TD3cor ME2 2012 participatifs.pdf


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2

Travaux participatifs

2.1

2.2

´
Energie
potentielle et force

Une masse ponctuelle m est soumise `a une force conservative radiale. Son ´energie potentielle
est repr´esent´ee par le graphe de la figure 12.
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!

Figure 12: Graphe de l’´energie potentielle.



1. Ce graphe met en ´evidence des domaines o`
u la force F (r) = Fr (r) eˆr , eˆr d´esignant le
vecteur unitaire dans la direction radiale, a des sens diff´erents : pr´eciser les uns et les
autres.
2. En d´eduire les positions d’´equilibre, et discuter leur stabilit´e.
3. en choisissant une valeur arbitraire E0 de l’´energie m´ecanique totale indiquer les r´egions
inaccessibles par la masse et repr´esenter graphiquement l’´energie cin´etique en fonction de
la position.

Saut `
a la perche - saut en hauteur

Expliquer la technique du saut `a la perche et quel lien peut-on ´etablir entre les diff´erentes formes
d’´energie qui entrent en jeu. Sauriez vous estimer la hauteur maximale que l’on peut esp´erer
atteindre ? Pourquoi un sauteur en hauteur ne cherche-til pas `a avoir une vitesse maximale
avant de sauter ? Par comparaison quelle hauteur maximale pensez-vous qu’il puisse atteindre ?
Corrig´
e
Le sauteur courre le plus vite possible, bloque sa perche sur le sol. Celle-ci va r´ecup´erer
l’´energie cin´etique en se d´eformant, transformant l’´energie cin´etique en ´energie potentielle : en
se d´eformant, la perche se plie dans un premier temps et (si elle ne casse pas !) va se d´etendre
dans un deuxi`eme temps en ´elevant le centre de gravit´e du sauteur solidaire de sa perche.
Celui-ci va alors accomplir un mouvement de rotation pour ´elever son centre de gravit´e. Il va
alors passer la barre en l’enroulant de sorte que son centre de gravit´e reste toujours un peu en
` cet instant son ´energie cin´etique
dessous de celle-ci afin d’atteindre une hauteur maximale. A
est quasi-nulle mais son ´energie potentielle est maximale .... d’o`
u la n´ecessit´e d’amortir la chute.
Estimons les ordres de grandeur en jeu. Il doit courir vite : admettons qu’il atteigne la c´el´erit´e
de 10 m/s, S’il est capable de transformer toute son ´energie cin´etique en ´energie potentielle, il
atteint une hauteur telle que
!
1
v2
m g h = m v2

h=
≈ 5 m.
2
2g
Mais son centre de gravit´e (au d´epart) est d´ej`a `a un peu plus d’un m`etre du sol et comme il se
d´ebrouille pour avoir son centre de gravit´e au moment o`
u il passe la barre (grˆace `a la d´eformation
de son corps) quelques centim`etres en dessous de la barre, on voit que l’on atteint une hauteur
de l’ordre de 6.3 `a 6.5 m, ce qui est effectivement un peu au-dessus du record du monde actuel
de 6.14 m depuis un bon nombre d’ann´ees (Bubka, 1994). Les ordres de grandeur sont donc bien
raisonnables d’autant que le sauteur, encombr´e de sa perche, n’atteint pas vraiment la c´el´erit´e
de 10 m/s mais probablement plutˆot 9.5 m/s ; on pourrait sans doute progresser en am´eliorant
les perches pour limiter les pertes d’´energie dans la phase de d´eformation et am´eliorer encore le
style pour abaisser encore plus le centre de gravit´e au moment du franchissement de la barre.

Corrig´
e

→ −

r (r)
1. On a Ep (r) = − ∇ · F (r) = − dFdr
.

` gauche du premier minimum, l’´energie potentielle diminue, la force est donc r´epulsive
A
(Fr (r) > 0) ; entre le premier minimum et le maximum l’´energie potentielle croˆıt, la
force est donc attractive (Fr (r) < 0). Entre le maximum et le second minimum, l’´energie
d´ecroˆıt et la force est donc r´epulsive (Fr (r) > 0); au-del`a du second minimum, l’´energie
potentielle croˆıt et la force est attractive (dFr (r) < 0).

2. Le premier minimum, comme le second, correspond ainsi `a une position d’´equilibre stable.
Le maximum correspond lui `a une position d’´equilibre instable.
3. Supposons par exemple que E0 ait une valeur comprise entre le premier minimum et le
maximum. La particule venant de l’infini `a droite avec initialement une ´energie totale
purement cin´etique verra dans un premier temps son ´energie cin´etique augmenter (elle
est acc´el´er´ee) jusqu’au niveau du second minimum puis elle est frein´ee jusqu’`a ce que
son ´energie soit enti`erement convertie sous forme d’´energie potentielle en un point R0 , sa
vitesse s’annulant, elle repart alors vers la droite. Elle ne peut atteindre la r´egion r < R0 .
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Un sauteur en hauteur a une technique tr`es diff´erente. Il court beaucoup moins vite car s’il
allait trop vite il ne pourrait s’arrˆeter brutalement sauf `a risquer quelques ennuis osseux et
ligamentaires. Il a donc une c´el´erit´e tr`es mesur´ee de l’ordre de 3 `a 5 m/s, ce qui lui autorise
une ´el´evation h = v 2 /2g de 0.6 `a 1 m pour convertir au mieux son ´energie cin´etique en ´energie
potentielle. Les sauteurs en hauteur sont en g´en´eral assez grands et leur centre de gravit´e est
`a une hauteur de l’ordre de 1.2 m. De plus ils utilisent leur d´etente dont on sait qu’elle permet
de sauter de l’ordre de 40 `a 50 cm. Ainsi globalement on doit s’attendre `a une hauteur de
franchissement de l’ordre de 2.20 `a 2.70, d’autant que la technique, ici aussi, consiste `a essayer
de garder son centre de gravit´e la plus bas possible (d’o`
u la technique du Fosbury flop). Le
record du monde f´eminin est actuellement de 2.09 m (Kostadinova, 1987) et le record masculin
de 2.45 m (Sotomayor, 1993).

2.3

Pendule balistique

Un projectile de masse m et de c´el´erit´e horizontale V0 est lanc´e contre un sac plein de sable de
masse M formant la partie inf´erieure d’un syst`eme mobile autour d’un axe horizontal O. Le

projectile s’immobilise dans le sable, l’ensemble d´emarrant avec la vitesse −
v.
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