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— Table of contents —

3

Problem 1. Let a, b, c be positive real numbers. Prove that
r
a b
a2 + b2 + c2
c
+ + ≥3
.
b
c a
ab + bc + ca
(Vo Quoc Ba Can)
Solution. Notice that if a ≥ b ≥ c then

 

a b c
b
c a
(a − b)(a − c)(c − b)
+ +
−
+ +
=
≤0
b c a
a b c
abc
so it’s enough to consider one case a ≥ b ≥ c. By squaring two sides, we get
X a2
cyc

b2

+

X 2b
cyc

a

≥

9(a2 + b2 + c2 )
.
ab + bc + ca

Moreover, paying attention to following identities
b
c a
(b − c)2 (a − b)(a − c)
+ + −3=
+
a b c
bc
ac
a2 b2
c2
(b − c)2(b + c)2
(a2 − b2)(a2 − c2 )
+ 2 + 2 −3=
+
2
2
2
b
c
a
b c
a2 b2
and a2 + b2 + c2 − (ab + bc + ca) = (b − c)2 + (a − b)(a − c), so we can rewrite this
inequality to (b − c)2 M + (a − b)(a − c)N ≥ 0 with
M=
N=

2
9
(b + c)2
−
+
;
bc
b2 c2
ab + bc + ca

2
9
(a + b)(a + c)
−
+
;
2
2
ac
a b
ab + bc + ca

If b − c ≥ a − b then 2(b − c)2 ≥ (a − b)(a − c). Certainly, we have
M ≥

6
9
−
≥0;
bc ab + bc + ca

M + 2N ≥

6
18
−
≥0;
bc ab + bc + ca

So we can conclude that
M (b − c)2 + N (a − b)(a − c) ≥

1
(a − b)(a − c)(M + 2N ) ≥ 0.
2

Now suppose that b − c ≤ a − b, then 3b ≤ a + c. Certainly M ≥ 0 and
√
√
2
2
a+b+c
3
( 2 + 3)2
9
N≥
≥
+
+
≥
>
.
2
ac
ab
ac ab
ac + ab
ab + bc + ca
This ends the proof. The equality holds for a = b = c.



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