TD3cor ME2 2012 participatifs .pdf



Nom original: TD3cor_ME2_2012-participatifs.pdf
Titre: TD3cor_ME2_2012
Auteur: Irena Nikolic

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2

Travaux participatifs

2.1

2.2

´
Energie
potentielle et force

Une masse ponctuelle m est soumise `a une force conservative radiale. Son ´energie potentielle
est repr´esent´ee par le graphe de la figure 12.
!"#$%

!

Figure 12: Graphe de l’´energie potentielle.



1. Ce graphe met en ´evidence des domaines o`
u la force F (r) = Fr (r) eˆr , eˆr d´esignant le
vecteur unitaire dans la direction radiale, a des sens diff´erents : pr´eciser les uns et les
autres.
2. En d´eduire les positions d’´equilibre, et discuter leur stabilit´e.
3. en choisissant une valeur arbitraire E0 de l’´energie m´ecanique totale indiquer les r´egions
inaccessibles par la masse et repr´esenter graphiquement l’´energie cin´etique en fonction de
la position.

Saut `
a la perche - saut en hauteur

Expliquer la technique du saut `a la perche et quel lien peut-on ´etablir entre les diff´erentes formes
d’´energie qui entrent en jeu. Sauriez vous estimer la hauteur maximale que l’on peut esp´erer
atteindre ? Pourquoi un sauteur en hauteur ne cherche-til pas `a avoir une vitesse maximale
avant de sauter ? Par comparaison quelle hauteur maximale pensez-vous qu’il puisse atteindre ?
Corrig´
e
Le sauteur courre le plus vite possible, bloque sa perche sur le sol. Celle-ci va r´ecup´erer
l’´energie cin´etique en se d´eformant, transformant l’´energie cin´etique en ´energie potentielle : en
se d´eformant, la perche se plie dans un premier temps et (si elle ne casse pas !) va se d´etendre
dans un deuxi`eme temps en ´elevant le centre de gravit´e du sauteur solidaire de sa perche.
Celui-ci va alors accomplir un mouvement de rotation pour ´elever son centre de gravit´e. Il va
alors passer la barre en l’enroulant de sorte que son centre de gravit´e reste toujours un peu en
` cet instant son ´energie cin´etique
dessous de celle-ci afin d’atteindre une hauteur maximale. A
est quasi-nulle mais son ´energie potentielle est maximale .... d’o`
u la n´ecessit´e d’amortir la chute.
Estimons les ordres de grandeur en jeu. Il doit courir vite : admettons qu’il atteigne la c´el´erit´e
de 10 m/s, S’il est capable de transformer toute son ´energie cin´etique en ´energie potentielle, il
atteint une hauteur telle que
!
1
v2
m g h = m v2

h=
≈ 5 m.
2
2g
Mais son centre de gravit´e (au d´epart) est d´ej`a `a un peu plus d’un m`etre du sol et comme il se
d´ebrouille pour avoir son centre de gravit´e au moment o`
u il passe la barre (grˆace `a la d´eformation
de son corps) quelques centim`etres en dessous de la barre, on voit que l’on atteint une hauteur
de l’ordre de 6.3 `a 6.5 m, ce qui est effectivement un peu au-dessus du record du monde actuel
de 6.14 m depuis un bon nombre d’ann´ees (Bubka, 1994). Les ordres de grandeur sont donc bien
raisonnables d’autant que le sauteur, encombr´e de sa perche, n’atteint pas vraiment la c´el´erit´e
de 10 m/s mais probablement plutˆot 9.5 m/s ; on pourrait sans doute progresser en am´eliorant
les perches pour limiter les pertes d’´energie dans la phase de d´eformation et am´eliorer encore le
style pour abaisser encore plus le centre de gravit´e au moment du franchissement de la barre.

Corrig´
e

→ −

r (r)
1. On a Ep (r) = − ∇ · F (r) = − dFdr
.

` gauche du premier minimum, l’´energie potentielle diminue, la force est donc r´epulsive
A
(Fr (r) > 0) ; entre le premier minimum et le maximum l’´energie potentielle croˆıt, la
force est donc attractive (Fr (r) < 0). Entre le maximum et le second minimum, l’´energie
d´ecroˆıt et la force est donc r´epulsive (Fr (r) > 0); au-del`a du second minimum, l’´energie
potentielle croˆıt et la force est attractive (dFr (r) < 0).

2. Le premier minimum, comme le second, correspond ainsi `a une position d’´equilibre stable.
Le maximum correspond lui `a une position d’´equilibre instable.
3. Supposons par exemple que E0 ait une valeur comprise entre le premier minimum et le
maximum. La particule venant de l’infini `a droite avec initialement une ´energie totale
purement cin´etique verra dans un premier temps son ´energie cin´etique augmenter (elle
est acc´el´er´ee) jusqu’au niveau du second minimum puis elle est frein´ee jusqu’`a ce que
son ´energie soit enti`erement convertie sous forme d’´energie potentielle en un point R0 , sa
vitesse s’annulant, elle repart alors vers la droite. Elle ne peut atteindre la r´egion r < R0 .
27

Un sauteur en hauteur a une technique tr`es diff´erente. Il court beaucoup moins vite car s’il
allait trop vite il ne pourrait s’arrˆeter brutalement sauf `a risquer quelques ennuis osseux et
ligamentaires. Il a donc une c´el´erit´e tr`es mesur´ee de l’ordre de 3 `a 5 m/s, ce qui lui autorise
une ´el´evation h = v 2 /2g de 0.6 `a 1 m pour convertir au mieux son ´energie cin´etique en ´energie
potentielle. Les sauteurs en hauteur sont en g´en´eral assez grands et leur centre de gravit´e est
`a une hauteur de l’ordre de 1.2 m. De plus ils utilisent leur d´etente dont on sait qu’elle permet
de sauter de l’ordre de 40 `a 50 cm. Ainsi globalement on doit s’attendre `a une hauteur de
franchissement de l’ordre de 2.20 `a 2.70, d’autant que la technique, ici aussi, consiste `a essayer
de garder son centre de gravit´e la plus bas possible (d’o`
u la technique du Fosbury flop). Le
record du monde f´eminin est actuellement de 2.09 m (Kostadinova, 1987) et le record masculin
de 2.45 m (Sotomayor, 1993).

2.3

Pendule balistique

Un projectile de masse m et de c´el´erit´e horizontale V0 est lanc´e contre un sac plein de sable de
masse M formant la partie inf´erieure d’un syst`eme mobile autour d’un axe horizontal O. Le

projectile s’immobilise dans le sable, l’ensemble d´emarrant avec la vitesse −
v.
28

O

M +m

2.4



v



Un cerceau de rayon R et de centre O, tourne avec une vitesse angulaire Ω constante autour
d’un axe vertical ∆ passant par un diam`etre (cf. figure 14). Une perle, assimil´ee `a un point
mat´eriel M de masse m, est libre de se d´eplacer sans frottement le long du cerceau. Sa position
est rep´er´ee par l’angle θ (que fait le segment OM avec la verticale) ou par h (son altitude
rep´er´ee par rapport au point le plus bas du cerceau.) On distingue deux r´ef´erentiels : R, centr´e
en O, li´e `a la Terre et que l’on supposera d’inertie et R! , li´e au cerceau centr´e en O! confondu
avec O.


→ m
V0

M

Extrait du partiel du 14 mars 1998



Figure 13: .





1. D´eterminer −
v.
2. On veut d´eterminer la hauteur h `a laquelle s’´el`eve ce pendule. Calculer la variation
d’´energie potentielle correspondante. Calculer ensuite la variation d’´energie cin´etique
correspondante et en d´eduire h
O

Corrig´
e

θ
eˆθ

1. Le choc est un choc in´elastique. Avant le choc la quantit´e de mouvement horizontale est
m V et imm´ediatement apr`es la collision elle est toujours horizontale et vaut (m + M ) v
de telle sorte que
m V0 = (m + M ) v

soit

v=

m
V0
m+M

On notera, le choc ´etant totalement in´elastique, que l’´energie cin´etique n’est pas conserv´ee : l’´energie cin´etique initiale m V02 /2 devient (m/(m + M ) m V02 /2, la diff´erence
correspond `a ce qui est dissip´e sous forme de d´eformation, chaleur, ... lors du choc.
2. On a donc un pendule simple de masse M +m, initialement vertical avec la vitesse initiale
horizontale V que l’on vient de d´eterminer. La hauteur maximale qu’il peut atteindre
l’est quand sa vitesse s’annule, la variation d’´energie cin´etique est alors
1
1 m2
∆Ec = Ecf − Eci = 0 − Eci = − (m + M ) v 2 = −
V2
2
2 m+M 0
L’ensemble du syst`eme ´etant isol´e, l’´energie totale est conserv´ee et la variation d’´energie
cin´etique est l’oppos´ee de la variation d’´energie potentielle
∆ET = ∆Ec + ∆Ep = 0

soit

1 m2
∆Ep =
V2
2 m+M 0

Comme l’´energie potentielle est li´ee `a la force de gravitation, la variation d’´energie potentielle entre la position basse initiale x0 et la hauteur atteinte x0 + h est simplement
∆Ep = m g h. On en d´eduit h
m
V02
h=
.
m+M 2g

H
M

h

Figure 14: .

L’´energie potentielle de pesanteur de la perle est donn´ee par l’expression suivante :
"
%
1 # Ω $2
Ep (θ) = m g R 1 − cos θ −
sin2 θ .
2 Ωc

1. Pour
√graphiquement cette ´energie potentielle dans les deux cas suivants Ω1 =
√repr´esenter
Ωc / 2 et Ω2 = 2 Ωc et pour tout le domaine de variation de θ(−π < θ < π), on cherchera
les extrema de la fonction Ep (θ) et on calculera les valeurs de Ep (θ) pour quelques valeurs
simples de θ (par exemple θ = 0, θ = π/2 ; θ = π/3 ; θ = 2π/3 ). On utilisera une ´echelle
totale sur chacun des axes d’au moins 10 cm.
2. D´eterminer les points d’´equilibre du syst`eme pour les deux valeurs Ω1 et Ω2 et discuter
leur stabilit´e.
3. Le syst`eme se trouvant en l’un ses points d’´equilibre stable θ = θ0 pour Ω = Ω2 , on ´ecarte
l´eg`erement la perle de sa position d’´equilibre : θ = θ0 + # (avec # << θ0 ). D´ecrire d’abord
qualitativement le mouvement de la perle (on exprimera pour cela, apr`es l’avoir justifi´ee,
la conservation de son ´energie m´ecanique) puis ´etablir l’´equation diff´erentielle qui le r´egit.
Caract´eriser sa nature en indiquant sa pulsation propre. On rappelle le d´eveloppement
limit´e suivant :
cos(θ0 + #) = cos θ0 − # sin θ0 −

29

eˆr

30

#2
cos θ0 + O(#3 ).
2

Corrig´
e
Voir ”A simple mechanical model exhibiting a spontaneous symmetry breaking” par Jean
Sivardi`ere dans Am. J. Phys. 51, 1016 (1983) et ”Dynamical stability and potential energy”
par Leon Blitzer, ibid. 50,431(1982).
Il n’y a aucun myst`ere derri`ere cette expression de l’´energie potentielle dont l’origine est choisie
au bas du cerceau en θ = 0. Elle est en effet la somme de l’´energie potentielle de gravitation
(m g R [1 − cos θ]) et de l’´energie potentielle associ´ee `
a la pseudo-force d’entraˆınement, li´ee
−−→
`a la rotation du cerceau autour de l’axe vertical ∆ qui est proportionnelle `a −m Ω2 HM 2 o`
u
HM = R sin θ.

1. On a

et

"
%
1 # Ω $2
Ep (θ) = m g R 1 − cos θ −
sin2 θ .
2 Ωc

θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ

=
=
=
=
=
=
=
=

0
π/4
π/3
π/2
2π/3
3π/4
5π/6


Ep,1 = 0.00
Ep,1 = 0.17
Ep,1 = 0.32
Ep,1 = 0.75
Ep,1 = 1.31
Ep,1 = 1.57
Ep,1 = 1.80
Ep,1 = 2.00

Ep,2 = 0.00
Ep,2 = −0.21
Ep,2 = −0.25
Ep,2 = 0.00
Ep,2 = 0.75
Ep,2 = 1.45
Ep,2 = 1.74
Ep,2 = 2.00

Pour obtenir la position des extrema, il faut d´eriver l’expression de l’´energie potentielle

Ωc
1
Ω1 = √ ⇒ Ep,1 (θ) = m g R 1 − cos θ − sin2 θ ,
4
2
"
%

Ω2 = 2 Ωc ⇒ Ep,2 (θ) = m g R 1 − cos θ − sin2 θ .
"

donc de s’int´eresser `a l’intervalle 0 ≤ θ ≤ π) :

%

# Ω $2
&
'
dEp (θ)
= m g R sin θ −
sin θ cos θ .

Ωc

Les extrema se situent l`a o`
u cette quantit´e s’annule, c’est `a dire
# Ω $2
sin θ [1 −
cos θ] = 0,
Ωc
c’est `a dire θ = 0 et si cela a un sens

cos θ =

# Ω $2
c



.



2. Ainsi pour Ω1 = Ωc / 2 cette ´equation n’a pas de solutions alors que pour Ω2 = 2 Ωc ,
les angles θ = π/3 et −π/3 en sont solution dans l’intervalle [−π, π]. Il est facile de voir
alors que

• si Ω1 = Ωc / 2, il y a une seule position d’´equilibre stable θ = 0,

• si Ω2 = 2 Ωc , les positions les angles θ = π/3 et −π/3 correspondent `a des positions
d’´equilibre stable alors que θ = 0 correspond `a une position d’´equilibre instable.



´
Figure 15: Energies
potentielles Ep1 et Ep2 pour Ω1 = Ωc / 2 et Ω2 = 2 Ωc respectivement.
Quelques valeurs (en remarquant que les fonctions Ep,1 (θ) et Ep,2 (θ) sont paires ; il suffit

3. Soit alors θ0 = π/3 point d’´equilibre stable pour Ω = Ω2 et en s’´ecartant l´eg`erement de
ce point, θ = θ0 + # avec # <<< θ0 , la perle va avoir tendance `a revenir vers le point
d’´equilibre θ0 en oscillant autour de ce point. En effet, l’´energie m´ecanique de la perle sur
le cerceau, l’ensemble ´etant isol´e, est conserv´ee. La perle, emmen´ee par le cerceau dans
sa rotation a, `a position angulaire fix´ee θ, l’´energie potentielle
"
%
Ep (θ) = m g R 1 − cos θ − sin2 θ
` un instant t ult´erieur
et l’´energie m´ecanique est donc dans le r´ef´erentiel li´e cerceau A
l’´energie totale est
"
%
1 →2
v + m g R 1 − cos θ − sin2 θ .
EM = m −
2
Comme elle est condtante, on obtient en d´erivant par rapport au temps :

m−
v ·

31


d−
v
dEp (θ) ˙
+
θ=0
dt

32

−−→
La perle est astreinte `a un mouvement circulaire sur le cerceau OM = R eˆr et les composantes de sa vitesse et de son acc´el´eration dans le plan du cerceau se r´eduisent `a

d−
v
= R θ¨ eˆθ − R θ˙2 eˆr .
dt
L’´equation du mouvement dans le plan du cerceau s’´ecrit finalement


v = R θ˙ eˆθ

4. Dans le rep`ere en rotation, c’est `a dire li´e au cerceau en rotation `a la vitesse angulaire



Ω = Ω eˆz autour de l’axe vertical ∆, l’acc´el´eration −
a ! de la perle est donn´ee par la
relation

→ −
→ →


m−
a! = P +N +−
ϕe +−
ϕc






o`
u P est le poids de la perle, N la r´eaction (normale) du cerceau, −
ϕ e et −
ϕ c les pseudoforces d’entraˆınement et de Coriolis,

→ −
→ →!


ϕ e = −m Ω ∧ ( Ω ∧ −
r ),

dEp (θ)
m R2 θ¨ +
= 0,

c’est `a dire

et


→ →!


ϕ c = −2 m( Ω ∧ −
v ).





!
Comme r = OM = R eˆr et que l’on peut exprimer eˆz en fonction des vecteurs unitaires
eˆr et eˆθ selon la relation
eˆz = − cos θ eˆr + sin θ eˆθ ,

m R2 θ¨ + m g R sin θ (1 − 2 cos θ) = 0

ou

g
θ¨ +
sin θ (1 − 2 cos θ) = 0.
R
On peut alors simplifier cette ´equation en utilisant le fait que θ = θ0 + # et donc


→ −
Ω ∧→
r ! = Ω R eˆz ∧ eˆr = Ω R sin θ eˆθ ∧ eˆr

sin(θ0 + #) = sin θ0 cos # + cos θ0 sin #
#2
= (1 − ) sin θ0 + # cos θ0 + O(#3 )
2

et

→ −
→ →!
Ω ∧ (Ω ∧ −
r ) = Ω2 R sin θ {− cos θ eˆr ∧ (ˆ
eθ ∧ eˆr ) + sin θ eˆθ ∧ (ˆ
eθ ∧ eˆr )}
−−→
= −Ω2 R sin θ {cos θ eˆθ + sin θ eˆr } = −Ω2 sin θ HM .

qui avec le d´eveloppement indiqu´e dans l’´enonc´e
cos(θ0 + #) = cos θ0 − # sin θ0 −

#2
cos θ0 + O(#3 )
2


Par ailleurs, comme −
v ! = R θ˙ eˆθ ,

et


→ −
Ω ∧→
v ! = Ω R θ˙ (ˆ
ez ∧ eˆθ )

1 − 2 cos(θ0 + #) = 1 − 2 cos θ0 + 2 # sin θ0 + #2 cos θ0 + O(#3 )
conduisent `a

et se situe dans dans le plan orthogonal `a eˆr et eˆθ . La pseudo-force de Coriolis associ´ee `a
cette acc´el´eration est strictement compens´ee par une r´eaction du cerceau sur la perle .
La pseudo-force d’entraˆınement s’´ecrit

sin θ (1 − 2 cos θ) = sin(θ0 + #) [1 − 2 cos(θ0 + #)]
#2
sin θ0 } (1 − 2 cos θ0 )
= {sin θ0 + # cos θ0 −
2
+2 # sin2 θ0 + 3#2 sin θ0 cos θ0 + O(#3 ).

−−→


ϕ e = m Ω2 sin θ HM
et dans le plan (ˆ
er , eˆθ ), l’´equation du mouvement s’´ecrit

Or pour θ = ±π/3, on a cos θ0 = 1/2, soit 1 − 2 cos θ0 = 0 et le d´eveloppement ci-dessus
se r´eduit `a

3
3 3 2
sin θ (1 − 2 cos θ) = # ±
# + O(#3 ).
2
4
Comme, par ailleurs, θ¨ = #¨, l’´equation du mouvement `a l’ordre #2 devient
#¨ +

−m R θ˙2 = m g cos θ − N + m Ω2 R sin2 θ
m R θ¨ = −m g sin θ + m Ω2 R sin θ cos θ
Cette deuxi`eme ´equation se r´ecrit

3g
# + O(#2 ) = 0,
2R

´equation caract´eristique d’un mouvement oscillant p´eriodique, de pulsation
d’une position d’´equilibre.

¨eθ −R θ˙2 eˆr ) = m g (cos θ eˆr −sin θ eˆθ )−N eˆr +m Ω2 R sin θ {cos θ eˆθ +sin θ eˆr } = 0.
m (R θˆ

(

3g
,
2R

autour

)
# Ω $2
*
θ¨ + ω 2 sin θ 1 −
cos θ ,
ω

avec ω 2 = g/R. Elle permet de d´eterminer le mouvement, la premi`ere ´equation donnera
ensuite l’expression de la composante radiale de la r´eaction du cerceau sur la perle.
On reconnaˆıt ´evidemment l’´equation que nous avons utilis´ee et on retrouve l’expression




de l’´energie potentielle. Puisque F = – ∇Ep , cela implique dans le plan (ˆ
er , eˆθ )

33

34

Fr = −

∂Ep
∂r

et

Fθ = −

soit donc
−m g sin θ + m Ω2 R sin θ cos θ = −
En int´egrant

1 ∂Ep
,
r ∂θ

1 ∂Ep
.
R ∂θ

)
*
1 # Ω $2
Ep = m g R − cos θ −
sin2 θ + constante .
2 ω
La constante est fix´ee de telle sorte que l’´energie potentielle est nulle pour θ = 0 ; elle
vaut alors 1 ce qui redonne bien l’expression de d´epart.

35



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