MecaM0211 .pdf



Nom original: MecaM0211.pdf

Ce document au format PDF 1.4 a été généré par TeX / pdfTeX-1.40.9, et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 26/03/2013 à 01:56, depuis l'adresse IP 82.236.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 1900 fois.
Taille du document: 3.3 Mo (92 pages).
Confidentialité: fichier public




Télécharger le fichier (PDF)










Aperçu du document


´
MECANIQUE
Universit´
e Paris Diderot L1 : ME2A

Jean-Pierre GAZEAU

Notes de cours : les 8 premiers chapitres
2011
Avertissement : ces notes ne suivent pas obligatoirement le d´eroulement du cours. De plus, leur
contenu d´epasse parfois le niveau requis en premi`ere ann´ee de licence.
UFR de Physique
Universit´e Paris-Diderot – Paris 7
Bˆatiment Condorcet 10, rue Alice Domon et L´eonie Duquet
75205 Paris Cedex 13
courriel : gazeau@apc.univ-paris7.fr

Table des mati`
eres
1 Grandeurs, unit´
es, mesures, ´
etalons, erreurs & incertitudes

1

1.1

Grandeurs, unit´es et mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Le Syst`eme International d’Unit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3

D´efinitions des Unit´es de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3.1

Unit´e de longueur (m`etre) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3.2

Unit´e de masse (kilogramme) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3.3

Unit´e de temps (seconde) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3.4

Unit´e de courant ´electrique (amp`ere) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3.5

Unit´e de temp´erature thermodynamique (kelvin) . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3.6

Unit´e de quantit´e de mati`ere (mole) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.7

Unit´e d’intensit´e lumineuse (candela)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4

Erreurs : quelques quantit´es statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.5

Calcul d’incertitude

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.6

Cinq tableaux fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2 Vecteurs dans le plan, dans l’espace (encore en construction )

19

2.1

Scalaires et vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2

Addition de vecteurs : m´ethodes g´eom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.3

Vecteurs : m´ethodes analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.4

Multiplication de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.4.1

Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.4.2

Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

3 Mouvements & Cin´
ematique
3.1

Position et trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23
23

ii

`
TABLE DES MATIERES
3.2

Vitesse et vecteur vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

3.3

Vecteur acc´el´eration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3.4

Mouvement rectiligne

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

3.5

Mouvement circulaire

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

3.6

Mouvement plan avec acc´el´eration constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

4 Coordonn´
ees curvilignes

39

4.1

Mouvement plan en coordonn´ees polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

4.2

Mouvement dans l’espace en coordonn´ees cylindriques . . . . . . . . . . . . . . .

42

4.3

Mouvement dans l’espace en coordonn´ees sph´eriques . . . . . . . . . . . . . . . .

45

5 Dynamique de point mat´
eriel : Galil´
ee & Newton

49

5.1

Quantit´e de mouvement, force et lois de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

5.2

R´ef´erentiels galil´eens et transformations galil´eennes . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

5.3

Rep`eres non galil´eens et forces d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

6 Forces de frottements

63

6.1

Frottements `
a sec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

6.2

Frottements visqueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

7 Quantit´
e de mouvement et sa conservation

67

7.1

Syst`emes mat´eriels, quantit´e de mouvement et centre de masse . . . . . . . . . .

67

7.2

Mouvement du centre de masse et deuxi`eme loi de Newton

. . . . . . . . . . . .

69

7.3

La quantit´e de mouvement est conserv´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

7.4

Syst`emes `
a masse variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

7.4.1

70

Syst`emes `
a masse variable : l’´equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 L’´
energie et sa conservation
8.1

73

Travail d’une force et th´eor`eme de l’´energie cin´etique. Puissance . . . . . . . . . .

73

8.1.1

Travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

8.1.2

Th´eor`eme de l’´energie cin´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

8.1.3

Puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

8.2

Forces conservatives et ´energie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

8.3

L’´energie m´ecanique et sa conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

`
TABLE DES MATIERES

iii

8.4

Le pendule simple comme exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

8.5

L’´energie est conserv´ee ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

iv

`
TABLE DES MATIERES

Chapitre 1

Grandeurs, unit´
es, mesures, ´
etalons,
erreurs & incertitudes
Universit´e Paris Diderot, Paris 7 Notes de cours de JP Gazeau, 2011

1.1

Grandeurs, unit´
es et mesures

Les lois de la physique s’expriment en terme de grandeur physique ou de quantit´e physique
ou simplement de grandeur.

efinition 1.1.1 (Grandeur) Une grandeur est l’attribut d’un ph´enom`ene ou d’un corps qui
est susceptible d’ˆetre distingu´e qualitativement et d´etermin´e quantitativement.
Par exemple, la longueur, la temp´erature, la masse, le temps, la vitesse, la force, la puissance,
l’´energie, l’intensit´e lumineuse, la charge ´electrique, la densit´e, la pression, la r´esistivit´e ... sont
de grandeurs. Le symbole d’une grandeur est ´ecrit en italique.
La valeur d’une grandeur est g´en´eralement exprim´ee sous la forme du produit d’un nombre
par une unit´e.

efinition 1.1.2 (Unit´
e) Une unit´e est, dans une cat´egorie de grandeurs, une grandeur particuli`ere choisie comme r´ef´erence.
Le symbole d’une unit´e est ´ecrit en caract`ere normal droit.
L’unit´e n’est donc qu’un exemple particulier de la grandeur concern´ee, utilis´e comme r´ef´erence.
Le nombre est le rapport entre la valeur de la grandeur en question et l’unit´e. Pour une grandeur
particuli`ere, on peut utiliser de nombreuses unit´es diff´erentes. Par exemple, la vitesse v d’une
particule peut ˆetre exprim´ee sous la forme v = 25 m/s = 90 km/h, les unit´es m`etre par seconde
et kilom`etre par heure ´etant des unit´es alternatives pour exprimer la mˆeme valeur de la grandeur
“vitesse”.

2

1. Grandeurs, unit´es, mesures, ´etalons, erreurs & incertitudes


efinition 1.1.3 (Mesure et loi physique) Mesurer est comparer un objet avec la quantit´e admise conventionnellement comme unit´e. Une loi physique s’exprime par une relation
(alg´ebrique, fonctionnelle ...) entre un certain nombre de grandeurs mesurables.
Mesurer une grandeur est donc d´efinir combien de fois elle contient la grandeur choisie
comme unit´e. On utilise aussi le terme de mesurage pour d´esigner l’ensemble des op´erations
mises en oeuvre pour d´eterminer la valeur d’une grandeur.
Ainsi, nous disons que nous avons d´efini une quantit´e physique, la masse d’un objet par
exemple, lorsque nous savons la mesurer et lui assigner une unit´e, le kilogramme par exemple.
Mais notre d´efinition doit ˆetre
1. utile,
2. pratique
3. et accept´ee par une communaut´e jug´ee suffisamment importante de scientifiques, d’ing´enieurs,
d’artisans, de commer¸cants, ... (dans un ordre plus ou moins inverse de celui du d´eroulement
historique !)
Une unit´e est mat´erialis´ee par un ´etalon (ou standard en anglais).
Il est ´evidemment inutile d’assigner une unit´e `a toute grandeur. Il suffit d’en assigner une
pour chacune choisie dans un ensemble de grandeurs de base `a partir desquelles on d´erive les
autres grandeurs physiques.
Se posent naturellement alors les questions suivantes :
1. Combien de grandeurs de base faut-il s´electionner ?
R´eponse : le plus petit nombre possible !
2. Quelles grandeurs s´electionner ?
R´eponse : beaucoup de choix sont possibles, qui d´ependent du domaine consid´er´e en physique, de l’acc`es ou de la manipulation des objets correspondants.
` quelle instance est d´evolue la tˆache de s´election ?
3. A
R´eponse : Le Bureau International des Poids et Mesures (BIPM), qui a pour mission
d’assurer l’uniformit´e mondiale des mesures et leur tra¸cabilit´e au Syst`eme international
d’unit´es (SI). Il est install´e `
a S`evres, au Pavillon de Breteuil et jouit du statut d’extraterritorialit´e.
Il travaille sous l’autorit´e de la Convention du M`etre, qui est un trait´e diplomatique conclu
entre cinquante et une nations. Il exerce son activit´e avec l’aide d’un certain nombre de
Comit´es consultatifs, dont les membres sont des laboratoires nationaux de m´etrologie des
´
Etats
membres de la Convention du M`etre, et par son travail de laboratoire.
Le BIPM effectue des recherches li´ees `a la m´etrologie. Il organise ou participe `a des comparaisons internationales d’´etalons nationaux de mesure et effectue des ´etalonnages pour
´
les Etats
membres.
Une fois qu’a ´et´e ´etablie une unit´e de base, comme celle pour la longueur, il est ´evidemment
n´ecessaire d’´etablir des proc´edures ou protocoles qui nous permettent de mesurer la longueur
d’un objet quelconque par comparaison (souvent d’une fa¸con tr`es indirecte) `a celle de l’´etalon.
Ainsi, ce dernier doit satisfaire `
a des conditions ´evidentes.

3

1.2. Le Syst`eme International d’Unit´es

1. Un ´etalon doit ˆetre accessible ; cela oblige `a cr´eer des ´etalons secondaires ou tertiaires, etc,
qui soient plus accessibles.
2. Un ´etalon doit ˆetre invariable, temporellement, spatialement, ou tout au moins, si variations il y a, celles-ci doivent ˆetre d´efinies avec pr´ecision en fonction de l’environnement
(pression, temp´erature, humidit´e, etc.)

1.2

Le Syst`
eme International d’Unit´
es
Il est donn´e par le tableau ci-dessous.

Grandeur de base
Nom
longueur
masse
temps, dur´ee
courant ´electrique
temp´erature thermodynamique
quantit´e de mati`ere
intensit´e lumineuse

Symbole
l, x, r, etc.
m
t
I, i
T
n
Iv

Unit´e SI de base
Nom
Symbole
m`etre
m
kilogramme
kg
seconde
s
amp`ere
A
kelvin
K
mole
mol
candela
cd

Notation dimensionnelle
Symbole
L
M
T
I
Θ
N
J

Table 1.1 – Le Syst`eme International d’Unit´es, compos´e de 7 grandeurs de base.
Les grandeurs d´eriv´ees se construisent par des produits ou divisions de grandeurs de base.
Par exemple, une vitesse exprime un rapport de variation de longueur parcourue `a dur´ee cor∆l
respondante : v ∼
. Une acc´el´eration exprime un rapport de variation de vitesse `a dur´ee
∆t
∆v
correspondante : a ∼
. La notation dimensionnelle d’une grandeur d´eriv´ee est obtenue en
∆t
rempla¸cant chacune des grandeurs de base composant son expression math´ematique par sa notation dimensionnelle, donn´ee `
a droite de la table 1.1, ´elev´ee `a la puissance positive (resp. n´egative)
´egale au nombre de fois qu’elle apparaˆıt au num´erateur (resp. d´enominateur) :
v ≡ LT−1 ,

a ≡ LT−2 .

(1.1)

Ainsi, les symboles des dimensions et les exposants sont trait´es selon les r`egles ordinaires
de l’alg`ebre. Cette notation dimensionnelle s’ajuste exactement `a l’unit´e des vitesses et des
acc´el´erations : v est exprim´ee en m s−1 (ou en cm h−1 selon le bon vouloir de l’utilisateur !), a
est exprim´ee en m s−2 . Des noms particuliers sont accord´ees `a certaines des grandeurs d´eriv´ees
essentielles. Par exemple, une force, qui est le produit d’une masse par une acc´el´eration (c’est
le contenu de la deuxi`eme loi de Newton), s’exprime pr´ecis´ement en Newton(s) dans le syst`eme
SI :
F ∼ m × a ≡ MLT−2 ,
1kg m s−2 = 1N .
(1.2)
Donc, la dimension d’une grandeur Q s’´ecrit sous la forme d’un produit dimensionnel,
dim Q = Lα Mβ Tγ Iδ Θ Nζ Jη ,

(1.3)

4

1. Grandeurs, unit´es, mesures, ´etalons, erreurs & incertitudes

et une grandeur pour laquelle toutes les puissances α, β, . . . sont nulles est dite sans dimension
ou de “dimension un”.
Les unit´es adopt´ees pour les grandeurs de base, sont, dans une certaine mesure, adapt´ees `
a
l’´echelle humaine. Pour des quantit´es physiques `a valeurs petites ou tr`es petites ou grandes ou
tr`es grandes, on utilise les pr´efixes donn´es dans la table 1.2
Facteur
101
102
103
106
109
1012
1015
1018
1021
1024

Nom
d´eca
hecto
kilo
m´ega
giga
t´era
p´eta
exa
zetta
yotta

Symbole
da
h
k
M
G
T
P
E
Z
Y

Facteur
10−1
10−2
10−3
10−6
10−9
10−12
10−15
10−18
10−21
10−24

Nom
d´eci
centi
milli
micro
nano
pico
femto
atto
zepto
yocto

Symbole
d
c
m
µ
n
p
f
a
z
y

Table 1.2 – Les pr´efixes du syst`eme SI.

1.3
1.3.1


efinitions des Unit´
es de base
Unit´
e de longueur (m`
etre)

Historiquement, le m`etre fut d´efini comme le dix millioni`eme (10−7 ) de la distance du pˆ
ole
nord `a l’´equateur le long du m´eridien passant par Paris. Le premier ´etalon de longueur 1 m fut
confectionn´e en 1799 sous la forme d’une barre de platine.
Cette d´efinition du m`etre 1 fond´ee par la suite sur le prototype international constitu´e d’un
alliage platine-iridium (plus exactement en platine iridi´e) 2 , conserv´e au BIPM et maintenu
`a la temp´erature de 0◦ Celsius, en vigueur depuis 1889, avait ´et´e remplac´ee en 1960 par une
d´efinition fond´ee sur la longueur d’onde d’une radiation du krypton 86 ( 3 ), afin d’am´eliorer
l’exactitude de la r´ealisation de la d´efinition du m`etre. Cette r´ealisation ´etait effectu´ee au moyen
d’un interf´erom`etre et d’un microscope mobile en translation utilis´es pour mesurer la variation
des trajets optiques par comptage de franges. On a remplac´e en 1983 cette d´efinition par la
d´efinition actuelle :

Le m`
etre Le m`etre est la longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumi`ere pendant une
dur´ee de 1/299 792 458 de seconde.
1. On notera les unit´es de longueur largement en usage dans les pays anglo-saxons : le foot = 30,48 cm, le
yard = 0,9144 m, le mile= 1,609344 km
2. Voir le tableau p´eriodique des ´el´ements donn´e en fin de chapitre
3. Voir le tableau p´eriodique des ´el´ements donn´e en fin de chapitre

1.3. D´efinitions des Unit´es de base

5

Il en r´esulte que la vitesse de la lumi`ere dans le vide est ´egale `a 299 792 458 m`etres par
seconde exactement, c0 = 299792458 m/s.

1.3.2

Unit´
e de masse (kilogramme)

Le prototype international du kilogramme, un objet fabriqu´e sp´ecialement en platine iridi´e,
est conserv´e au BIPM 4 .
Le kilogramme Le kilogramme est l’unit´e de masse ; il est ´egal `
a la masse du prototype
international du kilogramme.
Il en r´esulte que la masse du prototype international du kilogramme est toujours ´egale `
a
1 kilogramme exactement, m (K ) = 1 kg. Cependant, en raison de l’accumulation in´evitable
de polluants sur les surfaces, le prototype international subit une contamination r´eversible de
surface d’environ 1 µg (10−6 g) par an en masse. C’est pourquoi le Comit´e international a d´eclar´e
que, jusqu’`a plus ample information, la masse de r´ef´erence du prototype international est celle
qui suit imm´ediatement le nettoyage-lavage selon une m´ethode sp´ecifique (sic).

1.3.3

Unit´
e de temps (seconde)

La seconde, unit´e de temps, fut d´efinie `a l’origine comme la fraction 1/86 400 du jour solaire
moyen. La d´efinition exacte du “jour solaire moyen” ´etait laiss´ee aux astronomes. Toutefois, les
observations ont montr´e que cette d´efinition n’´etait pas satisfaisante par suite des irr´egularit´es
de la rotation de la Terre. Pour donner plus de pr´ecision `a la d´efinition de l’unit´e de temps,
on adopta par la suite une d´efinition, donn´ee par l’Union astronomique internationale, qui ´etait
fond´ee sur l’ann´ee tropique 1900. Cependant, les recherches exp´erimentales avaient d´ej`a montr´e
qu’un ´etalon atomique de temps, fond´e sur une transition entre deux niveaux d’´energie d’un
atome ou d’une mol´ecule, pourrait ˆetre r´ealis´e et reproduit avec une exactitude beaucoup plus
´elev´ee. Chaque ´el´ement correspond `
a un atome. La taille d’un atome est de l’ordre de l’Angstr¨
om,
c’est-`a-dire 10−10 m = 10−1 nm (“nanom`etre”). Il est constitu´e d’un noyau, d’une taille de l’ordre
de 1 Fermi ou 10−15 m = 1 fm (“femtom`etre”), et d’un environnement constitu´e d’´electrons.
Ramen´ees `a l’´echelle humaine, ces deux tailles sont dans une proportion ´equivalente `a celle du
diam`etre d’une petite bille (' le noyau) `a celui du stade de France (' l’atome).
La seconde La seconde est la dur´ee de 9 192 631 770 p´eriodes de la radiation correspondant
`
a la transition entre les deux niveaux hyperfins de l’´etat fondamental de l’atome de c´esium 133.
Il en r´esulte que la fr´equence de la transition hyperfine de l’´etat fondamental de l’atome
de c´esium 5 est ´egale `
a 9 192 631 770 hertz exactement. Cette d´efinition de la seconde du SI
se r´ef`ere `a un atome de c´esium au repos, `a une temp´erature de 0◦ K : elle est fond´ee sur
4. On notera les unit´es de masse largement en usage dans les pays anglo-saxons : le ounce (oz) ≈ 28,350 gr,
le pound ≈ 453,6 gr, le ton (ton)≈ 1016 kg
5. Voir le tableau p´eriodique des ´el´ements donn´e en fin de chapitre

6

1. Grandeurs, unit´es, mesures, ´etalons, erreurs & incertitudes

Figure 1.1 – Exemples de spectres de corps noir, sur un diagramme de l’intensit´e lumineuse en
fonction de la longueur d’onde. Quand la temp´erature est ´elev´ee, le pic de la courbe se d´eplace
vers les courtes longueurs d’ondes, et inversement pour les plus basses temp´eratures. La courbe
en noir indique la pr´ediction de la th´eorie dite classique, par opposition `a la th´eorie quantique,
qui seule pr´edit la forme correcte des courbes effectivement observ´ees.
un atome de c´esium non perturb´e par le rayonnement du corps noir 6 , c’est-`a-dire dans un
environnement maintenu `
a une temp´erature thermodynamique de 0◦ K. Les fr´equences de tous
les ´etalons primaires de fr´equence doivent donc ˆetre corrig´ees pour tenir compte du d´ecalage dˆ
u
au rayonnement ambiant.

1.3.4

Unit´
e de courant ´
electrique (amp`
ere)

Des unit´es ´electriques, dites “internationales”, pour le courant et pour la r´esistance, avaient
´et´e introduites en 1893, et les d´efinitions de l’amp`ere “international” et de l’ohm “international”
furent confirm´ees par la Conf´erence internationale de Londres en 1908. Par la suite, on adopta en
1946 l’amp`ere comme unit´e de courant ´electrique. Sa d´efinition repose sur le fait qu’un courant
´electrique cr´ee dans son environnement un champ magn´etique (loi de Biot et Savart) et que ce
dernier agit dynamiquement sur tout support mat´eriel de courant (loi de Laplace).
6. (de Wikipedia) En physique, un corps noir d´esigne un objet id´eal dont le spectre ´electromagn´etique (voir
Fig. 1.6) ne d´epend que de sa temp´erature (voir Fig. 1.1). En pratique, un tel objet mat´eriel n’existe pas, mais il
repr´esente un cas id´ealis´e servant de r´ef´erence pour les physiciens. Contrairement a
` ce que son nom sugg`ere, un
corps noir n’apparaˆıt pas forc´ement noir. En effet l’adjectif “noir” signifie ici que l’objet lui-mˆeme absorbe toute la
lumi`ere ext´erieure qui tomberait sur lui, et ne refl`ete aucune radiation non plus. La seule radiation provenant du
corps noir est la radiation thermique, ne d´ependant que de la temp´erature du corps. L’objet r´eel qui se rapproche
le plus de ce mod`ele est l’int´erieur d’un four.

1.3. D´efinitions des Unit´es de base

7

L’amp`
ere L’amp`ere est l’intensit´e d’un courant constant qui, maintenu dans deux conducteurs parall`eles, rectilignes, de longueur infinie, de section circulaire n´egligeable et plac´es `
a une
distance de 1 m`etre l’un de l’autre dans le vide, produirait entre ces conducteurs une force ´egale
`
a 2 × 10−7 newton par m`etre de longueur.
Il en r´esulte que la constante magn´etique, aussi connue sous le nom de perm´eabilit´e du vide,
est ´egale `a 4π × 10−7 henrys par m`etre exactement, µ0 = 4π × 10−7 H/m.

1.3.5

Unit´
e de temp´
erature thermodynamique (kelvin)

La d´efinition de l’unit´e de temp´erature thermodynamique fut donn´ee en 1954, quand le
point triple de l’eau 7 fut choisi comme point fixe fondamental en lui attribuant la temp´erature
de 273,16 K par d´efinition.

Le Kelvin Le kelvin, unit´e de temp´erature thermodynamique, est la fraction 1/273,16 de la
temp´erature thermodynamique du point triple de l’eau.

Figure 1.2 – Le diagramme de phase de l’eau : le point triple est situ´e aux conditions de
temp´erature et de pression o`
u il y coexistence des ´etats solide, liquide et gazeux.
7. Le point triple pour un corps est un point de son diagramme de phase qui correspond a
` la coexistence
de trois ´etats (liquide, solide et gazeux). Il est unique et s’observe seulement a
` une temp´erature et une pression
donn´ees, dans cet ´etat la variance est nulle. Ainsi, le point triple de l’eau est `
a : T = 273, 16 K (soit 0,01 ◦ C) (par
d´efinition !) et P = 611 Pa.

8

1. Grandeurs, unit´es, mesures, ´etalons, erreurs & incertitudes

Cette d´efinition se r´ef`ere `
a une eau d’une composition isotopique 8 d´efinie par les rapports
de quantit´e de mati`ere suivants : 0,000 155 76 mole 9 de 2 H par mole de 1 H, 0,000 379 9 mole
de 17 O par mole de 16 O et 0,002 005 2 mole de 18 O par mole de 16 O.
En raison de la mani`ere dont les ´echelles de temp´erature ´etaient habituellement d´efinies, il
resta d’usage courant d’exprimer la temp´erature thermodynamique, symbole T , en fonction de
sa diff´erence par rapport `
a la temp´erature de r´ef´erence T0 = 273, 15 K, le point de cong´elation
de l’eau. Cette diff´erence de temp´erature est appel´ee temp´erature Celsius, symbole t, et elle est
d´efinie par l’´equation entre grandeurs :
t = T − T0 .
L’unit´e de temp´erature Celsius est le degr´e Celsius, symbole ˚C, ´egal `a l’unit´e kelvin par
d´efinition. La valeur num´erique de la temp´erature Celsius exprim´ee en degr´es Celsius est li´ee `
a
la valeur num´erique de la temp´erature thermodynamique exprim´ee en kelvins par la relation :
t/˚C = T /K − 273, 15 .

1.3.6

Unit´
e de quantit´
e de mati`
ere (mole)

Apr`es la d´ecouverte des lois fondamentales de la chimie, on a utilis´e, pour sp´ecifier les
quantit´es des divers ´el´ements et compos´es chimiques, des unit´es portant par exemple les noms
de “atome-gramme” et “mol´ecule-gramme”. Ces unit´es ´etaient li´ees directement aux “poids
atomiques” et aux “poids mol´eculaires” qui ´etaient en r´ealit´e des masses relatives. Les “poids
atomiques” furent d’abord rapport´es `
a celui de l’´el´ement chimique oxyg`ene, pris par convention
´egal `a 16. Mais, tandis que les physiciens s´eparaient les isotopes au spectrom`etre de masse et
attribuaient la valeur 16 `
a l’un des isotopes de l’oxyg`ene, les chimistes attribuaient la mˆeme
valeur au m´elange (de composition l´eg`erement variable) des isotopes 16, 17 et 18 qui constitue
l’´el´ement oxyg`ene naturel. On a finalement convenu d’attribuer la valeur 12, exactement, au
“poids atomique” de l’isotope 12 du carbone (carbone 12, 12 C), ou selon une formulation plus
correcte `a la masse atomique
La grandeur utilis´ee par les chimistes pour sp´ecifier la quantit´e d’´el´ements ou de compos´es
chimiques est maintenant appel´ee “quantit´e de mati`ere”. La quantit´e de mati`ere est d´efinie
comme ´etant proportionnelle au nombre d’entit´es ´el´ementaires d’un ´echantillon, la constante de
proportionnalit´e ´etant une constante universelle identique pour tous les ´echantillons. L’unit´e de
quantit´e de mati`ere est appel´ee la mole, symbole mol, et la mole est d´efinie en fixant la masse de
carbone 12 qui constitue une mole d’atomes de carbone 12. Par un accord international, cette
masse a ´et´e fix´ee `
a 0,012 kg, c’est-`
a-dire 12 g 10 .
La mole
8. En physique nucl´eaire et en chimie, deux atomes sont dits isotopes s’ils ont le mˆeme nombre de protons
mais un nombre de neutrons diff´erent.
9. La d´efinition de la mole est donn´ee page 8.
10. Voir l’article dans Pour la Science, 353, p 68-74, mars 2007, o`
u il est expliqu´e comment se baser sur le
poids d’un nombre d´efini d’atomes, par exemple dans une sph`ere de silicium, en tenant compte de la proportion
des diff´erents isotopes. Voir aussi des propositions plus r´ecentes reposant sur la constante de Planck ~ (balance
de Watt).

1.4. Erreurs : quelques quantit´es statistiques

9

1. La mole est la quantit´e de mati`ere d’un syst`eme contenant autant d’entit´es ´el´ementaires
qu’il y a d’atomes dans 0,012 kilogramme de carbone 12 ; son symbole est “ mol”.
2. Lorsqu’on emploie la mole, les entit´es ´el´ementaires doivent ˆetre sp´ecifi´ees et peuvent ˆetre
des atomes, des mol´ecules, des ions, des ´electrons, d’autres particules ou des groupements
sp´ecifi´es de telles particules.
Il en r´esulte que la masse molaire du carbone 12 est ´egale `a 0,012 kilogramme par mole
exactement, M (12 C) = 12 g/mol.
La d´efinition de la mole permet aussi de d´eterminer la valeur de la constante universelle
qui relie le nombre d’entit´es `
a la quantit´e de mati`ere d’un ´echantillon. Ainsi, une mole d’atomes
23
contient environ 6, 022×10 atomes. Cette “constante” est appel´ee constante ou nombre d’Avogadro, symbole NA ou L. Si N (X) d´esigne le nombre d’entit´es X d’un ´echantillon donn´e, et si
n(X) d´esigne la quantit´e de mati`ere d’entit´es X du mˆeme ´echantillon, on obtient la relation :
n(X) = N (X)/NA .
Notons que puisque N (X) est sans dimension, et puisque n(X) est exprim´e par l’unit´e SI mole,
la constante d’Avogadro a pour unit´e SI la mole `a la puissance moins un.

1.3.7

Unit´
e d’intensit´
e lumineuse (candela)

Les unit´es d’intensit´e lumineuse fond´ees sur des ´etalons `a flamme ou `a filament incandescent,
qui ´etaient en usage dans diff´erents pays avant 1948, furent d’abord remplac´ees par la “bougie
nouvelle” fond´ee sur la luminance du radiateur de Planck (corps noir) `a la temp´erature de
cong´elation du platine. En 1979, en raison des difficult´es exp´erimentales li´ees `a la r´ealisation
du radiateur de Planck aux temp´eratures ´elev´ees et des possibilit´es nouvelles offertes par la
radiom´etrie, c’est-`
a-dire la mesure de la puissance des rayonnements optiques, on adopta une
nouvelle d´efinition de la candela :
La candela La candela est l’intensit´e lumineuse, dans une direction donn´ee, d’une source
qui ´emet un rayonnement monochromatique de fr´equence 540 × 1012 hertz et dont l’intensit´e
´energ´etique dans cette direction est 1/683 watt par st´eradian.
Il en r´esulte que l’efficacit´e lumineuse spectrale K d’un rayonnement monochromatique de
fr´equence 540 × 1012 hertz est ´egale `
a 683 lumens par watt exactement, K = 683 lm/W = 683
cd sr/W.

1.4

Erreurs : quelques quantit´
es statistiques

Les mesures successives d’une certaine quantit´e physique montrent en g´en´eral une (petite !)
dispersion due essentiellement `
a des erreurs de mesure al´eatoires. Par exemple, si la longueur
“r´eelle” ou “vraie” d’une barre est `0 , la moyenne arithm´etique calcul´ee sur un nombre important
N de mesures successives ou effectu´ees par N agents est donn´ee par la formule

10

1. Grandeurs, unit´es, mesures, ´etalons, erreurs & incertitudes

`=

N
1 X
`i ,
N

(1.4)

i=1

o`
u les `i repr´esentent chacune des mesures individuelles. Celles-ci s’´ecartent de la moyenne d’une
quantit´e alg´ebrique (petite !) estim´ee `
a εi :
|εi |
1.
`i

`i = ` ± |εi | ,

(1.5)

On
PNcomprend ais´ement que les erreurs purement al´eatoires se compensent en moyenne, ε =
i=1
´
= 0, et qu’il faut caract´eriser leurs moyennes d’une autre mani`ere. Elevons
donc au carr´e
N
chacun de ces ´ecarts (dont on ne connaˆıt pas le signe a priori) et prenons la moyenne de ces
quantit´es :
N
N
1 X
1 X 2
¯2.
εi =
(`i − `)
(1.6)
ε2 =
N
N
i=1

i=1

On obtient ce qu’on appelle la variance de l’ensemble des mesures effectu´ees. Un simple
calcul alg´ebrique montre que la variance est aussi donn´ee par :
ε 2 = `2 − `

2

(1.7)

.

La racine carr´ee de la variance est dite erreur quadratique moyenne ou encore d´eviation
standard et se note
p
σ = ε2 .

En augmentant le nombre N de mesures, on peut esp´erer une diminution de l’´ecart entre
la valeur moyenne ` et la valeur “vraie” `0 . Cela s’exprime quantitativement de la mani`ere
suivante :
`¯ − ∆` . `0 . `¯ + ∆` ,

σ
∆` ≡ √ .
N

(1.8)

L’incertitude ∆` d´etermin´ee `
a partir des N mesures est telle que, pour des erreurs `a caract`ere
“strictement” al´eatoires, la moyenne ` se situera `a moins de ∆` de `0 dans 68% des cas. Cette
estimation est bas´ee sur l’hypoth`ese d’une distribution des valeurs mesur´ees `i dite normale ou
gaussienne : si on trace l’histogramme ou le diagramme en bˆatons de la distribution comme sur
la figure 1.4, on v´erifie que le diagramme est en forme de “cloche” gaussienne.

1.5

Calcul d’incertitude

Le calcul d’incertitude permet d’´evaluer correctement les erreurs qui se produisent lors de
mesures li´ees `
a la v´erification d’une relation entre diff´erentes grandeurs physiques. Les instruments de mesure n’´etant pas de pr´ecision infinie, les mesures effectu´ees pendant une exp´erience
ne sont jamais “exactes”. Il faut donc ´evaluer ces incertitudes pour r´epondre `a la question :

11

1.5. Calcul d’incertitude

Figure 1.3 – Un exemple de s´eries de mesure ob´eissant `a la loi normale

3

2

1

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

Figure 1.4 – La gaussienne

√ 1
e−
2π σ 2

¯2
(`−`)
2σ 2

, centr´ee en `¯ = 1 et de d´eviation σ = 0.125.

“la relation n’est pas v´erifi´ee exactement parce qu’elle est fausse ou parce que les mesures sont
incertaines ?” On en d´eduit des marges d’erreurs, en dehors desquelles la relation sera invalid´ee.
Le calcul des incertitudes, `
a ne pas confondre avec l’erreur, sur des grandeurs d´eriv´ees des gran-

12

1. Grandeurs, unit´es, mesures, ´etalons, erreurs & incertitudes

deurs mesur´ees pour lesquelles il est possible d’estimer les erreurs ∆x consiste en de simples
manipulations alg´ebriques impliquant les incertitudes dites “absolues”, de symbole pr´ecis´ement
∆(grandeur), que l’on devra toujours penser comme accompagn´ee de ±, et les incertitudes dites
“relatives”, de symbole ∆(grandeur)/grandeur.
Pour des grandeurs mesur´ees a et b avec leurs incertitudes absolues ∆a et ∆b, et leurs incertitudes relatives ∆a/a et ∆b/b, les incertitudes sur les fonctions de base de ces deux grandeurs
sont donn´ees par ce qui suit.
Incertitude sur une somme ou une diff´
erence ;
(i) Si c = a + b, ∆c = ∆a + ∆b.
(ii) Si c = a − b, ∆c = ∆a + ∆b aussi.

Autrement dit, l’incertitude absolue sur la somme ou la diff´erence de 2 grandeurs est ´egale `a la
somme des incertitudes absolues de ces grandeurs.
Incertitude sur un produit ou un rapport.
∆c
∆a ∆b
(i) Si c = a × b,
=
+
.
c
a
b
∆a ∆b
a ∆c
=
+
aussi.
(ii) Si c = ,
b c
a
b
Autrement dit, l’incertitude relative sur un produit ou un rapport de 2 grandeurs est ´egale `a la
somme des incertitudes relatives de ces grandeurs.
Utilisation des accroissements et diff´
erentielles totales. On utilise (aussi !) la notation “∆” pour une petite variation de la grandeur consid´er´ee et “d” pour la limite “infinit´esimale” ∆ → d (la “diff´erentielle”). Une loi physique s’exprime par une relation alg´ebrique
ou fonctionnelle entre un certain nombre de grandeurs mesurables. Prenons comme exemple
simple un calcul de surface et de volume. La surface S d’un rectangle de cˆot´es L et l est
donn´ee par S(L, l) = L × l Lorsque les cˆot´es deviennent L + ∆L et l + ∆l, la surface devient
S(L + ∆L, l + ∆l) = (L + ∆L) (l + ∆l. La variation de la surface ∆S est donc
∆S = S(L + ∆L, l + ∆l) − S(L, l) = (L + ∆L) (l + ∆l) − L l = L ∆l + l ∆L + ∆L ∆l ,
que l’on approche par :
∆S ≈ L ∆l + l ∆L ,
` la limite
car ∆L ∆l est consid´er´ee comme n´egligeable (quantit´e petite du “second ordre”). A
infinit´esimale ∆ → d, cette relation devient exacte :
dS = L dl + l dL .
Introduisons la notion de “d´eriv´ee partielle” ∂f (a, b, c, . . . )/∂a d’une grandeur f d´ependant
de plusieurs variables par rapport `
a une variable, ici a. Elle se confond avec la d´eriv´ee ordinaire lorsqu’on fixe toutes les autres variables. Dans l’exemple consid´er´e, ∂S(L, l)/∂L = l et

13

1.5. Calcul d’incertitude
∂S(L, l)/∂l = L. Ainsi
∂S(L, l)
∂S(L, l)
dl +
dL ,
∂l
∂L
∂S(L, l)
∂S(L, l)
∆S ≈
∆l +
∆L .
∂l
∂L
dS =

De mˆeme la variation infinit´esimale de volume d’une boˆıte de cˆot´es x, y, z de volume V = x y z
s’´ecrit :
∂V (x, y, z)
∂V (x, y, z)
∂V (x, y, z
dx +
dy +
dz ,
∂x
∂y
∂z
∂V (x, y, z)
∂V (x, y, z)
∂V (x, y, z)
∆V ≈
∆x +
∆y +
∆z .
∂x
∂y
∂z
dV =

Exemple : la loi des gaz parfaits. Prenons par exemple la loi des gaz parfaits reliant :
(i) P : la pression du gaz,
(ii) V : le volume occup´e par le gaz,
(iii) n : la quantit´e de gaz en moles,
(iv) R : la constante des gaz parfaits = 8,314 J K−1 mol−1 ,
(v) T : la temp´erature absolue du gaz, en kelvin.
Cette loi exprime la pression P en fonction de n, R, T et V :
P ≡ P (T, R, n, V ) =

nRT
.
V

(1.9)

Calculons sa diff´erentielle :
dP =

∂P
∂R
∂P
∂P
nR
nT
RT
nRT
dT +
dR +
dn +
dV =
dT +
dR +
dn −
dV .
∂T
∂R
∂n
∂V
V
V
V
V2

Passant aux petits accroissements avec en vue le calcul d’incertitude, la variation la plus grande
s’obtient lorsque les 4 termes ci-dessus s’ajoutent :
∆P ≈

nT
RT
nRT
nR
∆T +
∆R +
∆n +
∆V .
V
V
V
V2

Cela donne l’erreur absolue sur P `
a partir de la connaissance des erreurs sur T , R, n et V . On
en d´eduit l’erreur relative :
∆P
∆T
∆R ∆n ∆V

+
+
+
.
P
T
R
n
V

(1.10)

On peut directement atteindre ce r´esultant en passant par la diff´erentielle logarithmique. Partant
de ln P = ln T + ln R + ln n − ln V , on obtient :
d ln P =

dP
dT
dR dn dV
=
+
+

,
P
T
R
n
V

et donc (1.10) apr`es changement appropri´e de signe. Cette m´ethode plus rapide s’applique lorsqu’on cherche `
a faire la diff´erentielle d’une fonction, quotient ou produit de plusieurs variables.

14

1. Grandeurs, unit´es, mesures, ´etalons, erreurs & incertitudes

1.6

Cinq tableaux fondamentaux

Les cinq tableaux qui suivent offrent un vaste panorama de la physique dans les aspects
les plus concrets de ses ordres de grandeur : les atomes, les diff´erentes parties du spectre
´electromagn´etique, les particules ´el´ementaires, les constantes de la physique et de l’astrophysique
qui caract´erisent des domaines et/ou ´echelles tr`es divers. Il est ´evidemment hors de question de
les ´etudier en d´etail !

TABLEAU PÉRIODIQUE DES ÉLÉMENTS

PÉRIODE

GROUPE
IA

1
1

1.0079

H

1

HYDROGÈNE

6.941

3

Li

2

LITHIUM

11

3

22.990

SODIUM

MASSE ATOMIQUE RELATIVE (1)

39.098

MAGNÉSIUM

20

40.078

BORE

3
21

IIIB 4
22

44.956

IVB 5
23

47.867

VB 6
24

50.942

Ca

Sc

Ti

V

SCANDIUM

TITANE

VANADIUM

BORE

NOM DE L'ÉLÉMENT

85.468

38

87.62

39

88.906

40

91.224

Rb

Sr

Y

Zr

RUBIDIUM

STRONTIUM

YTTRIUM

ZIRCONIUM

132.91

Cs
CÉSIUM

87

(223)

56

137.33

Ba
BARYUM

88

(226)

Fr

Ra

FRANCIUM

RADIUM

Lanthanides

Ac-Lr
Actinides

La masse atomique relative est donnée avec
cinq chiffres significatifs. Pour les éléments qui
n'ont pas de nucléides stables, la valeur entre
parenthèses indique le nombre de masse de
l'isotope de l'élément ayant la durée de vie la
plus grande.
Toutefois, pour les trois éléments Th, Pa et U
qui ont une composition isotopique terrestre
connue, une masse atomique est indiquée.

178.49

Hf
HAFNIUM

89-103 104

(261)

6

Cr Mn
42

95.94

Nb Mo
73

180.95

74

183.84

W

TANTALE

TUNGSTÈNE

105

(262)

(98)

Tc

106

(266)

186.21

75

Re
RHÉNIUM

107

(264)

13

26.982

CARBONE

14

58.693

11
29

IB 12
30

IIB

63.546

65.39

ALUMINIUM

69.723

31

28.086

AZOTE

15

30.974

Si

P

SILICIUM

PHOSPHORE

32

72.64

VIA 17
15.999 9

N

C

Al

VIIIB
9
10
27 58.933 28

VA 16
14.007 8

33

74.922

VIIA
18.998

F

O
OXYGÈNE

16

32.065

S
SOUFRE

78.96

34

HÉLIUM

10

NÉON

FLUOR

17

35.453

Cl
CHLORE

79.904

35

20.180

Ne
18

39.948

Ar
ARGON

83.80

36

Fe

Co

Ni

Cu

Zn

Ga

Ge

As

Se

Br

Kr

FER

COBALT

NICKEL

CUIVRE

ZINC

GALLIUM

GERMANIUM

ARSENIC

SÉLÉNIUM

BROME

KRYPTON

MANGANÈSE

43

55.845

44

101.07

Ru

MOLYBDÈNE TECHNÉTIUM RUTHÉNIUM

Ta

76

190.23

OSMIUM

108

(277)

Rf

Db

Sg

Bh

Hs

DUBNIUM

SEABORGIUM

BOHRIUM

HASSIUM

102.91

45

106.42

46

47

107.87

48

112.41

49

114.82

50

118.71

51

121.76

52

127.60

126.90

53

131.29

54

Rh

Pd

Ag

Cd

In

Sn

Sb

Te

I

Xe

RHODIUM

PALLADIUM

ARGENT

CADMIUM

INDIUM

ETAIN

ANTIMOINE

TELLURE

IODE

XÉNON

77

192.22

Ir

Os

RUTHERFORDIUM

IRIDIUM

109

(268)

195.08

78

Pt

79

OR

PLATINE

110

(281)

196.97

80

200.59

81

Au Hg
111

(272)

MERCURE

112

204.38

Tl
THALLIUM

(285)

207.2

83

208.98

(209)

84

85

(210)

(222)

86

Pb

Bi

Po

At

Rn

PLOMB

BISMUTH

POLONIUM

ASTATE

RADON

114

Mt Uun Uuu Uub
MEITNERIUM UNUNNILIUM UNUNUNIUM

82

(289)

Uuq

UNUNBIUM

UNUNQUADIUM
Copyright © 1998-2002 EniG. (eni@ktf-split.hr)

140.12

59

140.91

La

Ce

Pr

LANTHANE

CÉRIUM

PRASÉODYME

Actinides
89 (227) 90

7

92.906

NIOBIUM

Lanthanides
57 138.91 58

(1) Pure Appl. Chem., 73, No. 4, 667-683 (2001)

Editor: Michel Ditria

72

57-71

La-Lu

41

VIB 7 VIIB 8
25 54.938 26

51.996

CHROME

B

B

24.305

CALCIUM

55

7

10.811

IVA 15
12.011 7

IIIA 14
10.811 6

13
5

IIIA

13
5

SYMBOLE

BÉRYLLIUM

12

K
37

6

NOMBRE ATOMIQUE

POTASSIUM

4

5

9.0122

Be

He

NUMÉRO DU GROUPE
CHEMICAL ABSTRACT SERVICE
(1986)

NUMÉRO DU GROUPE
RECOMMANDATIONS DE L'IUPAC
(1985)

IIA

2
4

Na Mg
19

18 VIIIA
2 4.0026

http://www.ktf-split.hr/periodni/fr/

232.04

91

231.04

60

144.24

61

(145)

62

150.36

63

151.96

Nd Pm Sm Eu
NÉODYME

92

238.03

Ac

Th

Pa

U

ACTINIUM

THORIUM

PROTACTINIUM

URANIUM

PROMÉTHIUM SAMARIUM

93

(237)

Np

94

(244)

64

157.25

Gd

EUROPIUM GADOLINIUM

95

(243)

96

(247)

65

158.93

AMÉRICIUM

CURIUM

162.50

67

164.93

Tb

Dy

Ho

TERBIUM

DYSPROSIUM

HOLMIUM

97

(247)

Pu Am Cm Bk

NEPTUNIUM PLUTONIUM

66

98

(251)

Cf

99

(252)

Es

BERKÉLIUM CALIFORNIUM EINSTEINIUM

68

167.26

69

168.93

70

173.04

Er Tm Yb
ERBIUM

100

(257)

THULIUM

101

(258)

YTTERBIUM

102

(259)

Fm Md No
FERMIUM

MENDELÉVIUM

Figure 1.5 – La table p´eriodique des ´el´ements. Voir aussi l’animation `a http ://www.citesciences.fr/francais/ala cite/expo/tempo/aluminium/science/mendeleiev/index.html

71

174.97

Lu
LUTÉTIUM

103

(262)

Lr

NOBÉLIUM LAWRENCIUM

1.6. Cinq tableaux fondamentaux

spectre2_s.jpeg 800×589 pixels

http://media4.obspm.fr/exoplanetes/pages_outil-rayonnement/images/images/spectre2_s.jpeg

15

05/02/08 11:40

Page 1 sur 1

16

1. Grandeurs, unit´es, mesures, ´etalons, erreurs & incertitudes

Figure 1.7 – Le mod`ele dit standard des particules ´el´ementaires

17

1.6. Cinq tableaux fondamentaux

1. Physical constants

1

1. PHYSICAL CONSTANTS
Table 1.1. Reviewed 2004 by P.J. Mohr and B.N. Taylor (NIST). Based mainly on the “CODATA Recommended Values of the Fundamental
Physical Constants: 2002” by P.J. Mohr and B.N. Taylor, to be published in 2004. The last group of constants (beginning with the Fermi
coupling constant) comes from the Particle Data Group. The figures in parentheses after the values give the 1-standard-deviation uncertainties
in the last digits; the corresponding fractional uncertainties in parts per 109 (ppb) are given in the last column. This set of constants (aside
from the last group) is recommended for international use by CODATA (the Committee on Data for Science and Technology). The full 2002
CODATA set of constants may be found at http://physics.nist.gov/constants
Quantity

Symbol, equation

speed of light in vacuum
Planck constant
Planck constant, reduced

Value

~ ≡ h/2π

electron charge magnitude
conversion constant
conversion constant

~c
(~c)2

electron mass
proton mass

me
mp

Uncertainty (ppb)

299 792 458 m s−1
6.626 0693(11)×10−34 J s
1.054 571 68(18)×10−34 J s
= 6.582 119 15(56)×10−22 MeV s
1.602 176 53(14)×10−19 C = 4.803 204 41(41)×10−10 esu
197.326 968(17) MeV fm
0.389 379 323(67) GeV2 mbarn

c
h

e

deuteron mass
unified atomic mass unit (u)

0.510 998 918(44) MeV/c2 = 9.109 3826(16)×10−31 kg
938.272 029(80) MeV/c2 = 1.672 621 71(29)×10−27 kg
= 1.007 276 466 88(13) u = 1836.152 672 61(85) me
md
1875.612 82(16) MeV/c2
12
(mass C atom)/12 = (1 g)/(NA mol) 931.494 043(80) MeV/c2 = 1.660 538 86(28)×10−27 kg

permittivity of free space
permeability of free space

0 = 1/µ0 c2
µ0

fine-structure constant

α = e2 /4π 0 ~c

7.297 352 568(24)×10−3 = 1/137.035 999 11(46)†

classical electron radius
(e− Compton wavelength)/2π
Bohr radius (mnucleus = ∞)
wavelength of 1 eV/c particle
Rydberg energy
Thomson cross section

re = e2 /4π 0 me c2

λe = ~/me c = re α−1
a∞ = 4π 0 ~2 /me e2 = re α−2
hc/(1 eV)
hcR∞ = me e4 /2(4π 0 )2 ~2 = me c2 α2 /2
σT = 8πre2 /3

2.817 940 325(28)×10−15 m
3.861 592 678(26)×10−13 m
0.529 177 2108(18)×10−10 m
1.239 841 91(11)×10−6 m
13.605 6923(12) eV
0.665 245 873(13) barn

Bohr magneton
nuclear magneton
electron cyclotron freq./field
proton cyclotron freq./field

µB = e~/2me
µN = e~/2mp
e /B = e/m
ωcycl
e
p
/B = e/mp
ωcycl

5.788
3.152
1.758
9.578

gravitational constant‡

GN

standard gravitational accel.

gn

6.6742(10)×10−11 m3 kg−1 s−2
= 6.7087(10)×10−39 ~c (GeV/c2 )−2
9.806 65 m s−2

Avogadro constant
Boltzmann constant

NA
k

molar volume, ideal gas at STP
Wien displacement law constant
Stefan-Boltzmann constant

NA k(273.15 K)/(101 325 Pa)
b = λmax T
σ = π 2 k 4 /60~3 c2

6.022 1415(10)×1023 mol−1
1.380 6505(24)×10−23 J K−1
= 8.617 343(15)×10−5 eV K−1
22.413 996(39)×10−3 m3 mol−1
2.897 7685(51)×10−3 m K
5.670 400(40)×10−8 W m−2 K−4

Fermi coupling constant∗∗

GF /(~c)3

1.166 37(1)×10−5 GeV−2

weak-mixing angle
W ± boson mass
Z 0 boson mass
strong coupling constant

b Z ) (MS)
sin2 θ(M
mW
mZ
αs (mZ )

0.23120(15)††
80.425(38) GeV/c2
91.1876(21) GeV/c2
0.1187(20)

π = 3.141 592 653 589 793 238
1 in ≡ 0.0254 m
˚ ≡ 0.1 nm
1A




1 barn ≡ 10−28 m2

1 G ≡ 10−4 T

1 dyne ≡ 10−5 N
1 erg ≡ 10−7 J

8.854 187 817 . . . ×10−12 F m−1
4π × 10−7 N A−2 = 12.566 370 614 . . . ×10−7 N A−2

381
451
820
833

1 eV/c2 = 1.782 661 81(15) × 10−36 kg

2.997 924 58 × 109 esu = 1 C

exact
exact
3.3, 3.3

6.7
6.7
86
86
1.5 × 105
1.5 × 105
exact
170
1800
1800
1700
1700
7000
9000

γ = 0.577 215 664 901 532 861

1 eV = 1.602 176 53(14) × 10−19 J

86, 170
86, 170
0.13, 0.46
86
86, 170

10
6.7
3.3
85
85
20

804(39)×10−11 MeV T−1
259(21)×10−14 MeV T−1
12(15)×1011 rad s−1 T−1
76(82)×107 rad s−1 T−1

e = 2.718 281 828 459 045 235

exact∗
170
170
85
85, 85
85
170

6.5 × 105
4.8 × 105
2.3 × 104
1.7 × 107

kT at 300 K = [38.681 684(68)]−1 eV
0 ◦ C ≡ 273.15 K

1 atmosphere ≡ 760 Torr ≡ 101 325 Pa

The meter is the length of the path traveled by light in vacuum during a time interval of 1/299 792 458 of a second.
At Q2 = 0. At Q2 ≈ m2W the value is ∼ 1/128.
‡ Absolute lab measurements of G have been made only on scales of about 1 cm to 1 m.
N
∗∗ See the discussion in Sec. 10, “Electroweak model and constraints on new physics.”
†† The corresponding sin2 θ for the effective angle is 0.23149(15).

Figure 1.8 – Table des principales constantes (pas si constantes que cela pour la plupart !) de
la physique, extraite du “Particle Data 2006”

18

1. Grandeurs, unit´es, mesures, ´etalons, erreurs & incertitudes

2. Astrophysical constants

1

2. ASTROPHYSICAL CONSTANTS AND PARAMETERS
Table 2.1. Revised 2001 by D.E. Groom (LBNL), February 2004 by M.A. Dobbs (LBNL). The figures in parentheses after some values give the
one-standard deviation uncertainties in the last digit(s). Physical constants are from Ref. 1. While every effort has been made to obtain the
most accurate current values of the listed quantities, the table does not represent a critical review or adjustment of the constants, and is not
intended as a primary reference. The values and uncertainties for the cosmological parameters depend on the exact datasets, priors, and basis
parameters used in the fit. Many of the parameters reported in this table are derived parameters or have non-Gaussian likelihoods. Their error
bars may be highly correlated with other parameters and care must be taken when extrapolating to higher significance levels. In most cases
we report the best fit running spectral index model parameters from the WMAPext plus 2dFGRS and Lyman α forest dataset, as reported in
Ref. 2. Refer to Ref. 3 and the original papers for more information.
Quantity
speed of light
Newtonian gravitational constant
astronomical unit (mean ⊕– distance)
tropical year (equinox to equinox) (2005.0)
sidereal year (fixed star to fixed star) (2005.0)
mean sidereal day (2005.0)
Jansky
Planck mass

Symbol, equation
c
GN
au
yr
Jy
p

~c/GN

p

Value

Reference, footnote

s−1

299 792 458 m
6.6742(10) × 10−11 m3 kg−1 s−2
149 597 870 660(20) m
31 556 925.2 s
31 558 149.8 s
23h 56m 04.s 090 53
10−26 W m−2 Hz−1

defined[4]
[1, 5]
[6, 7]
[6]
[6]
[6]

1.22090(9) × 1019 GeV/c2
= 2.17645(16) × 10−8 kg
1.61624(12) × 10−35 m
∼ 1.2 × 1026 m
3.085 677 580 7(4) × 1016 m = 3.262. . . ly
0.306 6 . . . pc = 0.946 1 . . . × 1016 m
2.953 250 08 km
1.988 44(30) × 1030 kg
6.961 × 108 m
(3.846 ± 0.008) × 1026 W
8.870 056 22 mm
5.972 3(9) × 1024 kg
6.378 140 × 106 m

[1]

Planck length
Hubble length
parsec (1 AU/1 arc sec)
light year (deprecated unit)
Schwarzschild radius of the Sun
solar mass
solar equatorial radius
solar luminosity
Schwarzschild radius of the Earth
Earth mass
Earth mean equatorial radius

~GN /c3
c/H0
pc
ly
2GN M /c2
M
R
L
2GN M⊕ /c2
M⊕
R⊕

luminosity conversion

L

flux conversion

F

v around center of Galaxy
solar distance from galactic center

Θ◦
R◦

local disk density
local halo density
present day Hubble expansion rate

3–12 ×10−24 g cm−3 ≈ 2–7 GeV/c2 cm−3
2–13 ×10−25 g cm−3 ≈ 0.1–0.7 GeV/c2 cm−3
100 h km s−1 Mpc−1
= h × (9.778 13 Gyr)−1
h
0.71+0.04
−0.03
ρc = 3H02 /8πGN
2.775 366 27 × 1011 h2 M Mpc−3
= 1.878 37(28) × 10−29 h2 g cm−3
= 1.053 69(16) × 10−5 h2 GeV cm−3
2
0.135+0.008
Ωm ≡ ρm /ρc
0.009 /h = 0.27 ± 0.04
0.0224 ± 0.0009/h2 = 0.044 ± 0.004
Ωb ≡ ρb /ρc
2
Ωdm ≡ Ωm − Ωb
0.113+0.008
−0.009 /h = 0.22 ± 0.04
Ωγ = ργ /ρc
(2.471±0.004)×10−5/h2 = (4.9±0.5)×10−5
Ων
< (0.0076/h2 = 0.015), 95% C.L.
ΩΛ
0.73 ± 0.04
Ωtot = Ωm + . . . + ΩΛ 1.02 ± 0.02
nb
(2.5 ± 0.1) × 10−7 /cm3

(410.4 ± 0.5)/cm−3
(6.1 ± 0.2) × 10−10
η = nb /nγ
c2 /3H02
2.853 × 1051 h−2 m2
w
< −0.78 at 95% C.L.
σ8
0.84 ± 0.04
ns
0.93 ± 0.03

present day normalized Hubble expansion rate
critical density of the universe
pressureless matter density of the universe
baryon density of the universe
dark matter density of the universe
radiation density of the universe
neutrino density of the universe
dark energy density
total energy density
number density of baryons
number density of CMB photons
baryon-to-photon ratio
scale factor for cosmological constant
dark energy equation of state
fluctuation amplitude at 8h−1 Mpc scale
scalar spectral index at k0 = 0.05 Mpc−1

ρ disk
ρ halo
H0

3.02 × 1028 × 10−0.4 Mbol W
(Mbol = absolute bolometric magnitude
= bolometric magnitude at 10 pc
2.52 × 10−8 × 10−0.4 mbol W m−2
(mbol = apparent bolometric magnitude)
220(20) km s−1
8.0(5) kpc

[1]
[8]
[9]
[10]
[11]
[6]
[12]
[13]
[14]
[6]
[15]
from above

[16]
[17]
[18]
[19]
[20]
[2]

derived
[2]
[2]
[21]
[22]
[2]
[2]
[2]
[2]
[23]
derived
[2, 24]
[2]
[2]

Figure 1.9 – Table des principales constantes de l’astrophysique (avec parfois beaucoup
d’impr´ecision !), extraite du “Particle Data 2006”

Chapitre 2

Vecteurs dans le plan, dans l’espace
(encore en construction )
Universit´e Paris Diderot Paris 7,

2.1

Notes de cours de JP Gazeau, 2011

Scalaires et vecteurs

Un vecteur est caract´eris´e par une longueur (qui est un scalaire), une direction (c’est-`a-dire
une droite) dans le plan ou l’espace et un sens ou orientation le long de cette derni`ere. On le
repr´esente sous la forme d’une fl`eche.
Une quantit´e compl`etement sp´ecifi´ee par une longueur et un signe ± est un scalaire.

Comme exemples de scalaires, on a une masse, une longueur, un temps, une densit´e, une
´energie, une temp´erature. Les scalaires ob´eissent aux r`egles du calcul alg´ebrique habituel sur les
nombres.
Comme exemples de vecteurs, on peut donner un d´eplacement net d’un objet, une vitesse,
une force, une acc´el´eration, un champ ´electrique, un champ magn´etique (nonobstant une distinction subtile concernant ce dernier et que l’on verra plus loin) ...
Vecteur d´
eplacement net. D´epla¸cons un objet d’un point A de l’espace `a un autre point
B. Tra¸cons le segment de droite entre ces deux points et pla¸cons la tˆete de la fl`eche en B. Nous
−−→
obtenons ainsi le vecteur d´eplacement (net) de l’objet, d´enot´e AB, quel que soit le d´eplacement
r´eel de l’objet entre ces deux positions. Toute autre fl`eche, disons ~a, de mˆeme longueur, direction
et sens, repr´esente le mˆeme vecteur d´eplacement : ce dernier est en fait la classe d’´equivalence
de telles fl`eches.
Un vecteur ~a est donc caract´eris´e par
(i) sa longueur ou module ou norme, not´ee k~ak (ou simplement a quand il n’y a pas de
risque de confusion),
(ii) sa direction ou droite qui le supporte,
(iii) son sens sur cette droite.

20

2. Vecteurs dans le plan, dans l’espace ( encore en construction)

*

B







AB ≡ ~a




A
Figure 2.1 – Vecteur d´eplacement net

~a









*






*

B

−→

AB ≡ ~a




A
Figure 2.2 – Un vecteur doit ˆetre consid´er´e ind´ependamment de ses origine et extr´emit´e dans
~ peut ˆetre repr´esent´e par tout vecteur ~a qui a mˆeme longueur, mˆeme
l’espace. Ainsi le vecteur AB
~ sont deux repr´esentations d’un mˆeme vecteur :
direction et mˆeme sens : ~a et AB

2.2

Addition de vecteurs : m´
ethodes g´
eom´
etriques

Consid´erons deux d´eplacements successifs A → B → C. Le vecteur d´eplacement net total
−→
−−→
−−→
AC r´esulte de la combinaison des deux vecteurs d´eplacements interm´ediaires AB et BC. Cela
d´efinit l’addition vectorielle de ces deux vecteurs :
−→ −−→ −−→
AC = AB + BC .

(2.1)

B PP ~b
6 P
6

~a

PP
PP
qC
*

~a


~c

*


~c






PP
PP

~b

PP
q
P

A

Figure 2.3 – Les vecteurs “libres” ~a, ~b et ~c sont transport´es parall`element `a eux-mˆemes afin de
construire le parall´elogramme figurant l’addition vectorielle ~a + ~b = ~c.

2.3. Vecteurs : m´ethodes analytiques

2.3
2.4

Vecteurs : m´
ethodes analytiques
Multiplication de vecteurs

2.4.1

Produit scalaire

2.4.2

Produit vectoriel

21

22

2. Vecteurs dans le plan, dans l’espace ( encore en construction)

Chapitre 3

Mouvements & Cin´
ematique
Universit´e Paris Diderot Paris 7,

3.1

Notes de cours de JP Gazeau, 2011

Position et trajectoire

Un point M de l’espace est rep´er´e par rapport `a un syst`eme (orthonorm´e direct) de coor−→ −
ˆ au moyen du vecteur position −
ˆ.
donn´ees K ≡ Oˆıˆ k
OM = →
r = xˆı + yˆ + z k
−−→ −
Le point M = M (t), se d´eplace au cours du temps : le vecteur OM = →
r est une fonction
du temps :

 x = x(t)




y = y(t)
(3.1)
r = r (t) =

z
=
z(t)
ˆ
Oˆıˆ k

~ dans le rep`ere orthonorm´e direct
Figure 3.1 – Position du point M rep´er´e par son vecteur OM
ˆ
Oˆıˆk.
La trajectoire de M entre les instants tA et tB est le lieu des points M = M (t) lorsque t
varie entre tA et tB .

24

3. Mouvements & Cin´ematique
_

Au cours de ce mouvement, la distance parcourue |AM | est une fonction du temps positive
croissante :
_

|AM | ≡ s = s(t) ≥ 0 ,
s(tA ) = 0,

s(tB ) = L ,

(3.2)
(3.3)

o`
u L est la longueur totale parcourue.

Figure 3.2 – Abscisse curviligne s(t).

3.2

Vitesse et vecteur vitesse

Le vecteur d´eplacement du point mobile M entre deux positions successives M1 , M2 est le
−−−−→ −−−→ −−−→ − →

vecteur ∆→
r = M1 M2 = OM2 − OM1 = →
r2 − −
r1 .

Figure 3.3 – Vecteurs d´eplacement, vitesse moyenne, vitesse instantan´ee.
Le vecteur vitesse moyenne pour ce d´eplacement est d´efini par :

−−−−→
 (x2 − x1 )/(t2 − t1 )




M 1 M2
∆r
∆r

(y2 − y1 )/(t2 − t1 )
v→
=
=
=
12 =

t2 − t1
t2 − t1
∆t
(z2 − z1 )/(t2 − t1 )
ˆ
Oˆıˆ k

(3.4)

25

3.2. Vitesse et vecteur vitesse
Le vecteur vitesse instantan´ee `
a l’instant t1 est la limite (vectorielle) :

 dx/dt|t=t1
∆~r
dy/dt|t=t1
~v (t1 ) = lim
=
t2 →t1 ∆t

dz/dt|t=t1
ˆ
Oˆıˆ k

Le vecteur vitesse ~v est donc une fonction vectorielle du temps :

 dx/dt ≡ x˙ = vx
dy/dt ≡ y˙ = vy
~v (t) =

dz/dt ≡ z˙ = vz
ˆ
Oˆıˆ k

(3.5)

(3.6)

On notera quelquefois ~v = ~vM/O ou ~vM/K pour sp´ecifier pas rapport `a quoi on d´efinit la vitesse.
Le lieu des points o`
u pointe le vecteur ~v rapport´e `a l’origine O est appel´e l’hodographe du
mouvement. Le vecteur vitesse instantan´ee est ´evidemment tangent en M `a la trajectoire.
On introduit le vecteur unitaire tangent Tˆ = ~v /v, o`
u v = k~v k, toujours dirig´e dans le sens
de la vitesse, c’est-`
a-dire dans la direction du mouvement. On retiendra donc ~v = v Tˆ.
On d´efinit la vitesse ou c´el´erit´e moyenne entre t1 et t2 comme ´etant le rapport distance
parcourue/temps ´ecoul´e (toujours positif !) :
v¯12 =

s(t2 ) − s(t1 )
∆s
=
.
t2 − t1
∆t

(3.7)

Figure 3.4 – Hodographe du mouvement.
La vitesse ou c´el´erit´e instantan´ee `
a l’instant t1 est alors la limite :

∆s
ds
v1 = v(t1 ) = lim
=
.
t2 →t1 ∆t
dt t=t1

(3.8)

Plus g´en´eralement, `
a un instant quelconque,
v=

ds
.
dt

(3.9)

26

3. Mouvements & Cin´ematique

Figure 3.5 – Relation entre longueur de la corde et longueur de l’arc : pour des points suffisamment rapproch´es, k∆~rk ≈ ∆s.
p
Puisque k∆~rk = (∆x)2 + (∆y)2 + (∆z)2 ' ∆s (corde ' arc), pour de petits intervalles de
temps, on v´erifie la relation importante :
kd~rk
ds
=
,
(3.10)
dt
dt
p
ˆ et ds = kd~rk = dx2 + dy 2 + dz 2 est l’“´el´ement infinitesimal de
o`
u d~r = dxˆı + dyˆ + dz k,
longueur”. Cela justifie les relations (et notations !) :

ds
d~r
= k~v k .
=
v=
(3.11)

dt
dt

La vitesse instantan´ee v(t), est donc la longueur (≡ norme) du vecteur vitesse instantan´ee ~v (t)
(une relation qui n’est plus vraie entre la vitesse moyenne et le vecteur vitesse moyenne).
Inversement, la longueur parcourue entre t1 et t2 est donn´ee par l’int´egrale :
Z t2
Z t2
∆s = s2 − s1 =
ds =
v(t)dt .
t1

(3.12)

t1

Supposons enfin que plusieurs points M, N, P se meuvent dans l’espace. On d´efinit le vecteur
vitesse relative de M par rapport `
a N par :
~vN/M

−−→
−−→
−−→
dM N
dON
dOM
=
=

= ~vN/O − ~vM/O .
dt
dt
dt

(3.13)

De l`a on d´eduit facilement la r`egle dite de composition des vecteurs vitesses :
~vM/P = ~vM/N + ~vN/P ,

(3.14)

r`egle qu’on exprime souvent comme vitesse absolue = vitesse relative + vitesse d’entraˆınement ;
mais l’on doit garder `
a l’esprit que ces trois appellations ne sont que relatives (...).

27

3.2. Vitesse et vecteur vitesse

Figure 3.6 – Composition des vecteurs vitesses.
Exemple : histoires de pluie
Un bus avec pare-brise vertical avance `a la vitesse constante vb sous une pluie battante. Les
gouttes de pluie tombent verticalement avec une vitesse finale vg . D´eterminons sous quel angle
les gouttes frappent le pare-brise.



~vg/b θ
~vg



BUS
x

θ

x


=
x




~vb

-?

Figure 3.7 – La pluie vient frapper le pare-brise du bus avec un angle θ = arctgvb /vg .
On applique la r`egle de composition des vitesses comme il est indiqu´e sur la figure 3.7.
~vg ≡ ~vg/sol = ~vg/bus + ~vbus/sol ≡ ~vg/b + ~vb .

(3.15)

On obtient alors pour l’angle sous lequel les gouttes frappent le pare-brise l’expression θ =
arctan vb /vg .
Il pleut d’une pluie r´eguli`ere et les gouttes tombent verticalement. Afin de recevoir le moins
de gouttes possibles en se d´epla¸cant d’un point `a un autre, est-il pr´ef´erable de courir le plus vite
possible ? De marcher le plus lentement possible ? Ou d’adopter une vitesse interm´ediaire ?
Mod´elisons l’individu courant sous la pluie par un parall´el´epip`ede rectangle (voir figure3.8)
se d´epla¸cant dans la direction ~ex avec un vecteur vitesse ~vi = vix~ex . Soit ~vp = vpx~ex +vpy ~ey +vpz ~ez
le vecteur vitesse de la pluie par rapport au sol (d´esign´ee sur la figure par w).
~ On suppose que
la quantit´e d’eau pr´esente dans l’air par unit´e de volume d’air est, dans une approximation
raisonnable, uniforme. Notons la par ρp (en L/m3 ).
Nous voulons savoir pendant un intervalle de temps ∆t donn´e combien de quantit´e d’eau
la personne re¸coit, mais surtout comment cette quantit´e varie avec la vitesse de cet individu.
Pla¸cons nous dans le r´ef´erentiel de l’individu. Dans ce r´ef´erentiel, la vitesse de la pluie est

28

3. Mouvements & Cin´ematique

Figure 3.8 – L’individu courant sous la pluie, avec une vitesse ~v par rapport au sol, est assimil´e
`a un parall´el´epip`ede. La vitesse de la pluie par rapport au sol est d´esign´ee ici par w.
~

~vp/i = (vpx − vix )~ex + vpy ~ey + vpz ~ez . La quantit´e d’eau ∆Q qui est arriv´ee sur l’individu, est la
somme de l’eau lui est arriv´ee sur le rectangle F de face, sur le profil rectangulaire P et sur les
´epaules mod´elis´ees par le rectangle E : ∆Q = ∆QF + ∆QP + ∆QE .
Pendant ∆t, toutes les gouttes qui ont atteint l’individu se trouvent dans le volume limit´e
par les traits bleus pointill´es, par la face F et sa jumelle en bleu. La quantit´e totale d’eau qui a
atteint l’individu est donc :
∆Q = ρp ∆t (SF |vpx − vix | + SP |vpy | + SE |vpz |) ≡ ∆QF + ∆QP + ∆QE .
Ainsi, si on va assez vite la quantit´e d’eau sur la surface F augmente avec la vitesse (plus on
va vite, plus on prend de pluie en face). Selon cette formule, il semblerait que ne pas aller trop
vite soit le meilleur moyen de ne pas se mouiller. Mais par ailleurs, l’eau que l’on re¸coit sur une
distance parcourue d `
a la vitesse vi (toutes vitesses ´etant constantes) est ´egale `a :

Qd =

ρp d ∆Q
.
vi

En cons´equence, plus on va vite, moins on se prend de pluie sur les ´epaules et de profil, et si
la pluie tombe verticalement (vpx = 0) la quantit´e de pluie re¸cue de face reste la mˆeme. Quand
la pluie ne tombe pas verticalement, notre personne parall´el´epip´edique devra courir le plus vite
possible sauf dans le cas sp´ecial o`
u vpx > (SP |vpy | + SE |vpz |) /SP > 0 (vent assez fort dans le
dos) et pour lequel la vitesse optimale est celle de la pluie dans le dos (vi = vpx ).

29

3.3. Vecteur acc´el´eration

3.3

Vecteur acc´
el´
eration

La variation du vecteur vitesse du point mobile M entre deux positions successives M1 , M2
est le vecteur ∆~v = ~v2 − ~v1 . Le vecteur acc´el´eration moyenne pour cette variation est d´efinie
par :

 (v2x − v1x )/(t2 − t1 )




∆v
∆r


(v2y − v1y )/(t2 − t1 )
a12 =
=
=
(3.16)

t2 − t1
∆t
(v

v
)/(t

t
)
ˆ
2z
1z
2
1
Oˆıˆ k

On d´efinit alors le vecteur acc´el´eration instantan´ee en t1 comme la limite vectorielle ~a(t1 ) =
a→
eriv´ees vectorielles ou des coordonn´ees et en posant t = t1 ,
limt2 →t1 −
12 , soit en termes de d´

¨
 ax = v˙ x = x
2
d~v
d ~r
ay = v˙ y = y¨ .
~a(t) =
= 2 =
(3.17)

dt
dt
az = v˙ z = z¨
ˆ
Oˆıˆ k

Puisque

∆~v
,
∆t→0 ∆r

~a = lim

(3.18)

ce vecteur est toujours dirig´e vers l’int´erieur de la concavit´e de la trajectoire (voir figure 3.9).

Figure 3.9 – Vecteurs acc´el´eration moyenne et instantan´ee. Les soustractions vectorielles
montr´ees ici permettent de comprendre pourquoi le vecteur acc´el´eration est toujours dirig´e vers
l’int´erieur de la concavit´e de la trajectoire.
Le vecteur acc´el´eration peut aussi ˆetre ´evalu´e par d´erivation de l’expression ~v = v Tˆ :
~a =

dv ˆ
dTˆ ds
d ˆ
(v T ) =
T +v
.
dt
dt
ds dt

(3.19)

30

3. Mouvements & Cin´ematique

Mais dTˆ/ds est perpendiculaire `
a Tˆ :
d ˆ ˆ
dTˆ
(T · T ) = 2Tˆ ·
= 0,
ds
ds

(3.20)

et, lui aussi, toujours orient´e vers l’int´erieur de la concavit´e de la trajectoire :

Figure 3.10 – La normale comme vecteur unitaire orthogonal au vecteur unitaire tangent en
M et orient´e vers l’int´erieur de la concavit´e de la trajectoire.
ˆ , kN
ˆ k = 1. Le vecteur unitaire N
ˆ est la “normale” `a la trajectoire. Le
On pose dTˆ/ds = κN
facteur κ est la courbure et R = 1/κ est le rayon de courbure de la trajectoire au point M . κ et
R sont des fonctions de M , On obtient ainsi pour le vecteur acc´el´eration une d´ecomposition en
acc´el´erations normale et tangentielle :
~a =

dv ˆ v 2 ˆ
T + N ≡ ~aT + ~aN ,
dt
R

(3.21)

aT = dv/dt mesure l’acc´el´eration le long de la trajectoire, aN = v 2 /R est responsable de l’incurvation de cette derni`ere.
ˆ definie par : B
ˆ = Tˆ ∧ N
ˆ . Le tri`edre orthonorm´e direct
On introduit aussi la binormale B
ˆ
ˆ
ˆ
(M, T , N , B) est dit de Frenet (ou Serret-Frenet). C’est un rep`ere “local”, suivant le mouvement
ˆ ) est dit plan osculateur de la trajectoire en M . Enfin, on a les formules
de M . Le plan (M, Tˆ, N
ˆ) :
de Frenet (`a cˆ
ot´e de dTˆ/ds = κN
ˆ
dB
ˆ,
= −τ N
ds

ˆ
dN
ˆ − κTˆ .
= τB
ds

(3.22)

τ est appel´ee la torsion de la trajectoire au point M . Elle est non nulle pour une courbe “gauche”.

3.4

Mouvement rectiligne

La trajectoire est sur une ligne droite. Une coordonn´ee (ou “degr´e de libert´e”) suffit pour
−−→
d´ecrire un tel mouvement : AM = ~r = xˆı ;
~v =

dx
ˆı = vx ˆı ;
dt

~a =

d2 x
ˆı = ax ˆı .
dt2

(3.23)

31

3.4. Mouvement rectiligne

Figure 3.11 – Mouvement rectiligne.
Un exemple est le mouvement uniforme pour lequel le vecteur vitesse est constant :
vx (t) = constante = vx (t0 ) ≡ v0x .

(3.24)

(t0 est une certaine origine des temps). Alors : x(t) = x0 + vx0 (t − t0 ).

Un autre exemple est le mouvement `a acc´el´eration constante : ax = γ = cnst. (“mouvement
rectiligne uniform´ement vari´e”). Alors :
vx = v0x + γ(t − t0 )

(relation t ↔ γ ↔ v) ,
1
x = x0 + v0x (t − t0 ) + γ(t − t0 )2
(relation t ↔ γ ↔ x) .
2

(3.25)
(3.26)

On retiendra les deux autres relations importantes, valides uniquement aussi pour ce type
de mouvement :

v0x + vx
(t − t0 )
(relation t ↔ x ↔ v) ,
2
1 2
2
x − x0 =
(v − v0x
)
(relation x ↔ v ↔ γ) .
2γ x
x = x0 +



(3.27)
(3.28)

Dans le cas g´en´eral d’une acc´el´eration variable, ax = ax (t), une fonction donn´ee du temps,
on ´etablit les expressions de la vitesse et de la position au moyen d’int´egrations successives,
introduisant deux constantes arbitraires, d´etermin´ees une fois connues les “conditions initiales”
du mouvement.
dvx
,
dt
Z t
=
ax (t0 )dt0 ,

ax = ax (t) =
vx (t) − v0x

x(t) − x0 =

Z

(3.29)
(3.30)

t0

t

vx (t0 )dt0 .

(3.31)

t0

Une repr´esentation graphique, dite construction de diagrammes horaires, est extrˆemement
commode pour visualiser le mouvement et pour r´esoudre des probl`emes typiques rencontr´es dans
le cas du mouvement rectiligne.
Un exemple simple est celui du mouvement rectiligne uniform´ement vari´e entre deux instants
t0 et t1 (voir figures 3.4).

32

3. Mouvements & Cin´ematique

On remarquera que l’aire (alg´ebrique) A de la surface contenue sour le graphe de vx (t) entre
t0 et t1 donne le d´eplacement x1 −x0 (alg´ebrique). L’aire g´eom´etrique donnerait la distance totale
parcourue (ou abscisse curviligne) qui dans le cas de figure se confond avec x1 − x0 .

Diagramme horaire pour l'accélération:

ax

γ
t0

t1

t

Diagramme horaire pour la vitesse v x t =v 0xt −t 0 

vx

Aire x 1−x 0

v0x
t0

t1

t

1
2
Diagramme horaire pour la position x t =x 0v 0x t −t 0 t−t 0 
2

x

x1
arc de parabole

t0

x0

t1

t

Diagramme horaire pour une abscisse curviligne s͡ (t) (algébrique)

s(t)
͡

͡s0

t0

t

Figure 3.12 – Diagrammes horaires : ceux respectivement pour l’acc´el´eration, la vitesse et
la position dans le cas d’un mouvement rectiligne `a acc´el´eration constante, et un exemple de
diagramme pour une variation quelconque de l’abscisse curviligne.

33

3.4. Mouvement rectiligne

Un exemple d’utilisation est la d´etermination des coordonn´ees de rencontre de deux points
mobiles sur le mˆeme axe.

Figure 3.13 – Rencontre entre deux mobiles d´etermin´ee visuellement sur un diagramme horaire
Exemple : l’oiseau et les deux trains Deux trains roulent l’un vers l’autre sur la mˆeme
voie ferr´ee `a la vitesse de 40 km/h. Un oiseau dont la vitesse de vol est de 60 km/h s’envole de
l’un des deux trains, quand ces derniers sont distants de 80 km, en direction du deuxi`eme. En
atteignant le deuxi`eme train, il revient directement vers le premier, et ainsi de suite. On cherche
`a connaˆıtre combien de trajets cet oiseau peut effectuer d’un train `a l’autre avant la collision
des deux trains et quelle est la distance totale parcourue par l’oiseau ?
Nous sommes l`
a en pr´esence d’une forme du “paradoxe de Zenon”. L’oiseau, assimil´e `a un
point mat´eriel, accomplit une infinit´e d’aller-retours, mais cette fois-ci en temps fini, puisque les
deux trains entrent en collision au bout d’une heure (la vitesse de l’un par rapport `a l’autre est
de 80 km/h). Pour une description d´etaill´ee des mouvements de l’oiseau, on consultera la figure
3.14. La distance totale parcourue par l’oiseau est juste D = 60 × 1 h = 60 km.
Les diagrammes horaires s’utilisent tout aussi bien pour un mouvement g´en´eral dans l’esa

pace. Sont cette fois et uniquement prises en compte l’abscisse curviligne alg´ebrique s(t) calcul´ee
a

a

une fois pr´ecis´ee une orientation de support de la trajectoire, la vitesse alg´ebrique v = d s/dt et
a

a

l’acc´el´eration tangentielle aT = d v/dt.
Un dernier exemple important de mouvement rectiligne est celui du mouvement sinuso¨ıdal
o`
u l’on a la relation diff´erentielle entre l’acc´el´eration ax et la position x : ax = d2 x/dt2 = −ω 2 x.
La “pulsation” ω = 2π/T = 2πN est donn´ee usuellement en radians par seconde. T est la
p´eriode du mouvement (en seconde), N la fr´equence (en hertz, 1H = 1 s−1 ). La r´esolution de
l’´equation differentielle pr´ec´edente est ais´ee et conduit `a la solution g´en´erale :
x(t) = A cos(ωt + ϕ) .

(3.32)

34

3. Mouvements & Cin´ematique
x
80 km
@
@
@
@
@Train B
@
R
@
@
@
Oiseau
B@
1

BNB @



B
1
@

0

Train A

1h

t

Figure 3.14 – Diagramme horaires du train A (x = 0) choisi comme r´ef´erentiel, du train B
(droite x = 80(1 − t)) et de l’oiseau (trajectoire constitu´ee de segments de droite, dont trois
seulement sont montr´es, de pentes alternant de 20 km/h (lorsqu’il vole vers B) `a -100 km/h
(lorsqu’il vole vers A).

Figure 3.15 – Abscisse curviligne alg´ebrique ou orient´ee comme fonction du temps.
ϕ, la phase, et A, l’amplitude, sont d´etermin´ees par les conditions initiales.

3.5

Mouvement circulaire

C’est un mouvement plan dont la trajectoire est un cercle (ou un arc de cercle !), centr´e en
O, de rayon R (son rayon de courbure !).
−−→
Choisissant l’origine O du rep´ere Oˆıˆ au centre de cercle, et l’angle polaire θ = (ˆı, ~r = OM ),
on peut d´ecrire un tel mouvement comme la superposition de deux mouvements rectilignes

35

3.5. Mouvement circulaire

Figure 3.16 – Le mouvement sur un cercle et les coordonn´ees polaires adapt´ees.
sinuso¨ıdaux :


~r =

Oˆıˆ

x = R cos θ
,
y = R sin θ

θ = θ(t) .

(3.33)

On ´ecrit aussi ~r = R u
ˆr . u
ˆr est le vecteur unitaire “radial”. La loi θ = θ(t) d´etermine
compl`etement le mouvement. On introduit la vitesse angulaire θ˙ = dθ/dt (parfois not´ee ω mais il
vaut mieux r´eserver ce symbole pour une vitesse angulaire constante), et l’acc´el´eration angulaire
˙
θ¨ = dθ/dt
= d2 θ/dt2 .
Un mouvement circulaire uniforme est celui pour lequel θ˙ = cste = ω, auquel cas θ =
ω (t − t0 ) + θ0 . On a alors pour les vecteurs vitesse et acc´el´eration du point M :
~v =



Oˆıˆ

vx = −Rθ˙ sin θ = −Rω sin θ ,
vy = Rθ˙ sin θ = Rω cos θ ,

(3.34)

Soit encore ~v = R ω u
ˆθ , o`
uu
ˆθ est le vecteur unitaire orthoradial : u
ˆθ = dˆ
ur /dθ. Si l’on consid`ere
le vecteur u
ˆr comme fonction de son angle polaire, u
ˆr = u
ˆr (θ), alors u
ˆθ = u
ˆr (θ + π/2).
L’acc´el´eration est uniquement radiale :

puisque

~a = −Rω 2 u
ˆr ,

(3.35)

d

uθ ˙
u
ˆθ =
θ,
dt


(3.36)



= −ˆ
ur .


(3.37)

et

36

3. Mouvements & Cin´ematique
On a donc la relation entre acc´el´eration et position :


Oˆıˆ

x
¨ + ω2x = 0 ,
y¨ + ω 2 y = 0 .

(3.38)

(Le mouvement circulaire uniforme est la superposition de deux mouvements rectilignes
sinuso¨ıdaux de mˆeme pulsation.)
On retiendra les relations entre vitesse, vitesse angulaire et acc´el´eration pour un tel mouvement :
v = Rω,

r = Rω 2 =

v2
.
R

(3.39)

Un mouvement circulaire uniform´ement vari´e a une acc´el´eration angulaire constante : θ¨ =
cste = α, auquel cas peuvent ˆetre ´etablies les formules suivantes, chacune mettant en relation
trois des grandeurs parmi l’acc´el´eration, la vitesse, la position angulaire et le temps :
θ˙ = θ˙0 + α(t − t0 ) ,

(3.40)

1
θ = θ0 + θ˙0 (t − t0 ) + α(t − t0 )2 ,
2
1 ˙ ˙
θ = θ0 + (θ + θ0 )(t − t0 ) ,
2
1 ˙2 ˙2
(θ − θ0 ) .
θ = θ0 +


3.6

(3.41)
(3.42)
(3.43)

Mouvement plan avec acc´
el´
eration constante

Comme dans le cas du mouvement rectiligne uniform´ement vari´e, 4 ´equations d´ecrivent
le mouvement dans l’espace d’un point mobile dont le vecteur acc´el´eration est constant : ~γ =
~γ0 . Nous allons les ´etablir sans faire appel au proc´ed´e habituel consistant en 2 int´egrations
successives de cette ´equation. Prenons comme conditions initiales `a l’instant t = t0 , la position
~r(t0 ) ≡ ~r0 et le vecteur vitesse ~v (t0 ) ≡ ~v0 . La premi`ere ´equation nous dit que le vecteur vitesse
moyenne entre les instants t0 et t et le vecteur vitesse `a l’instant t se confondent :
~v (t) = ~γ0 (t − t0 ) + ~v0 ,

temps-vitesse-acc´el´eration .

(3.44)

Cela implique que le vecteur vitesse est toujours parall`ele au plan d´etermin´e par les deux vecteurs
~γ0 et ~v0 . Il s’ensuit que la trajectoire est contenue dans un plan parall`ele au plan (~γ0 , ~v0 ) et
−−→
passant par la position initiale M0 d´etermin´ee par OM 0 = ~r0 .
De la variation lin´eaire du vecteur vitesse versus le temps, on conclut que le vecteur vitesse
moyenne entre t0 et t est la demi-somme de ~v et ~v0 , et donc la relation
~r(t) − ~r0 =

~v (t) + ~v0
(t − t0 ) ,
2

temps-position-vitesse .

(3.45)

37

3.6. Mouvement plan avec acc´el´eration constante
En combinant (3.44) et (3.45) on obtient :
1
~r(t) = ~r0 + ~v0 (t − t0 ) + ~γ0 (t − t0 )2 ,
2

temps-position-acc´el´eration .

(3.46)

En combinant `
a nouveau (3.44) et (3.45) en effectuant le produit scalaire avec ~γ0 d’un cˆot´e et
avec ~v (t) − ~v0 de l’autre, et en ´eliminant le temps, on obtient une loi de conservation qui est une
version du th´eor`eme dit des forces vives :
(~r(t) − ~r0 ) · ~γ0 =

v 2 − v02
,
2

position-vitesse-acc´el´eration .

(3.47)

Figure 3.17 – Mouvement dans l’espace.
Un exemple familier est le mouvement du projectile dans le voisinage de la surface de la
terre : ~a = ~g , acc´el´eration de la pesanteur (g ≈ 9.81 m/s2 ). Choisissant le plan du mouvement
comme le plan de coordonn´ees (O, ˆı, ˆ), o`
u ~g = −gˆ, nous obtenons les vecteurs vitesse et position
en termes de leurs coordonn´ees et ainsi les ´equations param´etr´ees de la trajectoire :
~v =



Oˆıˆ

v0x ( mouvement uniforme selon x)
vy = v0y − g (t − t0 ) (mouvement uniform´ement vari´e selon y)

~r =



Oˆıˆ

x = x0 + v0x (t − t0 )
y = y0 + v0y (t − t0 ) − 21 g (t − t0 )2 .

(3.48)

(3.49)

L’´equation cart´esienne de la trajectoire est obtenue par ´elimination du temps t − t0 entre
les expressions de x et y :
y = y0 +

v0y
1 (x − x0 )2
(x − x0 ) − g
2
v0x
2
v0x

(´equation d’un arc de parabole) .

(3.50)

Notons la valeur de la port´ee lorsque y0 = 0, obtenue en posant y = 0 dans l’´equation
pr´ec´edente :
xmax − x0 =

2
v 2 sin 2θ0
v0x voy = 0
.
g
g

(3.51)

38

3. Mouvements & Cin´ematique

Figure 3.18 – Le mouvement du projectile.
Enfin, l’altitude maximum calcul´ee en utilisant le th´eor`eme des forces vives est donn´ee par :
ymax − y0 =

2
v0y
.
2g

(3.52)

Exemple : le saut en longueur
Dans le saut en longueur, il s’agit de savoir dans quelle mesure l’´el´evation en hauteur est
importante et quels facteurs d´eterminent l’amplitude horizontale du saut.
Tout sauteur souhaite maximiser la port´ee. Ainsi, il s’agit d’aller le plus vite possible (maximiser v0 ) et de s’´elever avec l’angle optimal dont on pourrait penser qu’il est de 45◦ . Mais il y a
´evidemment d’autres facteurs `
a prendre en compte, qui sont la r´esistance de l’air et la flexibilit´e
du corps permettant de jouer avec la conservation du moment cin´etique. En fait, pour perdre le
moins possible lors de l’impulsion initiale, il doit y avoir engagement maximum vers l’avant avec
un angle d’envol de 18 `
a 22◦ . Afin d’aller poser les pieds tr`es loin dans le sable, l’athl`ete effectue
un rotation rapide des segments libres permettant de faire passer les jambes en avant du centre
de gravit´e et accomplit un atterrissage avec des pieds actifs afin de faire passer le bassin vers
l’avant.

Chapitre 4

Coordonn´
ees curvilignes
Universit´e Paris Diderot Paris 7,

4.1

Notes de cours de JP Gazeau, 2011

Mouvement plan en coordonn´
ees polaires

Il est commode pour le traitement de nombreux probl`emes de m´ecanique d’introduire des
syst´emes de coordonn´ees autres que les cart´esiennes. Ces rep`eres sont en g´en´eral mobiles, c’est`a-dire associ´es au point en mouvement ; nous en avons d´ej`a vu un exemple avec le rep`ere de
Frenet. Ils sont aussi le plus souvent orthonorm´es .
Ici, nous apportons un autre exemple, dans le cas du mouvement plan.
Introduisons les coordonn´ees polaires r, θ, definies par :
−−→
−−→
r = kOM k,
θ = (ˆı, OM ) ,

(4.1)

avec les domaines de variation : 0 ≤ r < +∞ ; 0 ≤ θ < 2π.

Les relations de passage entre les coordonn´ees cart´esiennes et celles ci-dessus sont :
x = r cos θ,

y = r sin θ ,

(4.2)

et r´eciproquement,
r = (x2 + y 2 )1/2 ,

θ = arctan

y
,
x

(4.3)

avec θ ∈ [π/2, 3π/2[ pour x < 0. θ ∈ [0, π/2[∪]3π/2, 2π[ pour x > 0.

Rappelons la d´efinition des vecteurs unitaires radial u
ˆr ≡ u
ˆr (θ) et orthoradial u
ˆθ ≡ u
ˆθ (θ)
comme fonctions de l’angle polaire θ :

−−→
π

ur
OM = rˆ
ur ,
u
ˆθ =
=u
ˆr θ +
.
(4.4)

2
Le vecteur vitesse a alors des composantes radiale et orthoradiale :
~v =

d
(rˆ
ur ) = r˙ u
ˆr + r θ˙ u
ˆθ ≡ ~vr + ~vθ .
dt

(4.5)

40

4. Coordonn´ees curvilignes

Figure 4.1 – Coordonn´ees polaires dans le plan euclidien.
Cela nous donne directement l’expression de l’´el´ement de longueur ds en coordonn´ees polaires :
ds2 = v 2 dt2 = (r˙ 2 + r2 θ˙2 ) dt2 = dr2 + r2 dθ2 .
L’´el´ement de surface en coordonn´ees polaires s’´ecrit :


∂(x, y)
dr dθ = r dr dθ .

dS = dx dy =
∂(r, θ)

(4.6)

(4.7)

Ici, |∂(x, y)|/∂(r, θ) d´esigne la valeur absolue du Jacobien de la transformation infinitesimale :




dr
cos θ −r sin θ
dx
,
(4.8)
=

sin θ r cos θ
dy
c’est-`a-dire la valeur absolue du d´eterminant de la matrice ci-dessus.

Le vecteur acc´el´eration se d´ecompose, quant `a lui, de la fa¸con suivante :
¨ uθ .
~a = ~ar + ~aθ = (¨
r − r θ˙2 ) u
ˆr + (2r˙ θ˙ + r θ)ˆ

(4.9)

On prendra garde `
a ne pas confondre les acc´el´erations radiale et orthoradiale, ~ar et ~aθ
ˆ , ~aT = (dv/dt) Tˆ. Le seul cas
avec les acc´el´erations normale et tangentielle, ~aN = (v 2 /R) N
o`
u les acc´el´erations radiale et normale sont les mˆemes est celui du mouvement circulaire o`
u
r = cste = R =rayon de courbure !, et alors r˙ = r¨ = 0.
Un exemple fameux d’utilisation des coordonn´ees polaires en physique est le mouvement
d’une plan`ete autour du soleil et plus g´eneralement le mouvement d’un corps c´eleste autour d’un
objet beaucoup plus massif. L’´equation de la trajectoire est celle d’une section conique dont l’un
des foyers F ≡ 0 est occup´e par le corps tr`es massif,
p
r = r(θ) =
,
(4.10)
1 + e cos θ
p est le param`etre, e l’excentricit´
valeurs, nous pouvons avoir une ellipse (p >
e. Selon leurs
p > 0, e > 1
0, 0 < e < 1), une hyperbole
, une parabole (e = −1, p > 0). On notera `
a
p < 0, e < 1
ce propos que (−r, θ) et (r, θ + π) sont les coordonn´ees polaire d’un mˆeme point.

41

4.1. Mouvement plan en coordonn´ees polaires

Y
c
M
r
F'

C



X

F

b

a
Y



M

H

r
C

directrice

a



X
F axe focal

a

Y
Y=

M
r

b
X
a

(2)



(-c) F -a

C

c
a F'

X

(1)
Y =−

b
X
a

Figure 4.2 – Coniques : ellipse, parabole, hyperbole.

42

4. Coordonn´ees curvilignes
Ellipse :
p > 0, 0 < e < 1
X2 Y 2
+ 2 =1
a2
b
M F + M F 0 = 2a

(4.12)

c =a −b =a e

(4.14)

2

2

2

(4.11)

(4.13)

2 2

p = a(1 − e )

(4.15)

2

Parabole :
p > 0,

e = −1

(4.16)

Y = 2pX

(4.17)

MF = MH

(4.18)

p = 2a

(4.19)

2

Hyperbole :
X2 Y 2
− 2 =1
a2
b
|M F − M F 0 | = 2a

(4.20)
(4.21)

c =a +b =a e
2

2

2

(1) e > 1,
(2) e < −1,

4.2

(4.22)

2 2

p = a(e − 1) > 0
2

p = a(1 − e ) < 0
2

(4.23)
(4.24)
(4.25)

Mouvement dans l’espace en coordonn´
ees cylindriques

Ces coordonn´ees sont souvent utilis´ees lorsqu’on a une translation le long d’un axe privil´egi´e
(l’axe Oz ) combin´ee avec un mouvement plan, perpendiculaire `a Oz , que l’on a choisi de d´ecrire
ˆ
en coordonn´ees polaires ρ, ϕ. On dispose ainsi de trois vecteurs unitaires : u
ˆρ , u
ˆϕ , k,
−−→
ˆ
OM = ~r = ρˆ
uρ + z k,
(4.26)
c’est-`a-dire :


 x = ρ cos ϕ
y = ρ sin ϕ
~r =

z
ˆ
Oˆıˆ k

Les coordonn´ees cylindriques ρ, ϕ, z admettent comme domaines de variation,
−−→
kOM k = ρ = (x2 + y 2 )1/2 ∈ [0, +∞[
y
(Ox, Oα) = ϕ = arctan
∈ [0, 2π[
x
ON = z ∈ ] − ∞, +∞[

(4.27)

(4.28)
(4.29)
(4.30)

43

4.2. Mouvement dans l’espace en coordonn´ees cylindriques

Figure 4.3 – Coordonn´ees cylindriques pour l’espace euclidien. Notez les lignes et surfaces de
coordonn´ees.
Les lignes de coordonn´ees sont obtenues en fixant deux des coordonn´ees (ρ, ϕ, z) et en
faisant varier la troisi`eme.
{ρ varie, ϕ = cste, z = cste} :
on obtient une demi-droite parall`ele au plan (O,ˆı,ˆ) de cˆote z.
{ϕ varie, ρ = cste, z = cste} :
on obtient un cercle d’axe Oz , de cˆ
ote z, de rayon ρ.
{z varie, ρ = cste, ϕ = cste} :
on obtient une droite parall`ele `
a Oz , passant par (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ, 0).
Les surfaces de coordonn´ees sont obtenues en fixant une des coordonn´ees (ρ, ϕ, z) et faisant
varier les deux autres
ρ =cste : on obtient un cylindre d’axe Oz , perpendiculaire aux lignes de coordonn´ees ρ.
ϕ =cste : on obtient un demi-plan m´eridien, perpendiculaire aux lignes de coordonn´ees ϕ.
z =cste : on obtient un plan parall´ele `a (O,ˆı,ˆ), de cˆote z, et perpendiculaire aux lignes de
coordonn´ees z.
ˆ sont tangents aux lignes de coordonn´ees et perpendiculaires aux surfaces de cooru
ˆρ , u
ˆϕ , k
donn´ees. Ils sont dirig´es dans le sens croissant de ρ, ϕ, z respectivement, et l’on a :
u
ˆϕ =

d
u
ˆr ,


d
u
ˆϕ = −ˆ
ur .


(4.31)

Donnons maintenant l’expression des vecteurs vitesse et acc´el´eration en coordonn´ees cylin-

44

4. Coordonn´ees curvilignes

driques.
~v =

d~r
ˆ
= ρ˙ u
ˆρ + ρ ϕ˙ u
ˆϕ + z˙ k
dt

(4.32)

v=

ds
= (ρ˙ 2 + ρ2 ϕ˙ 2 + z˙ 2 )1/2
dt

(4.33)

Ainsi

et
ds2 = dρ2 + ρ2 dϕ2 + dz 2 ,
ˆ.
~a = (¨
ρ − ρ ϕ˙ 2 ) u
ˆϕ + (2ρ˙ ϕ˙ + ρ ϕ)
¨ u
ˆϕ + z¨ k
Enfin, l’´el´ement de volume dV en coordonn´ees cylindriques est :


∂(x, y, z)
ρ dρ dϕ dz .
dV = dx dy dz =
∂(ρ, ϕ, z)

(4.34)
(4.35)

(4.36)

Consid´erons l’exemple simple du mouvement h´elico¨ıdal qui s’exprime en coordonn´ees cylindriques par :
ρ = a,

ϕ = ϕ(t),

z = λ ϕ (λ > 0)

(4.37)

La trajectoire se situe sur une h´elice circulaire dont la projection dans le plan Oxy est
un cercle d’axe Oz et de rayon a. Le pas de l’h´elice est 2πλ : c’est la distance s´eparant deux
points dont les ϕ diff`erent de 2π. Notons les expressions de la c´el´erit´e et des vecteurs vitesse et
acc´el´eration :
v = (λ2 + a2 )1/2 |ϕ|
˙
ˆ
~v = ϕ˙ (a u
ˆϕ + λ k)
ˆ.
~a = −a ϕ˙ 2 u
ˆρ + a ϕ¨ u
ˆϕ + λ ϕ¨ k

(4.38)
(4.39)
(4.40)

ou encore
~a =

ϕ¨
~c − a ϕ˙ 2 u
ˆρ .
ϕ˙

(4.41)

ˆ , on en d´eduit imm´ediatement N
ˆ = −ˆ
Comme d’autre part ~a = dv/dt Tˆ + v 2 /R N
uρ et la
valeur (constante) du rayon de courbure :
R=

v2
λ 2 + a2
=
.
rϕ˙ 2
a

(4.42)

Notons aussi la valeur de la torsion τ = λ/(λ2 + a2 ), et l’angle θ que fait le vecteur vitesse avec
l’axe Oz : cot θ = λ/a = R τ . Plus g´en´eralement, les courbes gauches telles que Rτ =cste sont
les h´elices : la tangente fait un angle constant avec un axe fixe (ici Oz).



Documents similaires


chapitre7 sali
vecteurs cours
2 rappel sur le calcul vectoriel www stsmsth blogspot com
meca chapitre1 maths cbg aman mars2015 copie
mecanique 53
xp004 poly cm


Sur le même sujet..