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corrigé bac 2007 .pdf



Nom original: corrigé bac 2007.pdf
Titre: CORRIG2 DE NATIONAL MATHS C EX 2007
Auteur: Administrateur

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Aperçu du document


‫ا ذ ‪ :‬ري‬

‫ﺘﺼﺤﻴﺢ ﻤﻭﻀﻭﻉ ﺍﻻﻤﺘﺤﺎﻥ ﺍﻝﻭﻁﻨﻲ ﺍﻝﻤﻭﺤﺩ‬
‫ﻝﻠﺒﺎﻜﺎﻝﻭﺭﻴﺎ ﻤﺎﺩﺓ ﺍﻝﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ‬
‫ﺍﻝﺩﻭﺭﺓ ﺍﻝﻌﺎﺩﻴﺔ‬

‫‪1‬‬

‫ا ا ول ‪:‬‬
‫‪(1‬‬

‫ﺍﻝﺸﻌﺏ ‪ :‬ﺍﻝﻌﻠﻭﻡ ﺍﻝﺘﺠﺭﻴﺒﻴﺔ ﺍﻷﺼﻴﻠﺔ‬
‫ﺍﻝﻌﻠﻭﻡ ﺍﻝﺘﺠﺭﻴﺒﻴﺔ‬
‫ﺍﻝﻌﻠﻭﻡ ﺍﻝﺯﺭﺍﻋﻴﺔ‬

‫‪∀M(x ,y,z)∈(S) ⇔ x + y + z – 2x – 4y – 6z + 8 = 0‬‬
‫‪⇔ ( x2 – 2x ) + (y2 – 4y) + ( z2 – 6z) +8=0‬‬
‫‪⇔ ( x2 – 2x +1)-1 + (y2 – 4y + 4)- 4 + ( z2 – 6z + 9)-9 +8=0‬‬
‫‪⇔ ( x – 1 )2 + (y – 2)2 + ( z – 3 )2 = 1+ 4 + 9 – 8‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪⇔ ( x – 1 )2 + (y – 2)2 + ( z – 3 )2 = 6 = 6‬‬
‫إذن آ ا )‪ (S‬ه! ا )‪ Ω (1, 2,3‬و(' &‪ $ %‬وي ‪r= 6‬‬
‫‪ , - ( 2‬أن ا ى )‪ (P‬س )‪(S‬‬
‫‪0,75‬‬
‫ ' د ا ى )‪ (P‬ه! ‪ x – y + 2z + 1 = 0 :‬و )‪Ω (1, 2,3‬‬
‫إذن‬

‫‪0,5‬‬

‫‪6‬‬
‫‪= 6 =r‬‬
‫‪6‬‬

‫=‬

‫‪1− 2 + 2× 3 +1‬‬

‫= ))‪d(Ω,(P‬‬

‫‪12 + (−1) 2 + 2 2‬‬

‫إذن ا ى )‪ (P‬س )‪(S‬‬
‫‪ (3‬أ‪ ' -‬د ا ى )‪ (P‬ه! ‪x – y + 2z + 1 = 0:‬‬
‫ ‬
‫إذن )‪(P) 3 & 4 5 n (1, −1, 2‬‬
‫ ‪ $‬ا ‪ & (∆) 6‬دي & ‪(P) 3‬‬
‫ ‬
‫إذن )‪ %8 n (1, −1, 2‬ل )∆(‬

‫ ‬
‫ا ; ‪ :‬ا ‪ 9‬را ي ل )∆( ا ر < )‪ Ω (1, 2,3‬و ا ‪ n (1, −1, 2) %= > 48‬ه ‪:‬‬

‫‪x = 1+ t‬‬
‫‪‬‬
‫‪y = 2−t‬‬
‫‪ z = 3 + 2t‬‬
‫‪‬‬
‫ب‪ @ - ω -‬س )‪ (P‬و)‪ (S‬ه! @ ‪ (∆) AB‬و)‪(P‬‬
‫‪ ' $ 0,75‬د )‪ (P‬ه! ‪(1) x – y + 2z + 1 = 0‬‬
‫‪x = 1+ t‬‬
‫‪‬‬
‫ا ; ‪ :‬ا ‪ 9‬را ي ل )∆( ه ‪(2)  y = 2 − t :‬‬
‫‪ z = 3 + 2t‬‬
‫‪‬‬
‫' ض )‪( 1+ t) – (2 – t) + 2 (3 + 2t )+ 1 = 0 3 & :E D (1) !D (2‬‬‫‪1+ t – 2 + t + 6 + 4t + 1=0‬‬
‫‪6t + 6 = 0‬‬
‫‪t = -1‬‬
‫‪x = 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪  y = 3‬اذن )‪ω(0,3,1‬‬
‫' ض ‪ !D t = - 1 F‬ا ' د ‪ = D 2‬‬‫‪z = 1‬‬
‫‪‬‬
‫ا ن ا ‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ (1‬أ‪-‬‬
‫)‪( 3 − 2i ) = 3 − 2 × 3 × 2i + (2i‬‬
‫‪0,5‬‬
‫‪= 9-12i -4‬‬
‫‪=5-12i‬‬

‫ب‪ : - -‬ا ' د ‪z 2 − 2(4 + i ) z + 10 + 20i = 0‬‬
‫‪1‬‬

‫ ‪ $‬ا ا ‪ ' E G‬د ه ‪∆ ' = [ −(4 + i ) ] − 1× (10 + 20i ) :‬‬
‫‪2‬‬

‫‪= 4 2 + 2 × 4 × i + i 2 − 10 − 20i‬‬

= 16 + 8i − 1 − 10 − 20i
= 5 − 12i
= (3 − 2i ) 2

z2 =

(4 + i ) + (3 − 2i )
= 7−i
1

‫ و‬z1 =

(4 + i ) − (3 − 2i )
= 1 + 3i
1

‫ ! ا ' د ه‬H ‫ادن‬
-‫( أ‬2

c − a (5 + 9i ) − (1 + 3i ) 5 + 9i − 1 − 3i 4 + 6i
2(2 + 3i ) (2 + 3i )(3 + 2i ) 6 + 4i + 9i − 6 13i
=
=
=
=
=
=
=
=i
b − a (7 − i ) − (1 + 3i )
7 − i − 1 − 3i 6 − 4i
2(3 − 2i ) (3 − 2i )(3 + 2i )
9+4
13

AC = c − a = 4 + 6i = 42 + 62 = 16 + 36 = 52

-‫ب‬
1

AB = b − a = 6 − 4i = 62 + (−4) 2 = 36 + 16 = 52

c−a
( AB, AC ) ≡ arg(
) [ 2π ]
b−a
≡ arg(i ) [ 2π ]


π
2

[ 2π ]
$‫ ا او‬6J F ‫ < و‬F ‫ وي ا‬ABC I ; ‫اذن ا‬
: ‫ا ا‬
2
1
( x − 1)( x + 1) + 1 x − 1 + 1
x2
∀X ∈ ℝ − {−1} : x − 1 +
=
=
=
(1
x +1
x +1
x +1
x +1



0

0,5

2

2
x

x
1
4
dx = ∫ ( x − 1 +
)dx =  − x + ln x + 1  = ( − 2 + ln 3) − (0 − 0 + ln1) = ln 3 (2
0
x +1
x +1
2
2
0
2

2

0,5

2

3
x ln( x + 1)dx = ln 3 ‫ < أن‬9- (3
0
2
2

x
v( x) =
v '( x) = x
2
‫ اذن‬
AK
u
(
x
)
=
ln(
x
+
1)
1

u '( x) =
x +1




1

2

1

2



2

0

2
2 x
 x2

1
x ln( x + 1)dx =  × ln( x + 1)  − ∫
×
dx
2
0 0 2 x +1
2

 x2
 1 2 x2
=  × ln( x + 1)  − ∫
dx
2
0 2 0 x + 1
22
1
= ( ln 3) − (0 ln1) − ln 3
2
2
1
= 2 ln 3 − ln 3
2
3
= ln 3
2
card (Ω) = C73 = 35

: ‫ا ا ا‬
$

card ( A) = C43 = 4
card ( A)
4
p ( A) =
=
card (Ω) 35
card ( B ) = C31 × C11 × C31 = 3 ×1× 3 = 9

‫و‬
‫اذن‬
2,5

$

p( B) =

card ( B ) 9
=
card (Ω) 35

‫اذن‬

(1,-1,0) ‫( أو‬0,0,0)

< ‫ ا < ا‬$

card (C ) = C33 + C31 × C11 × C31 = 1 + 3 ×1× 3 = 10
card (C ) 10 2
p (C ) =
=
=
card (Ω) 35 7

‫اذن‬

:
g ( x) = e − x + x − 1 ( I
ℝ < x : g '( x) = (− x) ' e − x + 1 = −e− x + 1

$ (1 0,75
−e + 1 = 0 ⇔ e = 1 ⇔ − x = ln1 = 0 ⇔ x = 0 $
−x
−e + 1 ≻ 0 ⇔ −e − x ≻ −1 ⇔ e − x ≺ 1 ⇔ − x ≺ ln1 = 0 ⇔ x ≻ 0
$
[ 0, +∞[ 3 & $ $‫ @ ا‬g ‫ ن‬D 4 ‫ و‬g '( x) ≥ 0 $ [ 0, +∞[ ‫ < ا = ل‬x : ‫ادن‬
−x

−x

−e − x + 1 ≺ 0 ⇔ −e− x ≺ −1 ⇔ e − x ≻ 1 ⇔ − x ≻ ln1 = 0 ⇔ x ≺ 0 $
]−∞, 0] 3 & EF @ g ‫ ن‬D 4 ‫ و‬g '( x) ≤ 0 $ ]−∞, 0] ‫ < ا = ل‬x : ‫ادن‬

[ 0, +∞[ 3 & $ $‫] و @ ا‬−∞, 0] 3 & EF @ g $ (2

∀x ∈ ℝ g ( x) ≥ g (0) ‫ أي‬0 & -‫ د‬F :9 @ g ‫ادن‬
g ( x) ≥ 0 ‫اذن‬
e− x + x − 1 ≥ 0 4 ‫و‬
. ℝ < x : e− x + x ≥ 1 ! > ‫و‬
x
f ( x) =
(1 (II
x + e− x
∀x ∈ D f ⇔ x + e− x ≠ 0

0,5

0,5

e− x + x ≥ 1 ℝ < x : (2 (I ‫ال‬N ‫ < ا‬$
D f = ℝ ‫اذن‬

ℝ* < x : f ( x) =

x
=
x + e− x

x
−x

e
x(1 +
)
x

=

1
1
1+ x
xe

-‫( أ‬2 0,25

1
= −∞ ‫ ادن‬lim xe x = 0− $ -‫ب‬
x →−∞
x →−∞ xe x
1
= 0 ‫ ن‬D 4 ‫و‬
lim f ( x) = lim
x →−∞
x →−∞
1
1+ x
xe
1
lim x = 0 ‫ اذن‬lim xe x = +∞ $
x →+∞
x →+∞ xe
1
lim f ( x) = lim
= 1 ‫ ن‬D 4 ‫و‬
x →+∞
x →+∞
1
1+ x
xe
: ! % ‫ ا‬:$‫و‬O ‫ا‬
-∞‫ >= ار‬y = 0 4 ‫ ! ' د‬D‫ ر> أ‬:9 $ (Cf) ‫ ادن‬lim f ( x) = 0 $
lim

1,5

x →−∞

+∞‫ >= ار‬y = 1 4 ‫ ! ' د‬D‫ ر> أ‬:9 $ (Cf) ‫ ادن‬lim f ( x) = 1 $
x →+∞

∀x ∈ ℝ f '( x) =

−x

x '( x + e ) − x( x + e − x ) '

( x + e− x )

2

-‫( أ‬3 0,75

=

( x + e − x ) − x(1 − e− x )

(x + e )

−x 2

=
=

x + e − x − x + xe − x

(x + e )

−x 2

(1 + x)e− x

(x +e )

−x 2

∀x ∈ ℝ f '( x) ==
1+x
X
-∞
f ‘(x)
f(x)

‫ ه! إ( رة‬f ’(x) ‫إذن إ( رة‬

−x 2

≻ 0‫و‬

(x +e )

−x 2

e− x ≻ 0

$ -‫ب‬
0,5

$

f ‫ ات ا ا‬S@ ‫ ول‬8
+∞

-1
φ

-

(x +e )

(1 + x)e− x

+

0

1

1
1− e

!‫ ه‬O ‫! ا‬D (C) 3 ‫ ' د ا س‬-‫( أ‬4
Y=f ‘(0)(x-0)+f(0)
f ‘ (0) = 1 ‫ و‬f(0) = 0 $
y = x !‫إذن ' د ا س ه‬
: $ -‫ب‬

x − f ( x) = x −

. x

x
x( x + e − x ) − x x( x + e− x − 1)
xg ( x)
=
=
=
−x
−x
−x
g ( x) + 1
x+e
x+e
x+e

‫ ه! إ( رة‬x-f(x) ‫إذن إ( رة‬
x -∞
x-f(x)

0,5

0,75

ℝ < x : g ( x) + 1 ≥ 1 ‫ و‬g ( x) ≥ 0 $
0
+∞
φ
+
(∆) V @ (C) ‫ ن‬D x ≻ 0 ‫ إذا آ ن‬-‫ج‬
0,25
(∆) ‫ ق‬D (C) ‫ ن‬D x ≺ 0 ‫إذا آ ن‬
O(0,0)!D ‫' ن‬B (∆) ‫( و‬C)
‫ ع‬Z ‫! \[ ا‬D 3 ‫ ا‬5-‫(ا‬5

ℕ < n : 0 ≤ U n ≤ 1 ‫ < أن‬9- (1( III
0 ≤ U 0 ≤ 1 ‫ إذن‬U0 = 1 $ n = 0 ‫ ل‬9 >
n = 0 ‫ ل‬9 > ] ] G ‫ا‬
0 ≤ U n +1 ≤ 1 ‫ < أن‬9-‫ و‬0 ≤ U n ≤ 1 ‫ ض أن‬-

[ 0, +∞[
0 ≤ U n +1

0 ≤ U n ≤ 1 $

3 & $ $‫ @ ا‬f ‫و ا ا‬

f (0) ≤ f (U n ) ≤ f (1) ‫اذن‬
1
≤ 1 ‫ إذن‬1≤1 + e-1‫ ن‬0 ≤ U n +1 ≤
≤ 1 4 ‫و‬
1 + e −1

0,5

ℕ < n : 0 ≤ U n ≤ 1 ‫ اذن‬0,5
x − f ( x) ≥ 0 $ x ≥ 0 : -‫(ب‬4(II ‫ال‬N ‫ < ا‬$ (2
U n ≥ U n +1 ‫ أي‬U n − f (U n ) ≥ 0 ‫ ن‬D Un ≥ 0 ‫> أن‬
EF @ (Un) ! > ‫و‬
>‫! ر‬%D ‫ إذن‬0 ‫ رة ب‬SE ‫ و‬EF @ (Un) $ (3 0,75
U n +1 = f (U n )

[ 0,1] 3 & E f
f ([ 0,1]) ⊂ [ 0,1]

x = f(x) ‫ ا ' د‬:H !‫ ه‬% $ %- >‫( ر‬Un)
‫(ج‬4(II ‫ال‬N ‫ < ا‬x - f(x) = 0
‫ ا ' د‬:H ‫ ه‬x = 0 $
lim U n = 0
‫اذن‬
x →+∞

3 ‫ا‬

y= x

‫ ري‬

‫ ذ‬: ‫ ا ز‬

(∆)


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