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F (r) ⇡

F (r) ⇡

(r

(r

r⌦ ) U (r⌦ ) + . . .

r⌦ ) U 00 (r⌦ ) + . . .

Energie cinétique et potentielle
`enreoscillateur
approximation
le comportement
des points
d’´equilibre
le comporteme
harmonique.
La constante au
de voisinage
rappel ´equivalente
est donn´
ee par lastable
d´eriv´eest
e seconde
du
autre
aspect
géométrique
entiel
point d’´equilibreLa
U constante
(r ).
lateurauharmonique.
de rappel ´equivalente est donn´ee par la d´eriv´ee seconde

premi`ere approximation le comportement au voisinage des points d’´equilibre stable est le comportement
00



00
au
point
d’´
e
quilibre
U
(r⌦ ).
pects g´eom´etrique II

Une
autre
con d’expliciter l’aspect g´eom´etrique est de montrer que le temps t est un param`etre qui
On
peut fa¸
aussi
´eom´
etrique
II expliciter l’aspect géométrique en montrant que le temps est un paramètre qui
peut
déduit
de la trajectoire.
exemple
la conservation
de l’énergie
t ˆetre
d´eêtre
duit de
la trajectoire.
Si nous Par
repartons
de considérons
la conservation
de l’´energie pour
un probl`epour
me a` une
autre
fa¸con d’expliciter
l’aspect g´eom´etrique est de montrer que le temps t est un param`etre q
un
problème
à
une
dimension:
mension, on peut ´ecrire :
d´eduit de la trajectoire. Si nous repartons
energie pour un probl`eme a` u
✓ ◆2 de la conservationrde l’´

= E:
n, on peut ´ecrire
1/2mv2

U (x)

!

1/2m



dx
dt

= (E

◆2

U (x))

!

temps
est2 donc d´etermin´e par l’int´
egrale : dx
1/2mv
1
= E U (x) !
/2m
= (E U (x)) !
dtr Z x2
m
dx
p
Le temps peut être déterminer
t2 part1l’intégrale:
=
2 x1
E U (x)
est donc d´etermin´e par l’int´egrale :

m
dx
p
= dt
2 E U (x)

r

m
dx
p
= dt
2 E U (x)

Z x2 d’atteindre un point d’´equilibre instable et de
te int´egrale nous permet aussi de dire qu’il r
est impossible

m
dx
p instable et que l’on choisit comme ´energie
= le point d’´equilibre
arrˆeter en un temps fini. En e↵ett2si x⌦t1est
2 x1
E U (x)

ale la valeur de l’´energie potentielle en ce point E = U (x⌦ ) de telle sorte que la vitesse y est nulle en

´grale
permetd’´
aussi
de alors
dire lequ’il
estn´eimpossible
d’´
tu de lanous
conservation
energie,
temps
cessaire pourd’atteindre
y arriver estun
de point
la forme
:equilibre instable et

r
r
Z e↵et
Z d’´
x⌦
x⌦equilibre instable et que l’on choisit comme ´
r en un temps fini.
En
si
x
est
le
point
ener
m
dx⌦
m
dx
p
p
t ⌦ t1 =

00
2
2
E en
U (x)
E ⌦ )Ude
(x⌦telle
) 1/sorte
)(x lax⌦
)2
x1
2U (x⌦
valeur de l’´energie potentielle
ce point E x=
U (x
que
vitesse
y est nulle
1

a conservation d’´energie, alors le temps n´ecessaire pourTh´
yearriver
est de
la
forme
:
or`
emes/ ´
energie
cin´
etique
- potentielle
r
r
Z
Z

103

on g´
peut
´ecrire II
:
cts
e
om´
e
trique
2

dx
m
dx
1/2m
r


p
mv
=
E
U
(x)
!
=
(E
U
(x))
!
2
r


2
Une autre fa¸con dx
d’expliciter
l’aspect
g´eom´etrique
est potentielle
de montrer
que le autre
temps t est un param`
etre qui
Energie
cinétique
et
dt
2
m
dx
dx
m
dx
E
U
1/2mv12 = E
1
p pour un
(x) !
= (E
U (x)) ! p
=
dteme a` une
2m U
!ˆetre d´eduit
/2mde laUtrajectoire.
= (E
(x))
!
=
dt
Si /nous
repartons
de
la
conservation
de
l’´
e
nergie
probl`
dt
2 E U (x)
dt
2
aspect
géométrique
E U (x)
nsion,
on
peut
´
e
crire
:
onc d´etermin´e par l’int´egrale :
est donc d´etermin´e par l’int´egrale : ✓ ◆2
r
dx r
m
dx
Z
’int´egrale
r
1/2mv2 := E
1
Z
x2
p
U (x) !
/2m
=x(E U (x))
!
= dt
m
dx
dx
dtm
2 E U (x)
p
p
r
Z t2x2t2t1 =t1 =
2 x 2 E U (x)
m
E U (x)
x1
emps est donc d´etermin´
e par l’int´egrale : dx
p r Z
t 2 t1 =
grale
nousintégrale
permetpermet
aussi
qu’ilE
estimpossible
impossible
d’atteindre
un point
d’´equilibre
et d
Cette
de dire qu’il
est
un point
d’équilibre
instableinstable
et
x d’atteindre
2 de
U
(x)
m
dx
x1
p
t2 t1qu’il
=
nous
permet
aussi
de
est
impossible
d’atteindre
un
point
d’´
e
qu
arrêter
en En
un temps
en de
uns’y
temps
fini.
e↵et sifini.
xdire
est
le
point
d’´
e
quilibre
instable
et
que
l’on
choisit
comme
´
e
nerg
2

2

1

2

E

x1

U (x)

de
dire
qu’il
est
impossible
d’atteindre
point
d’´
eque
quilibre
et
aleur
de l’´
energie
potentielle
en
point
E
=
U (x⌦d’atteindre
)un
de
telle sorte
la vitesse
y estl’on
nulle
temps
fini.
En
e↵etdesi
xce⌦
est
point
d’´
equilibre
instable
et instable
que
che
enint´
egrale nous
permet
aussi
dire
qu’il
estle
impossible
un point
d’´equilibre
instable
et de

Energie potentielle de telle
conservation
d’´
e
nergie,
alors
le
temps

e
cessaire
pour
y
arriver
est
del’on
la forme
: comme ´energie
rrˆ
e
ter
en
un
temps
fini.
En
e↵et
si
x
est
le
point
d’´
e
quilibre
instable
et
que
choisit

retdesi l’´
en ce
point
E =etUque
(x⌦ )l’on
de
telle
que
v
xe⌦nergie
estSoitlexpotentielle
point
equilibre
instable
choisit
comme
´elaner
sorte
que la sorte
vitesse
est
nulle
un point d’´
d’équilibre
instable
r
Z x⌦ potentielle en ce r
Z
parque
conservation
l’énergie
e la valeur de m
l’´energie
point
la vitesse ydeest
nulle en
dx
m E x=⌦ U (x⌦ ) de telle sorte
dx
servation
d’´
e
nergie,
le

e
cessaire
y
arriver
est
de
la
form
pE alors
p sorte pour
tielle
point
=
U
(x
)
de
telle
que
la
vitesse
y
est
nulle
t⌦ t1en
= ce
⇡temps

u de la conservation
energie,
le temps2n´ecessaire
pour
y arriver
: x⌦ )2
1/2de
2 xd’´
E alors
U (x)
E U
(x⌦ ) est
U 00la
(xforme
x1
⌦ )(x
1

r
r yr
Zmxn´
Z
Z x Z xest
alors lertemps
pour
arriver
de ladxforme : dx
⌦excessaire

dx
m m
m
dx
p
p
t ⌦ t1 =

Th´
eor`
emes/ ´
energie cin´
etique - potentielle 1
00
p
p
t1 =

1
2
2
E U (x)
E U (x⌦ )
/2U (x⌦ )(x x⌦ )2
x
x
r
Z
x⌦U (x)
1/2U 00 (x )(x
2
2
E
E
U
(x
)
x
x


1 m
1 dx
dx
p
p

Th´
eor`
emes/ ´
energie cin´
etique - potentielle 103
2 x1
E U (x)
E U (x⌦ ) 1/2U 00 (x⌦ )(x x⌦ )2


1



1

Th´
eor`
emes/ ´
energie cin

Th´
eor`
emes/ ´
energie cin´
etique - potentielle

dt

2

x1

E

U

Energie cinétique et potentielle autre
rrˆ
teretermin´
en un temps
fini. En
e↵etegrale
si x est: le point d’´equilibre instable et que l’on choisit comme ´energie
c ed´
e par
l’int´
aspect
géométrique
e la valeur de l’´energie potentielle en ce point E = U (x ) de telle sorte que la vitesse y est nulle en

e int´egrale nous permet aussi de dire qu’il est impossible d’atteindre un point d’´equilibre instable et de


r

Z



x2
u de la conservation d’´energie, alors le temps n´ecessaire
pour
y arriver
m
dxest de la forme :
p
t1 =r Z x⌦
r
Z x⌦ t2
m
dx
m2
dx(x)
E
U
x
1
p
p
t ⌦ t1 =

2 x1
2 x1
E U (x)
E U (x⌦ ) 1/2U 00 (x⌦ )(x x⌦ )2

ous permet aussi de dire qu’il est impossible
d’atteindre
un point d’´eq
00etique - potentielle 103
Th´
eor`
emes/ ´
energie cin´

ment pr`es de x⌦ . De plus le caract`ere instable nous impose que U < 0, ce qui nous

00
ant
x
suffisamment
pr`
e
s
de
x
.
De
plus
le
caract`
e
re
instable
nou
temps
fini.
En
e↵et
si
x
est
le
point
d’´
e
quilibre
instable
et
que
l’on
c
1

dans
le
voisinage
de
car
le
point
est
instable

`ere instable nous impose que U < 0, ce qui nous

de
l’´energie :pr`
potentielle
E instable
= U (xnous
de telle
que
la nv
suffisamment
es de x⌦ . Deen
pluscele point
caract`ere
quesorte
U 00 < 0,
ce qui
d’affirmer
⌦ ) impose

Cette intégrale permet de dire qu’il est impossible d’atteindre un point d’équilibre instable et
r
mer
:
Z exen
Z x⌦ y arriver est de
r
⌦ un temps
rvation
d’´
nergie,
alors
ecessaire
pour
de s’y m
arrêter
fini.dx le temps n´
m
dx

1



r2

p

=

la for

00 (x )|
r
Z
|U
x|
x|

r
x1 |x⌦
x
Z
r

Z x
m r m Z x dxm dx x⌦ m r dx
dx
m
m
dx
p
p
t1 =

Z
r
p
p
= point00 x se rapporche =
t
t

t
t


1

1
00 (x
x
1

2 x21 mx E 1/2U
2
iverge logarithmiquement.
Autrement
dit,
le
de
x
exponen
00
00 (x

(x)
E
U
(x
)
/
U
|U
(x
)|
|x
x|
x1 00 (x ⌦
2
|U
x|


⌦ )(
1/ |U
x
2 (x⌦x)||x⌦ dx
|U
)||x
x|

x1Z

1/2|U 00 (x )||x
x⌦






=temps caract´eristique d´efini par U 00 et la masse :
ec un
1

|U (x )|

1

2



⌦1

00
pression diverge logarithmiquement.
dit, le point x seTh´
rapporche
de´
x⌦ expon


x1 Autrement
e
or`
e
mes/
e
nergie
cin
r
tte
expression
diverge
logarithmiquement.
Autrement
dit, le poin
m U 00 et la masse
tement
avec un temps
caract´et/⌧
ristique
d´efini par
:
|x x⌦ | ⇡ e
⌧=
00 (x )|
00
|U
re⌦ristique d´
nt lentement avec un temps caract´
e
fini
par
U
et la ma
m

|x x⌦ | ⇡ e t/⌧ ⌧ =
|U 00 (x⌦ )|
r

x|

|x

x|

ent dit, le point x se rapporche de x

exponen-

ffirmer :

Energie cinétique et potentielle autre
aspect
géométrique
r
Z
Z
r

x1 suffisamment pr`es de x⌦ . De plus le caract`ere instable nous impose que U 00 < 0, ce qu

ffirmer :

t⌦

m
t1 ⇡
r 2 Z

x⌦

x1

p

dx

1/2|U 00 (x )||x



=

x| r

m
|U 00 (x⌦Z)|

x⌦
x1

dx
|x⌦

x|

x⌦
x⌦
m
dx
m
dx
p
=
t ⌦ t1 ⇡
00 (x )|
00
1
|U
x|
/
|U
(x
)||x
x|
xpression diverge 2logarithmiquement.
Autrement
dit,
le⌦pointx1x |x
se⌦rapporche
de x
x1
2



entement avec un temps caract´eristique d´efini par U 00 et la masse :

expression diverge logarithmiquement. Autrement dit, le point x se rapporche de x⌦ exp

entement avec un temps caract´eristique d´efini par Ur00 et la
masse :
m
|x x⌦ | ⇡ e t/⌧ ⌧ =
r |U 00 (x⌦ )|
m
t/⌧
|x x⌦ | ⇡ e
⌧=
|U 00 (x⌦ )|

On se rapproche du point d’équilibre instable exponentiellement lentement avec un temps
caractéristique qui dépend de la masse de l’objet et de la dérivée seconde du potentiel.

otentiel
U
.
Pour la gravitation locale, nous avons :

fondamentales de laEnergie
physique cinétique
sont conservatives
;
et potentielle
nous
:
!
!
nt
doncavons
d’un potentiel
U Champ
. !
de
gravitation
!
f = m g = mg 1z = rU

>

U (x, y, z) = m

avitation
locale, nous
avons
: vu!
!Pour la gravitation
!
locale
nous
avons
que:
!
m g = mg
1eznergie
= totale
rU s’´ecrit
> donc
U :(x, y, z) = mgz
etf la=conservation
de l’´
!
!
!
!
f = m g = mg 1z = rU
> U (x, y, z) = mgz
1/2mv2 + mgz = E

rgie totale s’´ecrit donc :

la conservation
de l’énergie
donc:donc :
rvation
de l’´energie
totales’écrit
s’´ecrit

Gravitation universelle1

2 = E
/2mv +1/mgz
mv
+ mgz = E
2

2

Nous pouvons ´evaluer le potentiel pour chaque force rencontr´ee. Par exemple,

laNous
force
quivu s’exerce
de A sur
B est donn´ee par
avons
la force universelle
de gravitation:
n universelle
G MA MB !
!
ons ´evaluer le potentiel pour chaque force rencontr´
e. Par exemple,
pour la gravi
BA
F A/B e=
3
|AB|
otentiel pour chaque force rencontr´ee. Par exemple, pour la grav
i s’exerce de A sur B est donn´ee par
sur
donn´
ee parde r´ef´erence centr´e en O, nous pouvons calculer la p
DansBunest
syst`
eme inertiel
G MA MB !
!
BA
F A/B =


3
|AB|
!MB !! G MA MB
! d !
G
M
!
A
vB =
BA· OB
F A/B = PB = F A/B ·BA
3
|AB|
dt

orce gravitationnelle

ce d’attraction gravitationnelle entre deux points de masses m1 et m2 varie en raison inverse

La force gravitationnelle

distance r entre les deux objets, elle est dirig´ee suivant le vecteur qui relie les deux objets et
la distance r entre les deux objets, elle est dirig´ee suivant le vecteur qui relie les deux objets et est
!
!
nelle
produit
masses
deux
F 1/2 cr´e´ee par la masse m1 et qui agit
onnelle auau
produit
des massesdes
des deux
objets. Lades
force F
cr´e´eeobjets.
par la masseLa
m etforce
qui agit sur
!
que celle F !
agissant de m sur m s’´ecrivent :
pour
gravitation
nous
avons
vus’´
que:
ueRappel,
celle F
agissant
de
m
sur
m
ecrivent :
2
1
2/1 la
m m
m m

orce d’attraction gravitationnelle entre deux points de masses m1 et m2 varie en raison inverse du

1

1/2

2

2/1

!
F 1/2 =

1

1

G

2

r2

!
1 1/2

et

!
F 2/1 =

G

1

r2

2

!
1 2/1

m!1 m2est !
m1 m2 !
!
!unit´e qui est
m ·kg ·s , le vecteur 1
un vecteur de longueur
F 1/2 = G
1 1/2 et F 2/1 = G
1 2/1
2
2
m vers m .
r
r
ton a aussi montr´e qu’un corps sph´erique de rayon R, de centre C et dont la masse M est distribu´ee
!
ment, autrement dit : dont la masse par unit´
la mˆeme
2 partout dans la sph`ere,
ns
le SI : 6.67259 ⇥ 10 11e mde3volume
·kg est1 ·s
, le vecteur 1produit
e qui
1/2 est un vecteur de longueur unit´

dans le SI : 6.67259 ⇥ 10
1

1

11 3

2

1/2

2

e d’attraction gravitationnelle totale identique a` celle produite par un seul point de mˆeme masse

de la .sph`ere.
mau1 centre
versC m
2

n a aussi montr´e qu’un corps sph´erique de rayon R, de centre C et dont la masse M est distrib

ent, autrement dit : dont la masse par unit´e de volume est la mˆeme partout dans la sph`ere, prod

d’attraction gravitationnelle totale identique a
` celle produite par un seul point de mˆeme ma
Newton a aussi montré qu’un corps sphérique
centre
C de produites
la sph`
ere.
forces
gravitationnelles
par
chaque partie de cette sph`ere sur une masse m s’additionnent
de rayon R, de centre C et dont la masse M est
laisser qu’une force totale pointant vers le centre de la sph`ere et ind´ependante de son rayon R. On
distribué
c faire abstraction des rayons des plan`etes dans le calcul de la force de gravitation, sous
l’hypoth`eseuniformément, autrement dit : dont la
plan`etes sont sph´eriques.
masse par unité de volume est la même partout
ation !
a de la Terre (de masse M ) et l’acc´el´eration !
a de la Lune (de masse M ) sont d´etermin´ees
dans la sphère, produit une force d’attraction
quations :
gravitationnelle totale identique à celle produite
M M !
!
M !
a =F
= G
1
par un seul point de même masse M situé au
r
M M !
!
centre C de la sphère.
M !
a =F
= G
1

TH

T

T

L

L

L

L

T /L

T
L
2
TL

T /L

T

T

L/T

T
L
2
rT L

L/T

est la distance qui s´epare la Terre de la Lune et o`
u nous avons fait l’hypoth`ese que la masse
(inertie)

fois plus petite que la Lune. On peut donc, sans g
La
force
gravitationnelle
e la Terre sera 100 fois plus petit que celui de la Lune. M
TL

T /L
pour ne laisser qu’une force totale pointant
vers
le centre!
de la sph`ere et ind´ependante d
!
Lune, est construit en divisant le vecteur Terre-Lune : T L, par sa longueur kT Lk. Les
peut donc!faire abstraction!
des rayons des plan`etes dans le calcul de la force de gravitatio
ment des vecteurs positions OL de la Lune et OT de la Terre sont :
que ces plan`etes sont sph´eriques.
!
!
L’acc´
e

e
ration
a
de
la
Terre
(de
masse
M
)
et
l’acc´
e

e
ration
a L de la Lune (de masse M
T
T
8
!


2
d
G MT
! G MT LT
!
!
!
>
>
OL = !système
OL =de !
les
´equations
>
L’acc´
el´
edtration
lacartésiennes
Terre
100OL
fois àplus
petite
que la Lune. On peu
! par
! 3 estOT
inertiel
de
coordonnées
considéré
l’instant
t,
2 Dans un
<
2 :
2
kLT k kLT k
kOT OLk
que
la
Lune.
On
peut
donc,
grand
calcul,
stepositionnons
petite
que
la
Lune.
On
peut
donc,sans
sans
grand
calcul,
> la Lune:
la!Terre
et


2
intuitivement
dire
que
le
mouvement
de
la
Terre
sera
fois plus petit que cel
>
M100
d
G
M
!
!
!
T ML !
L
>
! G ML T L
!
>
MLOL
a LTerre
=
F T /Lest
= 100
G fois
1 T /Lpetite que la
OT = el´
OT
e
ration
de
la
plus
: 2 L’acc´
OT
=
!
!
2
!
!
2 sera 1002 foisde
3
rT L
dt que
petit
celui
Lune.Mais
Mais
tentons
kOL
OT
pr´eciser
cela
en essayant
dekla

eterminer
la vraie
trajectoire.
kT Lk5-2
kT Lkplus
100 fois
plus
petit
que
celui
de de
la
Lune.
tentons
Mla
intuitivement
dire
que
le
mouvement
de
Terre
!
TM
L ! sera 100 fois p
!
Dans
un
syst`
e
me
inertiel
de
coordonn´
e
es
cart´
e
siennes
consid´
er´e a` l’instant t,
M
a
=
F
=
G
1 L/T
T
T
L/T
2
ie
trajectoire.
rT L
jectoire.
!

ner la vraie trajectoire.

nn´ees cart´esiennes consid´er´e a` l’instant t, d´esignons par O

et de la Lune.
On
peut
donc
dire
laOn
pr´eciser
cela en
dede

eque
terminer
ladistance
vraie
trajectoire.
OL(t) les de
vecteurs
position
de essayant
la Terre
et
la
Lune.
peut donc
direTerr
que
!
!
t´esiennes
consid´
eo`

era` l’instant
t,esignons

esignons
par
OT
(t)Lune
et!par
par
!
u!
est Dans
la distance
qui

epare
la!
Terre
decoordonn´
la
et
o`
u cart´
nous!
avons
faitconsid
l’hypo
!
un
syst`
e
me
inertiel
de
siennes
nes
consid´
er´
e
a
`
l’instant
t,

par
OT
(t)
et
est la longueur du vecteur rT L = kT Lk = kOL OT k.eesDe
mˆeeme,
le vecteur
kLune.
= kOL
OT
De

e
me,
le
vecteur
unit´
,
d’inertie
Mk.
de la
Terre
qui apparaˆ
ıt dans la deuxi`
eme loiede 1
Newton
est
´equ
gal
!dire
!
T
/L
On peut
donc
que
la
distance
Terre-Lune
r
T
L
OL(t)vers
les Lune,
vecteurs
position en
dedivisant
la Terrele et
de laTerre-Lune
Lune. On: peu
direction
Terre
est construit
vecteur
T L,
. On!peut donc
dire
que
la
distance
Terre-Lune
r
itationnelle M
qui apparait !
dans la loi d’attraction
universelle
reviendrons
T L ! (nous
!
!
!
!
!
quations
du vecteur
mouvement
des
depar
lalaLune
et longueur
OT k.
de la
est
la longueur
du
vecteur
=T
kOL
T Lk
=
kOL
OT
DeTer
m
k. De ´eloin).

eme,
le
unit´
evecteurs
1 T /Lpositions
, rqui
indique
TL
le
vecteur
Terre-Lune
:
L,
sa
! enOTdivisant
!
T k. De mˆeme, le vecteur
unit´
e
1
,
qui
indique
la
!
!
T
/L
direction
Terre
Lune,
est M
construit
en
divisant
leTerre
vecteur
T
Les donn´
ees actuelles
M vers
⇡sa
5.98
10 kg,

7.35
10
kg,
distance
- Lune
!
ant le vecteur !
Terre-Lune
:
T
L,
par
longueur
k
T
Lk.
Les
!
!
8 2 sont!
!

2
positions
OL
de
la
Lune
et
OT
de
la
Terre
:
G
M
LT
d
G
M
(soit approximativement
60
rayons
terrestres
R

6.37
10
m)
nous
permettent
de
calcule
vecteur
Terre-Lune
: T L,d par
sa
longueur
k
T
Lk.
Les
!
!´equations
!
!
T
T Lune
>
du mouvement
des vecteurs
> positions OL de la
TH

(inertie)
T
(grav)
T

T

OL =sont
OL de la Lune
et
OT
de
la
Terre
! :
2
dt
force et des acc´el´erations
respectives.2

24

22

L

T

6

OL = !
O
>
!
!
<
2
3
dt
!
kLT k kLT k
kOT OLk
nous
dit et
que du
la d´
eriv´
ee seconde
rapport
au:latemps
la position
> de la 2Lune
5-4
euation
laLes
Lune
OT
de
la Terre
sont
équations
mouvement
de par
la 2Terre
et de
Lune de
deviennent:
!

>
d
G
M
!
dpositions
G laM2Lune
8 2L
>
! de
L 20 TetLde la Terre. Il
!
>
5
2
3O
on) d´epend, de
mani`
e
re
compliqu´
e
e,
des
en
va
de
OT
=
:
OT
=
5-3
F
=
F
1.98
10
N
;
a
=
3.3
10
m
s
;
a
=
2.7
10
!
!
G
M
LT
d
d
T
L
T
/L
L/T
!
!
!
!
T
>
8 2
2
3
2OL
dt2
>
dt
k
OL
OT
k


k
T
Lk
k
T
Lk
=
OL
=
>
2 donc notre premier syst`eme d’´equations
ation de la Terre. Nous rencontrons
rentielles
! di↵´e!

8


2
<
2
d
G
M
!
!
!
2
T
>
dt
dt
d
G
M
k
LT
k
k
LT
k
k
!
!
!
T
!>
! OL =>
OT
OL
>
!
>
OT
(t) et OL(t).
> OL 2
5-4 !


2
2<
OL
=
OT
3
!
>
dt
2
kOT
OLk !
>
dplifier en
M
!
!
d
!soustrayantG<
!
T
!
d
G
M
T
L
2
>
!
L
3
les
deux
´
e
quations
pour
faire
disparaˆ
ıtre
toute

e

e
rence
au
point
>
dt
OT
=
=
OT
OL
:
OT
=
k2>OL
k
OT
OLk
!
!
2


!
!
2
2
!
2le kvecteur
dt
3
dt
k
d
G
M
tdes>
k
T
Lk
T
Lk
!
!
!
coordonn´
e
es.
Nous
obtenons
alors
une
´
e
quation
qui
ne
concerne
que
T
L,
L
k
OT
OLk
>
>
OL OT


: 2 OT = ! 2 !

Forces/ La for

kOL OT k
kT Lk kT Lk
8 2
!
!
!
!


G MT LT
d
G
M
!
!
!
T
>
est
la
longueur duOTvecteur
rT L = kT Lk = kOL OT k. De mˆe
>
= !
OL
=
OL
>
!
!
!
< dt2
2 kLT k
3
k
LT
k
kOTfois OLk
L’acc´el´eration de >la Terredirection
est 100
plus
petite
que est
la Lune.
On en
peut
donc, sans
grand cal
Terre
vers
Lune,
construit
divisant
le
vecteur
Te
!


2
>
d
G ML
!
! et de la Lune sont:
! du mouvement
G ML T L
>
Les
équations
de
la
Terre
>
OL100OT
tivement
la Terre
sera
fois plus petit que celui de la!
Lune. Mais tent
: 2 OT = de!
=
!
! 2 dire
! que le mouvement
3
´
e
quations
du
mouvement
des
vecteurs
positions
OL
de la Lune e
dt
kOL OT k
kT Lk kT Lk
dt

La force gravitationnelle

r´eciser cela en essayant de d´eterminer la vraie trajectoire.

!
Dans un syst`eme inertiel de coordonn´ees cart´esiennes consid´er´e a
` l’instant t, d´esignons
par OT (t) et
8
!
2
2
G
M
LT
d
d
!
!
T dire que la distance
>
) les vecteurs position de la Terre et de la Lune. OL
On =
peut donc
Terre-Lune
>
OL =
>
!
!
2
<
2
2 kLT k
!
! dt!
! dt
k
LT
k
k
a longueur du vecteur rT L = kT Lk = kOL OT k. De mˆeme, le vecteur unit´e 1 T /L , qui indiqu
>
!grand
2
Terre est 100 fois5-4plus petite que la Lune. 2On peut donc, sans
calcul,
!
!
>
d
!
ML T L
>
tion Terre vers Lune, est construit en divisant dle vecteur
Terre-Lune
: T L, par sa longueur
k
T
Lk.
! G
>
OT
=
: 2
OTcelui
= de
!la!
!
!dt2que
mouvement de la Terre sera 100 fois plus petit
Lune.
Mais
tentons
2 de
dt
k
tions duLamouvement
des
vecteurs
positions
OL
de
la
Lune
et
OT
la
Terre
sont
:
k
T
Lk
k
T
Lk
premi`ere ´equation nous dit que la d´eriv´ee seconde par rapport au temps de la position de la Lu
nt de d´eterminer la vraie trajectoire.
(donc son acc´el´eration) d´epend, de mani`ere compliqu´ee, des positions de la Lune
et de la Terre. Il en va
!
rtiel de coordonn´
esiennes!consid´er´e a` 8
l’instant
t, d´esignons par OT
(t) et par⌘

2
2 ees cart´
GM
LT Nous rencontrons
d
G premier
MT
d !
mˆeme pour l’acc´
el´eration
deT la Terre.
donc notre
syst`e!
me d’´e!
quations di↵´erentie
!
>
>
OL
=!
OL =
OT OL
>
!
!
!
!
!
on pour
de lalesTerre
et
de
la
Lune.
On
peut
donc
dire
que
la
distance
Terre-Lune
rT L
2
<
2
2
3
dt
dt
k
LT
k
k
LT
k
k
OT
OLk
inconnues
OT
(t)
et
OL(t).
nous dit que !
la d´eriv´ee !
seconde!par rapport >
au temps de la position !
de la Lune
⇣ indique
⌘ r´ef´erence au po
2
ur rT L On
= kpeut
T Lk
kOL
OTsoustrayant
k.T!
De mˆeme,
le
vecteur
unit´
e
1
,
qui
la
2 le=simplifier
T
/L
>
d
G
M
en
les
deux
´
e
quations
pour
faire
disparaˆ
ıtre
toute
!
!
!
d
G
M
L
L
>
pend, de mani`ere compliqu´
ee, des
et de la Terre. Il en va de
!
L positions de la Lune
>
OT
= !
OL
OT
!
!
:
OT
=
!
!
!
2
2en divisant
3 ne
e, la
est
construit
le
Terre-Lune
: eTalors
L, par
sa
kT concerne
Lk. Les que le vecteur T
2 vecteur
dtd’´
dtrencontrons
O,
origine
arbitraire
des
coordonn´
ees.
Nous
obtenons
une
´equation
kOL
OT kqui
de
Terre.
Nous
donc
premier
syst`
eme
quations
di↵´
elongueur
rentielles
kT Lk
knotre
T Lk
!
!
!
des
vecteurs
positions
OL
de
la
Lune
et
OT
de la Terre sont :
position
de
la
Lune
par
rapport
a
`
la
Terre
:
et OL(t).
On peut simplifier ces équations en les soustrayants pour faire disparaitre la référence à l’origine:

en soustrayant les deux ´equations pour faire disparaˆıtre toute r´ef´erence au point
2
2 vecteur T!
8
! obtenons
oordonn´ees. Nous
alors
une
´
e
quation
qui
ne
concerne
que
le
L, T + ML ) !
d
G
M
G
M
d
G(M

2 T !
!
!⌘
L !
G MT LT
d
G
M
!
!
!
TL >
= ! LT
TL
>
TL =
TL
!
!
>
2
2
3
3
3
=
OL
=
OT
OL
>
dt
pport!a` la
Terre
T 2Lk
k!
T Lk ! 3
kT Lk
!: dt
< kdt
2

kLT k

kLT k
kOT OLk
>
!
!


2
L’acc´
e

e
ration
de
la
position
relative
de
la
Lune
par
rapport
a
`
la
Terre
T
L, est dirig´ee de L vers T
>
d
G
M
!
!
!
G ML T L
L
>
2
>
GM
G
M
d OT
G(MT !
+
Mqui
OL
!
!
!=équations
! pasOT
T
L
L ) n’est
:
=
!
.....il
ne
reste
plus
qu’à
résoudre
ces
ce
!
!
2
invers´
proportionnelle
`2 la
carr´
vecteur.évidant.... à suivre....
= est
LT ement
TL
> dt a
T Llongueur
=kOL auOT
TL
3e du
2
!
!
!
k
k
T
Lk
k
T
Lk
erekT´equation
nous dit que la d´eriv´ee seconde par r
dtLa premi`
kT Lk3
kT Lk3
Lk3

aluer
le potentiel pour chaque force rencontr´ee. Par exemple, pour la gravitatio
universelle

Gravitation
universelle
et
potentiel
ns
´evaluer
potentiel
pour
chaque
force rencontr´ee. Par exemple, pour la gravitation universelle,
rce
de Alesur
B est
donn´
ee par

s’exerce de A sur B est donn´ee par

G MA MB !
!
BA
=MA MB !
!F A/B G
3
|AB|
BA
F A/B =
3

|AB|
Dans un système inertiel de référence centré en O, nous pouvons calculer la
de

e

e
rence
centr´
e
en
O,
nous
pouvons
calculer
la
puissance
au
t`einertiel
me
inertiel
de

e

e
rence
centr´
e
en
O,
nous
pouvons
calculer
la
puissance
au
point
B
:
puissance au point B et A:

✓ ◆

G MG
MBA M!
d !
!
A M
d
!
!
!
!
B
!
P
=
F
·
v
=
BA·
OB
B
B
A/B
PB = F A/B · v B =|AB|3 3 dt BA· OB

puissance au point A est donn´ee par :

PA

|AB|

poin

dt

Th´
eor`
emes/ ´
energie cin´
etique - potentielle

99


◆ Th´
eor`
emes/ ´
energie cin´
etique
G MA MB
!
! d !
!
= F B/A · v A =
AB· OA
3
|AB|
dt

ssance fait intervenir le point O origine des coordonn´ees alors que la force ne d´epend que de la

re les masses. On obtient une forme qui ne contient plus le point O si on calcule la puissance
Chaque puissance de la force fait intervenir le point d’origine des coordonnées mais la force ne
dépend que des distances entre les masses.


G MA MB
! d !
! d !
PA + PB =
BA· OB + AB· OA
3
|AB|
dt
dt


G MA MB ! d !
d !
=
BA·
OB
OA
3

ur B est donn´ee par
G MA MB !
!
BA
F A/B
=
de mˆeme
la puissance
ee par :
|AB|3 au point A est donn´

Gravitation universelle et potentiel



de

e
me
la
puissance
au
point
A
est
donn´
e
e
par
:
e r´ef´erence centr´e en O, nous pouvons calculer la puissance
au point
BA
: MB
GM
!
! d !
!
6-51
PA = F B/A · v A =
AB· OA


3


|AB|
dt
G
M
M
d
!
!
!
A
B
!
!
! d !
6-51G MA MB
P
=
F
·
v
=
AB·
OA
A
A
!
B/A
PB = F A/B · v B =
BA· OB
|AB|3
dt
3
|AB|
dt
Chaque puissance fait intervenir le point O origine des coordonn´ees alors que la force ne d´epend q
Chaque puissance fait intervenir le point O origine des coordonn´ees alors que la force ne d´ep

eor`
emes/une
´
energie
cin´
etique
99 plus le point O si on calcule la p
distance entre les masses. OnTh´
obtient
forme
qui- potentielle
ne contient

distance
lespossible
masses. On
obtient une
nene
contient
plus plus
le point
O si on calcul
Si l’on calcule la puissance
totaleentre
il est
d’obtenir
une forme
formequiqui
contient
le point
totale :
d’origine:
totale :

6-52

6-52





G MA MB G!
d
d
!
!
!
MA MOB
d ! OA! d !
B
PA + PB = PA + P3 B = BA·
+!AB·
BA·
OB + AB· OA
|AB|
dt3
|AB|
dt dt
dt




M
M
d
d
G MA MB G
d
d
!
!
!
! A B!
!
=BA·
BA·
OB
OA
=
OB
OA
3
|AB|dt
dt
|AB|3
dtdt
M MB ! d !
G MA MB = G
! dA 3!
BA· AB
=
BA·
AB
|AB|
dt
|AB|3
dt
G MA MB ! d !
G MA M=
d 3 ! AB· dt AB
!|AB|
B
=
AB· AB
|AB|3
G Mdt
A MB d
=
|AB|
G MA MB d |AB|2 dt
=
|AB|
|AB|2 = ddtG MA MB
d G MA MBdt |AB|
=
|AB|pour le th´eor`eme de conservation de l’´energie si on tien
On obtient donc la formedtattendue

deux masses ensemble, c’est-`a-dire si on prend en compte le syst`eme physique ferm´e constitu´e

On obtient donc la forme attendue pour le th´eor`eme de conservation de l’´energie si on tient com

masses enpour
interaction.
On obtient
donc
le th´eor`eme fondamental
de
la
conservation
de l’´energ
On deux
obtient
la
forme
attendue
le
théorème
de
la
conservation
de
l’énergie
si
on
tient
compte
masses ensemble,
c’est-`
aferm´
-dire
si nous
on prend
en
compte le syst`eme physique ferm´e constitu´e par
du
syst`
e
me
e
qui
impose
:
des deux masses ensembles, un système physique fermé et formé de deux corps.

e, c’est-`
a-dire si on prend en compte le syst`eme physique ferm´e constitu

G
M
M
d
!
!
emble,
c’est-`
a
-dire
si
on
prend
en
compte
le
syst`
e
me
physique
ferm´
e constitu
A
B
onc la forme attendue pour le th´eor`eme de conservation
de
l’´
e
nergie
si
on
tient co
=
BA·
AB
. On obtient donc
le th´eor`eme
fondamental
de
la
conservation
de l’´ener
3
Gravitation
universelle
et
potentiel
|AB|
dt
ction.
obtient
th´eor`
eme
fondamental
la conservation
de l’´
ensemble,
a-diredonc
si onleprend
en
compte
le syst`emedephysique
ferm´e constitu´
eener
par
6-52 Onc’est-`
nous impose :
G MA MB ! d !
´eeraction.
quiobtient
nous
On
obtient: donc
le th´ede
or`
eme
fondamental
de l’´energie
On
leimpose
théorème
fondamental
la
conservation
de l’énergie
partant
=de laenconservation
AB·
AB en
3
|AB|
dt
du système fermé considéré:
rm´e qui nous impose
d d1
d 1d :
2
2
M
MB d
A
( /2(M
v
)
+
(
/
M
v
)
+
P
2
2 = PA G
2
B
B
1/A
1
A
B
+ ( /2MB vB ) =
= PA + PB2
|AB|
dt dtd 2MA vA ) dt
d
dt
|AB|
dt
2
( 1/2MA vA ) + ( 1/2MB v2B ) = PA + PB
dt
dt
MA MB
d Gobtient
de
la
puissance
totale
calcul´
e
e
pr´
e

e
demment,
on
orme de la puissance totale calcul´ee pr´ec´edemment,
la conservation
conservation
= on obtientla
dt obtient
|AB|la conservation dans
a forme de la puissance totale calcul´ee pr´ec´edemment, on
esyst`
mecompte
esyst`
e:me :du résultat obtenu précédemment:
Endu
tenant
otale du syst`eme :
On obtient donc la forme attendue pour le th´eor`eme de conservati
G
M
M
G
M
M
A
BB
A
2
2
2
2
1/2M
1
1/A
1
GM
MBprend
vensemble,
+A2 +
/2M
vBBv2B
==EE
v
/
M
Aon
2B
A
deux masses
c’est-`
a
-dire
si
en
compte
le
syst`
e
me
A
12/M
1
=
E
2MA vA + /2MB vB
|AB|
|AB|
|AB|
masses en interaction. On obtient donc le th´eor`eme fondamental de
ielle
gravitationnelle
UU du
syst`
eme
me
form´
edes
des
deux
masses
est
donc
donn´
ee pa
gravitationnelle
U
du
syst`
e
me
form´
e
des
deux
masses
est
donc
donn´
p
entielle
gravitationnelle
du
syst`
e
form´
e
deux
masses
est
donc
donn´
e
e
par
L’énergie
potentielle
gravitationnelle
U
du
système
formé
par
deux
masses
est:
du syst`eme ferm´e qui nous impose :
6-53

G
M
G
M
MM
AA
BB
G
M
M
A
B
d 1
d 1
U=
=
2
2
U=
(
/
M
v
)
+
(
/
M
v
|AB|
2 B B ) = PA
|AB| 2 A A
|AB|
dt
dt

´
eration
la forme
de la qu’il
puissance
totale
e pr´ec´
o
Choix En
d’un injectant
potentiel négatif
en considérant
s’annule pour
une calcul´
distanceeinfinie,
oùedemment,
la force
tion

de gravitation
entre deux
est nulle
lication
imm´ediate
de laobjet
conservation
de l’´energie dans un champ de gravitation c



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