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Nom original: ENT_loisDensité.pdf
Titre: Diapositive 1
Auteur: Friedelmeyer

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s.friedelmeyer@ac-toulouse.fr , le 06/02/2013

Chapitre XI – Lois à densité

Variables Aléatoires : Rappels



On considère une EXPERIENCE ALEATOIRE,
dont les résultats font partie d’un univers
Ω = {ω1, ω2, ω3, ω4, ω5…}
On appelle VARIABLE ALEATOIRE REELLE
l’application qui au résultat de l’expérience
associe une valeur réelle.
On la note généralement X
On note P(X = k) la probabilité que la valeur de X
soit égale à k, k faisant partie de Ω
P(X=k) est un nombre compris entre 0 et 1
La somme des valeurs prises par P vaut toujours 1
Donner les valeurs de P(X=k) équivaut à donner la
LOI de la variable aléatoire X
on appelle ESPERANCE de la variable aléatoire X
qui prend les valeurs x1…xn le nombre noté E(X)
égal à
E(X) = x1P(X=x1)+x2P(X=x2)+…+xnP(X=xn)
on appelle VARIANCE de la variable aléatoire X le
nombre noté V(X) égal à
V(X) = E((X-E(X))2) ou à E(X2)-E(X)2
X-E(X) doit être considéré comme une autre
variable aléatoire, ainsi que X2
On appelle Ecart-type de X la racine carrée de
V(X), on note

Loi binomiale : rappels
Exemple : Bernoulli



La loi de Bernoulli est très simple : elle prend les
eux valeurs 0 (échec) et 1 (réussite)
p(X=1) = p, et P(X=0)=1-p=q
Si X suit une loi de Bernoulli, son espérance est
E(X)=0 x (1-p)+1 x p=p
X2 prend les valeurs 0 et 1 avec les mêmes
probabilités: P(X2=1)=p, P(X2=0)=0 donc
E(X2)=p et V(X)=E(X2)-E(X)2=p-p2=p(1-p)=pq

Loi Binomiale :



Si l'on répète n fois une loi de Bernoulli, on peut
espérer entre 0 et n réussites (ou entre 0 et n
échecs). Si X est la variable aléatoire égale au
nombre de réussite, on dit que X suit une loi de
Bernoulli de paramètre n et p
On note X  B(n,p)
On démontre qu'alors

n
P x  k     p k q n  k
k 

n
 
où les k  sont les coefficients binomiaux, calculés à
l'aide du triangle de Pascal, représentant le
nombre de chemins menant au succès.
On lit 'k parmi n"
On démontre que si X  B(n,p) alors
E(X)=np et V(X)=npq

 X   V X 
1

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Chapitre XI – Lois à densité



Coefficients binomiaux Quelques formules :
n
n
n
premières valeurs
   1;    n;    1
0
1 
n
Symétrie

n  n

   
n  k  k 
 n   n   n  1
   
  

 k   k  1  k  1

Relation de Pascal
A la calculatrice :
Sur la TI, on obtient par
MATHS / PRB / nCr : 7 nCr 3 donne 35
Sur la Casio :
OPTN / PRB / nCr : 12 nCr 7 donne 792
Loi Binomiales
Pour obtenir les P(X=k), k variant de 1 à n d'une
loi binomiale B(n,p) :
TI

Casio

Touche DISTR (2nd VARS)
Menu DISTR / binompdf
(n,p)L1
stocke les résultats dans la liste
1 (STAT)
Par exemple
binompdf(10,0,5)L1 donne, en
cliquant sur STAT/Edit

Menu STAT
Dans List1 rentrer les valeurs de
0 à n puis
Menu DIST / BinM /BPD puis les
valeurs suivantes

En pratique :
Exemple :



en utilisant : bernoulli1.ggb
On lance 4 fois de suite une pièce truquée et on note X la variable
aléatoire qui donne le nombre de « PILE » obtenus à l’issue des 4
lancers. On sait p(pile)=0,6
a. Quelle est la loi suivie par X (donner son nom et ses
paramètres) ?

X suit une loi binomiale de paramètre n=4 et de
probabilité 0,6 : X B(4;0,6)
b. Déterminer son espérance et son écart type.

E(X)=np=2,4 : on aura en moyenne 2,4 pile
c. Quelle est la probabilité d’obtenir exactement 3 PILE au cours
des 4 lancers ?

 4
1
P x  3   0,63 1  0,6  4  0.216  0.4  .3456
3 

d. On lance la pièce n fois de suite, quelle est la probabilité
d’obtenir au moins une fois PILE au cours des n lancers ? Quelle
est la plus petite valeur de n à partir de laquelle cette probabilité
est supérieure à 0,999 ?

On a :

n
P X  1  1  P X  0   1   0,6 0 0,4 n  1  0,4 n
0

Il faut donc 0,4n≤0,001
A la calculatrice, on trouve n=8
e. Déterminer pour n=20 la probabilité d'avoir entre 8 et 14 piles.

place dans List2 les résultats
des calculs

On doit calculer
P8  X  14   P X  8  P X  9   ...  P X  14 
On trouve finalement P=0,8534
2

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Chapitre XI – Lois à densité

Propriétés de l'espérance et de la variance



Si X est une variable aléatoire et a et b deux nombres
réels,
Y = aX+b est une nouvelle variable aléatoire dont les
valeurs sont obtenues en multipliant celles de X par a
et en ajoutant b
on a alors:
E(Y) = E(aX+b)=a.E(X)+b, c’est-à-dire que la
moyenne change de la même manière que X
V(Y) = V(aX+b) = a2V(X), la variance est multipliée
par a2
Ainsi on a également  aX  B   V aX  b   a  X 

Application à la loi binomiale



Si X  B(n,p), alors, en posant, Z 

X  np
npq

Z suivra une loi définie ainsi :


k  np   n  k
nk
   p 1  p 
P Z 

npq   p 

Son espérance et sa variance seront

 X
1
np 
np

0
E Z   E 

EX  
 npq

npq
npq
npq


 X
1
np 


V Z   V 
V X   1
 npq
 npq
npq


On dit que Z est centrée et réduite

centrer, réduire
Exemple



En reprenant l'exemple précédent, on cherche à
connaitre la probabilité d'avoir k pile sur 100
tirages.
L'espérance est E(X)=np=60
Cela veut dire qu'en 'moyenne', on aura 60 tirage
de pile
La variance est V X  npq  100  0,6  0,4  24
L'écart-type est   X   24  4,9

 

On pose

Z

X  60
24

On a P(X=60)=0,081 environ donc

60  60 

P Z 
  P Z  0   P X  60  0,081
24


car pour que Z=0, il FAUT que X=60
Ces deux événements ont donc la même
probabilité
Z peut prendre toutes les valeurs de

np
0  np

npq
npq

n  np n1  p 
nq


npq
npq
npq

sa loi est symétrique si p=q=0,5
3

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Chapitre XI – Lois à densité

les valeurs de Z sont réparties
sur l'intervalle

 np
nq 
;



npq npq 


Un graphique, pour n=100 et p=0,4 donne ceci :

Approximation de la loi binomiale
Ceci n'est valable que pour certaines valeurs de
n et p. On considère que l'approximation est
bonne pour :
n≥30, n.p≥5 et n.q≥5

Loibinomiale2.ggb

On remarque qu'en transformant le diagramme à
bâton en histogramme,
(en posant que l'aire d'un rectangle vaudra la
hauteur du bâton)
on peut approximer la somme des aire des
rectangles par l'aire sous la courbe de

f x  

1
e
2

 x2
2

appelée aussi Gaussienne ou courbe en cloche

C'est-à-dire que l'on écrit :

Pa  Z  b   

1 2x
e dx
2
2

b

a

4

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Chapitre XI – Lois à densité

Théorème de Moivre-Laplace :



Exemples
A la calculatrice



Si Xn  B(n,p) et

Alors pour a<b

Lim Pa  Z n  b   

n  

b

a

Exemple :



Pour calculer l'intégrale, on peut utiliser

X  np
Zn  n
npq

1
e
2

 x2
2

CASIO

dx

Menu Stat
Dist / Norm / Ncd

loibinomiale2ex.ggb

Dans le cas précédent, si l'on veut calculer
P(55≤X≤65) on écrit

 55  60
65  60 

P55  X 100  65  P
 Z100 

14
,
4
14
,
4




1, 021

1, 021

1
e
2

x2
2

TI
touche 2nd DISTR
Normalcdf
avec les nombres
-2,1 ; 2,1; 0 et 1
(les deux derniers ne
changent pas)
Le résultat est

le résultat est 0,96

dx 0,693

le calcul exact donnerait 0,73

Exemple 2 : (integraleGauss.ggb)

On sait que 90% des français pensent qu'il est
dangereux de circuler à vélo en ville. On interroge
1000 personnes. Quelle est la probabilité d'en
trouver entre 880 et 920 qui pensent que c'est
dangereux ?
n=1000, p=0,9, npq=90 et np=900

920  900 
 880  900
P880  X 1000  920   P
 Z1000 

90
90




 2 ,1

 2 ,1

1
e
2

 x2
2

dx 0,960
5

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Chapitre XI – Lois à densité

Définition : Fonction de densité



On appelle fonction de densité (ou densité) toute
fonction f définie, continue et positive sur un
intervalle I telle que l'intégrale de f sur I soit égale
à 1.
Si X est une variable aléatoire continue sur [a,b],
la probabilité de l'événement X[a,b], notée
P(a≤X≤b) est égale à l'aire sous la courbe f
sur[a,b]

Pa  X  b    f t dt
b

Propriétés



a

On a alors P(a≤X≤b)=P(a<X<b)=P(a≤X<b)… car

P( X  a) 



a
a

f (x) dx  0

De plus P(X>a) = 1-P(X≤a) (événements contraires)
et P(a<X<b) = P(X<b) – P(x<a)

Lois à densité
Exemple :



Une entreprise produit des dalles en plâtre suivant une
variable aléatoire continue X, en tonnes, qui prend ses
valeurs dans l'intervalle [0 ; 20] avec une densité de
probabilité f définie par : f(x)=0,015x-0,00075x2
Démontrer que f est une densité de probabilité sur [0 ; 20].

On vérifie d'abord que f est positive, définie et
continue sur [0;20] : c'est un polynôme.
Son maximum est atteint en -0,015/0,00075=10,
il vaut f(10)=0,75. Il s'annule en 0 et en 20. Il est
donc bien positif sur [0;20]
On fait ensuite un calcul simple de l'intégrale de f
sur [0;20] à la calculatrice (pour l'instant).
On trouve

 0,0015t  0,00075t dt  1
20

2

0

Calculer la probabilité de l'événement E "La production
quotidienne est supérieure ou égale à 12 tonnes".
20

P12  X  20   f t dt  0,352
12

La probabilité que la production soit supérieure à
12 tonnes est donc de 0,352
Calculer l'espérance mathématique de X.

Définition : Espérance



Soit X une variable aléatoire continue de fonction
de densité f sur un intervalle [a,b]
L'espérance mathématique de X est le réel

E  X    t  f t dt
b

a

La encore, pour l'instant, on fait un calcul simple à
la calculatrice :

E  X    t  f t dt  10
b

a

Cela signifie que en moyenne, l'entreprise produit
10 tonnes de dalles.
6

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Chapitre XI – Lois à densité

Loi uniforme

Définition

Espérance





Soit a et b deux réels tels que a<b
La loi uniforme sur [a,b], notée U([a,b]), est la loi
ayant pour densité de probabilité la fonction
constante f définie sur [a,b] par :

f x  

1
ba

Soit X une variable aléatoire qui suit une loi
uniforme, alors
ab
EX  
2

Preuve



EX   

b

a

t
dt
ba

représente l'aire sous la courbe de
comprise entre x=a et x=b
Elle vaut donc

g x  

1
x
ba

1
b  a  a  b   a  b
2
2
ba ba

Propriété



Soit X une variable aléatoire qui suit une loi
uniforme U([a,b])
xa
Alors, pour tout x de [a,b], on a: P a  X  x  

ba

Preuve



En posant p=1/(b-a)
L'aire du rectangle AXX'A' où A(a,0), A'(a,p),
X(x,0) et X'(x,p) vaut (x-a)*(b-a) donc

Pa  X  x   

x

a

xa
1
dt 
ba
ba
7

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Chapitre XI – Lois à densité

Définition

Loi exponentielle
Espérance





Soit X une variable aléatoire qui suit une loi
exponentielle, alors
1
EX  

Soit  un réel strictement positif.
La loi exponentielle de paramètre  est la loi ayant
pour densité de probabilité la fonction f définie sur
[0;+oo[ par : f x  e  x

 



Preuve (ROC)



x

Lim  te t dt

L'espérance de X est
On pose F(x)=

Propriété



Soit X une variable aléatoire qui suit une loi
exponentielle de paramètre 
Alors, pour tout x de [0;+oo[, on a :
P(X≤x) = 1-e-x
Preuve
x
Soit G  x   e  x dx alors G'(x)=e-x



0

et F(x)=1-e-x, alors F'(x)=e-x
De plus F(0)=G(0)=0, on a donc F(x)=G(x)
et par conséquent

P X  x    e x dx  1  e x
x

0

x

x   0

 t e

 t

0

dt

dont la dérivée est F'(x)=xe-x, et F(0)=0
Posons G(x)=(Ax+B)e-x+C
Alors G'(x)=Ae-x-(Ax+B)e-x
=(A-B-Ax)e-x
Il faut donc A-B=0 et A=-1, soit B=1/
Pour avoir G(0)=0, il faut
(-1.0+1/)e-0+C=0, soit C=-1/
Finalement on a G(x)=F(x) car ces deux fonctions
sont égales en 0 et ont la même dérivée
(G est une primitive de xe-x)

1
1

Lim   x  e x  Lim  xe x  Lim e x  0  0  0
x  
x  
x   


donc

Lim G ( x)  Lim F ( x) 

x  

x  

1


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Chapitre XI – Lois à densité

Durée de vie sans vieillissement



Propriétés


Exemple :
La durée de vie, exprimée en heures, d'un petit composant
électronique d'une carte d'anniversaire musicale est une
variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre
=0,0035.

On dit que la loi exponentielle est une loi de durée
de vie sans vieillissement (ou sans mémoire)
Interprétation

Soit X une variable aléatoire qui suit une loi
exponentielle de paramètre 

calculer la probabilité qu'il tombe en panne avant 300 heures

Alors, pour tout réel t et h positifs, on a :

On doit calculer P(X<300)=1-e-300
=0,65

PX t  X  t  h   P X  h 

Cela signifie que la probabilité de X>t+h sachant que
X>h est égale à la probabilité que X>t


Sachant qu'un composant testé a fonctionné plus de 200
heures, calculer la probabilité qu'il tombe en panne avant
300 heures.

Démonstration
On écrit simplement la définition :

PX t  X  t  h  

P X  t  h    X  t 
P X  t 





P  X  t  h  1  1  e   t  h  e   t  h 
 h




e
P X  t 
1  1  e  t
e  t







 1  1  e  h  P  X  h 



On doit calculer

P200  X  300
P X  200 
P  X  300   P X  200 

1  P X  200 
PX  200  X  300 







1  e 300  1  e  200
e  200  e 300

 1  e 100   0,2953
 200 
 200 
1 1 e
e





Ou bien, à cause de la propriété :

PX  200  X  300  1  PX  200  X  200  100

 1  P X  100
 P X  100

 1  e 100  0,2953

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Chapitre XI – Lois à densité

Loi normale centrée-réduite
calculs

Définition





La loi normale centrée réduite, notée N(0,1) est la
loi ayant pour densité de probabilité la fonction f
définie sur ]-oo;+oo[ par :
 x2

f x  

1
e
2

Du fait de la symétrie de f, on a
P(X≤0) = P(X≥0) = 0,5

2

Calcul de P(a ≤ X ≤ b)

Sur TI, DISTR / Normalcdf( a,b,0,1)
Sur casio STATS / DIST / Norm /Ncd a,b,0,1
Calcul de P(X<a) a<0

Calcul de P(X<a), a>0

Propriétés



La courbe de f a pour maximum 1 en x=0
Elle admet (Oy) comme axe de symétrie

Espérance



Soit X une variable aléatoire qui suit une loi
normale centrée réduite, alors
E(X)=0 et V(X)=1

Calcul inverse

0,5-P(a<X<0)
Calcul de P(X>a) a<0

0,5+P(0<X<a)
Calcul de P(X>a) a>0



Si on veut trouver k tel que P(X<k)=c
Sur TI, on cherche DISTR/ invNorm(c)
Sur Casio STAT / DIST / Norm / InvN
Tail : Left, Area : c
Exemple

P(X<0,7) donne k=0,52

0,5+P(a<X<0)

0,5-P(0<X<a)
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Chapitre XI – Lois à densité

Autres règles de calcul



En posant (t)=P(X≤t). Alors pour tout a et b réels
(-t)=1-(t)
P(X≤a) = P(X≥a) (symétrie)
P(-a≤X≤a) = 2(a)-1

Propriétés de N(0;1)
Théorème (ROC)



Si X suit N(0;1) alors pour tout réel ]0;1[ il
existe un unique réel u>0 tel que
P(-u ≤ X ≤ u) = 1- 

Démonstration



Soit H(x) la fonction de [0;+oo[:
t 2
définie par
x
1
2

Preuves

H x   2

0

2

e

dt

On a pour tout a réel
P(-a ≤ X ≤ a) = H(a) par symétrie
De plus H(0)=0 et H est strictement croissante,
continue et Lim H  x   1
x 0

Soit ]0;1[, alors 1-]0;1[
D'après le théorème des valeurs intermédiaires,
il existe un unique réel de ]0;+oo[, noté u, tel
que H(u)=1-
et donc tel que P(-u ≤ X ≤ u)=H(u)=1-

Cas particuliers (à connaitre)



Si  = 0,05, U0,05=1,96
Si  = 0,01, U0,01=2,56
voir aussi RechercheUalpha.ggb

11

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Chapitre XI – Lois à densité

Déterminer U



A la calculatrice
Résoudre une équation



Pour avoir U=0,05, il faut
P(-U0,05<X<U0,05) = 1-0,05=0,95
soit 2(0,05)-1=0,95
soit (0,05)=1,95/2=0,975

Il s'agit généralement de déterminer des
événements dont on connait la probabilité :

Sur TI, on cherche DISTR/ invNorm(0,975)=1,96
Sur Casio STAT / DIST / Norm / InvN
Tail : Left, Area : 0,975

Sur TI, on cherche DISTR/ invNorm(0,3)
Sur Casio STAT / DIST / Norm / InvN
Tail : Left, Area : 0,3

Déterminer une probabilité conditionnelle



Exemple

Soit X suivant N(0;1)
A: X>1 et B: X<2
On veut calculer PB(A)
P(A n B)=P(1<X<2)
Sur TI, DISTR / Normalcdf( 1,2,0,1)
Sur casio STATS / DIST / Norm /Ncd 1,2,0,1
On trouve 0,1359 environ
P(B) = P(X<2) = 0,5+P(0<X<2)
Sur TI, DISTR / Normalcdf( 0,2,0,1) +0,5
Sur casio STATS / DIST / Norm /Ncd 0,2,0,1 +0,5
On trouve 0,9772
Donc

On sait que P(X≤a) = 0,3. Combien vaut a ?

On trouve a==-0,5244
Inverse Normale (p) donne dans les deux cas
A tel que P(X≤A) = p
Lorsque l'équation n'est pas du type P(X≤A), il faut
transformer en utilisant les méthodes de la diapo
12 pour s'y ramener.
P(X>a) = 0,22  1-P(X≤a) = 0,22
 P(X≤a) = 0,78
On trouve a=0,7721
P(1<X<a) = 0,1  P(X<a)-P(X<1) = 0,1

 P(X<a) = 0,1 + P(X<1)
 P(X<a) = 0,1 + 0,8413
 P(X<a) = 0,9413
On trouve a=1,56

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