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ratt 2007 .pdf


Nom original: ratt 2007.pdf
Auteur: Staycare Mngmt

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‫ا ‪ 45‬‬
‫‪1‬‬

‫ا آ ا
ت‬

‫‪2‬‬

‫‪C :RS22‬‬

‫ا ن ا
ا آ ر ‬
‫) ا ورة ا راآ ‪(2007‬‬

‫ا دة‪ :‬ا ' ت‬

‫ ة ا * ز ‪:‬‬

‫ا ' ع‬

‫ا ‪: + ,‬‬
‫ا ‪) -,.‬ة( ‪ :‬ا ‪ ,‬م ا * ا‪ + 01‬ا ‪ ,‬م ا * ‪ +‬ا ‪ ,‬م ا را‪ 3‬‬

‫) > = ‪ , 8‬ل ا; ا ‪ :‬ا ‪( * 8 9‬‬
‫ا ? ا‪1‬ول ) ‪ 3,5‬ن (‬
‫ ‬
‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﻓﻲ ﺍﻝﻔﻀﺎﺀ ﺍﻝﻤﻨﺴﻭﺏ ﺍﻝﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﻤﻨﻅﻡ ) ‪ (o, i , j , k‬ﺍﻝﻨﻘﻁ )‪ A(2, 0, −1‬ﻭ )‪B (2, 4, 2‬‬

‫ﻭ )‪ C (3,3, 3‬ﻭ ﺍﻝﻔﻠﻜﺔ ) ‪ ( S‬ﺍﻝﺘﻲ ﻤﻌﺎﺩﻝﺘﻬﺎ ﺍﻝﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻫﻲ ‪x 2 + y 2 + z 2 − 4 x − 4 y − 8 z + 20 = 0 :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0,75‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0,25‬‬
‫‪0,5‬‬

‫‪ ( 1‬ﺒﻴﻥ ﺍﻥ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻝﻔﻠﻜﺔ )‪ (S‬ﻫﻲ ﺍﻝﻨﻘﻁﺔ ) ‪ Ω ( 2, 2, 4‬ﻭﺃﻥ ﺸﻌﺎﻋﻬﺎ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪2‬‬

‫‪ ( 2‬ﻝﻴﻜﻥ )‪ ( P‬ﺍﻝﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻝﻤﺎﺭ ﻤﻥ ﺍﻝﻨﻘﻁﺔ ‪ A‬ﻭ ﺍﻝﻌﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻝﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ) ‪. ( BC‬‬
‫ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﻤﻌﺎﺩﻝﺔ ﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻝﻠﻤﺴﺘﻭﻯ ) ‪ ( P‬ﻫﻲ ‪x − y + z − 1 = 0 :‬‬
‫‪ ( 3‬ﺃ – ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻝﻤﺴﺘﻭﻯ ) ‪ ( P‬ﻴﻘﻁﻊ ﺍﻝﻔﻠﻜﺔ ) ‪ ( S‬ﻭﻓﻕ ﺩﺍﺌﺭﺓ )‪ (Γ‬ﺸﻌﺎﻋﻬﺎ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪. 1‬‬
‫ﺏ – ﺤﺩﺩ ﺘﻤﺜﻴﻼ ﺒﺎﺭﺍﻤﺘﺭﻴﺎ ﻝﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )∆( ﺍﻝﻤﺎﺭ ﻤﻥ ‪ Ω‬ﻭ ﺍﻝﻌﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ) ‪. ( P‬‬
‫ﺝ‪ -‬ﺤﺩﺩ ﻤﺜﻠﻭﺙ ﺍﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻝﻨﻘﻁﺔ ‪ ω‬ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻝﺩﺍﺌﺭﺓ )‪. (Γ‬‬

‫ا ? ا @
) ‪ 2,5‬ن (‬

‫‪0,75‬‬
‫‪0,75‬‬
‫‪1‬‬

‫ﻴﺤﺘﻭﻱ ﻜﻴﺱ ﻋﻠﻰ ﺜﻼﺙ ﺒﻴﺩﻗﺎﺕ ﺒﻴﻀﺎﺀ ﻭ ﺃﺭﺒﻊ ﺒﻴﺩﻗﺎﺕ ﺴﻭﺩﺍﺀ ) ﻻ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻝﺘﻤﻴﻴﺯ ﺒﻴﻥ ﺍﻝﺒﻴﺩ ﻗﺎﺕ ﺒﺎﻝﻠﻤﺱ(‪.‬‬
‫ﻨﺴﺤﺏ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺎ ﻭﻓﻲ ﺁﻥ ﻭﺍﺤﺩ ﺜﻼﺙ ﺒﻴﺩ ﻗﺎﺕ ﻤﻥ ﺍﻝﻜﻴﺱ ‪.‬‬
‫‪ ( 1‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻝﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺒﻴﺩﻗﺘﻴﻥ ﺒﺎﻝﻀﺒﻁ ﻝﻭﻨﻬﻤﺄﺒﻴﺽ ؟‬
‫‪ ( 2‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻝﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺜﻼﺙ ﺒﻴﺩﻗﺎﺕ ﻤﻥ ﻨﻔﺱ ﺍﻝﻠﻭﻥ ؟‬
‫‪ ( 3‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻝﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺒﻴﺩﻗﺔ ﺒﻴﻀﺎﺀ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ؟‬

‫ا ? ا @ ‪ 3 ) A‬ن (‬

‫‪1‬‬
‫‪0,5‬‬
‫‪0,5‬‬
‫‪1‬‬

‫‪1‬‬
‫ﻝﺘﻜﻥ ) ‪ (un‬ﺍﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ﺍﻝﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪ u0 = 2 :‬ﻭ )‪ un +1 = (un − 4n − 1‬ﻝﻜل ‪ n‬ﻤﻥ ‪. ℕ‬‬
‫‪5‬‬
‫ﻨﻀﻊ ‪ vn = un + n − 1‬ﻝﻜل ‪ n‬ﻤﻥ ‪. ℕ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ( 1‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ) ‪ (vn‬ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ ( 2‬ﺃ – ﺍﺤﺴﺏ ‪ vn‬ﺒﺩﻻﻝﺔ ‪. n‬‬

‫ﺏ‪ -‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ‪ un‬ﺒﺩﻻﻝﺔ ‪ n‬ﺜﻡ ﺍﺤﺴﺏ ‪. lim un‬‬
‫∞‪x →+‬‬

‫‪ ( 3‬ﻨﻀﻊ ‪ Tn = v0 + v1 + .............. + vn‬ﻭ ‪ S n = u0 + u1 + ............. + un‬ﺤﻴﺙ ‪ n‬ﻋﻨﺼﺭ ﻤﻥ ‪. ℕ‬‬
‫)‪(n + 1)(n − 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪ Tn =  5 − n  :‬ﻭ ﺃﻥ‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5 ‬‬

‫‪ S n = Tn −‬ﻝﻜل ‪ n‬ﻤﻥ ‪. ℕ‬‬

‫‪Prof : MISSOURI mohamed‬‬

‫‪3‬‬
‫‪7‬‬

‫ا ‪ 45‬‬

‫ا دة ‪:‬‬
‫ا ‪)-,.‬ة(‬

‫ا ن ا
ا آ ر ‬
‫) ا ورةا راآ ‪(2007‬‬
‫ا ' ع‬

‫ا ' ت‬
‫ا ‪ ,‬م ا * ا‪ + 01‬ا ‪ ,‬م‬
‫ا * ‪ +‬ا ‪ ,‬م ا را‪ 3‬‬

‫‪2‬‬
‫‪2‬‬

‫‪C :RS22‬‬

‫ﺍﻝﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻝﺭﺍﺒﻊ )‪ 3‬ﻥ (‬
‫‪0,25‬‬

‫‪ (1‬ﺘﺤﻘﻕ ﻤﻥ ﺃﻥ ‪. ( 2 + 2i ) = −2 + 4 2i :‬‬

‫‪0,75‬‬

‫‪ (2‬ﺤل ﻓﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻝﻌﻘﺩﻴﺔ ‪ ℂ‬ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻝﺔ ‪z 2 − ( 2 + 2) z + 2 + 2 − 2i = 0 :‬‬

‫‪0,5‬‬

‫‪ (3‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻝﻌﺩﺩﻴﻥ ﺍﻝﻌﻘﺩﻴﻴﻥ ‪ z1 = 1 − i‬ﻭ ‪. z2 = 1 + 2 + i‬‬
‫ﺃ – ﺤﺩﺩ ﺍﻝﺸﻜل ﺍﻝﻤﺜﻠﺜﻲ ﻝﻠﻌﺩﺩ ﺍﻝﻌﻘﺩﻱ ‪. z1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫ﺏ – ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪ z2 ) z1.z2 = 2 z2 :‬ﻫﻭ ﻤﺭﺍﻓﻕ ﺍﻝﻌﺩﺩ ‪. ( z2‬‬

‫‪0,5‬‬

‫ﺝ – ﺤﺩﺩ ﻋﻤﺩﺓ ﻝﻠﻌﺩﺩ ‪. z2‬‬

‫ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ‪arg( z1 ) + 2 arg( z2 ) ≡ 0 [ 2π ] :‬‬

‫ﻤﺴﺄﻝﺔ ) ‪ 8‬ﻥ(‬
‫‪1‬‬
‫ﻝﺘﻜﻥ ‪ g‬ﺍﻝﺩﺍﻝﺔ ﺍﻝﻌﺩﺩﻴﺔ ﺍﻝﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ [∞‪ ]0, +‬ﺒﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪− 2 ln x :‬‬
‫‪(I‬‬
‫‪x‬‬
‫‪( x − 1) 2‬‬
‫= )‪ g '( x‬ﻝﻜل ‪ x‬ﻤﻥ [∞‪ ]0, +‬ﺜﻡ ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﻨﺤﻰ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻝﺩﺍﻝﺔ ‪ g‬ﻋﻠﻰ [∞‪. ]0, +‬‬
‫‪ (1‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ‬
‫‪x2‬‬
‫‪ (2‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪ g ( x) ≤ 0‬ﻝﻜل ‪ x‬ﻤﻥ ]‪ ]0,1‬ﻭ ﺃﻥ ‪ g ( x) ≥ 0‬ﻝﻜل ‪ x‬ﻤﻥ [∞‪ ) [1, +‬ﻻﺤﻅ ﺃﻥ ‪. ( g (1) = 0‬‬

‫‪. g ( x) = x −‬‬

‫‪1‬‬
‫‪0,5‬‬

‫‪1‬‬
‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻝﺩﺍﻝﺔ ﺍﻝﻌﺩﺩﻴﺔ ‪ f‬ﺍﻝﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ [∞‪ ]0, +‬ﺒﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪− (ln x) 2 − 2 :‬‬
‫‪(II‬‬
‫‪x‬‬
‫ ‬
‫ﻝﻴﻜﻥ ) ‪ (C‬ﺍﻝﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻝﻤﻤﺜل ﻝﻠﺩﺍﻝﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﻤﻨﻅﻡ ) ‪. (o, i , j‬‬
‫‪0,75‬‬
‫‪0,25‬‬
‫‪0,5‬‬
‫‪10,5‬‬
‫‪1,5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0,5‬‬

‫‪(ln x ) 2‬‬
‫‪ (1‬ﺃ – ﺒﻴﻥ ﺃﻥ‬
‫∞‪x →+‬‬
‫‪x‬‬

‫‪. f ( x) = x +‬‬

‫‪ ) lim‬ﻴﻤﻜﻥ ﻭﻀﻊ ‪ ( t = x‬ﺜﻡ ﺍﺤﺴﺏ )‪. lim f ( x‬‬
‫∞‪x →+‬‬

‫‪1‬‬
‫ﺏ – ﺘﺤﻘﻕ ﻤﻥ ﺃﻥ ‪ f ( ) = f ( x) :‬ﻝﻜل ‪ x‬ﻤﻥ [∞‪. ]0, +‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫ﺝ – ﺍﺤﺴﺏ ) ‪ ) lim f ( x‬ﻴﻤﻜﻥ ﻭﻀﻊ = ‪ ( t‬ﺜﻡ ﺃﻭل ﺍﻝﻨﺘﻴﺠﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺎ ‪.‬‬
‫‪x →0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x ≻0‬‬

‫ﺩ – ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ) ‪ (C‬ﻴﻘﺒل ﻓﺭﻋﺎ ﺸﻠﺠﻤﻴﺎ ﺍﺘﺠﺎﻫﻪ ﺍﻝﻤﻘﺎﺭﺏ ﻫﻭ ﺍﻝﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻝﺫﻱ ﻤﻌﺎﺩﻝﺘﻪ ﻫﻲ ‪. y = x :‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫= )‪ f '( x‬ﻝﻜل ‪ x‬ﻤﻥ [∞‪ ، ]0, +‬ﺜﻡ ﻀﻊ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻝﺩﺍﻝﺔ ‪. f‬‬
‫‪ (2‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫ ‬
‫‪ (3‬ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻝﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C‬ﻓﻲ ﺍﻝﻤﻌﻠﻡ ) ‪. (o, i , j‬‬

‫‪ (4‬ﺃ ‪ -‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻝﺩﺍﻝﺔ ‪ G : x ln x − x‬ﺩﺍﻝﺔ ﺃﺼﻠﻴﺔ ﻝﻠﺩﺍﻝﺔ ‪ g : x → ln x‬ﻋﻠﻰ [∞‪. ]0, +‬‬
‫‪e‬‬

‫‪0,75‬‬
‫‪0,75‬‬

‫ﺏ‪ -‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﻤﻜﺎﻤﻠﺔ ﺒﺎﻷﺠﺯﺍﺀ ‪ ،‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪. ∫ (ln x) 2 dx = e − 2 :‬‬
‫‪1‬‬

‫ﺝ – ﺤﺩﺩ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺤﻴﺯ ﺍﻝﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻝﻤﺤﺼﻭﺭ ) ‪ (C‬ﻭ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻷﻓﺎﺼﻴل ﻭ ﺍﻝﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻥ‬
‫ﺍﻝﻠﺫﻴﻥ ﻤﻌﺎﺩﻝﺘﺎﻫﻤﺎ ‪ x = 1 :‬ﻭ ‪. x = e‬‬


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