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corrigé bac 2009 .pdf



Nom original: corrigé bac 2009.PDF
Titre: Microsoft Word - cor2Bac-SP-SVT-09
Auteur: Administrateur

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‫ﺗﺼﺤﻴــﺢ ﺍﻻﻣﺘﺤﺎﻥ ﺍﻟﻮﻃﻨــﻲ‬

‫ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺑﻜﺎﻟﻮﺭﻳﺎ ﻋﻠﻮﻡ ﻓﻴﺰﻳﺎﺋﻴـﺔ‬

‫ﺍﳌﻮﺣـــﺪ ﻟﻠﺒﻜﺎﻟﻮﺭﻳــــﺎ‬

‫ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺑﻜﺎﻟﻮﺭﻳﺎ ﻋﻠﻮﻡ ﺍﳊﻴﺎﺓ ﻭﺍﻷﺭﺽ‬

‫ﺍﻷﺳﺘﺎﺫ ‪ :‬ﳏﻤﺪ ﺍﳊﻴﺎﻥ‬

‫ﺍﻟﺪﻭﺭﺓ ﺍﻟﻌﺎﺩﻳــﺔ ‪2009‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ﺍﻷﻭﻝ ‪:‬‬

‫ﻥﻌﺘﺒﺮ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ وﻣﺒﺎﺷﺮ ) ‪ ، (O , i , j , k‬اﻟﻨﻘﻂ )‪ A ( −2,2,8‬و )‪ B ( 6,6,0‬و )‪( 2, −1,0‬‬
‫‪JJJJJG JJJJJJG‬‬
‫)‪ D ( 0,1, −1‬و ) ‪ (S‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ‪ M‬ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء اﻟﺘﻲ ﺕﺤﻘﻖ ‪. MA . MB = 0‬‬

‫‪ .1‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪JJG JJG JJG‬‬

‫‪−1 1 JJG 2 0 JJG 2 0 JJG JJG JJG JJG‬‬
‫‪i−‬‬
‫‪j+‬‬
‫‪k = i + 2 j + 2k‬‬
‫‪0 −1 0 −1‬‬
‫‪−1 1‬‬

‫اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ‬

‫‪JJJJJG JJJJJG‬‬

‫‪OC ∧OD‬‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪M ( x , y , z‬‬

‫هﻮ‬

‫)‪(1,2,2‬‬

‫‪.‬‬

‫⎞ ‪⎛2‬‬
‫⎞ ‪⎛0‬‬
‫⎟ ⎜‪JJJJJG⎜ ⎟ JJJJJG‬‬
‫= ⎟ ‪ . OC ⎜ −1⎟ ∧OD ⎜1‬إذن ﻣﺜﻠﻮث إﺡﺪاﺛﻴﺎت‬
‫⎟⎟ ‪⎜⎜ 0‬‬
‫⎟⎟‪⎜⎜ −1‬‬
‫⎠ ⎝‬
‫⎠ ⎝‬

‫‪JJJJJG JJJJJG‬‬

‫ﻥﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء‪ .‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ OC ∧OD :‬ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪(OCD‬‬
‫⎞ ‪⎛1‬‬
‫⎟ ⎜ ‪JJJJJG JJJJJG‬‬
‫‪OC ∧OD ⎜ 2 ⎟ = 0‬‬
‫⎟⎟ ‪⎜⎜ 2‬‬
‫⎠ ⎝‬

‫)‬

‫(‬

‫‪.‬‬

‫⎞‬
‫⎟‬
‫⎟‬
‫⎟‬
‫⎠‬

‫‪⎛x‬‬
‫⎜‪JJJJJJG‬‬
‫‪OM ⎜ y‬‬
‫‪⎜z‬‬
‫⎝‬

‫وﺏﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن ‪ x + 2 y + 2z = 0‬هﻲ ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺕﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى ) ‪(OCD‬‬

‫‪ .‬إذن ‪:‬‬

‫⇔ ) ‪M ∈ (OCD‬‬

‫‪x + 2 y + 2z = 0‬‬

‫‪ .2‬ﻟﺘﻜﻦ ) ‪M ( x , y , z‬‬

‫‪C‬و‬

‫⇔‬
‫‪.‬‬

‫ﻥﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء‪ .‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬

‫⎞‬
‫⎟‬
‫‪⎟=0‬‬
‫⎟⎟‬
‫⎠‬

‫‪⎛6− x‬‬
‫⎜‪JJJJJJG‬‬
‫‪. MB ⎜ 6 − y‬‬
‫‪⎜⎜ −z‬‬
‫⎝‬

‫⎞‬
‫⎟‬
‫⎟‬
‫⎟⎟‬
‫⎠‬

‫‪⎛ −2 − x‬‬
‫⎜‪JJJJJG‬‬
‫‪MA ⎜ 2 − y‬‬
‫⎜⎜‬
‫‪⎝8 − z‬‬

‫⇔ ) ‪M ∈ (S‬‬

‫‪( −2 − x )( 6 − x ) + ( 2 − y )( 6 − y ) + (8 − z ) ( −z ) = 0‬‬

‫⇔‬

‫‪x 2 + y 2 + z 2 − 4x − 8 y − 8z = 0‬‬

‫⇔‬

‫‪( x − 2) + ( y − 4) + ( z − 4) = 36‬‬
‫وﺏﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن ) ‪ (S‬ﻓﻠﻜﺔ ﻣﺮآﺰهﺎ ) ‪ Ω ( 2,4,4‬وﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ‪. R = 36 = 6‬‬

‫⇔‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪18‬‬
‫‪ .3‬أ‪ -‬ﻣﺴﺎﻓﺔ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ Ω ( 2,4,4‬ﻋﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪ (OCD‬هﻲ ‪= 6 = R :‬‬
‫‪3‬‬

‫=‬

‫ب‪ -‬ﺏﻤﺎ أن ‪ ، d ( Ω, (OCD )) = R‬ﻓﺈن اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪ (OCD‬ﻣﻤﺎس ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ ) ‪(S‬‬

‫)‪2 + ( 2 × 4) + ( 2 × 4‬‬
‫‪12 + 22 + 22‬‬

‫)‬

‫(‬

‫= ) ‪d Ω, (OCD‬‬

‫‪.‬‬

‫‪.‬‬

‫⎞ ‪⎛ -2‬‬
‫⎞‪⎛ 6‬‬
‫⎟ ⎜‪JJJJJG⎜ ⎟ JJJJJG‬‬
‫ﺝـ‪ -‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪. OA ⎜ 2 ⎟ . OB ⎜ 6 ⎟ = −2 × 6 + 2 × 6 + 8 × 0 = −12 + 12 = 0 :‬‬
‫⎟⎟ ‪⎜⎜ 8‬‬
‫⎟⎟ ‪⎜⎜ 0‬‬
‫⎠ ⎝‬
‫⎠ ⎝‬
‫‪JJJJJG JJJJJG‬‬
‫ﺏﻤﺎ أن ‪ ، OA . OB = −12 + 12 = 0 :‬ﻓﺈن ‪ .O ∈ S :‬وﻟﺪﻳﻨﺎ ‪.O ∈ OCD :‬‬

‫)‬

‫( )‬

‫( )‬

‫(‬

‫(‬

‫)‬
‫) (‬
‫وﺏﻤﺎ أن اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪ (OCD‬ﻣﻤﺎس ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ ) ‪ ، (S‬ﻓﺈن ‪ O‬هﻲ ﻥﻘﻄﺔ ﺕﻤﺎس اﻟﻔﻠﻜﺔ ) ‪ (S‬واﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪. (OCD‬‬

‫‪  ‬اﻟﺼﻔﺤﺔ ‪ 1‬‬

‫‪ ‬اﻻﻣﺘﺤﺎن اﻟﻮﻃﻨﻲ اﻟﻤﻮﺡﺪ ﻟﻠﺒﻜﺎﻟﻮرﻳﺎ ﻋﻠﻮم ﻓﻴﺰﻳﺎﺋﻴﺔ وﻋﻠﻮم اﻟﺤﻴﺎة واﻷرض‬

‫اﻟﺪورة اﻟﻌﺎدﻳﺔ ‪2009‬‬

‫اﻷﺳﺘﺎذ ‪ :‬ﻣﺤﻤﺪ اﻟﺤﻴﺎن‬
‫‪ ‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ﺍﻟﺜﺎﱐ ‪:‬‬
‫ﻥﻌﺘﺒﺮ‪ ،‬ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻌﻘﺪي اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ وﻣﺒﺎﺷﺮ‬

‫)‬

‫‪JJJGJJJG‬‬
‫⎟⎞ ‪ ⎛⎜O ,u ,v‬اﻟﻨﻘﻂ ‪A‬‬

‫⎝‬

‫⎠‬

‫(‬

‫‪3 1‬‬
‫ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ هﻲ ‪ a = 2 − 2i :‬و ‪+ i‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪⎛ 2‬‬
‫⎡ ⎞‬
‫‪−i π‬‬
‫⎤‬
‫‪2‬‬
‫‪π‬‬
‫‪ .1‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪⎟ = ⎢ 2 2, − ⎥ = 2 2e 4 :‬‬
‫‪a = 2 − 2i = 2 2 ⎜ − i‬‬
‫‪⎜ 2‬‬
‫⎣ ⎟‬
‫‪2‬‬
‫⎦‪4‬‬
‫⎝‬
‫⎠‬
‫‪b =−‬‬

‫و‬

‫‪= 1− 3 + 1+ 3 i‬‬

‫و‬

‫‪B‬‬

‫و ‪ C‬اﻟﺘﻲ أﻟﺤﺎﻗﻬﺎ‬

‫‪.c‬‬

‫‪5π‬‬

‫‪i‬‬
‫⎡‬
‫‪3 1‬‬
‫⎤ ‪π ⎤ ⎡ 5π‬‬
‫و ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪+ i = ⎢1,π − ⎥ = ⎢1, ⎥ = e 6 :‬‬
‫‪.b = −‬‬
‫⎣ ‪2 2‬‬
‫⎦ ‪6⎦ ⎣ 6‬‬
‫‪5π‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .2‬ﻥﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪوران ‪ R‬اﻟﺬي ﻣﺮآﺰﻩ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ O‬وزاوﻳﺘﻪ‬
‫‪6‬‬
‫أ‪ -‬ﻟﻴﻜﻦ ‪ z‬ﻟﺤﻖ ﻥﻘﻄﺔ ‪ M‬ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻌﻘﺪي و ‪ z ′‬ﻟﺤﻖ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ M ′‬ﺹﻮرة ‪M‬‬
‫‪i 5π‬‬
‫‪′ =e 6 z‬‬

‫‪⇔ z ′ = bz‬‬
‫ب‪ -‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ ، C ′‬ﺹﻮرة اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬ﺏﺎﻟﺪوران ‪ ، R‬ﻟﺤﻘﻬﺎ ‪ . c′‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬

‫)‬

‫‪)⇔z‬‬

‫ﺏﺎﻟﺪوران ‪ . R‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪. z ′ = R (z‬‬

‫⎛‬
‫‪. c ′ = ba = ⎜ −‬‬
‫⎜‬
‫⎝‬

‫⎟⎞ ‪3 1‬‬
‫‪+ i 2 − 2i ) = − 3 + 3i + i + 1 = 1− 3 + 1+ 3 i = c‬‬
‫( ⎠⎟ ‪2 2‬‬
‫إذن اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ C‬هﻲ ﺹﻮرة اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬ﺏﺎﻟﺪوران ‪. R‬‬
‫‪ .3‬ﺡﺴﺐ اﻟﺴﺆال ) ‪.2‬ب‪ ، ( -‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ . c = ba :‬إذن ‪:‬‬
‫⎤ ‪⎡ 2π‬‬
‫≡ ) ‪arg (c‬‬
‫) ‪arg (ab‬‬
‫⎣‬
‫⎦‬

‫(‬

‫⎦⎤ ‪≡ arg (a ) + arg (b ) ⎡⎣ 2π‬‬

‫وﺡﺴﺐ اﻟﺴﺆال ‪ ، .1‬ﻥﺴﺘﻨﺘﺞ أن ‪:‬‬

‫⎥⎤ ‪arg (c ) ≡ arg (a ) + arg ⎛⎜b ⎞⎟ ⎡⎢2π‬‬
‫⎦‬

‫⎣ ⎠‬

‫⎤ ‪⎡ 2π‬‬
‫⎣⎢‬
‫⎦⎥‬
‫⎤ ‪⎡ 2π‬‬
‫⎢⎣‬
‫⎥⎦‬

‫⎝‬

‫‪− π + 5π‬‬
‫‪4 6‬‬
‫‪7π‬‬
‫‪12‬‬

‫≡‬
‫≡‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ ‪:‬‬
‫ﻳﺤﺘﻮي ﺹﻨﺪوق ﻋﻠﻰ ‪ 3‬آﺮات ﺏﻴﻀﺎء و ‪ 4‬آﺮات ﺳﻮداء و ‪ 5‬آﺮات ﺡﻤﺮاء ) ﻻ ﻳﻤﻜﻦ اﻟﺘﻤﻴﻴﺰ ﺏﻴﻦ اﻟﻜﺮات ﺏﺎﻟﻠﻤﺲ ( ‪.‬‬
‫ﻥﺴﺤﺐ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺎ وﺗﺂﻧﻴﺎ ﺛﻼث آﺮات ﻣﻦ اﻟﺼﻨﺪوق ‪ .‬وهﺬا ﻳﺪل ﻋﻠﻰ اﻟﺴﺤﺐ اﻵﻥﻲ ) اﻟﺘﺄﻟﻴﻔﺎت ( ﻓﻲ ﺡﺎﻟﺔ ﻓﺮﺽﻴﺔ ﺕﺴﺎوي اﻻﺡﺘﻤﺎل‪.‬‬

‫‪ .1‬ﻥﻌﺘﺒﺮ اﻟﺤﺪﺛﻴﻦ اﻟﺘﺎﻟﻴﻴﻦ ‪:‬‬

‫‪A‬‬

‫‪  »:‬اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺛﻼث آﺮات ﻣﻦ ﻥﻔﺲ اﻟﻠﻮن‪«  ‬‬

‫‪                                     ‬و‬

‫‪B‬‬

‫‪  »:‬اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺛﻼث آﺮات ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ اﻟﻠﻮن ﻣﺜﻨﻰ ﻣﺜﻨﻰ‪ « ‬‬

‫‪  ‬اﻟﺼﻔﺤﺔ ‪ 2‬‬

‫‪ ‬اﻻﻣﺘﺤﺎن اﻟﻮﻃﻨﻲ اﻟﻤﻮﺡﺪ ﻟﻠﺒﻜﺎﻟﻮرﻳﺎ ﻋﻠﻮم ﻓﻴﺰﻳﺎﺋﻴﺔ وﻋﻠﻮم اﻟﺤﻴﺎة واﻷرض‬

‫‪ ‬‬

‫اﻟﺪورة اﻟﻌﺎدﻳﺔ ‪2009‬‬

‫اﻷﺳﺘﺎذ ‪ :‬ﻣﺤﻤﺪ اﻟﺤﻴﺎن‬
‫‪ ‬‬

‫اﺡﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث ‪A‬‬

‫هﻮ ‪:‬‬

‫‪B‬‬

‫هﻮ ‪:‬‬

‫اﺡﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث‬
‫‪ .2‬ﻟﻴﻜﻦ‬

‫‪X‬‬

‫‪C 53 + C 43 + C 33 10 + 4 + 1 15‬‬
‫‪3‬‬
‫= ) ‪. p (A‬‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫‪3‬‬
‫‪220‬‬
‫‪220 44‬‬
‫‪C 12‬‬
‫‪C 1C 1C 1 60‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪. p ( B ) = 5 34 3‬‬
‫=‬
‫‪220 11‬‬
‫‪C12‬‬

‫اﻟﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻲ اﻟﺬي ﻳﺮﺏﻂ آﻞ ﺳﺤﺒﺔ ﻟﺜﻼث آﺮات ﺏﻌﺪد اﻷﻟﻮان اﻟﺘﻲ ﺕﺤﻤﻠﻬﺎ‪.‬‬

‫أ‪ -‬اﻟﻘﻴﻢ اﻟﺘﻲ ﻳﺄﺥﺬهﺎ اﻟﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻲ ‪ X‬هﻲ ‪ 1 :‬و ‪ 2‬و ‪ . 3‬وﻟﺪﻳﻨﺎ ‪( Ω) = {1,2,3} :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫= ) ‪p ( X = 3) = p ( B‬‬
‫= ) ‪ p ( X = 1) = p ( A‬و‬
‫ب‪ -‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬
‫‪11‬‬
‫‪44‬‬

‫)‬

‫⎛‬

‫⎞‪3 3‬‬
‫و ‪15 29 :‬‬
‫= ‪+ ⎟⎟ = 1−‬‬
‫‪44 44‬‬
‫⎠ ‪⎝ 44 11‬‬

‫‪.X‬‬

‫(‬

‫⎜⎜ ‪p ( X = 2 ) = 1 − p ( X = 1) + p ( X = 3) = 1 −‬‬

‫أو ‪:‬‬

‫‪C 32C 91 +C 42C 81 +C 52C 71 (3× 9) + ( 6 × 8) + (10 × 7 ) 145 29‬‬
‫= )‪p ( X = 2‬‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫‪3‬‬
‫‪220‬‬
‫‪220 44‬‬
‫‪C12‬‬
‫⎞‬
‫⎟‬
‫⎠‬

‫ﻗﺎﻥﻮن اﺡﺘﻤﺎل اﻟﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻲ‬

‫‪X‬‬

‫⎛‬
‫⎜ ‪ ‬‬
‫⎝‬

‫‪ RR R‬أو ‪ NN N‬أو ‪BB B‬‬

‫‪:‬‬

‫اﻷﻣﻞ اﻟﺮﻳﺎﺽﻲ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻲ ‪X‬‬
‫⎛‬
‫‪3 ⎞ ⎛ 29 ⎞ ⎛ 3 ⎞ 97‬‬
‫‪E ( X ) = ∑ x k p k = ⎜⎜1× ⎟⎟ + ⎜⎜ 2 × ⎟⎟ + ⎜⎜ 3× ⎟⎟ = ≈ 2,2‬‬
‫‪44 ⎠ ⎝ 11 ⎠ 44‬‬
‫‪k =1‬‬
‫⎝ ⎠ ‪⎝ 44‬‬
‫‪:‬‬

‫‪3‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ‪:‬‬

‫‪−1‬‬

‫‪x‬‬
‫ﻥﻀﻊ ‪dx :‬‬
‫‪−2 x + 3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x + 3−3‬‬
‫‪3‬‬
‫=‬
‫‪= 1−‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .1‬أ‪ -‬ﻟﻴﻜﻦ }‪ . x ∈ \ − {−3‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬
‫‪x +3‬‬
‫‪x +3‬‬
‫‪x +3‬‬
‫ب‪ -‬ﺡﺴﺎب اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ‪: I‬‬
‫∫= ‪I‬‬

‫‪−1‬‬

‫و ‪= ∫ ln ( 2x + 6 ) dx‬‬
‫‪−2‬‬

‫‪.J‬‬

‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪dx = ∫ 1 −‬‬
‫‪dx = ⎡⎣ x − 3ln x + 3 ⎤⎦ = ( −1 − 3ln 2 ) − ( −2 − 3ln1) = 1 − 3ln 2‬‬
‫‪−2 x + 3‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪x +3‬‬
‫‪ .2‬ﺡﺴﺎب اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ‪: J‬‬
‫‪−1‬‬

‫‪−1‬‬

‫‪−1‬‬

‫‪= ∫−2 ln ( 2x + 6) dx = ∫−2 x ′ ln ( 2x + 6 ) dx‬‬

‫∫= ‪I‬‬

‫‪J‬‬

‫‪= ⎡⎣x ln ( 2x + 6)⎤⎦ −2 − ∫−2 x ( ln ( 2x + 6 ) )′ dx‬‬
‫‪−1‬‬

‫‪2‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪2x + 6‬‬

‫‪−1‬‬

‫‪−1‬‬

‫‪= − ln 4 + 2ln 2 − ∫−2‬‬

‫‪= − ∫−2 1 dx‬‬
‫‪x +3‬‬
‫‪J = − I = -1+ 3ln 2‬‬
‫‪−1‬‬

‫‪  ‬اﻟﺼﻔﺤﺔ ‪ 3‬‬

‫‪ ‬اﻻﻣﺘﺤﺎن اﻟﻮﻃﻨﻲ اﻟﻤﻮﺡﺪ ﻟﻠﺒﻜﺎﻟﻮرﻳﺎ ﻋﻠﻮم ﻓﻴﺰﻳﺎﺋﻴﺔ وﻋﻠﻮم اﻟﺤﻴﺎة واﻷرض‬

‫اﻟﺪورة اﻟﻌﺎدﻳﺔ ‪2009‬‬

‫اﻷﺳﺘﺎذ ‪ :‬ﻣﺤﻤﺪ اﻟﺤﻴﺎن‬
‫‪ ‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ﺍﳋﺎﻣـــﺲ ‪:‬‬

‫ﻟﺘﻜﻦ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ f‬ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﺏﺤﻴﺚ ‪) :‬‬
‫‪JJG JJG‬‬
‫‪ f‬ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ) ‪. (O , i , j‬‬

‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ‬

‫\∈‬

‫‪ .1 .I‬ﻟﻴﻜﻦ‬

‫‪ . x‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬
‫‪2‬‬

‫(‬

‫)‬

‫(‬

‫‪f ( x ) = 2ln e x − 2 e x + 2‬‬

‫‪− 2 e x + 2 = e 2x − 2 e x + 1 + 1 = e x −1 + 1‬‬

‫‪9‬‬

‫‪ 9‬ﺣﻴﺰ ﺗﻌﺮیﻒ اﻟﺪاﻟﺔ‬

‫\ =‬

‫}‬

‫‪:‬‬

‫‪f‬‬

‫ﺏﻤﺎ أن ‪:‬‬

‫‪−2 ex +2 > 0‬‬

‫‪2‬‬

‫)‬

‫‪  . e 2x‬‬

‫(‬

‫‪∀x ∈\ : e 2x − 2 e x + 2 = e x −1 + 1 > 0‬‬
‫‪x‬‬

‫‪{ x ∈\ / e‬‬

‫=‬

‫‪ .2‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬

‫⎞‬

‫)‬

‫(‬
‫⎝‬
‫⎛‬

‫‪lim f ( x ) = xlim‬‬
‫∞‪2ln ⎜⎜ e x −1 + 1⎟⎟ = +‬‬
‫∞‪→+‬‬
‫∞‪x →+‬‬

‫‪9‬‬

‫⎠‬

‫‪ ،‬ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪  .Df‬‬

‫‪ex −2 ex +2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 9‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ \ ‪ ،‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪> 0 ⇒ 1 − x + x > 0 :‬‬
‫‪x‬‬
‫‪e‬‬
‫‪e‬‬
‫‪e‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪+ x >0‬‬
‫‪  . ∀x ∈ \ : 1 −‬‬
‫‪x‬‬
‫‪e‬‬
‫‪e‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ ،‬و ﻟﻴﻜﻦ ‪C‬‬

‫⇒ ‪ . e x − 2 e x + 2 > 0‬إذن ‪:‬‬

‫‪ ،‬ﻷن ‪:‬‬

‫‪ ‬‬

‫(‬
‫)‬
‫⎛‬
‫⎞‬
‫‪ ، lim f ( x ) = lim 2ln ⎜ ( e −1) + 1⎟ = 2ln 2 = ln 4‬ﻷن ‪ ، lim ln x = 0 :‬وﻣﻨﻪ ﻥﺴﺘﻨﺘﺞ أن‬
‫⎜‬
‫⎟‬
‫⎝‬
‫⎠‬
‫‪2‬‬

‫‪lim e x = +∞ ⇒ xlim‬‬
‫∞‪e x −1 + 1 = +‬‬
‫∞‪→+‬‬

‫و‬

‫∞‪x →+‬‬

‫‪2‬‬

‫‪9‬‬

‫∞‪lim ln t = +‬‬

‫∞‪t →+‬‬

‫‪.‬‬

‫‪x‬‬

‫∞‪x →−‬‬

‫∞‪x →−‬‬

‫∞‪x →−‬‬

‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ‪ C‬ﻳﻘﺒﻞ ﻣﻘﺎرﺏﺎ أﻓﻘﻴﺎ ﺏﺠﻮار ∞‪ −‬ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪= ln 4 :‬‬
‫‪ .3‬أ‪ -‬ﻟﻴﻜﻦ \ ∈ ‪ . x‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪⎞′‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ex‬‬
‫‪′ x‬‬
‫⎟⎟‪e −1 + 1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪e x −1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 e −1 e −1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪⎠ =2‬‬
‫‪=2 2 e‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪e x −1 + 1‬‬
‫‪e x −1 + 1‬‬
‫‪e x −1 + 1‬‬
‫‪  .y‬‬

‫(‬

‫)‬

‫)‬

‫)‬

‫(‬

‫()‬
‫)‬

‫(‬

‫)‬
‫)‬

‫(‬

‫⎟⎞‪e x −1‬‬
‫⎠‬

‫‪2‬‬

‫⎛‬
‫⎜‬
‫⎝‬

‫‪2 ex‬‬

‫‪e x −1⎞⎟ +1‬‬
‫وﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪)= 0‬‬

‫‪e 0 −1‬‬
‫‪2‬‬

‫)‬

‫(‬

‫⎠‬

‫‪2 e0‬‬

‫‪e −1 +1‬‬
‫‪0‬‬

‫(‬

‫= )‪′ ( 0‬‬

‫⎛‬
‫⎜‬
‫⎝‬

‫(‬
‫(‬

‫⎛‬

‫⎜‬
‫‪′‬‬
‫⎜‬
‫‪2‬‬
‫⎞‬
‫⎝ ‪e x −1 + 1⎟⎟ = 2‬‬
‫⎠‬

‫)‬

‫(‬

‫⎛‬
‫⎜⎜ ‪) = 2ln‬‬
‫⎝‬

‫‪f ′(x‬‬

‫= ) ‪f ′(x‬‬

‫‪.f‬‬

‫‪x‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪e‬‬
‫= ‪ . e −1‬إذن إﺷﺎرة‪ e −1‬ﻋﻠﻰ \ هﻲ إﺷﺎرة ‪ . e − 1‬وﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬
‫ب‪ -‬ﻟﻴﻜﻦ \ ∈ ‪ . x‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪e +1‬‬
‫‪ x ≥ 0 ⇒ e x ≥ 1 ⇒ e x − 1 ≥ 0‬و ‪ . x ≤ 0 ⇒ e x ≤ 1 ⇒ e x − 1 ≤ 0‬وﻣﻨﻪ ﻥﺴﺘﻨﺘﺞ أن ‪:‬‬
‫‪ ∀x ∈ ⎡⎣0, +∞ ⎡⎣ : e x −1 ≥ 0‬و ‪. ∀x ∈ ⎤⎦ −∞,0⎤⎦ : e x − 1 ≤ 0‬‬
‫‪x‬‬

‫‪  ‬اﻟﺼﻔﺤﺔ ‪ 4‬‬

‫‪x‬‬

‫‪ ‬اﻻﻣﺘﺤﺎن اﻟﻮﻃﻨﻲ اﻟﻤﻮﺡﺪ ﻟﻠﺒﻜﺎﻟﻮرﻳﺎ ﻋﻠﻮم ﻓﻴﺰﻳﺎﺋﻴﺔ وﻋﻠﻮم اﻟﺤﻴﺎة واﻷرض‬

‫‪x‬‬

‫اﻟﺪورة اﻟﻌﺎدﻳﺔ ‪2009‬‬

‫اﻷﺳﺘﺎذ ‪ :‬ﻣﺤﻤﺪ اﻟﺤﻴﺎن‬
‫‪ ‬‬

‫ﺏﻤﺎ أن )‬

‫‪e x −1‬‬
‫‪2‬‬

‫)‬

‫(‬

‫‪2 ex‬‬

‫‪e x −1 +1‬‬

‫وﻋﻠﻴﻪ ﻓﺈن ‪:‬‬

‫(‬

‫= ) ‪∀x ∈ \ : f ′ ( x‬‬

‫‪∀x ∈ ⎡⎣0, +∞ ⎡⎣ : f ′ ( x ) ≥ 0‬‬

‫و‬

‫‪ ،‬ﻓﺈن إﺷﺎرة‬

‫) ‪ f ′ ( x‬ﻋﻠﻰ هﻲ إﺷﺎرة‪e x −1‬‬

‫‪∈ ⎤⎦ −∞,0⎤⎦ : f ′ ( x ) ≤ 0‬‬

‫‪.‬‬

‫‪. ∀x‬‬

‫إذن ‪ f :‬ﺕﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ⎣⎡ ∞‪ ⎡⎣0, +‬وﺕﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ⎦⎤‪. ⎤⎦ −∞,0‬‬
‫ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪: f‬‬

‫‪.4‬‬

‫أ‪ -‬ﻟﻴﻜﻦ \ ∈‬
‫⎛‬
‫⎛‬
‫⎛‬
‫‪2‬‬
‫⎞⎞ ‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫⎞‪2‬‬
‫⎟⎟ ‪f ( x ) = 2ln e x − 2 e x + 2 = 2ln ⎜ e x ⎜⎜1 − x + x ⎟⎟ ⎟ = 2ln (e x ) + 2ln ⎜⎜1 − x + x‬‬
‫⎠⎟ ⎠ ‪e‬‬
‫⎠ ‪e‬‬
‫⎜‬
‫‪e‬‬
‫‪e‬‬
‫⎝‬
‫⎝‬
‫⎝‬
‫‪ . x‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬

‫(‬

‫)‬

‫‪2‬‬
‫⎞‪2‬‬
‫‪+‬‬
‫⎟ ‪x‬‬
‫⎠⎟ ‪e x e‬‬
‫‪2‬‬
‫⎞‪2‬‬
‫‪+‬‬
‫ب‪ -‬ﺏﻤﺎ أن ‪x ⎟⎟ = 0 :‬‬
‫‪x‬‬
‫‪e‬‬
‫‪e‬‬
‫⎝‬
‫⎠‬
‫ﻣﻘﺎرب ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ‪ C‬ﺏﺠﻮار ∞‪. +‬‬
‫‪ .5‬أ‪ -‬ﻟﻴﻜﻦ \ ∈ ‪ . x‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪e x − 2 = e x − 2 e x − e x + 2 = e x − 3 e x + 2 :‬‬

‫⎛‬

‫‪f ( x ) = 2x + 2ln ⎜⎜1 −‬‬
‫⎝‬

‫⎛‬

‫‪f ( x ) − 2x = xlim‬‬
‫‪2ln ⎜⎜1 −‬‬
‫‪ ، xlim‬ﻓﺈن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( D‬اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪y = 2x‬‬
‫∞‪→+‬‬
‫∞‪→+‬‬

‫)‬

‫ب‪-‬‬

‫‪x‬‬
‫‪e‬‬
‫ﻟﻴﻜﻦ \ ∈ ‪ . x‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ . e − 2 = x − 4 :‬إذن إﺷﺎرة ‪e − 2‬‬
‫‪e +2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫وﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ . e − 4 = 0 ⇔ e = 4 ⇔ x = ln 4 :‬وﻣﻨﻪ ﻓﺈن ‪:‬‬
‫‪x‬‬

‫‪x‬‬

‫()‪( e −1‬‬

‫‪.‬‬

‫ﻋﻠﻰ \ هﻲ إﺷﺎرة ‪e − 4‬‬

‫‪.‬‬

‫‪x‬‬

‫‪x‬‬

‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬

‫وﻥﻌﻠﻢ إﺷﺎرة ‪ e x −1‬ﻋﻠﻰ \‬

‫‪  ‬اﻟﺼﻔﺤﺔ ‪ 5‬‬

‫ﺡﺴﺐ اﻟﺴﺆال ) ‪ .3‬ب‪ . (-‬إذن ‪:‬‬

‫‪ ‬اﻻﻣﺘﺤﺎن اﻟﻮﻃﻨﻲ اﻟﻤﻮﺡﺪ ﻟﻠﺒﻜﺎﻟﻮرﻳﺎ ﻋﻠﻮم ﻓﻴﺰﻳﺎﺋﻴﺔ وﻋﻠﻮم اﻟﺤﻴﺎة واﻷرض‬

‫اﻟﺪورة اﻟﻌﺎدﻳﺔ ‪2009‬‬

‫اﻷﺳﺘﺎذ ‪ :‬ﻣﺤﻤﺪ اﻟﺤﻴﺎن‬
‫‪ ‬‬

‫ﺝـ‪ -‬ﺡﺴﺐ اﻟﺴﺆال أﻋﻼﻩ ‪ ،‬ﻟﻜﻞ‬

‫‪x‬‬

‫ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل ⎤‪ ، ⎡0,ln 4‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬
‫⎣‬
‫⎦‬

‫‪e x −1⎞⎟ ⎛⎜ e x − 2 ⎞⎟ ≤ 0 ⇒ e x − 2 e x − e x + 2 ≤ 0 ⇒ e x − 2 e x + 2 ≤ e x‬‬
‫⎠‬

‫د‪ -‬ﺡﺴﺐ اﻟﺴﺆال أﻋﻼﻩ ‪ ،‬ﻟﻜﻞ‬

‫‪x‬‬

‫⎝⎠‬

‫⎛‬
‫⎜‬
‫⎝‬

‫ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل ⎤‪ ، ⎡0,ln 4‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬
‫⎣‬
‫⎦‬

‫‪e x − 2 e x + 2 ≤ e x ⇒ ln (e x − 2 e x + 2) ≤ ln ( e x ) ⇒ ln (e x − 2 e x + 2) ≤ 1 x‬‬
‫‪2‬‬

‫)‬

‫(‬

‫‪⇒ 2ln e x − 2 e x + 2 ≤ x ⇒ f ( x ) ≤ x‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫‪∈ ⎡⎣0,ln 4⎤⎦ : f ( x ) ≤ x‬‬

‫‪. ∀x‬‬

‫‪ .6‬إﻥﺸﺎء اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ‪  : C‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪ .II‬ﻥﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ `∈‪(u n )n‬‬

‫اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺏﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬

‫‪u0 =1‬‬
‫`∈ ‪u n +1 = f (u n ) ; n‬‬
‫‪ .1‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬
‫‪ 9‬ﻣﻦ أﺝﻞ‬
‫‪9‬‬

‫⎪⎧‬
‫⎨‬
‫⎩⎪‬

‫‪ .‬إذن ‪  . 0 ≤ u 0 ≤ ln 4 :‬‬

‫‪u0 =1 ، n = 0‬‬
‫ﻟﻴﻜﻦ `∈ ‪ . n‬ﻥﻌﺘﺮض أن ‪ ، 0 ≤ u n ≤ ln 4 :‬وﻥﺒﻴﻦ أن ‪  . 0 ≤ u n +1 ≤ ln 4 :‬‬
‫ﻥﻌﻠﻢ أن ‪ f‬ﺕﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ⎤‪ . ⎡0,ln 4‬إذن ‪:‬‬
‫⎣‬
‫⎦‬

‫‪≤ ln 4 ⇒ f ( 0) ≤ f (u n ) ≤ f ( ln 4) ⇒ 0 ≤ u n +1 ≤ ln 4‬‬

‫‪ 9‬وﺏﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن ‪: 0 ≤ u n ≤ ln 4 :‬‬
‫‪  ‬اﻟﺼﻔﺤﺔ ‪ 6‬‬

‫‪. 0 ≤un‬‬

‫` ∈ ‪  . ∀n‬‬

‫‪ ‬اﻻﻣﺘﺤﺎن اﻟﻮﻃﻨﻲ اﻟﻤﻮﺡﺪ ﻟﻠﺒﻜﺎﻟﻮرﻳﺎ ﻋﻠﻮم ﻓﻴﺰﻳﺎﺋﻴﺔ وﻋﻠﻮم اﻟﺤﻴﺎة واﻷرض‬

‫اﻟﺪورة اﻟﻌﺎدﻳﺔ ‪2009‬‬

‫اﻷﺳﺘﺎذ ‪ :‬ﻣﺤﻤﺪ اﻟﺤﻴﺎن‬
‫‪ ‬‬

‫‪ .2‬ﻥﻌﻠﻢ أن ‪ ، ∀x ∈ ⎡⎣0,ln 4⎤⎦ : f ( x ) ≤ x :‬وأن ‪: 0 ≤ u n ≤ ln 4 :‬‬
‫إذن ‪ . ∀n ∈` : f (u n ) ≤ u n :‬أي ‪. ∀n ∈` : u n +1 ≤ u n :‬‬

‫وﺏﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن `∈‪(u n )n‬‬
‫) ‪ (u n‬ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺕﻨﺎﻗﺼﻴﺔ وﻣﺼﻐﻮرة ﺏﺎﻟﻌﺪد ‪ . 0‬إذن ‪:‬‬
‫‪ .3‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬
‫`∈‪n‬‬

‫` ∈ ‪. ∀n‬‬

‫ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺕﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ‪.‬‬

‫`∈‪(u n )n‬‬

‫ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻣﺘﻘﺎرﺏﺔ‪.‬‬

‫وﺏﻤﺎ أن ‪:‬‬
‫‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ⎤‪  . ⎡0,ln 4‬‬
‫⎣‬
‫⎦‬
‫‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ وﺕﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ⎤‪  . ⎡0,ln 4‬‬
‫⎣‬
‫⎦‬
‫⎤‪⎡0,ln 4⎤ = ⎡f 0 , f ln 4 ⎤ = ⎡0,ln 4‬‬
‫إذن ‪:‬‬
‫⎣‬
‫⎦‬
‫⎦‬
‫⎣⎢‬
‫⎣ ⎦⎥‬
‫⎤‪  . u 0 = 1 ∈ ⎡0,ln 4‬‬
‫⎣‬
‫⎦‬
‫‪ u n‬ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻣﺘﻘﺎرﺏﺔ ﻥﻬﺎﻳﺘﻬﺎ \ ∈ ‪  . l‬‬

‫)‬

‫`∈‪( )n‬‬

‫ﻓﺈن اﻟﻨﻬﺎﻳﺔ ‪l‬‬

‫( ) (‬

‫‪f (l ) = l‬‬

‫ﺕﺤﻘﻖ اﻟﺸﺮﻃﺎن اﻟﺘﺎﻟﻴﺎن ‪:‬‬

‫)‬

‫⎦⎤‪∈ ⎡⎣0,ln 4‬‬

‫و‬

‫(‬

‫‪  .f‬‬

‫‪.l‬‬

‫وﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪f ( l ) = l ⇔ 2ln ⎛⎜ e l − 2 e l + 2 ⎞⎟ = l‬‬
‫⎝‬

‫⎠‬

‫‪l‬‬
‫= ⎟⎞ ‪⇔ ln ⎛⎜e l − 2 e l + 2‬‬
‫⎝‬
‫‪⎠ 2‬‬
‫‪el −2 el +2 = el‬‬

‫⇔‬

‫‪el −3 el + 2 = 0‬‬

‫⇔‬

‫⎞‬
‫‪l‬‬
‫⎛⎞‪⇔ ⎛⎜ e l −1‬‬
‫‪⎟⎜ e − 2 ⎟ = 0‬‬
‫⎠‬

‫⎝‬

‫⎝⎠‬

‫‪ e l = 2‬أو‬
‫‪ e l = 4‬أو ‪e l = 1‬‬
‫‪ l = ln 4‬أو ‪l = 0‬‬

‫‪e l =1‬‬

‫⇔‬
‫⇔‬
‫⇔‬

‫وﺏﻤﺎ أن ‪ (u n )n∈` :‬ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺕﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ‪ ،‬ﻓﺈن ‪ . ∀n ∈ ` : u n ≤ u 0 = 1 :‬إذن ‪ . l ≤ 1 :‬وﻣﻨﻪ ﻓﺈن ‪l = 0 :‬‬
‫ﺧﻼﺻﺔ ‪:‬‬

‫‪=0‬‬

‫‪lim u‬‬
‫‪n →+∞ n‬‬

‫‪ ‬‬
‫‪  ‬اﻟﺼﻔﺤﺔ ‪ 7‬‬

‫‪ ‬اﻻﻣﺘﺤﺎن اﻟﻮﻃﻨﻲ اﻟﻤﻮﺡﺪ ﻟﻠﺒﻜﺎﻟﻮرﻳﺎ ﻋﻠﻮم ﻓﻴﺰﻳﺎﺋﻴﺔ وﻋﻠﻮم اﻟﺤﻴﺎة واﻷرض‬

‫اﻟﺪورة اﻟﻌﺎدﻳﺔ ‪2009‬‬

‫اﻷﺳﺘﺎذ ‪ :‬ﻣﺤﻤﺪ اﻟﺤﻴﺎن‬
‫‪ ‬‬


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