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تمارين الجداء السلمي في الفضاء .pdf



Nom original: تمارين الجداء السلمي في الفضاء.pdf
Titre: سلسلة استعد للبكالوريا رقم365.doc
Auteur: ksc

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‫‪ 04‬‬
‫ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺩﺭﺍﺴﻴﺔ ‪2009/2008:‬‬

‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ‪ :‬ﺜﺎﻟﺜﺔ ﺜﺎﻨﻭﻱ‬
‫ﺍﻟﺸﻌﺒــﺔ ‪ :‬ﻋﻠﻭﻡ ﺘﺠﺭﻴﺒﻴﺔ ‪ +‬ﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ‬

‫ﺣﻠﻴﻼﺕ ﻋﻤﺎﺭ‬

‫ﻭ ﺘﻘﻨﻲ ﺭﻴﺎﻀﻲ‬

‫}ﺍﶈﻮﺭ ‪ :‬ﺍﳉﺪﺍﺀ ﺍﻟﺴﻠﻤﻲ ﰲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻭ ﺍﳌﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﻭﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺎﺕ ﻭ ﺗﻄﺒﻴﻘﺎﺗﻪ{‬

‫‪l‬‬

‫‪tia‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻤﻥ ‪ 1‬ﺇﻟﻰ ‪ 3‬ﻤﺭﺍﺠﻌﺎﺕ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﺔ‬

‫(‬

‫)‬

‫‪ 01‬ﻴﻨﺴﺏ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪. O; i; j‬ﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪:‬‬

‫‪en‬‬

‫)‪ B(3;0) ، A(1;3‬ﻭ )‪C(-5;-1‬‬
‫‪ .1‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ ABC‬ﻗﺎﺌﻡ ‪.‬‬
‫‪ .2‬ﻋﻴ‪‬ﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﺩﺍﺌﺭﺓ ﺍﻟﻤﺤﺎﻁﺔ ﺒﺎﻟﻤﺜﻠﺙ ‪. 3 .ABC‬ﻋﻴ‪‬ﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻤﻤﺎﺱ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﻓﻲ ‪.A‬‬

‫‪fid‬‬

‫)‬

‫(‬

‫‪02‬ﻴﻨﺴﺏ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪. O; i; j‬‬

‫‪on‬‬

‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﻴﻥ )‪ A(1;2‬ﻭ )‪ B(0;5‬ﻭﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ )‪ (C‬ﺍﻟﺘﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻬﺎ ‪x2+y2-2x-3=0 :‬‬
‫‪.1‬ﻋﻴ‪‬ﻥ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﻭﺴﻴﻁﻲ ﻭﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (D‬ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ)‪(-1;1‬‬

‫‪C‬‬

‫ﻭﺸﻌﺎﻉ ﺘﻭﺠﻴﻪ ﻟﻪ )‪. u (2;1‬‬
‫‪ .2‬ﺤﺩﺩ ﻤﺭﻜﺯ ﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ )‪ (C‬ﻭ ﺘﺄﻜﺩ ﺃﻥ )‪.A∈ (C‬‬

‫‪ny‬‬

‫‪ .3‬ﺃ(ﺤﺩﺩ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )∆( ﺍﻟﻤﺎﺭ ﻤﻥ ‪ B‬ﻭ )‪ n(3;4‬ﺸﻌﺎﻉ ﻨﺎﻅﻤﻲ ﻟﻪ‪.‬‬
‫ﺏ( ﺒﻴ‪‬ﻥ ﺃﻥ ﺘﻘﺎﻁﻊ )‪ (C‬ﻭ )∆( ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺨﺎﻟﻴﺔ‬
‫‪.4‬ﺘﺄﻜﺩ ﺃﻥ )‪ (D‬ﻭ)‪ (C‬ﻴﺘﻘﺎﻁﻌﺎﻥ ﻭﺤﺩﺩ ﺘﻘﺎﻁﻌﻬﻤﺎ‪.‬‬
‫‪.5‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ )‪ (C‬ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (D‬ﺒﻁﺭﻴﻘﺘﻴﻥ‪.‬‬

‫‪MA2-2MB2+3MC2= k‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ (II‬ﻴﻨﺴﺏ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪ A; i; j‬ﺤﻴﺙ ‪ i = AB :‬ﻭ ‪AC‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬

‫ﺃ( ﻋﻴ‪‬ﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ G‬ﻭﺍﺤﺴﺏ ‪ GB2 ، GA2:‬ﻭ ‪.GC2‬‬

‫=‪j‬‬

‫‪C‬‬

‫)‬

‫(‬

‫‪pa‬‬

‫ﺏ( ﻋﻴ‪‬ﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ M‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ‪:‬‬

‫)‪(k ∈ R‬‬

‫‪om‬‬

‫‪ ABC03‬ﻤﺜﻠﺙ ﻗﺎﺌﻡ ﻓﻲ ‪ A‬ﺤﻴﺙ ‪ AB=3‬ﻭ ‪AC=4‬‬
‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ G‬ﻤﺭﺠﺢ )‪ (B;-2) ، (A;1‬ﻭ )‪(C;3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ (I‬ﺃ( ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ G‬ﻭﺍﺤﺴﺏ ‪ GB2 ، GA2:‬ﻭ ‪. GC‬‬

‫ﺏ( ﻋﻴ‪‬ﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ M‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ‪MA2-2MB2+3MC2= k (k ∈ R) :‬‬
‫‪Descartes dit dans sa géométrie(1637):la géométrie analytique est l'art de‬‬
‫‪résoudre les problèmes de géométrie par le calcul.‬‬

‫ﺍﻟﺼﻔﺤــــﺔ ‪16/1‬‬

‫ﺣﻠﻴﻼﺕ ﻋﻤﺎﺭ‬

‫‪ ABCDEFGH 04‬ﻤﻜﻌﺏ ﻀﻠﻌﻪ ‪ /1 . a‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﺠﺩﺍﺀﺍﺕ ﺍﻟﺴﻠﻤﻴﺔ ﺍﻵﺘﻴﺔ ‪:‬‬
‫‪uuuuruuur‬‬
‫‪uuuuruuur‬‬
‫‪uuuuruuur‬‬
‫‪uuur uuur‬‬
‫ﺃ( ‪ ، AB .AC‬ﺏ( ‪ ، AB .CD‬ﺝ( ‪ ، AB .FG‬ﺩ( ‪DB .HF‬‬
‫‪ /2‬ﺃﺜﺒﺕ ﺍﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪ ( AG‬ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ) ‪( BED‬‬
‫‪uuur uuuur uuuur‬‬
‫‪ /3‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ‪. D ; DA ; DC ; DH‬ﺃ( ﻋﻴ‪‬ﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ E ، B ، G ، A‬ﻭ ‪D‬‬

‫(‬

‫)‬

‫ﺏ( ﺍﺜﺒﺕ ﻤﺠﺩﺩﺍ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‬
‫‪05‬ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬

‫) ‪( AG‬‬

‫‪r ur ur‬‬
‫) ‪(O ; i ; j ; k‬‬

‫ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ‬

‫) ‪( BED‬‬

‫ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ‪.‬‬

‫‪l‬‬

‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ B ( 0;0; −1) ، A ( −1;1;1) :‬ﻭ )‪C ( 3; −2;1‬‬
‫‪ (1‬ﺒﻴ‪‬ﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ B ، A‬ﻭ ‪ C‬ﺘﻌﻴ‪‬ﻥ ﻤﺴﺘﻭﻴﺎ‬
‫‪ur‬‬
‫‪ (2‬ﻋﻴ‪‬ﻥ ﺸﻌﺎﻉ ﻨﺎﻅﻤﻲ ‪ n‬ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ ) ‪ ( ABC‬ﺜﻡ ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ ) ‪( ABC‬‬
‫‪ (3‬ﺃﻭﺠﺩ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﺴﻁﺢ ﺍﻟﻜﺭﺓ ) ‪ ( S‬ﺍﻟﺘﻲ ﻗﻁﺭﻫﺎ ] ‪[ AC‬‬

‫‪tia‬‬

‫‪en‬‬

‫‪r ur ur‬‬

‫‪fid‬‬

‫‪06‬ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ) ‪ (O ; i ; j ; k‬ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻤﺤﺎﻭﺭﻩ ) ‪(OZ ) ، (OY) ، (OX‬‬
‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ) ‪ A( 1; -2 ; 4‬ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ )‪ (P‬ﺍﻟﺫﻱ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪2x-3y+z+2 =0 :‬‬
‫‪ .1‬ﺍﻜﺘﺏ ﺘﻤﺜﻴﻼ ﻭﺴﻴﻁﻴﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )∆( ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ A‬ﻭﻴﻌﺎﻤﺩ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ )‪. (P‬‬
‫‪ .2‬ﻋﻴ‪‬ﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ B‬ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻘﺎﻁﻊ )∆( ﻭ )‪. (P‬‬
‫‪ .3‬ﺍﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﺴﻁﺢ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ‪ A‬ﻭﺍﻟﺘﻲ ﺘﻤﺱ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ )‪. (P‬‬
‫‪ .4‬ﻋﻴ‪‬ﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ‪ C; D‬ﻨﻘﻁﺘﻲ ﺘﻘﺎﻁﻊ ﺴﻁﺢ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪(OZ‬‬
‫‪ .5‬ﻤﺎ ﻫﻲ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﻤﺭﻜﺯ ﺜﻘل ﺭﺒﺎﻋﻲ ﺍﻟﻭﺠﻭﻩ ‪ . ABCD‬‬

‫‪on‬‬

‫‪C‬‬

‫‪r ur ur‬‬

‫‪ny‬‬

‫‪07‬ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ) ‪ (O ; i ; j ; k‬ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ‪.‬‬
‫ﺘﻌﻁﻰ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪D(2;4;3) ، C( 2; 1 ;0 ) ، B( 0; 2 ; 1 ) ،A( 1; 0 ;2 ) :‬‬

‫‪ 08‬ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬

‫‪r ur ur‬‬
‫) ‪(O ; i ; j ; k‬‬

‫‪pa‬‬

‫‪.1‬ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ )‪ V (1;1;1‬ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ )‪. (ABC‬‬
‫‪.2‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ )‪.(ABC‬‬
‫‪.3‬ﺘﺤﻘﻕ ﺃﻥ ﺍﻟﺭﺒﺎﻋﻲ ‪ ABCD‬ﻫﻭ ﺭﺒﺎﻋﻲ ﻭﺠﻭﻩ‪ .‬ﺜﻡ ﺍﺤﺴﺏ ﺤﺠﻡ ﺍﻟﻤﺠﺴﻡ ﺍﻟﺭﺒﺎﻋﻲ ‪.ABCD‬‬
‫ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ‪ .‬ﺘﻌﻁﻰ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪A ( 2;4;1) :‬‬

‫‪om‬‬

‫‪9‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪I  ;4; −  ، E ( 3;2; −1) ، D (1;0; − 2 ) ، C ( 3;1; − 3) ، B ( 0;4; − 3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫ﺒﻴ‪‬ﻥ – ﻤﻊ ﺍﻟﺘﻌﻠﻴل – ﺼﺤﺔ ﺃﻭ ﺨﻁﺄ ﺍﻟﺠﻤل ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ (1 :‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ) ‪ ( AB‬ﻭ ) ‪ (CD‬ﻤﺘﻌﺎﻤﺩﺍﻥ‬
‫‪ (2‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ ) ‪ ( ABC‬ﻫﻲ ‪2 x + 2 y − z − 11 = 0 :‬‬
‫‪ (3‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ E‬ﺍﻟﻤﺴﻘﻁ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ ﻟﻠﻨﻘﻁﺔ ‪ D‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ) ‪( ABC‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ (4‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪ (CD‬ﻤﻤﺜل ﻭﺴﻴﻁﻴﺎ ﺒﺎﻟﺠﻤﻠﺔ ‪(t ∈ ¡ ) :‬‬
‫‪ (5‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ I‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪. ( AB‬‬

‫‪ x = −1 + 2t‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y = −1 + t‬‬
‫‪ z =1−t‬‬
‫‪‬‬

‫ﺍﻟﺼﻔﺤــــﺔ ‪16/2‬‬

‫ﺣﻠﻴﻼﺕ ﻋﻤﺎﺭ‬

‫‪r ur ur‬‬
‫‪09‬ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ) ‪ (O ; i ; j ;k‬ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ‪.‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ)‪ (P‬ﻭﺴﻁﺢ‬
‫ﺍﻟﻜﺭﺓ )‪ (S‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﻴﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻭﺍﻟﻲ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺘﻴﻥ ‪:‬‬
‫‪(P) : x − 2 y + 2z − 2 = 0‬‬
‫‪( S ) : x2 + y2 + z2 − 2 x + 2 z + 1 = 0 ،‬‬
‫‪ .1‬ﺤﺩﺩ ﻤﺭﻜﺯ ﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭ ﺴﻁﺢ ﺍﻟﻜﺭﺓ )‪.(S‬‬
‫‪ .2‬ﺒﻴ‪‬ﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ )‪ (P‬ﻤﻤﺎﺱ ﻟﺴﻁﺢ ﺍﻟﻜﺭﺓ )‪.(S‬‬
‫‪.3‬ﺤﺩﺩ ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻤﺎﺱ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ )‪ (P‬ﻭﺴﻁﺢ ﺍﻟﻜﺭﺓ )‪.(S‬‬
‫‪r ur ur‬‬
‫‪ 10‬ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪ O ; i ; j ; k‬ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ‪ .‬ﺘﻌﻁﻰ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪:‬‬

‫‪l‬‬

‫)‪A ( −1;2;1‬‬

‫‪tia‬‬

‫‪.1‬‬

‫)‬

‫‪C ( 3;0; −2 ) ، B ( 0;5;2 ) ،‬‬

‫(‬

‫ﺃ( ﺒﻴ‪‬ﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘــﻁ ‪ B ،A‬ﻭ‪ C‬ﺘﻌﻴ‪‬ﻥ ﻤﺴﺘﻭﻴﺎ‪.‬‬
‫ﺏ( ﺍﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ )‪. (ABC‬‬

‫‪en‬‬

‫‪ .2‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺴﻁﺢ ﺍﻟﻜﺭﺓ ) ‪ ( S‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ‪:‬‬

‫‪fid‬‬

‫‪x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6z + 8 = 0‬‬
‫ﺃ( ﻋﻴ‪‬ﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ Ω‬ﻤﺭﻜﺯ ﺴﻁﺢ ﺍﻟﻜﺭﺓ ) ‪ ( S‬ﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪r‬‬
‫ﺏ( ﺘﺤﻘﻕ ﻤﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ )‪ (ABC‬ﻤﻤﺎﺱ ﻟﺴﻁﺢ ﺍﻟﻜﺭﺓ ) ‪. ( S‬‬

‫‪on‬‬

‫‪ .3‬ﺃ( ﺃﻭﺠﺩ ﺘﻤﺜﻴﻼ ﻭﺴﻴﻁﻴﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ∆ ( ﺍﻟﻤﺎﺭ ﻤﻥ ‪ Ω‬ﻭﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ )‪.(ABC‬‬
‫ﺏ( ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ‪ ω‬ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻤﺎﺱ )‪ (ABC‬ﻭ ) ‪ . ( S‬‬

‫‪C‬‬

‫‪11‬ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬

‫‪r ur ur‬‬
‫) ‪(O ; i ; j ; k‬‬

‫ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ‪ .‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﻴﻥ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﻴﻥ‬

‫‪ny‬‬

‫ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻥ ‪ (P ) : x + 2 y − z + 1 = 0 :‬ﻭ ‪ (P ′) : − x + y + z = 0‬ﻭ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ) ‪A( 0; 1 ; 1‬‬
‫‪ .1‬ﺒﻴ‪‬ﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﻴﻥ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩﺍﻥ‬
‫‪ .2‬ﻋﻴ‪‬ﻥ ﺘﻤﺜﻴﻼ ﻭﺴﻴﻁﻴﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (d‬ﺘﻘﺎﻁﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﻴﻥ ) ‪ ( P‬ﻭ ) ‪( P ′‬‬
‫‪ .3‬ﻋﻴ‪‬ﻥ ﺒﻌﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ A‬ﻋﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ) ‪ ( P‬ﻭ ﻋﻥ ) ‪( P ′‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ 4‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺒﻌﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ A‬ﻋﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪(d‬‬
‫‪r ur ur‬‬
‫‪ 12‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ) ‪ (O ; i ; j ; k‬ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪:‬‬
‫) ‪ C (1;1; − 2 ) ، B ( 0;3; −3) ، A (1;2; − 2‬ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ) ‪ ( P‬ﺍﻟﺫﻱ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪x + y − 3 = 0 :‬‬
‫‪ (1‬ﺃ‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ ﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪ Ω ( 0;1; − 1‬ﻋﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ) ‪. ( P‬‬
‫ﺏ‪ -‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻟﺴﻁﺢ ﺍﻟﻜﺭﺓ ) ‪ ( S‬ﺍﻟﺘﻲ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ )‪ Ω ( 0;1; − 1‬ﻭ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﺔ‬
‫ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ ) ‪ ( P‬ﻫﻲ ‪x 2 + y 2 + z 2 − 2 y + 2z = 0 :‬‬
‫‪ (2‬ﺃ‪ -‬ﺒﻴ‪‬ﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘــﻁ ‪ B ،A‬ﻭ‪ C‬ﺘﻌﻴ‪‬ﻥ ﻤﺴﺘﻭﻴﺎ‪.‬‬
‫‪ur‬‬
‫ﺏ‪ -‬ﻋﻴ‪‬ﻥ ﺸﻌﺎﻉ ﻨﺎﻅﻤﻲ ‪ n‬ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ ) ‪ ( ABC‬ﺜﻡ ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ ) ‪( ABC‬‬
‫‪ (3‬ﺃ‪-‬ﺘﺤﻘﻕ ﻤﻥ ﺃﻥ ﺴﻁﺢ ﺍﻟﻜﺭﺓ ) ‪ ( S‬ﻤﻤﺎﺴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ ) ‪. ( ABC‬‬
‫ﺏ‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ‪ ΩC‬ﻭﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻤﺎﺱ ) ‪ ( S‬ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ) ‪. ( ABC‬‬

‫‪pa‬‬

‫‪om‬‬

‫‪C‬‬

‫ﺍﻟﺼﻔﺤــــﺔ ‪16/3‬‬

‫ﺣﻠﻴﻼﺕ ﻋﻤﺎﺭ‬

‫‪r ur ur‬‬
‫) ‪(O ; i ; j ; k‬‬

‫ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ‪‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ) ‪A( 2; 0 ; 2‬‬

‫‪l‬‬

‫‪13‬ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬
‫ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ )‪ (P‬ﺫﺍ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪  x + y − z − 3 = 0 :‬‬
‫‪ .1‬ﺤﺩﺩ ﺘﻤﺜﻴﻼ ﻭﺴﻴﻁﻴﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪(D‬ﺍﻟﻤﺎﺭ ﻤﻥ ‪ A‬ﻭﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ )‪.(P‬‬
‫‪ .2‬ﺤﺩﺩ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ‪ B‬ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻘﺎﻁﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (D‬ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ )‪.(P‬‬
‫‪ .3‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺴﻁﺢ ﺍﻟﻜﺭﺓ )‪ (S‬ﺍﻟﺘﻲ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ‪ A‬ﻭﺍﻟﺘﻲ ﺘﻘﻁﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ )‪ (P‬ﻭﻓﻕ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ‪B‬‬
‫ﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪.2‬‬
‫ﺃ‪ -‬ﺤﺩﺩ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭ ﺴﻁﺢ ﺍﻟﻜﺭﺓ )‪(S‬‬
‫ﺏ‪ -‬ﺍﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻟﺴﻁﺢ ﺍﻟﻜﺭﺓ )‪.(S‬‬

‫‪tia‬‬

‫‪r ur ur‬‬

‫‪14‬ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻤﺯﻭﺩ ﺒﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ) ‪. (O ; i ; j ; k‬‬
‫ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ) ‪ A( 1; -1 ; 3‬ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ )‪ (P‬ﺍﻟﺫﻱ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪x-y+3z=0 :‬‬

‫‪en‬‬

‫‪.1‬ﺃ( ﺘﺤﻘﻕ ﻤﻥ ﺃﻥ ‪:‬‬

‫)‪(t ∈ R‬‬

‫‪fid‬‬

‫‪ x=t‬‬
‫‪‬‬
‫‪  y = −t‬ﺘﻤﺜﻴل ﻭﺴﻴﻁﻲ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪. (OA‬‬
‫‪ z = 3t‬‬
‫‪‬‬

‫‪on‬‬

‫ﺏ( ﺤﺩﺩ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ )‪ (Q‬ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪A‬‬
‫ﺝ( ﺘﺤﻘﻕ ﻤﻥ ﺃﻥ )‪ (P‬ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ )‪. (Q‬‬
‫‪ .2‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺴﻁﺢ ﺍﻟﻜﺭﺓ )‪ ( S‬ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ )‪ (Q‬ﻓﻲ ‪ A‬ﻭﺍﻟﺘﻲ ﻴﻘﻁﻌﻬﺎ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ )‪ (P‬ﻭﻓﻕ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ‪Γ‬‬
‫ﺍﻟﺘﻲ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ‪ O‬ﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪. 33‬‬
‫ﺃ( ﺒﻴ‪‬ﻥ ﺃﻥ )‪ Ω(a;b;c‬ﻤﺭﻜﺯ ﺴﻁﺢ ﺍﻟﻜﺭﺓ )‪ ( S‬ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ )‪ (OA‬ﺜﻡ ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ‪c=3a :‬و ‪b=-a‬‬
‫ﺏ( ﺒﻴ‪‬ﻥ ﺃﻥ ‪ ΩA2 - ΩO2= 33 :‬ﺜﻡ ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ‪a-b+3c=-11 :‬‬
‫ﺝ( ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ‪ Ω‬ﻤﺭﻜﺯ ﺴﻁﺢ ﺍﻟﻜﺭﺓ )‪ ( S‬ﻭﺒﻴ‪‬ﻥ ﺃﻥ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪ . 2 11‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ny‬‬

‫‪r ur ur‬‬
‫(‬
‫‪O‬‬
‫;‬
‫‪i‬‬
‫‪15‬ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ) ‪; j ; k‬‬
‫ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ‪ .‬ﺘﻌﻁﻰ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪:‬‬

‫‪pa‬‬

‫) ‪C( 2; 1 ; -2 ) ، B( 1; -1 ; 1 ) ، A( 1; 2 ;-2‬‬
‫ﺘﻌﻴ‪‬ﻥ ﻤﺴﺘﻭﻴﺎ ﺜﻡ ﺍﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ )‪. (ABC‬‬
‫‪ .1‬ﺒﻴ‪‬ﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘــﻁ ‪ B ،A‬ﻭ‪C‬‬
‫‪2‬‬
‫‪R‬‬
‫=‬
‫‪.‬‬
‫‪.2‬ﻟﺘﻜﻥ )‪ (S‬ﺴﻁﺢ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ )‪ Ω (1,1,1‬ﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ‬
‫‪3‬‬
‫ﺃ‪ -‬ﺒﻴ‪‬ﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ )‪ (ABC‬ﻤﻤﺎﺱ ﻟﺴﻁﺢ ﺍﻟﻜﺭﺓ )‪ (S‬ﺜﻡ ﺤﺩﺩ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ‪ H‬ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻤﺎﺱ )‪ (ABC‬ﻭ)‪(S‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪+‬‬
‫‪b‬‬
‫‪+‬‬
‫‪c‬‬
‫≥‬
‫‪‬‬
‫ﺏ‪ -‬ﻟﺘﻜﻥ )‪ M (a , b, c‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ )‪. (ABC‬ﺒﻴ‪‬ﻥ ﺃﻥ ‪:‬‬
‫‪3‬‬

‫‪om‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ C، B ،A16‬ﺜﻼﺙ ﻨﻘﻁ ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺤﻴﺙ ‪ ABC‬ﻤﺜﻠﺙ ﻗﺎﺌﻡ ﻓﻲ ‪ C‬ﻭ ﻤﺘﺴﺎﻭﻱ‬
‫‪uuuur uuuur‬‬
‫‪uuuur uuuur‬‬
‫ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻥ ‪ (P).‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ M‬ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻭ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ‪3MA + MB = 2 MB + MC :‬‬
‫ﺘﺤﻘﻕ ﺃﻥ )‪ (P‬ﻤﺴﺘﻭ ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ )‪ (ABC‬ﻴﻁﻠﺏ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺘﻘﺎﻁﻌﻪ ﻤﻌﻪ‪.‬‬
‫‪‬‬
‫ﺍﻟﺼﻔﺤــــﺔ ‪ 16/4‬‬

‫ﺣﻠﻴﻼﺕ ﻋﻤﺎﺭ‬

‫‪ 17‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻤﻜﻌﺏ ‪. ABCDEFGH‬‬

‫‪ .1‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪ ( AG‬ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ) ‪ ).( CFH‬ﺍﻟﺸﻜل ‪(1‬‬
‫‪uuur uuuur‬‬

‫‪2‬ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ ﺍﻟﺴﻠﻤﻲ ‪ ). AE .HC‬ﺍﻟﺸﻜل ‪ (2‬‬
‫‪3‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‪ I‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ﺍﻟﺤﺭﻑ ]‪ [AE‬ﻭﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ J‬ﺒﺤﻴﺙ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ A‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ]‪[EJ‬‬

‫‪ -‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ )‪ (BDI‬ﻫﻭ ﻤﺴﺘﻭﻱ ﻤﺤﻭﺭﻱ ﻟﻠﻘﻁﻌﺔ ]‪ ) . [GJ‬ﺍﻟﺸﻜل ‪ (2‬‬

‫‪a‬‬

‫‪l‬‬

‫‪H‬‬

‫‪E‬‬

‫‪tia‬‬

‫‪G‬‬

‫‪en‬‬

‫) ﺍﻟﺸﻜل ‪(2‬‬

‫‪F‬‬
‫‪I‬‬

‫‪A‬‬

‫‪fid‬‬

‫‪D‬‬

‫‪G‬‬

‫‪O‬‬

‫‪J‬‬

‫‪B‬‬

‫‪on‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ‪ .‬ﺘﻌﻁﻰ ﺍﻟﻨﻘﻁ‬

‫‪C‬‬

‫‪18‬ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬

‫‪r ur ur‬‬
‫) ‪(O ; i ; j ; k‬‬

‫) ﺍﻟﺸﻜل ‪(1‬‬

‫‪ny‬‬

‫) ‪D ( 0;4; − 1) ، C ( 6; − 2; − 1) ، B ( 6;1;5 ) ، A ( 3;− 2;2‬‬
‫ﺒﻴ‪‬ﻥ – ﻤﻊ ﺍﻟﺘﻌﻠﻴل – ﺼﺤﺔ ﺃﻭ ﺨﻁﺄ ﺍﻟﺠﻤل ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬
‫‪(1‬ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ ABC‬ﻗﺎﺌﻡ ﻓﻲ ‪A‬‬
‫‪(2‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ) ‪ ( P‬ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ x + y + z − 3 = 0 :‬ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪ ( AB‬ﻭﻴﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪A‬‬
‫‪ (3‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ) ‪ ( P ′‬ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ) ‪ ( AC‬ﻭﺍﻟﺫﻱ ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ A‬ﻫﻲ ‪x + z − 5 = 0 :‬‬
‫‪ (4‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪ ( AD‬ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ) ‪( ABC‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ (5‬ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ )‪ u (1; − 2;1‬ﺸﻌﺎﻉ ﺘﻭﺠﻴﻪ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ∆ ( ﺘﻘﺎﻁﻊ ) ‪ ( P‬ﻭ ) ‪. ( P ′‬‬
‫‪ (6‬ﺤﺠﻡ ﺭﺒﺎﻋﻲ ﺍﻟﻭﺠﻭﻩ ‪ ABCD‬ﻫﻭ ‪ 81‬ﻭﺤﺩﺓ ﺤﺠﻭﻡ ‪ (7 .‬ﻗﻴﺱ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ·‬
‫‪ BDC‬ﻫﻭ ‪ 3π‬ﺭﺍﺩﻴﺎﻥ‬

‫‪pa‬‬

‫‪om‬‬
‫‪4‬‬

‫‪ (8‬ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ BDC‬ﻫﻲ ‪ 21‬ﻭﺤﺩﺓ ﻤﺴﺎﺤﺔ ‪ (9 .‬ﺒﻌﺩ ‪ A‬ﻋﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ) ‪ ( BDC‬ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪3‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ ABCD19‬ﺭﺒﺎﻋﻲ ﻭﺠﻭﻩ ﻤﻨﺘﻅﻡ ‪ ،‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ )‪ (P‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ M‬ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻭ ﺍﻟﺘﻲ‬
‫‪uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur‬‬
‫ﺘﺤﻘﻕ‪ ( MA + MB + MC + MD ) .( MA + MB − MC − MD ) = 0 :‬ﻫﻲ ﻤﺴﺘﻭ ﻤﻭﺍﺯِ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻥ )‪ (AB‬ﻭ‬
‫)‪ (CD‬ﻭ ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ‪ G‬ﻤﺭﻜﺯ ﺜﻘل ﺍﻟﺭﺒﺎﻋﻲ ‪ABCD‬‬
‫‪ -‬ﻋﻴﻥ ﺘﻘﺎﻁﻌﺎﺕ )‪ (P‬ﻤﻊ ﻭﺠﻭﻩ ﺍﻟﺭﺒﺎﻋﻲ )ﺃﺜﺭ)‪. ((P‬‬

‫ﺍﻟﺼﻔﺤــــﺔ ‪16/5‬‬

‫ﺣﻠﻴﻼﺕ ﻋﻤﺎﺭ‬

‫‪r ur ur‬‬

‫‪20‬ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ) ‪. (O ; i ; j ; k‬‬

‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ )‪ C( 3 ;-3 ;-1 ) ، B( 2 ; 2 ; 2 ) ، A( 4 ; 0 ; -3‬ﻭ ) ‪. D( 0 ; 0 ; -3‬‬
‫‪ (1‬ﻋﻴﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻤﺤﻭﺭ ] ‪ ) [ AB‬ﻟﻴﻜﻥ )‪ ( P‬ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ( ‪.‬‬
‫‪ (2‬ﻨﻘﺒل ﻓﻴﻤﺎ ﻴﻠﻲ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﻴﻥ ﻤﺤﻭﺭﻱ ﺍﻟﻘﻁﻌﺘﻴﻥ‬

‫] ‪ [ BC‬ﻭ ] ‪ [ DC‬ﻤﻌﺭﻓﺎﻥ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ‪ 2x-10y-6z-7=0‬ﻭ ‪ 3x-3y+2z-5=0‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ‪.‬‬
‫ﺃ(‪ -‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺘﻘﺎﻁﻊ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﺎﺕ ﺍﻟﺜﻼﺜﺔ ﻫﻭ ﻨﻘﻁﺔ ‪ E‬ﻴﻁﻠﺏ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺘﻬﺎ ‪.‬‬

‫‪l‬‬

‫ﺏ(‪ -‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ D ، C ، B ، A‬ﺘﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﻜﺭﺓ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ‪ E‬ﻴﻁﻠﺏ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ‪‬‬

‫‪tia‬‬

‫‪r ur ur‬‬

‫)‪(t ∈ R‬‬

‫‪en‬‬

‫‪21‬ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ) ‪. (O ; i ; j ; k‬‬
‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ‪ d 3 ..، ..d 2 ..،..d 1‬ﻤﻤﺜﻠﺔ ﻭﺴﻴﻁﻴﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‬

‫‪ -‬ﺃﺩﺭﺱ ﺘﻘﺎﻁﻊ‬

‫‪d1‬‬

‫ﻭ‬

‫‪d2‬‬

‫‪d1 :‬‬

‫‪(t ′ ∈ R) ،‬‬

‫‪fid‬‬

‫‪ x = −2 + 5t‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y = −1 − t‬‬
‫‪ z = 3 + 4t‬‬
‫‪‬‬

‫ﺜﻡ‬

‫‪d1‬‬

‫ﻭ‬

‫‪ x = 1 − t′‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y = 4 + 3t ′‬‬
‫‪ z = 5 − t′‬‬
‫‪‬‬

‫‪ x = −7 + 7t ′′‬‬
‫‪‬‬
‫‪d 3 :  y = −3t ′′ (t ∈ R) ، d 2 :‬‬
‫‪ z = 2t ′′‬‬
‫‪‬‬

‫‪d3‬‬

‫‪on‬‬

‫‪22‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﻴﻥ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﻴﻥ ﺒﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﻥ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬

‫‪( P ) : x + y = -1‬‬
‫‪،‬‬
‫‪ (1‬ﺘﺤﻘﻕ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﻴﻥ ﻴﺘﻘﺎﻁﻌﺎﻥ ﻭﻓﻕ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪ ( D‬ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ) ‪ A( 1 ; -2 ; 0‬ﻭ ﻤﻭﺠﻪ ﺒﺎﻟﺸﻌﺎﻉ‬
‫‪( R ) : 2x + y + 2z = 0‬‬

‫‪C‬‬

‫‪r‬‬
‫)‪u (−2; 2;1‬‬

‫‪‬‬

‫‪pa‬‬

‫‪ x + y = −1‬‬
‫‪‬‬
‫‪  2x + y + 2z = 0‬‬
‫‪ 4x + 4 y + z + 3 = 0‬‬
‫‪‬‬

‫‪ny‬‬

‫‪ (2‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪ ( D‬ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ) '‪ ( P‬ﺍﻟﺫﻱ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪ 4 x + 4 y + z + 3 = 0‬ﻴﺘﻘﺎﻁﻌﺎﻥ‬
‫‪ (3‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺤل ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ‬

‫‪r ur ur‬‬

‫‪ 23‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ) ‪ ( E‬ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪ (O ; i ; j ; k ) ‬ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪:‬‬
‫) ‪ C ( 2; − 1;0 ) ، B (1;1;2 ) ، A ( 0; − 1;2‬ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ‪:‬‬
‫ﻭ ﺴﻁﺢ ﺍﻟﻜﺭﺓ ‪( S ):x 2 + y 2 + z 2 + 2x − 4 y − 4 = 0 :‬‬
‫‪ (1‬ﺃﻭﺠﺩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ ) ‪. ( ABC‬‬
‫‪ (2‬ﺤﺩﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ Ω‬ﻤﺭﻜﺯ ﺴﻁﺢ ﺍﻟﻜﺭﺓ ) ‪ ( S‬ﻭ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪R‬‬
‫‪ (3‬ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ) ‪ ( ABC‬ﻤﻤﺎﺱ ﻟﺴﻁﺢ ﺍﻟﻜﺭﺓ ) ‪ ( S‬ﻓﻲ ﻨﻘﻁﺔ ‪ E‬ﻴﻨﺒﻐﻲ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺘﻬﺎ‪.‬‬
‫‪ (4‬ﺒﻴ‪‬ﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ) ‪ ( P‬ﻴﻘﻁﻊ ﺴﻁﺢ ﺍﻟﻜﺭﺓ ) ‪ ( S‬ﻭﻓﻕ ﺩﺍﺌﺭﺓ ) ‪ (C‬ﻤﺤﺩﺩﺍ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ‪H‬‬
‫ﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪r‬‬

‫‪om‬‬

‫‪( P ) : − 2x + y + 2z + 2 = 0‬‬

‫‪C‬‬

‫‪‬‬

‫ﺍﻟﺼﻔﺤــــﺔ‪ 16/6‬‬

‫ﺣﻠﻴﻼﺕ ﻋﻤﺎﺭ‬

‫‪ ABC24‬ﻤﺜﻠﺙ ‪ ،‬ﻨﻀﻊ ‪AC = b ، BC = a ، AB = c‬‬

‫ﻨﻌﺘﺒﺭ '‪ A‬ﻤﺭﺠﺢ‬

‫}) ‪{( B ;b ) ; (C ;c‬‬

‫ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ‬

‫‪uuuur‬‬
‫‪b uuur‬‬
‫= ' ‪AB‬‬
‫‪ (1‬ﻨﻌﺭﻑ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ '‪ B‬ﺒـ ‪AB :‬‬
‫‪b +c‬‬

‫ﺒﻴﻥ ﺃﻥ '‪ B‬ﻤﺭﺠﺢ ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﻤﺭﻓﻘﺘﻴﻥ ﺒﻤﻌﺎﻤﻠﻴﻥ ﻴﻁﻠﺏ ﺘﻌﻴﻴﻨﻬﻤﺎ ‪.‬‬

‫‪ (2‬ﻟﺘﻜﻥ '‪ C‬ﻤﺭﺠﺢ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ }) ‪{( A;b ) ; (C ;c‬‬
‫‪ (3‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ I‬ﻤﺭﺠﺢ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ }) ‪ ، {( A; a ) ; ( B ;b ) ; (C ;c‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪ I‬ﻫﻭ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺔ‬
‫‪ ،‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ '‪ AB'A'C‬ﻤﻌﻴﻥ ‪.‬‬

‫‪l‬‬

‫‪tia‬‬

‫ﻟﻠﻤﺜﻠﺙ ‪.ABC‬‬

‫‪en‬‬

‫‪r ur ur‬‬
‫‪ :25‬ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ) ‪. (O ; i ; j ; k‬‬

‫‪fid‬‬

‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ B( 3 ; 2 ; 1 ) ، A( 1 ; 2 ; 3 ) :‬ﻭ ) ‪C( 1 ; 3 ; 3‬‬
‫‪ (1‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ B ، A‬ﻭ ‪ C‬ﺘﻌﻴ‪‬ﻥ ﻤﺴﺘﻭﻴﺎ ‪ ،‬ﺃﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻟﻪ ‪.‬‬
‫‪ (2‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﻴﻥ ) ‪ (P2 ) ، (P1‬ﺤﻴﺙ ‪( P1 ) : x − 2 y + 2z − 1 = 0 :‬‬
‫ﻭ ‪( P2 ) : x − 3 y + 2z + 2 = 0‬‬
‫‪ (a‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ) ‪ (P2 ) ، (P1‬ﻴﺘﻘﺎﻁﻌﺎﻥ ﻭ ﻟﻴﻜﻥ ) ∆ ( ﺘﻘﺎﻁﻌﻬﻤﺎ‬
‫‪ (b‬ﺘﺤﻘﻕ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ C‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ∆ (‬
‫‪r‬‬
‫)‪M'( x; z‬‬
‫‪ (c‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ )‪ u (2;0; −1‬ﺸﻌﺎﻉ ﺘﻭﺠﻴﻪ‬
‫ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ∆ (‬
‫)‪M( x; y; z‬‬
‫‪ (d‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺘﻤﺜﻴﻼ ﻭﺴﻴﻁﻴﺎ ﻟـ ) ∆ (‬
‫‪ (2‬ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺒﻌﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ A‬ﻋﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ∆ (‬
‫‪r‬‬
‫‪i‬‬
‫‪x‬‬
‫ﺍﻟﻤﻤﺜﻠﺔ ﻭﺴﻴﻁﻴﺎ ﺒﺎﻟﺠﻤﻠﺔ‬

‫‪on‬‬

‫‪C‬‬

‫‪z‬‬

‫‪ny‬‬

‫‪ur‬‬
‫‪k‬‬

‫ﻤﻊ‬

‫‪pa‬‬

‫‪ x = 2k + 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪y = 3‬‬
‫‪z = −k + 3‬‬
‫‪‬‬

‫)‪M′′( y; z‬‬

‫‪t∈R‬‬

‫‪ur‬‬
‫‪j‬‬
‫‪y‬‬

‫)‪M′′′( x; y‬‬

‫‪uuuur‬‬

‫‪r‬‬

‫‪ . (3‬ﺃ( ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ ، t‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪. M t (2t + 1; 3; − t + 3‬‬
‫ ﻋﻴ‪‬ﻥ ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪ t‬ﺍﻟﻁﻭل ‪. AM t‬ﻭﻨﺭﻤﺯ ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﻁﻭل ﺒـ ) ‪. ϕ (t‬ﻭﻨﻌﺭﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ϕ‬ﻤﻥ‬‫ﺏ( ﺍﺩﺭﺱ ﺇﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ϕ‬ﻭﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﺤﺩﻴﺔ ﺍﻟﺼﻐﺭﻯ ﻟﻬﺎ ‪.‬‬
‫ﺠـ( ﻓﺴ‪‬ﺭ ﻫﻨﺩﺴﻴﺎ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﺤﺩﻴﺔ ﺍﻟﺼﻐﺭﻯ‪  .‬‬

‫ﺍﻟﺼﻔﺤــــﺔ ‪16/7‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ (a‬ﻋﻴﻥ ﻗﻴﻤﺔ ‪ k‬ﺤﺘﻰ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﺎﻥ ‪ AM‬و ‪ u‬ﻤﺘﻌﺎﻤﺩﻴﻥ‬
‫‪ (b‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺒﻌﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ A‬ﻋﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ∆ (‬

‫‪om‬‬

‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ M‬ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁ ‪ k‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ∆ (‬

‫‪R‬‬

‫ﻓﻲ ‪. R‬‬

‫ﺣﻠﻴﻼﺕ ﻋﻤﺎﺭ‬

‫}ﺍﻟﺘﺪﺭﻳﺐ ﻋﻠﻰ ﺣﻞ ﲤﺎﺭﻳﻦ ﺑﻜﺎﻟﻮﺭﻳﺎﺕ{‬
‫‪:01‬ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬

‫‪r ur ur‬‬
‫) ‪(O ; i ; j ; k‬‬

‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ) ‪ ( P‬ﺍﻟﺫﻱ‬

‫‪l‬‬

‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪ x + 2 y − z + 7 = 0 :‬ﻭ ﺍﻟﻨﻘﻁ )‪ B ( 3;2;0 ) ، A ( 2;0;1‬ﻭ ) ‪C ( −1 ; − 2 ;2‬‬
‫‪ -1‬ﺘﺤﻘﻕ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ B ، A‬ﻭ ‪ C‬ﻟﻴﺴﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﻴﺔ ﺜﻡ ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ‬
‫ﻫﻲ ‪y + 2z − 2 = 0 :‬‬
‫‪ -2‬ﺃ‪ -‬ﺘﺤﻘﻕ ﺍﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﻴﻥ ) ‪ ( P‬ﻭ ) ‪ ( ABC‬ﻤﺘﻌﺎﻤﺩﺍﻥ ‪ ،‬ﺜﻡ ﻋﻴ‪‬ﻥ ﺘﻤﺜﻴﻼ ﻭﺴﻴﻁﻴﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ∆ (‬
‫ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺘﻘﺎﻁﻊ ) ‪ ( P‬ﻭ ) ‪( ABC‬‬
‫ﺏ‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ A‬ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ∆ (‬

‫‪tia‬‬

‫‪en‬‬

‫‪ -3‬ﻟﺘﻜﻥ‬

‫‪ G‬ﻤﺭﺠﺢ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ }) ‪{( A ;1) , ( B ;α ) , (C ; β‬‬

‫ﺤﻴﺙ ‪ α‬ﻭ ‪ β‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻴﺤﻘﻘﺎﻥ‬

‫‪fid‬‬

‫‪ ، 1 + α + β ≠ 0‬ﻋﻴ‪‬ﻥ ‪ α‬ﺤﺘﻰ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ G‬ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ‬

‫)∆(‬

‫‪on‬‬

‫‪02‬ﻟﻜل ﺴﺅﺍل ﻤﻥ ﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺠﻭﺍﺏ ﻭﺍﺤﺩ ﺼﺤﻴﺢ ﻓﻘﻁ ‪ .‬ﻋﻴ‪‬ﻥ ﺍﻟﺠﻭﺍﺏ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ﻤﻌﻠﻼ‬
‫‪r ur ur‬‬
‫ﺍﺨﺘﻴﺎﺭﻙ ‪.‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ) ‪ (O ; i ; j ; k‬ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪:‬‬
‫)‪D ( 3;2;1) ، C ( −2;0; − 2 ) ، B ( 4;1;0 ) ، A (1;3; − 1‬‬
‫ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ) ‪ ( P‬ﺍﻟﺫﻱ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪. x − 3z − 4 = 0 :‬‬
‫‪ (1‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ) ‪ ( P‬ﻫﻭ ‪ :‬ﺝ‪ ، ( BCD ) (1‬ﺝ‪ ، ( ABC ) (2‬ﺝ‪( ABD ) (3‬‬
‫‪ (2‬ﺸﻌﺎﻉ ﻨﺎﻅﻤﻲ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ ) ‪ ( P‬ﻫﻭ ‪:‬‬
‫‪uur‬‬
‫‪uur‬‬
‫‪uur‬‬
‫ﺝ‪ ، n1 (1;2;1) (1‬ﺝ‪ ، n 2 ( −2;0;6 ) (2‬ﺝ‪n 3 ( 2;0; − 1) (3‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ny‬‬

‫‪pa‬‬

‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪ ،‬ﺝ‪(2‬‬
‫ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ D‬ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ) ‪ ( P‬ﻫﻲ‪ :‬ﺝ‪(1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪5‬‬
‫‪r ur ur‬‬
‫‪03‬ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ) ‪. (O ; i ; j ; k‬‬

‫‪2 10‬‬
‫‪ ،‬ﺝ‪(3‬‬
‫‪5‬‬

‫‪om‬‬

‫ﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ )‪C (1;0; − 1) ، B ( −1;1; − 3) ، A ( 0;2;1‬‬
‫‪.1‬ﺍﻜﺘﺏ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻟﺴﻁﺢ ﺍﻟﻜﺭﺓ ‪ S‬ﺍﻟﺘﻲ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ‪ C‬ﻭﺘﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪A‬‬
‫‪ x = −1 − λ‬‬
‫‪‬‬
‫‪.2‬ﻟﻴﻜﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪ ( D‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻑ ﺒﺎﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﻭﺴﻴﻁﻲ ‪  y = 1 + 2λ :‬ﺤﻴﺙ ‪ λ‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪.‬‬
‫‪z = −3 + 2λ‬‬
‫‪‬‬
‫ﺃ( ﺍﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ ) ‪ ( P‬ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ C‬ﻭ ﻴﻌﺎﻤﺩ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪( D‬‬
‫ﺏ( ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ C‬ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪( D‬‬
‫ﺝ( ﻤﺎﺫﺍ ﺘﺴﺘﻨﺘﺞ ﻓﻴﻤﺎ ﻴﺘﻌﻠﻕ ﺒﺎﻟﻭﻀﻊ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ ﻟﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪ ( D‬ﻭﺴﻁﺢ ﺍﻟﻜﺭﺓ ‪S‬‬

‫‪C‬‬

‫ﺍﻟﺼﻔﺤــــﺔ ‪ 16/8‬‬

‫ﺣﻠﻴﻼﺕ ﻋﻤﺎﺭ‬

‫‪ 04‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﺍﻟﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﺍﻟﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬
‫) ∆ ( ﻭ ) ‪ ( ∆′‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﻴﻴﻥ ﺒﺎﻟﺘﻤﺜﻠﻴﻴﻥ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁﻴﻴﻥ ﺍﻷﺘﻴﻴﻥ ‪:‬‬

‫‪r ur ur‬‬
‫) ‪(O ; i ; j ; k‬‬

‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻥ‬

‫‪ x = 3+λ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪y‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪λ‬‬
‫¡∈ ‪; λ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪z = −2 − 2λ‬‬
‫‪ -1‬ﺒﻴ‪‬ﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻥ ) ∆ ( ﻭ ) ‪ ( ∆′‬ﻟﻴﺴﺎ ﻤﻥ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ‪.‬‬
‫‪ M -2‬ﻨﻘﻁﺔ ﻜﻴﻔﻴﺔ ﻤﻥ ) ∆ ( ﻭ ‪ N‬ﻨﻘﻁﺔ ﻜﻴﻔﻴﺔ ﻤﻥ )‪( ∆′‬‬
‫ﺃ( ﻋﻴ‪‬ﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ‪ M‬ﻭ ‪ N‬ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪ ( MN‬ﻋﻤﻭﺩﻴﺎ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﻥ‬
‫) ∆ ( ﻭ ) ‪. ( ∆′‬‬
‫ﺃ( ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻁﻭل ‪. MN‬‬
‫‪ -3‬ﻋﻴ‪‬ﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ ) ‪ ( P‬ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ∆ ( ﻭ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪. ( ∆′‬‬
‫‪ -4‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﻜﻴﻔﻴﺔ ﻤﻥ ) ‪ ( ∆′‬ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ) ‪ . ( P‬ﻤﺎﺫﺍ ﺘﻼﺤﻅ ؟‬
‫‪ x = 6 +α‬‬
‫‪‬‬
‫ﻭ ¡ ∈ ‪  y = 1 − 2α ; α‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‬
‫‪ z = 5 +α‬‬
‫‪‬‬

‫‪l‬‬

‫‪tia‬‬

‫‪en‬‬

‫‪fid‬‬

‫‪r ur ur‬‬

‫‪05‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ) ‪  (O ; i ; j ; k‬‬

‫‪on‬‬

‫) ‪ C (1;3;3) ، B ( 3;2;1) ، A (1;2;2‬ﻨﻘﻁ ﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ‪.‬‬
‫‪ /1‬ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ B ، A‬ﻭ ‪ C‬ﺘﻌﻴﻥ ﻤﺴﺘﻭ ﻴﻁﻠﺏ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ‪.‬‬
‫‪ /2‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﻴﻥ ) ‪ ( P1‬ﻭ ) ‪ ( P2‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﻴﻥ ﺒﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻬﻤﺎ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺘﻴﻥ ‪:‬‬
‫‪ ( P1 ): x − 2 y + 2z − 1 = 0‬ﻭ ‪( P2 ):x − 3 y + 2z + 2 = 0‬‬
‫ﺒﻴ‪‬ﻥ ﺃﻥ ) ‪ ( P1‬ﻭ ) ‪ ( P2‬ﻴﺘﻘﺎﻁﻌﺎﻥ ﻭﻓﻕ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ∆ ( ‪.‬‬
‫‪ /3‬ﺒﻴ‪‬ﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ C‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ∆ ( ‪.‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ /4‬ﺒﻴ‪‬ﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ )‪ u ( 2;0; − 1‬ﻫﻭ ﺍﺤﺩ ﺃﺸﻌﺔ ﺘﻭﺠﻴﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ∆ ( ‪.‬‬
‫‪ x = 2k + 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ /5‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﻭﺴﻴﻁﻲ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ∆ ( ﻫﻭ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ‪; ( k ∈ ¡ ) :‬‬
‫‪ y =3‬‬
‫‪z = −k + 3‬‬
‫‪‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ny‬‬

‫‪pa‬‬

‫‪om‬‬
‫‪C‬‬

‫‪ ABCDEF 06‬ﻤﻭﺸﻭﺭ ﻗﺎﺌﻡ ﻗﺎﻋﺩﺘﻪ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ‪ ABC ‬ﺍﻟﻘﺎﺌﻡ ﻓﻲ ‪ A‬ﻭ ﺍﻟﻤﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻥ‬
‫ﻭﺠﻬﺎﻩ ‪ ABED‬ﻭ ‪ ACFD‬ﻤﺭﺒﻌﺎﻥ ﻤﺘﻘﺎﻴﺴﺎﻥ ﻁﻭل ﻀﻠﻊ ﻜل ﻤﻨﻬﻤﺎ ‪ r‬ﺤﻴﺙ‬
‫) ‪ ) . ( r ∈ ¡∗+‬ﺍﻨﻅﺭ ﺍﻟﺸﻜل (‬

‫‪ (1‬ﻴﺭﻤﺯ ‪ I‬ﺇﻟﻰ ﻤﻨﺘﺼﻑ ] ‪[ AD‬‬
‫ﺒﻴ‪‬ﻥ ﺃﻥ ‪ G‬ﻤﺭﺠﺢ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ })‪{( A ; 2 ) , ( B ;1) , (C ;1) , ( D ; 2 ) , ( E ;1) , ( F ;1‬‬
‫ﻫﻭ ﻤﻨﺘﺼﻑ ] ‪. [ IJ‬‬
‫ﻭ ‪ J‬ﺇﻟﻰ ﻤﺭﻜﺯ ﺜﻘل ﺍﻟﺭﺒﺎﻋﻲ ‪. BCFE‬‬

‫ﺍﻟﺼﻔﺤــــﺔ ‪ 16/9‬‬

‫ﺣﻠﻴﻼﺕ ﻋﻤﺎﺭ‬

‫‪uuuur uuur uuur‬‬
‫‪ (2‬ﻴﻨﺴﺏ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﺍﻟﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﺍﻟﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪. A ; AB , AC , AD‬‬

‫(‬

‫)‬

‫ ﻋﻴ‪‬ﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪F ، E ، D ، C ، B ، A‬‬‫ ﻋﻴ‪‬ﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ M‬ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ‪:‬‬‫‪2MA 2 + MB 2 + MC 2 + 2MD 2 + ME 2 + MF 2 = 10r 2‬‬
‫‪07‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬

‫‪r ur ur‬‬
‫) ‪(O ; i ; j ; k‬‬

‫)‪ A ( 0; − 1;1‬ﻭ ) ‪ B (1; − 1;0‬ﻭﺴﻁﺢ ﺍﻟﻜﺭﺓ ) ‪ ( S‬ﺍﻟﺘﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻬﺎ‬

‫‪ ،‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﻴﻥ‬

‫‪l‬‬

‫‪x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4z + 2 = 0‬‬
‫‪ (1‬ﺒﻴ‪‬ﻥ ﺃﻥ ﻤﺭﻜﺯ ﺴﻁﺢ ﺍﻟﻜﺭﺓ ) ‪ ( S‬ﻫﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ) ‪ Ω (1;0;2‬ﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ﻫﻭ ‪3‬‬
‫‪ (2‬ﺘﺤﻘﻕ ﻤﻥ ﺃﻥ ‪ A‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ) ‪( S‬‬
‫‪(3‬ﺘﺤﻘﻕ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ B ، A‬ﻭ ‪ O‬ﻟﻴﺴﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﻴﺔ ﺜﻡ ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ‬
‫ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ ) ‪ (OAB‬ﻫﻲ ‪x + y + z = 0 :‬‬
‫‪ (4‬ﺒﻴ‪‬ﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ) ‪ (OAB‬ﻤﻤﺎﺱ ﻟﺴﻁﺢ ﺍﻟﻜﺭﺓ ) ‪ ( S‬ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪. A‬‬

‫‪tia‬‬

‫‪en‬‬

‫‪fid‬‬

‫‪) 08‬ﺃﺴﺌﻠﺔ ﻤﺘﻌﺩﺩﺓ ﺍﻻﺨﺘﻴﺎﺭﺍﺕ(‬
‫‪r ur ur‬‬

‫‪on‬‬

‫ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ) ‪ (O ; i ; j ;k‬ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ‪ .‬ﻋﻴ‪‬ﻥ‪ ،‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪ ،‬ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺃﻭ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ‬
‫ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻊ ﺍﻟﺘﺒﺭﻴﺭ‪.‬‬
‫‪ /1‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺸﻤل )‪ A (1;2; −4‬ﻭ )‪ B ( −3;4;1‬ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﺘﻤﺜﻴﻠﻪ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁﻲ ﻤﻌﺭﻑ ﺒـ‪:‬‬
‫‪x = −11 − 4t‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y = 8 + 2t‬‬
‫) ¡ ∈ ‪(t‬‬
‫‪ z = 11 + 5t‬‬
‫‪‬‬
‫‪ W‬ﻟﻴﺴﺎ ﻤﻥ ﻤﺴﺘﻭﻱ ﻭﺍﺤﺩ‬
‫‪ W‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺎﻥ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪ W‬ﻤﺘﻁﺎﺒﻘﺎﻥ‬
‫‪ W‬ﻤﺘﻘﺎﻁﻌﺎﻥ‬
‫‪ /2‬ﻟﻴﻜﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ) ‪ ( P‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻑ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ 2x + 3y − z + 4 = 0 :‬ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪ (d‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻑ ﺒـ‪:‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ny‬‬

‫‪pa‬‬

‫) ¡ ∈ ‪(t‬‬

‫‪om‬‬

‫‪ x =t‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y =t‬‬
‫‪z = 8 + t‬‬
‫‪‬‬

‫‪8 14‬‬
‫‪W‬‬
‫‪7‬‬

‫‪16 W‬‬

‫‪8 14 W‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ ( P ) W‬ﻭ ) ‪ (d‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺎﻥ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬
‫‪ ( P ) W‬ﻭ ) ‪ (d‬ﻤﺘﻘﺎﻁﻌﺎﻥ‬
‫‪ W‬ﻵ ﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻹﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ ﺼﺤﻴﺤﺔ ‪ ‬‬
‫‪ (d ) W‬ﻤﺤﺘﻭﺍﻩ ﻓﻲ ) ‪( P‬‬
‫‪ /3‬ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ) ‪ A (1; 2; −4‬ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻤﻌﺭﻑ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪2x + 3 y − z + 4 = 0 :‬‬
‫‪8‬‬
‫‪W‬‬
‫‪7‬‬

‫‪ /4‬ﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪ B ( −3; 4;1‬ﻭﺴﻁﺢ ﺍﻟﻜﺭﺓ ) ‪ (S‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻑ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪x 2 + y 2 + z 2 = 16 :‬‬

‫‪W‬‬

‫‪B‬‬

‫ﺩﺍﺨل ) ‪(S‬‬

‫‪W‬‬

‫‪B‬‬

‫ﺨﺎﺭﺝ ) ‪(S‬‬

‫‪W‬‬

‫‪B‬‬

‫ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ) ‪(S‬‬

‫ﺍﻟﺼﻔﺤــــﺔ ‪16/10‬‬

‫‪ W‬ﻻ ﻨﻌﺭﻑ‪ ‬‬
‫ﺣﻠﻴﻼﺕ ﻋﻤﺎﺭ‬

‫‪r ur ur‬‬

‫‪ 09‬ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ) ‪ (O ; i ; j ; k‬ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ‪.‬ﺘﻌﻁﻰ ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ) ‪A( 3; 0 ; 6‬‬
‫ﻭ ) ‪ I( 0; 0 ; 6‬ﻭﻟﻴﻜﻥ )‪ (D‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ‪ A‬ﻭ‪ I‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﻴﻥ )‪ (P‬ﻭ )‪ (Q‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﻴﻥ‬
‫ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻥ ‪ (P ) : 2 y + z − 6 = 0 :‬ﻭ ‪(Q ) : y − 2 z + 12 = 0‬‬
‫‪.1‬ﺒﻴ‪‬ﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﻴﻥ )‪ (P‬ﻭ )‪ (Q‬ﻤﺘﻌﺎﻤﺩﺍﻥ‬
‫‪.2‬ﺒﻴ‪‬ﻥ ﺃﻥ ﺘﻘﺎﻁﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﻴﻥ )‪ (P‬ﻭ )‪ (Q‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪(D‬‬

‫) (‬

‫‪.3‬ﺒﻴ‪‬ﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﻴﻥ )‪ (P‬ﻭ )‪ (Q‬ﻴﻘﻁﻌﺎﻥ ‪ ،‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ‪،‬ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ‪ O; j‬ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﻴﻥ‬

‫‪ B‬ﻭ‪C‬‬

‫‪ .4‬ﺍﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ )‪ (T‬ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ B‬ﻭﺍﻟﺸﻌﺎﻉ ‪ AC‬ﻨﺎﻅﻤﻲ ﻟﻪ ﻫﻲ ‪:‬‬

‫‪l‬‬

‫‪x + 4 y + 2 z − 12 = 0‬‬

‫‪tia‬‬

‫‪en‬‬

‫‪ .5‬ﺃﻋﻁ ﺘﻤﺜﻴﻼ ﻭﺴﻴﻁﻴﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪. (OA‬ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (OA‬ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ )‪ (T‬ﻴﺘﻘﺎﻁﻌﺎﻥ ﻓﻲ‬
‫ﻨﻘﻁﺔ ‪ H‬ﻴﻁﻠﺏ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺘﻬﺎ‪.‬‬
‫‪.6‬ﻤﺎﺫﺍ ﺘﻤﺜل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ H‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺜﻠﺙ ‪ ABC‬؟ ﻋﻠل ﺠﻭﺍﺒﻙ‪.‬‬

‫‪fid‬‬
‫‪on‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ny‬‬

‫‪r ur ur‬‬

‫‪pa‬‬

‫‪ 10‬ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ) ‪ (O ; i ; j ; k‬ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ‪.‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ )‪ (P‬ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪:‬‬
‫‪ 2 x + y − 2 z + 4 = 0‬ﻭ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪C( 4; -2 ; 5 ) ، B(1; 2 ; 4) ، A( 3; 2 ; 6 ):‬‬
‫‪.1‬ﺃ( ﺒﻴ‪‬ﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘــﻁ ‪ B ،A‬ﻭ‪ C‬ﺘﻌﻴ‪‬ﻥ ﻤﺴﺘﻭﻴﺎ ‪.‬ﺏ‪ -‬ﺒﻴ‪‬ﻥ ﺃﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ )‪. (P‬‬
‫‪ .2‬ﺃ( ﺒﻴ‪‬ﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ ABC‬ﻗﺎﺌﻡ‬
‫ﺏ( ∆ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻴﺸﻤل ‪ O‬ﻭﻴﻌﺎﻤﺩ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ )‪ ، (P‬ﺃﻋﻁ ﺘﻤﺜﻴﻼ ﻭﺴﻴﻁﻴﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ∆‬
‫ﺠـ ( ‪ K‬ﺍﻟﻤﺴﻘﻁ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ ﻟﻠﻨﻘﻁﺔ ‪ O‬ﻋﻠﻰ )‪ . (P‬ﺍﺤﺴﺏ ‪OK‬‬
‫ﺩ( ﺍﺤﺴﺏ ﺤﺠﻡ ﺍﻟﺭﺒﺎﻋﻲ ‪OABC‬‬
‫)‪S= (O;3),( A;1),(B;1),(C;1‬‬
‫‪ .3‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ﺍﻟﻤﺜﻘﻠﺔ ‪:‬‬
‫ﺃ( ﺒﻴ‪‬ﻥ ﺃﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ﺘﻘﺒل ﻤﺭﺠﺤﺎ‬
‫ﺏ( ﻨﺭﻤﺯ ﺒـ ‪ I‬ﺇﻟﻰ ﻤﺭﻜﺯ ﺜﻘل ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ . ABC‬ﺒﻴ‪‬ﻥ ﺃﻥ ‪ G‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪. (OI‬‬
‫ﺠـ( ﻋﻴ‪‬ﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ‪ G‬ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ )‪(P‬‬

‫‪om‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ .4‬ﺃ( ﻋﻴ‪‬ﻥ )‪ (E‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ M‬ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ‪3MO + MA + MB + MC = 5 :‬‬

‫ﺏ( ﻤﺎ ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻜﺔ ﺒﻴﻥ )‪ (P‬ﻭ)‪. (E‬‬

‫ﺍﻟﺼﻔﺤــــﺔ ‪ 16/11‬‬

‫ﺣﻠﻴﻼﺕ ﻋﻤﺎﺭ‬

‫‪r ur ur‬‬

‫ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ) ‪ (O ; i ; j ; k‬ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ‪.‬ﺘﻌﻁﻰ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ :‬‬
‫‪11‬‬
‫) ‪C( 3; 2 ; 4 ) ، B(-3; -1 ; 7) ، A( 2; 1 ; 3‬‬
‫‪.1‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ B ، A‬ﻭ‪ C‬ﻟﻴﺴﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ‪.‬‬
‫‪ x = −7 + 2t‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y = −3t‬‬
‫‪ z = 4+t‬‬
‫‪‬‬

‫)‪(t ∈ R‬‬

‫‪ .2‬ﻟﻴﻜﻥ )‪ (d‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻌﺭﻑ ﺒﺎﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﻭﺴﻴﻁﻲ ‪:‬‬

‫‪l‬‬

‫ﺃ( ﺒﻴ‪‬ﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (d‬ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ )‪. ( ABC‬‬
‫ﺏ( ﺍﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ )‪( ABC‬‬
‫‪ .3‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ H‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻜﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (d‬ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ )‪.( ABC‬‬
‫ﺃ( ﺒﻴ‪‬ﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ H‬ﻤﺭﺠﺢ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ )‪( A;-2),(B;-1),(C;2‬‬
‫ﺏ(ﻋﻴ‪‬ﻥ ﻁﺒﻴﻌﺔ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ) ‪ (Γ1‬ﻟﻠﻨﻘﻁ ‪ M‬ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻭﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ‪:‬‬

‫‪tia‬‬

‫‪en‬‬

‫‪(− 2MA − MB + 2MC )(. MB − MC ) = 0‬‬

‫‪fid‬‬

‫ﻭﺤﺩﺩ ﺍﻟﻌﻨﺎﺼﺭ ﺍﻟﻤﻤﻴﺯﺓ‬
‫ﺠـ( ﻋﻴ‪‬ﻥ ﻁﺒﻴﻌﺔ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ) ‪ (Γ2‬ﻟﻠﻨﻘﻁ ‪ M‬ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻭﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ‪:‬‬
‫‪− 2 MA − MB + 2 MC = 29‬‬

‫‪on‬‬

‫ﻭﺤﺩﺩ ﺍﻟﻌﻨﺎﺼﺭ ﺍﻟﻤﻤﻴﺯﺓ‬
‫ﺩ( ﻋﻴ‪‬ﻥ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﺔ ﻭﺍﻟﻌﻨﺎﺼﺭ ﺍﻟﻤﻤﻴﺯﺓ ﻟﻠﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ) ‪. (Γ1 ∩ Γ2‬‬
‫ﻫـ( ﻫل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ) ‪ S( -8; 1 ; 3‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﻟﻠﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ) ‪. (Γ1 ∩ Γ2‬‬

‫‪C‬‬

‫‪r ur ur‬‬
‫) ‪(O ; i ; j ; k‬‬

‫‪12‬ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻤﺯﻭﺩ ﺒﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬

‫‪.‬‬

‫‪ny‬‬

‫‪ .1‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ )‪ (P‬ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ) ‪ B( 1; -2 ; 1‬ﻭ )‪ n(−2;1;5‬ﺸﻌﺎﻉ ﻨﺎﻅﻤﻲ ﻟﻪ‪.‬ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ‬
‫)‪ (R‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻑ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ‪. x + 2 y − 7 = 0 :‬‬
‫ﺃ‪ -‬ﺒﻴ‪‬ﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﻴﻥ )‪ (P‬ﻭ)‪ (R‬ﻤﺘﻌﺎﻤﺩﺍﻥ‪.‬‬
‫ﺏ‪ -‬ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﺘﻘﺎﻁﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﻴﻥ )‪ (P‬ﻭ)‪ (R‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )∆( ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ) ‪C( -1; 4 ; -1‬‬

‫‪pa‬‬

‫ﻭﺸﻌﺎﻉ ﺘﻭﺠﻴﻪ ﻟﻪ ‪u (2;−1;1) .‬‬

‫‪om‬‬

‫ﺠـ( ﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ) ‪ . A( 5; -2 ; -1‬ﺍﺤﺴﺏ ﺒﻌﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ A‬ﻋﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ )‪ (P‬ﺜﻡ ﺒﻌﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪A‬‬
‫ﻋﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ )‪. (R‬‬
‫ﺩ( ﻋﻴ‪‬ﻥ ﺒﻌﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ A‬ﻋﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )∆(‪.‬‬
‫‪ .2‬ﺃ( ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ ، t‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ) ‪. Mt (1 + 2t;3 − t; t‬‬
‫ ﻋﻴ‪‬ﻥ ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪ t‬ﺍﻟﻁﻭل ‪. AM t‬ﻭﻨﺭﻤﺯ ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﻁﻭل ﺒـ ) ‪. ϕ (t‬ﻭﻨﻌﺭﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ϕ‬ﻤﻥ ‪ R‬ﻓﻲ ‪. R‬‬‫ﺏ( ﺍﺩﺭﺱ ﺇﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ϕ‬ﻭﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﺤﺩﻴﺔ ﺍﻟﺼﻐﺭﻯ ﻟﻬﺎ ‪.‬‬
‫ﺠـ( ﻓﺴ‪‬ﺭ ﻫﻨﺩﺴﻴﺎ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﺤﺩﻴﺔ ﺍﻟﺼﻐﺭﻯ‪ .‬‬

‫‪C‬‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪ ‬ﺍﻟﺼﻔﺤــــﺔ ‪16/12‬‬

‫‪ ‬‬

‫ﺣﻠﻴﻼﺕ ﻋﻤﺎﺭ‬

‫‪: (13‬‬

‫‪ C ، B ، A‬ﺜﻼﺙ ﻨﻘﻁ ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ‪ ،‬ﻟﻴﺴﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ‪ k .‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ‬

‫ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل ] ‪. [ -1 ; 1‬‬

‫‪Gk‬‬

‫}‬

‫ﻤﺭﺠﺢ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ) ‪+ 1) , ( B ; k ) ; (C ; − k‬‬

‫‪ (1‬ﻤﺜل ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ C ، B ، A‬ﻭ ‪ I‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ] ‪ [ BC‬ﺜﻡ ﺃﻨﺸﺊ‬

‫ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ‪ G1‬ﻭ ‪G 2‬‬

‫‪ (a (2‬ﺒﻴﻥ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪ k‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل ] ‪ [ -1 ; 1‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬
‫‪ (b‬ﺸﻜل ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬

‫‪f‬‬

‫‪2‬‬

‫‪{( A; k‬‬

‫‪.‬‬

‫‪uuuuur‬‬
‫‪− k uuur‬‬
‫‪AG k = 2‬‬
‫‪BC‬‬
‫‪k +1‬‬

‫ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ] ‪ [ -1 ; 1‬ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬

‫‪l‬‬

‫‪tia‬‬

‫‪ (c‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ G k‬ﻟﻤﺎ ‪ k‬ﻴﻤﺴﺢ ﺍﻟﻤﺠﺎل ] ‪[ -1 ; 1‬‬
‫‪ (3‬ﻋﻴﻥ ) ‪ ( E‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ M‬ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺤﻴﺙ ‪:‬‬
‫‪uuuur uuuur uuuur‬‬
‫‪uuuur uuuur uuuur‬‬
‫‪2MA + MB − MC = 2MA − MB + MC‬‬

‫‪−x‬‬
‫‪x 2 +1‬‬

‫= ) ‪f (x‬‬

‫‪en‬‬

‫‪ (4‬ﻋﻴﻥ ) ‪ ( F‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ M‬ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺤﻴﺙ ‪:‬‬
‫‪uuuur uuuur uuuur‬‬
‫‪uuuur uuuur uuuur‬‬
‫‪2MA + MB − MC = 2MA − MB − MC‬‬

‫‪fid‬‬

‫‪r ur ur‬‬
‫) ‪(O ; i ; j ; k‬‬

‫‪ (5‬ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺍﻵﻥ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬
‫) ‪ ( -1 ; 2 ; 1 ) ، ( 0 ; 0 ; 2‬ﻭ ) ‪ ( -1 ; 2 ; 5‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪.‬‬
‫‪ (a‬ﻋﻴﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ‪ G1‬ﻭ ‪ ، G 2‬ﺘﺤﻘﻕ ﺃﻥ ) ‪ ( E‬ﻭ ) ‪ ( F‬ﻴﺘﻘﺎﻁﻌﺎﻥ‪.‬‬
‫‪ (b‬ﺃﺤﺴﺏ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ) ‪ ( C‬ﺘﻘﺎﻁﻊ ) ‪ ( E‬ﻭ ) ‪. ( F‬‬

‫‪ ،‬ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ C ، B ، A‬ﺘﺄﺨﺫ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ‬

‫‪on‬‬

‫‪C‬‬

‫‪)14‬ﺃﺴﺌﻠﺔ ﻤﺘﻌﺩﺩﺓ ﺍﻻﺨﺘﻴﺎﺭﺍﺕ(‪ ‬ﻜل ﺴﺅﺍل ﻴﺘﻀﻤﻥ ﺃﺭﺒﻊ ﺍﺨﺘﻴﺎﺭﺍﺕ ﻤﻥ ﺒﻴﻨﻬﺎ ﺍﺨﺘﻴﺎﺭ ﻭﺍﺤﺩ‬
‫‪r ur ur‬‬
‫ﺼﺤﻴﺢ ‪ ،‬ﻋﻴ‪‬ﻨﻪ ﻤﺒﺭﺭﺍ ﺇﺠﺎﺒﺘﻙ ‪ .‬ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﻟﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ) ‪ . (O ; i ; j ; k‬‬
‫‪ 2x − 6 y + 2 z − 7 = 0‬‬
‫‪ (1‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ) ‪ M ( x ; y ; z‬ﺒﺤﻴﺙ ‪:‬‬
‫‪ ‬ﻫﻲ ‪:‬‬
‫‪−‬‬
‫‪x‬‬
‫‪+‬‬
‫‪3‬‬
‫‪y‬‬
‫‪−‬‬
‫‪z‬‬
‫‪+‬‬
‫‪5‬‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫ﺝ‪:1‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺨﺎﻟﻴﺔ ‪ ،‬ﺝ‪ (2‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪ ،‬ﺝ‪ (3‬ﻤﺴﺘﻭﻱ ‪ ،‬ﺝ‪ (4‬ﻨﻘﻁﺔ‬
‫‪ x = 2 +t‬‬
‫‪ x = 1− t‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ (2‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﺍﻟﻤﻤﺜﻼﻥ ﻭﺴﻴﻁﻴﺎ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪  y = −1 + t (t ∈ ¡ ) :‬ﻭ ) ¡ ∈ ‪ y = −2 − t (t‬‬
‫‪ z = 4 + 2t‬‬
‫‪ z = 2 − 3t‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ﺝ‪ :1‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺎﻥ ﺘﻤﺎﻤﺎ ‪ ،‬ﺝ‪ :2‬ﻤﺘﻁﺎﺒﻘﺎﻥ ‪،‬ﺝ‪ :3‬ﻤﺘﻘﺎﻁﻌﺎﻥ ‪ ،‬ﺝ‪: (4‬ﻟﻴﺴﺎ ﻤﻥ ﻤﺴﺘﻭﻱ ﻭﺍﺤﺩ‬
‫‪ (3‬ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪ A (1; − 2;1‬ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪ − x + 3 y − z + 5 = 0 :‬ﻫﻲ ‪:‬‬
‫‪8‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ ،‬ﺝ‪:4‬‬
‫‪ ،‬ﺝ‪:3‬‬
‫‪ ،‬ﺝ‪: (2‬‬
‫ﺝ‪:1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪11‬‬
‫‪11‬‬
‫‪11‬‬
‫‪ (4‬ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ‪ H‬ﺍﻟﻤﺴﻘﻁ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ ﻟﻠﻨﻘﻁﺔ ) ‪ B (1;6;0‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﻌــــﺎﺩﻟﺘﻪ‪:‬‬
‫‪ − x + 3 y − z + 5 = 0‬ﻫﻲ ‪:‬‬
‫ﺝ‪ ، ( 3;1;5) :1‬ﺝ‪ ، ( 2;3;1) :2‬ﺝ‪ ، ( 3;0;2 ) :3‬ﺝ‪( −2;3; −6 ) :4‬‬

‫‪ny‬‬

‫‪pa‬‬

‫‪om‬‬

‫‪C‬‬

‫‪‬‬

‫‪ ‬ﺍﻟﺼﻔﺤــــﺔ ‪16/13‬‬

‫‪ ‬‬

‫ﺣﻠﻴﻼﺕ ﻋﻤﺎﺭ‬

‫‪ 15‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬

‫‪r ur ur‬‬
‫) ‪(O ; i ; j ; k‬‬

‫) ‪(P‬‬

‫ﺍﻟﻨﻘﻁ‪:‬‬

‫‪l‬‬

‫) ‪ A ( 2;1; −1) , B ( −1;2;4 ) ,C ( 0; − 2;3) , D (1;1; −2‬ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ‬
‫ﺍﻟﺫﻱ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ‪x − 2 y + z + 1 = 0 :‬‬
‫ ﻓﻲ ﻜل ﺍﻗﺘﺭﺍﺡ ﻤﻤﺎ ﻴﻠﻲ ﺃﺫﻜﺭ ﺇﻥ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﺍﻡ ﺨﺎﻁﺌﺔ ﻤﺒﺭﺭﺍ ﺫﻟﻙ ‪.‬‬‫‪ (1‬ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ B ، A‬ﻭ ‪ C‬ﺘﻌﻴﻥ ﻤﺴﺘﻭﻱ ‪ (2 ،‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪ ( AC‬ﻤﺤﺘﻭﻯ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ) ‪( P‬‬
‫‪ (3‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ ) ‪ ( ABD‬ﻫﻲ ‪x + 8 y − z − 11 = 0 :‬‬
‫‪ x = 2k‬‬
‫‪‬‬
‫‪ (4‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪ ( AC‬ﻟﻪ ﺘﻤﺜﻴل ﻭﺴﻴﻁﻲ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ y = 2 + 3k ( k ∈ ¡ ) :‬‬
‫‪ z = 3 − 4k‬‬
‫‪‬‬

‫‪tia‬‬

‫‪en‬‬

‫‪ (5‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ) ‪ ( AB‬ﻭ ) ‪ (CD‬ﻤﺘﻌﺎﻤﺩﺍﻥ ‪ (6 ،‬ﺒﻌﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ C‬ﻋﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ) ‪ ( P‬ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪4 6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ (7‬ﺴﻁﺢ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ‪ D‬ﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ‬
‫‪3‬‬
‫‪ 4 2 5‬‬
‫‪ (8‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ E  − ; ; ‬ﺍﻟﻤﺴﻘﻁ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ ﻟﻠﻨﻘﻁﺔ ‪ C‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ‬
‫‪ 3 3 3‬‬
‫ﻤﻤﺎﺴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ‬

‫‪fid‬‬

‫‪on‬‬

‫‪16‬ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬

‫‪r ur ur‬‬
‫) ‪(O ; i ; j ; k‬‬

‫) ‪(P‬‬
‫) ‪(P‬‬
‫ﻨﻌﺘﺒﺭﺍﻟﻨﻘﻁ ) ‪، A (1;1;0‬‬

‫‪C‬‬

‫)‪ B (1;2;1‬ﻭ ) ‪C ( 3; − 1 ;2‬‬
‫‪ -1‬ﺘﺤﻘﻕ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ B ، A‬ﻭ ‪ C‬ﻟﻴﺴﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﻴﺔ ﺜﻡ ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ‬
‫ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ ) ‪ ( ABC‬ﻫﻲ ‪2 x + y − z − 3 = 0 :‬‬
‫‪ -2‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﻴﻥ ) ‪ ( P‬ﻭ ) ‪ ( R‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﻴﻴﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ‪:‬‬
‫‪ x + 2 y − z − 4 = 0‬ﻭ ‪2 x + 3 y − 2z − 5 = 0‬‬

‫‪ny‬‬
‫‪r ur ur‬‬

‫‪om‬‬

‫‪ -3‬ﺍﺩﺭﺱ ﺘﻘﺎﻁﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﺎﺕ ) ‪ ( R ) ، ( P‬ﻭ ) ‪( ABC‬‬
‫‪4‬‬
‫ﻋﻴ‪‬ﻥ ﺒﻌﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ A‬ﻋﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ . (D‬‬

‫‪pa‬‬

‫‪ -‬ﺒﻴ‪‬ﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﻴﻥ ﻴﺘﻘﺎﻁﻌﺎﻥ ﻭﻓﻕ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (D‬ﺘﻤﺜﻴﻠﻪ ﺍﻟﻭﺴﻴﻁﻲ ﻫﻭ ‪(t ∈ ¡ ) :‬‬

‫‪ x = −2 + t‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y =3‬‬
‫‪ z =t‬‬
‫‪‬‬

‫‪17‬ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ) ‪ (O ; i ; j ; k‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻨﻘﻁ‪‬‬
‫‪ur‬‬
‫)‪ D ( 4; −2;5) ، C ( −1; − 3;2 ) ، B ( 0;1;4 ) ، A (1;2;3‬ﻭ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ )‪. n ( 2; − 1;1‬‬

‫‪ ( ∆ ) .2‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻌﺭﻑ ﺒﺎﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﻭﺴﻴﻁﻲ ‪(t ∈ ¡ ) :‬‬
‫‪‬‬

‫‪ x = 2 − 2t‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y = −1 + t‬‬
‫‪ z = 4 −t‬‬
‫‪‬‬

‫‪ ‬ﺍﻟﺼﻔﺤــــﺔ ‪16/14‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ .1‬ﺃ( ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ B ، A‬ﻭ‪ C‬ﻟﻴﺴﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ‪.‬‬
‫‪ur‬‬
‫ﺏ( ﺒﻴ‪‬ﻥ ﺃﻥ ‪ n‬ﺸﻌﺎﻉ ﻨﺎﻅﻤﻲ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ ) ‪. ( ABC‬‬
‫ﺝ( ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ ) ‪( ABC‬‬

‫‪ ‬‬

‫ﺣﻠﻴﻼﺕ ﻋﻤﺎﺭ‬

‫ ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ D‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ∆ ( ﻭ ﺃﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ) ‪. ( ABC‬‬‫‪ .3‬ﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ E‬ﺍﻟﻤﺴﻘﻁ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ ﻟﻠﻨﻘﻁﺔ ‪ D‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ) ‪( ABC‬‬
‫ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ E‬ﻤﺭﻜﺯ ﺜﻘل ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪. ABC‬‬‫‪ 18‬ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﺍﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ‬
‫‪r ur ur‬‬

‫ﻭﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ) ‪. (O ; i ; j ; k‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻨﻘﻁ ) ‪، A( 3 ; -2 ; 2‬‬

‫‪l‬‬

‫) ‪C( 6 ; -2 ; - 1 ) ، B( 6 ; 1 ; 5‬‬
‫‪ (1 (I‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ ABC‬ﻗﺎﺌﻡ ‪.‬‬
‫‪ (2‬ﻟﻴﻜﻥ ) ‪ ( P‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪:‬‬
‫‪ . x + y + z − 3 = 0‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ) ‪ ( P‬ﻋﻤﻭﺩﻱ‬
‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪ ( AB‬ﻭ ﻴﻤﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪. A‬‬
‫‪ (3‬ﻟﻴﻜﻥ ) '‪ ( P‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪ ( AC‬ﻭ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺸﻤل ‪. A‬‬
‫ ﺃﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻟـ ) '‪( P‬‬‫‪ (4‬ﻋﻴﻥ ﺘﻤﺜﻴﻼ ﻭﺴﻴﻁﻴﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪ ( d‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺘﻘﺎﻁﻊ ) ‪ ( P‬ﻭ ) '‪. ( P‬‬
‫‪ (1 (II‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ D‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻻﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ )‪ ، ( 0;4; −1‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪( AD‬‬
‫ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ) ‪( ABC‬‬
‫‪ (2‬ﺃﺤﺴﺏ ﺤﺠﻡ ﺭﺒﺎﻋﻲ ﺍﻟﻭﺠﻭﻩ ‪ABDC‬‬

‫‪tia‬‬

‫‪en‬‬

‫‪fid‬‬

‫‪on‬‬

‫‪ (4‬ﺃ( ﺃﺤﺴﺏ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪BDC‬‬

‫‪C‬‬

‫‪π‬‬
‫‪ (3‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﻗﻴﺱ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ‪µ‬‬
‫‪ B DA‬ﻫﻭ‬
‫‪4‬‬

‫ﺭﺍﺩﻴﺎﻥ‬

‫‪ny‬‬

‫ﺏ( ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺒﻌﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ A‬ﻋﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ) ‪( BDC‬‬

‫‪r ur ur‬‬

‫‪pa‬‬

‫‪19‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ) ‪ (O ; i ; j ; k‬ﺍﻟﻨﻘﻁ‪  :‬‬
‫) ‪ C ( 2;0;0 ) ، B ( 0;4;0 ) ، A ( 0;0;2‬ﻭ ﻨﺴﻤﻲ ‪ I‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ] ‪ [ BC‬ﻭ ‪ G‬ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺎﺕ‬
‫ﺍﻟﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ﻟﻠﻨﻘﻁ ‪ B ، A‬ﻭ ‪ C‬ﻭ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ H‬ﺍﻟﻤﺴﻘﻁ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ ﻟﻠﻨﻘﻁﺔ ‪ O‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ) ‪. ( ABC‬‬
‫ ﻓﻲ ﻜل ﺍﻗﺘﺭﺍﺡ ﻤﻤﺎ ﻴﻠﻲ ﺃﺫﻜﺭ ﺇﻥ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﺍﻡ ﺨﺎﻁﺌﺔ ﻤﺒﺭﻫﻨﺎ ﻋﻥ ﺍﺨﺘﻴﺎﺭﻙ ‪.‬‬‫‪uuuur uuur‬‬
‫‪ (°1‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ M‬ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ‪ AM .BC = 0‬ﻫﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ) ‪. ( AIO‬‬
‫‪uuuur uuuur‬‬
‫‪uuuur uuuur‬‬
‫‪ (°2‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ M‬ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ‪ MB + MC = MB − MC‬ﻫﻲ ﺴﻁﺢ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﺘﻲ‬
‫ﻗﻁﺭﻫﺎ ] ‪. [ BC‬‬
‫‪ (°3‬ﺤﺠﻡ ﺭﺒﺎﻋﻲ ﺍﻟﻭﺠﻭﻩ ‪ OABC‬ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪ 4‬ﻭﺤﺩﺓ ﺤﺠﻭﻡ ‪.‬‬

‫‪om‬‬

‫‪C‬‬

‫‪‬‬

‫‪8 4 8‬‬
‫‪ 2 x + y + 2z = 4 (°4‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻱ ) ‪ ( ABC‬ﻭﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ H‬ﻫﻲ ‪ ; ; ‬‬
‫‪9 9 9‬‬
‫‪ x =t‬‬
‫‪‬‬
‫‪ (°5‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪ ( AG‬ﻴﻘﺒل ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﻭﺴﻴﻁﻲ ‪ y = 2t (t ∈ ¡ ) :‬‬
‫‪ z = 2 − 2t‬‬
‫‪‬‬

‫‪ ‬ﺍﻟﺼﻔﺤــــﺔ ‪16/15‬‬

‫‪ ‬‬

‫ﺣﻠﻴﻼﺕ ﻋﻤﺎﺭ‬

‫‪20‬‬

‫‪ ABCD‬ﺭﺒﺎﻋﻲ ﻭﺠﻭﻩ ﺒﺤﻴﺙ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺎﺕ ‪ ABD ، ABC‬ﻭ ‪ ACD‬ﻗﺎﺌﻤﺔ ﻓﻲ ‪A‬‬

‫ﻭﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻥ ﺒﺤﻴﺙ ‪ . AB = AC = AD = a :‬ﻨﺴﻤﻲ ‪ A1‬ﻤﺭﻜﺯ ﺜﻘل ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪. BCD‬‬
‫‪uuur uuur‬‬
‫‪uuur uuur‬‬
‫‪ (1‬ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪ ( AA1‬ﻴﻌﺎﻤﺩ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ) ‪ ) . ( BCD‬ﻴﻤﻜﻨﻙ ﺤﺴﺎﺏ ‪ AA1.CD‬ﻭ ‪( AA1.BC‬‬

‫‪l‬‬

‫‪ (2‬ﻋﺒﺭ ﺒﻁﺭﻴﻘﺘﻴﻥ ﻤﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻥ ﻋﻥ ﺤﺠﻡ ﺭﺒﺎﻋﻲ ﺍﻟﻭﺠﻭﻩ ‪ ، ABCD‬ﺍﺤﺴﺏ ﻁﻭل ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ] ‪. [ AA1‬‬
‫‪ (3‬ﻨﺴﻤﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ G‬ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ﻟﺭﺒﺎﻋﻲ ﺍﻟﻭﺠﻭﻩ ‪ ABCD‬ﻭ ‪ I‬ﻤﻨﺘﺼﻑ ] ‪. [ BC‬‬
‫ﺃ( ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ G‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﻟﻠﻘﻁﻌﺔ ] ‪ [ AA1‬ﻭ ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻁﻭل ‪. AG‬‬
‫ﺏ( ﻋﻴ‪‬ﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ M‬ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ ‪:‬‬

‫‪tia‬‬

‫‪uuuur uuuur uuuur uuuur‬‬
‫‪uuuur uuuur‬‬
‫‪MA + MB + MC + MD = 2 MB + MC‬‬

‫‪en‬‬

‫‪ (4‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ H‬ﻨﻅﻴﺭﺓ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ A‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻁﺔ ‪G‬‬
‫‪uuur uuur uuur uuur‬‬
‫ﺃ( ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ‪4.GA + AC + AD = BA. :‬‬
‫‪uuuur uuur‬‬
‫ﺏ( ﺒﺭﻫﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ ‪ HC 2 − HD 2 = DC .BA. :‬ﺜﻡ ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ‪HC = HD‬‬

‫‪fid‬‬

‫‪21‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺭﺒﺎﻋﻲ ﺍﻟﻭﺠﻭﻩ ‪ OABC‬ﺤﻴﺙ ‪ OAC ،OAB‬ﻭ ‪ OBC‬ﻤﺜﻠﺜﺎﺙ ﻗﺎﺌﻤﺔ ﻓﻲ ‪ O‬ﻭ‬
‫‪ [CI] ،OC=OB=OA=1‬ﺇﺭﺘﻔﺎﻉ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ [OH]، ABC‬ﺇﺭﺘﻔﺎﻉ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪. OIC‬‬
‫‪ -1‬ﻤﺎ ﻁﺒﻴﻌﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ABC‬؟ ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻟﻁﻭل ‪.AB‬‬
‫‪ -2‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ )‪(OH‬ﻭ)‪ (AB‬ﻤﺘﻌﺎﻤﺩﺍﻥ ﻭ ﺃﻥ ‪ H‬ﻤﻠﺘﻘﻰ ﺍﻻﺭﺘﻔﻌﺎﺕ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪. ABC‬‬
‫‪ -3‬ﺃﺭﺴﻡ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ OCI‬ﺒﻌﺩ ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻷﻁﻭﺍل ‪OI‬ﻭ ‪) CI‬ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﻫﻲ ﻁﻭل ‪ ، (OC‬ﻋﻴﻥ ‪H.‬‬
‫‪ .4‬ﺃ(‪ .‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻁﻭل ‪ OH‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪.OCI‬‬
‫ﺏ(‪ .‬ﺃﺤﺴﺏ ‪ V‬ﺤﺠﻡ ﺭﺒﺎﻋﻲ ﺍﻟﻭﺠﻭﻩ ‪ OABC‬ﺜﻡ ‪ S‬ﻤﺴﺎﺤﺔ ‪. ABC‬‬
‫ﺝ( ﺃﻭﺠﺩ ﻋﻼﻗﺔ ﺒﻴﻥ ‪S،V‬ﻭ‪ OH‬ﺜﻡ ﺘﺤﻘﻕ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ‪-4‬ﺃ(‪.‬‬
‫‪uuur uuur uuur‬‬
‫‪uuur uuuur‬‬
‫‪O‬‬
‫;‬
‫‪OA‬‬
‫;‬
‫‪OB‬‬
‫;‬
‫‪OC‬‬
‫ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ‬
‫ﺇﻟﻰ‬
‫ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ‬
‫ﻨﻨﺴﺏ‬
‫ﺜﻡ‬
‫‪OD‬‬
‫‪.5‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ D‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ ‪= HO‬‬
‫(‬
‫)‬

‫‪on‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ny‬‬

‫‪1 1 1‬‬
‫ﺃ(‪ .‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ H‬ﻫﻲ ‪ .  ; ; ‬ﺏ(‪ .‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺭﺒﺎﻋﻲ ﺍﻟﻭﺠﻭﻩ ‪ ABCD‬ﻤﻨﺘﻅﻡ‪.‬‬
‫‪3 3 3‬‬

‫ﺑﻄﺎﻗﺔ ﺗﻌﺰﻳﺔ ورﺛﺎء ﻟﺤﺎل اﻷﻣﺔ‬

‫‪om‬‬

‫ﺍﻟﻬﺩﻴﺔ‬

‫‪pa‬‬

‫ﺝ(‪ .‬ﻟﺘﻜﻥ ‪ Ω‬ﻤﺭﻜﺯ ﺴﻁﺢ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺔ ﻟﻠﺭﺒﺎﻋﻲ ‪ABCD‬‬
‫ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪ Ω‬ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )‪ (OH‬ﻭﺃﺤﺴﺏ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺘﻬﺎ‪.‬‬

‫‪C‬‬

‫ﺍﻟﻰ ﻜل ﺍﻟﺸﻬﺩﺍﺀ ﺍﻟﺫﻴﻥ ﻀﻤﺨﻭﺍ ﺒﺩﻤﺎﺌﻬﻡ ﺃﺭﺽ ﺍﻹﺴﺭﺍﺀ ﻭﺍﻟﻤﻌﺭﺍﺝ ﺃﻗﻭل ﻟﻬﻡ ﻤﺎ ﻗﺎﻟﻪ‬
‫ﺭﺏ ﺍﻟﻌﺯﺓ)ﺴﻼﻡ ﻋﻠﻴﻜﻡ ﺒﻤﺎ ﺼﺒﺭﺘﻡ ﻓﻨﻌﻡ ﻋﻘﺒﻰ ﺍﻟﺩﺍﺭ( ﺼﺩﻕ ﺍﷲ ﺍﻟﻌﻅﻴﻡ ‪ ،‬ﻭﺍﻟﺨﺎﺴﺭﻭﻥ‬
‫ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﻭﻥ ﻫﻡ ﺍﻟﺫﻴﻥ ﺘﻘﺎﻋﺴﻭﺍ ﻭﻗﻌﺩﻭﺍ ﻋﻥ ﻨﺼﺭﺓ ﺇﺨﻭﺍﻨﻬﻡ ﻓﻲ ﻓﻠﺴﻁﻴﻥ ﺍﻟﺠﺭﻴﺤﺔ ﻭﺒﻐﺩﺍﺩ‬
‫ﺍﻷﺴﻴﺭﺓ ‪)،‬ﻭﻻ ﺘﺤﺴﺒﻥ ﺍﷲ ﻏﺎﻓﻼ ﻋﻤﺎ ﻴﻌﻤل ﺍﻟﻅﺎﻟﻤﻭﻥ( ﺼﺩﻕ ﺍﷲ ﺍﻟﻌﻅﻴﻡ ‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪ ‬ﺍﻟﺼﻔﺤــــﺔ ‪16/16‬‬

‫‪ ‬‬

‫ﺣﻠﻴﻼﺕ ﻋﻤﺎﺭ‬


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