CorrectionTD Approximation Polynômiale .pdf

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Université Abdelhamid Ibn Badis-Mostaganem
Faculté des Sciences Exactes et d’Informatique
Département de Mathématiques et Informatique
3ieme Année Licence MA & MF
Matière : Analyse de Fourier
Responsable : Sidi Mohamed Bahri
Correction de la Feuille d’Exercices N 1
Exercise 1 Les trois premiers polynômes de Taylor au point x0 = 0 de la
fonction
1
f (x) = ex cos x + ln x +
:
(1)
2

Fig1. Graphe de la fonction f
P1 (x) = ( ln 2 + 1) + 3x

1

Fig2. Polynôme P1 (x) et f (x) :
P2 (x) = ( ln 2 + 1) + 3x

2x2

Fig3. Polynôme P2 (x) et f (x) :
P3 (x) = ( ln 2 + 1) + 3x

2x2 + 73 x3

2

Fig4. Polynôme P3 (x) et f (x) :
Exercise 2 Le N ieme polynôme de Taylor au point x0 = 0 de la fonction
f (x) = ln (1 + x) :
PN (x) = x

1 2
2x

+ 13 x3

1 4
4x

+

(2)

N +1 1 N
Nx :

+ ( 1)

Exercise 3 (i) Trouvons N 2 N tel que
N
X
xn
n!
n=0

ex

0:015; pour tout x 2 [ 1; 0] :

(3)

Appliquons l’estimation (voir théorème de Taylor)
f (x)

N
X
f (n) (xo)
(x
n!
n=0

n

x0 )

C
jx
(N + 1)!

N +1

x0 j

(4)

avec C la constante qui maximise toutes les dérivés de f sur l’intervalle
[ 1; 0] : donc C = e0 = 1 car pour la fonction f nous avons f (n) (x) = ex
pour tout n.
Maintenant, nous choisissons N tel que
1
1N +1
(N + 1)!
c’est donc N

4:

3

0:015;

(5)

(ii) Montrons que
ex

8
X
xn
n!
n=0

2:8 10

6

; pour tout x 2 [ 1; 0] :

(6)

En e¤ et, pour N = 8 on trouve
1
1
=
= 2: 755 7
(8 + 1)!
9!

10

6

(7)

et (4) implique (6).
(iii) Montrons que

Z

1

x2

e

dx = 0:746824

4 10

6

:

(8)

0

En e¤ et, comme x 2 [ 1; 0], on a
par x2 dans (6), alors
e

x2

8
X

n=0

x2
n!

x2 2 [ 1; 0]; donc, si l’on remplace x

n

2: 755 7

6

10

pour tout x 2 [ 1; 0]:

(9)

D’aprés une proposition (prop5) vue au cours a¢ rmant que l’approximation
uniforme de deux
f et g avec une erreur implique l’approximation
R fonctions
R
des intégrales f et g avec une erreur L (L étant la longueur de
l’intervalle), on aura
2:8 10

6

Z1 X
8
+

x2
n!

Z1 X
8

x2
n!

0 n=0

n

dx

Z1

2

exp

x

dx

2:8 10

6

Z1 X
8
+

0 n=0

0

x2
n!
(10)

Or,

0 n=0

n

dx =

=

"

8
X

x2n+1
( 1)
(2n + 1) n!
n=0

8
X

n

n

( 1)

n=0

=

#1

(11)

0

1
(2n + 1) n!

0:746 824 :

En prenant en considération la petite erreur d’arrondi dans (11), ceci
montre que
Z1
exp x2 dx = 0:746 824 3 10 6 :
(12)
0

4

n

dx:

Exercise 4 (i) Trouvons un polynôme P (x) =
sin x

N
X

PN

n=0

an xn tel que

h
0:1; 8x 2 0;

an xn

n=0

2

i

:

(13)

Appliquons l’estimation (4) avec C la constante qui maximise toutes les
dérivés de f sur l’intervalle 0; 2 : Pour la fonction f nous avons f (n) (x)
1 pour tout n donc C = 1:
Maintenant, nous choisissons N tel que
N +1

1
(N + 1)!
c’est donc N
s’ecrit :

0:1;

2

(14)

4: Par conséquent, le polynôme d’approximation d’ordre 4

P4 (x) = x
et
jsin x

P4 (x)j

1 3
x :
6

h
0:1; 8x 2 0;

(15)

2

i

:

(16)

Fig5. La fonction sin x et son polynôme de Taylor P4 (x) :
(ii) Trouvons une valeur approximative de
Z 1
sin x4 dx;
0

avec une erreur d’au plus 0:1.

5

(17)

Comme x 2 [0; 1], on a x4 2 [0; 1]; donc, si l’on remplace x par x4 dans (16),
alors
h
i
sin x4 P4 x4
0:1; 8x 2 0;
:
(18)
2
D’aprés une proposition (prop5) vue au cours a¢ rmant que l’approximation
uniforme des deux
fonctions
f et g avec une erreur implique l’approximation
R
R
des intégrales f et g avec une erreur L (L étant la longeur de l’intervalle
: ici L = 1), on aura
0:1 +

Z1

4

P4 x

dx

0

avec 0:1 6 = 0:1
Z1

Z1

Z1

4

sin x dx

0

2:

P4 x4 dx + 0:1 ;

(19)

0

Or,
4

P4 x

dx =

0

Z1

x4

1 12
x
dx = 0:19 :
6

(20)

0

Ceci montre que
Z2

sin x4 dx = 0:19

0

6

0:1 :

(21)