ENT integration2 .pdf

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s.friedelmeyer@ac-toulouse.fr , le 09/04/2013

Chapitre XIII - Primitives

Rappels et compléments
Linéarité

Rappels et compléments



Si f et g sont définies, continues et positives sur I,
alors quels que soient a et b de I et quels que
soient A et B réels, on a

Définition :

On complète la définition précédente en
incluant TOUTES les fonctions continues, et
plus seulement les fonctions positives :
Soit f une fonction continue sur un intervalle
I, a et b deux réels de I et F une primitive de f
sur I. (on n'a pas nécessairement a≤b)
L'intégrale de f sur entre a et b est
b
b
la différence F(b)-F(a), notée F x a 
f t dt

  

Propriétés



a

En résumé :

 
a



a

Pour tout aI, si f continue sur I,
f ( x)dx  0
a
Relation de Chasles
S i f est continue sur un intervalle I alors pour
tout a,b,c de I, on a



b

a

c

c

b

a

a



b

a

b

a

a

f ( x)dx  0
b

f ( x)dx   g ( x)dx
a

Fonction définie par une intégrale



Théorème
Soit f une fonction continue et positive sur un
intervalle [a ; b].
La fonction F définie sur [a ; b] par
est dérivable sur [a ; b]
x
et sa dérivée est la fonction f. F x 
f x dx
a
F est donc une primitive de f

    

on en déduit





b

a

f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
b

b

Af ( x)  Bg ( x)dx  A f ( x)dx  B  g ( x)dx

Positivité et ordre
Si f et g sont définies, continues et positives sur
I, avec g(x)≤f(x) sur I
alors quels que soient a > b de I,

Presque toutes les propriétés précédentes liées
aux intégrales de fonctions positives sont
conservées.


b

a

f ( x)dx    f ( x)dx
b

En contrepartie



Si f n'est pas positive, l'intégrale de f ne
représente pas nécessairement une aire.
1

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Chapitre XIII - Primitives

Définition

On appelle primitive de f sur I, une fonction F
dérivable sur I telle que F' = f sur I.

Théorème



Toute fonction continue sur un intervalle I
admet des primitives
Preuve (sur I=[a,b] uniquement)

Primitives
Et

la primitive cherchée FO est définie par
FO(x)=F(x)-F(x0)+y0. (voir méthodes)
Primitives des fonctions usuelles

La lecture inverse du tableau des dérivées
donne les résultats ci-dessous :

Nous avons démontré cela pour les fonctions
positives. Si f est négative avec un minimum
m sur I, g=f+m est positive et on applique
donc le théorème précédent.
Propriétés

Soit f est une fonction continue sur un
intervalle I et F est une primitive de f sur I
alors toutes les primitives de f sur I sont de la
forme Fk(x) = F(x)+K
ET il existe UNE unique primitive FO prenant la
valeur y0 en x0 pour tout x0 de I et y0 réel
preuve

Soit F est une primitive de f, et Fk(x)=F(x)+K,
K réel, alors F'k(x) = F'(x)+0=f(x), et donc
Fk(x) est une primitive de f.
Réciproquement

Soit G une autre primitive de f sur I.
Alors H(x)=G(x)-F(x) a pour dérivée
H'(x)=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0
Donc H est constante sur I, soit H(x)=K réel et
G(x)=F(x)+K=Fk(x)

2

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Chapitre XIII - Primitives

Pour rechercher des primitives on emploie les
méthodes suivantes :
Linéarité

Recherche des primitives
Exemples et méthodes



Déterminer

Si F et G sont des primitives de f et de g, alors
aF+bG est une primitive de af+bg

Formes remarquables



En s'entraînant à repérer les formes
remarquables suivantes on détermine la
plupart des primitives demandées :
Exponentielle

Si u est dérivable sur I, alors une primitive de
f(x)=u'(x)eu(x) est la fonction F(x)=eu(x)
Puissance

Si u est dérivable sur I, et n entier différent de
-1, alors une primitive de f(x)=u'(x)u(x)n est la
fonction (si n<0, il faudra u>0 ou u<0)

F x  

1
n 1
u x 
n 1

Logarithme

Si u est dérivable et strictement positive sur I,
alors une primitive de f(x)= u'(x)/u(x)
est la fonction F(x) = ln(u(x))
Racine carrée

Si u est dérivable et strictement positive sur I,
alors une primitive de f(x)= u'(x)/u(x)
est la fonction F(x) = 2u(x)

3

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Chapitre XIII - Primitives

Valeur moyenne



On appelle valeur moyenne d'une fonction
continue sur I=[a;b] le réel m tel que

1 b
m
f (t )dt  0
b  a a

Interprétation graphique :

L'aire du rectangle de base
[a,b] et de hauteur m
est égale à l'aire sous
la courbe (si f>0)

Autres applications
Exemples



valeur moyenne de la fonction f définie par
f (x)  3x 2  4x  5

sur l'intervalle [0 ; 10].
m

10
1
3 x 2  4 x  5  dx


0
10  0

10
1 3
 x  2 x 2  5 x 
0
10
1
 1000  200  50 
10
 85
Calcul d'intégrales



Calcul d'aire



Si f et g sont deux fonctions continues sur
I=[a;b] de primitives F et G, telles que
f(x)≥g(x), alors
L'aire comprise entre Cf et Cg, x=a et x=b
vaut
b












f
t

g
t
dt

F
x

G
x
a
a
b

4



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