vi =

i=1
i=1
i=1
dt
i=1
i=1
i=1
sse totale des N points. On ´ecrira donc
N:

i=

dt i=1

i=1

N
X:
X
M est la masse totale des N points. On ´ecrira donc
1
!
!
M=
mi
et
OG =
mi OAi
où M
la masse On
totale´
N points.
des
Nestpoints.
edes
crira
donc
:
M
N
N
N
N
X
X
i=1
i=1
X
11 X
!
!
!!
OG =
=
mm
M = M =mi mi et et OG
OA
i OA
i
i
i
M
M i=1
N
N
i=1

u
` M est la masse totale des N points. On ´ecrira donc
i=1
ou encore,X
si ⇢ est lai=1
masse par
volume :!
!unit´e1 deX

Position
dei masse:et
M du
= centrem
OG =
ncore, si ⇢ est la
masse par unit´e de volumeZ: M
Z Zi=1
i=1

est la masse par unit´e de volume :
Z Z ZM =
ZMZ= Z:
⇢ dV ;
se par unit´e de volume
M=
⇢ dV ;

mi OAi N

⇢M
dV Z=
;Z

X

Z Z Z

1
!
m
Z OG = i
1
!
Z Zi=1
Z⇢ !
OG =
x dVM
M
1
!
OG =
⇢!
x dV

et ⇢ !
O
x dV

M

! !
M VG = F T ot.Ext

Conservation de la quantité de mouvement
dt

centre de masse des N corps (le point G) ob´eit donc a
` la deuxi`eme loi de Newton avec c

ur
la
quantit´
e
de
mouvement
totale
peut
donc
s’exp
triceL’équation
la somme
des
forces
externes
agissant
sur
chaque
point.
Si
cette
force
externe
est la gra
de Newton pour la quantité de mouvement totale peut

donc s’exprimer
la forme
: du corps. Lors d’un tir balistique, par exemple, le cent
e externe
totale estaussi
alorssous
le poids
total

d´ecrire une trajectoire parabolique mˆeme si l’objet lanc´e se d´esint´egre en vol sous l’e↵et d’un

d
! !
M VG = F T ot.Ext
dt

rne.

Le centre de masse
N corpse(le
G) obéit donc à la deuxième loi de Newton avec
La conservation
de ladesquantit´
depoint
mouvement

rps (le point G) ob´eit donc a` la deuxi`eme loi de N
comme force motrice la somme des forces externes agissant sur chaque point.

Si cette force
externe est lasur
gravitation,
la force externe
totale est alorscette
le poids total
du
xternes
agissant
chaque
point.
force
ext
Si la force externe
totale est nulle, alors
on obtient
le th´eor`emeSi
dit de la conservation
de
la
corps.

uvement totale. L’´equation g´en´erale

nous assure en e↵et l’invariance de la quantit´e de

poids
total
du
corps.
Lors
d’un
tir
balistique,
par
ex
ale, invariance qui s’exprime aussi en disant que le centre de masse G reste dans l’´etat de
(6-7)

Lors d’un tir balistique, par exemple, le centre de masse va d’écrire une trajectoire parabolique
l occupait
même: si l’objet lancé se désintègre en vol sous l’effet d’un mécanisme interne.

bolique mˆeme si l’objet lanc´e se d´esint´egre en vol so
d!
P =0
dt

!

X

!
pi (t1 ) =

X

!
pj (t2 ) 8 t1 & 8t2

Illustrons ce th´eor`eme par quelques exemples simples.

!
!
VG (t2 ) = VG (t1 )

Les forces phénoménologiques: le frottement

mg

Fdoigt/objet

Fsol/objet

vx = constante
m az = 0
vx
Fsol/objet = m g
mg
m ax = 0
Fsol/objet = Fdoigt/objet

Fsol/objet

Fsol/objet
une perpendiculaire
une parallèle

ma=0
donc Fsol/objet = m g

frottement

frottement : Fsol/objet
parallèle
opposée à la vitesse

frottement statique explique que l’objet
“décolle” qu’à partir d’un certain moment

mg

cosΘ

test du plan incliné
z

mg

x
mg
Θ

sinΘ

mg

Θ

20° ➜ 0.36
25° ➜ 0.47
30° ➜ 0.58
35° ➜ 0.70

http://www.canal-u.tv/canalu/producteurs/science_en_cours/dossier_programmes/physique_a_main_levee/mecanique_des_solides/
coefficients_de_frottement_statique_de_differents_materiaux

mg

cosΘ

le mouvement sur le plan incliné sans
frottement
z

x
ɵ mg

mg
sinΘ

mg

ɵ

le mouvement sur le plan incliné sans
frottement

L
h

mg

cosΘ

le mouvement sur le plan incliné avec
frottement dynamique
z

x
ɵ mg

mg
sinΘ

mg

ɵ

Forces de frottement aérodynamique
Une force de frottement aérodynamique apparaît quand un
corps solide se déplace dans un fluide (liquide ou gaz).
On voit apparaître alors une force fonction du module de la
vitesse de l’objet.
On distingue deux types de résistance : celle causée par la
viscosité du milieu et celle associée à la turbulence de
l’écoulement derrière l’objet en mouvement.

viscosit´e du fluide est proportionne
Forces de frottement aérodynamique

R, cette force est donn´ee par

La force de frottement liée à la viscosité du fluide est
proportionnelle à la vitesse v de l’objet. Dans le cas d’un objet
sphérique de rayon R, cette force est donnée par:

Fvis = 6⇡R⌘ v
où η est appelé coefficient de viscosité qui dépend du fluide, ainsi
que de la température et de la pression.

it´ePourqui

e
pend
du
fluide,
ainsi
que
d
un objet non sphérique, la force de résistance est plus
complexe: elle n’est pas exactement opposée à la vitesse, elle peut
causer sur l’objet des mouvements de rotation et le facteur 6πR
est remplacé par un coefficient approprié.

rce de r´esistance est plus complexe

jet des mouvements de rotation et l

oulement du
fluide
autour
de
l’objet
entre
dans
un
Forces de frottement aérodynamique

ntre
autres,
par
l’apparition
de
tourbillons
dans
le
s
Si la vitesse de l’objet dépasse une certaine limite (qui dépend de la forme de l’objet et du
milieu dans lequel il se déplace), l’écoulement du fluide autour de l’objet entre dans un
régime complexe appelé : turbulent qui est caractérisé, entre autres, par l’apparition de
tourbillons dans le sillage de l’objet.

n´ee, qui apparaˆıt alors est g´en´eralement proportionn
La forceforce
de résistance,
dite force
deforme
traînée, qui:apparaît alors est généralement
cette
sous
la
proportionnelle au carré de la vitesse de l’objet. On exprime parfois cette force sous la
forme :

1
2
Ftr = ⇢SCx v
2

où ρ est la masse volumique du gaz, S une surface caractéristique de l’objet (la section maximale
que peut avoir l’objet dans son contact avec le gaz) et v sa vitesse, de telle sorte que soit défini un
coefficient sans dimension physique Cx, mesurant le pouvoir pénétrant de l’objet.

nc en g´en´eral des termes en v et en v , respectiv
Forces de frottement aérodynamique
La force F(v) contient donc en général des termes en v et en
v2, respectivement associés à la viscosité et à la traînée :

F (v) = Av + Bv

2

Par exemple, pour un objet sphérique se déplaçant dans l’air (dans les conditions normales), on
trouve approximativement en unités S.I. que A = 1.55 10−4 D et B = 0.22 D2 Où D est le diamètre de
la sphère.

ph´erique se d´epla¸cant dans l’air (dans les cond

SI que A = 1.55 10

4

D et B = 0.22 D o`
uD
2

Pour des objets lents, le terme linéaire est plus important, alors que le terme quadratique domine
pour des objets rapides. Pour un fluide visqueux (surtout des liquides) le terme linéaire est
généralement le plus important.

lin´eaire est plus important, alors que le terme q

e visqueux (surtout des liquides) le terme lin´ea

Forces de frottement aérodynamique

. Pour un fluide visqueux (surtout des liquides) le terme lin´eaire est g´en´eralement le plus

Forces de frottement aérodynamique

s e↵ets de frottement a´erodynamique en lˆ
achant a` vitesse initiale nulle (v 0 = 0

e↵ets de frottement a´erodynamique en lˆachant a` vitesse initiale nulle (v 0 = 0) un corps de
Effets de frottement aérodynamique en lâchant à vitesse initiale nulle (v0 = 0) un corps de
umis
d’une
part
a` poids,
son poids,
d’autre
part
au frottement
visqueux.
L’´
equation d
mis d’une
part
a
`
son
d’autre
part
au
frottement
visqueux.
L’´
e
quation
du
mouvement
masse m soumis d’une part à son poids, d’autre part au frottement visqueux. L’équation du
mouvement
peut
résoudre
e´esoudre
r´esoudre
trop
desedifficult´
e: :
sanssans
trop
de alors
difficult´
e:
dv dv
v
m m = mg
=
mg
dt dt

dv
m> m =dv
dt
>= dt
m
mg
vmg
v

>
v

Z v
0

nt´
egrale
donne lanous
vitesse
v(t)la a`vitesse
tout instant
: instant :
La
valeurnous
de l’intégrale
donne
v(t) à tout

Z v
dv
dv
=
t
>mg m v
=t
mg
v
0

l’int´egrale nous donne la vitesse v(t) a` tout instant :
m

[ln (mg

m

ln
mg



ln (mg)] = t

v)

[ln (mg

mg
v
mg✓



v)
=

ln (mg)] = t

t

m
v

mg
ln
=
t
v = mg e m t
> mg
v = mg mgme m t

d donc la forme finale
mg:

v = mg e

end donc la forme finalev(t)
: =

mg ⇣

mt

1

>
e

m

t



v = mg

mg e

mt

v = mg e

g

finale :

v = mg

>

mg e

Forces de frottement aérodynamique

La vitesse prend donc la forme finale :

e

m



t v(t) =


mg

1

e

m

t



Après
un
certain
temps
l’objet
atteint
une
vitesse
limite:
la vitesse atteint une vitesse limite v
1

= mg/

caract´eristique ⌧ = m/ .
esse limite v1 = mg/ de chute ap
´egrant la vitesse par rapport au temps. En se rapp

s

après
un
temps
grand
par
rapport
à
un
temps
et en consid´erant un corps lˆ
ach´e d’une
caractéristique τ = m/λ

hauteur H

.

Z t En⇣ se rappelant
rt au temps.
que
ce

mg
t
x=H

1

e

m

dt

nc la forme finale :

mg

t
vForces
= mg edemfrottement
>
v
=
mg
mg
e


aérodynamique
mg

v(t) =

1

e

m

mt

t

La position s’obtient en intégrant la vitesse par rapport au temps. En se rappelant que cette
vitessefinale
est dirigée
orme
: verticalement vers le bas et en considérant un corps lâché d’une hauteur H ,
on obtient :

conclure que la vitesse atteint une vitesse limite v1 = mg/


a` un temps caract´eristique ⌧ mg
= m/ .
v(t) =
1

e

m

t



de chute apr`es

obtient en int´egrant la vitesse par rapport au temps. En se rappelant que cette

nt vers le bas et en consid´erant un corps lˆ
ach´e d’une hauteur H, on obtient :

re que la vitesse atteint une vitesse limite v1 = mg/
Z

de chu


mg ⇣
emps caract´eristique
x = H ⌧ = m/ 1. e m t dt
O


⌘⌘
mg
m
en int´egrant la vitesse
par
rapport
au
t temps. En se rappelant q
m
=H
t+
e
1

2 ⇣ lˆ
s le bas et en consid´erant
corps
ach´e d’une
hauteur H, on ob
mg un m
g
=H
t+ 2 1 e m t

x=H

=H

Z

t


mg
1 e
O


mg
m
t+
e
t

m

t

m

t



dt
⌘⌘
1

Forces/ Le

x=H

1

e

t

dt


O
mg


⌘⌘
t
m
Forces
de
frottement
aérodynamique
mg
v(t) = m
1m t e
=H
t+
e
1

2 ⇣
mg
m g
m t
=
H
t
+
1
e
que la vitesse atteint 2une vitesse limite v1 = mg/
m

de chute

mps caract´eristique ⌧ = m/ .

Forces/ Le freinag
tc Le
esttemps
donc
modifi´
e par
a` une àchute
libre
etestest
d´etermin´e appro
de chute,
tc est
donc rapport
modifié par rapport
une chute
libre et
déterminé
approximativement (si on peut négliger l’exponentielle dans la formule, c’est-à-dire si le temps
xponentielle
dans la formule, c’est-`a-dire si le temps de chute est grand
de chute est grand par rapport au temps caractéristique) par :

n int´egrant la vitesse par rapport au temps. En se rappelant que

e bas et en consid´erant un corps lˆ
ach´e d’une hauteur H, on obti

ue) par :

Z



H + mg
H
mt H
v1
2
= 1 e+ m = dt +
x = tH
c ⇡
mg
mg
v1
g
O


⌘⌘
mg
m
t une correction qui tient c
tement proportionnel
a
`
la
hauteur
H
avec
m
=H
t+
e
1
pourIl devient
atteindre
sa
vitesse
limite.


2la hauteur
ici directementmg
proportionnel
à
H
avec
une
correction qui tient
m
g
tlimite.
compte
du
temps
nécessaire
au
corps
pour
atteindre
sa
vitesse
m
= H proportionnelle
t + 2 au 1carr´e de la vitesse est rapidement
force de freinage

proximation :

t m2 g

LA STATIQUE: L’ÉQUILIBRE

première situation simple
z
Θ2 = 50°

Θ1 = 40°
x
F3 = 15 N

situation plus compliquée:
les forces n’agissent pas au même point!
F2 = 15 N

F1 = 15 N
cette situation n’est pas en équilibre
➙ ➙
pourtant F1 + F2 =0

Une nouvelle notion est nécessaire :
le moment de force

il faut une force F
son point d’application A




F
A

P

on définit le moment d’une force par rapport à un autre
point P


par le “produit vectoriel” du vecteur PA et du vecteur F
➙ ➙

MF/P = PA ∧ F

➙ ➙

MF/P = PA ∧ F

F


MF/P est un vecteur
➙ est perpendiculaire
MF/P
au plan PA et F
P



dirigé dans le sens du “tire bouchon”

A

équilibre si :
ne bouge pas
ne tourne pas

F2 = ?


A
2


MF2/P

MF3/P

➙ ➙
PA2 ∧ F2
➙ ➙
PA3 ∧ F3


P A

F3 = ?

3

F1 = 15 N

F2+F3=F1=15
Choisissons un
point P

MF1/P = 0
PA2 F2 = PA3 F3

PA2 F2 = PA3 F3

F2

C’est le principe des “leviers”

F3
50 F2 = 150 F3
50cm
150cm
F2 = 3 F 3
F3= 125 N
F2 + F3 =500 N F2= 375 N
500 N
4 F3 =500 N


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