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Les collisions
approche élémentaire

auxCollisions
caractéristiques de chacune
simplement
deux
corps
a
simplement
deux
corp
est à prendre au sens large, il
Dans l’étude d’une collision,
on ne s’intéresse
pas au détail de l’interaction,
mais seulement
aux
rapprochement
conduisant
rapprochement
conduis
(comète autour du soleil ou dé
caractéristiques de chacune des particules avant et après l’interaction. Le terme collision est à
prendre au sens large, il n’y a pas forcément un contact "physique" pour les objets (comète autour
simplement
deux
corps
du soleil ou déviation des lorsque
charges
électriques,
etc.).
On considère
simplement
deux corps avant
avant
lorsque
les
interactions
r
les
interactions
rede
que les forces d’interaction soient significatives, puis, après rapprochement conduisant à des forces
significative.
rapprochement
conduisant
à
de
collision
UneUne
collision
serasera
ici ici
vuev
lorsque
les
interactions
redevienn
Une collision sera ici vue sous sa forme la plus simple : deux points matériels sont en
interaction,
sans
aucun
interaction,
sans
aucune
a
interaction, sans aucune
autre
force
extérieure
appliquée
à
ce
système.
Une collision sera ici vue sous
Les
deux
seules
forces
Les
deux
seules
forces
en pe
interaction,
sans
aucune
autre
LesFdeux
seules
forces
en
présen
avec
F1 2 et1 2Fet2 1 Favec
21
F1 2 et F2 1 avec

F
0
F1F21 F
F
0
1 2F2 1 201
2
21

Action réciproque

dans le cas où il n’y a pas de fo
Collisions: conservation de la quantité de mouvement
constante. Donc :

p1
Avant

p2

'
1

p

'
2

p

Après

Cette relation est valable même

En absence de force extérieure la quantité de mouvement est conservée. Notons que cette
relation est valable même si la masse n’est pas constante.

3. Dimensions de

Dimensions de la collision

Dans le cas général une collision se déroule en trois dimensions. Les vecteurs p1 et p2 définissent
un plan et les vecteurs p’1 et p’2 définissent un autre plan.

Dans le cas général, la collis

Dans le cas particulier ou une particule est immobile la collision se déroule dans un plan (2D).

'

p2 définissent un plan, et p1 et

7.3 Collision totalement inélastique (encastrement)...............................................
7.4 Changement de repère ......................................................................................

Collisions: conservation de la quantité de mouvement
Dimensions de la collision

Dans le cas général une collision se déroule en trois dimensions. Les vecteurs p1 et p2 définissent
un plan et les vecteurs p’1 et p’2 définissent un autre plan.

Collision 3D

Dans le cas particulier où une particule est immobile la collision se déroule dans un plan (2D).

m1
p1

Avant

m2

p2
m2
Plan
d’incidence

m1

p’2

p’1

p1

p2

'
1

p

'
2

p

Si les forces extérieures
• sont nulles
• ou n’ont pas le temps d’a

Après

Rappel: d p

Fext. dt

Collision 2D

(ici m immobile)
Collisions:
une
à l’arrêt
Enparticule
effet, puisque

p
0
:
2
Collision,
m au re

2

m1

m1

p1

p1

p1

p1

p’2

m1

m2

p’2

m2

p1

p’2

1

mla 1c

Plan
de

Plan
de

1

1'

1

ollisi
on

la co
llisio
n1

p’

collis
ion

p’1

p

2

p’2

p’1

'
1

p

'
2

p
1

1

'
' 1

'
' 2

1

p
p
p
1
1
Ces trois vecteurs composent
Simplification
: 2un triangle qui définit

Collision, m2 au repos

le plan de la collision.

2

dans toutep'la suite, nous allons
2
Collision, m au repos
La masse étant constante, la co
2

1

'
1

'
2

1

p1

(vecteurs dans le plan de la feuille)

p1'

2

p entre
4. Relation
p p p

m1

m1

(vecteurs dans le plan de la

'
2

p1 p’ p p p
1
p
p’
1
p
Ces trois
vecteurs
composent
u
p’
p’ ' p’ 1
p p p p p’1
p’2
1

p’2
m1
m
2
m
Plan
p’
de la
1 2
m
collm
isiom
2n 2 2

m2

'
1

2

(vecteurs dans le plan de la feuille)

p1

m
V
m
V
1
1
2
2
Collision, m2 au repos
p (vecteurs dans le plan de la feuille)
Soit
aussi
:
Collision,
m
au
repos
p
2
2

'
2

'
'
1

'
'
2

p
p
p
1
m1V1 m2V2

1

'

'

2

Collisions:
une
particule
à
l’arrêt
En
effet,
puisque
(vecteurs dans le plan de la feuille)
Collision, m2 au repos

'
2'
2

'
1

p

1

p1

'p
21

p

'
2

p

1

'
2

p

p1

m1V1

'
1

p

p

'
1m V1'

mV

masses cons tan tes

m1V1

m2 V

Collisions

m1V1

'
mCollisions
V
1 1 cos 1

'
1 1

'
2 2

m V sin

1

masses constantes et relation avec
les vitesses
'
'

4.
Relation
entre
mV

'
2

1 1

p
'
p1 p1 p
'
'
p
p
p
1
1
2
Ces trois vecteurs composent
u

masses cons tan tes

'
2

0 :

p2

2

'
2 m2V

m1V1

m1V1' cos

m V cos

'
1 1

m V sin

m2V2' cos

'
1 1

m1V1

m1V1

1

m2 V2

'
2 2

m V cos

'
2 2Collisions
2

m V sin

2

Simplification :
dans toute la suite, nous allons
m V cos
102
La masse étant constante, la co

m V sin

1 1

m1V1' sin

1

1

m2V2' sin

2

2

1

102

'
2 2
2

2

m1V1 m2V2
102 aussi :
Soit

'
1 1

mV

'
2

m2V

1 est
Propriétés
les collisions
qui se déroulent
avec n’e
con
inutile de parler Ce
icisont
de l’énergie
mécanique
puisqu’il

Collisions
élastiques:qui
conservation
de l’énergie
cinétique
est se
inutile
de parler
ici de l’énergie
mécanique
sont
les
collisions
déroulent
avec
conservation
de
forces extérieures étant
nulles.
forces extérieures
étant
nulles.
2
inutile
de
parler
ici
de
l’énergie
mécanique
puisqu’il
n’e
1
CeRappel
sont les collisions
qui
se
déroulent
avec
conservation
de
l’énergie
cinétique
du
système.
2
1
nécessite
la
masse
soit
co
: l’écriture ERappel
c
2 mV
Ec que
mV
nécessite
que
la
m
: l’écriture
2
rces
extérieures
étant
nulles.
Il est inutile de parler ici de l’énergie mécanique puisqu’il n’existe pas d’énergie potentielle, les forces
2
extérieures étant nulles.
1
nécessite
que
lacinétique
masse
soit
co
ppel
l’écriture Ede
La
conservation
de l’énergie
separ
tradui
c l’énergie
La:conservation
cinétique
se traduit
donc
:
2 mV
1

2
m1 1

V

1

2
m2 2

V

1

1

2
m1 '21

V

1

1

2
m2 2 '2

V

1

'2
m1 1

V

1

'2
m2 2

V

m2 1V1
2 m2V2
2
2
conservation
cinétique
se
traduit
donc
par
:
2
2 de l’énergie
2
2
Elle peut se réécrire sous la forme :
' la forme
'
'
'
Elle
:
1peut se
1
1
2
2 réécrire
'2msous
'2
(
V
V
)(
V
V
)
m2 (V2 V2 )(V2 V2 )
1
1
1
1
1
m1V1
m2V' 2
' m2V2
' m1V1
'
m1 (V21 V1 )(V1 2 V1 ) relation
m22 (Vscalaire,
V2 )(Vqui
V2 )
une certaine si
2
2 présente
En l’absence d’information supplémentaire, nous ne pouvons pas résoudre le système,
vitesses
issue
de
la
conservation
de
la
quantité
d
'
relation
scalaire,
qui
présente
une
certaine
similitude
ave
lec’est
peut
se
réécrire
sous
la
forme
:
à dire déterminer les V car nous avons:

de mouveme
(V vitesses
V )(V issue
V )de la conservation
(V V )(Vde laVquantité
)
3 fourniesscalaire,
par l’équation vectorielle
des vitesses, et une
une par l’équation
scalaire.
ation
qui présente
certaine
similitude avec
A deux dimensions
il resterait
4 inconnues pour 3 équations.
esses
issue de
la conservation
de la quantité de mouvemen
'
'
'
'
6 inconnues (3 pour chacun des vecteurs)
m2 et2seulement
1
1
1
1
2 4 équations,
2
2

Cas particuliers

dire déterminer V1 et V2 car nous avons 6 inconnues (3 p
4 équations : 3 fournies
par l’équation
vectorielle des vit
Collisions
élastiques:
conservation
de
l’énergie
cinétique
Collision élastique (conservation Ec) avec
[A deux dimensions (dans un plan) il resterait 4 inconnu
m2 au repos et m1=m2
Cas particulier classique une masse
(m
etdonc
conservation
de
lades
masse.
2) au repos
Nous
allons
considérer
cas particuliers.E ) av
Collision
élastique
(conservation
104

c

m2 au élastique
repos et m
2 masse
5.2 Collision
de1=m
deux
2
'2
'2
'
V
V
V
1
1
2
V2 immobile.

V1
V1

V12

'
2

V

2 2
V1' 2 V2' p

1,

'2
si1

'2
2
masse

p
p
et
la

Si
m' 21 m
2
p1 p1 p'2 22
simplifient sous la forme :

'
1

V

2 est supposée immobil

Une interprétation géométrique évidente (théorème de Pythagore)
'
'
V1 queV1les V
et
prouve
deux
vitesses
finales sont perpendiculaires.
2
Schéma
identique
pour les p pour les p
Schéma
identique
2
'2
'2
'
1

V

V1 VV
1 1 V2
Une interprétation géométrique évidente (théorème
d
2
'
2
Sans indication supplémentaire, on ne peut rien dire de plus. Tous les
' triangles rectangles
'
'
V
V
1
1
V
et
V
sont
perpendiculaires.
vitesses
finales
2
inscrits dans un cercle de diamètre V’1 sont possibles. 1
2
Sans
'2 d
Collision élastique directe (sur un
axe) indication supplémentaire, on ne peut2 rien dire

V

'
1

p1

p1

Pour aller plus loin, il faut un paramètre
unedans
information
inscrits
un cercle de diamètre V sont possibles. Po
Collision
élastique
directe
(sur
un
axe)
supplémentaire,
comme
par
exemple
la
déviation
de
la première masse, on peut alors écrire:
avant

supplémentaire,
par exemple la déviation
'
V1' V’1V1 cos

après

V2

V1
m1

avant
m
2

V’1
m1

V

2

V2' m V1 sin
après

Schéma identique pour les p
2

de la masse

V1

V1 cos

Schéma identique pour 'les p

5.3 Collision élastique directe

V
V
cos
1
1
V
V
sin
Collisions
élastiques:
conservation
de
l’énergie
1
Collisiondirecte
élastique
directe
(sur un axe)
' élastique
Collision
(sur
un
axe)
V V sin
'
2

cinétique

2 ligne1 directe: par définition, une collision est directe si tout se déroule
Cas particulier collision en
Par définition,
une collision
est directe si tout se déroule sur un
sur un même
axe, toutes les vitesses
sont alors colinéaires.

Collision
élastique
directe
(sur
un
axe)
5.3sont
Collision
élastique
directe
alors
colinéaires.
avant
après
avant
après



La relation vectorielle des vitesses se projette donc sur cet axe de la
5.3
Collision
élastique
directe
V’
Par définition,
une
collision
si toutV’se
déroule
sur
un même axe: toute
V12
2 V’
2
'V
' estVdirecte
V
2
1
1 V )
1 (a)
m
(
V
m
(
V
V
)
1
1
1
2
2
2
Collision
élastique
directe
(sur
un
axe)
avant
sont alors colinéaires.
après
m
m
m de
La relation
vectorielle
des
se collision
projette
donc
sur
cet axe
de
la se
manière
suiv
Parmdéfinition,
est
directe
sinous
tout
déroule
Avec
l’équation
devitesses
conservation
l’énergie,
avons
don
m m une
m
m
'
'
V2
V’2
'
'
V
V’
m
(
V
V
)
m
(
V
V
)
(a)
sont
alors
colinéaires.
1
1
1 inconnues,
1
1une collision
2
2est
2 qui
V
et
V
sont
bien
entendu
des
variables
algébriques
Par définition,
directe
si
tout
se
déroule
sur
un
même
axe:
toutes
les vitesses
1
2
avant
sont
alors
colinéaires.La
La de
relation
vectorielle
desde
vitesses
sevitesses
projette
donc
sur
cet axe
de
la2 équation
relation
des
se
projette
donc
sur
cet
Avec
l’équation
conservation
l’énergie,
nous
avons
donc
après
mvectorielle
En
divisant
entre
elles la deuxième
relation
de
conservation
de
l’én
m
manière
suivante
:'
'
'
'
m
m
inconnues,' V1 etm
V
qui
sont
bien
entendu
des
variables
algébriques.
2
m
V
(
m
m
)
V
(
V
V
)
m
(
V
V
)
(a)
2
m
V
(
m
m
)
V
'
22 1'
' 12 ' 12 2
1
22 212 ' 21
1
V
V
m1 (V1 VV12)(
V
)
m2 (Vm2 mV2 )(
V
)
1
V’V
1 V1
1
2
2
2
V
V’
m1deuxième
m2 1
1
2
En1 divisant entre
elles la
relation
de conservation
de l’énergie nous a
Avec
l’équation
de
conservation
de
l’énergie,
' celle que
'
'
'
et
nous
venons
d’établir,
nous
obtenons
une
relation
très
Relation
de
conservation
de
l’énergie
'
'
m
(
V
V
)(
V
V
)
m
(
V
V
)(
V
V
)
m
1 1
1
1 inconnues,
1
2
2V et
2 V 2 qui
2 sont bien entendu des variables alg
m
2( m mm2m
m
2m1Vvitesses
(m' 2 21mm1de
)1V12 chaque
les
sommes
masse
avant
et
après
collision
so
(
m
m
)
V
2'
1 )V
2V2
' des
1
2
1
2
1
et celle que nous
venons
d’établir,
nous
obtenons
une
relation
très
simple
entre
V2
V2
V
1m la deuxième relation de conservatio
'
'
m
En
divisant
entre
elles
m
m
2
1
met
mdeux
2
1
après
division
expressionssont égales.
V1 V1 desV2vitesses
V2' de
(b)
les sommes
chaque
masse
avant
après
collision
1des
2
'
'
'
'
'
m1 (V1 V1 )(V(b)
V
)
m2 (V2 V2 )(V2 V2 )
V1 Les
V1 V
V
1
1
2
2 disparaissent donc, et à partir des deux équations (a
carrés
Collisions
Collisions
104
104
2
m
V
(
m
m
)
V
et
celle
que
nous
venons
d’établir,
nous
obtenons
unenou
rel
'
2
m
V
(
m
m
)
V
Lesfacilement
carrés
disparaissent
donc,
et
à
partir
des
deux
équations
(a)
et (b),
1
1
2
1
2
'
2 2à :
1
2
1
V
V1
2
m2 m1 masse avant et après co
facilement à : les
des vitesses de chaque
m1 sommes
m2
V' V V' V
(b)
1

1

2

2

1

1

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

5.4
Collision
élastique
directe
avec
une
masse
Collisions élastiques: conservation de l’énergie cinétique
106

Un cas particulier important est ce
Un
important
d’un
corps
de
vitesse
Un cas
cas particulier
particulier
important
est
celui
d’un
corps
de
vitesse
5.4
Collision
élastique
directe
avec
Collision
élastique
directe,
m
immobile
Collision
élastique
directe,
m
immobile
2
2
Cas particulier collision en ligne directe avec objet
une masse
immobile:
immobile
( V2 de0vitesse
). Les Vdeux
r
Un
cas
particulier
important
est
celui
d’un
corps
qui
e
1
objetimmobile
immobile
relations
se
simplifient
sou
objet
((VV22 0 ).
Les deux
relations
se
simplifient
so
5.4 Collision
élastique
directe
avec
une
masse
après
après
avant
avant
Un
cas
particulier
important
est celui sous
d’un corps
d
m
m
objet immobile ( V2 0 ). Les deux
relations
se
simplifient
la
fo
'
1
2
VV’1 immobile
m22 V
mm11 Vm
V’ V’( V2 VV’
objet
01 ). Les deux relations se simp
''
V
VV11' m1 Unmcas
V
md’un
particulier
important estmcelui
corps de vitesse V1 qui en
1
2
2 m 11
mm1 m2m
V1 m
'
m
mm11 m
m2V2 1 m
m
m
V
V
1
1
deux
relations
se simplifient sous la form
m1 objet
m2 immobile (V2 0 ).m Les
m
m
2
m
1
2
m'
1
m mV
V
V
V
2
m
V
V
2
m
'
2
1
m
m
m
m
1
'
'1
2
m
1
2
m
m
2
m
'
1
V11 V1
V11 VV
m1 V1 m2
VVV222'
V2m2
2m V
11 m2
Vm1 m2
m
m
m
V
V
m
m
m m
m111 m2 22
m m
Si
m
m
,
le
choc
fait
rebrousser
c
Si
m
m
,
le
choc
fait
rebrousser
chemin
à
m
.
m
>>m
1
m
<<m
2
m
1
2
1
2
'
1
mchemin
>>m
m
<<m
Si m
m11 m
,
le
choc
fait
rebrousser
à
m
.
V22,2,le
V
1
Si
m
choc
fait
rebrousser
chemin
à
m
.
Si
mm
le
choc
fait
chemin
à
m
.
le
choc
fait
repartir
dans
l’autre
sens
la
masse
m
1
1
1
2 m
Si
m1m m2 , m
mavant
et m2 part avec
la
vite
1 s’immobilise
m
après
Si
,
m
s’immobilise
et
m
1
2
avant
2
après
m
m1
1
2
après
avant
m
m
m
avant
après
m
le s’immobilise
choc
immobilise
la masse
m2 et
m2
part
avecavec
la
vitesse
desens
m Vde(c’est
m m
m
Si
m
,
m
et
m
part
avec
la
vitesse
le
ca
Si
m111m m
m
,
m
s’immobilise
et
m
part
la
vitesse
V
(c’e
Si
m
,
m
garde
le
même
déplacement
1
1
1
mSi m
m
1
2
2
1
m
,
m
s’immobilise
et
m
part
avec
la
vitesse
V
(c’
2
1
Si
m
m
,
le
choc
fait
rebrousser
chemin
à
m
.
1 m2-V
2 V m
1 m 2V
1
V
V 2 1
Si
m
m
,
m
garde
le
même
sens
V1 m
m 2V
2
V 1
V
-V
Si
m
m
,
m
garde
le
même
sens
de
déplacement.
1 lam
Si
, m1ms’immobilise
et
m
avec
la
vitesse
V
(c’est
le
car
m2 2m,,1m
m
le
même
sens
de
déplacement.
2 lapart
masse
et
m
continuent
dans
même
direction
1
2garde
1
SiSi mm111 m
garde
le
même
sens
de
déplacement.
Un résultat curieux est que si m1>>m2, m2 acquerra
1
2
1

1

1

1

2

'
1

'

1

2 1
1
2

1

'
2

1

1

2

1

1

1

1

1

1

2

1

2

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

1

1

2

1

1

1

1

1

Si m

2

1

2

1

1

2

2

2

1

2

2

'
2

1

2

1

1

2

2

2

1

1

1

2

1

2

2

2

2

1

1

m , m garde le ne
même
sens pratiquement
de déplacement.
changera
pas de vitesse. Moralité

les2 2 cas 1
DANGER pour la masse faible: variation de vitesse =2V1
1Dans
Si masse m1 est
beaucoup
plus grande que m2 alors m2 acquière
Dans
les 2ducas
DANGER
pour
masse
demême
vitesse
=2V
Le
chauffeurs
camion
subira une
forcelaplus
petite faible:
quevraiment
celuivariation
de la voiture:
masse,
mais
1 variation de vitesse plus petite
élastique
!?
1doub
>>m
,
m
acquerra
une
vitesse
Un
résultat
curieux
est
que
si
m
une
vitesse
double
à
celle
de
m
1
1
2
2
Rappel
F
d
p
dt
:
/
chauffeurs du camion subira une force plus petite que celui de la voiture: même masse, mais variation de vitesse plus petite

Un résultat curieux est que si m >>
>>m
,
m
acquerra
une
vites
Unrésultat
résultat curieux
curieux
est
que
si
m
1
2
2
>>m
,
m
acquerra
une
vite
Un
est
que
si
m
Rappel
F
d
p
dt
:
/
nede
pas
de
v
11>>m
2Moralité
2
mpratiquement
une vitesse
doubl
Unm résultat
curieux
estpas
que
sichangera
m
ne changera
pratiquement
vitesse.
routière

mêm
Si masse
est
beaucoup
plus petite
que
m
alors
m ne
2, bouge
2 acquerra
Considérations
d'énergies.
L’énergie
de
la
parti
ne
changera
pratiquement
pas
de
vitesse.
Moralité
routière

pas et ne
la vitesse
de m s’inverse
changera
pratiquement
pas
de
vitesse.
Moralité
routière

même
ne
changera
pratiquement
pas
de
vitesse.
Moralité
routière
vraiment élastique !?
vraiment élastique !?
1

2

1

2

1.
1
2 m1
Si m1 m2 , le choc Efait rebrousser
chemin
à
2
1
1 1 s’immobilise et m2 part avec la vitess
2 m1,Vm
106
Si mc11 m
2
Collisions
conservation
de
l’énergie
cinétique
se répartit
entre
les
deux
masses
de
la vitesse
manière
suivante
Si m1élastiques:
m2 , m1 s’immobilise
et
m
part
avec
la
V
(c’
2
Un
cas
particulier
important
est
ce
1
Un
résultat
curieux
est
que
si
m1
Si m1 m2 , m1 garde le même sens de déplacement.
m1Collision
m2 2
'
ne
changera
pratiquement
pas d
5.4
élastique
directe
avec
Collision
élastique
directe,
m
immobile
e les
deux
masses
de
la
manière
suivante
:
E
E
(
)
Collision
élastique
directe,
m
immobile
2
Si
m
m
,
m
garde
le
même
sens
de
déplacement.
c
c
1
1
2
Cas particulier collision
en
unemmasse
immobile:
1
2 ligne1directe avec objet
immobile
( V 0 ). Les deux r
m

vraiment
2 élastique !?
Un résultat curieux est que si m1>>m2, m2 acquerra u
) E c1
4m
m2 après important est celui d’un corps d
après
' Un cas
1particulier
avant ne E
avant
changera
pas de vitesse. Moralité ro
m12 Ecm
c2
1 2
' pratiquement
Considérations
d'énergies.
L’é
m
m
>>m
,
m
acquerra
une
vites
Un résultat
curieux
est
que
si
m
V
V
V’
1
2
2
V’
1
2
2 Les deux relations se simp
vraiment
V1
V’1 !?(2V2 01 ).
objet
V1
V’
1élastique
1 immobile
collision
:
E
m
m
Un
cas
particulier
important
est
celui
d’un
corps
de
vitesse
V1 quid’én
en
c
1
Cette dernière
relation
indique
que
le
transfert
2
ne
changera
pratiquement
pas
de
vitesse.
Moralité
routière
1
2
2
mm1 m2m
m
1
m
m
m
'm V '
E
m
V
m
V1faiblec1 sise2L’énergie
1 1 m , mais
E0c 2)./ E
est très
msimplifient
aussi
si
1 c 1 , deux
d'énergies.
de
la
particu
objet immobile
( VConsidérations
Les
relations
sous
la
form
1
2
vraiment
élastique
!?
2
m1 de
m22 m
relation indique que le transfert
d’énergie
la
masse
1
à
la
masse
2,
'
m
m
1
se
répartit
entre
les
deux
masses
'
m
m
collision
:
'
V
1
2V
V
V
m
m
car
E
0
.
C’est
encore
le
carreau
de
la
pétan
V1
V11 m m22
c1
1
m
m
1 2 , mais
2
rès faible si Vm' 1
m
aussi
si
m
est
maximum
et
total
si
m
m
' m1 2 2m
m
m
1 2 . Ilm
1
1
2
'
2
1
2
V
m
E
m
V
V1 E
1
1
( la particule
) E c1
2m
2 1 1
c1
2V
1
2 c1 de
m
2
V
V
Considérations
d'énergies.
L’énergie
1,
s
m
m
'
m
m
1
m
m
1
2
1
2
V
V
0 . C’est encore le carreau
deselaRemarque:
pétanque.
m entre
2
1 m
masses
et rapport
de1 masses.
répartit
les deux
masses
de 2la manière suivan
m2 m1
Si
m
m
,
le
choc
fait
rebrousser
c
collision
:
Si
m
m
,
le
choc
fait
rebrousser
chemin
à
m
.
m
>>m
1
m
<<m
2
m
1
2
4
m
m
1 m 2
2
2
'1
1
1 2
m
m
>>m
m1<<m2 V ' 1
'
2
1
2
1
2E
V
E c1
2
c
2
2 1
1
E
E
(
)
2
constatons
que
toutes nos
relations
peuvent
s'écri
cNous
c11 s’immobilise
1
Si
m
m
,
m
et
m
part
avec
la
vite
sses et rapport
de
masses.
2
Ecavant
m
V
m
m
1
2
m
m
après
avant
Si
m
m
,
m
s’immobilise
et
m
m
m
2
1
2 1 1 1 après
1
2
2
m1
1 nous
2m n'avons
1
2
après
masses,
pas
besoin
de
leurs
valeurs
ind
avant
m
m
m
avant
après
m
m m
m1 garde le même sens de déplacement
Si
m
,
m
m
m Sim m
1
2
Cette
dernière
relation
indique
m
,
le
choc
fait
rebrousser
chemin
à
m
.
m2entre
1
4
m
m
se
répartit
les
deux
masses
de
la
manière
suivante
:
V
1
déduit
immédiatement
des
équations
de
conservation.
'
m
m
V
1
2
1
2V
-V1 peuvent
1
ns que toutesV1nos relations
s'écrire
en
utilisant
seulement
le
rapport
des
1
Si
m
m
,
m
garde
le
même
sens
'1
Ec 2
V11 m 2 Ec21 V
2V1:, est très faible si m
V1
-V1
1 m/ E
E
k
m
m
Par
exemple,
avec
c
c 1 vitesse
2
1
Si
m1 se
m2leurs
,m
m21entre
s’immobilise
et
m
part
avec
la
V
(c’est
le
car
L’énergie
masses
en
fonction
du
rapport
des
masses
2
1
m
m
mde1répartit
2
n'avons
pascinétique
valeurs
individuelles.
Ceci
pouvait
d'ailleurs
être
1
'besoin
2 les deux
1résultat
2 curieux est que si m1>>m2, m2 acquerra
Un
'
E
E
(
)
m
m
car
E
0
.
C’est
encor
1
k
c
c
1
1
atement des équations
de
conservation.
' ne
1
1
2
c
Cette
dernière
relation
indique
que
le
transfert
d’
Si m1Dans
m
,
m
garde
le
même
sens
de
déplacement.
changera
pratiquement
pas
de
vitesse.
Moralité
cas 1
DANGER pour
la masse faible:
variation de vitesse =2V1
V
V
m1les2 2 m
1
1
2forcelaplus
' faible:
Dans
les
2
cas
DANGER
pour
masse
demême
vitesse
=2V
chauffeurs
du
camion
subira une
petite
quevraiment
celui
de k
larésultat
voiture:
masse,
mais
plusque
petite
m
:
vec k Lem
1 variation
>>
Un
curieux
est
si
m
1 variation de vitesse
élastique
!?
2
1
1
E
E
,
est
très
faible
si
m
m
,
mais
aussi
si
/
c
c
2
1
1
2
Rappel
F
d
p
dt
:
/
chauffeurs du camion subira une force plus petite que celui de la voiture: même
masse, mais variation de vitesse plus petite
4
k
4mRappel
m
Remarque:
masses
et
rapport
de
'
'
1 2: F d p /E
'
dt
ne
changera
pratiquement
pas
de
v
Ec10 .2C’est
>>m
,
m
acquerra
une
vitesse
doubl
résultat
curieux
est
si
m
EcUn
E
c 2que
1
2
m
m
car
E
encore
le
carreau
de
la
péta
2
2
1c1 Considérations
2
2
d'énergies. L’énergie de la parti
1 k c1

5.4 Collision élastique directe avec une masse
1

2

1

1

2

1

1

2

'
1

1

2

1

2

1

2

1

2

2

1

1

2

2

'
2

1

2

1

1

1

1

2

1

1

1

2

2

2

2

2

m1 mpratiquement
ne changera
pas de vitesse.
Moralité
vraiment
élastique
!? routière … même
2

6. Collision inélastique (non conservatio
Encastrement.

exoénergétique
(explosion,
fusion, fission…)après la collision
étudier un casNous
typique,
l’encastrement:
les objets
restent
se caractérisent
par
unec
allons étudier un cas typique, Elles
l’encastrement:
après
la
lutions
sont
variées.
Collisions
inélastiques:
pas
de
conservation
de
l’énergie
endoénergétique
(défo
collision
estdonc
dite
totalement
inélastique
.
solidaires. La collision est dite totalement inélastique.
nergie et peuvent être de genres très
variés
:
- exoénergétique (explo
'
cinétique
'
n,
ils
possèdent
donc
la
même
vitesse
.
L'équation
est
simple:
V
Après
ils
possèdent
doncaprès
la même
vitesse
. L'équation
Vles
llons
étudier
typique,
l’encastrement:
objets
res
location
d’uneun
oucas
descollision,
deux masses
par exemple)
etlalescollision
solutions
sont
donc vari
Elles se caractérisent
par une dissipation d’énergie et peuvent être d’origines variées :
'
es.
La collision
est dite totalement inélastique
.
ssion…)
'
(m
m
)
V
1-  endoénergétique
2se caractérisent
une
dissipation
etmasses
peuvent
être
de genres
m1V 1(déformation
m2Vpar
(ou
m1dislocation
m2 )V d’uned’énergie
1 Elles
par exemple)
2
Nous
allons
étudier
un cas t
' ou des deux
ollision,- ils endoénergétique
possèdent donc la(déformation
même vitesseouV dislocation
. L'équationd’une
est simple:
ou des deux masse
2 -  exoénergétique (explosion, fusion, fission...)

solidaires. La collision est dite

' de deux(explosion,
-m exoénergétique
fusion,
fission…)
ns
ci-dessous
le
cas
objets
dont
un
est
immobile
au collision,
départ:
Vils
0immobi
m
V
(
m
)
V
castrement:
après
la
collision
les
objets
restent
Après
possèdent
2 est
traiterons
ci-dessous
le
cas
de
deux
objets
dont
un
2 2et les solutions
1
2Nous
sontsont
doncdonc
variées....
cas
particuliers
et
les
solutions
variées.
nélastique
.
conservation de
la quantité
mouvement
doncdeàmouvement
:
' do
L'équation
de de
conservation
deconduit
la quantité
conduit
m
V
m
V
(
m
m
)
V
1
1
2 2
1
2
'
'
m
vitesse
.
L'équation
est
simple:
V
'
aiterons
ci-dessous
le
cas
de
deux
objets
est
immobile
au
V2 coliné
0 l
1
V1 Nous allons
qui prouve
que typique,
V et dont
V1 sont
colinéaires.
unV1cas
l’encastrement:
Vceétudier
ceunqui
prouve
queaprès
V 'départ:
et la
V1 collision
sont
m
m
onCas
de
conservation
de
la
quantité
detotalement
mouvement
conduit
donc
à qu’une:
:
1
2estse
solidaires.
La
collision
dite
.traiterons
où les deux masses
collent
et neinélastique
forment
plus
Nous
ci-dessous le c
'
m1 Après collision, ils possèdent donc la 'même vitesse
L'équation
de conservation
de
est simple
V . L'équation
V
ce
qui
prouve
que
V
et
V
sont
colinéaires.
1
1
variations
de vitesse
: les variations de vitesse :
Calculons
m2
m1
'
'
V
V1
c
jets' m
dont
unmest
au)Vdépart:
V2 0m2
m2immobile
V
V
(
m
m
'
1
2 Masse
2
m1 m2
V 1V1
V1 11: 2 V V1
V1
mouvement
donc à :
m1conduit
mde
m1 m2
2 vitesse :
ns
les variations
'
m
2
m
m
m
Calculons
les
variations
vit
'
'
'
'
1
1 aude
2
que
V
et
V
sont
colinéaires.
1
Nous
traiterons
ci-dessous
le
cas
de
deux
objets
dont
un
est
immobile
dépa
V1 2 V1 V [Rappel
collision
V2 collision
V1élast
]
: V 0V 1V1 Masse
0
V1 élastique :[Rappel
m
'
m
m
m
m
m
m
m
m
2
1
1
2 de mouvement
V1donc
V1 2 à : 2
Masse 1:conduit
L'équation
de2 1conservation
de la quantité
m1 m
m
2
m
rappel
collision
élastique
Et
donc,
en
effectuant
le
rapport
:
fectuant
le
rapport
:
'
1
1
m
'
' V'
1
0
V
[
Rappel
collision
élastique
:
V
V1 ]
1
2
V
V
ce
qui
prouve
que
V
et
V
sont
colinéaires.
'1
m
1
' m
m
m
V
0
m
V
01 m2 1
Masse
2
2
1
m m 1

1

2

'

m

m

' de objets
exoénergétique
(explosion,
fusion,
fission…)
essous
le
cas
de
deux
dont
un
est
immobile
au
départ:
V
0
L'équation
conservation
de
la
quantité
de
mouvement
condui
m
V
(
m
m
)
V
castrement:
après
la
collision
les
objets
restent
Après
collision,
ils
possèdent
2
Nous
traiterons
ci-dessous
le
cas
de
deux
objets
dont
un
est
immobi
2 2
1
2
et
les
solutions
sont
donc
variées.
Collisions
inélastiques:
pas
de
conservation
de
l’énergie
nélastique
m
rvation de
de
mouvement
conduit
donc
à
:
'
' .la quantité
' do
L'équation
de
conservation
de
la
quantité
de
mouvement
conduit
1
m
V
m
V
(
m
m
)
V
1
V '
V1
ce
qui
prouve
co
1 que
2V 2 et V
11 sont
2
cinétique
'
m
vitesse
.
L'équation
est
simple:
V
'départ:
'
m
m
aiterons
ci-dessous
le
cas
de
deux
dont
un
est
immobile
au
V
0
1
qui
que
et objets
Vtypique,
sont
colinéaires.
Nous ce
allons
étudier
unVV1cas
l’encastrement:
après
la
collision
2
1 Vprouve
2
ce qui prouve que V et V1 sont colinél
1
mmasses
m2estse
onCas
de
conservation
de
detotalement
mouvement
conduit
donc
à qu’une:
:
1la quantité
solidaires.
La collision
dite
.traiterons
où les deux
collent
et neinélastique
forment
plus
Nous
ci-dessous le c
'
m1 Après
'même vitesse
L'équation
de
conservation
de
collision,
ils
possèdent
donc
la
.
L'équation
est
simple
V
Calculons
les
variations
de
vitesse
:
V
ce
qui
prouve
que
V
et
V
sont
colinéaires.
1 vitesse Calculons
1
ions
de
:
les
variations
de
vitesse
:
m2
m
'
1
m
'
' au départ:
V
V1
c
jets m
dont
un
est
immobile
V
0
2
m
m
2
V
m
V
(
m
m
)
V
2
'
1
2
V1 V1
1Masse
2
11:V 2 V
m1 m2
V1
V211:
V1 V1
Masse
m1 mm
mouvement
donc à: :
m2 conduit
1
ns
lesmvariations
de vitesse
1 2 m2
'm
2
m
m
m
Calculons
les
de
vit
'
' casm
1'V
1 variations
2
que
V
et
sont
colinéaires.
1
'
Nous
traiterons
ci-dessous
le
de
deux
objets
dont
un
est
immobile
au
dépa
1
1
0:
: V2 [[Rappel
Vcollision
V V11 2Masse 2 V
V1[Rappel
V 0collisionVélastique
V1
collision
élasté
1]
0
Rappel
Masse
1
m2
'
m
m
m
m
m
m
m
m
1
2
1
2
1
2
1
2
V donc
V1 à :
Masse 1:conduit
m2 de mouvement
L'équation de conservation dem
la1 quantité
m1 m
m
2
m
collision
inélastique
Et
donc,
en
effectuant
le
rapport
:
nt le rapport
:
'
'
1
1
m
'
'Et
1
V
0
V
[
Rappel
collision
élastique
:
V
V1 ]
donc, en
effectuant
lecerapport
: que V et V1 sont colinéaires.
1
2
V
V
qui
prouve
'1
m
' m
1
m
m
m
V
0
m
V
0
Masse
2
1
2
1
2
1
m
' 1 m2
Encore une fois, c'est la plus petite masse qui subit la plus grande m m
' m
V
0
1
en effectuant leVrapport
:m2 de vitesse.
V11 variation
'
Et donc,
en effectuant
le rappo
Une
collision
entre
véhicules
est
généralement
partiellement
élastique,
V
V
m
Encore
fois,
c'est
la plus
petite
masse qui
subit la plus grande va
variations
de
vitesse
:
1les
2 une
st lamCalculons
masse
qui
subit
la
plus
grande
variation
de
vitesse.
1plus petite
'
2mà1 la conclusion : la V
ce qui ne change
rien
masse0la moins
m1 importante
'
[Rappel
collision
élastique
:entre
V
Vest
Une
collision
généralement
partiellement
véhicules
est généralement
partiellement
élastique,
ce de
qui
nesubit
change
rien
àélastiq
mla
m2 Encore
22 véhicules
1 ] variation
subit
toujours
le maximum
de
Noterlaque
cette
'
' vitesse.
une
fois,
c'est
plus
petite
masse
qui
plus
grand
m
m
V Vvariation
V
Masse 1: la conclusion
V
V
m
2 moins
1
11 estla
1 levariation
:
la
masse
importante
subit
le
m
de vitesse
deux
foismaximum
plus
petite dans
cas2 de toujours
masse
la
moins
importante
subit
toujours
le
de
de
m
m
une fois,
c'est
la plus petite
masse
qui
la généralement
plus grande variation
de vitesse. éla
Une
collision
entre
véhicules
est
partiellement
1
2 subit
l’encastrement.
Encore
une est
fois,
c'estde
lafois
plusplp
vitesse.
Noter
que
cette
variation
de
vitesse
deux
elision
cetteentre
variation
de
vitesse
est
deux
fois
plus
petite
dans
le
cas
véhicules' est
généralement
partiellement
élastique, cesubit
qui netoujours
change ri'
m
la
conclusion
:
la
masse
la
moins
importante
Une collision
collision entre
véhicules
1
l’encastrement.
V
0
V
[
Rappel
élastique
: V2
Masse
2
lusion : la masse la moins importante
subit toujourslaleconclusion
maximum
de
variation
1
: ladeux
masse foi
la m
m1 cette
m2
vitesse. Noter que
variation de vitesse est

'
exoénergétique
(explosion,
fusion,
fission…)
'
m
V
(
m
m
)
V
castrement:
après
la
collision
les
objets
restent
Après
collision,
ils
possèdent
Nous
traiterons
ci-dessous
le
cas
de
deux
objets
dont
un
est
immobi
V
0
m
2 2
1
2
1
et
les
solutions
sont
donc
variées.
Collisions
inélastiques:
pas
de
conservation
de
l’énergie
nélastique
. L'équation
'
' do
de conservation de laVquantité
de
mouvement
conduit
V
m
m
V
m
V
(
m
m
)
V
1
1 12
2 2
1
2
'
cinétique
m
vitesse
.
L'équation
est
simple:
V
'départ:
'
aiterons
ci-dessous
le
cas
de
deux
objets
dont
un
est
immobile
au
V
0
1
Nous allons
étudier
un
cas
typique,
l’encastrement:
après
la
collision
2
V
V1
ceEncore
qui prouve
et V1lasont
une que
fois,Vc'est
pluscoliné
petitl
mmasses
m2estse
onCas
de
conservation
de
detotalement
mouvement
conduit
donc
à qu’une:
: véhicules
1la quantité
solidaires.
La collision
dite
inélastique
.traiterons
où les deux
collent
et ne
forment
plus
Nous
ci-dessousest
le c
Une
collision
entre
'
m1 Après collision, ils possèdent donc la 'même vitesse
L'équation
conservation
de
. L'équation
estlasimple
V
la1 sont
conclusion
: lademasse
moi
V1
ce qui prouve que V et V
colinéaires.
Calculons les variations de vitesse :
m2
m
'
1 que cette varia
vitesse.
Noter
'
V
V1
c
jets m
dont
un
est
immobile
au
départ:
V
0
m
2
V
m
V
(
m
m
)
V
'
1
2
1
2 Masse
2
11:
2
m1 m2
V V1
V1
l’encastrement.
mouvement
conduit
donc à: :
m1 m2
ns
les variations
de vitesse
'
m
m1 objets dont
Calculons
les
variations
de
vit
'V
' cas de deux
2
que
V
et
sont
colinéaires.
Nous
traiterons
ci-dessous
le
un
est
immobile
au
dépa
1
V V1 Masse 2 V1 V 0
:
V1
[Rappel collision élast
m2
'
m
m
m
m
1
2
1
2
V donc
V1 à du
Masse
1:conduit
L'équation de conservation de la quantitéLa
de perte
mouvement
: sy
d’énergie
cinétique
m1 m
m
2
m
Et
donc,
en
effectuant
le
rapport
:
'
1
1
m
m
'
' V'
1
0
V
[
Rappel
collision
élastique
:
V
V
]
2 V et V sont colinéaires.
1
2
1
V
V
ce
qui
prouve
que
'
m
E
1 m
1
' m
La perte d’énergiem
cinétique
dumsystème est égale à :
1
m
c
1
V
0
V
0
Masse
2
1
2
1
2
1
m1 m2
m1 m2
m
m
'
1
en effectuant leVrapport
V1 :m2
Elle est Etfaible
d’au
m2
m1le, rappo
donc, si
en effectuant
mCalculons
Encore
unefaible
fois,
c'est
petite
qui
Elle est
m1 plus
, d’autant
plusmasse
grande que
lasubit
massela
m2plus
est grande va
les
variations
desi m
vitesse
:
1
2 << la
'
2m1 totale si m
V 0 mm.1
'
élevée,
et
quasiment
totale
si
m
m
.
[Rappel
collision
:entre
V
>>
Uneélastique
collision
partiellement
élastiq
1
2
1
m22 véhicules2Vest
m2
1 ] généralement
'
'
m11 m
V V1
V
Masse 1: la conclusion
V V1 subit
m2 toujours le m
2 moins importante
:
la
masse
la
m1 mqui
une fois, c'est la plus petite masse
2 subit la plus grande variation de vitesse.
Encore
une est
fois,deux
c'est lafois
plusplp
vitesse.
Noter
que
cette
variation
de
vitesse
NB : que
les
collisions
soient
lision entre véhicules' est généralement
partiellement
élastique,
ce qui ne change
rié'
m
Une collision
collision entre
véhicules
1
l’encastrement.
V
0
V
[
Rappel
élastique
: Vo2
Masse
2
lusion : la masse la moins importante
subitramener
toujourslaau
leconclusion
maximum
de
variation
1
cas

un
des
deux
: la masse la m
m1 m2

Collisions
Que les collisions soient élastiques ou inélastiques, il est toujours
possible de se ramener au cas où un des deux objets est immobile
en effectuant un changement de référentiel (et repère par la même
occasion) se déplaçant à l’une des vitesses.

La somme des forces extérieures étant nulle, la vitesse du
centre de masse VG est constante

7. Collisions et référen
Collisions et référentiel lié au centre de masse

7.1
Cas
général
La somme des forces extérieures étant nulle, la vitesse du
centre de masseLa
VG est
constante.
somme
des

forces extérieures étant nu
(cf. Chapitre Principes fondamentaux,
Un référentiel en translation à la vitesses VG par rapport au
référentiel
en translation
à la
laboratoire, est un
référentiel privilégié
pour exprimer
les vitesses
propriétés des collisions.
privilégié pour exprimer les propriétés de
ayant son origine en G (GXYZ). Attentio
constantes.
Le plus simple est
de prendre un repère ayant son origine en
G. Attention, le centre de masse a été défini pour des masses
constantes.

Si G est le centre de masse de deux
m1 GM 1 m2 GM 2 0

e
centre
de
masse
a
été
défini
pour
des
m
constantes.
d
m
m
GM
m
GM
constantes.
Si G
est le
de masse
de deux
points
dde
OGsitués
nt son
origine
en centre
G (GXYZ).
Attention,
le centre
masse
2

2
2
constantes.
m
G est le centre de masse de deux points situés
en M1 e
dt
d
1

n

2

1

i 1

Collisions
et
référentiel
lié
au
centre
de
masse
stantes.
Dans
ce
référentie
m
GM
m
GM
0
Si
G
est
le
centre
de
masse
de
deux
points
situés
en
1
1
2
2
Si
G
est
le
centre
de
masse
de
deux
GM
m
GM
0
1
1
2
2
Cette
équation
serait
e
M
(l’astérisque
in
Si
G
est
le
centre
de
masse
de
deux
G estmle
centre
de
masse
entre
deux
masses
M
et
M
donc
m
GM
m
GM
1 0
GM
m
GM
0
i2
1
1
2
2
1
1
2
2
Dans
référentiel,
G est
et par
conséquent,
pour
l'instanten
point
q
ans
ce référentiel,
G
fixe
etdefixe
pardeux
conséquent,
dGM
/un
dtdGM
exp
G est
le ce
centre
de est
masse
points
situés
M
1
i

2

i 1

par définition:

m
GM
m
GM
0
Dans
ceM
référentiel,
G est par
fixe et
par
cons
nts
situés
en
M
et
,
alors,
défin
Dans
ce
référentiel,
G
est
fixe
et
par
conséquent,
dGM
/
d
1
1
2
2
1
2
m
GM
0
M
(l’astérisque
indique
que
la
vitesse
est
exprimée
dans
GM(l’astérisque
0
que la vitesse est exprimée
dans un
La dérivée
parrepèr
rapp
im GM indique
i

1

2

n

2

i

i

i

i

i 1
M
(l’astérisque
indique
que
la
vitesse
est
i
M i (l’astérisque
indique
que
la
vitesse
est
exprimée
dans
un
* une définition,
*
C'est
elle
Dans ce référentiel, G est fixe et par con

m
V
m
V
0
1
1
2
2
ns ce référentiel, G est fixe et par conséquent, dGM i / dt ex
La dérivée
par
rapport
au
temps
de
la
définition
du
centre
a dérivée
par rapport
au
temps
de
la
définition
du
de
mass
Il centre
vient
alors
: la
La
quantité
de
m
La
dérivée
par
rapport
au
temps
de
défin
M
(l’astérisque
indique
que
la
vitesse
es
i que la
(l’astérisque
indique
vitesse
est
exprimée
dans
un
2rep
La *dérivée
par
rapport
au
de
la
définition
du
de
ncentre
*
*
*
* temps
*
*
*
*
*
*
*
*
d
OG
donc
nulle
. 0
m
V
m
V
0
soit
:
p
p
V
m
V
0
soit
:
p
p
0
m
m
V
m
V
0
soit
:
p
p
0
1
i2
2
1 1
1 1 1 2 * 12 2 * 2
1 21 2*
2 2 i*
i
dt
i 1
La
conservation
de
m1V1 m2V2 0
soit
:
p
p
0
1
2
La
quantité
de
mouvement
totale
expri
adérivée
quantité
de
mouvement
totale
exprimée
dans
un
repère
La
quantité
de
mouvement
totale
exprimée
dans
c’est
la*deuxième
loiun
de
*
'*
'*
La
dérivée
par
rapport
au
temps
de
la
défi
par
rapport
aumouvement
temps
denulle
laexprimée
définition
centre
de
mas
LaLa
quantité
de mouvement
totale
dansdu
un
repère
donc
.
p
p
p
p
quantité
de
totale
exprimée
dans
un
rep
Notons
que
si
la
résult
1
2
1
2
onc
nulle
.
donc
nulle
.
au *centre
de
masse
* est donc
* nulle.
* par cons
* liédonc
*La conservation
*
de la quantité
de
mouveme
aussi*nulle,
et
nulle
.
Chacune
des
deux
V
m
V
0
soit
:
p
p
0
m
V
m
V
0
soit
:
p
p
0
a1conservation
de
la
quantité
de
mouvement
s'écrit
donc:
2
2
1
2
1
1
2
2
1
2
Attention
cette relation
LaLaconservation
de
la
quantité
de
s'écrit
donc
*
*
'* mouvement
'*
*
*
conservation de la quantité
s'écrit
p1 p2 dep1mouvement
p2 0 pdeuxième
de Newton
p loidonc:
et

uent, dGM / dt exprime la vitesse V du
primée dans un repère lié au centre de masse

*
'*de mouvement
'*
1
2
quantité
totale
exprimée
dans
un
repère
*
*
'*
de
mouvement
totale
exp
pp2 * pp1 * p2p '*'*La
0 pquantité
'*
Chacune des deux sommes nulles nous con
0
p
p
p
p
0
1
2
1
2
on
du
1.centre
2
1 de 2masse conduit à : Autre relation de défini
nc
nulle
*
*
*
*
donc
nulle
.
hacune
des
deux
sommes
nulles
nous
conduit
à:
p
p
et
p
'
p
'
la
définition
1
2
1
2 précédente
Chacune
des
deux
sommes
nulles
nous
conduit
à:
Chacune
des
deux
sommes
nulles
nous
conduit
à:
conservation
de la
quantité
de
mouvement
s'écrit
donc:
7.2
Collision
*
*
*
*
masse.
Il est
souvent int
La
conservation
de
la
quantité
de
mouvem
*
**
* *
p
p
'
p
'
* *
*et
1
2
1
2
et
pp' '
pp' '
* p p '* pp '*
et

*

p1
p2
et
p '1 1p '2
* des *deux sommes nulles
*
*
Chacune
nous
p1
p2
et
p '1
p '2 conduit à:
*
*
*
*
p1 Collisions
p2
et et référentiel
p '1
p '2 lié au centre de masse
* 27.2 1
'* 2
1
Collision
élastique
Collision
dans leélastique
repère
de masse la
1 du centre
1
2élastique:
2
7.2
Collision
Dans le repère GXYZ du centre de ma
conservation
de
l’énergie
devient:
1
2
1
2
Collision
élastique
re 7.2
de masse,
la
conservation
de
l’énergie
devient
*
2
*
2
'* 2
'* 2
Dans
le
repère
GXYZ
du
centre
de
masse,
la
conservation
de
l’éner
(
)
(
)
(
)
(
)
p
p
p
p
la conservation
de
l’énergie
devient
1
2
1
2
1
1
1
1
'* 2
* 2
* 2 du centre
'* 2 de masse,
'* 2 *
2
'*
2
Dans
le
repère
GXYZ
la
conservation
de
l’énergie
d
2
2
2
2
(
)
p
(
)
(
)
(
)
(
)
p
p
p
p
2
1
2
1
1
1
1
1
1 m21
m
m
m
2
1
2
* 22
* 22
'*2 2
'*2 2
1
1
2 1 ( p1 ) m1 ( p2 ) m1 ( p1 ) m1 ( p2 ) m
*
m
1
2
1
2
2
p
D’après
les
résultats
précédents
2
2
2
2
1
m
m
m
m
*
*
*
1
2 résultats1 précédents
* D’après
*
*2
* p2
p
et
p
'
p
les
*
*
1
1
p '*1:1 1 p* '21 donc
: 1 *1 '** 2
ts p1 etp2
p '1
pet
'2
donc
* 2
1
( p2
)( p1 ) et 2 ( p '1 )( p1'2)
p
D’après les
résultats
précédents
1
2
1
1
1 m '* 2 m
* 2
m1 m2
1( 1
1
1 )
2
)(
)
(
)(
p
p
1
1
'* 122 1
2 1
1
* 2
'* 2
'* 2
m1 )( m
)( 1p(1 ) m1 )( pm*2)2 1 (
2 ) qui prouve que ( p ) = ( p ) et do
Ce
p
1
1
1
1
2
2
*
2
'*
2
m1Ce m
m1( p )m2= ( p ) et donc que la norme de la quantit
2
2 prouve que
qui
1
1
La norme
de la lié au
masse,
exprimée
dans
un repère
* 2la norme de la quantité
* 2de mouvement
'* 2
ue
de
chaque
Ce qui
prouve
que
(
)
p
=
(
p
)
et
donc
que
la
norme
de
la
quantité
de
que
la
norme
de
la
quantité
de
mouvement
de
chaque
quantité
de
1
1
1 ) et donc
masse, exprimée dans un
repère
lié au centre de masse n’adans
paslevarié
*
'*Cette égalité, ajoutémouvement
aux relations préc
re de
masse
n’a
pas
varié
:
p
p
.
*
'*
1 '* lié
1 au centre
masse,
exprimée
dans
un
repère
de masse
pas
varié
repère
du* centre
de*: p
*
*
'* : p
*n’a
re lié au
centre
de
masse
n’a
pas
varié
p
.
p
p
p
'
Cette égalité, ajouté aux relations
précédentes
et
1
1masse
n’a
pas
changé
1
2
1 im
normes
des
quantités
de
mouvement
*
*
*
*
1
2les quatre*
*
*
*
p1 égalité,
p12 etajouté
p '1 2*auxp 'relations
tesCette
,
prouve
que
p1 dans
p2 etla collision
p '1
p '2so
2 *
précédentes
**
* *
'*
'*
normes
des
quantités
de
mouvement
impliquées
p
p
p
'
p
'
ons précédentes
et
,
prouve
que
les
quatre
p
p
p
p
1
2
1
2
1
2
1
2
Les normes
des
quantités
de mouvement
dans
le
quées
dans
la
collision
sont
égales
:
*
*
'*
'*
normes
quantités
de
mouvement
impliquées dans la collision sont ég
p1des
p2 de pmasse
p
repère
du centre
sont
égales
1
2
Ce résultat,
d'une très
ement
impliquées
dans
la collision
sont égales
: grande simplicit
*
*
'*
'*
2

ue

1
(
m

1
)( p )
m

1
(
m

1
)( p )
m

Ce qui prouve que ( p ) = ( p ) et donc

masse, exprimée dans un repère lié au c

Cette égalité, ajouté aux relations précéd

normes des quantités de mouvement imp
p

p

p

p

Ce résultat, d'une très grande simplicité,

Collisions
et référentiel
lié au aux
centrerelations
de masse
Cette égalité,
ajouté

précéd

Collision élastique:

normes des quantités de mouvement imp
*
1

*
2

p

p

'*
1

p

'*
2

p

Attention, pour les v
*
'*
V1
V1

*
'*
Ce résultat, d'une très grande
simplicité,
V2 V 2
Attention,
les vitesses,
ceci implique seulement
bien unpour
référentiel
privilégié.
Mais n’implique pa

Les normes des quantités de mouvement dans le
repère du centre de masse sont égales

*
1

V

*
2

V

V

'*
1

V

'*
2

Mais attention cela n’implique PAS:

*
1

V

*
2

V

Nous

Encore une fois: petite masse ... grande
vitesse

Mais n’implique pas par exemple7.3
: Collision
*
*
V1
V2
Nous aurons au contraire,
encore
une
fo
La conclusion du ca
*

*

1

7.3 Collision totalement inélasti
2

7.3
Collision
totalement
inélastique
(encastrem
Collisions
et
référentiel
lié
au
centre
de
masse
La conclusion du cas général reste évidemment
7.3
Collision
totalement
inélastique
La
conclusion
du
cas
général
reste
évidemment
valable
: (enca
7.3
Collision
totalement
inélastique
*
*
*
*
Collision
inélastique
(masse
agglomérée)
pp1 totalement
p
et
p
'
p '2
p 2 et
p'
p'
1
*
1

*
2

*
1

*
2

La conclusion
du cas général
évidemment
valable : vala
La conclusion
du cas reste
général
reste évidemment
*
**
*
* *
*
*
p1 Après
pp2 1 la collision,
p
'
p
'
pet2
et
p
'
p
'
1
2
1
2
les deux masses sont solidaires,
donc le centre de m

Après
laetcollision,
les deux masses sont solidair
les masses
par conséquent:
Vlamasses
V
0 etles
(etconséquent:
de masses
même évidemment:
p
p donc
0 ) le cen
les
par
Après
collision,
deux
sont
solidaires,
Les deuxles
masses
fusionnent
donc le sont solidaires, d
Après la collision,
deux
masses
Les
masses
sontcentre
immobiles
auconfond
pointavec
G. la
de masse se
'* deux
'*
les masses
et
par
conséquent:
V
V
0
de
même
évidemment:
les
masses
et
par
conséquent:
nouvelle
masse (et
formée,
dans
ce repère
Il
n'y
a
plus
d'énergie
cinétique
dans
un
repère
lié
au
centre
de '*masse.
1
2
'*
'*
'*
la vitesse
centre deévidemment:
masse est nulle.
'*)
V1 V2V '* 0 V '* 0 (et
de dumême
p
p
0
1
2
(et
de
même
évidemment:
p
1
2
1
Les
deux
masses
sont
immobiles
au
point
G.
L'énergie
cinétique
départ, exprimée
dans G.
le repère du centre de ma
Les deux
masses
sontdeL’énergie
immobiles
au
point
cinétique
exprimée dans au
ce point G.
Les
deux
masses
sont
immobiles
Il
n'y
a
plus
d'énergie
cinétique
dans
un
repère
li
(
)
(
)
p
p
repère est donc dans
totalement
ce lié au centre de
1
Il n'y a1 plus d'énergie
cinétique
unperdue,
repère
'*
1

2

'*
2

* 2
1

'*
1

* 2
2

Ilmn'y
a
plus
m2
1
2

est
totalement
perdue.
d'énergie
cinétique
dans
qui n’est PAS le
cas dans le repère
du
laboratoire.

'*
2

un repère lié au

Ceci
n'est
pas
le
cas
dans
le
repère
du
laboratoire,
comme
nous
l'avon
L'énergie
cinétique
de
départ,
exprimée
dans
le
repère
du
L'énergie cinétique de départ, exprimée danscentr
le
cinétique
de
départ,
exprimée
dans
le
repè
* 2L'énergie
*
2
* (2p )
* 2
(
)
p
1 7.4
2
1
1
(
)
(
p
p
*
2
*)totalement
2 de repère
Changement
est
perdue.
1
2
1
1
( 2p1 )
( p2 )
2
est totalement perdue.
1

1

m
m
* 2utile
ème
Il
est
pouvoir
passer
vitesses
Vfaut
et2 repartir
V
lela
repère
orig
1
2de
7.4
Changement
de
re
Il
est
utile
de
pouvoir
passer
desdes
vitesses
V1Il et
dans
le de
repère
original
1V
2 dans
1 (p )
1 ( p2 )
2 défin
est totalement perdue.
2 Ceci 2 n'est pas
le cas
dans
le repère
du
laboratoire,
comme
nous
l'avons
vu. c
m1vitesses
m2 exprimées
Collisions
etdans
référentiel
liécentre
auIldecentre
de
masse
vitesses
exprimées
dans
celui
de
masse

car
ils
sont
rarem
celui
du du
centre
masse

car
ils
sont
rarement
est
pouvoir
passermdeO
( mutilemde
)OG
m OM

re

* 2
1

1 vu. 2
Ceci n'est pas le cas dans le repère du laboratoire, comme nous l'avons

1

1

2

ème
sses
V
et
V
dans
le
repère
original
(du
laboratoire)
aux
ème repère
vitesses
exprimées
dans
celui
du
dont
la
dérivée
par
rapport
au
1
2
Changement
de
repère
7.4
Changement
de
définition
du
centre
de
masse
dans
le
repère
Oxyz
Il
faut
repartir
de
la
2
définition
du
centre
de
masse
dans
le
repère
O
Il
faut
repartir
de
la
2
7.4 Changement de repère
Il est
utile
de pouvoir
passer
des
vitesses
Vrarement
V2 dans le confondus.
repère
original
aux
vitesses
(
m
m
)
V
m
V
m
V
1 etOM
tre
de
masse

car
ils
sont
1
2
G
1
1
2
(
m
m
)
OG
m
OM
m
OM
(
m
m
)
OG
m
OM
m
est1 de
utile
pouvoir
V1 etoriginal
V2 dans
le repèreaux
original2 (du
Il estIlutile
des
et2Vvitesses
(du laboratoire)
ème
2 de
1 vitesses
1
2 dans
1pouvoir
2 passer
1passer
1 V2des
2 le repère

exprimées dans celui du centre de masse 1... car 2ils sont rarement
Il fautconfondus.
repartir de la 2 définiti
vitesses
exprimées
celui
du
centre
de au
masse
…temps
cardonne
ils
rarement
confondus.
dont
la exprimées
dérivée
pardans
rapport
la vitesse
le repère
Oxyz:
dont
la dans
dérivée
par
rapport
au
donne
la
le repère
Ox
vitesses
celui
dutemps
centre
desont
masse
…vitesse
cardans
ils dans
sont
rarement
con

(
m
m
)
OG
m
OM
m
OM
Le
repère
lié
au
centre
de
m
1
2
1
1
2
En partant de la définition
du
centre
de
masse:
ème m V
(
m
m
)
V
m
V
(
m
m
)
V
m
V
m
V
Il faut repartir
1 1 de2 la 22
G Gdéfinition
1 1 1ème
2 2 2de masse dans le repère Oxyz
1du2centre
dérivée
donne
lalevitesse
Dans
ce
cas
(cf.
Changemen
dont
la
dérivée
par
rapport
au
te
définition
du
centre
de
masse
dans
repère
Oxyz
repartir
de
la
2
( m1 Il mfaut
)
OG
m
OM
m
OM
2
1
1
2
2
donnée
par:
dont(la
dérivée
par
rapport
auOM
temps donne
la vitesse dans le(repère
Oxyz:
m
m
)
OG
m
m
OM
m
m
)
V
m1V1 pure
mpure
2
1
2masse
Le1 Le
repère
lié lié
au1 au
centre
de2 de
masse
GXYZ
est
en2 translation
par
rappr
1 est
Gtranslation
2V
2 par
repère
centre
GXYZ
en
( m1 m2 )VG m1V1 m2V2
*

u centre de masse dans le repère Oxyz

donne
la
vitesse
dans
le
repère
Oxyz:
V dans
V chaque
etmasse
Vdan
dont
la ce
dérivée
parChangement
rapport au temps
donne lalaVvitesse
le repère
Oxyz:
Dans
cas (cf.
de repère),
vitesse
de

Dans ce cas (cf. Changement de repère),1la vitesse
G
1 de chaque masse
2
Le repère lié au centre de masse est en simple translation par rapport au laboratoire:
par:
(donnée
m1 donnée
mau
m
mGXYZ
Le repère
lié
centre
de1Vmasse
est en translation Le
pureDonc,
par rapport
repère
Oxyz.
repère
liéau au
de mass
V1 centre
par
exemple
:
pour
2 )V
G par:
1
2V2
Dans ce cas (cf. Changement
de repère), la vitesse de *chaque
masse dans le repère Oxyz est
* *
*Dans
ce
cas
(cf.
Changement
d
V
V
V
et
V
V
V
V
V
V
et
V
V
V
2
donnée 1par:1 G G 1 1
2 G G 2
2
m
V
m
V
*
1
1
2
2
*
*de masse GXYZ donnée
Le
repère
lié
au
centre
est
en
translation
pure
par
rapport
par:
V1auVrepère
V1 Oxyz.
V1 VDonc,
V1 pour
Vpar
Vexemple
XYZ
enetpour
translation
pure
par
rapport
V1 VV
par
exemple
:
G
G est
2
G
2
:
Donc,
1
m1 mdans
Dans
ce
cas
(cf.
Changement
de repère), la vitesse de* chaque masse
le
2
Donc, pour V1 par exemple :
V
V
V
et
V
V
ère),
la
vitesse
de
chaque
masse
dans
le
repère
Oxyz
est
1
G
1
2
G
m
V
donnée par:
m
V
m
V
* * m1V
*
1
2
2
*
*
1 1
2 2V
m
V
m
V
V
V
V
d'où
l'on
tire
facilemen
*
*
1
1
2
2
(
m
m
)
V
m
(
V
V
)
d'où
l'on
tire
facile
1 V1d'où l'onDonc,
V1 VG 1 V
V11 G VG * 1 V1
V1
tire
facilement
:
1
2
1
2
1
2
V
par
exemple
:
pour
*
m
m
1
m
m
m
m
V1 VG V11 2 et 1 1 V2 2 2 VG V2
*
Des
relations
analogues
relie
* V *)
( m1 Donc,
m
)
V
m
(
V
m
V
m
V
2
1
2
1
2
*
*
( m1( mpour
m2 m
)VV1 )1Vpar
m2exemple
(m
V1 (VV2 )V: )
1 1
2 2
1

2

1

2

*
2

1

2

Des
relations
analogues
relient V à V2 V1 ,
relations
analogues
relient
*

m1V1 m2 V2

*

'*
1

'
1

V àV
*

*

V1 VG V1
'
2

V , et

'*
2

'
2

V àV
'*

'
1

V

m1 ' ' m2 '

'* '

V1

Changement de référentiel
160

L'étude des changements de repères est justifiée pour au moins deux raisons:
1/ Un mouvement peut s'avérer plus simple dans un repère, lui-même en mouvement par
rapport au repère ou se trouve l'observateur. Le problème est alors scindé en deux parties, ce
qui rend son analyse160plus simple.

de Ravérifiée
par rapport
à Rrune classe de référentiels, les
2/ La relation fondamentale de laMouvement
dynamique n'est
que dans
Représenté ici à 2 dimensions
référentiels inertiels, appelés aussi Galiléens.
Il faut donc s'y rapporter.
Mouvement de Ra par rapport à Rr
Pour les démonstrations de changement
deicirepère,
il est généralement fait le choix d'un repère
Représenté
à 2 dimensions
OP OP
V
Rotation
cartésien ce qui se justifie par sa simplicité
: ce qui ne réduit en rien la généralité
de
la
t
des axes
démonstration.
1

P

1

Y

Rotation
des axes

VP

OP1 OP
t
1

y

Y

y

P
P

Déplacement
de l’origine
Déplacement

O

O
x

X1

P

x

X

X

P

O

X1

P
P

de l’origine

0

k
t Y1

Y

Y

t

k

0

t

Y1

y

y

t

O
x

x

Soit un point matériel M observé par rapport à
On dira queChangement
ce premier repère
R
(Oxyz)
permet
d’obse
a
de référentiel
OMM. Le
xi seul
y
j
zk
privilège
de ce absolu
repère est d’avoir été chois
1.1
Repère
Définition:
repère
présente
pas absolu
de propriété particulière; nous ne l’en appe
On dira queSoit
ceunpremier
repère
R
(Oxyz)
perm
a
point
matériel
M
observé
par
rappo
vecteurs i , j et k seront considérés comme constants
M. Le seulOM
privilège
de
ce repère est d’avoi
xi
y
j
zk
Attention, ce repère absolu n'est pas forcément un repère
On dira que ce pas
premier repère
Ra
(Oxyz) permet d’observer
le mouvement absolu dunous
mobile
résente
de
propriété
particulière;
ne
ce
chapitre
est
purement
mathématique.
On
dira
que
ce
premier
repère
R
(Oxyz)
p
M. Le seul privilège de ce repère est d’avoir été choisi comme référence et a priori, ila ne
présente pas de propriété particulière; par convention il se nome repère absolu.
M.
Lek seul
privilège
de ce repère
est co
d’a
j
ecteurs
i
,
et
seront
considérés
comme
Ses vecteurs de base seront considérés comme constants
présente
pas de propriété particulière; nou
1.2 Repère
relatif
Attention,
ce
repère
absolu
n'est
pas
forcémen
Définition:
relatif
j et k seront
vecteurs
i , PXYZ,
comme
Soit unrepère
second
repère
appeléconsidérés
repère relatif,
en m
e Soit
chapitre
est
purement
mathématique.
un
second
repère
PXYZ,
appelé
repère
relatif,
en
mouvement quelconque par rapport au
repère absolu.
Attention, ce repère absolu n'est pas forcém
repère absolu.

Le point M
sera
repéré
dans
ce
repère
relatif
par:
ce chapitre est purement
mathématique.
Attention: les vecteurs
I , J et K ne sont
pas fixes dans le repère absolu Ra
PM X I Y J Z K
Attention donc: les vecteurs I , J et K ne sont pas fixes

1.2 Repère relatif

1.2
Repère
relatif
Soit un second repère PXYZ, appelé repère re
Le mouvement de M observé dans ce deuxième repère Rr est dit mouvement relatif.

Le mouvement
de
M
observé
dans
ce
deuxième
repère
R
est
d
r
160

aractérise
par
deux
grandeurs:
Changement de référentiel: absolu relatif

A un instant t donné, ce mouvement de R par rapport à R se c
- la position du point P, origine du repère PXYZ :
la position du point P, origine du repère PXYZ :
OP xP i y P j z P k

r par deux grandeurs: a
A un instant t donné, ce mouvement de Rr par rapport à Ra se caractérise

(3)

160

de R
à Rr
a par rapport
- et une rotationMouvement
de R
que
nous
définirons
par
un
vecteur
rotati
r
une
rotation
de
R
que
nous
définirons
par
un
vecteur
r
Représenté ici à 2 dimensions
rotation autour de l’axe z, et animation e
(voir figure pour une rotation
Mouvement de R par rapport à R
Attention,
le vecteur rotation
est
notamment
en module ou en
Représenté
ici à rarement
2 dimensions constant,
Attention,
est rarement
constant,
notamment
endirection,
module o
même pour la terre!
OP OP
terre, c'est dire! Rotation
V

on
n amphi)
u en direction, même pour la
a

r

1

P

t

des axes

Rotation
Ydes axes

VP

OP1 OP
t
1

t

k

1

t

t

k

0

1.3 Mouvement d'entraînement
Y

t

y

y

Y1

y

P

0

Y1

y

X1

P
et Z constants) est
Un point fixe dans le repère relatif (X, Y,
DéplacementDéplacementd'un tel point dans le repère absolu est d
absolu. Le mouvement
X
de l’origine de l’origine
P
P

Y

Y

P

X

P

O

O

O

O

x

x

X1

x

x

Le mouvement
de
M
observé
dans
ce
deuxième
repère
R
est
d
r
160

aractérise
par
deux
grandeurs:
Changement de référentiel: absolu relatif

A un instant t donné, ce mouvement de R par rapport à R se c
- la position du point P, origine du repère PXYZ :
la position du point P, origine du repère PXYZ :
OP xP i y P j z P k

r par deux grandeurs: a
A un instant t donné, ce mouvement de Rr par rapport à Ra se caractérise

(3)

160

de R
à Rr
a par rapport
- et une rotationMouvement
de R
que
nous
définirons
par
un
vecteur
rotati
r
une
rotation
de
R
que
nous
définirons
par
un
vecteur
r
Représenté ici à 2 dimensions
rotation autour de l’axe z, et animation e
(voir figure pour une rotation
Mouvement de R par rapport à R
Attention,
le vecteur rotation
est
notamment
en module ou en
Représenté
ici à rarement
2 dimensions constant,
Attention,
est rarement
constant,
notamment
endirection,
module o
même pour la terre!
OP OP
terre, c'est dire! Rotation
V

on
n amphi)
u en direction, même pour la
a

r

1

P

t

des axes

Rotation
Ydes axes

VP

OP1 OP
t
1

t

k

1

t

t

k

0

1.3 Mouvement d'entraînement
Y

t

y

y

Y1

y

P

0

Y1

y

X1

P
et Z constants) est
Un point fixe dans le repère relatif (X, Y,
DéplacementDéplacementd'un tel point dans le repère absolu est d
absolu. Le mouvement
X
de l’origine de l’origine
P
P

Y

Y

P

X

P

O

O

O

O

x

x

X1

x

x

Représenté ici à 2 dimensions

Changement de référentiel: absolu relatif
Rotation
des axes

VP

OP1 OP
t
1

t

Y

t

0

Y1

y

y

k

P

Y

Déplacement
de l’origine

X1

P
P

X

O

O
x

x

Un point fixe dans le repère relatif (X,Y, et Z constants) est un
point mobile dans le repère absolu. Le mouvement d'un tel point
dans le repère absolu est dit mouvement d’entraînement.
Changement de repère

160

2.OMComposition
des
positions, vitesses, acc
OP PM
soit encore
soit
Composition
des
positions,
OM ( x iOMy jOP
z kPM
) ( X I Y J vitesses,
Z K )encore accélérations
OM 2.1
( x i Position
y j z k) (X I Y J Z K)
C'est terminé! Facile…
a

Représenté ici à 2 dim

P

P

P

P

P

P

Rotation
des axes

C'est terminé! Facile…
2.1 Position
Position
OM OP PM

soit encore
( xP isoit yencore
zP k ) ( X I Y J Z K )
P j
Y

y
y
OM OP PM OM
P
2.2
Vitesse
OM ( xP i 2.2
yP jVitesse
zP k ) ( X I Y J Z K )
Déplacement
C'est terminé!
Facile…
On cherche
de l’origine
dOP
On cherche
C'est terminé!
Facile…
16
O
:
O
dOM
x
dOMfaire intervenir
Va
Pour
le repère relatif, on utilise la relation
dt
Vitesse
Pour faire intervenir le repère relatif, on utilise la re
dt Va
dt

2.2 Vitesse2.2

dOP
Vitesse
d PM
et donc

cf.

dxP .i dy P . j dz P .k

dOM dOP
d PM
et donc
On cherche dOMOndOP
cherche
dOP d PM
dOP
d
PM
dOP
dx
dy
dz
P
P
P
V
dOM
V
a
i relatif, jon utilise
k la relation (
y P . j V dz P .k dt a Pour
cf. (3)
dOP
faire
intervenir
le
repère
dt
dt dOM
dt
a
dt
dt
dt
dt
est
donc
simplement
(ce
qui
éta
dt
Va
dtPour faire intervenir le repère r

Changement de re

dt

vitesse dudu
point
P dansPRadans le repère abso
la vitesse
point
dOM (ce
dOP
d PMévident, et
donc
simplement
qui était
mais
on notée
assureVavec
les composantes ..
Ellelà,sera
:
P

dOP d PMdOM dOP d PM
Va le repère absolu d'origine O.
nt P dans
dOP
dt
dt

dxP

et donc
dy P

dz P

P

dOM
Va
Pour faire intervenir le repèr
2.2
Vitesse
dt
Composition des positions, vitesses, accélérations
On cherche
dOM
Va
dt

Vitesse

dOP
:
dt
.k

dOP

dOM dOP d PM
et donc
Pour faire intervenir le repère relatif, on utilise la re
dOP d PM
dOP Va
163
dt
dt
:

dOM dOPdt d PM
dOP d PM
Va
dOP
dx
.
i
P
dt
dt

cf. (3)

dxP .i

et donc

cf. (3)

dy P . j dz P .k

dOP dxP
dy P
dz P
i
j
k
dOP
dt estdtdonc dt
dt (ce qui était évident
simplement
dydtP . j dz P .k
cf. (3) Changem

la vitesse du point P dans le repère absolu d'origi
ent (ce qui était évident, mais là, on assure vitesse
avec lesdu
composantes
...) Ra
point
P
dans
Elle sera notée VP :
le repère
absolu
d'origine
O.
dOP

j

dt
dz
P

k

est donc

Changement de repère

dOP
dxP
dy P
dz P
VP
i (ce qui
j était
k
simplement
dt
dt
dt
dt

(vitesse du point P dans Ra)

(5)

(vite
évident,

dOM
dOP
dxP dz
dy P (vitesse
dz P
V
i
j
k
du point
P da
Elle
sera
notée
V
:
dOP
dx
dy
dt
dt
dt
dt
dt
P
P
P
P
i
j
k
dOP dxP .i dy P . j P dz
.
k
cf.
(3)
V
Pour
faire
intervenir
le
repèr
P
a
dt
dt
dt
dt
V
i
j
k
(vitesse
Elle
sera
notée
V
:
dt
dt
dt
dt
P
la
vitesse
du
point
P
dans
le
repère
absolu
d'origine
O.
P
2.2
Vitesse
dt
Elle
sera
notée
V
:
dt
dt
dt
dt
Composition
des
positions,
vitesses,
accélérations
P
dOP
dx
dy
dz
P
P
P
Elle
sera
notée dx
VPi :
V
(vitesse du point P dans Ra)
dOP
dy Pj
dz P k
On
d
PM
P
P cherche
VP: dt d PM
i dt j dy
k
dOP
(vitesse du point P dans Ra)
(5)
dt dOP
dt
dx
dz
est dt
donc simplement
(ce
qui
évident,
mais dOP
là, on assure
avec les composantes
...)
dOP
dxPdt dy PPdt
dz P était
dt
dt
P
P
dOM
d
PM
et
donc
:
dOM
Vitesse
VP V i
jiPM k
(vitesse
du point P dans
Ra)
(5)
dt
j
k
(vitesse
du
point P
d
PdtVa dt dt
dt
dt :Pour faire intervenir le repère relatif, on utilise la re
la vitesse
ducomposantes
point P dansdt
le de
repère
O.par (2)
dt
dtsont d'origine
dt dOP
Les
données
:
PMabsolu
d PM
dt
d PM
Les composantes
deVPM
sont données par (2) :
dt
d PM
a
Elle
sera
notée
V
:
: : XP I Y J Z K
PM
(attention,
rappel, I , J et K ne sont pas
dt
dt
d PM
I , J: et K
PM Les
X I composantes
Y J ZK
(attention,
rappel,
dt dt : dx dOM
de
sont
données
par
(2)
PM
dOP
dy
dz
dOP
d PM(vitesse duet
donc
P
P
P
dt
I, J(5)
et K ne sont pas
V
i
j
k
point
Pattention,rappel,
dans Ra)
d
PM
P
Les
composantes
de
sont
données
par
(2)
:
PM
Les
composantes
de
sont
données
par
(2)
:
PM
dt Les
dt
dt
dt
PM
X
I
Y
J
Z
K
(attention, rappe
dcomposantes
PM : dX . Ide PM
dY
.
J
dZ
.
K
X
.
d
I
Y
.
d
J
Zfixes
.d K
sont
données
par
(2)
:
dOP d PM
. J (attention,
dZ .rappel,
K rappel,
Xrappel,
.d, IJ etIYK,.Idne
Z pas
.ne
dKKsont
J,Jetsont
PM
Z K dX . I dY
K
pas fixes)
dtX IXXI IYYJYJVdJaZZPM
J
PMPM
(attention,
et
ne
sont
pas
fi
I
KK
(attention,
fixes)
d
I
d
J
d
K
dt
dt
d PM en divisant d PM par dt et en utilisant
I
,
J
,
d
I
d
J
:
composantes
de
sont
données
par
(2)
:
PM
dt
dt
dt
d
PM
dX
.
I
dY
.
J
dZ
.
K
X
.
d
I
Y
.
d
J
Z
.
d
K
I
en
divisant
d
PM
par
dt
et
en
utilisant
,
dtLes
PM dX
dX. I . I dYdY
ddPM
. J . JdZ .dZ
K . KX .d X
I .dYI.d JY .dZJ.d K Z .d K
dt
dt
d
PM
dX
.
I
dY
.
J
dZ
.
K
X
.
d
I
Y
.
d
J
Z
.
d
K
d PM X de
dXPM
dYdonnées
dZpar (2) : d I d I (attention,
Les composantes
sont
d,KI J et
d JZ K d
dK
I
PM
I
Y
J
Z
K
rappel,
J
d
I
J
K
(
X
I
Y
J
)
d par
PM
dX
dY
dZ
I et
dt
etdivisant
en
utilisant
,etKen
Jd J,fixes)J , K d K
en
d
PM
par
dt
utilisant
I
endivisant
dZPM
par
dt
et
en
utilisant
,
d
I
I
,
J
PM en
Xdivisant
Idt Y J d PM
K
(attention,
rappel,
ne
sont
pas
dt et enIdtutilisant
J dt K
I, dt Y J dtZ K ) Jdt
dt( X
dt,
dt
I
en divisant d PMdt par
dt
dt dZ dt
dt
dt dt
Changem
dt
dt
d PM
dX
dY

PM
dXI. J dZ
dY
dZ
J
K
IZ(.dXYK
J .dY
Z IK
) Z
d PMdd PM
dX . I dY
.
K
X
.d I K Y
.dX
d J(. X
d
PM
dY
dZ
dX
.
I
dY
.
J
dZ
K
X
Y
Z
.
d
K
I
J
I
J
K.d
) Jpoint
La
première
parenthèse
n'est
autre
que
la
vitesse
du
M
dans
le repère
R
dt
dt
dt
dt
d PM dt dX dt dYdt dZdt
I
J
K
(
X
I
Y
J
Z
dI (X
d Jque
d K du point M dans
La
première
parenthèse
n'est
autre
la
vitesse
I
J
K
I
Y
J
Z
K
)
dt I , dt
en divisant
d PMVpar
dt et endt
utilisant dt
Jd ,I
K
relative
:
d
J
r
dtLa première
dt parenthèse
dt
dt
dt
dt
dt
Changement
de repère
n'est
autre
vitesse
du point
M dans le repère
Rr, appelée
vitesse
Vpar
relative
: dtqueetla en
I
en
divisant
d
PM
utilisant
,
r
La
première
parenthèse
n'est
autre
que
la
vitesse
du
point
M
dans
le
repère
R
dX
dY
dZ
r, appel
d PM
dX
dY
dZ
relative
dt
dt
Vr VrI : I J JdXK
K
(vitesse
du
point
M
dans
R
(
X
I
Y
J
Z
K
)
dY
dZ
Lan'est
première
parenthèse
n'est
autre
que
la(vitesse
vitesse
du
La
première
parenthèse
n'est
autre
que la
vitesse
du du
point
relative
:dt V dtdZ
dtrparenthèse
dt
dt V
dt
Ladtpremière
autre
que
la
vitesse
du
point
M
dans
le
repère
Rpo
I
J
K
dX
dY
r,
r
M dans
le repère
R , appelée
vitesse
relative
Vdr PM I
J
K dY dt dZ
(vitesse
du point
M dans
Rr) Vr :
(6)
dX
dt
dt
dX
dY
dZ
V
relative
:
,
cf.
(2).
Donc
:
Et
la
seconde
n'est
autre
que
le
vecteur
PM
dt
dt
dt
V
relative
:
r
I
J
K
(
X
I
Y
J
Z
K
)
V
I
J
K
(vitesse
du
point
M
dans
Rr)
r
r
La première parenthèse
n'est
autre
que
la
vitesse
du
point
M
dans
le
repère
R
,
appelée
vitesse
r
Et autre
la seconde
n'estdt
autre
le Donc
vecteur
PM , cf. (2). Donc :
dt
dtdt
dtque
cf. (2).
:
Et la
n'est
PM , que
dt
dtle vecteur
d seconde
PM

d PM

dX .PM
I dY . JX IdZ .Y
K J X .Z
d IK Y .d J

Z .d K (attention, rappel, I
dI dI
d Jd J
d
K
dK
I
en divisantend divisant
PM pard PM
dt etparendtutilisant
,
J
,
I , dt
et en utilisant dt
J , dt
La première parenthèse n'est autre que la vitesse
du point
M dansdtle
dt
dt
d PM dX . I dY . J dZ . K X .d I Y .d J Z .d K
d PM V dX
dZ
d PM dYdX
dY
dZ
relative
:
J
K ( X I ( XYI J Y JZ KZ)K )
r
I
JI
K
dI
dt
I
ddtPM par dt et en utilisant
dt
dtdt
dtdten divisant
dt

Composition des positions, vitesses, accélérations

Vitesse

dX
dY
dZ
dt
Vr
I La première
J parenthèse
K n'est autre que la vitesse du point(vitesse
du
point
M
dans
le
repère
Rr,
d
PM
dX
dY
dZ
dt
dt
dt n'est autre Ique la vitesse
La première
parenthèse
du
point M( Xdans
leJrepère
Rr
J
K
I
Y
Z
K
)
relative Vr :
dt
dt
dt
dt
V
relative
:
Et la seconde
n'est
r
dX autre
dY que
dZ le vecteur PM , cf. (2). Donc :
Vr
I
J
K
(vitesse du point M dans Rr)
dX
dY
dZ
dt
dt
dt
d PM
Vr
I
J La
K
(vitesse
du
point Mdu
dans
R
première
parenthèse
n'est
autre
que
la
vitesse
poin
PM
dtVr Et la
dt seconde
dtn'est autre que le vecteur PM , cf. (2). Donc :
dt
relative Vr :
d PM

Et la seconde n'estVautre que
le vecteur PM , cf. (2). Donc :
PM
r
dX
dY
dZ
dt
d PM
Vr
I
J
K
(vites
V
PM
D'où finalement,
en repartant
de
dt
dt (4bis)
dt avec (5) et (6bis)
r
dt
D'où finalement, en repartant de (4bis) avec (5) et (6bis)
,
cf.
(2).
Don
Et
la
seconde
n'est
autre
que
le
vecteur
PM
Vitesse
du
point
M
dans
Va VP
PM
V
Vitesse du point M dans le repère a
Va VP
r PM Vr
D'où finalement,
en relation,
repartant
de (4bis)
avec (5)
et (6bis)
d PM la 2ème
Dans
cette
composante
n'était
paspas
forcément
intuitive! intuit
Dans cette relation, la 2èmeVrcomposante
forcément
PM n'était
du point
M dans
Va VP
PM Vr s'ildtn'y a pas de rotation (Vitesse
retrouvons
la le
loi repère
simple
Remarque:
0) nous

nous
retrouvons
la
Remarque: vitesses
s'il n'yV aV pas
de
rotation
(
0)
V . Cette relation a été utilisée dans le chapitre lois de Newto

Dans cette relation,a la 2ème
P
r composante n'était pas forcément intuitive!
D'où
finalement,
ena repartant
de (4bis)
avec
(5) et (6bis)
une
famille
de
référentiels
Galiléens
R’,
connaissant
un
premier
référentiel
Gali
vitesses
.
Cette
relation
été
utilisée
dans
le
chapitre
lo
V
V
V
Remarque:
0) nous retrouvons la loi simpl
a s'ilP n'y ra pas de rotation (
Vitesse du po
Va VP
PM Vr
unevitesses
famille
deVPréférentiels
Galiléens
R’, connaissant
ununepremier
réfé
Cettedans
relation
a été relatif
utilisée
chapitre
lois
de Newt
VaUn
Vr . fixe
point
le repère
( Vdans
0 ) leaurait
vitesse
dite

4

La première parenthèse
n'est
autre
que
la
dOM
V
Pour fairedOP
intervenir
le repère relatif,
Composition
des
vitesses,
accélérations
dX
dY
dZ positions,
est
donc
simplement (ce qui
dt
V
Irelative
J
Kr :
dt
V
(vitesse du point M dans R
dt
dt
dt
relative Vr :

a

r

Vitesse
dOP PM
d PM
, cf.
Et la seconde n'est autre quedOM
le vecteur

la vitesse du point P dans le repère a
Elle Donc
seraetnotée
donc
(2).
: VP :

dX
dY
dZ dOP dOP
dx Vdy
dz
d PM
dOP
d
PM
V
I
J
K
V dt i
j
k
r
V
V
PM
d
PM
d PM
dt
dt
dt
dt
V
dt
dtdt dt dt
dt dtdt V
dyPM
: le vecteur
D'où finalement,
repartant de (4bis)
(5) et (6bis)
Et laenseconde
n'estavecautre
que
P
dt
y composantes de PM sont donné
Les
Vitesse du point M dans le repère
V V
PM V
d
PM
PM X I Y J Z K
Dans cette relation, la 2ème
composante
n'était
pas
forcément
intuitive!
Vr
PM j
loi.K simpl
Remarque: s'il
dX . I dY . J la dZ
X .d I
dtn'y a pas de rotation ( 0) nousdOPMiretrouvons
x
x
r

r

YY

P

a

r

P P

P

P

MM

a

P

P

r

JJ

X X

PP I I

P

vitesses Va VP Vr . Cette relation a été utilisée dans
le chapitre
lois
deenNew
de
re
en divisant
d Changement
PM par
dt et
utilis
d PM
dY
dZ dZ
d PM V dXdX
I I dY
Jde
K K
dOP
dx
dyréférentiel
dz
une
famille
Galiléens R’, connaissant
un
premier
Ga
V
J référentiels
dt dt
dt dt dt dt
dt dt
d PM V dX i dY j dZ k
r

r

D'où finalement, en repartant
a
dt
dt dedt(4bis)
dt
dt

Un point fixe dans le repère relatif ( Vr

Va PMVP

Ve

VP

Va

Ve Vr

P

P

dt I

P

dt

J

P

dt K

0 ) aurait une vitesse dite

La première parenthèse n'est autre q
PM
V
S'il n'y a pas de rotation, on
d'où, pour un point
quelconque:
r
relative V :

r
retrouve
la simple addition
dX vitesses.
dY
dZ
des
…V mais
attention
à la
définitio
I
J
K
r
dt Changement
dt de repère
dt

Dans cette relation, la 2ème composante
formule commode

passons immédiatement à la dérivée.
V
d
PM
dVP chacun des 3 termes
Dérivons donc successivement
de Va ( VP
:
1/
: il suffit dedtdériver la relation (5)
dVP
temps.
: il suffit
de dériver la relation (5) pardtrapport au temps
:
Les composantes
de PM s

ivons
donc
successivement
chacun
des
3
termes
de
Composition des
positions,
vitesses,
accélérations
D'où
finalement,
en
repartant
de
ps. dV
1/
P
dt
Accélération
d OP
d x
d ytempsd :z
: il suffit de dériver la relation
(5) par rapport
au
PM
Xj I Y J
i
dV
y a dV
zP
j
k

2

2

2

2

PM
V
dt(accélération dt
dtdans R )dt
du pointr P

Z K (ac
k
dt
d OP
d xP
P
P
i
(8
a
P
2
2
2
2
2
2 dt dV 2dt
dt
dt
Le résultat
est logique
d: puisque
PM
dXV
.rapport
IP est
dYla
. J vitess
dZte.
OP
d xP 1/
d yP
dP : zilP suffit
de
dériver
la
relation
(5)
par
au
i
j dt VP2estk la vitesse
(accélération
du lepoint
dans RRaa(cf
) (
du point P dans
repèrePabsolu
Le résultat
est
P
2
2 logique :2 puisque
t
dt
dt2
dt 2 dVP est2 simplement
enaccélération
divisant d PMdans
par R
dt , eq
2
son
a
dVP P
d
OP
d
x
d
y
d
z
P dt
P notée
simplement
son accélération
dans
R
avons
a, quePnous
i
j
k
(accélération
du abs
poid
P . le repère
V
est
la
vitesse
du
point
P
dans
résultatdtestestlogique
: puisque
P
2
2
2
2
P
d
PM
dX
dY
dt
dt
dtd (
dt )
I
J
PM
:
2/
dtdu point Pdans
dt Ra dt
d
d(
PM )Le résultat est logique
accélération
: puisquedtVP est la vitesse du point P dan
P
:
2/
est simplement
dans Ra, que
nous avons notée P .
2 accélération
2
2
dt son
a
Pd'un produit
r La première
la dérivation
vectorielparenthèse
se déroulen'e
c
dV
P P vectoriel se
P déroule comme
P celle d'un produit scalaire ordinaire
la dérivation d'un laproduit
dérivation
produit
estd'unsimplement
son accélérationd dans
Ra, que
nous
avons no
d
PM
V
relative
:
P
2 d d(
r
PM ) vectoriel
dt se déroule 2
PM2
d2PM
PM
: comme celle d'un produit
dt
dt
dX
dY
dZ
scalaire
dt dt
dt ordinaire
d (:
PM )
Vr
I
J
K
:
2/
d PM
dt
dt
dt
d
PM
En reprenant
plus
hautproduit
dans le paragraph
dt
érivation
d'un
produit
vectoriel
se
déroule
comme
celle
d'un
scalaire
P
En reprenant
plus haut dans le paragraphe vitesse dt
(6 bis),Etnous
arrivons
à
la seconde n'est: autre qu
dt la dérivation d'un produit vectoriel se déroule comme celle d'un
d PM
d PM
d
(
PM
)
d
VV
PM
PMd ( PM ) d d PM
d
PM
r
(
PM
P
r
(
)
V
PM
dt
PM r
dt
dt
dt
dt
dt
2

2

2

2

2

P

P
2

P

2

P
2

Dans cette relation, la 2ème com
dV
: il suffitRemarque:
de dériver las'il
relation
par de
rapport
n'y a(5)pas
rota
dt

vitesses
.
Cette
relatio
V
V
V
d x
d y
d z
i
j
k
(accélération
d
unedtfamilledtde référentiels Galilé
dt

OP
t
ésultat est logique : puisque V est la vitesse du point

Un point fixe dans le repère

est simplementdt son accélération
dans Ra, que nous av
dt

Ve

V
P PS :
d PM

PM
attention à

en d'où
reparta
d PM
ne parenthèses
pas, nous
supprimer
ou
reprenant
dans
le paragraphe
vitesse
(6
bis)
arrivons
PS : attentionplus
à Enhaut
nereprenant
pas
supprimer
ou
translater
les
:
par
exem
plus haut dans le paragraphe
vitesse
(6r bis)
V
V
PM
V
a
P
) PM 0
dt (
(
)dtPM 0

d(

PM )

résultat obtenu
D'oùprécédemment
finalement,

PS
:
attention
à
ne
pas
supprimer
ou
transla
M 0
(
)
PM
0
PS : attention
à
ne
pas
supprimer
ou
translater
les
parenthè
: Composition
attention
à ne
pas
supprimer
ou
translater
les
des
positions,
vitesses,en
accélérations
D'où
finalement,
repartant de
(
) PM 0
)
PM
0
Accélération
dV
V
V
PM
V
r
P:
r
3/ a
dVr
dt
3/
:
dX
dY
dZ
dX
dY
Dans
cette
relation,
la
2ème
com
dt
Vr repartirI de la définition
J
K
r de ladV
définition
(6) de
I
J
il faut
(6) de Vr
r
:
dX dt dY
dZ dt
dt
dt
dt
ildt
faut repartir de la définition
(6) de Vr s'il In'y aJ pasK de rota
Remarque:
En posant :
dt
dt
dt
2
2
2 dX
dY
dZ
:
2 En posant
2
d
X
d
Y
d
Z
d Yrepartir
d 2Zde la définition
JVr V 2 K VI . Cette
J
K
aut
(accélération
du p
2
2 2 I(6) de
vitesses
relatio
V
r
2
J d 2X K d Y (accélération
d dtZ
a du point
P dtMrdans
le
repère
R
r)
dt
dt
2
dt
dt
J
K
(accélération du point M dans le rep
dt r dtdt 2 I dt 2 vous
2
dt
montrerez
facilement
en
procédant
exactement
co
accélération
du
point
M
dans
le
repère
R
r
une
famille
de
référentiels
Galilé
posant
:
ez
facilement
en
procédant
exactement
comme
pour
les
vitesses
que
vous montrerez facilement
en
procédant
exactement
comme
pour
les
vites
dV
r2
2
2
Vr
r
d dV
Xr d Y
d
Z
exactement
comme précédement
les vitesses
K
(accélération
dupour
point
Md
Vr 2 I r 2 JVr dt en2 procédant
dt dt
dt
dt

Un point fixe dans le repère

us montrerez facilement en procédant exactement comme pou
Ve VP
PM
d'où
Vr
Changement
de
repè
V
r
r
Changement de repère
t
V V V
form

si ledans
vecteur
rotation
estEn
constan
A user avec modération. Il est rare d'avoir à l'employer
toute sa
généralité.
particu
167
d
si le vecteur rotation est constant
sens et module)
le terme de (4bis)
PM disparaît.
D'où(direction,
finalement,
en repartant
avec
dt

Composition des positions, vitesses, accélérations
Attention, attention, Vr et

d'où
l’accélération
élération
finale,
en additionnant
chacune
desadditionnant
dérivées:
Accélération
Va finale,
VP en
PM
Vr
Attention, attention, Vr et

r

s

chacune des dérivéeV
r

sont la vitesse et l'accélération
du point
dans
Pour leur calcul
et K sont
I ,M,J repérés

Dans
cette comme
relation,
la
2ème
composante
n'ét
Pour leur calcul I d, J et K sont
considérés
fixes,
et
seuls
X,
Y
et
Z
sont
variable
n'y a d'ailleurs aucune ambiguïté
PM ) aucune ambiguïté
PM 2 : il suffit
Vr ded
n'y a( d'ailleurs
r bien se référer à leur définition (6) et(10)
Remarque: s'il n'y a pas de rotation ( (9). 0

PM )
PM 2
Vr
r
dt L'ordre dans lequel les termes
L'ordre dans lequel les termes
de sont
écrits
n'est
pas
quelconque.
Il estadeété
coutume
vitesses
.
Cette
relation
utili
V
V
V
a
P
r
e! Tiens, vous pouvez vérifier l'homogénéité
de àlal'employer
formule,dans
ça toute
décontracte.
Il est rare d'avoir
sa généralité. En
regrouper
les
trois
premiers
so
regrouper les trois premiers sousparticulier,
la dénomination
accélération
d'entraînement
(voi
e
si de
le dans
vecteur
rotation
est constant
(direction,
sens
et
ec modération.
Il
est
rare
d'avoir
à
l'employer
toute
sa
généralité.
En
particulier,
une
famille
référentiels
Galiléens
R’,
conn
Ondusouffle!
Tiens,
vous
pouvez
vérifier
l'homogénéité
de
la
for
définition
mouvement
d'entraînement
au
En
effet,
si
le
point
M
est
immobile
module)
il n’ydébut).
a pas
le
terme:
définition ddu mouvement d'entrd
A Ruser
avec
modération.
Iletenest
rare led'avoir
dans to
repère
0(direction,
et Vr 0 .sens
Donc
définissant:
eurlerotation
est
constant
module)
terme à l'employer
PM disparaît.
r alors
r
le repère Rdt
0 et Vr
accélération d’entrainement
r alors
r
dUn point fixe dans le repère relatif ( V
(
PMrotation
)
PM
(accélération
dite d'entraînement)
(1
si
est
constant
(direction,
sens
et
module)
le
e
P le vecteur
d
(
PM
)
, attention, Vr et r sont ladt
et
l'accélération
du
point
M,
repérés
dans
R
.
Vvitesse
V
PM
d'où,
pour
un
p
r
e
P
e
P
a

P

dt

(

dt

L'accélération
absolue
s'écrit finalement
: fixes, et seuls X, Y et Z sont variables. Il
calcul
sont considérés
comme
I , J et K
V
V
V
formule
commo
a
e
r
leursa aucune
: il suffit de bien
à leur
définition
et (9).
2 ambiguïté
Vr attention,
(1
accélération
absolue
V etse référer
Attention,
sont
la vitesse
et(6)l'accélération
e
r

L'accélération absolue s'écrit fin
2
V
Pour
leur
calcul
,
J
et
sont
considérés
comme
fixes,
etRdese,
I
K
ans
lequel
les
termes
de
sont
écrits
n'est
pas
quelconque.
Il
est
coutume
a
e
r dans
où 2
V , couplage de la rotation de R par rapport à R et de la rde
vitesse
r

r

r

r

a

r

n'ypremiers
a d'ailleurs
ambiguïté
il suffit
de bien se
référer à
les
trois
sous laaucune
dénomination
accélération
d'entraînement
l'accélération
de Coriolis,
déjà
rencontrée
dans
les: repères
cylindriques
et sphériques.
e (voir la

Changeme
intervient par exemple dans le mouvement des nuages autour des dépressions.

cartésiennes
, VP ici.
OP décomposant
, PM
, Vr correctement
,Mais,P en
et décomposant
être remplacées
par leurs
relations
établiesdes
ici.vecteurs
Mais, relations
en
le problème,
ces le
relations
établies
correctement
problème,
ces relations
r peuvent
raisons
de
commodité.
Il
est
évident
que,
dans
le
résumé
qui
suit,
les comp
permettent
souvent
d’exprimer
plus
rapidement
les
grandeurs
vectorielles
nécessaires.
permettent
souvent
d’exprimer
plus
rapidement
les
grandeurs
vectorielles
nécessaires.
homologues en coordonnées cylindriques ou sphériques.
Rappelons que les démonstrations ont été conduites en coordonnées cartésien
P
raisons de commodité. Il est évident que, dans le résumé qui suit, les

V

Changement
de
repère: conclusion
OM
OP
PM
Position
V V
PM V
OM
OP
PM
cartésiennes des vecteurs
OP , PMx, V i, V , y etPosition
peuvent
être remplacées par leurs
OP
j
z
k
P
P
P
Position
OP x i y j OM
z k
OP
PM

cartésiennes desVitesse
vecteurs
OPles, démonstrations
, Vrété, conduites
être remplacées
p
PM , VP ont
P et en coordonnées
r peuvent
Rotation
Rappelons
que
cartésiennes
pour
des
des vecteurs
OP , PM , Vpour
, V , des et
peuvent
être remplacé
Rappelons
que les démonstrations ont été conduitescartésiennes
en coordonnées
cartésiennes
des axes
Position
raisons
de
commodité.
Il
est
évident
que,
dans
le
résumé
qui
suit,
les
composantes
enIlcoordonnées
cylindriques
ouensphériques.
coordonnées
ou sphériques.
raisonshomologues
de commodité.
est évident que,
dans homologues
le résumé
qui suit, cylindriques
les composantes
P

r

P

r

=
PM

des vecteurs OPr, PM , VP , Vr , P et r peuvent être remplacées
par leurs
Y
a cartésiennes
P
r
P
r
homologuesPen coordonnées
cylindriques
ou sphériques.

Pen coordonnées
P
P
homologues
cylindriques ou sphériques.
Position
OM OP
Position
dxP
dy P OP dz
PM X I Y J Z K
xP iP

PM

y

PM xPXi iPMI y PYjj JPM zX PI ZkkY J KZ K
OP
dt
OP dt
x i y j zdt
k
Vitesse
OM OP
OP PM
xP i y P j zP k
Vitesse
PM X I Y J Z K
=
vecteur
rotation
de
R
rapport
à
R
OP V x iV y j PM
z k V
r par
a
V
V
PM
V
PM X I PM
Y J ZK X I
Y
J
Z
K
O
Vitesse
PM X I Y J Z K
PM
X
I
Y
J
Z
K
dx
dy
dz
dx
dy
dz V V
PM
V
V
i
j
k
V
i
j
k
dt
dt
dt
dX
dY
dZ
Vitesse
dt
dt
dt
Vitesse
= vecteur
rotation de R par rapport à R
V
K
dx I dy
dz J
r
= vecteur
rotation
de RrV
rapport
à jRa PM
Vpar
i
k PM X I V
V
V
Y J ZK
V Vitesse
VV
PM
V
V
PM
dt
dt
dt
a
P
r dZ
dt
dt
dt
a
P
r
dX
dY
OM
Position

OP

PMVP OM

OP
P

a P

P

P

P

a

P

P

Vitesse

P

P

a

Vitesse
Y J ZK

P

P

r

a

P

P

zP k

r

P

P

P

P

Vr

Déplacement
de l’origine

r

P

P

x

P

r

PM X I
Vr rapport
I à RaJ
K
= vecteur rotation de Rr par
dt
dt
dt
dX dy dY dz dZ
dx
PM X I Y J Z K
P
P
VP Vr i Idx
j J Pdy
k K dzdX
dY
dZ
Pdt dt adt
P
P
dt
dt
dt
P
r
V
I
J
VP
i
j r dt k dt dt K Accélération
dt de dt
dt àPRa
= vecteur rotation
Rr par rapport
d
P
P
(
PM
)
PM
a
P
PM Accélération
X I= Y
J
Z
K
dt
vecteur rotation
de Rr par rapport à Ra
P Accélération
d
dX
dY
dZ
( d PM
) d 2 y d 2 z PM
Vr
I
J
KJ aZ K
d P
PM
X
I
Y
d 2 xP
P
( dt PM ) a PPPM ( 2 PMV) rP P r PM
i 2 2PP
Vj r
dt
dt
r2 k
2
a
P dt
dt
dt
dt dt
dt
dX
dYP
dZ

V

P

P

r

P

yP j

Accé

a

V

PM V
a
Accélération
dx
dy
dz
V
i
j
k
2
Vr
Accélération
r
dxdt dydt dz dt
V
i
j
k
Pa
V
I
J= vecteur
K
rotation
de
R
par
rapport
à
R
r
dt
dt
dt
dt d y dt d z dt d 2x i d y j 2d z k
Accélération
2
d x
d
x
d
y
d
zP
dt
dt
dt
i
j
k
P
P
X Ii Vrotation
J rapport
dt
dt PM
d dt = vecteur
j Z
kRr par rapport à Ra =
deY
R 2par
à de
RK
2
(
PM ) =P vecteur
PM 22rotation
dt
dt
= vecteur rotation de dt
R PM
par rapport
X I Y Jà RZ K dt
Accélération
dX
dY
dZdY
PM
dX
dZ
PM X I Y J Z K
r

2

P

a

P

2

P
2

2

2

PP

P

2

2

P
2

P

2

2

r

r

a

2

= vecteur rotation de Rr par rapport à Ra
2
PM X I Y J Z K
P
2
dX
dY
dZ
Vr
I
J
K
dt
dt
dt
r
a
r
d2X
d 2Y
d 2Z
I
J
K
r
dt 2
dt 2
dt 2

Vr

r

Changem

Représenté ici à 2 dimensions

Changement de repère: conclusion
Rotation
des axes

VP

OP1 OP
t

Rappelons que les démonstrations
ont été conduites en
k
t
coordonnées cartésiennes
pour des raisons de commodité.
t 0
1

Y

Y1

y

y
P

Y

P

X1

Les composantes cartésiennes des vecteurs OP , PM , VP ,Vr ,
X
IP et Ir Ppeuvent être remplacées par leurs homologues en
O coordonnées cylindriques ou sphériques.

Déplacement
de l’origine
O
x

Changement de repère

x

160



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