Correction Rattrapage Master2 S3 2012 2013 (1) .pdf


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Université Abdel Hamid Ibn Badis Mostaganem
Faculté des Sciences Exactes et de l’Informatique
Département de Mathématiques-Informatique

Théorie des Opérateurs Linéaires III
Master2 AH

Correction du Rattrapage

Date: Lundi 08 Avril 2013

2012-2013
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1. Voir cours.
2. Considérons l’opérateur de multiplication Mx dé…nit dans L2 (R) par :
(Mx f ) (x) = xf (x) :
(a) Mx est dé…ni sur le domaine
D (Mx ) =

2

f 2 L (R) :

Z

R

x2 jf (x)j2 < 1 :

(b) Mx n’est pas borné. En e¤et, pour la suite de fonctions fn 2 L2 (R) dé…nie par
1=2

fn (x) = (2 (2n!))

xn e

jxj=2

; n = 1; 2; :::;

on a
kfn k = 1
alors que
kMx fn k2 = (2n + 1) (2n + 2) :
(c) Mx est symétrique car
(Mx f; g) = (f; Mx g)
est véri…ée pour tout f; g 2 D (Mx ) :

(d) D (Mx ) est dense dans L2 (R) :En e¤et, l’espace de Schwartz S (R) est contenu
dans D (Mx ) et comme S (R) est dense dans L2 (R) alors D (Mx ) = L2 (R) :

— 2—

(e) Determinons le domaine de l’opérateur adjoint Mx : Pour tout g 2 D (Mx ) ; il
existe g 2 L2 (R) telle que
Z
f (x) [xg (x) g (x)]dx = 0
(1)
R

soit véri…ée pour tout f 2 D (Mx ) : Maintenant, comme toute fonction L2 à support borné appartient à D (Mx ) ; on peut remplacer f par f n dans la condition
(1), avec n étant la fonction caractéristique de l’intervalle ] n; n[ : En utilisant
le fait que D (Mx ) est dense dans L2 (R) on trouve que
xg (x) = g (x) p:p: dans R:
Nous avons g 2 L2 (R) par hypothèse donc g appartient à D (Mx ) :

(f) Mx est-il autoadjoint. Ca découle directement du point précédent car D (Mx ) =
D (Mx ) :


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