2011 arn .pdf


Nom original: 2011_arn.pdfTitre: International Mathematical OlympiadAuteur: IMO

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‫)‪Arabic (Moroccan‬‬
‫‪1‬‬

‫‪Language:‬‬

‫‪Day:‬‬

‫اﻻﺛﻨﲔ ‪2011 -7-18‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪1‬‬
‫ﻟﻜﻞ ﳎﻤﻮﻋﺔ } ‪ A = {a1 , a2 , a3 , a4‬ﻣﻜﻮﻧﺔ ﻣﻦ أرﺑﻌﺔ أﻋﺪاد ﺻﺤﻴﺤﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ و ﳐﺘﻠﻔﺔ ﻣﺜﲎ ﻣﺜﲎ‪ ،‬ﻧﺮﻣﺰ ب‬
‫‪ s A‬ﻟﻠﻤﺠﻤﻮع ‪ a1 + a2 + a3 + a4‬و ﻧﺮﻣﺰ ب ‪ n A‬ﻟﻌﺪد اﻷزواج ) ‪ ( i , j‬ﲝﻴﺚ ‪1 ≤ i < j ≤ 4‬‬

‫و ‪ ai + a j‬ﻳﻘﺴﻢ ‪. s A‬‬
‫ﺣﺪد ا‪‬ﻤﻮﻋﺎت ‪ A‬اﻟﱵ ﲡﻌﻞ ‪ n A‬ﻳﺄﺧﺬ أﻛﱪ ﻗﻴﻤﺔ ﳑﻜﻨﺔ‪.‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ‬

‫‪2‬‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ S‬ﳎﻤﻮﻋﺔ ﻣﻨﺘﻬﻴﺔ ﻣﻦ ﻧﻘﻂ اﳌﺴﺘﻮى وﲢﺘﻮي ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ﻋﻠﻰ ﻧﻘﻄﺘﲔ‪.‬‬
‫ﻧﻔﱰض أن ﻛﻞ ﺛﻼﺛﺔ ﻧﻘﻂ ﻣﻦ ‪ S‬ﻏﲑ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ‪ .‬ﻧﺴﻤﻲ ﻃﺎﺣﻮﻧﺔ اﳍﻮاء اﻟﻌﻤﻠﻴﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ :‬ﺗﺒﺪأ اﻟﻌﻤﻠﻴﺔ ﲟﺴﺘﻘﻴﻢ ‪ l‬ﳝﺮ‬
‫ﺑﻨﻘﻄﺔ وﺣﻴﺪة ‪ P‬ﻣﻦ ‪ ، S‬اﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ‪ l‬ﻳﺪور ﰲ ﻣﻨﺤﻰ ﻋﻘﺎرب اﻟﺴﺎﻋﺔ ﺣﻮل اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ P‬اﻟﱵ ﺗﺴﻤﻰ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪوران‬
‫ﺣﱴ ﻳﻠﺘﻘﻲ ﻷول ﻣﺮة ﻧﻘﻄﺔ أﺧﺮى ‪ Q‬ﻣﻦ ‪ S‬وﺗﺼﺒﺢ ﻫﺬﻩ اﻟﻨﻘﻄﺔ ﺑﺪورﻫﺎ ﻣﺮﻛﺰا ﺟﺪﻳﺪا ﻟﻠﺪوران‪ .‬ﻳﺴﺘﻤﺮ اﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ‪l‬‬

‫ﺑﺎﻟﺪوران ﰲ ﻣﻨﺤﻰ ﻋﻘﺎرب اﻟﺴﺎﻋﺔ و ﻟﻜﻦ‪ ،‬ﺣﻮل اﳌﺮﻛﺰ اﳉﺪﻳﺪ ‪ . Q‬و ﺗﺴﺘﻤﺮ ﻫﺬﻩ اﻟﻌﻤﻠﻴﺔ ﻣﺎ ﻻ‪‬ﺎﻳﺔ ﻣﻦ اﳌﺮات ﲝﻴﺚ‬
‫ﻳﻜﻮن ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪوران داﺋﻤﺎً ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ ‪. S‬‬
‫‪‬ﺑﲔ أﻧﻪ ﳝﻜﻦ اﺧﺘﻴﺎر ﻧﻘﻄﺔ ‪ P‬ﻣﻦ ‪ S‬و ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ‪ l‬ﳛﺘﻮي ﻋﻠﻰ ‪ P‬ﲝﻴﺚ ﺗﺘﻤﻜﻦ اﻟﻄﺎﺣﻮﻧﺔ اﳍﻮاﺋﻴﺔ اﻟﱵ ﺗﺒﺪأ ﺑﺎﳌﺴﺘﻘﻴﻢ‬
‫‪ l‬ﻣﻦ أن ﺗﺴﺘﻌﻤﻞ ﻛﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ ﻧﻘﻂ ‪ S‬ﻛﻤﺮﻛﺰ دوران ﺑﻌﺪد ﻻ‪‬ﺎﺋﻲ ﻣﻦ اﳌﺮات )‪.(une infinité de fois‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪3‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﻦ ‪ ℝ‬ﳓﻮ ‪ ℝ‬ﲝﻴﺚ ‪ f (x + y ) ≤ y f (x ) + f (f (x )) :‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬و ‪ y‬ﻣﻦ ‪. ℝ‬‬
‫ﺑﲔ أن ‪ f (x ) = 0‬ﻟﻜﻞ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ‪. x ≤ 0‬‬
‫‪ ℝ‬ﻳﺮﻣﺰ ‪‬ﻤﻮﻋﺔ اﻷﻋﺪاد اﳊﻘﻴﻘﻴﺔ ‪.‬‬

‫مدة اإلنجاز‪ :‬أربع ساعات ونصف‬
‫تمنح ‪ 7‬نقط عن كل تمرين‬

‫‪Language : Arabic Moroccan‬‬

‫)‪Arabic (Moroccan‬‬
‫‪2‬‬

‫‪Language:‬‬

‫‪Day:‬‬

‫اﻟﺜﻼﺛﺎء ‪2011-7-19‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪4‬‬
‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ n‬ﻋﺪدا ﺻﺤﻴﺤﺎ ﻣﻮﺟﺒﺎ ﻗﻄﻌﺎ‪.‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻣﻴﺰان ذو ﻛﻔﺘﻴﻦ و ‪ n‬أوزان ذات اﻟﻜﺘﻞ ‪ 20‬و ‪ 21‬و‪ ...‬و ‪. 2 n −1‬‬
‫ﻳﺠﺐ أن ﻧﻀﻊ ﺟﻤﻴﻊ اﻷوزان واﺣﺪا ﺗﻠﻮ اﻷﺧﺮ ﻋﻠﻰ ﻛﻔﺘﻲ اﻟﻤﻴﺰان ﺑﺤﻴﺚ ﺗﻜﻮن اﻟﻜﻔﺔ اﻟﻴﻤﻨﻰ داﺋﻤﺎ أﻗﻞ وزﻧﺎ ﻣﻦ‬
‫اﻟﻜﻔﺔ اﻟﻴﺴﺮى ‪.‬ﻣﻦ أﺟﻞ ﻫﺬا اﻟﻬﺪف ﻳﺠﺐ أن ﻧﺨﺘﺎر ﻓﻲ ﻛﻞ ﻣﺮﺣﻠﺔ ﻣﻦ ‪ n‬ﻣﺮاﺣﻞ وزﻧﺎ ﻏﻴﺮ ﻣﻮﺟﻮد ﻋﻠﻰ إﺣﺪى‬
‫ﻛﻔﺘﻲ اﻟﻤﻴﺰان وﻧﻀﻌﻪ ﻋﻠﻰ اﻟﻜﻔﺔ اﻟﻴﺴﺮى أو اﻟﻴﻤﻨﻰ ﻣﻦ اﻟﻤﻴﺰان و ﻧﺴﺘﻤﺮ ﻫﻜﺬا ﺣﺘﻰ ﻧﻨﺘﻬﻲ ﻣﻦ وﺿﻊ ﺟﻤﻴﻊ‬
‫اﻷوزان‪.‬‬
‫ﺣﺪد ﻋﺪد اﻟﻄﺮق اﻟﻤﻤﻜﻨﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﻤﻜﻦ ﻣﻦ إﻧﺠﺎز ﻫﺬﻩ اﻟﻤﺮاﺣﻞ ‪.‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪5‬‬
‫∗‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﻦ ‪ ℤ‬ﻧﺤﻮ ‪. ℕ‬‬

‫ﻧﻔﺘﺮض أﻧﻪ ﻟﻜﻞ ﻋﺪدﻳﻦ ﺻﺤﻴﺤﻴﻦ ‪ m‬و ‪ n‬اﻟﻔﺮق ) ‪ f (m ) − f (n‬ﻳﻘﺒﻞ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ) ‪. f (m − n‬‬

‫ﺑﻴﻦ أﻧﻪ ﻟﻜﻞ ﻋﺪدﻳﻦ ﺻﺤﻴﺤﻴﻦ ‪ m‬و ‪ n‬ﺣﻴﺚ ) ‪ f ( m ) ≤ f (n‬اﻟﻌﺪد ) ‪ f (n‬ﻳﻘﺒﻞ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ) ‪f ( m‬‬
‫∗‬
‫‪ ℤ‬ﻳﺮﻣﺰ ﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ اﻷﻋﺪاد اﻟﺼﺤﻴﺤﺔ و ‪ ℕ‬ﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ اﻷﻋﺪاد اﻟﺼﺤﻴﺤﺔ اﻟﻤﻮﺟﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ‪.‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪6‬‬
‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺜﺎ زواﻳﺎﻩ ﺣﺎدة و ‪ Γ‬اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺤﻴﻄﺔ ﺑﻬﺬا اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪.‬‬
‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ l‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎ ﻣﻤﺎﺳﺎ ﻟﻠﺪاﺋﺮة ‪ Γ‬و ﻟﺘﻜﻦ ‪ l a‬و ‪ l b‬و ‪ l c‬ﻫﻲ ﻣﻤﺎﺛﻼت اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ‪ l‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت‬
‫) ‪ ( BC‬و ) ‪ (CA‬و ) ‪ (AB‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ ‪.‬‬
‫ﺑﻴﻦ أن اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺤﻴﻄﺔ ﺑﺎﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﻤﺤﺪد ﺑﺎﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت ‪ l a‬و ‪ l b‬و ‪ l c‬ﻣﻤﺎﺳﺔ ﻟﻠﺪاﺋﺮة ‪. Γ‬‬

‫مدة اإلنجاز‪ :‬أربع ساعات ونصف‬
‫تمنح ‪ 7‬نقط عن كل تمرين‬

‫‪Language : Arabic Moroccan‬‬


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