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corrigé bac 2006 .pdf



Nom original: corrigé bac 2006.pdf
Titre: Microsoft Word - examen national corexctio
Auteur: cherif ali

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‫اﻷﺳﺘﺎذ ‪ :‬ﻋﻠﻲ اﻟﺸﺮﻳﻒ‬
‫ﻧﻴﺎﺑﺔ اﻟﺨﻤﻴﺴﺎت‬
‫‪cherifalix@yahoo.fr‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻷول ‪:‬‬
‫‪ ( 1‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪:‬‬

‫ﺗﺼﺤﻴﺢ اﻹﻣﺘﺤﺎن اﻟﻮﻃﻨﻲ اﻟﻤﻮﺣﺪ ﻟﻤﺎدة اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت‬
‫اﻟﺪورة اﻟﻌﺎدﻳﺔ ‪2006‬‬

‫‪ ( 2‬أ ‪ -‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪y ''− 6y '+ 9y = 0‬‬

‫ﻟﺪﻳﻨﺎ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﻴﺰة هﻲ ‪ r 2 − 6r + 9 = 0 :‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ ∆ ' = 9 − 9 = 0 :‬إذن ‪r = 3 :‬‬
‫إذ ن ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ هﻲ ‪ y(x) = (α + β x)e3x :‬ﺣﻴﺚ ‪(α, β) ∈ IR 2‬‬
‫‪ ( 2‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪:‬‬

‫أ ‪ -‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ u‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ IR‬ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪u(x) = x 2e3x :‬‬

‫اﻟﺪاﻟﺔ ‪ u‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻺﺷﺘﻘﺎق ﻣﺮﺗﻴﻦ ﻋﻠﻰ ‪ IR‬ﺑﺤﻴﺚ ‪u '(x) = (2x + 3x 2 )e3x :‬‬

‫و ‪ u ''(x) = (9x 2 + 12x + 2)e3x‬ﻧﺠﺪ ‪u ''(x) − u '(x) + 9u(x) = 2e3x :‬‬
‫و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ u‬ﺗﺤﻘﻖ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ )‪. (E‬‬
‫ب ‪ -‬ﺣﺴﺐ ‪ ( 1‬و ‪ ( 2‬ا – ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ أ ن ا ﻟﺤﻞ اﻟﻌﺎم ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪.‬‬

‫‪y(x) = (α + β x)e3x + x 2e3x‬‬

‫هﻮ ‪:‬‬
‫_____________________________________________________________‬

‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪:‬‬

‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻓﻲ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻷﻋﺪاد اﻟﻌﻘﺪﻳﺔ ‪ C‬اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪z − 2 3(1 + i)z + 8i = 0 :‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ ( 1‬ﻣﻤﻴﺰ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ هﻮ ‪ ∆ ' = 3(1 + i) − 8i = −2i = (1 − i) :‬إذن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻠﻴﻦ‬
‫‪2‬‬

‫ﻋﻘﺪﻳﻴﻦ هﻤﺎ ‪:‬‬

‫‪/http://www.madariss.fr‬‬
‫‪2‬‬

‫)‬

‫)‪3 + 1 + ( 3 − 1)i = 4( 3 + i‬‬

‫(‬

‫= ‪z2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪z1 = 3(1 + i) + (1 − i) = 3 + 1 + ( 3 − 1)i‬‬
‫‪z 2 = 3(1 + i) − (1 − i) = 3 − 1 + ( 3 + 1)i‬‬

‫‪1‬‬

‫‪z 2 = 3 − 1 + ( 3 + 1)i = i( 3 + 1 − ( 3 − 1)i) = iz1‬‬

‫ب ‪ -‬اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﺜﻠﺜﻲ ﻟﻠﻌﺪد )‪: 4( 3 + i‬‬

‫‪3 1‬‬
‫⎤‪⎡ π‬‬
‫(‪4( 3 + i) = 8‬‬
‫⎥ ‪+ i) = ⎢8,‬‬
‫‪2 2‬‬
‫⎦‪⎣ 6‬‬

‫‪(E) : y ''− 6y '+ 9y =2e3x‬‬

‫‪(α, β) ∈ IR 2‬‬

‫و ﻟﺪﻳﻨﺎ آﺬﻟﻚ ‪:‬‬

‫اﻟﺸﻌﺐ ‪ :‬اﻟﻌﻠﻮم اﻟﺘﺠﺮﻳﺒﻴﺔ – اﻟﻌﻠﻮم اﻟﺘﺠﺮﻳﺒﻴﺔ – اﻟﻌﻠﻮم‬
‫اﻟﺰراﻋﻴﺔ‬

‫ج ‪ -‬اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﺜﻠﺜﻲ ﻟﻠﻌﺪدﻳﻦ ‪ z1‬و ‪. z 2‬‬

‫⎤‪π‬‬
‫⎡‬
‫⎤‪⎡ π‬‬
‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ z 2 = 4( 3 + i) = ⎢8, ⎥ :‬إذن ‪z1 = ⎢ 8, ⎥ :‬‬
‫⎦ ‪12‬‬
‫⎣‬
‫⎦‪⎣ 6‬‬
‫‪1‬‬

‫⎡ ⎤‪π‬‬
‫⎤ ‪5π‬‬
‫⎡ ⎤‪⎡ π‬‬
‫و ﻟﺪﻳﻨﺎ‪z 2 = iz1 = ⎢1, ⎥ × ⎢ 8, − ⎥ = ⎢ 8, ⎥ :‬‬
‫⎣ ⎦ ‪12‬‬
‫⎦ ‪12‬‬
‫⎣ ⎦‪⎣ 2‬‬

‫‪z‬‬
‫‪5π π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪ ( 3‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪− [ 2π] = [ 2π] :‬‬
‫= ]‪arg( 2 ) = arg(z 2 ) − arg(z1 ) [ 2π‬‬
‫‪z1‬‬
‫‪12 12‬‬
‫‪2‬‬
‫و ﻟﺪﻳﻨﺎ آﺬﻟﻚ ‪ OA = z1 = 8 :‬و ‪ OB = z 2 = 8‬ﻳﻌﻨﻲ ‪OA = OB :‬‬
‫ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ أن اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ OAB‬ﻣﺘﺴﺎوي أﺿﻼع ‪.‬‬

‫اﻷﺳﺘﺎذ ‪ :‬ﻋﻠﻲ اﻟﺸﺮﻳﻒ‬
‫ﻧﻴﺎﺑﺔ اﻟﺨﻤﻴﺴﺎت‬
‫‪cherifalix@yahoo.fr‬‬

‫ﺗﺼﺤﻴﺢ اﻹﻣﺘﺤﺎن اﻟﻮﻃﻨﻲ اﻟﻤﻮﺣﺪ ﻟﻤﺎدة اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت‬
‫اﻟﺪورة اﻟﻌﺎدﻳﺔ ‪2006‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ ‪:‬‬
‫‪uuur‬‬
‫‪ ( 1‬أ – اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (OA‬ﻣﺎر ﻣﻦ ‪ O‬و ﻣﻮﺟﻪ ﺑﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺔ )‪ OA(1, −1,3‬و ﻣﻨﻪ ﻓﺈن اﻟﺘﻤﺜﻴﻞ‬
‫‪⎧x = t‬‬
‫⎪‬
‫ﻳﻌﻨﻲ ‪(OA) : ⎨ y = − t‬‬
‫‪⎪z = 3t‬‬
‫⎩‬
‫)‪ (OA‬ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪. A‬‬

‫‪⎧x = 0 + 1× t‬‬
‫⎪‬
‫اﻟﺒﺎراﻣﺘﺮي ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ هﻮ ‪⎨ y = 0 + (−1) × t :‬‬
‫‪⎪z = 0 + 3t‬‬
‫⎩‬
‫ب ‪ -‬اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )‪ (Q‬اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬
‫‪uuur‬‬
‫ﻟﺪﻳﻨﺎ )‪ OA(1, −1,3‬ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪ (Q‬إذن ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻮى‬
‫ﺗﻜﺘﺐ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ‪:‬‬

‫‪x − y + 3z + d = 0‬‬

‫ﺑﺘﻌﻮﻳﺾ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ أ ن ‪1 × 1 − 1 × (−1) + 3 × 3 + d = 0 :‬‬
‫و ﻣﻨﻪ ‪:‬‬

‫‪ d = −11‬و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ x − y + 3z − 11 = 0 :‬هﻲ ﻣﻌﺎدﻟﺔ د ل )‪. (Q‬‬

‫‪⎧(P) : x − y + 3z = 0‬‬
‫⎨‬
‫‪⎩(Q) : x − y + 3z − 11 = 0‬‬

‫ج ‪ -‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬

‫اﻟﺸﻌﺐ ‪ :‬اﻟﻌﻠﻮم اﻟﺘﺠﺮﻳﺒﻴﺔ – اﻟﻌﻠﻮم اﻟﺘﺠﺮﻳﺒﻴﺔ – اﻟﻌﻠﻮم‬
‫اﻟﺰراﻋﻴﺔ‬
‫‪/http://www.madariss.fr‬‬

‫ﻓﺈ ن ‪(ΩA) //(OΩ) :‬‬

‫‪⎧a = t‬‬
‫⎪‬
‫إذن‪ Ω :‬ﺗﺤﻘﻖ اﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﺒﺎرﻣﺘﺮي ل )‪ (OA‬و ﻣﻨﻪ ‪ ⎨b = − t :‬و ﻣﻨﻪ ‪ b = −a‬و ‪. c = 3a‬‬
‫⎪‬
‫‪⎩c = 3t‬‬
‫ب ‪ -‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪ R ) ΩA = R‬ﺷﻌﺎع اﻟﻔﻠﻜﺔ ) ‪( ( S‬‬

‫و ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ OΩ :‬هﻲ ﻣﺴﺎﻓﺔ ‪ Ω‬ﻋﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪. (P‬‬

‫إذن ﺣﺴﺐ ﺧﺎﺻﻴﺔ ﻓﻴﺘﺎﻏﻮرس ‪ OΩ 2 + r 2 = R 2 :‬ﻳﻌﻨﻲ ‪R 2 − OΩ 2 = 33 :‬‬
‫ﻣﻦ ﺟﻬﺔ أﺧﺮى ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬
‫‪2‬‬

‫)‬

‫‪2‬‬

‫‪a +b +c‬‬

‫ﻳﻌﻨﻲ ‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫( )‬
‫‪−‬‬

‫‪2‬‬

‫‪uuur‬‬

‫‪ (2‬أ ‪ -‬ﺑﻤﺎ أن )‪ (S‬ﻣﻤﺎﺳﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )‪ (Q‬ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬ﻓﺈن ‪(Q) ⊥ (ΩA) :‬‬
‫ﺑﻤﺎ أن اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪ (P‬ﻳﻘﻄﻊ )‪ (S‬وﻓﻖ داﺋﺮة )‪ (Γ‬ﻣﺮآﺰهﺎ ‪ O‬ﻓﺈ ن ‪(P) ⊥ (OΩ) :‬‬
‫و ﺑﻤﺎ أ ن ‪. (P) //(Q) :‬‬

‫‪2‬‬

‫) ‪(1 − a ) + ( −1 − b ) + ( 3 − c‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫(‬

‫= ‪ΩA − OΩ‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪ΩA 2 − OΩ 2 = (1 − a).1 − 1.(−1 − b) + 3.(3 − c‬‬

‫ﻣﻦ ﺧﻼل اﻟﻤﻌﺎدﻟﻴﺘﻴﻦ اﻟﺪﻳﻜﺎرﺗﻴﺘﻴﻦ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮﻳﻴﻦ )‪ (P‬و )‪ (Q‬ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ أ ن ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ‬
‫اﻟﻤﻨﻈﻤﻴﺔ )‪ OA(1, −1,3‬إذن ﻓﻬﻤﺎ ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ ‪.‬‬

‫و هﺬا ﻳﻌﻨﻲ أ ن اﻟﻨﻘﻂ ‪ O‬و ‪ A‬و ‪ Ω‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ‪.‬‬

‫‪= a − b + 3c = −11‬‬

‫‪⎧c = 3a , b = −a‬‬
‫⎨ ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ أ ن ‪a = −1 , b = 1 , c = −3 :‬‬
‫ج ‪ -‬ﻣﻦ ﺧﻼل ‪:‬‬
‫‪⎩a − b + 3c = −11‬‬
‫و ﻣﻨﻪ ‪. Ω( −1,1, −3) :‬‬
‫ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﻣﻤﺎ ﺳﺒﻖ أن ‪:‬‬

‫‪R = OΩ = (1 + 1) + (1 + 1) + (3 + 3) = 2 11‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫اﻷﺳﺘﺎذ ‪ :‬ﻋﻠﻲ اﻟﺸﺮﻳﻒ‬
‫ﻧﻴﺎﺑﺔ اﻟﺨﻤﻴﺴﺎت‬
‫‪cherifalix@yahoo.fr‬‬

‫ﺗﺼﺤﻴﺢ اﻹﻣﺘﺤﺎن اﻟﻮﻃﻨﻲ اﻟﻤﻮﺣﺪ ﻟﻤﺎدة اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت‬
‫اﻟﺪورة اﻟﻌﺎدﻳﺔ ‪2006‬‬

‫اﻟﺸﻌﺐ ‪ :‬اﻟﻌﻠﻮم اﻟﺘﺠﺮﻳﺒﻴﺔ – اﻟﻌﻠﻮم اﻟﺘﺠﺮﻳﺒﻴﺔ – اﻟﻌﻠﻮم‬
‫اﻟﺰراﻋﻴﺔ‬
‫‪/http://www.madariss.fr‬‬

‫اﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ‪:‬‬
‫‪ ( I‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ g‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل [∞‪ [ 0,+‬ﺑﻤﺎﻳﻠﻲ‪g(x) = ln(1 + x) − x :‬‬
‫‪ ( 1.‬أ ‪ -‬اﻟﺪاﻟﺔ ‪ g‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻺﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل [∞‪. [ 0,+‬‬
‫وﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪−x‬‬

‫‪( ∀x ∈ [0, +∞[ ) :g '(x) = x + 1‬‬

‫ﻳﻌﻨﻲ أن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ g‬ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ [∞‪. [ 0,+‬‬

‫ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ أن ‪:‬‬

‫‪ ( 2‬ﻓﺮدﻳﺔ اﻟﺪاﻟﺔ ‪: f‬‬
‫‪x ∈ Df ⇔ − x ∈ Df n‬‬

‫ب ( ﺑﻤﺎ أن ‪ g‬ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ [∞‪ [ 0,+‬و ‪g(0) = 0‬‬

‫ﻓﺈن‪( ∀x ∈ [0, +∞[ ) :g(x) ≤ 0 :‬‬
‫‪ ( 2‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺣﺴﺐ ‪ ( ∀x ∈ [ 0, +∞[ ) :g(x) ≤ 0 ( 1‬و ‪g(0) = 0‬‬
‫ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ إذ ن أ ن ‪( ∀x ∈ ]0, +∞[ ) :g(x) p 0 :‬‬
‫ﻳﻌﻨﻲ ‪( ∀x ∈ ]0, +∞[ ) :0 p ln(x + 1) p x :‬‬

‫و ‪ g‬ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻗﻄﻌﺎ‬

‫⎞‪⎛ x +1‬‬
‫⎜ ‪f (x) = x + ln‬‬
‫‪ ( II‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪⎟ :‬‬
‫⎠‪⎝ x −1‬‬
‫‪rr‬‬
‫و )‪ (C‬هﻮ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ )‪ ) . (O,i, j‬اﻟﻮﺣﺪة ‪(1cm‬‬
‫‪x +1‬‬
‫⎧‬
‫⎫‬
‫⎬‪f 0‬‬
‫‪Df = ⎨ x ∈ IR /‬‬
‫‪x −1‬‬
‫⎩‬
‫⎭‬

‫‪ ( 1‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﺪاﻟﺔ ‪: f‬‬

‫‪x +1‬‬
‫ﻣﻦ ﺧﻼل ﺟﺪول إﺷﺎرة‬
‫‪x −1‬‬

‫‪:‬‬

‫[∞‪. D f = ]−∞, −1[ ∪ ]1, +‬‬

‫‪−x + 1‬‬
‫⎞‪⎛ x +1‬‬
‫(‪f (− x) = − x + ln‬‬
‫⎜ ‪) = − x − ln‬‬
‫‪⎟ = −f (x) o‬‬
‫‪−x − 1‬‬
‫⎠‪⎝ x −1‬‬
‫ﻣﻦ ‪ n‬و ‪ o‬ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ أن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻓﺮدﻳﺔ ‪.‬‬
‫‪x +1‬‬
‫⎞‪⎛ x +1‬‬
‫‪ lim‬و ‪ln(1) = 0‬‬
‫⎜ ‪ lim f (x) = lim x + ln‬ﻷن‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫ب( ∞‪⎟ = +‬‬
‫∞‪x →+‬‬
‫∞‪x →+‬‬
‫∞‪x →+‬‬
‫‪x −1‬‬
‫⎠‪⎝ x −1‬‬
‫‪x +1‬‬
‫⎞‪⎛ x +1‬‬
‫⎜ ‪ lim f (x) = lim x + ln‬ﻷن ‪= +∞ :‬‬
‫‪lim‬‬
‫* ∞‪⎟ = +‬‬
‫‪x →1‬‬
‫‪x →1‬‬
‫‪x →1 x − 1‬‬
‫⎠‪⎝ x −1‬‬
‫‪ ( 3‬أ ‪ -‬اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻺﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ ‪ Df‬و ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x −1 x2 − 3‬‬
‫‪⎛ x +1⎞ x −1‬‬
‫×‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫×‬
‫‪= 2‬‬
‫⎜ ‪f '(x) = 1 +‬‬
‫'‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫⎟‬
‫‪+‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x −1‬‬
‫‪−‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪⎝ x −1⎠ x +1‬‬
‫) (‬
‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫ب ( ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل [∞‪: ]1, +‬‬
‫ﻣﻦ ﺧﻼ ل ﺟﺪول اﻹﺷﺎرة ‪:‬‬

‫‪+‬‬

‫اﻷﺳﺘﺎذ ‪ :‬ﻋﻠﻲ اﻟﺸﺮﻳﻒ‬
‫ﻧﻴﺎﺑﺔ اﻟﺨﻤﻴﺴﺎت‬
‫‪cherifalix@yahoo.fr‬‬

‫ﺗﺼﺤﻴﺢ اﻹﻣﺘﺤﺎن اﻟﻮﻃﻨﻲ اﻟﻤﻮﺣﺪ ﻟﻤﺎدة اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت‬
‫اﻟﺪورة اﻟﻌﺎدﻳﺔ ‪2006‬‬

‫اﻟﺸﻌﺐ ‪ :‬اﻟﻌﻠﻮم اﻟﺘﺠﺮﻳﺒﻴﺔ – اﻟﻌﻠﻮم اﻟﺘﺠﺮﻳﺒﻴﺔ – اﻟﻌﻠﻮم‬
‫اﻟﺰراﻋﻴﺔ‬
‫‪/http://www.madariss.fr‬‬

‫* )‪ (C‬ﺗﺤﺖ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ∆ ( ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل [‪. ]−∞, −1‬‬
‫‪ ( 5‬ﺑﻤﺎ أن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻓﺮدﻳﺔ ﻓﺈن ﻣﻨﺤﻨﺎهﺎ )‪ (C‬ﻣﺘﻤﺎﺛﻞ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻷﺻﻞ اﻟﻤﻌﻠﻢ ﻳﻜﻔﻲ إذن أن ﻧﺮﺳﻢ‬

‫اﻟﻤﻨﺤﻰ ﻣﻦ أﺟﻞ [∞‪ x ∈ ]1, +‬و ﻧﺴﺘﺞ اﻟﺠﺰء اﻵﺧﺮ ﺑﻮاﺳﻄﺔ اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻻﺻﻞ اﻟﻤﻌﻠﻢ ‪ .‬اﻟﺸﻜﻞ‬

‫أﺳﻔﻠﻪ‬

‫⎞‪⎛ x +1‬‬
‫‪ ( 6‬أ ‪ -‬ﺣﺴﺎب اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ‪⎟ dx :‬‬
‫⎠‪⎝ x −1‬‬
‫‪2‬‬
‫⎧‬
‫‪−2‬‬
‫⎧ ⎞‪⎛ x +1‬‬
‫⎜ ‪⎪u(x) = ln‬‬
‫‪⎟ ⇒ ⎪u '(x) = 2‬‬
‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪x − 1 :‬‬
‫⎨ ⎠‪⎝ x −1‬‬
‫⎨‬
‫‪⎪ v'(x) = 1‬‬
‫‪⎪⎩ v(x) = x‬‬
‫⎩‬
‫‪4‬‬

‫⎜ ‪. ∫ ln‬‬

‫ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ أ ن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ⎡ ∞‪ ⎡ 3, +‬و ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ⎤ ‪. ⎤1, 3‬‬

‫⎣‬

‫⎣‬

‫⎦‬

‫⎦‬

‫⎞‪⎛ x +1‬‬
‫‪ ( 4‬أ – ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪⎟ = 0 :‬‬
‫∞‪x →±‬‬
‫∞‪x →±‬‬
‫⎠‪⎝ x −1‬‬
‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪ y = x‬ﻣﻘﺎرب ﻣﺎﺋﻞ ﺑﺠﻮار ∞‪. ±‬‬
‫⎞‪⎛ x +1‬‬
‫⎜ ‪: ln‬‬
‫ب ( إﺷﺎرة ⎟‬
‫‪−‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫⎝‬
‫⎠‬
‫‪2‬‬
‫⎞‪⎛ x +1‬‬
‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬
‫)‬
‫⎜ ‪∀x ∈ D :ln‬‬
‫‪⎟ = ln(1 +‬‬
‫‪x −1‬‬
‫⎠‪⎝ x −1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ∀x ∈ ]1, +∞[ :‬و ‪p 0‬‬
‫و ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪f 0 :‬‬
‫‪∀x ∈ ]−∞, −1[ : − 1 p‬‬
‫‪x −1‬‬
‫‪x −1‬‬
‫⎜ ‪ lim f (x) − x = lim ln‬و هﺬا ﻳﻌﻨﻲ أن )‪ (C‬ﻳﻘﺒﻞ‬

‫و هﺬا ﻳﻌﻨﻲ أن ‪:‬‬

‫⎞‪⎛ x +1‬‬
‫⎞‪⎛ x +1‬‬
‫⎜ ‪∀x ∈ ]−∞, −1[ :ln‬‬
‫⎜ ‪ ∀x ∈ ]1, +∞[ :ln‬و ‪⎟ p 0‬‬
‫‪⎟f0‬‬
‫⎠‪⎝ x −1‬‬
‫⎠‪⎝ x −1‬‬
‫⎞‪⎛ x +1‬‬
‫⎜ ‪∀x ∈ Df :f (x) − x = ln‬‬
‫ج ( ﺑﻤﺎ أن ‪⎟ :‬‬
‫⎠‪⎝ x −1‬‬
‫ﻣﻦ ﺧﻼل اﻟﺴﺆال اﻟﺴﺎﺑﻖ ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ أ ن ‪:‬‬
‫* )‪ (C‬ﻓﻮق اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ∆ ( ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل‬

‫[∞‪. ]1, +‬‬

‫إذن ‪:‬‬
‫‪4‬‬

‫⎡‬
‫⎞‪⎛ x +1‬‬
‫‪⎛ x + 1 ⎞ ⎤ 4 −2x‬‬
‫=‬
‫‪ln‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ln‬‬
‫⎜‬
‫‪⎟ ⎥ − ∫ 2 dx‬‬
‫⎟⎠ ‪∫2 ⎝⎜ x − 1‬‬
‫⎢‬
‫‪−‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫⎝‬
‫⎠‬
‫⎣‬
‫‪⎦2 2 x − 1‬‬
‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫⎡‬
‫‪⎛ x + 1 ⎞ ⎤ 4 2x‬‬
‫⎜ ‪= ⎢ x ln‬‬
‫‪⎟ ⎥ + ∫ 2 dx‬‬
‫‪⎝ x − 1 ⎠⎦ 2 2 x − 1‬‬
‫⎣‬
‫‪4‬‬

‫‪4‬‬
‫⎡‬
‫⎡ ⎤⎞ ‪⎛ x + 1‬‬
‫‪2‬‬
‫⎤‬
‫‪ln‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫⎜ ‪= ⎢ x ln‬‬
‫‪+‬‬
‫‪−‬‬
‫⎥⎟‬
‫‪⎦2‬‬
‫⎣ ‪⎝ x − 1 ⎠⎦ 2‬‬
‫⎣‬

‫⎞‪⎛5‬‬
‫)‪= 4ln ⎜ ⎟ − 2ln ( 3) + ln (15 ) − ln ( 3‬‬
‫⎠‪⎝3‬‬
‫)‪= 4ln ( 5 ) − 4ln ( 3) − 2ln ( 3) + ln ( 5 ) + ln ( 3) − ln ( 3‬‬
‫)‪= 5ln ( 5 ) − 6ln ( 3‬‬

‫اﻷﺳﺘﺎذ ‪ :‬ﻋﻠﻲ اﻟﺸﺮﻳﻒ‬
‫ﻧﻴﺎﺑﺔ اﻟﺨﻤﻴﺴﺎت‬
‫‪cherifalix@yahoo.fr‬‬

‫ﺗﺼﺤﻴﺢ اﻹﻣﺘﺤﺎن اﻟﻮﻃﻨﻲ اﻟﻤﻮﺣﺪ ﻟﻤﺎدة اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت‬
‫اﻟﺪورة اﻟﻌﺎدﻳﺔ ‪2006‬‬

‫⎞‪⎛ x +1‬‬
‫‪2‬‬
‫⎜ ‪S = ∫ f (x) − x dx.cm = ∫ ln‬‬
‫‪⎟ dx.cm‬‬
‫⎠‪⎝ x −1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫⎞‪⎛ x +1‬‬
‫⎜ ‪∀x [ 2, 4]:ln‬‬
‫‪⎟f0‬‬
‫⎠‪⎝ x −1‬‬
‫‪S = ( 5ln(5) − 6ln(3) ) cm 2‬‬
‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫ب ( ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬
‫ﺑﻤﺎ أن ‪:‬‬
‫ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪( III‬‬
‫‪ ( 1‬أ ‪ -‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬
‫⎞ ‪2‬‬
‫⎞‪⎛ n +1‬‬
‫⎛‬
‫⎜ ‪∀n ∈ IN * − {1} : u n = f (n) − n = ln‬‬
‫‪⎟ = ln ⎜ 1 +‬‬
‫⎟‬
‫⎠‪⎝ n −1‬‬
‫⎠‪⎝ n −1‬‬
‫ب ( ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f ⇒1+‬‬
‫‪f1+‬‬
‫‪n −1 n‬‬
‫‪n −1‬‬
‫‪n‬‬
‫⎞ ‪2‬‬
‫⎛‬
‫⎞‪⎛ 2‬‬
‫‪⇒ ln ⎜1 +‬‬
‫‪f‬‬
‫‪ln‬‬
‫⎟‬
‫⎟ ‪⎜1 +‬‬
‫⎠‪⎝ n −1‬‬
‫⎠‪⎝ n‬‬
‫‪⇒ u n f u n +1‬‬
‫و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ ( u n‬ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ‪.‬‬
‫‪ ( 2‬أ – ﺣﺴﺐ ‪ ( 2 ( I‬ﻟﻴﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪2‬‬
‫ﺑﻤﺎ أن ‪f 0 :‬‬
‫‪n −1‬‬
‫ب ( ﺑﻤﺎ أن ‪:‬‬

‫‪( ∀x ∈ ]0, +∞[ ) :0 p ln(x + 1) p x‬‬

‫‪ ∀n ≥ 2 :‬ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪2‬‬
‫‪n −1‬‬

‫‪∀n ≥ 2 :‬‬

‫‪2‬‬
‫‪n −1‬‬

‫‪0 p un p‬‬

‫‪∀n ∈ IN * − {1} : 0 p u n p‬‬

‫اﻟﺸﻌﺐ ‪ :‬اﻟﻌﻠﻮم اﻟﺘﺠﺮﻳﺒﻴﺔ – اﻟﻌﻠﻮم اﻟﺘﺠﺮﻳﺒﻴﺔ – اﻟﻌﻠﻮم‬
‫اﻟﺰراﻋﻴﺔ‬
‫‪/http://www.madariss.fr‬‬

‫‪2‬‬
‫و ﻣﻦ ﺟﻬﺔ أ ﺧﺮى ‪= 0 :‬‬
‫∞‪x →+‬‬
‫‪n −1‬‬
‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ )‪: (C‬‬

‫‪ lim‬و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪. lim u n = 0 :‬‬
‫∞‪x →+‬‬


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