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E3A 2013 MP B .pdf



Nom original: E3A_2013_MP_B.pdf

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e3a
Épreuve de mathématiques B MP

1

Exercice no 1
On note A une matrice carrée d’ordre n > 0 à coefficients complexes, In est la matrice identité
carrée d’ordre n > 0 ayant des 1 sur la diagonale et des zéros ailleurs.
Le noyau et l’image d’une matrice désignent respectivement le noyau et l’image de l’application
linéaire canoniquement associée à cette matrice.
On considère la matrice MA carrée d’ordre 2n à coefficients complexes définie par blocs de la
façon suivante :


0 In
MA =
.
A 0


X
1. Soit ϕ l’application qui à tout vecteur X de Cn associe le vecteur
de C2n .
0
(a) Montrer que ϕ est une application linéaire.
(b) Montrer que ϕ est bijective du noyau de la matrice A vers le noyau de la matrice MA .
Quelle relation en déduit-on entre les dimensions de ker(MA ) et de ker(A) ?
(c) En déduire le rang de la matrice MA en fonction du rang de la matrice A. Citer le théorème
utilisé.
2. On suppose, dans cette question, que la matrice A est diagonalisable et inversible.
(a) Exprimer la matrice MA2 en fonction de A.
(b) Démontrer que la matrice MA2 est diagonalisable.
(c) Montrer que la matrice MA2 est inversible.
(d) En déduire, en citant le théorème du cours utilisé, que la matrice MA est diagonalisable.
3. On suppose, dans cette question, que la matrice MA est diagonalisable.
(a) Démontrer que Im (MA ) = Im (MA2 ).
(b) En déduire ker(MA ) = ker(MA2 ).
(c) Montrer que
A est inversible (indication : pour X ∈ ker A, on pourra considérer
la matrice

0
le vecteur
).
X
(d) Démontrer que la matrice A est diagonalisable.
4. Que peut-on déduire des questions 2) et 3) ?

2/4

Exercice no 2
X x2n
1. (a) Déterminer le rayon de convergence de la série entière réelle :
.
2n + 1
+∞
X
x2n
(b) On note S(x) sa somme
. Préciser son ensemble de définition I.
2n
+
1
n=0
2. (a) Démontrer que la fonction x 7−→ xS(x) est dérivable sur I et donner une expression simple
de sa dérivée.
b
a
1
+
,
=
(b) Déterminer deux nombres réels a et b tels que ∀x ∈ R r {−1, 1} ,
2
1−x
1−x 1+x
en déduire que


1
1+x
∀x ∈ I, xS(x) = ln
.
2
1−x
+∞
X
x2n
3. (a) Montrer, en énonçant le théorème du cours utilisé, que l’application x 7−→
est
2n + 1
n=0
intégrable sur ]0, 1[ et que
+∞
1X

Z
0

n=0
1

Z
(b) En déduire que l’intégrale
0
1

Z
0

Z

+∞

X
x2n
dx =
2n + 1
n=0


1
ln
2x

1
ln
2x



1+x
1−x

1+x
1−x

Z

1

0

x2n
dx.
2n + 1


dx est convergente et que


dx =

+∞
X
n=0

1
.
(2n + 1)2

1

ln t
dt existe.
4. Montrer que l’intégrale I =
2
0 1−t
ZZ
dxdy
5. Calculer J =
, où ∆ = {(x, y) ∈ [0, 1]2 , 0 6 y 6 x}.
2
2
∆ (1 + x )(1 + y )
6. On admet la convergence de l’intégrale suivante :
Z

π/4

L=
0

ln(2 sin2 θ)
dθ.
2 cos 2θ

π/4

ln(2 cos2 θ)
dθ est convergente.
2 cos 2θ
0
7. On admet que les intégrales J et K sont égales.
Z

Montrer que l’intégrale K =

(a) Exprimer K + L en fonction de I.
(b) Exprimer K − L en fonction de I.
(c) En déduire la valeur de l’intégrale I.
8. En déduire, à l’aide des questions précédentes, la somme de la série

+∞
X
n=0

3/4

1
.
(2n + 1)2

Exercice no 3
x2
y2
1. On sait qu’une hyperbole H admet une équation de la forme 2 − 2 = 1 dans un repère
a
b

a>0




orthonormé R = (O, ı ,  ) avec
.
b>O
On rappelle qu’une hyperbole est dite équilatère lorsque ses asymptotes sont perpendiculaires.
Montrer que l’hyperbole H est une hyperbole équilatère si et seulement si a = b. On considère
que cette hypothèse est maintenant réalisée.

− →

2. Montrer qu’il existe un repère orthonormé R0 = (O, I , J ) dans lequel H admet une équation
de la forme XY = k avec k 6= 0.
3. On considère quatre points A, B, C, D, distincts deux à deux de l’hyperbole équilatère H situés
sur un même cercle C de centre Ω(α, β)R0 et de rayon r > 0.
(a) Donner une équation du cercle C dans le repère R0 .
(b) Montrer que les abscisses XA , XB , XC , XD des points A, B, C, D dans le repère R0 vérifient
une équation polynomiale de degré quatre.
(c) Montrer que le produit de leurs abscisses dans le repère R0 est constant.
4. La condition obtenue à la question 3c est-elle suffisante pour affirmer que les quatre points
A, B, C, D sont sur un même cercle ?

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