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corrigé bac 2008 .pdf



Nom original: corrigé bac 2008.pdf
Titre: تصحيح الوطني مادة الرياضيات العادية 2008 شعبة العلوم التجريبية و التكنولوجية
Auteur: 9alami.com

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‫‪)KŠ‚„Kj†R)’RcXT)‡„t)Kc„K‚R)’KV„J‬‬

‫‪))a[†„J)r„J)ÉK[T†¤J)\[nT‬‬

‫‪))KŠ‚„j†R)UKX„‚T„J)‡„u„J)’Rul‬‬

‫‪2008)Kc„K‚R„„)’aKu„J)‘ca„J‬‬

‫‪))ÉKhhhhhh[„J)ahhhhh†[†))))C))))bKTj¦J‬‬

‫))‬

‫‪))UJiJicR)kaKj„J)a†[†)’„‰MT„J)’KV„J‬‬

‫ﻟﻤﺰﻳﺪ ﻣﻦ ﺩﺭﻭﺱ ﻭ ﺗﻤﺎﺭﻳﻦ ﻭ ﺍﻣﺘﺤﺎﻧﺎﺕ ‪ ...‬ﻣﻮﻗﻊ ﻗﻠﻤﻲ‬

‫‪))C)…¦J)Éhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhc†T„J‬‬

‫)‬

‫‪JG JJG JJG‬‬

‫(‬

‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء اﻟﻤﻨﺴﻮب ﻹﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ وﻣﺒﺎﺷﺮ ‪   O , i , j , k‬اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ )‪ A ( 0, −1,1‬و ) ‪B (1, −1,0‬‬
‫واﻟﻔﻠﻜﺔ ) ‪   (S‬اﻟﺘﻲ ﻣﻌﺎدﻟﺘﻬﺎ ‪:‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ .1‬ﻟﺪیﻨﺎ ‪:‬‬

‫إذن )‬

‫‪x 2 + y 2 + z 2 − 2x − 4z + 2 = 0‬‬

‫‪.‬‬

‫‪. x 2 + y 2 + z 2 − 2x − 4z + 2 = 0 ⇔ ( x − 1) + y 2 + ( z − 2 ) = 3‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ (S‬ﻓﻠﻜﺔ ﻣﺮآﺰهﺎ ) ‪ Ω (1,0, 2‬وﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ‪ . R = 3‬وﻟﺪیﻨﺎ ‪ ، 02 + ( −1) + 12 − 2 × 0 − 4 ×1 + 2 = 0 :‬إذن ) ‪. A ∈ ( S‬‬
‫‪2‬‬

‫⎟⎞ ‪JJJJG ⎛⎜ 0 ⎞⎟ JJJJJG ⎛⎜1‬‬
‫‪−1 −1 JG 0 1 JG 0 1 JJG JG JG JJG‬‬
‫= ‪OA ∧ OB‬‬
‫‪i−‬‬
‫‪j+‬‬
‫‪ .2‬ﻟﺪیﻨﺎ ‪ OB ⎜ −1⎟ :‬و ⎟‪ ، OA ⎜ −1‬وﻣﻨﻪ ﻓﺈن ‪k = i + j + k :‬‬
‫‪−1 −1‬‬
‫‪1 0‬‬
‫‪1 0‬‬
‫⎟ ‪⎜1‬‬
‫⎟ ‪⎜0‬‬
‫⎠ ⎝‬
‫⎠ ⎝‬
‫‪JJJG‬‬

‫‪JJJJG‬‬

‫‪JJJJG JJJJG‬‬
‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن ‪. OA ∧ OB (1,1,1) :‬‬
‫‪JJJJG JJJJG‬‬
‫‪ .3‬ﻟﺪیﻨﺎ ‪ OA ∧ OB (1,1,1) :‬ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪ . (OAB‬إذن ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪ (OAB‬ﺕﻜﺘﺐ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ‬

‫‪x + y + z +d = 0‬‬

‫‪ ،‬وﺑﻤﺎ أن ) ‪ ، O ∈ (OAB‬ﻓﺈن‬

‫ﻟﻨﺤﺴﺐ ﻣﺴﺎﻗﺔ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬ﻋﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪: (OAB‬‬

‫‪x + y +z =0‬‬

‫‪3‬‬
‫‪= 3=R‬‬
‫‪3‬‬

‫=‬

‫هﻲ ﻣﻌﺎدﻟﺔ دیﻜﺎرﺕﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى ) ‪. (OAB‬‬

‫‪1+ 0 + 2‬‬
‫‪12 + 12 + 12‬‬

‫(‬

‫)‬

‫= ) ‪. d Ω, (OAB‬‬

‫وﻋﻠﻴﻪ ﻓﺈن اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪ (OAB‬ﻣﻤﺎس ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ ) ‪ (S‬ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬ﻋﻠﻰ اﻋﺘﺒﺎر أن ) ‪ A ∈ ( S‬و ) ‪. A ∈ (OAB‬‬
‫‪))C)hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhKV„J)Éc†T„J‬‬

‫‪ .1‬ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻓﻲ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ^‬

‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ . z 2 − 6z + 34 = 0 :‬ﻣﻤﻴﺰ هﺬﻩ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ هﻮ ‪. ∆ = ( −3) − 1× 34 = 9 − 34 = −25 = ( 5i ) :‬‬
‫‪2‬‬

‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﺡﻠﻴﻦ ﻋﻘﺪیﻴﻦ ﻣﺘﺮاﻓﻘﻴﻦ هﻤﺎ ‪:‬‬

‫‪−b ′ + i −∆′ − ( −3) + 5i‬‬
‫=‬
‫‪= 3 + 5i‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a‬‬

‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺡﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ هﻲ ‪:‬‬

‫= ‪z1‬‬

‫} ‪= {3 − 5i , 3 + 5i‬‬

‫)‬

‫‪−b ′ − i −∆′ − ( −3) − 5i‬‬
‫=‬
‫‪= 3 − 5i‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a‬‬

‫و‬

‫‪JJG JJG‬‬

‫‪2‬‬

‫= ‪z2‬‬

‫‪.S‬‬

‫(‬

‫‪ .2‬ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻌﻘﺪي اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ وﻣﺒﺎﺷﺮ ‪ ، O ,e1 ,e 2‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻨﻘﻂ ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬اﻟﺘﻲ أﻟﺤﺎﻗﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ‬
‫‪JG‬‬
‫‪ a = 3 + 5i‬و ‪ b = 3 − 5i‬و ‪ . c = 7 + 3i‬ﻟﺘﻜﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ M ′ ( z ′‬ﺻﻮرة اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ M ( z‬ﺑﺎﻻزاﺡﺔ ‪ T‬ذات اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ‪ u‬اﻟﺘﻲ‬
‫ﻟﺤﻘﻬﺎ ‪. 4 − 2i‬‬
‫أ‪ -‬ﻟﺪیﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪JG‬‬

‫)(‬

‫‪JG‬‬

‫‪JJJJJJG‬‬

‫‪M ′ = T ( M ) ⇔ MM ′ = u ⇔ z ′ = z + aff u ⇔ z ′ = z + 4 − 2i‬‬

‫وﺑﻤﺎ أن ‪ ، a + 4 − 2i = 3 + 5i + 4 − 2i = 7 + 3i = c :‬ﻓﺈن‪ C = T ( A ) :‬أي ‪ C‬هﻲ ﺻﻮرة ‪ A‬ﺑﺎﻻزاﺡﺔ ‪. T‬‬
‫ب‪ -‬ﻟﺪیﻨﺎ ‪:‬‬

‫) ‪b − c 3 − 5i − 7 − 3i −4 − 8i 2i ( −4 + 2i‬‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫‪= 2i‬‬
‫‪a − c 3 + 5i − 7 − 3i −4 + 2i‬‬
‫‪−4 + 2i‬‬

‫‪b −c‬‬
‫⎤‪⎡ π‬‬
‫ﺝـ‪ -‬ﻟﺪیﻨﺎ ‪= 2i = ⎢ 2, ⎥ :‬‬
‫‪a −c‬‬
‫⎦‪⎣ 2‬‬

‫‪ .‬إذن ‪:‬‬

‫⎞ ‪⎛ b −c‬‬
‫⎤⎦ ‪⎟ ⎣⎡ 2π‬‬
‫⎠ ‪⎝ a −c‬‬

‫⎜ ‪≡ arg‬‬

‫⎦⎤ ‪⎡⎣ 2π‬‬

‫‪CB b − c‬‬
‫=‬
‫وﻣﻨﻪ ﻓﺈن ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاویﺔ ﻓﻲ ‪ C‬وﻟﺪیﻨﺎ ‪= 2 :‬‬
‫‪CA a − c‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪ ‬‬

‫اﻷﺳﺘﺎذ ‪ :‬ﻣﺤﻤﺪ اﻟﺤﻴــــــــــــــــــــﺎن‬

‫‪.‬‬

‫‪π‬‬

‫‪2‬‬

‫≡‬

‫‪ .‬إذن ‪BC = 2AC :‬‬

‫‪JJJG JJJG‬‬

‫) ‪(CA ,CB‬‬
‫‪JJJG JJJG‬‬

‫) ‪(CA ,CB‬‬
‫‪.‬‬

‫اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺑﻜﺎﻟﻮریﺎ ﺷﻌﺒﺔ اﻟﻌﻠﻮم اﻟﺘﺠﺮیﺒﻴﺔ ﺑﻤﺴﺎﻟﻜﻬﺎ وﺷﻌﺒﺔ اﻟﻌﻠﻮم واﻟﺘﻜﻨﻮﻟﻮﺝﻴﺎت ﺑﻤﺴﻠﻜﻴﻬﺎ‬

‫‪)))C)Whhhhhhhhhhhhhhhhhhhh„KV„J)Éc†T„J‬‬

‫))‬

‫یﺤﺘﻮي ﺻﻨﺪوق ﻋﻠﻰ ﺳﺖ آﺮات ﺡﻤﺮاء وﺙﻼث آﺮات ﺧﻀﺮاء ) ﻻ یﻤﻜﻦ اﻟﺘﻤﻴﻴﺰ ﺑﻴﻨﻬﺎ ﺑﺎﻟﻠﻤﺲ (‬
‫‪ .1‬ﻧﺴﺤﺐ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺎ وﻓﻲ ‪‬א‪ ) ‬اﻟﺘﺮﺕﻴﺐ ﻏﻴﺮ ﻣﻬﻢ ( ﺙﻼث آﺮات ﻣﻦ اﻟﺼﻨﺪوق‪ .‬ﺕﺜﺒﻴﺖ اﻟﺼﻨﻒ ‪ :‬א‪: ‬‬

‫‪RRV‬‬

‫أ‪ -‬اﺡﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ آﺮﺕﻴﻦ ﺡﻤﺮاویﻦ وآﺮة ﺧﻀﺮاء‬
‫ب‪ -‬ﻃﺮیﻘﺔ ‪: 1‬‬

‫‪15 × 3 + 6 × 3 + 1 16‬‬
‫=‬
‫‪84‬‬
‫‪21‬‬
‫ﻃﺮیﻘﺔ ‪: 2‬‬

‫ﻧﻀﻊ اﻟﺤﺪث‬

‫‪ :A‬‬

‫‪RRV‬‬

‫‪+ C 33‬‬

‫‪RV V‬‬

‫أو‬

‫‪C 2C 1 + C 61C 32‬‬
‫‪. 6 3‬‬
‫‪C 93‬‬

‫اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ آﺮة ﺧﻀﺮاء واﺡﺪة ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ‬

‫اﻟﺤﺪث اﻟﻤﻀﺎد ﻟﻠﺤﺪث ‪A‬‬

‫هﻮ ‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪9‬‬

‫ ‬

‫أو‬

‫‪VVV‬‬

‫هﻮ ‪:‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ :A‬اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺙﻼث آﺮات ﺡﻤﺮاء ‪RRR -‬‬

‫‪C‬‬
‫‪20 64 16‬‬
‫= ‪= 1−‬‬
‫=‬
‫‪C‬‬
‫‪84 84 21‬‬

‫ﻟﺪیﻨﺎ ‪:‬‬

‫=‬

‫‪.C‬‬

‫‪C 62 ×C 31 15 × 3 15‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪.‬‬
‫‪84‬‬
‫‪28‬‬
‫‪C 93‬‬

‫هﻮ ‪:‬‬

‫اﺡﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ آﺮة ﺧﻀﺮاء واﺡﺪة ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ‬

‫‪p‬‬
‫‪n‬‬

‫‪. -‬‬

‫) (‬

‫‪. p ( A ) = 1− p A = 1 −‬‬

‫‪ .2‬ﻧﺴﺤﺐ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺎ ‪ ) ‬اﻟﺘﺮﺕﻴﺐ ﻣﻬﻢ واﻟﺘﻜﺮار ﻏﻴﺮ وارد ( ﺙﻼث آﺮات ﻣﻦ اﻟﺼﻨﺪوق‪.‬‬
‫ﺕﺜﺒﻴﺖ اﻟﺼﻨﻒ ‪ :‬א‪‬א‪: ‬‬
‫اﺡﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺙﻼث آﺮات ﺡﻤﺮاء هﻮ ‪:‬‬
‫‪))C)vhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhRJc„J)Éc†T„J‬‬

‫‪A63 120 5‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪A93 504 21‬‬

‫‪A np‬‬

‫‪.‬‬

‫‪.‬‬

‫ﻟﻤﺰﻳﺪ ﻣﻦ ﺩﺭﻭﺱ ﻭ ﺗﻤﺎﺭﻳﻦ ﻭ ﺍﻣﺘﺤﺎﻧﺎﺕ ‪ ...‬ﻣﻮﻗﻊ ﻗﻠﻤﻲ‬
‫‪))C)…¦J)•iX„J‬‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ g‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدیﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ⎣⎡ ∞‪ ⎤⎦ 0, +‬ﺑﻤﺎ یﻠﻲ ‪g ( x ) = x − 2ln x :‬‬
‫‪ .1‬أ‪ -‬ﻟﻴﻜﻦ ⎣⎡ ∞‪ ، x ∈ ⎤⎦ 0, +‬ﻟﺪیﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪x −2‬‬
‫ب‪ -‬ﻧﻌﻠﻢ أن ‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫و ﻟ ﺪ ی ﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪g‬‬

‫‪2 ‬‬
‫‪ ‬‬

‫‪2 x −2‬‬
‫=‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬

‫‪g ′ ( x ) = ( x − 2ln x )′ = 1 −‬‬

‫= ) ‪∀x ∈ ⎤⎦ 0, +∞ ⎡⎣ : g ′ ( x‬‬

‫‪x ∈ ⎤⎦ 0,2⎤⎦ ⇒ x ≤ 2 ⇒ x − 2 ≤ 0‬‬

‫و‬

‫‪ .‬إذن إﺷﺎرة‬

‫) ‪g ′( x‬‬

‫‪.‬‬

‫ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ⎣⎡ ∞‪ ⎤⎦ 0, +‬هﻲ إﺷﺎرة‬

‫‪x ∈ ⎡⎣ 2, +∞ ⎡⎣ ⇒ x ≥ 2 ⇒ x − 2 ≥ 0‬‬

‫ﺕﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ⎦⎤ ‪ ⎤⎦ 0,2‬وﺕﺰایﺪیﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ⎣⎡ ∞‪. ⎡⎣ 2, +‬‬

‫اﻷﺳﺘﺎذ ‪ :‬ﻣﺤﻤﺪ اﻟﺤﻴــــــــــــــــــــﺎن‬

‫‪.‬‬

‫‪x −2‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ .‬إذن ‪:‬‬

‫ﺧﻼﺻ ﺔ ‪:‬‬

‫اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺑﻜﺎﻟﻮریﺎ ﺷﻌﺒﺔ اﻟﻌﻠﻮم اﻟﺘﺠﺮیﺒﻴﺔ ﺑﻤﺴﺎﻟﻜﻬﺎ وﺷﻌﺒﺔ اﻟﻌﻠﻮم واﻟﺘﻜﻨﻮﻟﻮﺝﻴﺎت ﺑﻤﺴﻠﻜﻴﻬﺎ‬

‫‪e > 2 ⇒ 1 > ln 2 ⇒ 1 − ln 2 > 0‬‬

‫‪ .2‬ﺑﻤﺎ أن ‪:‬‬

‫(‬

‫)‬

‫(‬

‫)‬

‫‪ ،‬ﻓﺈن ‪. g ( 2 ) = 2 1 − ln 2 > 0 :‬‬

‫وﻟﺪیﻨﺎ ‪ g ( 2 ) = 2 1 − ln 2 :‬ﻗﻴﻤﺔ دﻧﻮیﺔ ﻣﻄﻠﻘﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ g‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ⎣⎡ ∞‪ ⎤⎦ 0, +‬ﻋﻨﺪ اﻟﻌﺪد‬
‫‪∀x ∈ ⎤⎦ 0, +∞ ⎡⎣ : g ( x ) ≥ g ( 2 ) > 0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ .‬وﻣﻨﻪ ﻓﺈ ن‪:‬‬

‫‪))C)KV„J)•iX„J‬‬
‫‪2‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدیﺔ ‪ f‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ⎣⎡ ∞‪ ⎤⎦ 0, +‬ﺑﻤﺎ یﻠﻲ ‪f ( x ) = x − ( ln x ) :‬‬

‫‪ .1‬ﻟﺪیﻨﺎ ‪= −∞ :‬‬

‫‪2‬‬

‫)‬

‫(‬

‫‪ ، lim f ( x ) = lim x − ln x‬ﻷن ‪:‬‬
‫‪x →0‬‬
‫‪x >0‬‬

‫‪x →0‬‬
‫‪x >0‬‬

‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C‬یﻘﺒﻞ ﻣﻘﺎرﺑﺎ ﻋﻤﻮدیﺎ ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪x = 0‬‬
‫‪ .2‬أ‪ -‬ﻧﻀﻊ ‪ . t = x :‬إذن ‪:‬‬

‫→‪x t‬‬
‫∞‪+‬‬
‫∞‪→+‬‬

‫∞‪= −‬‬

‫‪2‬‬

‫‪. lim ln x‬‬
‫‪x →0‬‬
‫‪x >0‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ln t‬‬
‫‪ .‬و ﺡ ﻴ ﺚ أن ‪= 0‬‬
‫‪t‬‬
‫‪2‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ ، lim‬ﻓﺈن ‪:‬‬

‫∞‪t →+‬‬

‫⎟⎞ ) (‬

‫⎛‬
‫⎞ ‪ln t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪= t lim‬‬
‫×‬
‫‪=0‬‬
‫⎜‬
‫⎟‬
‫∞‪→+‬‬
‫⎠⎟ ‪t‬‬
‫⎝‬
‫⎟‬
‫⎠‬

‫‪2‬‬
‫‪⎛ ln t 2‬‬
‫) ‪ln x‬‬
‫(‬
‫⎞ ‪⎛ ln x‬‬
‫⎜‬
‫‪lim‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪lim‬‬
‫=‬
‫=‬
‫⎜‬
‫⎟‬
‫∞‪x →+‬‬
‫∞‪x →+‬‬
‫⎜ ∞‪t →+‬‬
‫‪x‬‬
‫⎠ ‪⎝ x‬‬
‫‪⎜ t‬‬
‫‪2‬‬

‫⎝‬

‫‪2‬‬

‫) ‪( ln x‬‬

‫⎞ ‪⎛ ( ln x )2‬‬
‫ب‪ -‬ﻟﺪیﻨﺎ ‪⎟ = +∞ :‬‬
‫‪f ( x ) = lim x − ( ln x ) = lim x ⎜1 −‬‬
‫‪ ، xlim‬ﻷن ‪= 0 :‬‬
‫∞‪→+‬‬
‫∞‪x →+‬‬
‫⎜ ∞‪x →+‬‬
‫⎟ ‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫⎝‬
‫⎠‬
‫⎞ ‪⎛ ( ln x )2‬‬
‫) ‪f (x‬‬
‫‪ . lim‬ﻟﻤﺰﻳﺪ ﻣﻦ ﺩﺭﻭﺱ ﻭ ﺗﻤﺎﺭﻳﻦ ﻭ ﺍﻣﺘﺤﺎﻧﺎﺕ‬
‫وﻟﺪیﻨﺎ ‪⎟ = 1 :‬‬
‫‪= lim ⎜1 −‬‬
‫‪x →+∞ x‬‬
‫⎜ ∞‪x →+‬‬
‫⎟ ‪x‬‬
‫⎝‬
‫⎠‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬
‫‪lim f ( x ) − x = xlim‬‬
‫ﺝـ‪ -‬ﻟﺪیﻨﺎ ‪x − ( ln x ) − x = lim − ( ln x ) = −∞ :‬‬
‫∞‪x →+‬‬
‫∞‪→+‬‬
‫∞‪x →+‬‬

‫‪2‬‬

‫)‬

‫‪ (C‬یﻘﺒﻞ ﻓﺮﻋﺎ ﺷﻠﺠﻤﻴﺎ ﺑﺠﻮار ∞‪ +‬اﺕﺠﺎهﻪ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ∆ ( اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪:‬‬

‫‪y =x‬‬

‫⎡⎣‬

‫‪ .‬إذن‬

‫⎤⎦‬

‫وﺡﺴﺐ إﺷﺎرة‬

‫‪x‬‬

‫‪x‬‬

‫‪x‬‬

‫ب‪ -‬ﺝﺪول ﺕﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ‬

‫‪f‬‬

‫‪ ...‬ﻣﻮﻗﻊ ﻗﻠﻤﻲ‬

‫‪ ،‬وﺡﺴﺐ اﻟﺴﺆال اﻟﺴﺎﺑﻖ ‪ ،‬ﻓﺈن اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬

‫‪ (C‬یﻮﺝﺪ ﺕﺤﺖ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ∆ ( ‪.‬‬

‫‪)′ = 1 − 2ln ′ ( x ) ln x‬‬

‫) ‪ g ( x‬ﻓﻲ اﻟﺠﺰء اﻷول ‪ ،‬ﻟﺪیﻨﺎ ‪∈ ⎦⎤ 0, +∞ ⎣⎡ : f ′ ( x ) > 0 :‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫‪.‬‬

‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ )‬

‫د‪ -‬ﻟﺪیﻨﺎ ‪∀x ∈ ⎤⎦ 0, +∞ ⎡⎣ : f ( x ) − x = − ( ln x ) ≤ 0 :‬‬
‫) ‪g (x‬‬
‫‪2ln x x − 2ln x‬‬
‫‪ .3‬أ‪ -‬ﻟﻴﻜﻦ ∞‪ ، x ∈ 0, +‬ﻟﺪیﻨﺎ ‪:‬‬
‫‪= 1−‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪2‬‬

‫‪. lim‬‬

‫‪ . ∀x‬إذن‬

‫‪f‬‬

‫‪2‬‬

‫) ‪′ ( x ) = ( x − ( ln x‬‬

‫‪.f‬‬

‫ﺕﺰایﺪیﺔ ﻋﻠﻰ ⎡⎣ ∞‪. ⎦⎤ 0, +‬‬

‫‪ :‬‬

‫ﺝـ‪ -‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C‬ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ اﻟﺘﻲ أﻓﺼﻮﻟﻬﺎ ‪ 1‬هﻲ ‪. y = f ′ (1)( x − 1) + f (1) ⇔ y = x :‬‬
‫‪ .4‬ﻟﺪیﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪3 ‬‬
‫‪ ‬‬

‫‪f‬‬

‫ﻣﺘﺼﻠﺔ وﺕﺰایﺪیﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ⎡⎣ ∞‪ . ⎦⎤ 0, +‬إذن‪:‬‬

‫اﻷﺳﺘﺎذ ‪ :‬ﻣﺤﻤﺪ اﻟﺤﻴــــــــــــــــــــﺎن‬

‫‪f‬‬

‫ﺕﻘﺒﻞ داﻟﺔ ﻋﻜﺴﻴﺔ‬

‫‪−1‬‬

‫‪f‬‬

‫ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل ‪ J‬ﺡﻴﺚ ‪:‬‬

‫اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺑﻜﺎﻟﻮریﺎ ﺷﻌﺒﺔ اﻟﻌﻠﻮم اﻟﺘﺠﺮیﺒﻴﺔ ﺑﻤﺴﺎﻟﻜﻬﺎ وﺷﻌﺒﺔ اﻟﻌﻠﻮم واﻟﺘﻜﻨﻮﻟﻮﺝﻴﺎت ﺑﻤﺴﻠﻜﻴﻬﺎ‬

‫⎤‬
‫⎡‬
‫\ = ⎣⎡ ∞‪ J = f ⎤⎦ 0, +∞ ⎡⎣ = ⎥ lim f ( x ) , lim f ( x ) ⎢ = ⎤⎦ −∞, +‬ﻧﺤﻮ اﻟﻤﺠﺎل ⎣⎡ ∞‪ ، I = ⎤⎦ 0, +‬وﺑﻤﺎ أن ‪ ، 0 ∈ J‬ﻓﺈن‬
‫‪0‬‬
‫∞‪x →+‬‬
‫→ ‪⎥ xx‬‬
‫⎢‬
‫‪⎦ >0‬‬
‫⎣‬
‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ f ( x ) = 0‬ﺕﻘﺒﻞ ﺡﻼ وﺡﻴﺪا ‪ α‬ﻓﻲ اﻟﻤﺠﺎل ⎣⎡ ∞‪. I = ⎤⎦ 0, +‬‬

‫)‬

‫(‬

‫‪2‬‬
‫‪⎛1⎞ 1‬‬
‫‪⎛1⎞ 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1−e‬‬
‫= ‪ f ⎜ ⎟ = − 1‬و ‪ ) f ⎜ ⎟ = − ( ln 2 ) > 0‬ﻷﻧﻪ ﺡﺴﺐ اﻟﻤﻌﻄﻴﺎت‬
‫وﺑﻤﺎ أن ‪< 0 :‬‬
‫‪e‬‬
‫‪2‬‬
‫‪⎝ 2⎠ 2‬‬
‫‪⎝e ⎠ e‬‬

‫<‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫ﻓﺈﻧﻪ ﺡﺴﺐ ﻣﺒﺮهﻨﺔ اﻟﻘﻴﻢ اﻟﻮﺳﻴﻄﻴﺔ ‪ ،‬ﻟﺪیﻨﺎ ‪< α < :‬‬
‫‪e‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .5‬إﻧﺸﺎء اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪: (C‬‬
‫‪ I (e ,e −1) . α ≈ 0,4948664145‬ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻌﻄﺎف ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪(C‬‬

‫)‬

‫(‬

‫‪.( ln 2‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ .6‬أ‪ -‬ﻟﺪیﻨﺎ ‪∈ ⎤⎦ 0, +∞ ⎡⎣ : H ′ ( x ) = ( x ln x − x )′ = x ′ ln x + xln ′x − 1 = ln x :‬‬
‫هﻲ داﻟﺔ أﺻﻠﻴﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ ln : x 6 ln x‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ⎣⎡ ∞‪ ، ⎤⎦ 0, +‬وﻟﺪیﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪ . ∀x‬إذن ‪:‬‬

‫‪≈ 2,7‬‬

‫‪.‬‬

‫‪.e‬‬

‫‪H : x 6 x ln x − x‬‬

‫‪∫1 ln ( x ) dx = ⎡⎣H ( x )⎤⎦1 = H (e ) − H (1) = 0 − ( −1) = 1‬‬
‫‪e‬‬

‫‪e‬‬

‫ب‪ -‬ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﻤﻜﺎﻣﻠﺔ ﺑﺎﻷﺝﺰاء‪ ،‬ﻟﺪیﻨﺎ ‪:‬‬
‫‪e‬‬

‫‪dx = ∫ H ′ ( x ) ln ( x ) dx = ⎡⎣ H ( x ) ln ( x )⎤⎦ − ∫ H ( x ) ln ′ ( x ) dx‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪e x ln x − x‬‬
‫∫ ‪= H (e ) ln (e ) − H (1) ln (1) −‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪e‬‬
‫‪e‬‬
‫‪= − ∫ ( ln ( x ) − 1) dx = − ∫ ln ( x ) dx + (e − 1) = e − 2‬‬
‫‪e‬‬

‫‪e‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4 ‬‬
‫‪ ‬‬

‫اﻷﺳﺘﺎذ ‪ :‬ﻣﺤﻤﺪ اﻟﺤﻴــــــــــــــــــــﺎن‬

‫‪2‬‬

‫) ‪∫1 ln ( x‬‬
‫‪e‬‬

‫‪1‬‬

‫اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺑﻜﺎﻟﻮریﺎ ﺷﻌﺒﺔ اﻟﻌﻠﻮم اﻟﺘﺠﺮیﺒﻴﺔ ﺑﻤﺴﺎﻟﻜﻬﺎ وﺷﻌﺒﺔ اﻟﻌﻠﻮم واﻟﺘﻜﻨﻮﻟﻮﺝﻴﺎت ﺑﻤﺴﻠﻜﻴﻬﺎ‬

‫ ﺡﺴﺐ اﻟﺴﺆال أﻋﻼﻩ ‪-‬‬‫ﺝـ‪ -‬ﻣﺴﺎﺡﺔ اﻟﺤﻴﺰ اﻟﻤﺴﺘﻮي اﻟﻤﺤﺼﻮر ﺑﻴﻦ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C‬واﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ∆ واﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ اﻟﻤﻌﺮﻓﻴﻦ ﺑﺎﻟﻤﻌﺎدﻟﺘﻴﻦ‬

‫) (‬
‫)‪( x ) )dx = ∫ ( ln x ) dx = e − 2 ≈ 0,7 (u .a.‬‬
‫‪2‬‬

‫‪e‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ x =1‬و ‪x = e‬‬

‫‪f ( x ) − x dx = ∫ ( x − f‬‬
‫‪e‬‬

‫‪1‬‬

‫‪e‬‬

‫هﻲ ‪:‬‬

‫∫= ‪A‬‬

‫‪1‬‬

‫‪))C)W„KV„J)•iX„J‬‬

‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻌﺪدیﺔ `∈‪(u n )n‬‬
‫‪ .1‬ﻟﻨﺒﻴﻦ ﺑﺎﻟﺘﺮﺝﻊ أن ‪:‬‬
‫‪9‬‬

‫اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ آﻤﺎ یﻠﻲ ‪:‬‬

‫`∈ ‪n‬‬

‫‪∀n ∈ ` : 1 ≤ u n ≤ 2‬‬

‫ﻣﻦ أﺝﻞ ‪n = 0‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ ،‬ﻟﺪیﻨﺎ ‪ ، u 0 = 2 :‬إذن ‪  . 1 ≤ u 0 ≤ 2 :‬‬

‫‪ 9‬ﻟﻴﻜﻦ ` ∈ ‪  . n‬‬
‫ﻧﻔﺘﺮض أن ‪  . 1 ≤ u n ≤ 2 :‬‬
‫ﻟﻨﺒﻴﻦ أن ‪  : 1 ≤ u n +1 ≤ 2 :‬‬
‫ﻧﻌﻠﻢ أن‬

‫‪f‬‬

‫ﺕﺰایﺪیﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ⎣⎡ ∞‪ . ⎤⎦ 0, +‬إذن ‪:‬‬
‫ﻷن ‪:‬‬

‫‪ 9‬وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪⎧⎪ u 0 = 2‬‬
‫⎨‬
‫; ) ‪⎪⎩u n +1 = f (u n‬‬

‫‪∀n ∈ ` : 1 ≤ u n ≤ 2‬‬

‫‪ .2‬ﻟﻴﻜﻦ ` ∈ ‪ . n‬ﻟﺪیﻨﺎ ‪≤ 0 :‬‬

‫‪2‬‬

‫)‬

‫‪1 ≤ u n ≤ 2 ⇒ f (1) ≤ f (u n ) ≤ f ( 2 ) ⇒ 1 ≤ u n +1 ≤ 2‬‬

‫‪f ( 2 ) − 2 = − ( ln 2 ) ≤ 0 ⇒ f ( 2 ) ≤ 2‬‬
‫‪2‬‬

‫‪.‬‬

‫‪.‬‬

‫(‬

‫) ‪ . u n +1 − u n = f (u n ) − u n = − ln (u n‬إذن ‪ (u n )n∈` :‬ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺕﻨﺎﻗﺼﻴﺔ‪.‬‬

‫‪ .3‬ﺑﻤﺎ أن `∈‪ (u n )n‬ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺕﻨﺎﻗﺼﻴﺔ وﻣﺼﻐﻮرة ﺑﺎﻟﻌﺪد ‪ ، 1‬ﻓﺈﻧﻬﺎ ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ‪ .‬وﻟﺪیﻨﺎ ‪:‬‬
‫‪9‬‬

‫‪f‬‬

‫داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ⎦⎤‪  . ⎡⎣1,2‬‬

‫‪9‬‬

‫‪f‬‬

‫داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ وﺕﺰایﺪیﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ⎦⎤‪ . ⎡⎣1,2‬إذن ‪:‬‬

‫‪9‬‬

‫⎦⎤‪u 0 = 2 ∈ ⎡⎣1,2‬‬

‫‪ .‬‬

‫‪ (u n )n∈` 9‬ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ ﻧﻬﺎیﺘﻬﺎ‬
‫ﺡﺴﺐ ﻣﺼﺎدیﻖ اﻟﺘﻘﺎرب ‪ ،‬ﻟﺪیﻨﺎ ‪:‬‬
‫وﻟﺪیﻨﺎ ‪:‬‬

‫⎦⎤‪( ⎡⎣1,2⎤⎦ ) = ⎡⎣f (1) , f ( 2)⎤⎦ ⊂ ⎡⎣1, 2‬‬

‫‪f‬‬

‫‪ ،‬ﻷن ‪  . f ( 2 ) ≤ 2 :‬‬

‫‪l‬‬

‫‪ .‬‬

‫‪f (l ) = l‬‬

‫و‬

‫⎦⎤‪l ∈ ⎡⎣1,2‬‬

‫‪.‬‬

‫‪f ( l ) = l ⇔ l − ( ln ( l ) ) = l ⇔ ln ( l ) = 0 ⇔ l = 1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ .‬وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪lim u =1‬‬
‫‪n →+∞ n‬‬

‫‪.‬‬

‫‪))“hhhhhhhhhhhhhhhhhhŠTJ‬‬

‫ﻣﺴﺎﺡﺔ اﻟﺤﻴﺰ اﻟﻤﺴﺘﻮي اﻟﻤﺤﺼﻮر ﺑﻴﻦ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C‬واﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ∆ ( واﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ اﻟﻤﻌﺮﻓﻴﻦ ﺑﺎﻟﻤﻌﺎدﻟﺘﻴﻦ ‪ x = 1‬و ‪x = e‬‬

‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل ‪Maple 7‬‬

‫;‪> f:=x->x-(ln(x))^2‬‬
‫‪f := x → x − ln( x ) 2‬‬

‫;))‪> A:=Int(abs('f'(x)-x),x=1..exp(1))=int(abs(f(x)-x),x=1..exp(1‬‬
‫‪e‬‬

‫⌠ =‪A :‬‬
‫‪⎮ −f( x ) + x dx = e − 2‬‬
‫‪⌡1‬‬

‫;)‪> A:=evalf(rhs(A),20‬‬

‫‪A := .7182818284590452354‬‬
‫‪5 ‬‬
‫‪ ‬‬

‫اﻷﺳﺘﺎذ ‪ :‬ﻣﺤﻤﺪ اﻟﺤﻴــــــــــــــــــــﺎن‬

‫اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺑﻜﺎﻟﻮریﺎ ﺷﻌﺒﺔ اﻟﻌﻠﻮم اﻟﺘﺠﺮیﺒﻴﺔ ﺑﻤﺴﺎﻟﻜﻬﺎ وﺷﻌﺒﺔ اﻟﻌﻠﻮم واﻟﺘﻜﻨﻮﻟﻮﺝﻴﺎت ﺑﻤﺴﻠﻜﻴﻬﺎ‬

‫ﺕﻤﺜﻴﻞ اﻟﺤﺪود اﻟﺴﺘﺔ اﻷوﻟﻰ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻌﺪدیﺔ `∈‪ (u n )n‬ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل ‪: Archimède II‬‬

‫‪ ‬‬
‫‪6 ‬‬
‫‪ ‬‬

‫اﻷﺳﺘﺎذ ‪ :‬ﻣﺤﻤﺪ اﻟﺤﻴــــــــــــــــــــﺎن‬

‫اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺑﻜﺎﻟﻮریﺎ ﺷﻌﺒﺔ اﻟﻌﻠﻮم اﻟﺘﺠﺮیﺒﻴﺔ ﺑﻤﺴﺎﻟﻜﻬﺎ وﺷﻌﺒﺔ اﻟﻌﻠﻮم واﻟﺘﻜﻨﻮﻟﻮﺝﻴﺎت ﺑﻤﺴﻠﻜﻴﻬﺎ‬


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