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Nom original: corrigé bac 2003.pdf
Titre: Microsoft Word - Document1
Auteur: yassine

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‫اﻣﺘﺤﺎن ﻳﻮﻧﻴﻮ‪2003‬‬

‫اﻟﺤـــﻞ‬
‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ‪1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ -1‬ﻧﺤﺴﺐ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﻤﻜﺎﻣﻠﺔ ﺑﺎﻷﺟﺰاء ‪I = ∫ ln ( x ) dx‬‬
‫‪1‬‬

‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dx = [ x ln x ]1 − ∫ dx = [ x ln x ]1 − [ x ]1 = 2ln 2 − 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬

‫‪ -2‬أﺡﺴﺐ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ‪x e x dx‬‬

‫‪ln 4‬‬

‫‪∫0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫× ‪I = ∫ ln ( x ) dx = [ x ln x ]1 − ∫ x‬‬
‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫) ﻳﻤﻜﻦ وﺿﻊ ‪( t = e x‬‬

‫ﻟﻴﻜﻦ ]‪x ∈ [ 0;ln 4‬‬
‫ﻧﻀﻊ‬

‫‪2‬‬
‫‪dx 2‬‬
‫أي ‪dx = dt‬‬
‫‪ t = e x‬وﻣﻨﻪ ‪ x = 2ln t‬و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ =‬
‫‪t‬‬
‫‪dt t‬‬

‫‪t = 1‬‬
‫‪ x =0‬‬
‫‪⇔‬‬
‫‪‬‬
‫‪t = 2‬‬
‫‪x = ln 4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫إذن ‪x e x dx = ∫ ( 2ln t ) × t × dt = 4∫ ln (t ) dt = 4I = 8ln 2 − 4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪t‬‬

‫‪ln 4‬‬

‫‪∫0‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ‪2‬‬
‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ Ω‬آﻮن اﻹﻣﻜﺎﻧﻴﺎت‬

‫‪ -1‬ﻧﺤﺴﺐ ) ‪ p ( A‬و ) ‪p ( B‬‬
‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ " : A‬ﻟﻠﻜﺮﺕﻴﻦ اﻟﻤﺴﺤﻮﺑﺘﻴﻦ ﻧﻔﺲ اﻟﻠﻮن"‬

‫‪cardA C 62 + C 22 15 + 1 16 4‬‬
‫= ) ‪p (A‬‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫‪card Ω‬‬
‫‪28‬‬
‫‪28 7‬‬
‫‪C 82‬‬
‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ " : B‬ﺟﺪاء اﻟﻌﺪدﻳﻦ اﻟﻤﺴﺠﻠﻴﻦ ﻋﻠﻰ اﻟﻜﺮﺕﻴﻦ اﻟﻤﺴﺤﻮﺑﺘﻴﻦ ﻣﻨﻌﺪم "‬

‫‪cardB C 42 + C 41 × C 41 6 + 16 22 11‬‬
‫= ) ‪p (B‬‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫‪card Ω‬‬
‫‪28‬‬
‫‪28 14‬‬
‫‪C 82‬‬
‫‪ -2‬ﻧﺤﺪد ﻗﺎﻧﻮن اﺡﺘﻤﺎل اﻟﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻲ ‪.X‬‬

‫}‪X ( Ω ) = {0;1; 2;3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫=‬
‫‪28 14‬‬

‫‪12 3‬‬
‫=‬
‫‪28 7‬‬
‫‪4+3 1‬‬
‫=‬
‫‪28‬‬
‫‪4‬‬

‫=‬

‫=‬

‫‪C 42‬‬

‫=‬

‫‪C 82‬‬

‫‪C 41 × C 31‬‬
‫‪C 82‬‬

‫‪C 41 × C 11 + C 32‬‬
‫‪C 82‬‬
‫‪3‬‬
‫‪28‬‬

‫=‬

‫=‬

‫=‬

‫‪C 31 × C 11‬‬
‫‪C 82‬‬

‫) ‪card ( X = 0‬‬

‫=‬

‫‪card Ω‬‬

‫)‪card ( X = 1‬‬
‫‪card Ω‬‬

‫) ‪card ( X = 2‬‬
‫‪card Ω‬‬

‫=‬

‫= )‪p ( X = 0‬‬

‫= )‪p ( X = 2‬‬

‫)‪card ( X = 3‬‬
‫‪card Ω‬‬

‫= )‪p ( X = 1‬‬

‫= )‪p ( X = 3‬‬

‫ﻗﺎﻧﻮن اﺡﺘﻤﺎل ‪X‬‬
‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬
‫‪28‬‬

‫‪1‬‬
‫‪4‬‬

‫‪3‬‬
‫‪7‬‬

‫‪3‬‬
‫‪14‬‬

‫‪xi‬‬

‫)‬

‫‪p (X = x i‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ‪3‬‬

‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪mz 2 − 2z + m = 0‬‬

‫‪1+ i‬‬
‫‪ -1‬ﻧﺒﻴﻦ أن ﺡﻠﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ) ‪ ( E‬هﻤﺎ‬
‫‪m‬‬

‫∈‪z‬‬
‫=' ‪z‬‬

‫‪(E ) :‬‬
‫‪1− i‬‬
‫و‬
‫‪m‬‬

‫اﻟﻤﻤﻴﺰ اﻟﻤﺨﺘﺼﺮ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ) ‪ ( E‬هﻮ ‪= 1 − 2 = −1 = i 2‬‬
‫وﻣﻨﻪ‬

‫‪1+ i‬‬
‫‪m‬‬

‫=' ‪z‬‬

‫‪1− i‬‬
‫و‬
‫‪m‬‬

‫'‪z‬‬
‫‪ -2‬ﻧﻜﺘﺐ آﻞ ﻣﻦ ' ‪ z‬و " ‪ z‬و‬
‫"‪z‬‬

‫‪2‬‬

‫=" ‪z‬‬

‫‪ d = 1 − m ⋅ m = 1 − m‬ﻷن ‪m = 2‬‬

‫=" ‪z‬‬

‫ﻋﻞ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﺘﻠﺜﻲ‪.‬‬

‫‪π‬‬
‫‪‬‬
‫;‪2‬‬
‫‪1 + i ‬‬
‫‪4   π‬‬
‫‪‬‬
‫=' ‪ z‬و‬
‫=‬
‫‪= 1; − α ‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ 2;α   4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪π‬‬
‫‪‬‬
‫;‪2‬‬
‫‪−‬‬
‫‪1 − i ‬‬
‫‪4   π‬‬
‫‪‬‬
‫=" ‪z‬‬
‫=‬
‫‪= 1; − − α ‬‬
‫‪m‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ 2;α ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪ π‬‬
‫‪‬‬
‫‪1; − α ‬‬
‫‪‬‬
‫'‪z‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ = 1; π ‬‬
‫‪= ‬‬
‫‪z"  π‬‬
‫‪  2 ‬‬
‫‪α‬‬
‫;‪1‬‬
‫‪−‬‬
‫‪−‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ -3‬ﻧﺒﻴﻦ أن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ‪ OABC‬ﻣﺮﺑﻊ ‪.‬‬
‫' ‪ z‬و " ‪ z‬و " ‪ z '+ z‬أﻟﺤﺎق اﻟﻨﻘﻂ ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ‬

‫] ‪[ 2π‬‬

‫‪−2i‬‬
‫‪−π‬‬
‫' ‪z "− z‬‬
‫≡ ) ‪≡ arg m ≡ arg(−i‬‬
‫‪arg OC ; AB ≡ arg‬‬
‫‪2‬‬
‫' ‪z "+ z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪m‬‬

‫)‬

‫(‬

‫إذن ) ‪(OC ) ⊥ ( AB‬‬
‫‪−2i‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫= " ‪ OC = z '+ z‬و ‪= 2‬‬
‫=‬
‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪= 2‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬

‫= ' ‪AB = z "− z‬‬

‫وﻣﻨﻪ ‪AB = OC‬‬
‫إذن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ‪ OABC‬ﻣﺮﺑﻊ ‪.‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ‪4‬‬
‫‪ -1‬ﺡﺪد ﺕﻤﺜﻴﻼ ﺑﺎراﻣﺘﺮﻳﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪. ( D‬‬
‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( D‬ﻣﺎر ﻣﻦ ) ‪ A ( 2;0;2‬و ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪ ( P‬ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪. x + y − z + 3 = 0‬‬

‫وﻣﻨﻪ اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ )‪ u (1;1; −1‬اﻟﻤﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻰ ) ‪ ( P‬ﻣﻮﺟﻬﺔ ﻟـ ) ‪( D‬‬

‫إذن‬

‫‪x = 2 + t‬‬
‫‪  y = t‬ﺕﻤﺜﻴﻞ ﺑﺎراﻣﺘﺮﻳﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪( D‬‬
‫‪‬‬
‫‪z = 2 − t‬‬

‫∈‪t‬‬

‫‪ -2‬ﻧﺤﺪد إﺡﺪاﺙﻴﺎت ‪. B‬‬

‫‪= 2 +t‬‬
‫‪x = 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪=t‬‬
‫‪y =1‬‬
‫‪⇔‬‬
‫‪= 2 −t‬‬
‫‪z =1‬‬
‫‪−3= 0‬‬
‫‪ t = 1‬‬

‫‪= 2 +t‬‬
‫‪=t‬‬
‫‪= 2 −t‬‬

‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪y‬‬
‫‪⇔‬‬
‫‪z‬‬
‫‪+ y −z −3= 0‬‬
‫‪3t‬‬

‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪y‬‬
‫‪B (x ; y ;z ) ∈(D ) ∩ (P ) ⇔ ‬‬
‫‪z‬‬
‫‪ x‬‬

‫إذن )‪B ( 3;1;1‬‬

‫) ‪(S‬‬

‫‪ -3‬أ‪ -‬ﻧﺤﺪد ﺵﻌﺎع اﻟﻔﻠﻜﺔ‬
‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪= 3‬‬

‫‪2+0−2−3‬‬
‫‪12 + ( −1) + 12‬‬
‫‪2‬‬

‫= ) ) ‪AB = d ( A ; ( P‬‬
‫‪2‬‬

‫‪3 + 22 = 7‬‬

‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ r‬ﺵﻌﺎع اﻟﻔﻠﻜﺔ‬
‫ب‪ -‬ﻧﺤﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺕﻴﺔ ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ‬

‫=‪r‬‬

‫) ‪(S‬‬

‫‪( S ) : ( x − 2 )2 + y 2 + ( z − 2 ) = 7‬‬
‫‪( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 4x − 4z + 1 = 0‬‬
‫اﻟﻤﺴﺄﻟﺔ‬

‫(‬

‫)‬

‫‪ f ( x ) = ln 1 − x 3 ; x ≺ 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪f ( x ) = 4x x − 3x 2 x ≥ 0‬‬
‫‪ - 1‬أ‪ -‬ﻧﺒﻴﻦ أن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ ‪.0‬‬

‫‪; f ( 0) = 0‬‬

‫‪lim+ f ( x ) = lim+ 4x x − 3x 2 = 0‬‬

‫‪x →0‬‬

‫‪x →0‬‬

‫(‬

‫)‬

‫; ‪lim− f ( x ) = lim− ln 1 − x 3 = 0‬‬
‫‪x →0‬‬

‫) ‪ lim f ( x ) = lim f ( x ) = f ( 0‬اذن ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ ‪.0‬‬
‫‪x →0 −‬‬

‫‪x →0 +‬‬

‫ب‪ -‬ﻧﺒﻴﻦ أن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺵﺘﻘﺎق ﻓﻲ ‪0‬‬

‫‪x x − 3x 2‬‬
‫‪= lim+‬‬
‫‪= lim+ x − 3x = 0‬‬
‫‪x →0‬‬
‫‪x →0‬‬
‫‪x‬‬

‫) ‪(t = − x‬‬
‫‪3‬‬

‫إذن‬

‫‪3 2‬‬

‫‪t =0‬‬

‫× ) ‪) = lim ln (1 + t‬‬
‫‪t‬‬

‫‪+‬‬

‫(‬

‫‪ln 1 − x 3‬‬

‫‪t →0‬‬

‫‪x‬‬

‫‪= lim−‬‬
‫‪x →0‬‬

‫)‪f ( x ) − f ( 0‬‬
‫‪x −0‬‬
‫)‪f ( x ) − f ( 0‬‬
‫‪x −0‬‬

‫‪lim‬‬

‫‪x →0 +‬‬

‫‪lim−‬‬

‫‪x →0‬‬

‫‪ f‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺵﺘﻘﺎق ﻓﻲ ‪ 0‬و ‪f ' ( 0 ) = 0‬‬

‫‪ -2‬ﻧﺒﻴﻦ أن ‪ f‬ﺕﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻦ [‪ ]−∞;0‬و [∞‪ [1; +‬و ﺕﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ]‪. [ 0;1‬‬
‫*‬

‫)‬

‫(‬

‫‪− 6x = 4 x + 2 x − 6 x = 6 x 1 − x‬‬

‫‪2x‬‬
‫‪x‬‬

‫‪∀x ∈ ]0; +∞[ f ' ( x ) = 4 x +‬‬

‫‪x →0‬‬

‫(‬

‫إﺵﺎرة ) ‪ f ' ( x‬ﻋﻠﻰ [∞‪ ]0;+‬هﻲ إﺵﺎرة )‬

‫‪. 1− x‬‬

‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ ∀x ∈ [ 0;1] 1 − x ≥ 0‬وﻣﻨﻪ ‪ f‬ﺕﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ]‪. [ 0;1‬‬
‫‪ ∀x ∈ [1; +∞[ 1 − x ≤ 0‬و ﻣﻨﻪ‬
‫*‬

‫‪−3x 2‬‬
‫= ) ‪f '( x‬‬
‫‪1− x 3‬‬
‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪0‬‬
‫إذن‬

‫‪ f‬ﺕﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻋﻠﻰ [∞‪[1;+‬‬

‫[‪∀x ∈ ]−∞;0‬‬

‫‪ ∀x ∈ ]−∞;0[ −3x 2 ≺ 0 ; 1 − x 3‬وﻣﻨﻪ ‪0‬‬

‫) ‪∀x ∈ ]−∞;0[ f ' ( x‬‬

‫‪ f‬ﺕﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻋﻠﻰ [‪]−∞;0‬‬

‫‪ -3‬أ‪ -‬ﻧﺤﺴﺐ ) ‪lim f ( x‬‬

‫∞‪x →−‬‬

‫;‬

‫)‬

‫‪. lim f ( x‬‬
‫∞‪x →+‬‬

‫‪ 4‬‬
‫‪‬‬
‫∞‪− 3  = −‬‬
‫‪lim f ( x ) = lim x 2 ‬‬
‫∞‪x →+‬‬
‫∞‪x →+‬‬
‫‪ x‬‬
‫‪‬‬

‫(‬

‫)‬

‫∞‪lim f ( x ) = lim ln 1 − x 3 = +‬‬

‫∞‪x →−‬‬

‫∞‪x →−‬‬

‫)‬

‫ب‪ -‬ﻧﺘﺤﻘﻖ ﻣﻦ أﻧﻪ ﻟﻜﻞ ‪; x ≺ 0‬‬

‫(‬

‫‪ln 1 − x −3‬‬
‫‪x‬‬

‫‪+‬‬

‫) ‪ln ( − x‬‬
‫‪x‬‬

‫‪=3‬‬

‫) ‪f (x‬‬
‫‪x‬‬

‫ﻟﻴﻜﻦ [‪x ∈ ]−∞;0‬‬

‫) ‪) = ln (1 − x ) = f ( x‬‬
‫‪3‬‬

‫‪x‬‬

‫) ‪(1 − x −3‬‬

‫‪x‬‬

‫‪3‬‬

‫‪x‬‬

‫‪) = ln ( −x ) + ln (1 − x ) = ln ( −x‬‬
‫‪−3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪x‬‬

‫ج‪ -‬أدرس اﻟﻔﺮﻋﻴﻦ اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻴﻴﻦ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪. (C‬‬

‫∞‪lim f ( x ) = −‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫‪ 4‬‬
‫‪‬‬
‫‪= lim x ‬‬
‫; ∞‪− 3  = −‬‬
‫‪x →+∞  x‬‬
‫‪‬‬

‫) ‪f (x‬‬
‫‪x‬‬

‫‪lim‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫إذن ) ‪ (C‬ﻳﻘﺒﻞ ﻓﺮﻋﺎ ﺵﻠﺠﻤﻴﺎ ﻓﻲ اﺕﺠﺎﻩ ﻣﺤﻮر اﻷراﺕﻴﺐ‬

‫∞‪lim f ( x ) = +‬‬

‫∞‪x →−‬‬

‫(‬

‫)‬

‫‪1‬‬
‫‪× ln 1 − x −3 = 0‬‬
‫‪x‬‬

‫‪+‬‬

‫) ‪ln ( − x‬‬
‫‪x‬‬

‫‪= lim 3‬‬
‫∞‪x →−‬‬

‫) ‪f (x‬‬
‫‪x‬‬

‫‪lim‬‬

‫∞‪x →−‬‬

‫إذن ) ‪ (C‬ﻳﻘﺒﻞ ﻓﺮﻋﺎ ﺵﻠﺠﻤﻴﺎ ﻓﻲ اﺕﺠﺎﻩ ﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺹﻴﻞ‬
‫‪ -4‬ﻧﻨﺸﺊ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪. (C‬‬

‫‪16‬‬
‫‪9‬‬

‫= ‪x‬‬

‫(‬

‫)‬

‫‪4x x − 3x 2 = 0 ⇔ x x 4 − 3 x = 0 ⇔ x = 0 ou‬‬

‫)‬

‫(‬

‫‪−3x 2 + x 3‬‬

‫) ‪(1 − x‬‬

‫‪3 2‬‬

‫= ) ‪∀x ∈ ]−∞;0[ f "( x‬‬

‫ﻋﻠﻰ [‪ ]−∞;0‬اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C‬ﻳﻘﺒﻞ ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻌﻄﺎف ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ذات اﻷﻓﺼﻮل ‪− 3 2‬‬

‫(‬

‫‪ln 1 − x −3‬‬
‫‪x‬‬

‫‪+‬‬

‫) ‪ln ( − x‬‬
‫‪x‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ -5‬أ‪ -‬ﻧﺒﻴﻦ أن ‪ h‬ﺕﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ [‪ ]−∞;0‬ﻧﺤﻮ ﻣﺠﺎل ‪ J‬ﻳﺠﻴﺐ ﺕﺤﺪﻳﺪﻩ ‪.‬‬
‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ h‬ﻗﺼﻮر اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل [‪ ]−∞;0‬و ﻣﻨﻪ‬

‫‪ h‬ﻣﺘﺼﻠﺔ و ﺕﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ [‪]−∞;0‬‬

‫و [∞‪ h (]−∞;0[) = ]0; +‬وﻣﻨﻪ ‪ h‬ﺕﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ [‪ ]−∞;0‬ﻧﺤﻮ اﻟﻤﺠﺎل [∞‪J = ]0; +‬‬

‫ب‪ -‬ﺡﺪد )‬

‫‪ h −1 ( x‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪. J‬‬

‫ﻟﻴﻜﻦ [∞‪ x ∈ ]0; +‬و [‪y ∈ ]−∞;0‬‬
‫‪h −1 ( x ) = y ⇔ h ( y ) = x‬‬

‫)‬

‫(‬

‫‪⇔ ln 1 − y 3 = x‬‬
‫‪⇔ y 3 = 1−e x‬‬
‫) [∞‪x ∈ ]0; +‬‬
‫إذن‬

‫[‪( y ∈ ]−∞;0‬‬

‫‪h −1 ( x ) = y ⇔ y = − 3 e x − 1‬‬
‫[∞‪∀x ∈ ]0; +‬‬

‫‪h −1 ( x ) = − 3 e x − 1‬‬

‫‪ -6‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (u n‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ‪:‬‬

‫‪4‬‬
‫‪9‬‬
‫أ‪-‬‬

‫‪4‬‬
‫ﻧﺒﻴﻦ ﺑﺎﻟﺘﺮﺟﻊ أن ‪≤ u n ≤ 1‬‬
‫‪9‬‬

‫= ‪ u 0‬و ‪u n +1 = 4u n u n − 3u n2‬‬

‫∈ ‪∀n‬‬

‫∈ ‪∀n‬‬

‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫ﻣﻦ أﺟﻞ ‪ n = 0‬ﻟﺪﻳﻨﺎ = ‪ u 0‬إذن ‪≤ u 0 ≤ 1‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫ﻟﻨﻔﺘﺮض أن ‪ ≤ u n ≤ 1‬ﻟﻨﺒﻴﻦ أن ‪≤ u n +1 ≤ 1‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫‪4‬‬
‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ f‬ﺕﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻋﻠﻰ ]‪ [ 0;1‬وﻣﻨﻪ )‪f ( ) ≤ f (u n ) ≤ f (1‬‬
‫‪9‬‬
‫‪4 16‬‬
‫‪4‬‬
‫=) ( ‪f‬‬
‫و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ ≤ u n +1 ≤ 1‬ﻷن ‪ f (1) = 1‬و‬
‫‪9‬‬
‫‪27‬‬
‫‪9‬‬
‫‪4‬‬
‫إذن ‪≤ u n ≤ 1‬‬
‫‪9‬‬

‫‪4 16‬‬
‫;‬
‫≺‬
‫‪9 27‬‬

‫∈ ‪∀n‬‬

‫ﻧﺒﻴﻦ أن اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (u n‬ﺕﺰاﻳﺪﻳﺔ‪.‬‬

‫ب‪-‬‬

‫(‬
‫)‪− 1‬‬

‫)‬

‫‪u n +1 − u n = 4u n u n − 3u n2 − u n = u n −3u n + 4 u n − 1‬‬

‫‪4‬‬
‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪≤ u n ≤ 1‬‬
‫‪9‬‬

‫‪un‬‬

‫()‬

‫∈ ‪∀n‬‬

‫(‬

‫‪= u n −3 u n + 1‬‬

‫‪1 2‬‬
‫∈ ‪ ∀n‬وﻣﻨﻪ ‪≺ ≤ u n ≤ 1‬‬
‫‪3 3‬‬

‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪u n − 1 ≤ 0 ; −3 u n + 1 ≺ 0‬‬
‫إذن ‪u n +1 − u n ≥ 0‬‬

‫∈ ‪∀n‬‬
‫وﻣﻨﻪ ) ‪ (u n‬ﺕﺰاﻳﺪﻳﺔ‪.‬‬

‫∈ ‪∀n‬‬

‫ج‪ -‬ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ أن اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (u n‬ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ ﺙﻢ أﺡﺴﺐ ﻧﻬﺎﻳﺘﻬﺎ‪.‬‬
‫ﺑﻤﺎ أن ) ‪ (u n‬ﺕﺰاﻳﺪﻳﺔ و ﻣﻜﺒﻮرة ﻓﺎن ) ‪ (u n‬ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ‪.‬‬

‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ) ‪u n +1 = f (u n‬‬

‫‪ 9  9 ‬‬
‫‪4 ‬‬
‫‪;1‬‬
‫ﻋﻠﻰ‬
‫ﻣﺘﺼﻠﺔ‬
‫‪f‬‬
‫و‬
‫‪f‬‬
‫‪‬‬
‫∈ ‪ ∀n‬و ‪ ;1  ⊂  ;1‬‬
‫‪ 9 ‬‬
‫‪4  4 ‬‬

‫‪4 ‬‬
‫‪ lim u n‬هﻮ ﺡﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ f ( l ) = l‬ﻓﻲ ‪ 9 ;1‬‬

‫)‬

‫‪f ( l ) = l ⇔ 4l l − 3l 2 − l = 0‬‬

‫‪l −l = 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪9‬‬

‫= ‪l‬‬

‫()‬

‫‪l = 1 ou‬‬

‫‪4 ‬‬
‫وﺡﻴﺚ ‪ l ∈  ;1‬ﻓﺎن ‪l = 1‬‬
‫‪9 ‬‬

‫(‬

‫‪⇔ l −3 l + 1‬‬
‫‪⇔ l = 0 ou‬‬

‫وﻣﻨﻪ ‪lim u n = 1‬‬




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