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تمارين الأعداد المركبة .pdf



Nom original: تمارين الأعداد المركبة.pdf
Titre: سلسلة استعد للبكالوريا 05
Auteur: ksc

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Aperçu du document


‫ א د
و מ )‪(05‬‬
‫ﺍﻝﺴﻨﺔ ﺍﻝﺩﺭﺍﺴﻴﺔ ‪2008/2007:‬‬

‫ﺍﻝﻤﺴﺘﻭﻯ ‪ :‬ﺜﺎﻝﺜﺔ ﺜﺎﻨﻭﻱ‬
‫ﺍﻝﺸﻌﺒــﺔ ‪:‬ﻋﻠﻭﻡ ﺘﺠﺭﻴﺒﻴﺔ ‪ +‬ﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ‬
‫ﻭ ﺘﻘﻨﻲ ﺭﻴﺎﻀﻲ‬




‫ ‪
:‬‬
‫ ن د ل دאد א
‪ :‬ﻤﺜﺎل ﺒﻭﻤﺒﻴﻠﻲ) ‪.( Bombelli‬‬
‫ﺍﻝﻬﺩﻑ ﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻝﻨﺸﺎﻁ ﻫﻭ ﺤل ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻝﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻝﻤﺠﻬﻭل ﺍﻝﺤﻘﻴﻘﻲ ‪. x3 = 15 x + 4 ..... (1) : x‬‬
‫‪ (1‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ‪ α + β‬ﺤل ﻝﻠﻤﻌﺎﺩﻝﺔ )‪ (1‬ﺇﺫﺍﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ‪. α 3 + β 3 + 3(αβ − 5)(α + β ) − 4 = 0 .... (2) :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ (2‬ﻤﺎ ﻫﻲ ﺍﻝﻘﻴﻤﺔ ﺍﻝﺘﻲ ﻴﺠﺏ ﺇﻋﻁﺎﺅﻫﺎ ﻝﻠﻌﺩﺩ ‪ αβ‬ﺤﺘﻰ ﺘﻜﺘﺏ ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻝﺔ )‪ (2‬ﻋﻠﻰ ﺍﻝﺸﻜل ‪ α + β = 4‬؟‬
‫ﻤﺎ ﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ‪ α 3β 3‬ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻝﺤﺎﻝﺔ ؟‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ (3‬ﺘﺄﻜﺩ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪. ( x − α )( x − β ) = x − 4 x + 125 ، x‬‬
‫‪ (4‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻝﺔ ‪ (3) . . . x 2 − 4 x +125 = 0‬ﺘﺄﻜﺩ ﺃﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻝﺔ ﻻ ﺘﻘﺒل ﺤﻠﻭﻻ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ‪.‬‬

‫‪ (5‬ﻨﺘﺨﻴل ﻋﺩﺩ ﻨﺭﻤﺯ ﻝﻪ‬

‫"‪"i‬‬

‫ﺤﻴﺙ‬

‫‪= −1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪.i‬‬

‫ﺃﻜﺘﺏ ﺤﻠﻭل ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻝﺔ )‪ (3‬ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻝﺤﺎﻝﺔ ‪.‬‬
‫ﺃﺤﺴﺏ ‪ (2 − i )3‬ﻭ ‪ ، (2 + i )3‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺤﻼ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻝﻠﻤﻌﺎﺩﻝﺔ )‪ . (1‬ﺜﻡ ﻋﻴﻥ ﺤﻠﻭل ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻝﺔ )‪. (1‬‬

‫ ‬

‫ﺍﻝﺠﺯﺀ ﺍﻷﻭل ‪ :‬ﺍﻝﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻝﺸﻜل ﺍﻝﺠﺒﺭﻱ‬

‫ ‬
‫א ن )‪(01‬‬

‫ﺍﻜﺘﺏ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻝﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻝﺘﺎﻝﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺸﻜﻠﻬﺎ ﺍﻝﺠﺒﺭﻱ ‪ :‬‬

‫‪2‬‬
‫) ‪، z 1 = (2 + i‬‬
‫‪3‬‬

‫‪ −1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪z 5 =  + i‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪ 2‬‬

‫) ‪z 2 = (4 + 2i )(4 − 2i‬‬
‫‪4 − 6i‬‬
‫= ‪، z6‬‬
‫‪،‬‬
‫‪3 + 2i‬‬

‫א ن )‪ (02‬ﺤل ﻓﻲ ﺍﻝﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬

‫‪ℂ‬‬

‫‪3z − 2 + i = (1 + i ) z − 1 − 2i /1‬‬

‫א ن )‪ (03‬ﺤل ﻓﻲ ﺍﻝﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬
‫‪z 2 + z z − 4 − 6i = 0 / 1‬‬
‫‪z −1‬‬
‫‪= i /3‬‬
‫‪،‬‬
‫‪z +1‬‬

‫‪،‬‬

‫‪ℂ‬‬

‫‪z 4 = (3 − 2i )3 ، z 3 = (2 − i )2 (1 + 2i )2 ،‬‬

‫‪1+ i‬‬
‫= ‪z7‬‬
‫‪3−i 2‬‬

‫‪4n‬‬

‫‪،‬‬

‫‪cos θ + i sin θ‬‬
‫‪1+ i ‬‬
‫= ‪z9‬‬
‫‪، z8 =‬‬
‫‪‬‬
‫‪cos θ − i sin θ‬‬
‫‪ 1− i ‬‬

‫ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺫﺍﺕ ﺍﻝﻤﺠﻬﻭل ‪ z‬ﺍﻝﺘﺎﻝﻴﺔ ‪:‬‬

‫‪( 3 − 4i ) z 2 = iz /2 ،‬‬

‫‪z +1‬‬
‫‪= 2i /3 ،‬‬
‫‪z −1‬‬

‫ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺫﺍﺕ ﺍﻝﻤﺠﻬﻭل ‪ z‬ﺍﻝﺘﺎﻝﻴﺔ ‪:‬‬
‫‪(1 + i )z − (2 − i )z + 3 + 4i = 0 /2‬‬

‫‪+ 1 − i ) ( i z + i − 2 ) = 0 /4‬‬

‫ﺍﻝﺼﻔﺤــــﺔ ‪13/1‬‬

‫‪( 2z‬‬



‫ ‬

‫א ن )‪ (04‬ﻓﻲ ﺍﻝﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻝﻤﺭﻜﺏ ﺍﻝﻤﻨﺴﻭﺏ ﻝﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬
‫‪z +1‬‬
‫ﻨﻀﻊ‬
‫‪z −1‬‬

‫=‪ L‬ﻭ‬

‫' ‪M‬‬

‫ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻝﻌﺩﺩ ﺍﻝﻤﺭﻜﺏ‬

‫) ‪(O ;u ;v‬‬
‫ ‬

‫‪.‬‬

‫‪.‬‬

‫‪L‬‬

‫ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻝﻨﻘﻁ ‪ M‬ﺫﺍﺕ ﺍﻝﻼﺤﻘﺔ ‪ z‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻝﺔ ﻤﻥ ﺍﻝﺤﺎﻻﺕ ﺍﻝﺘﺎﻝﻴﺔ ‪:‬‬
‫ﺃ ـ ﻴﻜﻭﻥ ‪ L‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ‪.‬‬
‫ﺏ ـ ﻴﻜﻭﻥ ‪ L‬ﻋﺩﺩﺍ ﺘﺨﻴﻠﻴﺎ ﺼﺭﻓﺎ ‪.‬‬
‫ﺠـ ـ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻝﻨﻘﻁ ‪ M ، O‬ﻭ ' ‪ M‬ﻓﻲ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﻴﺔ ‪.‬‬
‫א ن )‪(05‬‬

‫ﻴﻨﺴﺏ ﺍﻝﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻝﻤﺭﻜﺏ ﻝﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬

‫‪ z = x + iy‬ﻋﺩﺩ ﻤﺭﻜﺏ ﺤﻴﺙ ‪ z ≠ 2i‬ﻭ‬
‫‪z −2+i‬‬
‫=‪L‬‬
‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻝﻌﺩﺩ ﺍﻝﻤﺭﻜﺏ ‪ L‬ﺤﻴﺙ ‪.‬‬
‫‪z + 2i‬‬
‫ﺃﻜﺘﺏ ﺍﻝﻌﺩﺩ ﺍﻝﻤﺭﻜﺏ ‪ L‬ﻋﻠﻰ ﺍﻝﺸﻜل ﺍﻝﺠﺒﺭﻱ ‪.‬‬
‫ﻋﻴﻥ ‪ E‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻝﻨﻘﻁ ‪ M‬ﺫﺍﺕ ﺍﻝﻼﺤﻘﺔ ‪ z‬ﺍﻝﺘﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺃﺠﻠﻬﺎ ‪ L‬ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ‪.‬‬
‫ﻋﻴﻥ ‪ F‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻝﻨﻘﻁ ‪ M‬ﺫﺍﺕ ﺍﻝﻼﺤﻘﺔ ‪ z‬ﺍﻝﺘﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺃﺠﻠﻬﺎ ‪ L‬ﺘﺨﻴﻠﻴﺎ ﺼﺭﻓﺎ‪.‬‬
‫ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻝﻤﺠﻤﻭﻋﺘﻴﻥ ‪ E‬ﻭ ‪. F‬‬
‫‪x‬‬

‫‪(1‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪(4‬‬

‫)‬

‫(‬

‫ ‬
‫‪O ;u ;v‬‬

‫‪.‬‬

‫‪،‬‬

‫‪y‬‬

‫ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ‪.‬‬

‫‪2‬‬
‫א ن )‪ /1 (06‬ﺤل ﻓﻲ ‪ ℂ‬ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻝﺔ ‪(1)....... z − 2i z = 0 :‬‬
‫‪ /2‬ﻨﺴﻤﻲ ‪ C ، B ، A ، O‬ﺼﻭﺭ ﺤﻠﻭل ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻝﺔ )‪ (1‬ﻓﻲ ﺍﻝﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻝﻤﺭﻜﺏ ﻝﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ‬
‫ ‬
‫ﻭﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ) ‪ . (O ;u ;v‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻝﻤﺜﻠﺙ ‪ ABC‬ﻤﺘﻘﺎﻴﺱ ﺍﻷﻀﻼﻉ‬

‫א ن )‪ /1 (07‬ﺤل ﻓﻲ‬

‫‪ℂ2‬‬

‫ﺍﻝﺠﻤﻠﺔ ﺍﻝﺘﺎﻝﻴﺔ‪:‬‬

‫‪ iz 1 + (1 − i ) z 2 = −4 − 3i‬‬
‫‪‬‬
‫‪(1 + i ) z 1 + 2iz 2 = 13 + 9i‬‬

‫ﻨﺴﻤﻲ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﺼﻭﺭ ﺍﻝﺤﻠﻭل ‪ z 1‬ﻭ ‪ z 2‬ﻋﻠﻰ ﺍﻝﺘﺭﺘﻴﺏ ﻓﻲ ﺍﻝﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻝﻤﺭﻜﺏ ﺍﻝﻤﻨﺴﻭﺏ ﻝﻤﻌﻠﻡ‬
‫ ‬
‫ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ) ‪ . (O ;u ;v‬ﻭﻨﺴﻤﻲ ‪ C‬ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻝﻌﺩﺩ ‪ z‬ﺤل ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻝﺔ ﺍﻝﺘﺎﻝﻴﺔ‪(3 − i )z + 5 − i = 6 + 2i :‬‬
‫‪ /2‬ﻋﻴ‪‬ﻥ ﻁﺒﻴﻌﺔ ﺍﻝﻤﺜﻠﺙ ‪ /3 . ABC‬ﻋﻴ‪‬ﻥ ﻻﺤﻘﺔ‬

‫‪G‬‬

‫ﻤﺭﻜﺯ ﺜﻘل ﺍﻝﻤﺜﻠﺙ‬

‫א ن )‪ (08‬ﻴﻨﺴﺏ ﺍﻝﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻝﻤﺭﻜﺏ ﻝﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬

‫‪ABC‬‬

‫) ‪(O ;u ;v‬‬
‫ ‬

‫‪.‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ M ، A‬ﻭ ‪ M ′‬ﻨﻘﻁ ﻤﻥ ﺍﻝﻤﺴﺘﻭﻱ ﻝﻭﺍﺤﻘﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻝﺘﺭﺘﻴﺏ ‪ z ، 1 :‬ﻭ ‪. 1 + z 2‬‬
‫ ﻋﻴ‪‬ﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻝﻨﻘﻁ ‪ M‬ﻤﻥ ﺍﻝﻤﺴﺘﻭﻱ ﺒﺤﻴﺙ ﺘﻜﻭﻥ ‪ M ، A‬ﻭ ‪ M ′‬ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ‬‫א ن )‪ (09‬ﻴﻨﺴﺏ ﺍﻝﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻝﻤﺭﻜﺏ ﻝﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬
‫‪ z‬ﻋﺩﺩ ﻤﺭﻜﺏ ﺼﻭﺭﺘﻪ ‪ : M‬ﻨﻀﻊ‬
‫ﻋﻴ‪‬ﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻝﻨﻘﻁ ‪ M‬ﺤﺘﻰ ﻴﻜﻭﻥ ‪ :‬ﺃ(‬
‫ﺏ(‬

‫) ‪(O ;u ;v‬‬
‫ ‬

‫‪.‬‬

‫)‪L = (z − 2i ).(z − 1‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L‬‬

‫ﺤﻘﻴﻘﻲ‬
‫ﺘﺨﻴﻠﻲ ﺼﺭﻑ‬

‫ﺍﻝﺼﻔﺤــــﺔ ‪13/2‬‬




‫א ن )‪ (10‬ﻴﻨﺴﺏ ﺍﻝﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻝﻤﺭﻜﺏ ﻝﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬

‫) ‪(O ;u ;v‬‬
‫ ‬

‫‪ z‬ﻋﺩﺩ ﻤﺭﻜﺏ ﺼﻭﺭﺘﻪ ‪ : M‬ﻨﻀﻊ ) ‪L = (1 − z ).(1 − iz‬‬
‫ﺏ(‬
‫‪،‬‬
‫ﻋﻴ‪‬ﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻝﻨﻘﻁ ‪ M‬ﺤﺘﻰ ﻴﻜﻭﻥ ‪ :‬ﺃ( ‪ L‬ﺤﻘﻴﻘﻲ‬
‫א ن )‪ (11‬ﺤل ﻓﻲ‬

‫‪ℂ2‬‬

‫‪L‬‬

‫‪.‬‬

‫ﺘﺨﻴﻠﻲ ﺼﺭﻑ ‬

‫ﺍﻝﺠﻤل ﺫﺍﺕ ﺍﻝﻤﺠﻬﻭل ) ‪ ( z ; z ′‬ﺍﻝﺘﺎﻝﻴﺔ ‪:‬‬

‫‪ iz 1 + (2 + i )z 2 = 4 + i‬‬
‫‪‬‬
‫‪/1‬‬
‫‪ z 1 − (3 − 2i ) z 2 = −3 + 8i‬‬

‫‪2iz + z ′ = 2i‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 3z + i z ′ = 1 /2‬‬

‫‪،‬‬

‫ﺍﻝﺠﺯﺀ ﺍﻝﺜﺎﻨﻲ‪ :‬ﺍﻝﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻝﺸﻜل ﺍﻝﻤﺜﻠﺜﻲ ﻭ ﺍﻷﺴﻲ‬
‫א ن )‪ (12‬ﺍﻜﺘﺏ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻝﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻝﺘﺎﻝﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺸﻜﻠﻬﺎ ﺍﻝﻤﺜﻠﺜﻲ ‪:‬‬
‫‪z 1 = 1+ i‬‬

‫‪، z 2 = 3 − 3i‬‬

‫‪،‬‬

‫‪z3 = − 3 −i‬‬

‫‪،‬‬

‫‪z 5 = − 6 + i 2 ، z 4 = 1− i 3‬‬

‫‪5 + 11i 3‬‬
‫‪،‬‬
‫‪7 − 4i 3‬‬

‫= ‪z8‬‬

‫‪1+ i‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪، z9‬‬
‫‪3 +i‬‬
‫‪1+ i 3‬‬

‫‪z 7 = −2 + 2i‬‬

‫‪، z 6 = − 5 − i 15‬‬

‫‪3+i‬‬
‫א ن )‪ (13‬ﻝﻴﻜﻥ ﺍﻝﻌﺩﺩ ﺍﻝﻤﺭﻜﺏ ‪ Z‬ﺤﻴﺙ ‪ :‬‬
‫‪1− i‬‬
‫‪ (1‬ﺍﺤﺴﺏ ﻁﻭﻴﻠﺔ ﺍﻝﻌﺩﺩ ﺍﻝﻤﺭﻜﺏ ‪ Z‬ﻭ ﻋﻤﺩﺓ ﻝﻪ ‪.‬‬
‫‪ (2‬ﺍﻜﺘﺏ ‪ Z‬ﻋﻠﻰ ﺍﻝﺸﻜل ﺍﻝﺠﺒﺭﻱ ‪.‬‬
‫‪ (3‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ‬

‫‪5π‬‬
‫‪5π‬‬
‫‪ cos‬ﻭ‬
‫‪12‬‬
‫‪12‬‬

‫‪،‬‬

‫= ‪ Z‬‬

‫‪sin‬‬

‫‪12 n‬‬

‫‪ Z ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2‬‬

‫‪ (4‬ﺒﻴ‪‬ﻥ ﺍﻥ ‪:‬‬

‫א ن )‪z (14‬‬

‫)‬

‫‪،‬‬

‫ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ‬

‫‪v‬ﻭ‪u‬‬

‫( )‬

‫ﺃﻋﺩﺍﺩ ﻤﺭﻜﺒﺔ ﺤﻴﺙ‪:‬‬

‫(‬

‫‪، z = 3 + 3 + i −3 + 3‬‬

‫‪ (1‬ﺃﻜﺘﺏ ‪ v‬ﻋﻠﻰ ﺍﻝﺸﻜل ﺍﻝﺠﺒﺭﻱ ‪.‬‬
‫‪ (2‬ﻋﻴﻥ ﺍﻝﻁﻭﻴﻠﺔ ﻭﻋﻤﺩﺓ ﻝﻜل ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻝﻤﺭﻜﺒﺔ‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪ cos‬ﻭ ‪. sin‬‬
‫‪ (3‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ‬
‫‪12‬‬

‫‪u = 3+i 3‬‬

‫‪v،u‬‬

‫ﻭ‬

‫‪z‬‬
‫‪u‬‬

‫=‪. v‬‬

‫ﻭ ‪.z‬‬

‫‪12‬‬

‫‪2010‬‬
‫‪ z‬ﺘﺨﻴﻠﻲ ﺼﺭﻑ ‪.‬‬
‫‪ (4‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻝﻌﺩﺩ‬

‫ﺍﻝﺼﻔﺤــــﺔ ‪13/3‬‬

‫ ‬




‫= ‪z 10‬‬

‫א ن )‪ (15‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻝﺔ ﻤﻥ ﺍﻝﺤﺎﻻﺕ ﺍﻝﻤﻘﺘﺭﺤﺔ ﺃﺩﻨﺎﻩ ‪ ،‬ﻋﻴﻥ ﺍﻝﻁﻭﻴﻠﺔ ﻭﻋﻤﺩﺓ ﻝﻠﻌﺩﺩ ﺍﻝﻤﺭﻜﺏ ‪z‬‬
‫ﺃـ‬

‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪‬‬
‫‪z = 4  cos − i sin ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬

‫‪π‬‬

‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪‬‬
‫ﺏ ـ ‪. z = −3  cos + i sin ‬‬

‫‪.‬‬

‫‪3‬‬

‫‪π‬‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ﺠـ ـ ‪. z = 5  sin + i cos ‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪‬‬

‫ﺩـ‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪3‬‬

‫‪π‬‬

‫‪π‬‬

‫‪− i cos‬‬

‫‪6‬‬

‫‪6‬‬

‫‪. z = sin‬‬

‫א ن )‪ z 1 ( Ι (16‬ﻭ ‪ z 2‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﻤﺭﻜﺒﺎﻥ ﺤﻴﺙ ‪z 1 = z 2 = 1 :‬‬
‫‪ z +z‬‬

‫‪‬‬

‫‪( ΙΙ‬‬

‫‪z1‬‬

‫ ﺒﺭﻫﻥ ﺍﻥ ﺍﻝﻌﺩﺩ ‪  1 2 ‬ﺤﻘﻴﻘﻲ‬‫‪ 1 + z 1.z 2 ‬‬
‫ﻭ ‪ z 2‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﻤﺭﻜﺒﺎﻥ ﻤﺨﺘﻠﻔﺎﻥ ﻝﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻝﻁﻭﻴﻠﺔ ‪.‬‬
‫‪z +z ‬‬

‫ ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻝﻌﺩﺩ ﺍﻝﻤﺭﻜﺏ ‪  1 2 ‬ﺘﺨﻴﻠﻴﺎ ﺼﺭﻑ‬‫‪ z1 − z 2 ‬‬
‫א ن )‪(17‬‬

‫‪A‬‬

‫؛‬

‫ﻭ‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫ﻨﻘﻁ ﻤﻥ ﺍﻝﻤﺴﺘﻭﻱ ﻝﻭﺍﺤﻘﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻝﺘﺭﺘﻴﺏ‬

‫‪ z 2 = 2i ، z 1 = 1‬ﻭ ‪. z 3 = −1 − i‬‬
‫‪ (1‬ﺃﺤﺴﺏ ‪ z 2 − z 1‬ﻭ ‪. z 3 − z 1‬‬
‫‪z −z ‬‬

‫‪ (2‬ﺃﺤﺴﺏ ‪. Arg  2 1 ‬‬
‫‪ z 3 − z1 ‬‬

‫‪ (3‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﻁﺒﻴﻌﺔ ﺍﻝﻤﺜﻠﺙ ‪. ABC‬‬

‫א ن )‪ /1 (18‬ﺃﻜﺘﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻝﺸﻜل ﺍﻝﺠﺒﺭﻱ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻝﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻝﺘﺎﻝﻴﺔ ‪:‬‬
‫‪3π‬‬
‫‪3π‬‬
‫‪1 iπ‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪2‬‬
‫‪e‬‬
‫‪2 3e‬‬
‫؛‬
‫‪ 5e‬؛‬
‫‪ 6e 4‬؛‬
‫‪2‬‬
‫‪/2‬ﺃﻜﺘﺏ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻝﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻝﺘﺎﻝﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻝﺸﻜل ﺍﻷﺴ‪‬ﻲ ‪.‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪3‬‬

‫‪−i‬‬

‫‪5‬‬
‫‪4‬‬

‫‪ z 1 = 2 − 2i‬؛ ‪ z 2 = 3 3 − 3i‬؛ ‪ z 3 = i‬؛ ‪. z 4 = −1‬‬
‫‪ /3‬ﺃﻋﻁ ﺸﻜﻼ ﺃﺴﻴ‪‬ﺎ ﻝﻜل ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻝﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻝﺘﺎﻝﻴﺔ ‪.‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬

‫‪i‬‬

‫‪ z 1 = ( 2 3 + 6i ) e‬؛‬

‫‪π‬‬
‫‪3‬‬

‫‪i‬‬

‫)‬

‫‪3 +i 3 e‬‬

‫(‬

‫‪π‬‬

‫= ‪z2‬‬

‫؛‬

‫‪4‬‬

‫‪i‬‬

‫‪ z 3 = (1 − 2 ) e‬؛‬

‫א ن )‪ (19‬ﺍﻝﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻝﻤﺭﻜﺏ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻝﻰ ﺍﻝﻤﻌﻠﻡ‬
‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻝﻨﻘﻁ‬

‫‪A‬‬

‫‪،‬‬

‫‪B‬‬

‫‪،‬‬

‫‪ C‬ﻭ‪D‬‬

‫‪3+i 3‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ (1‬ﺃﻜﺘﺏ‬

‫‪c‬‬

‫=‪c‬‬

‫ﺫﺍﺕ ﺍﻝﻠﻭﺍﺤﻕ ﻋﻠﻰ ﺍﻝﺘﺭﺘﻴﺏ ‪، a = 1‬‬
‫‪3 − i π6‬‬
‫‪e‬‬
‫‪2‬‬

‫ﻭ‬

‫ﻋﻠﻰ ﺍﻝﺸﻜل ﺍﻷﺴ‪‬ﻲ ﻭ‬

‫‪ (2‬ﻤﺜل ﺍﻝﻨﻘﻁ‬

‫‪A‬‬

‫‪،‬‬

‫‪B‬‬

‫‪،‬‬

‫)‬

‫(‬

‫ ‬
‫‪O ;u ;v‬‬

‫‪ C‬ﻭ‪D‬‬

‫‪d‬‬

‫= ‪d‬‬

‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪‬‬
‫‪z 4 = 3  cos − i sin ‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪‬‬

‫)ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻝﺭﺴﻡ ‪.( 4cm‬‬
‫‪π‬‬
‫‪3‬‬

‫‪i‬‬

‫‪، b =e‬‬

‫‪.‬‬

‫ﻋﻠﻰ ﺍﻝﺸﻜل ﺍﻝﺠﺒﺭﻱ ‪.‬‬

‫ﻓﻲ ﺍﻝﻤﻌﻠﻡ ﺜﻡ ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﺍﻝﺭﺒﺎﻋﻲ ‪ OACB‬ﻫﻭ ﻤﻌﻴﻥ ‪.‬‬

‫ﺍﻝﺼﻔﺤــــﺔ ‪13/4‬‬

‫ ‬

‫ ‬




‫א ن )‪ (20‬ﺍﺤﺴﺏ ‪:‬‬
‫‪5‬‬

‫‪(1 + i ) 4‬‬

‫) ‪، z 1 = (1 + i 3 ) + (1 − i 3‬‬
‫‪5‬‬

‫)‬

‫‪3‬‬

‫‪3 −i‬‬

‫‪1990‬‬

‫(‬

‫‪ 2 +i 6 ‬‬
‫‪z 3 = ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2(1 − i ) ‬‬

‫= ‪، z2‬‬

‫ ‬

‫א ن )‪ (21‬ﻋﻴ‪‬ﻥ ﺍﻝﻁﻭﻴﻠﺔ ﻭﻋﻤﺩﺓ ﻝﻜل ﻋﺩﺩ ﻤﺭﻜﺏ ﻤﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬
‫‪ z 1 = 1 + cos α + i sin α (1‬ﻭ [ ‪ z 2 = 1 − cos α + i sin α (2 ، α ∈ [ 0; 2π‬ﻭ [ ‪α ∈ [ 0; 2π‬‬
‫‪1 + i tan θ‬‬
‫‪ −π π ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ −π π ‬‬
‫= ‪ z 3‬ﻭ ‪θ ∈ ; ‬‬
‫= ‪ z4‬ﻭ ‪ θ ∈ 2 ; 2 ‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪،‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪1 − i tan θ‬‬
‫‪1 − i tan θ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2 2‬‬
‫א ن )‪ (22‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻝﻌﺩﺩﻴﻥ ﺍﻝﻤﺭﻜﺒﻴﻥ ‪ z 2 ، z 1‬ﺤﻴﺙ ‪ z 1 = − 3 + i :‬ﻭ ‪z 2 = 2 − 2i‬‬

‫‪ (1‬ﺃﻜﺘﺏ ‪ z 1‬ﻭ ‪ z 2‬ﻋﻠﻰ ﺍﻝﺸﻜل ﺍﻷﺴﻲ ‪.‬‬
‫‪− 3 +i‬‬
‫‪ (2‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﻝﻁﻭﻴﻠﺔ ﻭﻋﻤﺩﺓ ﻝﻠﻌﺩﺩ ﺍﻝﻤﺭﻜﺏ ‪ L‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬
‫‪2 − 2i‬‬

‫=‪L‬‬

‫‪ (3‬ﺍﻜﺘﺏ ﺍﻝﻌﺩﺩ ﺍﻝﻤﺭﻜﺏ ‪ L‬ﻋﻠﻰ ﺍﻝﺸﻜل ﺍﻝﺠﺒﺭﻱ ‪.‬‬
‫‪ (4‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﻗﻴﻤﺘﻲ ‪:‬‬

‫‪13π‬‬
‫‪12‬‬

‫‪13π‬‬
‫‪12‬‬

‫ﻭ‬

‫‪cos‬‬

‫‪sin‬‬

‫א ن )‪ (23‬ﻝﺘﻜﻥ ‪ C ، B ، A‬ﻭ ‪ D‬ﺃﺭﺒﻊ ﻨﻘﻁ ﻝﻭﺍﺤﻘﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻝﺘﻭﺍﻝﻲ ‪:‬‬
‫‪d = 2 − 2i ، c = 2i ، b = −1 − i ، a = −1 + i‬‬
‫‪c −b‬‬
‫‪c −a‬‬
‫ﻭ‬
‫‪ (1‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻝﻁﻭﻴﻠﺔ ﻭﻋﻤﺩﺓ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻝﻌﺩﺩﻴﻥ ﺍﻝﻤﺭﻜﺒﻴﻥ ‪:‬‬
‫‪d −b‬‬
‫‪d −a‬‬
‫‪ (2‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﻁﺒﻴﻌﺔ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻝﻤﺜﻠﺜﻴﻥ ‪ ACD‬ﻭ ‪BCD‬‬
‫‪ (3‬ﺒﻴ‪‬ﻥ ﺃﻥ ﺍﻝﻨﻘﻁ ‪ C ، B ، A‬ﻭ ‪ D‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻝﻰ ﺩﺍﺌﺭﺓ ﻴﻁﻠﺏ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ‬
‫‪2π‬‬
‫‪5‬‬

‫א ن )‪(24‬‬

‫‪ (1‬ﺒﺭﻫﻥ ﺃ ‪‬‬
‫ﻥ‪π :‬‬
‫‪10‬‬
‫‪4π‬‬
‫‪5‬‬

‫‪i‬‬

‫‪i‬‬

‫‪e‬‬

‫=‬

‫‪2‬‬
‫‪π‬‬

‫‪i‬‬

‫‪1−e‬‬

‫‪sin‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3π‬‬
‫‪i‬‬
‫‪5‬‬

‫‪2π‬‬
‫‪i‬‬
‫‪5‬‬

‫‪π‬‬

‫‪i‬‬

‫‪. 1+ e + e + e + e‬‬
‫‪ (2‬ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻝﻤﺠﻤﻭﻉ‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪kπ‬‬
‫‪kπ‬‬
‫‪ S = ∑ cos‬ﻭ ‪ . T = ∑ sin‬‬
‫‪ (3‬ﻋﻴﻥ ﻗﻴﻤﺔ ﻝﻜل ﻤﻥ ﺍﻝﻤﺠﻤﻭﻋﻴﻥ ‪ S‬ﻭ ‪ T‬ﺤﻴﺙ‬
‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪π‬‬

‫א ن )‪ (1 : (25‬ﺒﻴ‪‬ﻥ ﺃﻥ ‪:‬‬
‫‪ (2‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ‬

‫‪22‬‬

‫‪π‬‬

‫‪−i‬‬

‫‪ie‬‬

‫=‬

‫‪9π‬‬
‫‪11‬‬

‫‪i‬‬

‫‪+e‬‬

‫‪7π‬‬
‫‪11‬‬

‫‪i‬‬

‫‪+e‬‬

‫‪5π‬‬
‫‪11‬‬

‫‪i‬‬

‫‪5‬‬

‫‪k =0‬‬

‫‪+e‬‬

‫‪3π‬‬
‫‪11‬‬

‫‪i‬‬

‫‪+e‬‬

‫‪π‬‬
‫‪11‬‬

‫‪i‬‬

‫‪k =0‬‬

‫‪e‬‬

‫‪2sin‬‬

‫‪22‬‬
‫‪π‬‬
‫‪3π‬‬
‫‪5π‬‬
‫‪7π‬‬
‫‪9π 1‬‬
‫‪cos + cos‬‬
‫‪+ cos‬‬
‫‪+ cos‬‬
‫‪+ cos‬‬
‫‪= :‬‬
‫‪11‬‬
‫‪11‬‬
‫‪11‬‬
‫‪11‬‬
‫‪11 2‬‬

‫ ‬
‫ﺍﻝﺼﻔﺤــــﺔ ‪13/5‬‬

‫ ‬




‫ﺍﻝﺠﺯﺀ ﺍﻝﺜﺎﻝﺙ‪ :‬ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻤﻥ ﺍﻝﺩﺭﺠﺔ ﺍﻝﺜﺎﻨﻴﺔ‬
‫א ن )‪: (26‬ﻋﻴ‪‬ﻥ ﺍﻝﺠﺫﺭﻴﻥ ﺍﻝﺘﺭﺒﻴﻌﻴﻴﻥ ﻝﻜل ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻝﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻝﺘﺎﻝﻴﺔ ‪:‬‬
‫‪8 − 6i‬‬

‫‪2i ، −3 − 4i ، −15 + 8i‬‬

‫‪،‬‬

‫א ن )‪(27‬‬

‫ﺤل ﻓﻲ ﺍﻝﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬

‫‪ℂ‬‬

‫‪،‬‬

‫‪1 + 4 5i ،‬‬

‫‪−4‬‬

‫ﻜﻼ ﻤﻥ ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻝﺘﺎﻝﻴﺔ‬

‫‪:‬‬

‫‪z 2 + (7 − 4i ) z + 9 − 15i = 0 /1‬‬

‫‪،‬‬

‫‪z 2 − 2(2 − i ) z + 6 = 0 /2‬‬

‫‪z 2 + 2z + 10 = 0 /3‬‬

‫‪،‬‬

‫‪3 − 7i z − 4 3 + i 3 = 0 /4‬‬

‫(‬

‫)‬

‫)‬

‫‪z 2 + 4 = 0 /5‬‬

‫‪،‬‬

‫‪iz 2 − 2iz + i + 2 = 0 /6‬‬

‫‪α z 2 + (1 − i α 2 )z − α i = 0 /7‬‬

‫‪،‬‬

‫‪z 2 + 8i = 0 /8‬‬

‫(‬

‫‪z2+‬‬

‫‪2z 2 + 8z sin θ + 5 − 3cos(2θ ) = 0 /9‬‬

‫א ن )‪ (1 (28‬ﺃﻭﺠﺩ ﺍﻝﺠﺫﺭﻴﻥ ﺍﻝﺘﺭﺒﻴﻌﻴﻴﻥ ﻝﻠﻌﺩﺩ ﺍﻝﻤﺭﻜﺏ ‪−8 + 6i :‬‬

‫‪ (2‬ﻴﻌﻁﻰ ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻝﺤﺩﻭﺩ ﻝﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻝﻤﺭﻜﺏ‬

‫‪z‬‬

‫‪:‬‬

‫‪Q (z ) = z 3 + (5i − 6)z 2 + (9 − 24i )z + 18 + 13i‬‬
‫ﺃ‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ ) ‪Q (−i‬‬

‫ﺏ‪ -‬ﺤل ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻓﻲ ‪ ℂ‬ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻝﺔ ‪Q ( z ) = 0‬‬
‫‪ (3‬ﻴﻨﺴﺏ ﺍﻝﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻝﻤﺭﻜﺏ ﻝﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬

‫ﻝﺘﻜﻥ‬

‫‪A‬‬

‫‪،‬‬

‫‪B‬‬

‫ﻭ‬

‫‪C‬‬

‫)‬

‫(‬

‫ ‬
‫‪O ;u ;v‬‬

‫‪.‬‬

‫ﺼﻭﺭ ﺤﻠﻭل ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻝﺔ ‪. Q (z ) = 0‬ﻤﺎ ﻨﻭﻉ ﺍﻝﻤﺜﻠﺙ ‪ABC‬‬

‫א ن )‪ ( 1 (29‬ﺍﻜﺘﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻝﺸﻜل ﺍﻝﻤﺜﻠﺜﻲ ﺍﻝﻌﺩﺩ ﺍﻝﻤﺭﻜﹼﺏ ) ‪. ( −1 − i‬‬

‫‪ (2‬ﺤل ﻓﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻝﻤﺭﻜﹼﺒﺔ ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻝﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻝﻤﺠﻬﻭل ‪z‬‬
‫‪=z‬‬

‫‪+3+i‬‬

‫‪(1 − 3i ) z‬‬

‫‪z −i‬‬

‫ﺍﻝﺘﺎﻝﻴﺔ ‪:‬‬
‫‪.‬‬

‫‪ (3‬ﻨﺭﻤﺯ ﺒﺎﻝﺭﻤﺯ ‪ z 0‬ﻝﺤل ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻝﺔ ﺍﻝﺴﺎﺒﻘﺔ ﺍﻝﺫﻱ ﻝﻪ ﺃﺼﻐﺭ ﻁﻭﻴﻠﺔ ‪.‬‬
‫‪1984‬‬

‫ﺃ ـ ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻝﻌﺩﺩ ﺍﻝﻤﺭﻜﹼﺏ‬

‫‪ z0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬ﻭﺃﻜﺘﺒﻪ ﻋﻠﻰ ﺍﻝﺸﻜل ﺍﻝﺠﺒﺭﻱ‪.‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪n‬‬

‫‪ z0 ‬‬
‫ﺏ ـ ﻤﺎ ﻫﻲ ﻗﻴﻡ ﺍﻝﻌﺩﺩ ﺍﻝﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﺍﻝﺘﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺃﺠﻠﻬﺎ ﺍﻝﻌﺩﺩ ﺍﻝﻤﺭﻜﹼﺏ ‪‬‬
‫‪ ‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ؟‬
‫‪ 2‬‬

‫ﺍﻝﺼﻔﺤــــﺔ ‪13/6‬‬




‫}
{‬
‫א ن )‪ (01‬ﻴﻨﺴﺏ ﺍﻝﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻝﻤﺭﻜﺏ ﻝﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬
‫‪ z = x + iy‬ﻋﺩﺩ ﻤﺭﻜﺏ ﺤﻴﺙ‬

‫‪z ≠ 2i‬‬

‫ﻭ‬

‫‪،‬‬

‫‪x‬‬

‫‪z + 8 + 4i‬‬
‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻝﻌﺩﺩ ﺍﻝﻤﺭﻜﺏ ‪ L‬ﺤﻴﺙ ‪.‬‬
‫‪z − 2i‬‬

‫‪y‬‬

‫)‬

‫א ن )‪ (02‬ﻝﻴﻜﻥ ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻝﺤﺩﻭﺩ‬

‫‪.‬‬

‫ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ‪.‬‬

‫=‪L‬‬

‫‪ (1‬ﺃﻜﺘﺏ ﺍﻝﻌﺩﺩ ﺍﻝﻤﺭﻜﺏ ‪ L‬ﻋﻠﻰ ﺍﻝﺸﻜل ﺍﻝﺠﺒﺭﻱ ‪.‬‬
‫‪ (2‬ﻋﻴﻥ ‪ E‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻝﻨﻘﻁ ‪ M‬ﺫﺍﺕ ﺍﻝﻼﺤﻘﺔ ‪ z‬ﺍﻝﺘﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺃﺠﻠﻬﺎ‬
‫‪ (3‬ﻋﻴﻥ ‪ F‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻝﻨﻘﻁ ‪ M‬ﺫﺍﺕ ﺍﻝﻼﺤﻘﺔ ‪ z‬ﺍﻝﺘﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺃﺠﻠﻬﺎ‬
‫‪ (4‬ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻝﻤﺠﻤﻭﻋﺘﻴﻥ ‪ E‬ﻭ ‪. F‬‬
‫) ‪P (z‬‬

‫(‬

‫ ‬
‫‪O ;i ; j‬‬

‫ ‬

‫ﻝﻠﻤﺘﻐﻴ‪‬ﺭ ﺍﻝﻤﺭﻜﹼﺏ‬

‫‪z‬‬

‫‪L‬‬
‫‪L‬‬

‫ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ‪.‬‬
‫ﺘﺨﻴﻠﻴﺎ ﺼﺭﻓﺎ‪.‬‬

‫ﺍﻝﻤﻌﺭ‪‬ﻑ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬

‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. P ( z ) = z − ( 4 + i ) z + ( 5 + 4i ) z − 5i‬‬

‫ﻥ ‪ P ( 2 + i ) = 0‬؛ ﺠﺩ ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻝﺤﺩﻭﺩ‬
‫‪ (1‬ﺘﺤﻘﻕ ﻤﻥ ﺃ ‪‬‬
‫ﻋﺩﺩ ﻤﺭﻜﹼﺏ ‪. P ( z ) = ( z − 2 − i ) .Q ( z ) : z‬‬

‫) ‪Q (z‬‬

‫ﻝﻠﻤﺘﻐﻴ‪‬ﺭ ﺍﻝﻤﺭﻜﹼﺏ‬

‫‪z‬‬

‫ﺤﺘﻰ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل‬

‫‪ (2‬ﺤل ﻓﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻝﻤﺭﻜﺒﺔ ‪ ، ℂ‬ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻝﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻝﻤﺠﻬﻭل ‪P ( z ) = 0 .: z‬‬

‫‪ (3‬ﻝﺘﻜﻥ‬
‫ﺍﻝﺤل ) ‪. ( 2 + i‬‬
‫ ﺠﺩ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻝﻨﻘﻁﺔ‬‫‪B ،A‬‬

‫ﻭ‬

‫‪C‬‬

‫ﺼﻭﺭ ﺤﻠﻭل‬
‫‪D‬‬

‫ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻝﺔ ‪P ( z ) = 0‬‬

‫ﺤﺘﻰ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻝﻨﻘﻁﺔ‬

‫ﻓﻲ ﺍﻝﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻝﻤﺭﻜﹼﺏ ﺤﻴﺙ‬
‫‪A‬‬

‫ﺼﻭﺭﺓ‬

‫‪A‬‬

‫ﻤﺭﻜﺯ ﺜﻘل ﺍﻝﻤﺜﻠﺙ ‪. BCD‬‬

‫א ن )‪ (03‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﻓﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻝﻤﺭﻜﹼﺒﺔ ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻝﺔ ) ‪ ( E‬ﺫﺍﺕ ﺍﻝﻤﺠﻬﻭل‬

‫‪z‬‬

‫ﺍﻝﺘﺎﻝﻴﺔ ‪:‬‬

‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. z − ( 6 + i ) z + (13 + i ) z − 10 + 2i = 0‬‬
‫‪ (1‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃ ‪‬‬
‫ﻼ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ‪ z 0‬ﻴﻁﻠﺏ ﺘﻌﻴﻴﻨﻪ ‪.‬‬
‫ﻥ ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻝﺔ ) ‪ ( E‬ﺘﻘﺒل ﺤ ﹼ‬

‫‪ ،‬ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻝﺔ ) ‪ . ( E‬ﻨﺴﻤﻲ‬

‫‪ (2‬ﺤل ﻓﻲ ﺍﻝﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬
‫ﺍﻝﺜﺎﻝﺙ‪.‬‬
‫‪ (3‬ﻓﻲ ﺍﻝﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻝﻤﺭﻜﺏ ﻝﺘﻜﻥ ﺍﻝﻨﻘﻁ ‪ B ، A‬ﻭ ‪ C‬ﺍﻝﺘﻲ ﻝﻭﺍﺤﻘﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻝﺘﺭﺘﻴﺏ ‪ z 1 ، z 0 ،‬ﻭ ‪. z 2‬‬
‫ـ ﺠﺩ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺘﻲ ﺍﻝﻨﻘﻁﺔ ‪ G‬ﻤﺭﺠ‪‬ﺢ ﺍﻝﻨﻘﻁ ‪ B ، A‬ﻭ ‪ C‬ﺍﻝﻤﺭﻓﻘﺔ ﺒﺎﻝﻤﻌﺎﻤﻼﺕ‪ 3 ، −2 :‬ﻭ ‪ 1‬ﻋﻠﻰ ﺍﻝﺘﺭﺘﻴﺏ ‪.‬‬
‫ـ ﻋﻴ‪‬ﻥ ﺍﻝﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ EM‬ﻝﻠﻨﻘﻁ ‪ M‬ﻤﻥ ﺍﻝﻤﺴﺘﻭﻱ ﺤﻴﺙ ‪:‬‬
‫‪ℂ‬‬

‫‪z1‬‬

‫ﺍﻝﺤل ﺍﻝﺫﻱ ﺠﺯﺌﻪ ﺍﻝﺘﺨﻴ‪‬ﻠﻲ ﺴﺎﻝﺏ‬

‫ﻭ‪z2‬‬

‫ﺍﻝﺤل‬

‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. −2MA + 3MB + MC = 9‬‬

‫ﺍﻝﺼﻔﺤــــﺔ ‪13/7‬‬

‫ ‬




‫א ن )‪ (04‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻝﺤﺩﻭﺩ‬

‫) ‪P (z‬‬

‫ﻝﻠﻤﺘﻐﻴ‪‬ﺭ ﺍﻝﻤﺭﻜﹼﺏ‬

‫‪z‬‬

‫ﺍﻝﻤﻌﺭ‪‬ﻑ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬

‫‪. P ( z ) = z 3 − ( 3 + i ) z 2 + ( 4 + i ) z + 2i − 4‬‬

‫‪ (1‬ﺃﺤﺴﺏ )‪ ، P ( 2‬ﺠﺩ ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻝﺤﺩﻭﺩ ) ‪ Q ( z‬ﻝﻠﻤﺘﻐﻴ‪‬ﺭ ﺍﻝﻤﺭﻜﹼﺏ ‪z‬‬
‫ﻋﺩﺩ ﻤﺭﻜﹼﺏ ‪z‬‬

‫ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل‬

‫‪. P ( z ) = ( z − 2 ) .Q ( z ) :‬‬

‫‪ (2‬ﺤل ﻓﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻝﻤﺭﻜﺒﺔ ‪ ، ℂ‬ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻝﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻝﻤﺠﻬﻭل ‪. P ( z ) = 0 : z‬‬
‫‪ (3‬ﻓﻲ ﺍﻝﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻝﻤﺭﻜﺏ ﻝﺘﻜﻥ ‪ B ، A‬ﻭ ‪ C‬ﺼﻭﺭ ﺤﻠﻭل ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻝﺔ ‪. P ( z ) = 0‬‬
‫ ﻤﺎ ﻫﻲ ﻁﺒﻴﻌﺔ ﺍﻝﻤﺜﻠﺙ ‪ ABC‬؟ ‬‫א ن )‪ (1 (05‬ﺤل ﻓﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻝﻤﺭﻜﺒﺔ ‪ ، ℂ‬ﻜﻼ ﻤﻥ ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻝﺘﻴﻥ ‪:‬‬

‫(‬

‫)‬

‫‪2‬‬
‫‪ z 2 − 2z + 5 = 0‬؛ ‪. z − 2 1 + 3 z + 5 + 2 3 = 0‬‬

‫‪ (2‬ﻓﻲ ﺍﻝﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻝﻤﺯﻭﺩ ﺒﺎﻝﻤﻌﻠﻡ‬

‫) ‪(O ; u ; v‬‬
‫ ‬

‫‪ ،‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻝﻨﻘﻁ‬

‫‪A‬‬

‫‪،‬‬

‫‪B‬‬

‫‪،‬‬

‫‪ C‬ﻭ‪D‬‬

‫ﺼﻭﺭ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻝﻤﺭﻜﺒﺔ‬

‫‪ 1 − 2i ، 1 + 3 + i ، 1 + 2 i‬ﻭ ‪ 1 + 3 − i‬ﻋﻠﻰ ﺍﻝﺘﺭﺘﻴﺏ ‪.‬‬
‫ﺃ ـ ﻤﺎ ﻫﻲ ﻁﺒﻴﻌﺔ ﺍﻝﻤﺜﻠﺙ ‪ ABC‬؟‬
‫ﺏ ـ ﺃﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻝﺔ ﻝﻠﺩﺍﺌﺭﺓ ‪ C‬ﺍﻝﻤﺤﻴﻁﺔ ﺒﺎﻝﻤﺜﻠﺙ ‪. ABC‬‬
‫ﺝ ـ ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻝﻨﻘﻁﺔ ‪ D‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻝﻰ ﺍﻝﺩﺍﺌﺭﺓ ‪. C‬‬
‫ﺩ ـ ﺃﻨﺸﺊ ‪ C‬ﻭﺍﻝﻨﻘﻁ ‪ C ، B ، A‬ﻭ ‪ D‬ﻓﻲ ﺍﻝﻤﻌﻠﻡ ﺍﻝﻤﻌﻁﻰ ‪ .‬‬

‫א ن )‪(06‬‬

‫ﻤﻥ ﺍﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻤﺭﻜﹼﺏ‬
‫) ‪+ 2 (1 + i‬‬

‫‪(5 − i ) z‬‬

‫‪i z +2‬‬

‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻝﻌﺩﺩ ﺍﻝﻤﺭﻜﹼﺏ‬

‫‪z ≠ 2i‬‬

‫) ‪L (z‬‬

‫ﺒﺤﻴﺙ ‪:‬‬

‫= ) ‪. L (z‬‬

‫‪ (1‬ﺠﺩ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻝﻤﺭﻜﹼﺒﺔ ‪ z‬ﺒﺤﻴﺙ ‪ . L ( z ) = z :‬ﺜﻡ ﺃﻜﺘﺏ ﻫﺫﻩ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻝﺸﻜل ﺍﻝﻤﺜﻠﺜﻲ ‪.‬‬
‫‪ (2‬ﻓﻲ ﺍﻝﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻝﻤﺭﻜﹼﺏ ﻝﺘﻜﻥ ﺍﻝﻨﻘﻁﺔ ‪ M‬ﺍﻝﺘﻲ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﻫﺎ ) ‪ ( x ; y‬ﻭﻻﺤﻘﺘﻬﺎ ‪. z‬‬
‫ـ ﺃﻜﺘﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻝﺸﻜل ﺍﻝﺠﺒﺭﻱ ﺍﻝﻌﺩﺩ ) ‪. L ( z‬‬
‫ـ ﻋﻴ‪‬ﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻝﻨﻘﻁ ‪ M‬ﺍﻝﺘﻲ ﻻﺤﻘﺘﻬﺎ ‪ z‬ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ ) ‪ L ( z‬ﻋﺩﺩﺍ ﺘﺨﻴ‪‬ﻠﻴﺎ ﺼﺭﻓﺎ‬
‫א ن )‪ r (1 (07‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻭ‬
‫‪ α‬ﻋﺩﺩ ﻤﺭﻜﺏ ﻁﻭﻴﻠﺘﻪ ‪ r‬ﻭﻋﻤﺩﺘﻪ ‪. θ‬‬
‫ﺃ‪ -‬ﺤل ﻓﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻝﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻝﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻝﻤﺠﻬﻭل ‪ z‬ﺍﻝﺘﺎﻝﻴﺔ‪:‬‬
‫‪θ‬‬

‫ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪.‬‬

‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ) z − α z + α = 0‬ﻨﺭﻤﺯ ﻝﺤﻠﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻝﺔ ﺒـ ‪ z 1‬ﻭ ‪( z 2‬‬
‫ﺏ‪ -‬ﻋﺒﺭ ﺒﺩﻻﻝﺔ ‪ r‬ﻭ ‪ θ‬ﻋﻠﻰ ﻁﻭﻴﻠﺘﻲ ‪ z 1‬ﻭ ‪ z 2‬ﻭﻋﻤﺩﺘﻴﻬﻤﺎ‬

‫‪/2‬‬

‫)‬

‫ﻝﻴﻜﻥ ﺍﻝﻌﺩﺩ ﺍﻝﻤﺭﻜﺏ ‪ L‬ﺤﻴﺙ ‪6 + 2 i :‬‬

‫ﺃ‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ‬

‫‪L2‬‬

‫( )‬

‫‪6− 2 −‬‬

‫(‬

‫=‪L‬‬

‫ﻭ ﺍﻜﺘﺒﻪ ﻋﻠﻰ ﺸﻜﻠﻪ ﺍﻝﻤﺜﻠﺜﻲ ‪ .‬ﺏ‪ -‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﻝﻁﻭﻴﻠﺔ ﻭﻋﻤﺩﺓ ﻝﻠﻌﺩﺩ‬

‫ﺠـ‪ -‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﻗﻴﻤﺘﻲ ‪:‬‬

‫‪19π‬‬
‫‪12‬‬

‫‪cos‬‬

‫ﻭ‬

‫‪19π‬‬
‫‪12‬‬

‫‪L‬‬

‫‪sin‬‬

‫ﺍﻝﺼﻔﺤــــﺔ ‪13/8‬‬

‫ ‬




‫‪2‬‬

‫א ن )‪ -1 (08‬ﺃ‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ‬

‫)‬

‫‪3 + 3i‬‬

‫)‬

‫(‬

‫(‬

‫‪ ،‬ﺜﻡ ﺤل ﻓﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻝﻤﺭﻜﺒﺔ‬

‫‪ℂ‬‬

‫ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻝﺔ‪:‬‬

‫‪2z 2 + 3 3 + i z + 4 = 0‬‬
‫ﻨﺭﻤﺯ ﺒـ ‪ z 1‬ﻭ ‪ z 2‬ﻝﺤﻠﻲ ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻝﺔ ﺍﻝﻤﻌﻁﺎﺓ ﺤﻴﺙ ‪z 1 ≺ z 2 :‬‬

‫ﺏ ‪ -‬ﺍﻜﺘﺏ ﻜﻼ ﻤﻥ ‪ z 1‬ﻭ ‪ z 2‬ﻋﻠﻰ ﺸﻜﻠﻪ ﺍﻷﺴﻲ ‪.‬‬
‫ ‬
‫‪ -2‬ﻓﻲ ﺍﻝﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻝﻤﺯﻭﺩ ﺒﺎﻝﻤﻌﻠﻡ ) ‪ . (O ; u ; v‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻝﻌﺩﺩ ﺍﻝﻤﺭﻜﺏ ) ‪L = −2 ( sin θ + i cos θ‬‬
‫ﺤﻴﺙ ‪ θ‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ ،‬ﻭﻝﺘﻜﻥ ﺍﻝﻨﻘﻁ ‪ B ، A‬ﻭ ‪ M‬ﺼﻭﺭ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻝﻤﺭﻜﺒﺔ ‪ L ، z 2 ، z 1‬ﻋﻠﻰ‬
‫ﺍﻝﺘﺭﺘﻴﺏ ‪ .‬ﺃ‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻝﻁﻭﻴﻠﺔ ﻭﻋﻤﺩﺓ ﻝﻠﻌﺩﺩ ﺍﻝﻤﺭﻜﺏ ‪ L‬ﺒﺩﻻﻝﺔ ‪θ‬‬
‫ﺏ‪ -‬ﻨﻀﻊ ‪:‬‬

‫‪2π‬‬
‫‪3‬‬

‫= ‪ - θ‬ﺍﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻝﻤﺜﻠﺙ ‪ A BM‬ﻗﺎﺌﻡ ‪.‬‬

‫א ن )‪ (1 (09‬ﺤل ﻓﻲ‬

‫‪ℂ2‬‬

‫ﺍﻝﺠﻤﻠﺔ ﺍﻝﺘﺎﻝﻴﺔ ‪:‬‬
‫‪ z 1 + z 2 = 6 − 4i‬‬
‫‪‬‬
‫‪ z 1 × z 2 = 1 3 − 18i‬‬
‫‪‬‬
‫‪z1 ≺ z2‬‬
‫‪‬‬

‫‪ (2‬ﻓﻲ ﺍﻝﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻝﻤﺯﻭﺩ ﺒﺎﻝﻤﻌﻠﻡ ) ‪ B ، A . (O ; u ; v‬ﻭ ‪ C‬ﺼﻭﺭ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻝﻤﺭﻜﺒﺔ ‪z 2 ، z 1 ، −i :‬‬
‫ ‬

‫ﻋﻠﻰ ﺍﻝﺘﺭﺘﻴﺏ ‪ .‬ﻤﺎ ﻨﻭﻉ ﺍﻝﻤﺜﻠﺙ‬
‫‪ (3‬ﻋﻴ‪‬ﻥ ﻤﻌﺎﺩﻝﺔ ﺍﻝﺩﺍﺌﺭﺓ ) ‪ ( Γ‬ﺍﻝﻤﺤﻴﻁﺔ ﺒﺎﻝﻤﺜﻠﺙ ‪. ABC‬‬
‫‪ (4‬ﻋﻴ‪‬ﻥ ﻤﻌﺎﺩﻝﺔ ﺍﻝﻤﻤﺎﺱ ) ∆ ( ﻝﻠﺩﺍﺌﺭﺓ ) ‪ ( Γ‬ﻓﻲ ﺍﻝﻨﻘﻁﺔ ‪. C‬‬
‫‪ABC‬‬

‫א ن )‪ (10‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﻓﻲ‬

‫‪ℂ‬‬

‫)‬

‫ ‬

‫(‬

‫)‬

‫(‬

‫‪z 3 − 1+ i 2 z 2 + 1+ i 2 z − i 2 = 0‬‬

‫ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻝﺔ‪:‬‬

‫‪ -1‬ﺃ( ﺒﻴ‪‬ﻥ ﺍﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻝﺔ ﺘﻘﺒل ﺤﻼ ﺘﺨﻴﻠﻴﺎ ‪ z 0‬ﻴﻁﻠﺏ ﺘﻌﻴﻴﻨﻪ‬
‫ﺏ( ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻝﺤﻠﻴﻥ ﺍﻵﺨﺭﻴﻥ ‪ z 1‬ﻭ ‪ z 2‬ﺤﻴﺙ ‪ z 1 :‬ﻫﻭ ﺍﻝﺤل ﺍﻝﺫﻱ ﺠﺯﺅﻩ ﺍﻝﺘﺨﻴﻠﻲ ﻤﻭﺠﺏ‪.‬‬
‫ ‬
‫‪ -2‬ﻓﻲ ﺍﻝﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻝﻤﺯﻭﺩ ﺒﺎﻝﻤﻌﻠﻡ ) ‪ . (O ; u ; v‬ﻝﺘﻜﻥ ‪ B ، A‬ﻭ ‪ C‬ﺼﻭﺭ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻝﻤﺭﻜﺒﺔ ‪:‬‬
‫‪ z 2 ، z 1 ، z 0‬ﻋﻠﻰ ﺍﻝﺘﺭﺘﻴﺏ ‪.‬‬
‫ﺃ( ﻋﻴﻥ ﻻﺤﻘﺔ ﺍﻝﻨﻘﻁﺔ ‪ G‬ﻤﺭﺠﺢ ﺍﻝﻨﻘﻁ‬

‫‪A‬‬

‫‪،‬‬

‫‪B‬‬

‫ﻭ‬

‫‪C‬‬

‫ﺍﻝﻤﺭﻓﻘﺔ ﺒﺎﻝﻤﻌﺎﻤﻼﺕ‬

‫ﻭ ) ‪ (1 − 6‬ﻋﻠﻰ ﺍﻝﺘﺭﺘﻴﺏ ‪.‬‬
‫ﺏ( ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻝﻨﻘﻁﺔ‬

‫א ن )‪(11‬‬

‫‪G‬‬

‫ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻝﺩﺍﺌﺭﺓ ﺍﻝﻤﺤﻴﻁﺔ ﺒﺎﻝﻤﺜﻠﺙ‬

‫‪ABC‬‬

‫)‪(1 + 6 ) ، ( −3‬‬

‫‪ .‬‬

‫‪ /1‬ﻋﻴﻥ ﺍﻝﻁﻭﻴﻠﺔ ﻭﻋﻤﺩﺓ ﻝﻠﻌﺩﺩ ﺍﻝﻤﺭﻜﺏ ‪−8 + 8 3i :‬‬

‫‪ /2‬ﻋﻴﻥ ﻜل ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻝﻤﺭﻜﺒﺔ ‪ L‬ﺒﺤﻴﺙ ‪. L 4 = −8 + 8 3i :‬‬
‫‪ /3‬ﺤل ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻓﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻝﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻝﺔ ‪:‬‬

‫)‬

‫(‬

‫‪+ i ) − 8 −1 + i 3 = 0‬‬
‫‪4‬‬

‫‪(z‬‬

‫ﺍﻝﺼﻔﺤــــﺔ ‪13/9‬‬

‫ ‬




‫א ن )‪(12‬‬

‫ﻝﺘﻜﻥ ﻓﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻝﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻝﺔ ﺍﻝﺘﺎﻝﻴﺔ ‪:‬‬

‫( )‬

‫)‬

‫)‪3 + 1 = 0 ........(1‬‬

‫‪(1‬‬

‫ﺃ( ﺍﺤﺴﺏ‬

‫‪2‬‬

‫(‬

‫)‬

‫‪3 −1‬‬

‫‪3 −1 + i‬‬

‫ﺜﻡ ﺤل ﻓﻲ‬

‫‪ℂ‬‬

‫(‬

‫‪z 2 −  3 + 1 + 2i  z +‬‬

‫ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻝﺔ )‪(1‬‬

‫ﻨﺴــﻤﻲ ‪ z 1‬ﻭ ‪ z 2‬ﺤﻠﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻝﺔ ﺒﺤﻴﺙ ‪z 1 ≻ z 2 :‬‬
‫ﺏ( ﺍﻜﺘﺏ ﻜﻼ ﻤﻥ ﺍﻝﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ z 1‬ﻭ ‪ z 2‬ﻋﻠﻰ ﺍﻝﺸﻜل ﺍﻝﻤﺜﻠﺜﻲ ﺜﻡ ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﻝﻁﻭﻴﻠﺔ ﻭﻋﻤﺩﺓ ﻝﻠﻌﺩﺩ‬
‫ﺍﻝﻤﺭﻜﺏ ‪. z 1 × z 2‬‬
‫‪n‬‬

‫‪ z ×z ‬‬
‫‪ (2‬ﻋﻴ‪‬ﻥ ﻗﻴﻡ ﺍﻝﻌﺩﺩ ﺍﻝﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﺤﺘﻰ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻝﻌﺩﺩ ‪  1 2 ‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻤﻭﺠﺒﺎ‪.‬‬
‫‪ 2 2 ‬‬
‫‪z‬‬
‫‪z‬‬
‫‪a +b‬‬
‫=‪L‬‬
‫‪ (3‬ﻨﻀﻊ ‪ a = 1 :‬ﻭ ‪ b = 2‬ﻭ‬
‫‪1 + a.b‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ﺃ( ﺘﺤﻘﻕ ﺍﻥ ‪. a = b = 1‬‬

‫ﺏ( ﺍﺤﺴﺏ ﻤﺭﺍﻓﻕ‬

‫ﻭﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ‬

‫‪L‬‬

‫ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪.‬‬

‫א ن )‪ (13‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻝﺤﺩﻭﺩ ﻝﻠﻤﺘﻐﻴ‪‬ﺭ ﺍﻝﻤﺭﻜﺏ‬

‫‪z‬‬

‫ﺍﻝﻤﻌﺭ‪‬ﻑ ﺒـ ‪:‬‬

‫‪L‬‬

‫ﺒﺩﻻﻝﺔ‬

‫‪a‬‬

‫ﻭ‬

‫‪b‬‬

‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. P ( z ) = z − 6z + 24z − 18z + 63‬‬

‫)‬

‫(‬

‫‪ .1‬ﺃ ـ ﺃﺤﺴﺏ ) ‪ P ( i 3‬ﻭ ‪. P −i 3‬‬
‫ﺏ ـ ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻨﹼﻪ ﺘﻭﺠﺩ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ‪ b ، a‬ﻭ ‪ c‬ﺒﺤﻴﺙ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻤﺭﻜﺏ ‪z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪. P ( z ) = ( z + 3)( az + bz + c‬‬
‫‪ .2‬ﺤل ﻓﻲ‬

‫‪ℂ‬‬

‫ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻝﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻝﻤﺠﻬﻭل‬

‫‪z‬‬

‫‪. P (z ) = 0 ،‬‬

‫(‬

‫)‬

‫ ‬
‫‪O‬‬
‫;‬
‫‪u‬‬
‫‪ .‬ﺍﻝﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻝﻤﺭﻜﹼﺏ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻝﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪;v‬‬
‫‪.‬‬

‫ﺃ ـ ﻤﺜﹼل ﺍﻝﻨﻘﻁ‬

‫‪A‬‬

‫‪،‬‬

‫‪B‬‬

‫‪،‬‬

‫‪ C‬ﻭ‪D‬‬

‫ﺫﺍﺕ ﺍﻝﻠﻭﺍﺤﻕ ﻋﻠﻰ ﺍﻝﺘﺭﺘﻴﺏ ‪z B = −i 3 ، z A = i 3‬‬

‫‪ z C = 3 + 2i 3 ،‬ﻭ ‪z D = z C‬‬
‫ﻥ ﺍﻝﻨﻘﻁ ‪ C ، B ، A‬ﻭ ‪ D‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻝﻰ ﻨﻔﺱ ﺍﻝﺩﺍﺌﺭﺓ‪.‬‬
‫ﺏ ـ ﺃﺜﺒﺕ ﺃ ‪‬‬
‫‪ .4‬ﻝﺘﻜﻥ ﺍﻝﻨﻘﻁﺔ ‪ E‬ﻨﻅﻴﺭﺓ ‪ D‬ﺒﺎﻝﻨﺴﺒﺔ ﺇﻝﻰ ﺍﻝﻤﺒﺩﺃ ‪. O‬‬
‫‪π‬‬
‫‪−i‬‬
‫‪zC − z B‬‬
‫ﺒﻴ‪‬ﻥ ﺃﻥ ‪= e 3‬‬
‫ﺜ ‪‬ﻡ ﻋﻴ‪‬ﻥ ﻁﺒﻴﻌﺔ ﺍﻝﻤﺜﻠﺙ‬
‫‪zE −zB‬‬

‫א ن )‪α (14‬‬

‫ ‬

‫‪. BEC‬‬

‫ﻋﺩﺩ ﻤﺭﻜﺏ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ‪ .1 .‬ﺃﻨﺸﺭ ﺍﻝﻌﺒﺎﺭﺓ ‪. 1 − i (1 + α ) ‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ .2‬ﺤل ﻓﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻝﻤﺭﻜﺒﺔ‬

‫‪ℂ‬‬

‫ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻝﺔ ﺍﻝﺘﺎﻝﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻝﻤﺠﻬﻭل‬

‫‪z‬‬

‫‪:‬‬

‫‪2‬‬
‫‪ z +  −1 + i (1 − α )  z + i α + α = 0‬‬

‫ﻨﺭﻤﺯ ﺒـ ‪ z 1‬ﻭ ‪z 2‬‬

‫ ‬

‫ﺇﻝﻰ ﺤﻠﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻝﺔ ﺤﻴﺙ ‪ z‬ﻫﻭ ﺍﻝﺤل ﺍﻝﻤﺴﺘﻘل ﻋﻥ ‪ α‬‬
‫ ‬
‫ﺍﻝﺼﻔﺤــــﺔ ‪ 13/10‬‬


‫‪2‬‬

‫ﻥ ‪ α = iy‬ﺤﻴﺙ ‪ y‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ‪.‬‬
‫‪ .3‬ﻨﻔﺭﺽ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻝﺴﺅﺍل ﺃ ‪‬‬
‫ﺃﻜﺘﺏ ﻜﻼ ﻤﻥ ‪ z 1‬ﻭ ‪ z 2‬ﻋﻠﻰ ﺸﻜﻠﻪ ﺍﻝﻤﺜﻠﺜﻲ ‪.‬‬

‫(‬

‫)‬

‫ ‬
‫‪ .4‬ﺍﻝﻤﺴﺘﻭﻱ ﻤﺯﻭﺩ ﺒﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪. O ;u ;v‬‬
‫‪A‬‬

‫ﻭ‬

‫‪M‬‬

‫ﻨﻘﻁﺘﺎﻥ ﻤﻥ ﺍﻝﻤﺴﺘﻭﻱ‬

‫ﻭ‬

‫ﻻﺤﻘﺘﺎﻫﻤﺎ ‪z 2‬‬

‫‪z‬‬

‫ﻋﻠﻰ ﺍﻝﺘﺭﺘﻴﺏ ‪ ،‬ﻭﻝﺘﻜﻥ ‪ Ep‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻝﻨﻘﻁ‬

‫ﺍﻝﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻝﺘﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺃﺠﻠﻬﺎ ‪. ( z − z 2 ) ( z − z 2 ) = 2 :‬‬

‫‪M‬‬

‫ﻤﻥ‬

‫ﺘﺤ ﹼﻘﻕ ﺃ ‪‬ﻥ ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻝﻤﻌﻠﻡ ‪ O‬ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻝﻰ ‪ Ep‬ﺜ ‪‬ﻡ ﻋ‪‬ﻴﻥ ‪Ep‬‬
‫א ن )‪ (15‬ﻝﺘﻜﻥ ﻓﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻝﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻝﺔ ﺍﻝﺘﺎﻝﻴﺔ ‪:‬‬

‫)‬

‫)‬

‫(‬

‫(‬

‫)‪z 3 + 2 − 3 + i z 2 + 4 1 − i 3 z + 8i = 0........ (1‬‬

‫‪ .1‬ﺒﻴ‪‬ﻥ ﺃﻥ ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻝﺔ )‪ (1‬ﺘﻘﺒل ﺤﻼ ﺘﺨﻴﻠﻴﺎ ﺼﺭﻓﺎ ‪ z 0‬ﻴﻁﻠﺏ ﺘﻌﻴﻴﻨﻪ‪.‬‬
‫‪ .2‬ﺤل ﻋﻨﺩﺌﺫ ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻝﺔ )‪. (1‬ﻨﺴﻤﻲ ‪ z 1‬ﻭ ‪ z 2‬ﺍﻝﺤﻠﻴﻥ ﺍﻵﺨﺭﻴﻥ ﺤﻴﺙ ﺍﻝﺠﺯﺀ ﺍﻝﺘﺨﻴﻠﻲ ﻝﻠﻌﺩﺩ ‪ z 1‬ﺴﺎﻝﺏ‬
‫‪z1‬‬
‫‪ .1‬ﻨﻀﻊ ‪:‬‬
‫‪z2‬‬

‫= ‪. ω‬ﺃ( ﻋﻴ‪‬ﻥ ﺍﻝﺸﻜل ﺍﻝﻤﺜﻠﺜﻲ ﻝﻠﻌﺩﺩ ‪. ω‬‬

‫)‬

‫(‬

‫ ‬
‫‪O‬‬
‫;‬
‫‪u‬‬
‫ﺏ( ﺍﻝﻤﺴﺘﻭﻱ ﻤﺯﻭﺩ ﺒﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪;v‬‬
‫‪.‬ﺒﻜل ﻋﺩﺩ ﻤﺭﻜﺏ‬

‫‪ z‬ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ﻨﺭﻓﻕ ﺍﻝﻨﻘﻁ ‪ M 2 ، M 1 ، M‬ﺍﻝﺘﻲ ﻝﻭﺍﺤﻘﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻝﺘﺭﺘﻴﺏ ‪. ω 2 .z ، ω z ، z :‬‬
‫ ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﺍﻝﺭﺒﺎﻋﻲ ‪ OMM 1M 2‬ﻤﻌﻴ‪‬ﻥ‪.‬‬‫א ن )‪ /1 (16‬ﺤل ﻓﻲ ‪ ℂ‬ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻝﺔ ﺍﻝﺘﺎﻝﻴﺔ ‪:‬‬
‫‪ z 2 − (1 + i )z − 4i = 0‬ﻭﻝﻴﻜﻥ ‪ z 1‬ﻭ ‪ z 2‬ﺤﻠﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻝﺔ‬

‫‪ /2‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻝﺔ ‪z 4 − (1 + i )z 3 + (9 − 4i ) z 2 − 9(1 + i ) z − 36i = 0 :‬‬
‫ﺃ( ﺒﻴ‪‬ﻥ ﺍﻥ ﻝﻬﺫﻩ ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻝﺔ ﺤﻠﻴﻥ ﺘﺨﻴﻠﻴﻴﻥ ﺼﺭﻓﻴﻴﻥ ﻤﺘﻌﺎﻜﺴﻴﻥ ‪ z 4 ، z 3‬ﻴﻁﻠﺏ ﺘﻌﻴﻴﻨﻬﻤﺎ‪.‬‬
‫ﺏ( ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺤﻠﻭل ﻫﺫﻩ ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻝﺔ ‪.‬‬

‫)‬

‫(‬

‫ ‬
‫‪O‬‬
‫;‬
‫‪u‬‬
‫‪ /3‬ﺍﻝﻤﺴﺘﻭﻱ ﻤﺯﻭﺩ ﺒﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪;v‬‬
‫‪ M .‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﺍﻝﻤﺴﺘﻭﻱ ﻻﺤﻘﺘﻬﺎ ‪z‬‬

‫‪-‬‬

‫‪ z − z 3 − z 4  −π‬‬
‫‪arg ‬‬
‫ﺍﻭﺠﺩ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻝﻨﻘﻁ ‪ M‬ﻤﻥ ﺍﻝﻤﺴﺘﻭﻱ ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ ‪[ 2π ] :‬‬
‫≡‪‬‬
‫‪z‬‬
‫‪−‬‬
‫‪z‬‬
‫‪−‬‬
‫‪z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2 ‬‬

‫‪ α‬ﻋﺩﺩ ﻤﺭﻜﺏ ﺤﻴﺙ ‪α = 2 − 2 − i 2 + 2 :‬‬

‫א ن )‪(17‬‬
‫‪ (1‬ﺍﺤﺴﺏ ‪ α 2‬ﻭ ‪ α 4‬ﺜﻡ ﺍﻜﺘﺏ ‪ α 4‬ﻋﻠﻰ ﺸﻜﻠﻪ ﺍﻝﻤﺜﻠﺜﻲ ‪.‬‬

‫‪13π‬‬
‫‪13π‬‬
‫‪ cos‬ﻭ‬
‫‪ (2‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﻝﻁﻭﻴﻠﺔ ﻭﻋﻤﺩﺓ ﻝﻠﻌﺩﺩ ‪. α‬ﺜﻡ ﺍﺤﺴﺏ ﻜﻼ ﻤﻥ ﺍﻝﻌﺩﺩﻴﻥ ‪:‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬

‫)‬

‫‪sin‬‬

‫(‬

‫ ‬
‫‪O‬‬
‫;‬
‫‪u‬‬
‫‪ (3‬ﺍﻝﻤﺴﺘﻭﻱ ﻤﺯﻭﺩ ﺒﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪;v‬‬
‫‪ M .‬ﻨﻘﻁﺔ ﻻﺤﻘﺘﻬﺎ ‪ z‬ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬
‫ﺍﻝﻨﻘﻁ ‪ M‬ﺒﺤﻴﺙ ‪α .z = 8 :‬‬

‫ﺍﻝﺼﻔﺤــــﺔ ‪ 13/11‬‬




‫א ن )‪ /1 (18‬ﺤل ﻓﻲ ‪ ℂ‬ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻝﺔ ‪− 1)  z 2 − (1 + 4i ) z − ( 5 + i )  = 0............(1) :‬‬

‫‪( iz‬‬

‫ﻨﺭﻤﺯ ﺒـ ‪ z 1 ، z 0‬ﻭ ‪ z 2‬ﺇﻝﻰ ﺤﻠﻭل ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻝﺔ )‪ (1‬ﺤﻴﺙ ‪z 0 ≺ z 1 ≺ z 2 :‬‬
‫ ‬
‫ﺍﻝﻤﺴﺘﻭﻱ ﻤﺯﻭﺩ ﺒﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪ . O ;u ;v‬ﻝﺘﻜﻥ ﺍﻝﻨﻘﻁ ‪ B ، A‬ﻭ ‪ C‬ﺍﻝﺘﻲ ﻝﻭﺍﺤﻘﻬﺎ‬
‫‪ z 1 ، z 0‬ﻭ ‪ z 2‬ﻋﻠﻰ ﺍﻝﺘﺭﺘﻴﺏ ‪.‬‬
‫‪ /2‬ﺃ( ﺃﻭﺠﺩ ﺍﺤﺩﺍﺜﻴﻲ ﺍﻝﻨﻘﻁﺔ ‪ G‬ﻤﺭﺠﺢ ﺍﻝﺠﻤﻠﺔ ‪{( A ;1) , ( B ;2 ) , (C ;1)} :‬‬
‫ﺏ( ﻋﻴ‪‬ﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻝﻨﻘﻁ ‪ M‬ﺫﺍﺕ ﺍﻝﻠﻭﺍﺤﻕ ‪ z‬ﺒﺤﻴﺙ ‪:‬‬

‫(‬

‫)‬

‫‪z − z 0 + 2 z − z 1 + z − z 2 = 34‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫ ‬

‫א ن )‪ (19‬ﺍﻝﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻝﻤﺭﻜﺏ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻝﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ) ‪(O; OI , OJ‬‬
‫ﻝﻴﻜﻥ ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻝﺤﺩﻭﺩ ) ‪ f ( z‬ﻝﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻝﻤﺭﻜﺏ‬

‫‪z‬‬

‫ﺤﻴﺙ ﺃﻥ ‪:‬‬

‫‪. f ( z ) = z 3 + (14 − i 2 ) z 2 + (74 −14 i 2 ) z − 74 i 2‬‬
‫‪ (1‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ) ‪ f ( z‬ﻴﻘﺒل ﺠﺫﺭﻴﻥ ﻤﺘﺭﺍﻓﻘﻴﻥ ﻴﻁﻠﺏ ﺘﻌﻴﻴﻨﻬﻤﺎ‪.‬‬
‫‪(2‬ﺤل ﻓﻲ ﺍﻝﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ ℂ‬ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻝﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻝﻤﺠﻬﻭل ‪. f ( z ) = 0 : z‬‬
‫ﻨﺴﻤﻲ ‪ C ، B ، A‬ﺼﻭﺭ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ‪ i 2 ، −7 − 5 i ، −7 + 5i :‬ﻭ ﻋﻠﻰ ﺍﻝﺘﺭﺘﻴﺏ ‪.‬‬
‫‪ (3‬ﻝﺘﻜﻥ ‪ D‬ﺍﻝﻨﻘﻁﺔ ﺍﻝﺘﻲ ﻻﺤﻘﺘﻬﺎ ‪. 1 + i‬ﻋﻴﻥ ﻻﺤﻘﺔ ﺍﻝﻨﻘﻁﺔ ‪ E‬ﺤﻴﺙ ‪ ABDE‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺍﻷﻀﻼﻉ ‪.‬‬
‫) ‪(z A − z D‬‬
‫=‪. ω‬‬
‫‪ (4‬ﻝﺘﻜﻥ ‪ F‬ﺍﻝﻨﻘﻁﺔ ﺍﻝﺘﻲ ﻻﺤﻘﺘﻬﺎ ‪ . 1 + 11i‬ﻨﻀﻊ‬
‫) ‪(z F − z B‬‬
‫ﺃ( ﺃﻜﺘﺏ ‪ ω‬ﻋﻠﻰ ﺍﻝﺸﻜل ﺍﻝﺠﺒﺭﻱ ‪.‬‬
‫ﺏ( ﺃﻜﺘﺏ ‪ ω‬ﻋﻠﻰ ﺍﻝﺸﻜل ﺍﻷﺴﻲ ‪.‬‬
‫‪ (5‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻝﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻥ )‪ ( AD‬ﻭ ) ‪ ( BF‬ﻤﺘﻌﺎﻤﺩﺍﻥ‪.‬‬
‫ ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﻁﺒﻴﻌﺔ ﺍﻝﺭﺒﺎﻋﻲ ‪. ABDF‬‬‫ א ن )‪ /1 (20‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻝﺠﺫﺭﻴﻥ ﺍﻝﺘﺭﺒﻴﻌﻴﻴﻥ ﻝﻠﻌﺩﺩ ﺍﻝﻤﺭﻜﺏ ‪−2 − 2 3i :‬‬

‫‪ /2‬ﺤل ﻓﻲ ﺍﻝﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ ℂ‬ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻝﺔ ﺍﻝﺘﺎﻝﻴﺔ ‪:‬‬
‫‪z 2 − 2z + 3 + 2 3i = 0‬‬
‫) ﻨﺴﻤﻲ ﺤﻠﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻝﺔ ‪ z 0‬ﻭ ‪ z 1‬ﺤﻴﺙ ‪( z 0 ≺ z 1 :‬‬
‫‪ ϕ /3‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ z ،‬ﻋﺩﺩ ﻤﺭﻜﺏ ﺤﻴﺙ ‪z = 1 + 2cos ϕ + 2i sin ϕ :‬‬

‫)‬

‫(‬

‫ ‬
‫‪O‬‬
‫;‬
‫‪u‬‬
‫‪ M ، M 1 ، M 0‬ﻨﻘﻁ ﻤﻥ ﺍﻝﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻝﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻝﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪;v‬‬
‫ﻝﻭﺍﺤﻘﻬﺎ‬

‫ﻋﻠﻰ ﺍﻝﺘﺭﺘﻴﺏ ‪. z ، z 1 ، z 0‬‬
‫ﺃ( ﻤﺎ ﻫﻲ ﻗﻴﻡ ‪ ϕ‬ﺤﺘﻰ ﺘﻜﻭﻥ ‪ M‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ }‪{M 0 , M 1‬‬
‫ﺏ( ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ M‬ﺘﺨﺘﻠﻑ ﻋﻥ ‪ M 0‬ﻭ ‪ M 1‬ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﺍﻝﻤﺜﻠﺙ ‪ M 0 MM 1‬ﻗﺎﺌﻡ ﻓﻲ ‪M‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬

‫ﺠـ( ﻋﻴﻥ ﻗﻴﻡ ‪ ϕ‬ﺤﺘﻰ ﻴﻜﻭﻥ ‪ . M 0 M = M 0 M 1‬ﺃﻨﺸﺊ ‪ M‬ﻋﻨﺩﺌﺫ ‪.‬‬

‫ﺍﻝﺼﻔﺤــــﺔ ‪13/12‬‬




‫א ن )‪ : (21‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﻓﻲ ﺍﻝﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ ℂ‬ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻝﺔ ‪z 2 + 2z + 1 + i = 0 :‬‬
‫ﻨﺭﻤﺯ ﺒـ ‪ z 1‬ﻭ ‪ z 2‬ﻝﻠﺤﻠﻴﻥ ﺒﺤﻴﺙ ‪ℑm (z 1 ) ≻ 0 :‬‬

‫‪ /1‬ﺤﺩﺩ ‪ z 1‬ﻭ ‪z 2‬‬

‫(‬

‫)‬

‫ ‬
‫‪ /2‬ﺍﻝﻤﺴﺘﻭﻱ ﻤﺯﻭﺩ ﺒﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪ . O ;u ;v‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻝﻨﻘﻁ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﻭ ‪ M 1‬ﻭ ‪ M 2‬ﺍﻝﺘﻲ‬
‫‪− 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪+‬‬
‫ﻝﻭﺍﺤﻘﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻝﺘﻭﺍﻝﻲ ‪ −1 :‬ﻭ ‪i‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪− 2‬‬
‫‪2‬‬
‫ﻋﻠﻰ ﺍﻝﺸﻜل ﺍﻝﻤﺜﻠﺜﻲ ‪.‬‬
‫‪+‬‬
‫ﺃ( ﺍﻜﺘﺏ ﺍﻝﻌﺩﺩ ﺍﻝﻤﺭﻜﺏ ‪i‬‬
‫ ‪2‬‬
‫ ‪2‬‬
‫ﺏ( ﺘﺤﻘﻕ ﻤﻥ ﺃﻥ ‪ AM 1 = OB :‬ﻭﺍﻥ ‪ A‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ﺍﻝﻘﻁﻌﺔ ] ‪ [ M 1M 2‬ﺜﻡ ﺍﻨﺸﺊ ﺍﻝﻨﻘﻁ ‪:‬‬
‫‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﻭ ‪ M 1‬ﻭ ‪.M 2‬‬
‫‪7π‬‬
‫ﺠـ ( ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ‪ AOBM 1‬ﻤﻌﻴﻥ ﺜﻡ ﺃﻥ ] ‪. arg(z 1 ) ≡ [ 2π‬‬
‫‪8‬‬
‫ﻭ ‪ z1‬ﻭ ‪z 2‬‬

‫א ن )‪ (22‬ﻴﻨﺴﺏ ﺍﻝﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻝﻤﺭﻜﺏ ﻝﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬
‫‪ z = x + iy‬ﻋﺩﺩ ﻤﺭﻜﺏ ﻭ‬

‫‪x‬‬

‫‪،‬‬

‫‪y‬‬

‫‪.‬‬

‫) ‪(O ; i ; j‬‬
‫ ‬

‫‪.‬‬

‫ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ‪.‬‬

‫‪2z − i‬‬
‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻝﻌﺩﺩ ﺍﻝﻤﺭﻜﺏ ‪ L‬ﺤﻴﺙ ‪.‬‬
‫‪z +1− i‬‬
‫‪ (1‬ﺃﻜﺘﺏ ﺍﻝﻌﺩﺩ ﺍﻝﻤﺭﻜﺏ ) ‪ f (z‬ﻋﻠﻰ ﺍﻝﺸﻜل ﺍﻝﺠﺒﺭﻱ ‪.‬‬

‫= ) ‪f (z‬‬

‫‪ (2‬ﻋﻴﻥ‬
‫‪ (3‬ﻋﻴﻥ‬

‫‪E‬‬
‫‪F‬‬

‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻝﻨﻘﻁ‬
‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻝﻨﻘﻁ‬

‫‪M‬‬
‫‪M‬‬

‫ﺫﺍﺕ ﺍﻝﻼﺤﻘﺔ‬
‫ﺫﺍﺕ ﺍﻝﻼﺤﻘﺔ‬

‫‪z‬‬
‫‪z‬‬

‫ﺍﻝﺘﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺃﺠﻠﻬﺎ ) ‪ f (z‬ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ‪.‬‬
‫ﺍﻝﺘﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺃﺠﻠﻬﺎ ) ‪ f (z‬ﺘﺨﻴﻠﻴﺎ ﺼﺭﻓﺎ‪.‬‬

‫‪ (4‬ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻝﻨﻘﻁ ‪ M‬ﺫﺍﺕ ﺍﻝﻼﺤﻘﺔ ‪ z‬ﺍﻝﺘﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺃﺠﻠﻬﺎ ‪f (z ) = 3‬‬

‫‪ (5‬ﺤل ﻓﻲ ‪ ℂ‬ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻝﺔ ‪:‬‬

‫‪f (z ) = z‬‬

‫ ‬

‫ﻳﻘﻮل اﻟﺸﺎﻋﺮ أﺑﻮ اﻟﻘﺎﺳﻢ اﻟﺸﺎﺑﻲ‪:‬‬

‫اﻟﻬﺪﻳﺔ‬

‫ ذא ط
א و א ذ ‬
‫و מ & و‪ %‬و و א ‪ ! $‬و‪
#‬א "! א ‬
‫و ن ‪ ) ! #‬ود א (
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‪ &' ( )
" # $‬دون أن ‪: , * &'
+‬‬
‫و أ* ‪ 0‬ان ا
‪ /‬و ‪ 6 7....... .‬و ‪ * "5‬ذاك
' ‪"2‬‬
‫وﻗﺪ ﻗﺎﻟﻮا‪ :‬إن اﻟﻌﻠﻢ ﻋﺰﻳﺰ؛ إذا أﻋﻄﻴﺘﻪ ﻛﻠﻚ أﻋﻄﺎك ﺑﻌﻀﻪ‪ .‬أﻗﻮل ﻓﻜﻴﻒ إذا أﻋﻄﻴﺘﻪ ﺑﻌﻀﻜ‪ ،‬ﺑﻞ‬
‫ﺗﻮاﻓﻪ وﻗﺘﻚ‪ ،‬ﻓﻤﺎ ﻋﺴﺎك أن ﺗﻨﺎل ﻣﻨﻪ ‪.‬‬

‫ﺍﻝﺼﻔﺤــــﺔ ‪13/13‬‬





POINT DE VUE HISTORIQUE
*Il n'existe pas de réel dont le carré soit strictement négatif. Pourtant dès

le 16ème siècle les algébristes italiens dont le plus célèbre d'entre-eux
Jérôme Cardan n'hésitent pas à utiliser le symbole
lorsque a est un
nombre réel strictement positif pour représenter le résultat de
l'extraction impossible de la racine carrée du nombre négatif -a. Ils
décrivent en détail les règles de cacul permettant de manipuler ces
nouveaux nombres appelés par eux "NOMBRES
IMPOSSIBLES".En 1572 Bombelli montre à l'aide de la formule
de Cardan que la racine x=4 de l'équation
peut s'écrire
. A l'origine il s'agissait seulement de donner des
racines à toutes les équations du second degré. Les résultats obtenus
dans l'étude des équations du 3ème degré allaient familiariser les
mathématiciens avec ces symboles et mettre en évidence leur rôle
comme intermédiaire commode de calcul dans de nombreux cas. Pour
ces raisons sommes toutes empiriques, les mathématiciens utilisaient
avec une confiance croissante les nombres IMAGINAIRES depuis le
début du 17ème siècle. Dès 1629 A.Girard soupçonnait que toute
équation de degré n à n racines réelles ou complexes. Ce sont les
mathématiciens du 19ème siècle qui ont construit les nombres
complexes à partir des quantités connues et qui leur ont donné une
"réalité mathématique".
*Extrait de l'encyclopédie Universalis.








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