Fichier PDF

Partagez, hébergez et archivez facilement vos documents au format PDF

Partager un fichier Mes fichiers Boite à outils PDF Recherche Aide Contact



تمارين الهندسة في الفضاء .pdf



Nom original: تمارين الهندسة في الفضاء.pdf
Titre: <4D6963726F736F667420576F7264202D20D3E1D3E1C920C7E1E5E4CFD3C920C7E1DDD6C7C6EDC92E646F63>
Auteur: LAAREDJ

Ce document au format PDF 1.5 a été généré par PScript5.dll Version 5.2 / Acrobat Distiller 6.0 (Windows), et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 14/05/2013 à 00:51, depuis l'adresse IP 41.102.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 2075 fois.
Taille du document: 239 Ko (6 pages).
Confidentialité: fichier public




Télécharger le fichier (PDF)









Aperçu du document


‫‪1‬‬

‫اﻷﺳﺗﺎذ ﻟﻌرج ﻟﻌراﺟﻲ‬

‫ﺛﺎﻧوﻳﺔ ﺣﻣدان ﺧوﺟﺔ – اﻟﻣﺷرﻳﺔ –‬

‫ﺳﻠﺴﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‬
‫اﻟﺷﻌﺑﺔ ‪ 3 :‬رﻳﺎﺿﻲ ‪ 3‬ﺗﻘﻧﻲ رﻳﺎﺿﻲ و ‪ 3‬ﻋﻠوم ﺗﺟرﻳﺑﻳﺔ‬
‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻷول‬

‫→ → →‬

‫ﻓﻲ اﻟﻔﺿﺎء اﻟﻣﻧﺳوب إﻟﻰ ﻣﻌﻠم ﻣﺗﻌﺎﻣد و ﻣﺗﺟﺎﻧس ) ‪ ( O , i , j , k‬ﻧﻌﺗﺑر اﻟﻣﺳﺗوي )‪ (P‬ذا اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ ‪3 x + 2 y – z – 5 = 0‬‬
‫و )‪ (D‬اﻟﻣﺳﺗﻘﻳم اﻟﻣﻌرف ﺑـ ‪ x – 2 y + z – 3 = 0‬و ‪x – y – z + 2 = 0‬‬
‫‪ .1‬ﺣدد ﺗﻣﺛﻳﻼ وﺳﻳطﻳﺎ ﻟﻠﻣﺳﺗﻘﻳم )‪.(D‬‬
‫‪ .2‬ﻋﻳن ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳآﺎرﺗﻳﺔ ﻟﻠﻣﺳﺗوي )'‪ (P‬اﻟذي ﻳﺗﺿﻣن )‪ (D‬و اﻟﻌﻣودي ﻋﻠﻰ )‪. (P‬‬

‫اﻟﺗﻣرﻳن اﻟﺛﺎﻧﻲ‬

‫→ → →‬
‫ﻓﻲ اﻟﻔﺿﺎء اﻟﻣﻧﺳوب إﻟﻰ ﻣﻌﻠم ﻣﺗﻌﺎﻣد و ﻣﺗﺟﺎﻧس ) ‪ ( O , i , j , k‬ﻧﻌﺗﺑر ﺳطﺢ اﻟآرة )‪ (S‬اﻟﺗﻲ ﻣﻌﺎدﻟﺗﻬﺎ ‪:‬‬
‫‪ x 2 + y 2 + z 2 – 4 x + 2y – 4 = 0‬و اﻟﻣﺳﺗﻘﻳم )‪ (D‬اﻟﻣﻌرف ﺑﺎﻟﺗﻣﺛﻳﻞ اﻟوﺳﻳطﻲ‪:‬‬
‫‪x = – 1 + 6t‬‬
‫‪y=6–5t‬‬
‫)‪( t ∈ R‬‬
‫‪z=1–2t‬‬
‫‪ .1‬ﺑﻳن أن ∅ = )‪(D) ∩(S‬‬
‫‪ .2‬ﺣدد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳآﺎرﺗﻳﺔ ﻟآﻞ ﻣﺳﺗوي ﻣن اﻟﻣﺳﺗوﻳﻳن )‪ (P1‬و )‪ (P2‬اﻟﻣﻣﺎﺳﻳن ﻟﺳطﺢ اﻟآرة )‪ (S‬و اﻟﻠذان ﻳﺷﻣﻼن اﻟﻣﺳﺗﻘﻳم )‪ (D‬و أﻋط‬
‫إﺣداﺛﻳﺎت ‪ A‬و ‪ B‬ﻧﻘطﺗﺎ ﺗﻣﺎﺳﻬﻣﺎ ﻟـ )‪ (S‬ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻲ‪.‬‬
‫‪ .3‬ﺑﻳن أن )‪.(AB) ⊥ (D‬‬
‫‪ .4‬ﺗﺣﻘق أن اﻟﻧﻘطﺔ ) ‪ C ( 1, – 1 , 3‬ﺗﻧﺗﻣﻲ إﻟﻰ اﻟﻣﺳﺗوي )‪ (P‬اﻟذي ﻣﻌﺎدﻟﺗﻪ ‪ x – y + z – 5 = 0‬ﺛم أوﺟد ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺳطﺢ اﻟآرة‬
‫)‪ (Γ‬اﻟﻣﻣﺎﺳﺔ ﻟﻠﻣﺳﺗوي )‪ (P‬ﻓﻲ اﻟﻧﻘطﺔ ‪ C‬و اﻟﻣﺎرة ﻣن اﻟﻧﻘطﺔ )‪.D( 1,1,1‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫→ → →‬

‫ﻓﻲ اﻟﻔﺿﺎء اﻟﻣﻧﺳوب إﻟﻰ ﻣﻌﻠم ﻣﺗﻌﺎﻣد و ﻣﺗﺟﺎﻧس ) ‪ ( O , i , j , k‬ﻧﻌﺗﺑر اﻟﻧﻘط ) ‪ A( 1 ,1,0‬و )‪C(– 1 ,0,1) , B(1,0,-1‬‬
‫ﻟﻳآن اﻟﻣﺳﺗوي )‪ (Q‬اﻟذي ﻣﻌﺎدﻟﺗﻪ ‪2x + 3 y + z – 6 = 0:‬‬
‫‪ .1‬أوﺟد ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻟﻠﻣﺳﺗوي )‪.(P) = (ABC‬‬
‫‪ .2‬ﺑﻳن أن اﻟﻣﺳﺗوﻳﻳن )‪ (P‬و )‪ (Q‬ﻣﺗﻌﺎﻣدﻳن‪.‬‬
‫‪ .3‬اﺳﺗﻧﺗﺢ اﻟﺗﻣﺛﻳﻞ اﻟوﺳﻳطﻲ ﻟﻠﻣﺳﺗﻘﻳم )∆( ﺗﻘﺎطﻊ اﻟﻣﺳﺗوﻳﻳن )‪ (P‬و )‪.(Q‬‬
‫‪ .4‬ﻟﻳآن ﺳطﺢ اﻟآرة )‪ (S‬اﻟﺗﻲ ﻣرآزهﺎ )‪ Ω(1,2,4‬و و اﻟﻣﻣﺎﺳﺔ ﻟﻠﻣﺳﺗوي )‪.(P‬‬
‫• ﺣدد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳآﺎرﺗﻳﺔ ل ﺳطﺢ اﻟآرة )‪.(S‬‬
‫• ﺑﻳن أن )‪ (Q‬و )‪ ( S‬ﻳﺗﻘﺎطﻌﺎن وﻓق داﺋرة )‪ (C‬ﻳﺗم ﺗﻌﻳﻳن ﻣرآزهﺎ و طول ﻧﺻف ﻗطرهﺎ‪.‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺮاﺑﻊ‬

‫→ → →‬
‫ﻓﻲ اﻟﻔﺿﺎء اﻟﻣﻧﺳوب إﻟﻰ ﻣﻌﻠم ﻣﺗﻌﺎﻣد و ﻣﺗﺟﺎﻧس ) ‪ ( O , i , j , k‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻨﻘﻂ ) ‪ A( - 3 , 0 , -1‬و )‪ B(1,5,-1‬و )‪C(-1,3,0‬‬
‫‪9‬‬
‫‪1‬‬
‫و ﺳطﺢ اﻟآرة )‪ (S‬اﻟﺗﻲ ﻣرآزهﺎ ) ‪ Ω(1,3,-‬و طول ﻧﺻف ﻗطرهﺎ = ‪R‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .1‬ﺣدد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳآﺎرﺗﻳﺔ ﻟﺳطﺢ اﻟآرة )‪.(S‬‬
‫→‬

‫‪ .2‬ﻋﻳن ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳآﺎرﺗﻳﺔ ﻟﻠﻣﺳﺗوي )‪ (P‬اﻟذي ﻳﺷﻣﻞ اﻟﻧﻘطﺔ ‪ A‬و اﻟﺷﻌﺎع ) ‪ n (5,-4,2‬ﻧﺎظﻣﺎ ﻟﻪ‪.‬‬
‫‪ .3‬أﺣﺳب ))‪ d(Ω;(P‬و اﺳﺗﻧﺗﺞ أن )‪(P‬ﻳﻘطﻊ )‪ (S‬ﻓﻲ داﺋرة )‪.(C‬‬
‫‪ .4‬أآﺗب ﺗﻣﺛﻳﻼ وﺳﻳطﻳﺎ ﻟﻠﻣﺳﺗﻘﻳم )∆( اﻟﻣﺎر ﻣن و اﻟﻌﻣودي ‪ Ω‬ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺳﺗوي )‪.(P‬‬
‫‪ .5‬ﻋﻳن إﺣداﺛﻳﺎت اﻟﻧﻘطﺔ ‪ H‬ﻣرآز اﻟداﺋرة ) ‪ ( C‬وأﺣﺳب '‪ R‬طول ﻧﺻف ﻗطر اﻟداﺋرة )‪.(C‬‬
‫‪ .6‬ﻧﻌﺗﺑر اﻟﻣﺳﺗﻘﻳم )‪ (D‬اﻟﻣﻌرف ﺑﺎﻟﺗﻣﺛﻳﻞ اﻟوﺳﻳطﻲ‬
‫‪x = 2t‬‬
‫‪y = 2t‬‬
‫)‪( t ∈ R‬‬
‫‪z=t–1‬‬
‫اﺣﺳب ))‪ d(Ω ;(D‬ﺛم اﺳﺗﻧﺗﺞ اﻟوﺿﻊ اﻟﻧﺳﺑﻲ ﻟﻠﻣﺳﺗﻘﻳم )‪ (D‬و ﺳطﺢ اﻟآرة )‪(S‬‬
‫‪www. Arouj.ahalmontada.com‬‬

‫ﻣﻨﺘﺪى اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﻟﻸﺳﺘﺎذ ﻟﻌﺮاﺟﻲ ﻟﻌﺮج‬

‫‪2‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺨﺎﻣﺲ‬

‫→ → →‬
‫اﻟﻔﺿﺎء ﻣﻧﺳوب إﻟﻰ ﻣﻌﻠم ﻣﺗﻌﺎﻣد و ﻣﺗﺟﺎﻧس ) ‪ ( O , i , j , k‬ﻧﻌﺗﺑر اﻟﻧﻘط ‪ ، C ، B ، A‬ﺣﻳث‪:‬‬
‫)‪. A( −1 ; 2 ; 1), B(1 ; − 6 ; − 1), C(2 ; 2 ; 2‬‬
‫⎞ ‪⎛1‬‬
‫⎟ ⎜‬
‫⎟ ‪→ ⎜1‬‬
‫‪ .1‬ﺑﻳن أن ‪ C , B , A‬ﻟﻳﺳت ﻋﻠﻰ إﺳﺗﻘﺎﻣﺔ واﺣدة‪.‬و اﻟﺷﻌﺎع ⎟ ‪ n ⎜ − 3‬ﻧﺎظﻣﻲ ﻟﻠﻣﺳﺗوي )‪.(ABC‬‬
‫⎠ ⎝‬
‫‪ .2‬أﻋط ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳآﺎرﺗﻳﺔ ﻟﻠﻣﺳﺗوي )‪.(ABC‬‬
‫‪ .3‬ﻋﻳن ﺗﻣﺛﻳﻼ وﺳﻳطﻳﺎ ﻟﻠﻣﺳﺗﻘﻳم )∆( اﻟﻌﻣودي ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺳﺗوي )‪ (ABC‬و اﻟﻣﺎر ﺑﺎﻟﻧﻘطﺔ )‪. D (0 ; 1 ; −1‬‬
‫‪ .4‬ﻋﻳن إﺣداﺛﻳﺎت اﻟﻧﻘطﺔ ‪ H‬ﺗﻘﺎطﻊ اﻟﻣﺳﺗﻘﻳم )∆( و اﻟﻣﺳﺗوي )‪.(ABC‬ﻣﺎ هﻲ اﻟﻣﺳﺎﻓﺔ ﺑﻳن ‪ D‬و اﻟﻣﺳﺗوي )‪.(ABC‬‬
‫→⎯‬

‫→⎯‬

‫‪ .5‬ﻟﺗآن ‪ M‬ﻧﻘطﺔ آﻳﻔﻳﺔ ﻣن اﻟﻣﺳﺗﻘﻳم )‪ (DC‬ﻟﻠوﺳﻳط اﻟﺣﻘﻳﻘﻲ ‪ t‬ﺣﻳث ) ‪ ; (DM= t DC‬ﺗﺣﻘق أن اﻟﻣﺳﺎﻓﺔ ‪ AM‬ﺗﺄﺧذ أﺻﻐر ﻗﻳﻣﺔ‬
‫‪5‬‬
‫ﻣﻣآﻧﺔ ﻣن أﺟﻞ‬
‫‪14‬‬

‫= ‪. t‬أﺳﺗﻧﺗﺞ إﺣداﺛﻳﺎت اﻟﻧﻘطﺔ ‪ Q‬اﻻﺳﻘﺎط اﻟﻌﻣودي ﻟﻠﻧﻘطﺔ ‪ A‬ﻋﻠﻰ )‪.(DC‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺴﺎدس‬

‫→ → →‬
‫ﻓﻲ اﻟﻔﺿﺎء اﻟﻣﻧﺳوب إﻟﻰ ﻣﻌﻠم ﻣﺗﻌﺎﻣد و ﻣﺗﺟﺎﻧس ) ‪ ( O , i , j , k‬ﻧﻌﺗﺑر اﻟﻧﻘط ) ‪ A( 1 , 0 , 0‬و )‪ B(0,2,0‬و )‪ C(0,0,2‬و‬
‫‪1‬‬
‫)‪ Ω( ,1, 1‬و'‪ O‬اﻟﻣﺳﻘط اﻟﻌﻣودي ﻟﻠﻧﻘطﺔ ‪ Ω‬ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺳﺗوي )‪(ABC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .1‬أﻋط ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳآﺎرﺗﻳﺔ ﻟﻠﻣﺳﺗوي )‪.(ABC‬‬
‫‪ .2‬أوﺟد ﺗﻣﺛﻳﻼ وﺳﻳطﻳﺎ ﻟﻠﻣﺳﺗﻘﻳم )‪(O' Ω‬‬
‫‪ .3‬ﺣدد إﺣداﺛﻳﺎت اﻟﻧﻘطﺔ '‪O‬‬
‫‪ .4‬ﻧﻌﺗﺑر ﺳطﺢ اﻟآرة )‪ (Sλ‬اﻟﺗﻲ ﻣرآزهﺎ ‪ Ω‬و طول ﻧﺻف ﻗﻄﺮهﺎ ‪ λ‬ﺣﻳث ‪ λ‬ﻋﺪد ﺣﻘﻳﻘﻲ ﻣوﺟب ﺗﻣﺎﻣﺎ‪.‬‬
‫•‬

‫أﻋط ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳآﺎرﺗﻳﺔ ﻟـ )‪.(Sλ‬‬

‫•‬

‫أوﺟد ﻗﻳﻣﺔ ‪ λ‬ﺑﺣﻳث ﻳآون اﻟﻣﺳﺗوي )‪ (ABC‬ﻣﻣﺎﺳﺎ ﻟﺳطﺢ اﻟآرة )‪.(Sλ‬‬

‫•‬

‫أوﺟد ﻗﻳﻣﺔ ‪ λ‬ﺑﺣﻳث ﻳآون ﺗﻘﺎطﻊ اﻟﻣﺳﺗوي )‪ (ABC‬و ﺳطﺢ اﻟآرة )‪ (Sλ‬هو داﺋرة اﻟﻣﺣﻳطﺔ ﺑﺎﻟﻣﺛﻠث ‪.ABC‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺴﺎﺑﻊ‬

‫→ → →‬
‫ﻓﻲ اﻟﻔﺿﺎء اﻟﻣﻧﺳوب إﻟﻰ ﻣﻌﻠم ﻣﺗﻌﺎﻣد و ﻣﺗﺟﺎﻧس ) ‪ ( O , i , j , k‬ﻧﻌﺗﺑر اﻟﻧﻘط ) ‪ A( 1 , – 1 , 1‬و )‪B(3,1,-1‬‬
‫)‪ (P‬ذا اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ ‪ 2 x – 3 y +2 z = 0‬و )‪ (D‬اﻟﻣﺳﺗﻘﻳم اﻟﻣﻌرف ﺑـﺎﻟﺗﻣﺛﻳﻞ اﻟوﺳﻳطﻲ‪:‬‬
‫‪x=3t‬‬
‫)‪( t ∈ R‬‬

‫‪y= –2–3t‬‬
‫‪z=2+4t‬‬

‫‪ .1‬ﺣدد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳآﺎرﺗﻳﺔ ﻟﻠﻣﺳﺗوي )‪ (Q‬اﻟﻣﺎر ﻣن ‪ A‬و اﻟﻌﻣودي ﻋﻠﻰ )‪(D‬‬
‫‪ .2‬ﺣدد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳآﺎرﺗﻳﺔ ﻟﻠﻣﺳﺗوي )‪ (Q‬اﻟﻣﺎر ﻣن ‪ B‬و اﻟﻣوازي ﻟـ )‪(P‬‬
‫‪ .3‬أﺣﺳب ))‪ d(A,(P‬و ))‪.d(A,(D‬‬

‫→ → →‬
‫اﻟﻔﺿﺎء ﻣﻧﺳوب إﻟﻰ ﻣﻌﻠم ﻣﺗﻌﺎﻣد و ﻣﺗﺟﺎﻧس ) ‪ ( O , i , j , k‬ﻧﻌﺗﺑر اﻟﻧﻘط ‪ ، C ، B ، A‬ﺣﻳث‬
‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺜﺎﻣﻦ‬
‫ﻣﻨﺘﺪى اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﻟﻸﺳﺘﺎذ ﻟﻌﺮاﺟﻲ ﻟﻌﺮج‬
‫‪www. Arouj.ahalmontada.com‬‬

‫اﻟﻣﺳﺗوي‬

‫‪3‬‬
‫) ‪ B(– 1 , 0 ,1) ، A(1 , – 1 ,0‬و )‪.C( 0 , 2 , – 1‬‬
‫‪ .1‬ﺑﻳن أن ﺑﻳن أن ‪ C , B , A‬ﺗﻣﺛﻞ ﻣﺳﺗوي ) ‪ ( P‬ﻳطﻠب ﺗﻌﻳﻳن ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳآﺎرﺗﻳﺔ ﻟﻪ‪.‬‬
‫‪ .2‬ﺗﺣﻘق أن اﻟﻧﻘطﺔ )‪ J(0,1,0‬ﺗﻧﺗﻣﻲ إﻟﻰ اﻟﻣﺳﺗوي )‪ (Q‬ذا اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ ‪. – 4 x – 3 y – 5 z + 3 = 0‬‬
‫‪ .3‬ﺣدد اﻟوﺿﻊ اﻟﻧﺳﺑﻲ ﻟﻠﻣﺳﺗوﻳﻳن )‪ (P‬و )‪.(Q‬‬
‫‪ .4‬ﺣدد اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟدﻳآﺎرﺗﻳﺔ ﻟﺳطﺢ اﻟآرة )‪ (S‬اﻟﺗﻲ أﺣد أﻗطﺎرهﺎ ]‪.[BJ‬‬
‫‪ .5‬ﺑﻳن أن اﻟﻣﺳﺗوي )‪ (Q‬ﻳﻘطﻊ ﺳطﺢ اﻟآرة )‪ (S‬وﻓق داﺋرة ﻣﺣدد ﻣرآزهﺎ و ﻧﺻف ﻗطرهﺎ‪.‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺘﺎﺳﻊ‬

‫→ → →‬
‫اﻟﻔﺿﺎء ﻣﻧﺳوب إﻟﻰ ﻣﻌﻠم ﻣﺗﻌﺎﻣد و ﻣﺗﺟﺎﻧس ) ‪ ( O , i , j , k‬ﻧﻌﺗﺑر اﻟﻧﻘط ‪ ، C ، B ، A‬ﺣﻳث‬
‫) ‪ B(– 3 , – 1 ,7) ، A(2 ,1 ,3‬و )‪.C( 3 , 2 , 4‬‬
‫‪ .1‬ﺑﻳن أن اﻟﻧﻘط ‪ C , B , A‬ﻟﻳﺳت ﻋﻠﻰ اﺳﺗﻘﺎﻣﺔ واﺣدة‪.‬‬
‫‪⎧ x = −7 + 2t‬‬
‫⎪‬
‫‪ .2‬ﻟﻳآن )∆( ﻣﺳﺗﻘﻳﻣﺎ اﻟﻣﻌرف ﺑﺎﻟﺗﻣﺛﻳﻞ اﻟوﺳﻳطﻲ ‪:‬‬
‫‪⎨ y = −3t : t ∈ IR‬‬
‫‪⎪z = 4 + t‬‬
‫⎩‬
‫أ‪-‬‬

‫ﺑﻳن أن اﻟﻣﺳﺗﻘﻳم )∆( ﻋﻣودي ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺳﺗوي )‪.(ABC‬‬

‫ب‪ -‬أﻋط ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳآﺎرﺗﻳﺔ ﻟﻠﻣﺳﺗوي )‪(ABC‬‬
‫‪ .3‬ﻟﻳآن ‪ H‬ﻣرﺟﺢ اﻟﺟﻣﻠﺔ‬
‫أ‪-‬‬

‫} )‪{ (A; – 2 ) , (B; – 1 ) , (C;2‬‬

‫ﺑﻳن أن ‪ H‬ﻧﻘطﺔ ﻣﺷﺗرآﺔ ﻟﻠﻣﺳﺗوي )‪ (ABC‬و اﻟﻣﺳﺗﻘﻳم )∆(‪.‬‬

‫ب‪ -‬ﻋﻳن طﺑﻳﻌﺔ اﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ )‪ (Γ1‬ﻣﺟﻣوﻋﺔ اﻟﻧﻘط ‪ M‬ﻣن اﻟﻔﺿﺎء ﺑﺣﻳث‪:‬‬
‫→⎯ →⎯‬

‫→⎯‬

‫→⎯ →⎯‬

‫ج‪-‬‬

‫‪(– 2 MA– MB+ 2 MC).( MB – MC) = 0‬‬
‫ﺣدد طﺑﻳﻌﺔ اﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ )‪ (Γ2‬ﻣﺟﻣوﻋﺔ اﻟﻧﻘط ‪ M‬ﻣن اﻟﻔﺿﺎء ﺑﺣﻳث‪:‬‬

‫د‪-‬‬
‫ﻩ‪-‬‬

‫‪|| – 2 MA– MB+ 2 MC || = 29‬‬
‫ﻋﻳن طﺑﻳﻌﺔ و اﻟﻌﻧﺎﺻر اﻟﻣﻣﻳزة ﻟﻠﺗﻘﺎطﻊ )‪(Γ1) ∩ (Γ1‬‬
‫هﻞ اﻟﻧﻘطﺔ ) ‪ S(– 8 , 1 , 3‬ﺗﻧﺗﻣﻲ إﻟﻰ )‪ (Γ1) ∩ (Γ1‬؟‬

‫→⎯‬

‫→⎯ →⎯‬

‫ﻳﺗم ﺗﺣدﻳد اﻟﻌﻧﺎﺻر اﻟﻣﻣﻳزة‬

‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﻌﺎﺷﺮ‬

‫→ → →‬
‫اﻟﻔﺿﺎء ﻣﻧﺳوب إﻟﻰ ﻣﻌﻠم ﻣﺗﻌﺎﻣد و ﻣﺗﺟﺎﻧس ) ‪. ( O , i , j , k‬‬

‫⎟⎞ ‪→ ⎛⎜ − 3‬‬

‫‪ .1‬ﻋﻳن ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳآﺎرﺗﻳﺔ ﻟﻠﻣﺳﺗوي ‪ P‬اﻟﻣﺎر ﻣن اﻟﻧﻘطﺔ )‪ A(1,0,1‬و اﻟﺸﻌﺎع ⎟ ‪ n ⎜ 2‬ﻧﺎظﻣﺎ ﻟﻪ‪.‬‬
‫⎟ ‪⎜1‬‬
‫⎠ ⎝‬
‫‪ .2‬ﻟﻳآن )'‪ (P‬اﻟﻣﺳﺗوي اﻟذي ﻣﻌﺎدﻟﺗﻪ ‪ x + 2y – z +1 =0‬و ﻟﺗآن اﻟﻧﻘطﺔ )‪.B(0,1,1‬‬
‫أ‪-‬‬

‫ﺑﻳن أن اﻟﻣﺳﺗوﻳﻳن ‪ P‬و '‪ P‬ﻣﺗﻌﺎﻣدان‪.‬‬

‫ب‪ -‬أﺣﺳب اﻟﻣﺳﺎﻓﺗﻳن ‪ d‬و '‪ d‬ﻟﻠﻧﻘطﺔ ‪ B‬ﻋن اﻟﻣﺳﺗوﻳﻳن ‪ P‬و '‪ P‬ﻋﻠﻰ اﻟﺗرﺗﻳب‪.‬‬
‫‪ .3‬أ( أﻋط ﺗﻣﺛﻳﻼ وﺳﻳطﻳﺎ ﻟﻠﻣﺳﺗﻘﻳم ‪ D‬ﺗﻘﺎطﻊ اﻟﻣﺳﺗوﻳﻳن ‪ P‬و '‪.P‬‬
‫ب ( ﻋﻳن إﺣداﺛﻳﺎت اﻟﻧﻘطﺔ ‪ H‬ﻣن ‪ D‬ﺑﺣﻳث ﻳآون اﻟﻣﺳﺗﻘﻳم )‪(BH‬ﻋﻣودﻳﺎ ﻋﻠﻰ )‪.(D‬‬
‫ﺟـ ( ﺗﺣﻘق أن ‪.MH2 = d2 + d'2‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺤﺎدي ﻋﺸﺮ‬
‫ﻧﻌﺗﺑر اﻟﻣآﻌب ‪ ABCDEFGH‬طول ﺿﻠﻌﻪ ‪ a) a‬ﻋدد ﺣﻘﻳﻘﻲ ﻣوﺟب ﺗﻣﺎﻣﺎ(‪.‬‬
‫‪www. Arouj.ahalmontada.com‬‬

‫ﻣﻨﺘﺪى اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﻟﻸﺳﺘﺎذ ﻟﻌﺮاﺟﻲ ﻟﻌﺮج‬

‫‪4‬‬
‫ﻟﻳآن ‪ I‬ﻧﻘطﺔ ﺗﻘﺎطﻊ اﻟﻣﺳﺗﻘﻳم )‪ (EC‬و اﻟﻣﺳﺗوي )‪.(AFH‬‬
‫‪ .1‬أﺣﺳب ﺑدﻻﻟﺔ ‪ a‬اﻟﺟداءات اﻟﺳﻠﻣﻳﺔ اﻟﺗﺎﻟﻳﺔ‪:‬‬

‫‪H‬‬

‫‪G‬‬

‫→⎯ →⎯ →⎯ →⎯ →⎯ →⎯‬

‫‪EA . AF , AB . AF , BC . AF‬‬

‫‪E‬‬

‫‪F‬‬

‫→⎯ →⎯‬

‫‪ .2‬أﺳﺗﻧﺗﺞ أن ‪ AB‬و ‪ AH‬ﻣﺗﻌﺎﻣدﻳن‪.‬‬
‫→⎯ →⎯‬

‫‪ .3‬ﻧﻘﺑﻞ أﻳﺿﺎ أن اﻟﺷﻌﺎﻋﻳن ‪ EC‬و ‪ AH‬ﻣﺗﻌﺎﻣدﻳن‪.‬اﺳﺗﻧﺗﺞ أن اﻟﻧﻘطﺔ ‪I‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫هﻲ اﻻﺳﻘﺎط اﻟﻌﻣودي ﻟﻠﻧﻘطﺔ ‪ E‬ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺳﺗوي )‪.(AFH‬‬

‫‪B‬‬

‫‪ .4‬أ( ﺑﻳن أن اﻟﻣﺳﺗﻘﻳﻣﻳن )‪ (AF‬و )‪ (EH‬ﻣﺗﻌﺎﻣدﻳن و آذﻟك اﻟﻣﺳﺗﻘﻳﻣﻳن‬

‫‪A‬‬

‫)‪ (AF‬و )‪(EI‬‬
‫ب ( اﺳﺗﻧﺗﺞ أن اﻟﻣﺳﺗﻘﻳم )‪ (AF‬ﻋﻣودي ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺳﺗﻘﻳم )‪.(HI‬‬
‫ﺟـ( اﺳﺗﻧﺗﺞ أن اﻟﻣﺳﺗﻘﻳم )‪ (AH‬ﻋﻣودي ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺳﺗﻘﻳم ) ‪.( FI‬‬
‫‪ .5‬ﻣﺎذا ﺗﻣﺛﻞ اﻟﻧﻘطﺔ ‪ I‬ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ إﻟﻰ اﻟﻣﺛﻠث ‪AFH.‬؟‬

‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ ﻋﺸﺮ‬

‫ﻧﻌﺗﺑر اﻟﻣآﻌب ‪ ABCDEFGH‬طول ﺿﻠﻌﻪ ‪1‬‬
‫→ → →‬

‫→⎯ →‬

‫→⎯ →‬

‫→⎯‬

‫→‬

‫‪H‬‬

‫‪G‬‬

‫ﻧﺧﺗﺎر اﻟﻣﻌﻠم اﻟﻣﺗﻌﺎﻣد اﻟﻣﺗﺟﺎﻧس ) ‪.(A , i , j , k‬ﺣﻳث ‪ j = AD ، i = AB‬و ‪. k = AE‬‬
‫اﻟﻧﻘط ‪ I , J , K , L , M , N‬ﻣﻧﺗﺻﻔﺎت اﻟﻘطﻊ اﻟﻣﺳﺗﻘﻳﻣﺔ‬

‫‪E‬‬

‫‪F‬‬

‫]‪ [ EF ] ، [HE ] ، [ DH] ، [ CD] ، [BC‬و ] ‪ [ FB‬ﻋﻠﻰ اﻟﺗرﺗﻳب‪.‬‬
‫‪ .1‬ﻋﻳن اﺣداﺛﻳﺎت اﻟﻧﻘط ‪ K , I‬و ‪.M‬‬
‫‪ .2‬ﺑﻳن أن اﻟﻧﻘط ‪ I , J , K , L , M , N‬ﺗﻧﺗﻣﻲ أﻟﻰ ﻧﻔس اﻟﻣﺳﺗوي ‪ P‬ﻳطﻠب ﺗﻌﻳﻳن ﻣﻌﺎدﻟﺗﻪ‪.‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫→⎯‬

‫‪B‬‬

‫‪ .3‬ﺑﻳن أن اﻟﺷﻌﺎع ‪ AG‬ﻧﺎظﻣﻳﺎ ﻟﻠﻣﺳﺗو ‪.P‬‬

‫‪ .4‬ﺑﻳن أن اﻻﺳﻘﺎطﺎت اﻟﻌﻣودﻳﺔ ﻟﻠﻧﻘط ‪ I , J , K , L , M , N‬ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺳﺗﻘﻳم )‪ (AG‬ﺗﻧطﺑق ﻋﻠﻰ ﻧﻔس اﻟﻧﻘطﺔ و ﻟﺗآن ‪.T‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ ﻋﺸﺮ‬

‫→ → →‬

‫اﻟﻔﺿﺎء ﻣﻧﺳوب إﻟﻰ ﻣﻌﻠم ﻣﺗﻌﺎﻣد و ﻣﺗﺟﺎﻧس ) ‪ ( O , i , j , k‬ﻧﻌﺗﺑر اﻟﻧﻘط ‪ D ، C ، B ، A‬ﺣﻳث‬
‫)‪A ( − 1 ; 0 ; 2), B(3 ; 2 ; − 4), C (1 ; − 4 ; 2), D ( 5 ; − 2 ; 4‬‬

‫‪uur 1 uuur‬‬
‫ﻧﻌﺗﺑر اﻟﻧﻘطﺗﻳن ‪ J ,I‬ﻣﻧﺗﺻﻔﻲ اﻟﻘطﻌﺗﻳن اﻟﻣﺳﺗﻘﻳﻣﺗﻳن ]‪ [CD ] ، [AB‬و اﻟﻧﻘطﺔ ‪ K‬ﺣﻳث ‪BJ = BC :‬‬
‫‪4‬‬
‫ﻋﻳن اﺣداﺛﻳﺎت اﻟﻧﻘط‪. J, K , I .‬‬
‫ﺑﻳن أن اﻟﻧﻘط ‪ K,J,I‬ﻟﻳﺳت ﻋﻠﻰ اﺳﺗﻘﺎﻣﺔ واﺣدة‪.‬‬
‫أوﺟد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳآﺎرﺗﻳﺔ ﻟﻠﻣﺳﺗوي )‪.(IJK‬‬
‫أوﺟد ﺗﻣﺛﻳﻼ وﺳﻳطﻳﺎ ﻟﻠﻣﺳﺗﻘﻳم )‪.(AD‬ﺛم ﺑﻳن أﻧﻪ ﻳﻘطﻊ اﻟﻣﺳﺗوي )‪ (IJK‬ﻓﻲ ﻧﻘطﺔ ‪ L‬ﻳطﻠب ﺗﻌﻳﻳن إﺣداﺛﻳﺎﺗﻬﺎ‪.‬‬

‫‪uuur‬‬
‫‪uuuur‬‬
‫ﻋﻳن اﻟﻌدد اﻟﺣﻘﻳﻘﻲ ‪ k‬ﺑﺣﻳث ‪AL = k AD‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺮاﺑﻊ ﻋﺸﺮ‬
‫‪www. Arouj.ahalmontada.com‬‬

‫ﻣﻨﺘﺪى اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﻟﻸﺳﺘﺎذ ﻟﻌﺮاﺟﻲ ﻟﻌﺮج‬

‫‪A‬‬

‫‪5‬‬

‫→ → →‬
‫اﻟﻔﺿﺎء ﻣﻧﺳوب إﻟﻰ ﻣﻌﻠم ﻣﺗﻌﺎﻣد و ﻣﺗﺟﺎﻧس ) ‪( A , i , j , k‬‬

‫ﻧﻌﺗﺑر ﻣﺗوازي اﻟﻣﺳﺗطﻳﻼت ‪ ABCDEFGH‬اﻟﻣﻌرف ﺑﻣﺎ ﻳﻠﻲ‪:‬‬

‫→⎯‬
‫→⎯ →‬
‫→⎯ →‬
‫→‬
‫‪ AD = 6 j ، AB = 2 i‬و ‪ J ، I . AE = 4 k‬و ‪ K‬اﻟﻣﻧﺗﺻﻔﺎت ﻋﻠﻰ اﻟﺗرﺗﻳب ﻟﻠﻘطﻊ ]‪ [FB] ، [EF‬و ] ‪.[AD‬‬
‫‪ .1‬ﺣدد ﻋﻠﻰ اﻟﺷآﻞ اﻟﻣﻠﺣق اﻟﻧﻘط ‪ J ،I‬و ‪.K‬أﻋط إﺣداﺛﻳﺎت اﻟﻧﻘط ‪ D ،B‬و ‪ E‬ﺛم ﺗﺣﻘق أن إﺣداﺛﻳﺎت اﻟﻧﻘط ‪ J ،I‬و ‪ K‬ﻋﻠﻰ اﻟﺗرﺗﻳب‬

‫هﻲ‪ (2;0;2) ; ( 1;0;4):‬و )‪. (0;3;0‬‬
‫‪ .2‬ﻟﻳآن )‪ (P1‬اﻟﻣﺳﺗوي ذو اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ ‪ y = 0‬و )‪ (P2‬اﻟﻣﺳﺗوي ذو اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ ‪.2 x + z = 0‬‬
‫أ‪-‬‬

‫→‬

‫→‬

‫أﻋط اﻟﺷﻌﺎع ‪ n 1‬ﻧﺎطﻣﻲ ﻟﻠﻣﺳﺗوي )‪ (P1‬و ‪ n 2‬ﻧﺎطﻣﻲ ﻟﻠﻣﺳﺗوي )‪.(P2‬‬

‫ب‪ -‬اﺳﺗﻧﺗﺞ أن )‪ (P1‬و )‪ (P2‬ﻣﺗﻘﺎطﻌﻳن‪.‬‬
‫ج‪ -‬ﻟﻳآن )∆ ( ﺗﻘﺎطﻊ اﻟﻣﺳﺗوﻳﻳن )‪ (P1‬و )‪ (P2‬ﺑﻳن أن ) ∆( = )‪.(I J‬‬

‫→‬

‫‪ .3‬ﻟﻳآن اﻟﺷﻌﺎع )‪n (2;2;1‬‬
‫أ‪-‬‬

‫→⎯ →⎯‬
‫→‬
‫ﺑﻳن أن اﻟﺷﻌﺎع ‪ n‬ﻋﻣودي ﻋﻠﻰ آﻞ ﻣن ‪ IJ‬و ‪. IK‬‬

‫→‬

‫ب‪ -‬أﺳﺗﻧﺗﺞ أن اﻟﺷﻌﺎع ‪ n‬ﻧﺎظﻣﻲ ﻟﻠﻣﺳﺗوي )‪(IJK‬‬
‫ج‪ -‬ﺑﻳن أن ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻣﺳﺗوي )‪ (IJK‬هﻲ ‪2x + 2y + z = 6‬‬
‫‪ .4‬ﻧﻌﺗﺑر اﻟﻣﺳﺗوي )‪ (P3‬ذو اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟدﻳآﺎرﺗﻳﺔ ‪.5 x + y = 5 :‬‬
‫أ‪-‬‬

‫ﻋﻳن إﺣداﺛﻳﺎت اﻟﻧﻘطﺗﻳن ‪ R‬و ‪ T‬ﺗﻘﺎطﻊ اﻟﻣﺳﺗوي ﻣﻊ اﻟﻣﺣورﻳن )‪ (Ax‬و )‪ (Ay‬ﻋﻠﻰ اﻟﺗرﺗﻳب‪.‬‬

‫ب‪ -‬ﺗﺣﻘق أن اﻟﻧﻘطﺔ ‪ I‬ﺗﻧﺗﻣﻲ إﻟﻰ اﻟﻣﺳﺗوي )‪. (P3‬‬
‫ج‪ -‬ﻋﻠﻰ اﻟﺷآﻞ اﻟﻣرﻓق ﻋﻠم اﻟﻧﻘط ‪ R‬و ‪ T‬ﺗم أرﺳم اﻟﻣﺳﺗوي )‪. (P3‬‬

‫‪www. Arouj.ahalmontada.com‬‬

‫ﻣﻨﺘﺪى اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﻟﻸﺳﺘﺎذ ﻟﻌﺮاﺟﻲ ﻟﻌﺮج‬

‫‪6‬‬

‫اﻟﺗﻣرﻳن اﻟﺧﺎﻣس ﻋﺷر‬

‫→ → →‬
‫اﻟﻔﺿﺎء ﻣﻧﺳوب إﻟﻰ ﻣﻌﻠم ﻣﺗﻌﺎﻣد و ﻣﺗﺟﺎﻧس ) ‪ ( O , i , j , k‬ﻧﻌﺗﺑر اﻟﻧﻘط ‪ ، C ، B ، A‬ﺣﻳث‪:‬‬
‫)‪. A( −1 ; 2 ; 1), B(1 ; − 6 ; − 1), C(2 ; 2 ; 2‬‬
‫⎞ ‪⎛1‬‬
‫⎟ ‪→ ⎜1‬‬
‫‪ .1‬ﺑﻳن أن ‪ C , B , A‬ﻟﻳﺳت ﻋﻠﻰ إﺳﺗﻘﺎﻣﺔ واﺣدة‪.‬و اﻟﺷﻌﺎع ⎟ ⎜‬
‫‪ n‬ﻧﺎظﻣﻲ ﻟﻠﻣﺳﺗوي )‪.(ABC‬‬
‫⎟‪⎜ − 3‬‬
‫⎠ ⎝‬
‫‪ .2‬أﻋط ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳآﺎرﺗﻳﺔ ﻟﻠﻣﺳﺗوي )‪.(ABC‬‬
‫‪ .3‬ﻋﻳن ﺗﻣﺛﻳﻼ وﺳﻳطﻳﺎ ﻟﻠﻣﺳﺗﻘﻳم )∆( اﻟﻌﻣودي ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺳﺗوي )‪ (ABC‬و اﻟﻣﺎر ﺑﺎﻟﻧﻘطﺔ )‪. D (0 ; 1 ; −1‬‬
‫‪ .4‬ﻋﻳن إﺣداﺛﻳﺎت اﻟﻧﻘطﺔ ‪ H‬ﺗﻘﺎطﻊ اﻟﻣﺳﺗﻘﻳم )∆( و اﻟﻣﺳﺗوي )‪.(ABC‬ﻣﺎ هﻲ اﻟﻣﺳﺎﻓﺔ ﺑﻳن ‪ D‬و اﻟﻣﺳﺗوي )‪.(ABC‬‬
‫→⎯‬

‫→⎯‬

‫‪ .5‬ﻟﺗآن ‪ M‬ﻧﻘطﺔ آﻳﻔﻳﺔ ﻣن اﻟﻣﺳﺗﻘﻳم )‪ (DC‬ﻟﻠوﺳﻳط اﻟﺣﻘﻳﻘﻲ ‪ t‬ﺣﻳث ) ‪ ; (DM= t DC‬ﺗﺣﻘق أن اﻟﻣﺳﺎﻓﺔ ‪ AM‬ﺗﺄﺧذ أﺻﻐر ﻗﻳﻣﺔ‬
‫‪5‬‬
‫– = ‪. t‬أﺳﺗﻧﺗﺞ إﺣداﺛﻳﺎت اﻟﻧﻘطﺔ ‪ Q‬اﻻﺳﻘﺎط اﻟﻌﻣودي ﻟﻠﻧﻘطﺔ ‪ A‬ﻋﻠﻰ )‪.(DC‬‬
‫ﻣﻣآﻧﺔ ﻣن أﺟﻞ‬
‫‪14‬‬

‫اﻟﺗﻣرﻳن اﻟﺳﺎدس ﻋﺷر‬
‫→ → →‬
‫اﻟﻔﺿﺎء ﻣﻧﺳوب إﻟﻰ ﻣﻌﻠم ﻣﺗﻌﺎﻣد و ﻣﺗﺟﺎﻧس ) ‪ ( O , i , j , k‬ﻧﻌﺗﺑر اﻟﻧﻘط ﻧﻌﺗﺑر ﻣﺗوازي اﻟﻣﺳﺗطﻳﻼت ‪ ABCDOFGH‬اﻟﻣﻌرف ﺑـ‪:‬‬
‫→‬

‫→⎯ →‬

‫→⎯ →‬

‫→⎯‬

‫‪OH =3 i ; OF = 4 j ; OA = 3 k‬‬
‫ﻟﻳآن ‪ L‬ﻣﻧﺗﺻف اﻟﻘطﻌﺔ ]‪. [CG‬‬
‫‪ .1‬ﻧﻌﺗﺑر )‪ (P‬ﻣﺟﻣوﻋﺔ اﻟﻧﻘط ذات اﻹﺣداﺛﻳﺎت ‪ z ; y ; x‬و اﻟﺗﻲ ﺗﺣﻘق‬
‫اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ ‪ 4x – 3y + 8z – 12 = 0 :‬أي ﻣن ﺑﻳن اﻟﻧﻘط‬
‫‪ A;B;O;G;H;L‬ﺗﻧﺗﻣﻲ إﻟﻰ )‪.(P‬‬
‫‪ .2‬اﺳﺗﻧﺗﺞ أن اﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ )‪ (P‬هﻲ اﻟﻣﺳﺗوي )‪.(BLH‬‬
‫→‬

‫‪ .3‬أﻋط اﻟﻣرآﺑﺎت اﻟﺳﻠﻣﻳﺔ ﻟﻠﺷﻌﺎع ‪ n‬اﻟﻧﺎظﻣﻲ ﻟﻠﻣﺳﺗوي )‪.(P‬‬
‫→‬

‫‪ .4‬ﻟﻳآن )∆ ( اﻟﻣﺳﺗﻘﻳم اﻟﻣﺎر ﺑﺎﻟﻧﻘطﺔ ‪ A‬و ﺷﻌﺎع ﺗوﺟﻳﻬﻪ ‪. n‬‬
‫→⎯ →⎯‬

‫→⎯‬

‫ﺑﻳن أن )∆ ( هو ﻣﺟﻣوﻋﺔ اﻟﻧﻘط ‪ M‬ﺣﻳث ‪ AM. LH = 0 A‬و ‪AM.‬‬
‫→⎯‬

‫‪ BL = 0‬ﺛم اﺳﺗﻧﺗﺞ ﺗﻣﺛﻳﻼ وﺳﻳطﻳﺎ ﻟﻠﻣﺳﺗﻘﻳم )∆ (‬
‫⎞ ‪⎛ − 48 36 171‬‬
‫⎜ ﺗﻧﺗﻣﻲ إﻟﻰ )∆ ( و )‪.(P‬‬
‫; ;‬
‫‪ .5‬ﺑﻳن أن اﻟﻧﻘطﺔ ذات اﻹﺣداﺛﻳﺎت ⎟‬
‫⎠ ‪⎝ 89 89 89‬‬

‫‪www. Arouj.ahalmontada.com‬‬

‫ﻣﻨﺘﺪى اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﻟﻸﺳﺘﺎذ ﻟﻌﺮاﺟﻲ ﻟﻌﺮج‬


Documents similaires


Fichier PDF devoirs de revision mathematique2 eme sciences
Fichier PDF 1 pdf
Fichier PDF p0dk2tx
Fichier PDF chartef24 7nov 2013 1
Fichier PDF ex esp
Fichier PDF tseba2016


Sur le même sujet..