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Me6.0a .pdf



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CONSERVATION DE L’ENERGIE
Suite....

dt Energie cinétique
d
dt

ma·v = f ·v

1/2mv2

!!
= f·v

!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
a=· vf =
v
t ma = f m
d’un
am
· vpoint
· de
v f ·masse
!!
d
!
!
d
!
appel´
e
´
e
nergie
cin´
e
tique
E
,
le
produit
scalaire
f
·
v
la
puissance
P
2
!
2
alaire par la1 vitesse
v
sur
chaque
!
1
Grâce au
produit scalaire

/
=
f
·
v
/
mv
=
f
·
v
2mv
2
ation scalaire obtenue dt
en partant d’´equations vectorielles :
dt
c

nous

!!
in´
Eegr´cee,pourleobtenir
produit
fe·tique
vpeutla
Pth´eor`de
lal’´scal
forc
´equation
ˆetre puissance
int´
le
eme de
energie

ciales. L’´energie cin´etique ne renseigne que sur le module de la vi

Energie cinétique

Puissance

s
vectorielles
:
nous
avons
don
obtenue en partant
equat
Z
Zd’´
! !

!
eergie
cin´
e2cin´
tique
, 1le
scalaire
f·v
1/2mv
1/2E
, le produit
scalaire
P(t) dt
(t2 ) etique
mvc2 (t
)E
=cproduit
t2

!!
f · v (t) dt =

t2

!
ur
le
module
de
la
vitesse
et
no
!
!
d’´equations
vect
ee· vobtenue
cin´
eftique
renseigne
qu
alaire
enne
partant
d’´equations
=obtenue
· en
v partant
t1

Théorème de l’énergie cinétique

t1

!
ition du vecteur vitesse v comme la
mme
la

e
riv´
e
e
du
vecteur
posit
!
infinit´
e
simal
d
x
sur
le
temps
infinit´
e
sim
me plus!
g´eom´etrique o`
u n’apparaˆıt plus le temps :

du vecteur vitesse !
v comme la d´eriv´ee du vecteur position, ou com
Energie
cinétique
t´esimal d!
x sur le temps infinit´esimal dt, nous autorise de r´e-´ecrire l’int´e

se v comme la d´eriv´ee du vecte

finit´
esimal
nous
autorise
de r´
e
ne
forme
plus dt,
g´eom´
etrique
o`
u n’apparaˆ
ıt

Z
Z esimal dt,
Z
e temps
infinit´
nous
autor
!!
! !
P(t) dt =
f · v (t) dt =
f ·d x = T

apparaˆıt plus le temps :
t2

t2

t2

que o`
u n’apparaˆıt plusTravail
le effectué
temps
par:la
t1

t1

t1

Z

Z
force
totale
sur
la
t2
t2
!
T e↵ectu´e par la force totale
f sur la trajectoire
trajectoire
x(t)! !

st appel´ee le travail
t´esimal d!
x est par d´efinition tangent a
` la trajectoire, le produit scalaire
!
t
t
1
f Puisque
que lale déplacement
partie parall`
ele audx d´
eplacement.
La àquantit´
e de
travail infinit
infinitésimal
est
par définition tangent
la trajectoire,
le 1
produit

P(t) dt =
f·v
Z
t2
t
2
Z
Z
omm´ee !
en suivant
la t
trajectoire depuis l’instant!
t jusqu’`
a l’instant
t
.
t2
2
!
!
!=!
v (t) dt
f ·d x =!T
int´egralefde·chemin.
(t) dt =
f · v (t)
dt
=
f
·
t
scalaire ne retient donc de la force totale f que la partie parallèle au déplacement. La quantité
infinitésimale de travail dT ainsi obtenue est alors sommée en suivant la1 trajectoire depuis
l’instant t1 jusqu’à l’instant t2. On appelle aussi cette intégrale une intégrale de chemin.

2

1
1 gravitationnelle locale agi
processus
sur un cas simple o`
u seule la force

Energie cinétique
Exemple chute des corps dans un champ
gravitationnel

ue terme ´etape par ´etape :
Exprimons chaque terme ´etape par ´etape :

!
la force f = m!
g = {0 ; m g}
!
!
la force
f
=
m
g = {0 ; m g}
!

la vitesse

v =
{x˙ ; y}
˙
!

la vitesse

v = {x˙ ; y}
˙

le d´eplacement
esimale
d!
x d!
=
dy}
le d´einfinit´
placement
infinit´esimale
x ={dx
{dx ;; dy}
!!
la puissance !
P !
m g y˙
la puissance P f · !
vf · v== m
g y˙
!
le travail infinit´esimal dT f ·!
v dt = f ·d!
x = m g dy
!!
! !
le travail infinit´esimal dT f · v dt = f ·d x = m g dy

´ecrivons le th´eor`eme de l’´energie cin´etique :

me de l’´energie cin´etique :

Z

t2

Z

t2

la force

f = m g = {0 ; m g}

!
le

e
placement
infinit´
e
simale
d
x = {dx ; dy}
!
la vitesse !
v = {x˙ ; y}
˙
orce f = m!
g = {0 ; m g}Energie cinétique
!!
la puissance P f ·!v = m g y˙
!
esse v = {x˙ ; y}
˙
Exempledchute
corps
dans un champ
le d´eplacement infinit´esimale
x =des{dx
; dy}
!!
! !
gravitationnel
!
le travail infinit´
e
simal
d
T
f
·
v
dt
=
f
·d
x
=
m
!
male d!
x = {dx ; dy}
la puissance P f · v = m g y˙

!!
e P f · v = m g y˙ le travail infinit´esimal dT
s le th´
eor`
eme de
e!nergie cin´etique :
!
!l’´
!
dT f · v dt = f ·d x = m g dy

crivons le th´eor`eme de l’´energie cin´
Z etique :
Exprimons chaque
2 terme ´etape par ´etape :2

(t2 )

1/2mv

Z

t2 1/2mv

1/2mv

2

(t1 ) =

la force

(t2 )

1/

t2

mv (t ) =

!
2
la vitesse
v =1{x˙ ; y}
˙

donc
2

( m g) dy =

mgy

m g y(

t1

P !
f ·!
v = m g y˙

(t2 )le travail1/infinit´
(t )! =
mx g= y(t
!
2mv
2 ) + m g y(t1 )
esimal dT1 f ·!
v dt = f ·d!
m g dy

1/2mv

2)

la puissance
2

mg

t2

! ! t1
f ·d x =

!
x donc
=
( m
dy =infinit´em
g y(t
+; dy}
m tg1 y(t1 )
le d´eg)
placement
simale
d!
x2
=){dx
t1

Z

! !
Z t2f ·d x = Z t(2 m g) dy =

!
f = m!
g =
t1{0 ; m g}

2

!!
! !
f · v dt = f ·d x =

1/2mv2 (t2 )

1/2mv2 (t1 )

+ m g y(t1 )

´ecrivons le th´eor`eme de l’´energie cin´etique :

=

m g y(t2 ) + m g y(t1 )

Z
arquable de constater
que Z jamais nous avons eu besoin de connaˆıtre l
! !
t2

t2

1

1

1/2mv (t )
1/2mv (t ) =
f ·d que
x = jamais
( m g)
dy = avons
m g y(teu
m g y(t1 )de connaître la trajectoire
2
2 ) +besoin
Il
est
remarquable
de1constater
constater
nous
t remarquable de
que
jamais
nous
avons eu besoin de connaˆıtre la
t
t
avons
besoin
de
qui
` donc
permis
de ind´
qui
permis
de
à y(tla
Le
résultatplus
déduit
esta
indépendant
de laependant de
y(t
a`donc
y(t
Leconnaˆ
r´ey(t
sultat

etrajectoire
duit
haut
est
donc
1)ıtre
2).
1 )à eu
2de).passer
2 )Il a
2 ). d’une
er trajectoire.
de y(t

e2)sultat
d´eduit
plus haut est donc ind´ependant de l
peut
s’agir
chute
tir parabolique.
1/2mv1
1/y(t
21 ) = Le
(t2 ) `
m g y(t
+ m ou
g y(td’un
2mv (t
1)
haut
estIldonc
ind´
ependant
de chute
la trajectoire
passer
y(t2 ).
peut
s’agir
de la
ou duqui
tir fait
parabolique.
2

2

(t ) a` y(t ). Il peut s’agir de la chute ou du tir parabolique.

Energie cinétique
Exemple chute des corps dans un champ
gravitationnel

Exprimons chaque terme ´etape par ´etape :
!
Cet exemple pose la question laévidente
force f =de
m!
gl’intérêt
= {0 ; m du
g} théorème de l’énergie cinétique. En effet,
pour pouvoir faire le calcul ladu
travail
il faut
connaître la trajectoire. Mais pour connaître la
vitesse !
v = {x˙ ; y}
˙
trajectoire, il faut résoudre les équations! du mouvement ce qui réduit l’utilité du théorème.
le d´eplacement infinit´esimale d x = {dx ; dy}
!
la puissance P f ·!
v = m g y˙
!
!
le travail infinit´esimal dT f ·!
v dt = f ·d!
x =

m g dy
Donc ce théorème présente un intérêt maximal
si l’on peut montrer
que le travail peut se calculer sans connaissance de la
´ecrivons le th´eor`eme de l’´energie cin´etique :
trajectoire et l’exemple de la gravitation montre que cela est
Z t
Z t
possible.
!
1/ mv2 (t )
1/ mv2 (t ) =
f ·d!
x =
( m g) dy = m g y(t ) + m g y(t )
2

2

2

2

2

1

2

t1

t1

donc

1/2mv2 (t2 )

1/2mv2 (t1 )

=

m g y(t2 ) + m g y(t1 )

1

emple pose la question ´evidente de l’int´erˆet du th´eor`eme de l’´energie cin´etique. En

Donc ce th´eor`eme pr´esente un int´erˆet maximal si l’on

e le calcul du travail

T il faut Energie
connaˆıtre lacinétique
trajectoire. Mais pour connaˆıtre la trajecto

connaissance
decelaquitrajectoire
ete l’exemple
´equations
du mouvement
enl`eve son utilit´
au th´eor`eme. de

la gravitatio
!
e th´
eque
or`
emedémontrer
pr´esente
uns’ilint´
erˆet une
maximal
peuty,
montrer
que leque
travail
peut se f
ca
On
peut
que
existe
fonctionsi l’on
s’il
existe
une
fonction
U (x,
z) telle
la Tforce

e de la trajectoire et l’exemple de la gravitation montre que cela est possible. On peut
!
la forceUen(x,
dérive
l’expression:
te telle
une que
fonction
y, z)par
telle
que la force f en d´erive par l’expression :
!
f =

!
f @U
=

@U @U @U
{
,
,
}=
@x @y @z

@x

!
1x

@U @U @U
@U !
{ @U , @U,
}=
1x
!
def
!@z
@x!
@y
@x
1y
1z = rU (x, y,
z)
@y

@z

successivement :
!!
P= f·v =
=
=

Pdt = dT =





@
@

Th´
eor`
emes/ ´
energie cin´
etique - po

@U ! @U ! @U !
!
!
!
1x +
1y +
1z • x˙ 1x + y˙ 1y + z˙ 1z
@x
@y
@z
@U dx @U dy @U dz
@x dt
@y dt
@z dt
d
U (x, y, z)
dt
d U (x, y, z)

respond a` ce que l’on d´esirait. Le th´eor`eme de l’´energie cin´etique devient alors :

i peuvent s’´ecrire sous cette forme sont dites forces conservatives et la fonction U (x
!
!
Energie
cinétique
et
potentielle
potentielle correspondante a` la force f . L’op´erateur r qui permet a` partir d’une fon
!
(onOn
pr´
e

e
rera
dire
d’un
champ
scalaire)
de
passer
a
`
une
force
f
est
appell´
e
gradient
peut alors réécrire le théorème sous la forme d’une conservation:

(6-45)

peut encore s’´ecrire sous la forme d’une conservation :
1/2mv2 (t2 )

+ U (x2 , y2 , z2 ) =

1/2mv2 (t1 )

def

+ U (x1 , y1 , z1 ) = E

qui nous indique l’invariance au cours du temps de la somme de l’énergie cinétique
’invariance
au cours du temps de la somme de l’´energie cin´etique et de l’´energie poten
et de l’énergie potentielle. E est définie comme l’énergie totale du système.

appel´ee ´energie totale du syst`eme.

entales de la physique sont conservatives ;

c d’un potentiel
LesU .forces

fondamentales de la physique sont
conservatrices
; elles dérivent d’un potentiel U.
n locale, nous
avons :
!
f = m!
g =

!
mg 1z =

!
rU

>

de l’´energie totale s’´ecrit donc :
1/2mv2

+ mgz = E

U (x, y, z) = mgz

ors :

@x dt
@y dt
d
=
U (x, y, z)
dt
d
=
U (x, y, z)
Pdt = dT = d U (x, y, z)
dt
Alors le théorème de l’énergie peut s’écrire sous la forme:
correspond a` ce que l’on d´esirait. Le th´eor`eme de l’´energie cin´etique devient alors :

Energie cinétique et potentielle

@z dt

)e =
U
(x
,
y
,
z
)
+
U
(x
,
y
,
z
)
2
2
2
1
1
1
l’´energie cin´etique devient alors :

y1 , z1 )

1/2mv2 (t

2)

1/2mv2 (t

1)

Pdt = dT = d U (x, y, z)

=

Z

t2

d U (x, y, z) =

U (x2 , y2 , z2 ) + U (x1 , y1 , z1 )

t
e qui correspond a
` ce que
l’on d´esirait. Le th´eor`eme de l’´energie
pend
de lapoint
trajectoire
permis
du
P1, =
{x,
z1)
} au point P2
=
U (xPetqui22ne,a`dépend
y=
, plus
zle2depassage
) la+
Upoint
(x
y
z
1, y
1 ,1
z1z)
}plusau
21
1
1
trajectoire.
1d´e,y,
1Z t 1 1
1

age du point P
z2 }.

1/2mv2 (t

= {x , y , z } au p
2

1/2mv2 (t ) =
)
d etUla(x,
y, z)U=
2 forme sont dites 1forces conservatives
s forces qui peuvent s’´ecrire sous cette
fonction
(x, y,

Les forces qui peuvent s’écrire sous cette forme sont appelées des forces conservatrices.
!
!t1
e l’´
energie
potentielle correspondante a` la force f . L’op´erateur r qui permet a` partir d’une fonctio
Et
la fonction:
!
U (x, y, z) (on pr´ef´erera dire d’un champ scalaire) de passer a` une force f est appell´e gradient.

la fonction
U (x,
y, z) P1 = {x1 , y1 , z1 } au po
passage
du
point
t ne d´epend
plus de la trajectoire qui a
` permis le passage d
expression
peut encore s’´ecrire sous la forme d’une conservation :

ites
forces
conservatives
et
la
fonction
partir
d’une
fonction
x2 , y2 , z2 }.
! s’´ecrire sous cette forme sont dites fo
appell´
gradient.
Les e
forces
qui peuvent
L’op´
e
rateur
r
qui
permet
a
`
partir
d’u
!
nt
dites
forces
conservatives
et
la
fonction
U
appelle l’´energie potentielle correspondante a
` la force f . L’op´er
!
!
!
U (x,ey,rateur
z)
pr´
ef´eforce
rera
d’un
champ
scalaire)d’une
pas
e .passer
a` (on
une
f est
ede gra
fcalaire
L’op´
r
quidire
permet
a
` appell´
partir
(6-45)

est appelée

2
2
1/2mvpotentielle
(t2 ) + U (x
(t1 ) f.+
2mv
énergie
correspondant
la force
2 , y2 , z2 ) = 1/à

def

U (x1 , y1 , z1 ) = E

L’opérateur qui permet à partir d’une fonction scalaire, ou champ scalaire, de passer à
s indique l’invariance au cours du temps de la somme de l’´energie cin´etique et de l’´energie potentiel
une force est appelé gradient.
omme est appel´ee ´energie totale du syst`eme.

ces fondamentales de la physique sont conservatives ;

rivent donc d’un potentiel U .

L’expression

(6-45)

peut encore s’´ecrire sous la forme d’une c

!
!
!
!!
radient
r
Nous
introduit pour
pourlelecalcul
calculdu
dutravail
travaildede
la
force
erateur
r qui
a permi
Nous avons
avons introduit
laF
force
op´eop´
rateur
r qui
nousnous
a permis
de
= unun
rU
!
Nous
avons
introduit
pour
le
calcul
du
travail
de
la
force
un
op´
e
rateur
r qui nous a permis de d´efinir
ergie
potentielle via
eequation
rgie potentielle
via l’´
l’´
quation: :

a l’´equation :

Energie cinétique et potentielle

!potentielle via l’´equation :
rgie

!
t r d’une fonction scalaire!
U a!
´
e

e

e
fini
comme
le
vecteur
(le
champ
!
!
!
F = rU
Interlude mathématique......

F!=

rU rU

F =
!
rU

F =
d´eriv´!
e!es partielles de la fonction
scalaire U :

gradient
r d’une
fonction
scalaire
UUadéfini
´et´
et´ed´
ed´
fini
comme
le de
vecteur
(leconstruit
champ
de prenant
vecteur)
constc
Le gradient
d’une fonction
scalaire
U est
comme
lecomme
champ
vecteur
en
!r
radient
d’une
fonction
scalaire
a
´
e
e
fini
le
vecteur
(le
champ
de
vecteur)
radient r d’une fonction scalaire U a ´et´e d´efini comme le vecteur (le champ de vecteur) construit en
fonction
scalaire
ala´efonction
t´escalaire
d´efini
comme
le vecteur
(le
champ
de vec
les dérivées
partielles
de laUfonction
U. def
@U
@U
@U
!
nant
les

e
riv´
e
es
partielles
de
scalaire
U
:
!
!
!
ant
lesd´

eriv´
partielles
la fonction
U :1 +
ant les
eriv´
eesees
partielles
de lade
fonction
scalaire
U=:
rU scalaire
1y +
1z
x
@U@U
@U
@x
@y
@z
!def @U
def @U
!
!
!
artielles de la fonction
U
:
@U
! scalaire
!
!
!
@U
@U
@U
!
def
!
!
!
rU
=
1
+
1
+
1
y1z
z
rU rU
=
1x@x
+ x11xy+
+
=
1
+
1z
@y@z y @z
@x
@y
@xde la@y
@z
t´e utilis´ee dans le
calcul
du
travail
force
´
e
tait
:
@U
@U
@U
!
def
!
propri´
eutilis´
utilis´
enous
dans
le calcul
du travail
de
la ´eforce
e!
tait :
ropri´
eet´et´
eeedans
le
calcul
du
travail
de suivante:
la!
force
tait : ´
alculer
le
travail
utilisons
la
propriété
=du travail
1xde+la✓force1✓y´etait
+ : ✓1z ◆
ropri´et´e utilis´ee dansrU
le calcul

@x
@y
@z
@U ! @U
@U
@U
!!
@U
@U
@U
! !!
! !
! @U
!!
@U


!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
d
x
·
rU
=
dx
1
+
dy
1
+
dz
1
·
1
+
1
+
1
x
y
z
x
y
z
d
x
·
rU
=
dx
1
+
dy
1
+
dz
1
·
1
+
1
+
1
@U
@U
@U
x
z!
x!
y !
z ! 1y +
! = dx
d xd!
·xrU
dy
1
+
dz
1
·
1
+
1
!1x +y!
@x
@y
@z
y
z
x
@x
@y
@z
· rU = dx1x + dy 1y + dz 1z ·
1x + @x 1y + @y
1z
@z
ans le calcul du travail
de
la
force
´
e
tait
:
@x
@y
@z
@U @U
@U
@U
@U
= dx
+ dy
+@U
dz
=@x
dx @U
+@ydy @U@z
+ @U
dz ✓@U
@U
@U

@x
@y
@z
=
dx
+
dy
+
dz
+ @y
dy
+
dz! @U ! @U !
@U
= dU= dx
!
!
!
!
@x
@z
dU 1y@x
d!
x · rU = dx1x += dy
+ dz 1z @y
·
1x@z+
1y +
1z

e derni`ere ´egalit´e peut aussi ˆetre=lue
x qui laisse U (x, y, z)
dUen disant que si on choisi un d´eplacement d!
!
!=
te
derni`
e
re
´
e
galit´
e
peut
aussi
ˆ
e
tre
lue
en
disant
que
si
on
choisi
un

e
placement
d
x qui
laisse U (
dU
tant, alors le gradient de U : rU est perpendiculaire aux d!
x . Les points o`
u U est constant d´e!
finissent
!
etant,
derni`
ere ´elegalit´
e peutdeaussi
ˆetre est
lueperpendiculaire
en disant que si
ondchoisi
unpoints
d´eplacement
dconstant
x qui laiss
!
alors
gradient
U
:
rU
aux
x
.
Les
o`
u
U
est
d´efi
!
surface et les d´eplacements infinit´esimaux
d
x
sur
cette
surface

e
finissent,
par

e
finition,
le
plan
tangent
!
!
i`
e
re
´
e
galit´
e
peut
aussi
ˆ
e
tre
lue
en
disant
que
si
on
choisi
un

e
placeme
!
!
tant,
alors
le
gradient
de
U
:
rU
est
perpendiculaire
aux
d
x
.
Les
points
o`
u
U
est
constant
surface
et
les

e
placements
infinit´
e
simaux
d
x
sur
cette
surface

e
finissent,
par

e
finition,
plan t
tte surface. Le rU est donc le vecteur normal, c’est-`
a-dire perpendiculaire, a
` la surface d´efinielepar

@x

@y

@z

@U
@U
@U
= dx
+ dy
+ dz
@x
@y
@z
!esimaux d!
!
!
surface
et
les

e
placements
infinit´
x surc’est-`
cettea-dire
surface
d´efinissent,
par
finition,
leeufip
tte
Le rU de
est donc
le
vecteur
normal,
perpendiculaire,
a
` d´
laepoints
surface d´
y, z)surface.
=le
U0gradient
.
lors
U
:
rU
est
perpendiculaire
aux
d
x
.
Les
o`
=!
dU

tte
surface.
, y, z)
= U!
0 . Le rU est donc le vecteur normal,
! c’est-`a-dire perpendiculaire, a` la surface
otationnel
r^

e et les d´eplacements infinit´esimaux d x sur cette surface d´efinissent,!par
y, une
z) =force
U0!
.d´erive
Si
signifie que
composante
la force
est d´etermin´e pardune
peut
aussi
ed’un
tre potentiel,
lue encela
disant
quechaque
si on
choisideun
d´eplacement
x q
otationnel
r^!ˆ

!l’´
!
e
nergie
+
@U
@U@y 1y + @z 1z
@z
@z

potentielle via l’´equation :

Energie cinétique et potentielle

A-1

!
F =

!
rU

!
! dd!
onchoisi
choisit un
un un
déplacement
qui
laisse
constant alors le gradient de U est
on
choisi

e
placement
x
laisse
y,
z) z)
sisiSi
on
placement
x qui
quifonction
laisseU (x,
U (x,
y,
Le gradient r d’une
scalaire
U a ´et´e d´efini comme
!
!
ire
aux
d
x
.
Les
points
o`
u
U
est
constant

e
finissent
!
re
aux
d
x
.
Les
points
o`
u
U
est
constant

perpendiculaire
au d x .qui laisse U (x, y, z) efinissent
si un
d´eplacement
prenant
les

e
riv´
e
es
partielles
de
la
fonction
scalaire
U
:
ette
surface d´

efinissent,
finissent, par

eefinition,
leleplan
tangent
tte
surface
e
par

finition,
plan
. Les points o`
u U est constant d´efinissent tangent

! def @U ! @U !
rUinfinitésimaux
=
1x + le 1y
Les points où U est constant définissent une surface et les déplacements
définissent
@x
@y
plan tangent à cette surface. Le gradient de U est donc le vecteur normal par rapport
à cette surface

c’est-`
a-dire
-dire perpendiculaire,
perpendiculaire, a
`a
lalasurface
d´ed´
finie
parpar
’est-`
a
`
surface
e
finie
d´efinissent, par d´efinition, le plan tangent
A-2

perpendiculaire, a` la surface d´efinie par

équipotentielle.

La propri´et´e utilis´ee dans le calcul du travail de la force ´etait
chaque composante de la force est d´etermin´e par une

haque composante de la force est d´etermin´
e par une !
@
!
!
!
!
d x · rU = dx1x + dy 1y + dz 1z ·
@
mposante
de la@U
force est d´etermin´e par une
@U
Fz = @U
@U
Exemple
arbitraire @U
@U
@U
@y
@z
A-3
Fz =
= dx
+ dy
+ dz
@y
@z
r´egularit´
@x
@y
@z
@U e du potentiel U est de croiser les d´eriv´ees :
=
´egularit´
e du@potentiel
U est de croiser les d´eriv´ees :
2
@z
@F
U
y
=
dU
=

@xy
@y@x
@
u @F
potentiel
U2 U
est de croiser les d´eriv´ees :
=Cette derni`
ere ´egalit´e peut
2] @x
@y@x
2
alors
on
doit
avoir
:
@ U

aussi ˆetre lue en disant que si on
!

!
ce et les d´eplacements infinit´
e
simaux
d
x sur cette surface d´efinissent, par d´efinition, le plan tangent
!
!
ant,
alors
le !
gradient
de U ˆe:tre
rU
est
perpendiculaire
aux
d!
x . un
Lesd´epoints
o`
u U dest
constant
erni`
e
re
´
e
galit´
e
peut
aussi
lue
en
disant
que
si
on
choisi
placement
quisurface
laissed´eUfinissent
(x,
y, z)par
a
l’´
e
quation
:
urface. Le rU est donc le vecteur normal, c’est-`
a-dire perpendiculaire, xa
` la

efinie
! esimaux d!
!
urface
etleles
d´eplacements
infinit´
x sur cette
surface

efinissent,
par
d´eest
finition,
le plan
tangent
t,=alors
gradient
de
U
:
rU
est
perpendiculaire
aux
d
x
.
Les
points
o`
u
U
constant

e
finissent
U0 .
!
!
!
te
surface.
rU est infinit´
donc le
vecteurd!
normal,
c’est-`
a-dire d´
perpendiculaire,
a`finition,
la surface
d´efinie
par
aceInterlude
et!
les d´eLe
placements
e
simaux
x
sur
cette
surface
e
finissent,
par

e
le
plan
tangent
mathématique......
F
=
rU
nnel
y,
z) =r^
U0 .Le !
surface.
rU est donc le vecteur normal, c’est-`a-dire perpendiculaire, a` la surface d´efinie par
eSiforce
d´e!
rive
d’un
potentiel,
cela
signifie
que
chaque
composante
de
lala force
est

etermin´e par une
dérive
d’un
potentiel
U
cela
signifie
que
chaque
composante
de
force
est
déterminée
tationnel
r^
z)
=laUforce
.
0
fonction
scalaire
U a U.´et´e d´efini comme le vecteur (le champ de vec
une dérivée
de ce potentiel
eSipar
ce
potentiel
:
! d´erive d’un potentiel, cela signifie que chaque composante de la force est d´etermin´e par une
une force
ionnel r^
@U
@U
@U
´ee de ce potentiel
: fonction scalaire
artielles
de
la
U
:
Fx =cela signifie
Fyque
= chaque F
une force d´erive d’un potentiel,
composante
de la force est d´etermin´e par une
z =
@x
@y
@z
@U
@U
@U
de ce potentiel :
Fx =
Fy =
Fz =
@U
@U
!
def
! r´egularit´
@y
@z@U !
´evident a
` faire pour s’assurer d’une@xcertaine
e!
du potentiel
U est de croiser les d´eriv´ees :
rU = @U 1x +@U 1y +@U
1z
2certaine
2 de
alcul
´evident
a` faire
pour
s’assurer
d’une@@x
r´egularit´
dudonc
potentiel
U estles
de dérivées:
croiser les d´eriv´ees :
Il faut
s’assurer
que
le potentiel
présente
des
croiser
F@F
F
Fzeet
=
x =
y = régularités
@y
@z
U
@F
@
U
x
y
@z
= @x 2
et @y
=
2
@Fx
@ U
@F
@@y@x
U
@y
@x@y
@xy
ul
´evident
a` faire pour
d’une
r´egularit´
e du :potentiel U est de croiser les d´eriv´ees :
=decertaine
et
=
ans
le calcul
dus’assurer
travail
la
force
´
e
tait
@y
@x@y
@y@x
[2] @x
ate donc que si le potentiel @F
est assez@r´
alors on @
doit
avoir :
2egulier
2
U
@F
U

x
y✓
et [2] alors=on doit avoir :
onstate donc que si le potentiel est=assez r´egulier
@U
@U
@U
@F
@F
@F
@F
@Fxavoir:
@y
@x@y
@y@x
Si
le potentiel
est@F
assez
régulier
(voir
cours
de
math...)
alors
doit
!
x!
y
y
z @x
z on
!
!
!
!
!
!
=
0
;
=
0
;
=
0
@Fydz 1
@F
@F
@F@z
d x · rU = dx
+@Fdy
1
+
+
1
+
1
y
z ·
z 1x
x
y
z
y
z
@y@F1xx @x
@z
@y
@x
[2]
=
0
;
=
0
;
=
0
state donc que si le potentiel
est
gulier @yalors on@x
doit avoir
@z
@y
@x assez r´e@z
@x
@z : @y

Energie cinétique et potentielle

ntrerons pas ici dans le @F

etail
sens
` donner
Onzrenvoie
@Fya` assez
@Fr´
@Fxaux cours de math´ematiques sp´ecifiques
x du@F
y a
zegulier . @F

@U
@U
@U
@y
@x
@z
= dx@y @x
+ dy @z + dz
Annexes/ les op´
erateurs 105
@x
@y
@z
Annexes/ les op´
erateurs 105
rentrerons pas ici dans le d´etail du sens a
` donner a
` assez r´egulier . On renvoie aux cours de math´ematiques sp´ecifiques.
= dU

ne rentrerons pas ici dans le d´
etail du sens
a
` assez r´
egulier
= a`0 donner
;
= 0 ; . On renvoie aux=cours
0 de math´ematiques sp´ecifiques.

Annexes/ les op´
erateurs

105

peut aussi ˆetre lue en disant que si on choisi un d´eplacement d!
x q

-1

Energie cinétique et potentielle

!
F =

!
rU

Interlude mathématique......
!

Le gradient r d’une fonction scalaire U a ´et´e d´efini comme l

!
la fonction
scalaire U :
p´erateur : le rotationnel der^
:
On peut écrire cette propriété plus simplement
en définissant
un nouvel
opérateur
prenant
les d´
eriv´eesle rotationnel:
partielles

!
e qui s’´ecrit plus simplement en d´efinissant un nouvel op´erateur : le
rotationnel
@U:
! def r^

-2

! @U !
rU =
1x +
1y
!
!
!
@x
@y
1x Fx + 1y Fy + 1z Fz



! ! def ! @
!@
!@
r ^ F = 1x
+ 1y
+ 1z
^
@x
@y
@z
@Fy ! e!
@Fz ! ee!dans
@Fx !
@Fx !de!la @F
La =propri´

e
utilis´
le
calcul
du
travail
force
e
! @Fz !
!
!tait :
y! ´
1x ^ 1y +
1x ^ 1z +
1y ^ 1x +
1y ^ 1z +
1z ^ 1x +
1z ^ 1y
@x
@x
@y
@y
@z
@z

@Fy ! @Fz ! @Fx ! @Fz !!@Fx ! @Fy!
!
@U
!
!
=
1z
1y
1z + !
1x +
1y
1x
d
@x
@x
@y
@yx · rU
@z = dx
@z 1x + dy 1y + dz 1z ·






@x
@Fy !
@Fz !
@Fx !
@Fz
@Fx
@Fy
=
1x +
1y +
1z
@y
@z
@z
@x
@x
@y
@U
@U
@U

!
Fy + 1z Fz

@Fz ! ! @Fx ! ! @Fy ! !
+
1
^
1
+
1
^
1
+
1
^
1
y
z
z
x
z
y
-3
@y!
@z
@z + dz
= dx
+ dy
@x
@y
@z
travers le r^ on peut ´ecrire
Fx ! @Fy ! Si !F = !rU alors =!r ^dU!F = 0
1y
1x
zn d´emontrera
@z que
Cette
derni`
erel’inverse
´egalit´
e vrai
peut
ˆetrepermet
lue d’´
en
disant
quen´esicessaire
on ce
par ailleurs
est
aussiaussi
ce qui nous
ecrire
la condition


! pour que l’on puisse ´ecrire un th´eor`em
ffisante pour que la force d´erive d’un potentiel et par cons´equent
constant,@F
alors le gradient de U : rU est perpendiculaire aux
@F

1y
1z +
1x +
1y
1x
!
!
@x
@y
@y
@z
@z
crire
Energie
cinétique
et
potentielle
-1 ◆
F = rU




FyInterlude
@Fx !
@Fx! @Fz !
@Fy
!mathématique......
!
1Lex +
1
+
1
y
z comme l
gradient
r
d’une
fonction
scalaire
U
a
´
e

e

e
fini
!
!
!
!
le rotationnel
zun nouvel
@x
@x
Si @zFop´
=erateur
rU :alors
r ^ F @y
= 0 r^ :
prenant les d´eriv´ees partielles de la fonction scalaire U :

On peut démontrer que le condition nécessaire et suffisante pour que la force dérive du
@U
!
def
!de
potentiel
et
que
par
conséquent
on
puisse
démontrer
le
théorème
de
la
conservation
-2
rU =
1x +
l’énergie, est que:
@x

@U
!
ire
1y
! l’inverse!
! ce qui nous permet d’´ecrire
s que
est vrai aussi
@y
^ 1x Fx + 1y Fy + 1z Fz
e d´erive
d’un!
potentiel
et par
cons´
equent
La propri´
et´
e utilis´
ee dans
le calcul
du
travail
de la que
force l’on
´etait p
:
!
!
! pour
Si F = rU alors r ^ F = 0

e :@Fx ! !
@Fz!!! ! ! @Fx!! !! @U
d x1·yrU
+
1y ^ 1x +
^ =1zdx+1x + dy 1y1+zdz^1z1x· +
@x
@y
@y
@z
que
l’inverse est!vrai!
aussi ce!qui nous
permet
d’´e@U
crire
!
@U
@U
-3
r ^ F () F =
rU+ dy
=
dx
+
dz
@F
@F
@F
@x
@y que @z
!
!
z
x
y !equent

e
rive
d’un
potentiel
et
par
cons´
pour
l’on
p
+
1x +
1y
1
x
=
dU
@y
@z
@z
Bref..... Importance
des
notions de champs◆
et des opérateurs associés


ient
part
d’un
champ
scalaire
U
Y
(x,
y,
z)
pour
constru
Cette
derni`
e
re
´
e
galit´
e
peut
aussi
ˆ
e
tre
lue
en
disant
que
sidelà.
on c
et
de
l’analyse
vectorielle....
à
suivre
en
électromagnétisme...et
au
@Fz !
@Fy !@Fx! !
1yalors
+dele !
1pour
gradient de
: rU
auxa
!
!
it surconstant,
un champ
vecteur
F U(x,
y,!
z)est
produire un
zperpendiculaire

Une autre propri´et´e int´
eressante de l’´equation de conservation
/ mv = E U (r) 0
12

2

Energie
cinétique
et
potentielle:
géométrie
repr´
erepr´
sentation
graphique
de
l’´
e
nergie
potentielle
U
(r)
des
info
laSi on
repr´
eesente
sentation
graphique
de
l’´
e
nergie
potentielle
U
(r)
des
info
le potentiel U (r) et la valeur de l’´energie E, on peut donc directement d´eterminer les com-

Une propriété intéressante de l’équation de conservation de l’énergie est que l’on peut déduire
portements
autoris´es et les
comportements
interdits.
Prenons des
l’exemple
o`
u U (r) sur
est donn´
e par le graphique
d’une
représentation
graphique
de
l’énergie
potentielle
informations
les
comportements
obal
de
l’objet.
En
e↵et,
la
relation
:
l de
l’objet.
En
e↵et,
la
relation
:
suivant
:
qualitatifs
globaux de l’objet.

2
2
1/12/mv
mv
(r)=
=E
E
2
++UU(r)

mpose
le domaine
r accessibleauaumouvement
mouvementob´
ob´
isse a
l’in´
se queque
le domaine
dede
r accessible
eeisse
`a` l’in´
ee
2
1/2mv
2

1/2mv

=E

=E

U (r)

U (r)

0

0

on repr´esente le potentiel U (r) et la valeur de l’´energie E, on peu

repr´esente le potentiel U (r) et la valeur de l’´energie E, on peu

ortements autoris´es et les comportements interdits. Prenons l’exem

On analyse
la situation
fa¸con
suivante. Pour une valeur Einterdits.
de l’´energie, le mouvement
est possible
ments
autoris´
es etde lales
comportements
Prenons
l’exem

ivant
:energie potentielle est inf´erieure a` l’´energie totale :
l`
a o`
u l’´

nt r: solution de U (r ) = E
1

1

1

1

U (r)  E1 . On d´etermine donc l’intersection

et la zone autoris´ee est : r1  r  1. En r1 l’´energie potentielle U (r1 ) ´etant

´egale a` l’´energie totale E1 , l’´energie cin´etique y est nulle. Donc la particule s’arrˆete en r1 . Mais le potentiel
U (r) a une d´eriv´ee non nulle en r1 , la particule y est donc toujours soumise a` une force. La direction de la

1/2mv2

=E

U (r)

0

Energie cinétique et potentielle: géométrie

i on repr´esente le potentiel U (r) et la valeur de l’´energie E, on peut donc directement d´eterminer les com-

Pour autoris´
une valeur
de l’énergie
le mouvement
est possible
potentielle
est
ortements
es et donnée
les comportements
interdits.
Prenons l’exemple
o`
u Uquand
(r) estl’énergie
donn´e par
le graphique

ion de la fa¸con suivante. Pour une valeur E1 de l’´energ

à l’énergie totale:
uivantinférieure
:

On analy

e est inf´erieure a
` l’´energie totale : U (r)  E1 . On d

l`
a 1.
o`
uEnl’´ernerg
E1 et la zone autoris´ee est : r1  r 
en
1 l’´
On détermine
donc l’intersection
On analyse
la situation
de la
energie cin´etique y est nulle. Donc
la
particule
s’ar
1 , l’´
de
1 solution
l`a o`
u l’´energie r
potentielle
est inf´
nulle en r1 , la particule y est donc toujours soumise a
`
lyse la situation de la fa¸con
Pour
une
valeur
E
de
r1 suivante.
solution de
U
(r
)
=
E
et
la
z
1
1
1
´
e
gale
a
`
l’´
e
ner
@gie
|r1 , est dirig´
e
e
en
r
vers
les
r
croissants.
La
parti
r Upotentielle
1
est inf´erieure
nergie
: UEest:
(r)

E1 .
Latotale
zone
autorisée
´egalea` a`l’´el’´
energie
totale
energ
1 , l’´
U
(r)
a
une
d
tdevers
les
r
r
.
1
U (r1 ) = E1 et la zoneU (r)
autoris´
ee est
: re1e 
r 
1. en
Enr
a une
d´eriv´
non
nulle

pour
une
´energie
est
une
situation
type
de
d
On analyse
la situation
lae
fa¸
con totale
suivante.cin´
PourE
une
valeur
E
de
l’´
e
nergie,
le
mouvement
est
possible
rgie
totale
E
nergie
e
tique
y
est
nulle.
Donc
la
partic
1
1 ,del’´
cinétique
est nulle quand
force, d´eL’énergie
termin´
eforce,
e par
@d´
Uterm
|r , es
re
1

p

eriv´
e Unon
nulle
ens’approche
r1 ,eela
donc
toujours
se
v0ede=
2E
`1.totale.
une
distance
minimale
solution
(r ) =
E
et
la zone
autoris´
est : particule
r  r a
Enyr est
l’´
energie
potentielle
U (r ) ´etant soum
1 /m
acc´
el´eration
et
elle
repart
vers lesr

1
a` o`
u l’´energie potentielle est inf´erieure a` l’´energie totale : U (r) l’énergie
 E1 . On

e
termine
donc
l’intersection
potentielle est égale à l’énergie

acc´
e

e
ration
e
min´
par1 est
@r Upossible,
|r , est dirig´
ee le
ensyst`
r1 vers
croissants.
ue ere !
que
emeles
estr dans
un ´etaL

1

1

1

1

1

1

gale a` l’´energie totale E1 , l’´energie cin´etique y est nulle. Donc la particule s’arrˆete en r1 . Mais le potentiel
(r) a une d´eriv´ee non nulle en r1 ,1la particule y est donc toujours soumise a` une force. La direction de la

=E

1/2mv2

U (r)

0

r1 solution
de
U (r1 ) = E
Energie
cinétique
et
potentielle:
géométrie
1 et la zone au
i on repr´esente le potentiel U (r) et la valeur de l’´energie E, on peut donc directement d´eterminer les com-

egale
a` l’´
energie
totale
l’´energie
cin´
et
On´
analyse
la
situation
de laEfa¸
suivante.
Po
1 ,con

ortements
autoris´
es et les
comportements
interdits.
Prenons
o`
uU
donn´
e par le àgraphique
Mais le
potentiel
admet
une dérivée
non nulle
en r ,l’exemple
la particule
y (r)
est est
donc
soumise
une force.

uivant :

1

La direction
de la force
estr
l`a o`
u l’´
energie
potentielle
inf´
e
rieure
a
`
l’´
e
nergie
U
(r) a une
d´eriv´eeest
non
nulle
en
,
la
pa
1
déterminée par:

r1 solution
U
(r1 ) = eEe1par
et la @
zone
e
e
est
force,ded´
etermin´
,
est
dirig´
r U |rautoris´
1

´egale a` acc´
l’´energie
totale
E
,
l’´
e
nergie
cin´
e
tique
y
est
1
el´eration et elle repart
vers
les r r1
donc en r vers
les r croissants.
U (r) aOnune

eriv´
ee denon
nulle
la particule
e
analyse
la
situation
la fa¸con
suivante.en
Pourrune
E de l’´energie, leymou
1 , valeur
1

La
situation
tol´
e

e
e
pour
une
´
e
nergi
l`a o`
u l’´energie potentielle est inf´erieure a` l’´energie totale : U (r)  E . On d´etermine
p
la
particule
repart
vers:
force,
d´etermin´
, :est
e renl’´energie
r1 ve
r U |ere1est
r solution
de U (r )e=eEpar
et la zone@autoris´
r  dirig´
r  1. eEn
pot
de
l’infini
avec
une
vitesse
v
=
2E
/m
0
1
´egale a` l’´energie totale E , l’´energie cin´etique y est nulle. Donc la particule s’arrˆete en r
1

1

1

1

1

1

1

acc´eUl´e(r)ration
et
elle
repart
vers
les
r
r
.
1
a une d´eriv´ee non nulle en r , la particule y est donc toujours soumise a` une force
1

On
dira
aussi,
puisque
r
!
1
est
po
force, d´etermin´ee par @ U | , est dirig´ee en r vers les r croissants. La particule est
1

La
situation
tol´
e

e
e
pour
une
´
e
nergie
totale
E
1
acc´el´eration et elle repart vers les r r .
ple mouvement est possible
On analyse la situation de la fa¸con suivante. Pour une valeur E de l’´energie,
La situation
eune
r´eesituation
pourvitesse
une
´energie
totale=
ELa est une
situation
type
de di↵usion.
pourl’infini
une énergie
E esttol´
de
type
diffusion.
de
v
2E
/m
s’approch
a` La
o`
u situation
l’´energie
potentielle
est inf´eavec
rieure
a` une
l’´
energie
totale
:
U
(r)

E
.
On

e
termine
donc
l’intersection
p
0
1
r

r1

1

1

1

1

1

1

particule
arrive
de
l’infini
avec
uneune
vitesse
de
l’infini
avec
vitesse
a` unepotentielle
distance U
minimale
1 /m
solution
de
U
(r
)
=
E
et
la
zone
autoris´
ee estv:0 =
r1  2E
r 
1. s’approche
En r1 l’´energie
(r1 ) ´etantr1 “puis”
1
1
1
dira
aussi,
puisque
r ! 1Donc
est l’infini.
possible,
le esyst`
dans
un ´etat de syst
s’approche
la distance
minimale
r1 puis
vers
les que
gale
a` l’´energie de
totale
E1 ,On
l’´energie
cin´etique
y estrepart
nulle.
la particule
s’arrˆ
te eneme
r1 . est
Mais
le potentiel
(r)système
a une d´eest
riv´edonc
e nonouvert.
nulle en r1 , la particule y est donc toujours soumise a` une force. La direction de la

On dira aussi, puisque r ! 1 est possible, que

1/2mv2

=E

U (r)

0

Energie
cinétique
et
potentielle:
géométrie
i on repr´esente le potentiel U (r) et la valeur de l’´energie E, on peut donc directement d´eterminer les com-

Lecas
casoo
Le
Le cas o`
u
Cette fois l’équation qui détermine les
points qui
d’arrêts d´
admet
plusieurs

e
termine
le
e
termine
les
Si
ce
n’est
que
cette
fois
l’´
e
quation

e
termine
les
a¸con. Si ce n’est que cette fois l’´equation
qui
solutions:
0
0
et
.
rr6r
. 6. O
= Upr´
(r)
pr´esente
plusieurs
solutionsrr11,, rr3 ; rrr444,, rr555et
U2 (r)
e
sente
plusieurs
solutions
et
O
6
E est E s’analyse de la mˆeme fa¸con. Si ce n’est que cette fois

ortements
es et les totale
comportements
l’exemple
Le casautoris´
où l’énergie
E est E2 interdits.
s’analyse Prenons
de la même
façon:o`u U (r) est donn´e par le graphique
uivant :

2

qui
repart
ver
te
dans
le
cas
de
r
:
une
trajectoire
ouverte
6
Pour
r
on
reconnait
une
trajectoire
que
cette
fois
l’´
e
quation
qui
ns
le
cas
de
r
:
une
trajectoire
ouverte
qui
repart
v
qui
repart
6
o`
u l’´energie cin´etique
est nulle : E2 = U (r) pr´esente plusieursve
so
6

ouverte ver l’infini.

0e de trajectoire s’o↵re maintenant a
.ee situation
Une
autre
possibilit´
`
plusieurs
solutions
r
,
r
;
3
analogue
a
`
la
pr´
e

e
dente
dans
le
cas
de
r
:
une
traj
1 trajectoire s’o↵re maintenant
autre possibilit´e de
6
a`
maintenant
Cette fois d’autres trajectoires sont
rs’approche
exemple
:
r

r

r
.
La
vitesse
s’annule
en
r
et
r
et
r6 : une trajectoire
4
5
au4 plus a
`ouverte
r65 du centre. Une
autre
possibilit´
e
de
tra
possibles ou r est bornée:

mple : r4  r  r5 . La vitesse s’annule en
enrr44etetrr5 5ete
sque
les
pentes
de
(r)
sonte respectivement
n´ev
sibilit´
e de
trajectoire
s’o↵re
ectoires
ferm´
ees o`
u rUest
born´
par exemple : r4 positive
 r  r5 .etLa
les pentes de U (r) sont respectivement
positive
positiveetet0 nn
00

seule
ferm´
ee rr51puisque
 r les
r2vitesse
ests’annule
ulsive
en
rLa
attractive
en
pentes
deen U
autoris´
(r1 e
r  rla
vitesse
s’annule
La
r4 (r)
etere5. sont
4 et
5 . trajectoire

00
00
la
trajectoire
ferm´
e
e
r

r

r
est
On analyse la situation de la fa¸con suivante. Pour
une valeur E1 de l’´energie,
le mouvement
est possible
autoris´
e
e
(r
00
2
1
La
force
est
répulsive
en
r
et
attractive
en
r
puisque
la
dérivée
est
respectivement
1
4
5
autoris´
e
e
(r
aaphique
valeur
de
erespectivement
nergie
´egale a
` E3 , seule la trajectoire Enfin,
ferm´ee les
r11
ils l’´
ont
´et´e omis).
de
U (r) sont

a` o`
u l’´energie
potentielle
est inf´
erieure
l’´energie
(r)  type
E1 . On
d´etermineetdonc
positive
et négative.
Pour
une a`énergie
E3totale
on à :leUmême
de situation
r estl’intersection
compris
de U (r1 ) = 00
E1 et la zone autoris´ee est : r1  r  1. En r1 l’´energie potentielle U (r1 ) ´etant
entre:
1 solution

que
ils ont
´ee,duite

e omis).
Enfin,
le
proches
de
rr´
pour
la
clart´
e
du
graphique
ils
ont
´
e

e
omis).
ectoire
est
a
un
point.
Il
s’agit
donc
1
re
ferm´
e
e

r

r
est
de
points
o`
u
sl
2
Enfin,
1 , l’´energie cin´etique y est nulle. Donc la particule
Pour
laete
clarté
graphique
on me
gale a` l’´energie totale E
s’arrˆ
en r du
. Mais
le potentiel
marque
r’duite
et direction
r’’ a un
(r)⌦
a est
une
d´eriv´
esont
eduite
non nulle
ena
r points
,un
la particule
yuestla
donc
toujours
soumise
a`est
unepas
force.
La
de lapoint
s
ou
?
des
o`
trajectoire

e
re

e
point.
Il
s’agit
donc
tt´elesomis).
points o`
u le potentiel U (r) pr´esente un
1

1

1

1

1.

/ mv = E vers
U (r) 0
qui
repart
l’infini
et
qui
s’app
00
a 1force
r´epulsive
r4 et de
attractive
en r5 puisque
lese
rrce
sont
trop
r
pour
la
clart´
est
r´est
epulsive
en proches
r4 en
et attractive
en
les pentes
depd
1r,5 puisque
Energie
potentielle:
géométrie
n repr´esente le potentiel
U (r) et la cinétique
valeur de l’´energieet
E, on
peut donc directement
d´eterminer les comve.
valeur
de interdits.
l’´energie
´el’exemple
gale
a
`u´
seule
la,graphique
trajectoire
gative.
Pour
la valeur
dePrenons
l’´ea
eUE
gale
a` e E
seule
la tr
ementsPour
autoris´
es la
et lesmaintenant
comportements
o`
(r)
donn´
par3
le
`nergie
nous
:3est, des
trajectoir
2

orce
est

e
pulsive
en
r
e
4
oints
marqu´
e
s

ou
?
sont
des
points
o`
u la

e
s

ou
?
sont
des
poi
t r sont trop proches de r , pour la clart´e du graphique i
en
r
et
r
et
la
force
est

e
pulsive
ule
la marqu´
situation
est o`
autoris´
ee. Ce
points
es ⌦ ouimmobile
? sont des points
u la trajectoire
es
ve.
Pour
la
valeur
de
positive
et

e
gative.
Pour
la
vale
eule
la
situation
immobile
est
autoris´
e
e.
Ce
sont
les
point
tion
immobile
est
autor
appelle ces positions des positions d’´equilib

ant : Il reste les points particuliers:

00 trop proches de r1 , pour la clart´
sont
e
du
graphique
ils
ont
´
e

e
Ces
points
sont
des
situations

1
1

l’objet est immobile. Le potentiel
4
5
nts marqu´es ⌦ ou ? sont des points o`
u la
trajectoire
est r´eduite
présente
un extrémum.

la situation immobile est autoris´ee. Ce sont les points o`
u le p

On appelle ces points des positions
d’équilibres.
totale
agissant agis
pelle ces positions des positions d’´equilibre.
LaLa force
force
totale
est nulle puisque le dérivée première
e la d´eriv´ee du potentiel est nulle). Cesest´enulle.
quilibres sont qualifi´es

0
00d’´equilibre. La force t
appelle cesautoris´
positionsee
des(rpositions
et
r
sont
trop
proch
1
1 est nulle). Ces
que la d´eriv´ee du potentiel
sque la d´eriv´ee du potentiel est nulle). Ces ´equilibres sont

0
sont
trop
proches
de
r
de la Enfin,
force au des
voisinage
des
points
d’´
e
quilibre.
S
1omportement
positions
positions
les points marqu´es ⌦ o

udu
comportement
de
la
force
au
voisinage
d
comportement
de
la
force
au
voisinage
points
d’´
e
qu
00des
´equilibre alors la position est dite stable et U (r) > 0. Si la fo
00
00
de
points
o`
u
seule
la
situation
im
nn,d’´
equilibre
alors
ladit
position
est
dite
stable
et
U
(r)
>
0
alors
l’´
e
quilibre
est
instable
et
U
(r)
<
0.
En
premi`
e
re
ap
ou instable,
d’´equilibre alors la position
estnotédite stable
L’équilibre peut être stable, noté

nts
marqu´
e
s

ou
?
son
ition,
alors
l’´equilibre
est dit instable et U
(r) < null
0. En pr

e
e
du
potentiel
est
extremum.
On
appelle
ces
positio
ion,
alors
l’´
e
quilibre
est
dit
instable
et
U
en r´esulte peuvent s’obtenir par le d´eveloppement en s´er
e↵et
nulle
(puisque
la

e
riv´
e
e
du
p
en r´la
situation
immobile
esulte peuvent s’obtenir par le d´evelop
00

r´esulte peuvent s’obtenir par le d´eveloppement en s´erie du pote
On analyse la situation de la fa¸con suivante. Pour une valeur E1 de l’´energie, le mouvement est possible

u
` l’´energie potentielle est inf´erieure a` l’´energie totale : U (r)  E1 . On d´etermine donc l’intersection

cela dépend du comportement au voisinage de ces points: si la force ramène l’objet vers le
point alors l’équilibre est stable, si la force l’en éloigne alors l’équilibre est instable

olution de U (r1 ) = E1 et la zone autoris´ee est : r1  r  1. En r1 l’´energie potentielle U (r1 ) ´etant

e a` l’´energie totale E1 , l’´energie cin´etique y est nulle. Donc la particule s’arrˆete en r1 . Mais le potentiel

) a une d´eriv´ee non nulle en r1 , la particule y est donc toujours soumise a` une force. La direction de la

00

gative. Pour la valeur
oints
eou
s ⌦ ou
?sont
sont desdes
pointspoi
o`
u la
u´esmarqu´

?
autoris´ee (r et r sont trop proch
00
ule
la
situation
immobile
est
autoris´
e
e.
Ce
t r1 sont
trop
proches
Enfin,
les points
marqu´es ⌦ d
o
tion cesde
immobile
est
autor
appelle
positions des positions
d’´equilib
points o`
u seule la situation im
points
e
s
ou
?
que
la d´eriv´eemarqu´
du potentiel
est⌦
nulle).
Ces
extremum. On appelle ces positio
positions
des
positions
u comportement de la force au voisinage d
e↵et nulle (puisque la d´eriv´ee du p
eule
la
situation
immob
d’´equilibre alors la position est dite stable
?
en
fonction
du
comportement
d

e
e
du
potentiel
est
null
ion, alors l’´equilibre est dit instable et U
vers
la
position
d’´
e
quilibre
alors
l
nn r´appelle
ces
positions
d
esulte peuvent s’obtenir par le d´evelop

00
de
points
o`
ue, seule
la trajectoire
situation
immobil
0 Pour
00 la valeur de l’´

e
gative.
e
nergie
´
e
gale
a
`
E
seule
la
ferm´
ee
e rd
utoris´
e
e
(r
et
r
sont
trop
proches
de
r
,
pour
la
clart´
du
graphique
ils
ont
´
e

e omis).
3, pour la clart´
1
r1positive
sont
de
r
1
1trop proches
1
et n´
egative. Pour
la valeur
depotentielle:
l’´energie ´egalegéométrie
a` E3 , seule la trajectoi
Energie
cinétique
et
positive et extremum.
n´egative.
Pour
la val
0
00
On appelle
ces positions
des
1/2mv2

=E

U (r)

0

les points
marqu´
esde
⌦ ou
?pour
sont la
desclart´
points
o`
u graphique
la trajectoire
est
r´e´
duite
a un po
etEnfin,
r
sont
trop
proches
r
,
e
du
ils
ont
e

e
omis).
1
1Si on
1
0
00
repr´esente le
(r) et
energie E,
on peut doncde
directement
d´eterminer
com- e du graphique ils ont ´
autoris´
eepotentiel
(r1 Uet
r1la valeur
sontde l’´trop
proches
r1 , pour
lalesclart´
e
Le potentiel présente un extrémum:

eles
points
o`
uemarqu´
laessituation
est
Ce
sont leslaest
points
o`
portements
autoris´
sseule
et les comportements
interdits.immobile
Prenons l’exemple
o`
u Uautoris´
(r) est
donn´
ee.
par
le
graphique
e↵et
nulle
(puisque
d´er´
riv´
eue ledu
potent
points
⌦ ou
? sont
des points
o`
u ela
trajectoire
eduite
apotentiel
un
poin
Les points
d’équilibres:

00d’équilibres.
Enfin, les points marqu´es ⌦ ou ?0 sontposition
des points
o`
u la trajectoire est r´eduit
xtremum. On appelle ces positions des positions
d’´equilibre.
La force totale agissant sur
1
1
u
` seule la situation immobile est autoris´
e
e.
Ce
sont
les
points o`
u le potentiel
U
?
en
fonction
du
comportement
de
la
fo
de
points
o`
u
seule
la
situation
immobile
est
autoris´
e
e.
Ce
sont
les
points
o`
u
le
↵et nulle (puisque la d´eriv´ee du potentiel est nulle). Ces ´equilibres sont qualifi´es de stabl
L’équilibre
stable,
la forceagissant
ramènela sur
On appelle ces positions des positions
d’´ela
quilibre.
Laest
force
totale
l
vers
position
d’´
e
quilibre
alors
posi
appelle ces de
positions
positions
d’´epoints
quilibre.
La force Si
totale
ag
enextremum.
fonction du On
comportement
la force des
au voisinage
d’´equilibre.
la forc
vers ledes
point
d’équilibre:
puisque la d´eriv´ee du potentiel est nulle).
Ces
´equilibres
sont
qualifi´
es de stables
00 ´
point
de
la
position,
alors
l’´
e
quilibre
este
e↵et
nulle
(puisque
la

e
riv´
e
e
du
potentiel
est
nulle).
Ces
e
quilibres
sont
qualifi´
ers la position d’´equilibre alors la position est dite stable et U (r) > 0. Si la
force
cont
on ?duencomportement
de la force audevoisinage
desvoisinage
points
d’´
equilibre.
Siequilibre.
la force
00
fonction du comportement
la force au
des
points d’´
suivant :

oint de la position, alors l’´equilibre est dit
et qui
U (r)
< r´
0.
En premi`
ereéloigne
approxim
et instable
la force
enest
esulte
s’obt
L’équilibre
instable,
lapeuvent
force

00
tion
d’´
e
quilibre
alors
la
position
est
dite
stable
et
U
(r) >en0.
Si
la
du
point
t lavers
forcelaqui
en r´esulte
peuvent alors
s’obtenir
par le d´est
e:veloppement
rie00 (r)
duforce
potentiel
au
position
d’´equilibre
laquestion
position
dite d’équilibre:
stable
ets´eU
>
0. contin
Si la
00
position,
alors
l’´
e
quilibre
est
dit
instable
et
U
(r) < 0.et En
premi`
ereEn
approximat
uestion
point: de la position, alors l’´equilibre est dit instable
U 00 (r)
< 0.
premi`ere

quietenlar´force
esultequi
peuvent
s’obtenir
pars’obtenir
le d´eveloppement
en s´erie du potentiel
aut
en r´esulte
peuvent
par le d´eveloppement
en s´erie du
p
On analyse la situation de la fa¸con suivante. Pour une valeur E de l’´energie, le mouvement
est possible
1
2
00
question
:
(r
r
)
U
(r⌦ ) + . . .
U
(r)

U
(r
)
+

⌦ d´etermine donc l’intersection
l`a o`
u l’´energie potentielle est inf´erieure a` l’´energie totale : U (r)  E . On
1

En première approximation, le potentiel
résulte peuvent être obtenus par
2
6-65 et la 1force qui en
r1 solution de U (r1 ) = E1 et la zone autoris´ee est : r1  r  1. En r1 l’´energie potentielle U (r1 ) ´etant
le développement en série du potentiel
F (r)autour
⇡ (rdu point
r ) en
U 00question:
(r ) + . . .

´egale a` l’´energie totale E1 , l’´energie cin´etique y est nulle. Donc la particule s’arrˆete⌦en r1 . Mais ⌦
le potentiel

U (r) ⇡

F (r) ⇡

1
2 100
2. . 00
(r Uvoisinage
rdonc
)
U
)
+
.
⇡les U
(r⌦U
)+
d´etermin´
ee par
@ U | , est dirig´eeU
en(r)
rlevers
r croissants.
La particule
est
soumise
a`(r
une


nforce,
premi`
ere
approximation
comportement
au
des
points
equilibre
est
(r
r
)
U
(r
.
.
.
(r)

(r
)
+
⌦ d’´
⌦ ) + stable

En2 premi`ere approximation
le comporte
2
acc´el´eration et elle repart vers les r r .
00
00
’unLaoscillateur
harmonique.
La
constante
de
rappel
´e.quivalente
00
situation tol´er´ee pour
une ´energieF
totale
est une
situation r
arrive
(r)E ⇡
(r
Udi↵usion.
(r(r⌦La) particule
+
⌦ )de⇡
F type
(r)
r⌦
). .U
(r⌦ ) +est. . .donn´ee par la d´e
p
U (r) a une d´eriv´ee non nulle en r1 , la particule y est donc toujours soumise a` une force. La direction de la
r

r1

1

1

1

de l’infini avec une vitesse v0 =

d’un oscillateur harmonique. La cons

2E1 /m s’approche a` une distance minimale r1 “puis” repart vers l’infini.

00
otentiel
au
point
d’´
e
quilibre
U
(r⌦eme).est dans un ´etat
En aussi,
première
lelecomportement
audevoisinage
des points d’équilibre stable
On dira
puisque approximation,
r ! 1 est possible, que
syst`
syst`eme ouvert.

e approximation
comportement
audont
voisinage
desde
points
d’´
equilibre
quilibre
Encorrespond
premi`ereà approximation
le comportement
au
voisinage
points
d’´00equilibre
unleoscillateur
harmonique
la constante
rappel est
donnée
par stable
potentiel
au
point
d’´
edes
U
(r⌦est
). le

spects g´eom´etrique II

Th´
eor`
emes/ ´
energie cin´
etique - potentielle

102


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