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Nom original: ENT_logarithme.pdf
Titre: Diapositive 1
Auteur: Friedelmeyer

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s.friedelmeyer@ac-toulouse.fr , le 20/03/2013

Chapitre XII - Fonction Logarithme

I. Définition



La fonction exponentielle est continue et
strictement croissante sur IR, à valeurs dans
]0;+oo[.
D'après le théorème des valeurs
intermédiaires, pour tout réel a de ]0;+oo[,
l'équation ex=a admet une unique solution
dans IR

La fonction Ln
Conséquences



a) x = ln(y) <=> y=exp(x)=ex
b) ln(1) = 0 ; ln(e) = 1; ln(1/e) = -1
c) Si x >0 eln(x) = x
d) Pour tout x réel, ln(ex)=x

Propriétés



La fonction ln est continue et dérivable sur
]0;+oo[
Sa dérivée est ln'(x) = 1/x
La fonction ln est strictement croissante
ln est négative sur ]0;1[, positive sur ]1;+oo[
elle s'annule en x=1
Pour tout A et B positifs, A=B <=> ln A = ln B

Démonstration



On appelle logarithme népérien d'un réel
strictement positif a, l'unique solution de
l'équation ex=a . On la note x=ln(a)
La fonction ln est la fonction de ]0;+oo[ vers R
qui a x associe ln(x)
On dit que ln est la fonction réciproque de exp
Les courbes de ln et de exp sont symétriques
par rapport à la droite y=x

1) Si ln est dérivable et que f est sa dérivée, la
dérivée de eln(x) existe et vaut
f(x).eln(x), or eln(x) = x, donc la dérivée de eln(x)
vaut 1 et on a donc f(x).x=1, soit f(x)=1/x
2) Montrons que ln est dérivable en a>0 :

ln  x   ln a 
ln x   ln a 
1
 Lim ln  x  ln a   Lim ln  x  ln a 
xa
xa e
xa e
e
xa
e
ln  x   ln a 
e ln  x   e ln a 
e x  e ln a 
or Lim
 Lim
 exp' ln a   e ln a   a
x  a ln  x   ln a 
x ln  a  x  ln a 
Lim

donc ln est dérivable pour tout a positif et sa
dérivée est 1/x

1

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Chapitre XII - Fonction Logarithme

Le reste est une simple conséquence de cela :
Comme 1/x>0 sur ]0;+oo[, ln est strictement
croissante
Comme ln(1)=0, x>1 implique ln(x)>ln(1)=0,
de même si x<1

relation fonctionnelle



Pour tout x et y positifs on a :
ln(x . y)=ln(x)+ln(y)
Preuve

Relation fonctionnelle
Exemples d'application



Simplifier



 

A  ln 3  5  ln 3  5



A  ln 3  5  ln 3  5





 ln 3  5 3  5
 ln 4

Pour tous x et y positifs, et n entier on a

 ln

1
ln    ln  x 
 x
x
ln   ln  x   ln  y 
 y

C  ln e2  ln

 

ln x n  n ln  x 
1
ln x  ln  x 
2
Preuves

 



2
B  3ln 2  ln5  2 ln 3 C  ln e  ln

2
e



 ln  9  5 

e ln  x y   x  y  e ln  x e ln  y   e ln  x  ln  y 
donc ln  x  y   ln  x   ln  y 

Conséquences

 



B  3ln 2  ln5  2 ln 3
 ln 23  ln5  ln32

23  5
32
40
 ln
9
2
e
 2 ln e  ln 2  ln e
 2  ln 2  1
 3  ln 2

2

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Chapitre XII - Fonction Logarithme

Résolution d'équations et d'inéquations



résoudre
1) ln  6 x  1  2
2) ln  x  3  ln  9  x   0

Méthodes
Calcul de dérivées



Dériver et étudier sur ]0;+oo[ :

 ln x 
f ( x) 

2

x

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Chapitre XII - Fonction Logarithme

Propriétés :



On a Lim ln  x   
x  

Conséquence



Lim ln  x   
x 0
x 0

Conséquence graphique



La courbe de la fonction ln n'admet pas
d'asymptote horizontale mais une asymptote
verticale d'équation x=0

Démonstration



On doit prouver que pour tout A>0, il existe x
tel que ln(x)>A
En prenant x≥ eA, on a ln(x)≥ln(eA)=A
Donc Lim ln  x   
x  
De plus

1
Lim ln  x   Lim  ln   Lim  ln x   
x 0
x 0
 x  x 
x 0
x 0

Limites
Autres limites



ln 1  h 
Lim
1
h 0
h

Démonstration

ln  x 
0
x  
x
Lim

On est en présence de formes indéterminées
MAIS

ln 1  h 
ln 1  h   ln 1
 Lim
h 0
h 0
h
1 h 1
ln h   ln 1
 Lim
 ln' 1  0
h 1
h 1
Lim

De plus, en posant X=ln(x), on a

X
ln  x 
1
1
 Lim X  Lim X 
0
x  
X   e
X   e
eX
x
Lim
X   X
X
Lim

Exemples : déterminer les limites
ln x
ln x
lim  x  ln x 
lim
lim
x 
x x  1
x1 x  1

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Chapitre XII - Fonction Logarithme

Propriété (admis)



Si u est dérivable et STRICTEMENT POSITIVE
sur I, alors la fonction
f(x)=ln(u(x)) est définie, continue et dérivable
sur I, et sa dérivée vaut
f '(x) = u'(x)/u(x)

Fonctions ln(u)
Exemples



 x2
f ( x)  ln 

 1 x 

Soit
Montrez que f est définie sur ]-2;1[
Déterminez sa dérivée et ses variations
Quelles sont ses limites ?
Résolvez f(x)=0

Logarithme décimal



Les physiciens utilisent souvent le logarithme
décimal, noté Log, et défini par
Log(x) = ln(x)/ln(10)

Propriétés



Pour tout n entier, Log(10n)=n
Preuve

 

ln 10 n
n ln10 
Log 10 

n
ln 10
ln 10

 
n

Cette fonction a les mêmes propriétés que le
logarithme népérien
Sa dérivée est
Log'(x)=1/ln(10) . 1/x

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Chapitre XII - Fonction Logarithme

graphe de f

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