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Travail d’Étude et de Recherche - Master 1
Séries de Dirichlet

Belaha LARDJA et Rémi CHEVAL
encadré par Mr Jean-François JAULENT

Jeudi 16 mai 2013

Table des matières
Introduction

2

1 Propriétés formelles des séries de Dirichlet
1.1 L’algèbre des séries de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Séries de Dirichlet multiplicatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Étude formelle de quelques séries de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3
3
5
7

2 Propriétés analytiques des séries de Dirichlet
13
2.1 Résultats d’analyse complexe utilisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Abscisse de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Étude analytique de la fonction zêta de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Théorème des nombres premiers
3.1 Étude de la fonction Ψ . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Étude de la fonction φ . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Liens entre les deux fonctions et conséquences
3.4 Preuve du théorème et d’un corollaire . . . . .

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26
27
29
32
37

4 Théorème de la progression arithmétique
41
4.1 Caractères de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2 Non nullité de L(1, χ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3 Preuve du théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Conclusion

52

Bibligraphie

52

1

Introduction
Les Séries de Dirichlet ont été introduites en 1837 par le mathématicien allemand Johann
Peter Gustav Lejeune Dirichlet. Au vue de la définition, nous avons l’impression
d’avoir affaire à une notion de l’analyse complexe or ils ont été initialement introduite
pour démontrer un résultat de la théorie des nombres : le théorème de la progression
arithmétique.
Nous avons donc voulu durant ce Travail d’Étude et de Recherche dans le même état
d’esprit : être à la frontière entre plusieurs domaines des mathématiques et étudier notre notion d’un point de vue analytique mais également d’un point de vue formel.
Durant les deux premiers chapitres, nous avons voulu démontrer correctement toutes les
propriétés formelles et analytiques des séries de Dirichlet mais également de nombreuses fonctions utilisées dans la théorie des nombres. Pour cela, nous avons utiliser le cours
"Séries de Dirichlet", Chapitre III, écrit par notre tuteur Jean-François JAULENT.
D’un côté, cela nous a permis de démontrer beaucoup de résultats classiques sur les
fonctions de Möbius, d’Euler, de Riemann ... et d’un autre côté, pour étudier les propriétés
analytiques, nous avons du faire appelle à nos connaissances sur les méthodes de prolongement holomorphe des fonctions de la variable complexe : Théorème de Weierstrass, Lemme
de Newman et Convergence de produits infinis.
Durant ce travail, notre objectif final était de s’attaquer à deux résultats très importants
qui utilisent les séries de Dirichlet : le Théorème des nombres premiers ainsi que le
Théorème de la progression arithmétique. Pour réussir à faire les grandes majorités
des preuves, il nous a fallu faire beaucoup de recherches pour rassembler plusieurs sources
et ainsi mieux comprendre les raisonnements.
Nous tenions à remercier Mr Jean-François JAULENT pour nous avoir accompagné
durant nos recherches.
Notations :



P ∶=
Ωx ∶=

ensemble des nombres premiers
{ z ∈ C ∣ Re(z) > x },
avec

2

x∈R

Chapitre 1
Propriétés formelles des séries de
Dirichlet
Sommaire
1.1
1.2

L’algèbre des séries de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Séries de Dirichlet multiplicatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2.1 Différents types de fonctions multiplicatives . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Différents types de séries de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Étude formelle de quelques séries de Dirichlet . . . . . . . . . . . .
7
1.3.1 La fonction ζ (zéta) de Riemann et la fonction µ de Möbius . . . . . 7
1.3.2 La série Φ(X) et la fonction ϕ(X) indicatrices d’Euler . . . . . . . . 10
1.3.3 La codérivée logarithmique de la fonction ζ de Riemann . . . . . . . 12

1.1

L’algèbre des séries de Dirichlet

De la même manière que l’ensemble des polynômes ou l’ensemble des séries entières, nous
allons commencer par étudier les séries de Dirichlet comme un objet formel et non comme une
fonction analytique. Commençons par définir le fonction des lois de composition de l’algèbre
des séries de Dirichlet.
À une suite (an )n∈N∗ d’éléments d’un corps commutatif K, on associe la série de Dirichlet
suivante :
f (X)

=

∑ an n−X

n∈N∗

3

Définition 1.1 ( DirK [[X]] - Algèbre des séries de Dirichlet). Sur un corps commutatif
K, nous allons équiper l’K-espace vectoriel des suites (an )n∈N∗ d’éléments de K du produit
de Dirichlet défini par :
(an )n∈N∗



avec ∀n ∈ N∗ ,

(bn )n∈N∗
=

cn

=

(cn )n∈N∗

∑ ap ∗ b q

p∗q=n

On peut considérer les éléments n−X avec n ∈ N∗ pour former une base dénombrable de
notre algèbre. À chaque élément n−X corresponds la suite (δkn )k∈N∗ utilisant le symbole de
Kronecker. Ainsi en utilisant cette idée de base, le produit de Dirichlet se résume par :




n−X ∗ m−X = (nm)−X
(n−X )k = (nk )−X
Élément neutre : 1 = 1−X

Proposition 1.1 (Décomposition en facteurs premiers). ∀n ∈ N,
tel que :
k

n=

∏ (pi )µi



∃!µ1 , µ2 , ..., µk ∈ N

pi ∈ P

i=1

En utilisant cette décomposition, nous obtenons le théorème suivant :
Théorème 1.2 ( K-isomorphisme avec les séries à une infinité d’indéterminées ).
Toutes séries de Dirichlet se réécrivent de la manière suivante :
f (X) =



an

n∈N∗

=



µ
µ
µ
p1 1 ∗p2 2 ∗...∗pk k

n−X

µ1 ∗ (p−X )µ2 ∗ ... ∗ (p−X )µk
apµ1 ∗pµ2 ∗...∗pµk (p−X
1 )
2
k
2

1

k

et nous pouvons la rapprocher avec l’élément suivant :
f̃(X)

=



µ
µ
µ
p1 1 ∗p2 2 ∗...∗pk k

apµ1 ∗pµ2 ∗...∗pµk
1

2

k

(Xp1 )µ1 ∗ (Xp2 )µ2 ∗ ... ∗ (Xpk )µk

qui fait partie de l’algèbre K[[(Xp )p∈P ]] des séries formelles à une infinité d’indéterminées
(indexées par l’ensemble dénombrable P des nombres premiers de N).

4

Démonstration. Nous avons utiliser la loi multiplicative qui indique que :
∀n, k ∈ N,

(nk )−X = (n−X )k

Proposition 1.3 ((Admis)). Propriétés des séries formelles à infinité d’indéterminées (sur un K)
1. L’anneau DirK [[X]] est un anneau local factoriel qui n’est pas nœthérien
(Est-il de type fini ? Réponse : je pense que non).
2. Les séries ∑ an n−X inversibles dans DirK [[X]] sont celles vérifiant ai ≠ 0.
n∈N

1.2

Séries de Dirichlet multiplicatives

Nous allons maintenant ajouter des conditions sur les suites d’éléments (an )n∈N et observer
les conséquences sur la série de Dirichlet associée. Pour cela, nous allons utiliser les définitions
suivantes avec la fonction g définie par :
g∶

1.2.1

N Ð→ K ; n z→ an

Différents types de fonctions multiplicatives

Définition 1.2 (Fonction (faiblement) multiplicative). Une fonction g ∶ N Ð→ K est
dite (faiblement) multiplicative si et seulement si :
g(1) = 1
g(m ∗ n) = g(m) ∗ g(n) si m ∧ n = 1

{

Définition 1.3 (Fonction (complètement) multiplicative). Une fonction g ∶ N Ð→ K
est dite (complètement) multiplicative si et seulement si :
{

g(1) = 1
g(m ∗ n) = g(m) ∗ g(n) ∀m, n ∈ N

5

Au niveau des dénominations, certains parlent de fonctions faiblement multiplicatives
et de fonctions multiplicatives, quand les autres parlent de fonctions multiplicatives et de
fonctions complètement multiplicatives.
Définition 1.4 (Fonction strictement multiplicative). Une fonction g ∶ N Ð→ K est
dite strictement multiplicative si et seulement si :
g(pk ) = g(p)k

∀k ∈ N, ∀p ∈ P

Proposition 1.4. Soit g ∶ N Ð→ K.



1.2.2

Si notre fonction g est (faiblement) multiplicative et strictement multiplicative.
Alors elle est (complètement) multiplicative.

Différents types de séries de Dirichlet

Vous vous en doutez, mais nous allons adapter les définitions de la partie précédente à
nos séries de Dirichlet.

Définition 1.5 (Série de Dirichlet (faiblement) multiplicative). On dit que la série
de Dirichlet ∑ an n−X est (faiblement) multiplicative si la fonction f ∶ n z→ an l’est.
n∈N∗

En utilisant l’isomorphisme du théorème précédent, nous obtenons que :
f (X) =



=

1


p∈P

2

k

µ1 ∗ (p−X )µ2 ∗ ... ∗ (p−X )µk
apµ1 1 ∗ apµ2 2 ∗ ... ∗ apµk (p−X
2
1 )
k



k

µ
µ
µ
p1 1 ∗p2 2 ∗...∗pk k

f (X) =

µ1 ∗ (p−X )µ2 ∗ ... ∗ (p−X )µk
(p−X
1 )
2
k

apµ1 ∗pµ2 ∗...∗pµk

µ
µ
µ
p1 1 ∗p2 2 ∗...∗pk k

(

∑ apk p−kX

)

k∈N

Définition 1.6 (Série de Dirichlet (complètement) multiplicative). On dit que la
série de Dirichlet ∑ an n−X est (complétement) multiplicative si la fonction f ∶ n z→ an l’est.
n∈N∗

6

Proposition 1.5 (Produit Eulérien). Si la série de Dirichlet f (X) = ∑n∈N∗ an ⋅ n−X est
(complètement) multiplicative alors on dit que la série f (X) admet un produit eulérien :
f (X)

=

∏ ( 1 − ap p−X

)−1

p∈P

Démonstration. Continuons à observer l’expression de notre série de Dirichlet :
f (X) =
=
f (X) =

∏ (

∑ apk p−kX

p∈P

k∈N

∏ (

∑ (ap p−X )k

p∈P

k∈N

( 1 − ap p−X



)
)

)−1

p∈P

1.3

Étude formelle de quelques séries de Dirichlet

Cette nouvelle section est l’occasion de présenter des fonctions classiques que nous utilisons dans la théorie des nombres et de démontrer correctement tous les résultats connus. Nous
allons à de nombreuses reprises utiliser le Produit Eulérien faisant intervenir les nombres premiers et qui dit nombres premiers, dit résultats de la théorie des nombres.

1.3.1

La fonction ζ (zéta) de Riemann et la fonction µ de Möbius

Définition 1.7 (Fonction ζ de Riemann). La fonction ζ de Riemann est la série de
Dirichlet avec ∀n ∈ N, an = 1, c’est-à-dire que :
ζ(X)

=

∑ n−X

n∈N∗

Proposition 1.6 (La fonction ζ est (complètement) multiplicative).
Ô⇒

ζ(X)

=

∏ (1 − p−X )−1
p∈P

Ô⇒

=

ζ(X)−1

∏ (1 − p−X )
p∈P

7

Définition 1.8 (Fonction de Möbius). La fonction de Möbius, notée µ, est une fonction
définie sur N∗ à valeurs dans {−1; 0; 1}.

−1



µ(n) = ⎨ 0



⎩ 1

si n est le produit d’un nombre impair de nombres premiers distincts
si n est divisible par un carré parfait différent de 1
si n est le produit d’un nombre pair de nombres premiers distincts

En effet, tout nombre entier se décompose en produit de nombres premiers. Si l’un des
nombres premiers est à une puissance ≥ 2, nous sommes dans le deuxième. Dans le cas
contraire, nous comptons le nombre de facteurs premiers. Si ce nombre est pair, nous sommes
dans le 3e cas, sinon nous sommes dans le 1er cas.

Proposition 1.7 (La fonction de Möbius est (faiblement) multiplicative).

Théorème 1.8 (Vers la formule d’inversion de Möbius).
∑ µ(d) =
d∣n

{

1 si
0 si

n=1
n>1

Démonstration. Si n est égal à 1, le résultat est évident.
Sinon, soit P = {p1 , ..., ps } l’ensemble des nombres premiers diviseurs de n.
Les diviseurs de n sont donc tous des produits de puissances d’éléments de P :
– Si au moins une de ces puissances est strictement supérieure à 1, ces diviseurs ont pour
image par la fonction de Möbius la valeur 0.
– Nous pouvons donc considérer uniquement les produits dont les facteurs sont des éléments de P tous distincts. Ainsi en utilisant la formule du Binôme de Newton, nous
obtenons le résultat souhaité.

8

∑ µ(d) =
d∣n

∑ µ ( ∏ d)
D∈P(P )

=

d∈D

∑ (−1)card(D)
D∈P(P )

s
s
= ∑ ( ) (−1)k
k=0 k
s
s
= ∑ ( ) (1)s−k (−1)k
k=0 k

= (1 − 1)s
∑ µ(d) = 0
d∣n

Proposition 1.9 (Formule d’inversion de Möbius). Soient f ∶ N Ð→ R et g la fonction
définie ∀n ∈ N∗ par,
g(n) = ∑ f (d)
d∣n

Alors ∀n ∈ N∗ ,

f (n) =

∑ µ(d) g(n/d)
d∣n

Démonstration. ∀n ∈ N∗ ,
∑ µ(d) g(n/d) = ∑ µ(n/d) g(d)
d∣n

d∣n

= ∑ µ(n/d)
d∣n

= ∑ f (d1 )
d1 ∣n

Posons maintenant :

∑ µ(n/d)
d1 ∣d∣n

m = n/d1 et d2 = d/d1 .

∑ µ(d) g(n/d) = ∑ f (d1 )
d∣n



∑ f (d1 )
⎝d1 ∣d


d1 ∣n

∑ µ(m/d2 )
d2 ∣m

= f (n) par le théorème précédent

9

Revenons à la fonction ζ de Riemann et démontrons que la propriété suivante :

Théorème 1.10 (Inverse de la fonction ζ de Riemann). Soit ζ(X) =

∑ n−X la

n∈N∗

fonction ζ de Riemann. Alors par la formule d’inversion de Möbius,
ζ −1 (X) =

∑ µ(n) ⋅ n−X

n∈N∗

Démonstration. Nous allons faire ici notre premier produit de deux séries de Dirichlet avec :



an = 1
bn = µ(n)

∀n ∈ N∗
∀n ∈ N∗

Et ainsi :
(an )n∈N∗



(bn )n∈N∗

=

(cn )n∈N∗

Avec :
∀n ∈ N∗ ,

cn =

∑ ap ⋅ b q =

p⋅q=n

∑ µ(d)
d∥n

Enfin d’après le théorème 1.8, nous avons le résultat souhaité :



c1 = 1
cn = 0 sinon
Ô⇒

1.3.2

(cn )n∈N∗

est l’élément neutre de notre algèbre.

La série Φ(X) et la fonction ϕ(X) indicatrices d’Euler

La fonction indicatrice d’Euler est plus connue que sa série. En effet, ϕ(n) représente le
nombre d’entiers inférieur à n qui est premier avec n.

Définition 1.9 (Fonction indicatrice d’Euler). La fonction indicatrice d’Euler, noté
ϕ(X), est une fonction définie sur N∗ à valeurs dans lui-même par :
ϕ(n) =

# { m ∈ N∗ ∣ m ≤ n et m premier avec n }

10

Définition 1.10 (Série indicatrice d’Euler). La série indicatrice d’Euler est définie simplement par :
Φ(X) = ∑ ϕ(n) ⋅ n−X
n∈N∗

Nous allons regarder si cette série de Dirichlet a une propriété particulière de multiplicativité. Ensuite, en utilisant les propriétés de la fonction indicatrice d’Euler, nous allons
réussir à définir la série grâce à la fonction ζ de Riemann.

Proposition 1.11 (Formule sommatoire de la fonction indicatrice d’Euler). ∀n ∈ N∗ ,
n=

∑ ϕ(d)
d∣n

Démonstration. Pour réaliser cette preuve, nous allons utiliser l’écriture des nombres rationnels.
– Notons :
=

D

{

1 2
n
;
; ... ;
}
n n
n

et pour tout diviseur d de n,
Dd
– Nous obtenons que :

=

{

k
d

#D = n

∣ pgcd(k; d) = 1
et

#Dd = ϕ(d)



1≤k≤d }

(pour tout diviseur d de n).

– Or l’écriture d’un nombre rationnel sous la forme d’une fraction irréductible est unique
et donc les ensembles Dd forment une partition de D, ce qui nous permet d’obtenir le
résultat souhaité.

Proposition 1.12 (Série indicatrice d’Euler et fonction ζ de Riemann).
Φ(X)

=

ζ(X − 1)
ζ(X)

11

=

1 − p−X

−(X−1)
p∈P 1 − p

Démonstration. Reprenons la fonction ζ de Riemann et utilisons le résultat de la proposition
1.11.
ζ(X − 1)

=

∑ n1−X

n∈N∗

=

∑ n ⋅ n−X

n∈N∗

=

∑ ( ∑ ϕ(d) ) ⋅ n−X

n∈N∗

=
ζ(X − 1)

∑ (

n∈N∗

=

d∣n

ϕ(p) ⋅ 1(q) ) ⋅ n−X



p⋅q = n

Φ(X) ⋅ ζ(X)

Ce qui nous donne en utilisant le produit Eulérien :
⇐⇒
⇐⇒

1.3.3

=

Φ(X)
Φ(X)

=

ζ(X − 1)
ζ(X)
1 − p−X

−(X−1)
p∈P 1 − p

La codérivée logarithmique de la fonction ζ de Riemann

Définition 1.11 (La codérivée logarithmique de la fonction ζ de Riemann). Soit la
fonction de ζ de Riemann définit par :
ζ(X) =

∑ n−X

n∈N∗

Nous définissons la codérivée logarithmique Z(X) de ζ(X) par :
Z(X) =



ζ ′ (X)
ζ(X)

Après calcul, nous obtenons le résultat suivant :

Ô⇒

Z(X) =



Z(X)

=

ζ ′ (X)
ζ(X)

=

( − ζ ′ (X) ) ∗ ( ζ −1 (X) )

( ∑ log(n) ⋅ n−X ) ∗ ( ∑ µ(n) ⋅ n−X )
n∈N∗

n∈N∗

12

Chapitre 2
Propriétés analytiques des séries de
Dirichlet
Sommaire
2.1
2.2
2.3

Résultats d’analyse complexe utilisés . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Abscisse de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Étude analytique de la fonction zêta de Riemann . . . . . . . . . .
2.3.1 Prolongement de la fonction ζ sur Ω0 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Fonction Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Travaux de Riemann : prolongement méromorphe de ζ sur C . . . .

13
14
17
18
21
24

Dans ce nouveau chapitre, nous allons nous intéresser au domaine de convergence des
séries de Dirichlet à coefficients complexes et ensuite de voir les prolongements holomorphes
possibles.
Dans le premier chapitre, nous avons plutôt étudié les séries de Dirichlet comme un objet
contenu d’une algèbre, or maintenant nous allons plutôt les voir comme des fonctions de la
variable complexe.
Même si nous essayons de démontrer l’intégralité de nos résultats, nous allons être obligé
d’utiliser des résultats connues de l’analyse complexe que nous allons prendre le temps de
rappeler dans cette première section.

2.1

Résultats d’analyse complexe utilisés

Théorème 2.1 (Théorème de Weierstrass). Soient Ω un ouvert de C et (fn )n∈N une
suite de fonctions définies sur Ω à valeurs dans C, telle que :

13

– ∀n ∈ N,

fn est holomorphe dans Ω.

– La série ∑ fn est uniformément (reps. normalement) convergente sur tout compact
n≥0

K de Ω vers une fonction f .
Alors,
– La fonction f est holomorphe dans Ω.
– La série ∑ fn′ converge uniformément (rest. normalement) vers f ′ sur tout compact
n≥0

K inclus dans Ω.

Théorème 2.2 (Lemme de Newman). Soit f ∈ L∞ ( [0; +∞[, dx ) (c’est-à-dire que :
∥f ∥∞ = sup ∣f (t)∣ < +∞). On lui associe la fonction :
t∈[0;+∞[

F ∶ z z→ ∫
0

+∞

e−tz f (t) dt

– Cette fonction est définie et holomorphe dans Ω0 .
F se prolonge en une fonction holomorphe dans un voisinage V de Ω0 ,

– Si

+∞

Alors

l’intégrale ∫
0

f (t) dt converge et vaut F (0).

Proposition 2.3 (Convergence de produits infinis). Soit (un )n∈N une suite à valeurs
complexes.
– Si la série ∑ un est absolument convergente, et

∀n ∈ N,

un ≠ −1.

n≥0
+∞

– Alors le produit infini

∏ (1 + un )

est convergent au sens strict, c’est-à-dire

n=1

convergent et non nul.

2.2

Abscisse de convergence

L’objectif de cette section est plutôt simple : démontrer une théorème important sur la
convergence uniforme de notre série de Dirichlet pour ensuite en déduire quatre corollaires
14

différents.
Considérons un angle α ∈ ] 0 ;

π
2

[

Théorème 2.4 (Convergence uniforme vers une fonction holomorphe). Soit
f (s) = ∑ an ⋅ n−s une série de Dirichlet convergente en un point s0 du plan complexe.
n≥1

Alors,









elle converge uniformément (vers une fonction holomorphe) sur
Dα (s0 ) = { s ∈ C ∣ Re(s − s0 ) ≥ 0

& ∣Arg(s − s0 )∣ ≤ α <

π
2

}

Démonstration. En faisant un changement de variable s−s0 → s, nous pouvons supposer que
la série de Dirichlet converge en 0. Cette convergence nous prouve que la suite des sommes
partielles de la série des an converge,
σn

=

n



ak

k=1
n

Pour démontrer maintenant la convergence de la série de Dirichlet f (s) = ∑ ak ⋅ k −s , réak=1

lisons une transformation d’Abel (avec n < m) en majorant le critère de Cauchy :
m

n

m

k=1

k=1

k=n+1

∣ ∑ ak ⋅ k −s − ∑ ak ⋅ k −s ∣ = ∣ ∑ ak ⋅ k −s ∣
m

= ∣ ∑ (σk − σk−1 ) ⋅ k −s ∣
k=n+1
m

m−1

k=n+1

k=n

= ∣ ∑ σk ⋅ k −s − ∑ σk ⋅ (k + 1)−s ∣
m

n

m−1

k=1

k=1

k=n+1

∣ ∑ ak ⋅ k −s − ∑ ak ⋅ k −s ∣ ≤ ∣ ∑ σk ⋅ (k −s − (k + 1)−s )∣ + ∣σm ⋅ m−s ∣ − ∣σn ⋅ (n + 1)−s ∣
Dans le premier terme, les ∣σk ∣ sont bornées (car convergeant), disons par K. Nous avons

15

par ailleurs en posant :

s=σ+i⋅τ

∣ k −s − (k + 1)−s ∣ = ∣ [u−s ]
= ∣ ∫
k

∣ k −s − (k + 1)−s ∣ ≤

k+1
k

k+1

∣s∣ ⋅ ∫
k


s ⋅ u−s−1

k+1

du ∣

∣u−s−1 ∣ du

∣s∣
⋅ ( k −σ − (k + 1)−σ )
σ

avec

σ≥0

En rassemblant les différents résultats,
m

n

k=1

k=1

m

n

k=1

k=1

∣ ∑ ak ⋅ k −s − ∑ ak ⋅ k −s ∣ ≤ K ⋅

∣s∣
⋅ ((n + 1)−σ − m−σ ) + K ⋅ m−σ + K ⋅ (n + 1)−σ
σ

∣ ∑ ak ⋅ k −s − ∑ ak ⋅ k −s ∣ ≤ K ⋅ (

∣s∣
+ 2 ) ⋅ (n + 1)−σ
σ

Et nous arrivons à conclure avec le Théorème de Weierstrass (voir 2.1 ).
Corollaire 2.5 (Demi-plan ouvert maximal - Abscisse de convergence). Soit s0 ∈ C.
– La convergence de la série de Dirichlet en s0 implique la convergence pour tout s de
partie réelle strictement supérieure.
– Il existe donc un demi-plan ouvert maximal de convergence (éventuellement
vide) :
Dρ = { s ∈ C ∣ Re(s) > ρ }
– La quantité réelle (ou infinie) ρ est appelée abscisse de convergence.

Démonstration. Application directe du Théorème de Convergence uniforme.
Corollaire 2.6 (Convergence vers une limite nulle implique coefficients nuls). .
Si

une série de Dirichlet formelle f (X) =

∑ an ⋅ n−X converge vers
n≥1

une fonction nulle sur un demi-plan ouvert non vide Dρ .
Alors

tous les coefficients an sont nuls.

16

Démonstration. Par l’absurde :

Supposons qu’il existe des coefficients an non nulles.

– Soit an ⋅ n−X son monôme non nul de plus bas degré.
an =
lim
Il vient que :
x→+∞
Ce qui est une contraction.

nx ⋅ f (x) = 0.

– Une série de Dirichlet est donc déterminée uniquement par la fonction holomorphe
qu’elle définit dès que son demi-plan de convergence n’est pas vide.

Corollaire 2.7 (Domination des coefficients et convergence de la série). Soient
f (X) = ∑ an ⋅ n−X une série de Dirichlet
et
σn = ∑ ak une somme partielle.
n≥1

k≤n

Alors,
1.

Si les an sont bornés, il y a convergence absolue de la série pour Re(s) > 1.

2.

Si les σn sont bornés, il y a convergence simple de la série pour Re(s) > 0.

3.

Si les σn = O(nρ ), il y a convergence simple de la série pour Re(s) > ρ.

Exemple 2.1 (Convergence absolue de la série ζ de Riemann). La série ζ de Riemann
ζ(s) = ∑ n−s et son inverse ζ −1 (s) = ∑ µ(n) ⋅ n−s convergent absolument pour Re(s) > 1.
n≥1

n≥1

Exemple 2.2 (Convergence simple de la série L de Dirichlet). Les fonctions L(s; χ) =
∑n≥1 χ(n) ⋅ n−s , pour χ ≠ 1, convergent simplement pour Re(s) > 0.

En effet, dans le 1er cas, les coefficients an sont bornés, et dans le second cas, les σn
(sommes partielles) sont bornés (puisque la somme des χ(n) sur une période est toujours
nulle).

2.3

Étude analytique de la fonction zêta de Riemann

Reprenons la définition de la fonction zêta de Riemann est la fonction à variables complexes (pour l’instant, nous ne connaissons pas encore l’ensemble de définition de ζ) :
17

+∞

=

ζ(s)


n=1

1
ns

Les objectifs de cette section sont très simple :
– Nous allons dans un premier temps déterminer rapidement l’ensemble de définition de
notre fonction ζ (c’est-à-dire l’ensemble de convergence de sa série associée).
– Ensuite nous allons essayer de construire des prolongements holomorphes et pour cela
nous allons devoir étudier également la fonction Γ.

2.3.1

Prolongement de la fonction ζ sur Ω0

Lemme 2.8 ( CVA sur Ω1

et

Produit Eulérien). On a les propriétés suivants :

1. La série ζ(s) converge absolument sur le demi-plan complexe Ω1
fonction holomorphe en s sur Ω1 .

et est ainsi une

2. Le produit suivant porte sur l’ensemble P des nombres premiers (Euler, 1749) :
∀s ∈ Ω1 ,
ζ(s)

=

∏ (1 − p−s )−1
p∈P

Démonstration. Nous avons deux points à démontrer : le premier reprends la preuve de la
converge des séries de Riemann (dans ce cas s ∈ R) et le second reprends la preuve du produit
Eulérien que nous avons déjà vu.
1. On pose :

s=a+i⋅b

avec a, b ∈ R.

∣ n−s ∣ = ∣ exp(−s ⋅ lnn) ∣ = exp(−a ⋅ lnn) ⋅ 1 = n−a
Ainsi en utilisant la convergence de la série de Riemann,
∑ n−s
n≥1

CV A



∑ n−a

CV



−a < −1



Re(s) > 1

n≥1

Et donc notre série converge sur le demi-plan Ω1 = { s ∈ C ∣ Re(s) > 1 } vers une
fonction ζ holomorphe sur cette ensemble.

18

2. ∀s ∈ Ω1 , on sait que la fonction ζ existe d’après le 1.
Ainsi ∀m ≥ 1, on a :
∏ ( 1 − p−s )−1

=

p∈P
p≤m

∏ (1 +
p∈P
p≤m

=

1
1
+ 2s + ...)
s
p
p


(fact. premiers de n) ≤ m

∏ ( 1 − p−s )−1 ÐÐÐ→
m→+∞

1
ns

ζ(s)

p∈P
p≤m

Nous avons maintenant deux objectifs en tête. Le premier est d’essayer de prolonger
notre fonction ζ de Riemann sur un ensemble plus grand et notre deuxième est d’étudier la
méromorphie de cette même fonction.

Proposition 2.9 (Ne s’annule pas sur Ω1 et prolongeante sur Ω0 ). Soit ζ la fonction
que nous avons défini sur Ω1 .
1. La fonction ζ ne s’annule pas sur Ω1 .
2. La fonction ζ se prolonge en une fonction méromorphe sur Ω0 , avec un unique pôle en
1 de résidu 1.

Démonstration. Pour démontrer que la fonction ζ ne s’annule pas, nous allons plutôt démontrer que son inverse est fini — c’est-à-dire que sa série des inverses n’est pas divergente.
1. La fonction ζ ne s’annule pas sur Ω1 :
Nous savons de manière triviale que : ∀n ∈ N∗ , n ≤ pn .
Ainsi ∀s ∈ Ω1 :
1
1
1
∣ s∣ =

Re(s)
Re(s)
pn
n
pn
avec la série ∑
n≥1

1
nRe(s)

qui est absolument convergente.

Nous pouvons donc appliquer la proposition sur la convergence stricte des
produits infinis (2.3) qui nous permet de dire que :

19

∏ (1 −
n≥1

1
) converge de manière stricte
psn

Et en utilisant le lemme 2.8, nous obtenons que :
1

=

ζ(s)

ne s’annule pas sur Ω1

1
∏ (1 − s )
pn
n=1
+∞

2. La fonction ζ se prolonge en une fonction méromorphe sur Ω0 , avec un
unique pôle en 1 de résidu 1
∀s ∈ Ω0 /{1},
1
s − 1

=

+∞

∫1

n+1

+∞

=

t−s dt


n=1

∫n

t−s

dt

Et ainsi ∀s ∈ Ω1 ,
ζ(s)
Posons maintenant :

=

1
s − 1

∀s ∈ Ω0
gn (s) =

n+1

+∞

+



∫n

n=1

( n−s − t−s ) dt

∀n ∈ N,

et

n+1

∫n
g(s) =

( n−s − t−s ) dt
+∞



gn (s)

n=1

On cherche alors à nouveau à appliquer le théorème de Weierstrass (voir 2.1) pour
montrer que g est holomorphe sur Ω0 . Vérifions les hypothèses du théorème :
(a) Montrons que ∑ gn (s) est normalement convergente sur tout compact de Ω0 :
n≥1

Soit M > 0 et δ > 0 fixés. Montrons la convergence normale de la série sur le
compact K = {z ∈ C ∣ ∣z∣ ≤ M, Re(s) ≥ δ}.
Posons ∀t ∈ [1; +∞[, f (t) = t−s . La fonction f est dérivable sur son ensemble de
définition, et ∀t ∈ [1; +∞[, f ′ (t) = −s ∗ t−s−1 . On peut donc appliquer l’inégalité
des accroissements finis à f entre n et x ∈ [n; n + 1], pour n ∈ N∗ fixé. On obtient
alors :
20

∣ f (n) − f (x) ∣



∣ x − n ∣ ∗ sup{ ∣f ′ (t)∣ ∶ n ≤ t ≤ x }
∣s∣
∣ns+1 ∣
∣s∣
Re(s)+1
∣n



=

M
nδ+1
On obtient alors une majoration de ∣gn (s)∣ :
∣ f (n) − f (x) ∣



∣ gn (s) ∣

∣ gn (s) ∣

n+1



∫n

=

∫n



M
nδ+1

n+1

∣ n−s − x−s ∣

dx

∣ f (n) − f (s) ∣

dx

(b) Le théorème de comparaison des séries à termes positifs permet alors de conclure
que notre série converge absolument sur notre compact K car la série de Riemann
M
∑ δ+1 convergence absolument sur K.
n≥1 n

2.3.2

Fonction Gamma

Nous allons commencer par définir la fonction Gamma et nous vérifierons ensuite son
existence par une étude d’intégralité classique.

Définition 2.1 (Fonction Gamma). On définit la fonction Gamma par ∀s ∈ Ω0 ,
Γ(s)

=

+∞

ts−1 ⋅ exp(−t) dt

∫0

– Vérifions l’intégralité de notre fonction Γ sur ]0; +∞[ :

s=a+i⋅b

∀t ∈]0; +∞[,
∣ ts−1 ⋅ exp(−t) ∣

=

ta−1 ⋅ exp(−t)



ta−1

avec t z→ ta−1 intégrable sur ]0; +∞[ quand a > 0 (intégrale de Riemann).
21

Proposition 2.10 (Récurrence sur la fonction Gamma). ∀s ∈ Ω0 ,
s ⋅ Γ(s)

=

Γ(s + 1)

∀s ∈ Ω0 ,

Démonstration. Réalisons une intégration par partie :
Γ(s + 1)

Γ(s + 1)

+∞

=

∫0

ts ⋅ exp(−t) dt

=

[ts ⋅ (−exp(−t)]

=

s ⋅ Γ(s)

+∞

+

0

+∞

∫0

( s ⋅ ts−1 ) ⋅ exp(−t) dt

Proposition 2.11 (Prolongement de Γ sur C en une fonction méromorphe). La
fonction Γ se prolonge sur C vers une fonction méromorphe.
1. Γ(n) = (n − 1)!,

∀n ∈ N∗

2. Le résidu de chaque pôle simple −n e égal à

(−1)n
.
n!

Démonstration. Utilisant la proposition 2.10, on pose ∀s ∈ C,
– Si

−1 < Re(s) ≤ 0,

– Si

−2 < Re(s) ≤ −1,

alors
alors

Γ(s + 1)
avec Γ(s + 1) défini.
s
Γ(s + 1)
Γ(s) =
avec Γ(s + 1) défini.
s

Γ(s) =

– ...
Cette méthode permet de construire un prolongement holomorphe de Γ sur C car les
définitions précédentes sont entières. Intéressons nous maintenant aux deux points de la
proposition.

22

1. En utilisant la proposition 2.10 et Γ(1) = 1, nous obtenons la propriété souhaitée.
2. Commençons par utiliser la décomposition en série de la fonction exponentielle :
∀t ∈ R,
+∞
(−1)n n
⋅t
exp(−t) = ∑
n!
n=0
Et ainsi :

∀t ∈ R

∀s ∈ C0 ,

et

s−1

t

(−1)n n+s−1
⋅t
n!
n=0
+∞

⋅ exp(−t) =



Nous avons une convergence normale des différentes séries. Cela nous permet ainsi
d’intervertir les signes intégrale et somme :
1

∫0

s−1

t

⋅ exp(−t) dt

1

=

∫0

∫0

ts−1 ⋅ exp(−t) dt

(−1)n
n!
n=0


+∞

=


n=0

Ainsi :
Res−n (Γ)



+∞

=
1

(−1)n n+s−1
⋅t
n!
n=0
+∞

=



(−1)n
n!

dt

1

n+s−1
∫0 t



dt

1
s − (−n)

(−1)n
n!

Proposition 2.12 (Formules admises sur la fonction Gamma). ∀s ∈ C, on a :
Γ(s) ⋅ Γ(1 − s)
Γ(s)

=

=

π
sin(π ⋅ s)

s+1
s
2s−1 ⋅ Γ ( ) ⋅ Γ (
) ⋅ π −1/2
2
2

– La première formule prouve que Γ ne s’annule jamais sur C (sinon le terme de droite
serrait nul, ce qui serrait absurde).

– En prenant s = 1/2, on obtient : Γ(1/2) = π.

23

2.3.3

Travaux de Riemann : prolongement méromorphe de ζ sur C

Dans son célèbre mémoire publié en 1859, Riemann montre les résultats suivants :

Proposition 2.13 (Riemann - Prolongement méromorphe de ζ sur C). La fonction
ζ(s) se prolonge en une fonction mésomorphe sur C, avec un unique pôle en s = 1.

Démonstration.

∀s ∈ Ω1 ,
+∞

=

Γ(s)

∀n ∈ N∗

Réalisons un changement de variable :
+∞

=

Γ(s)
Ô⇒ Γ(s) ⋅ n−s

ts−1 ⋅ exp(−t) dt

∫0

n ⋅ (n ⋅ t)s−1 ⋅ exp(−n ⋅ t) dt

∫0

+∞

=

∫0

ts−1 ⋅ exp(−n ⋅ t) dt

En sommant sur n et en intervertissant les signes somme et intégrale :
Γ(s) ⋅ ζ(s)

+∞

=

∫0

+∞

ts−1 ⋅ ( ∑ e−n⋅t )

dt

n=0

∀s ∈ Ω1 ,
Γ(s) ⋅ ζ(s)

=

+∞

∫0

ts−1 ⋅

e−t
1 − e−t

dt

=

+∞

∫0

ts−1
et − 1

dt

Si nous regardons notre formule, nous avons une intégrale qui fait varier une variable
réelle t de 0 à +∞. Mais pour résoudre cette intégrale, nous allons considérer t comme
une variable complexe et nous allons entourer la demi-droite réelle [0; +∞[ de la manière
suivante :
Hr,

∶=


un cercle à l’origine de rayon r



+




⎩ deux demi-droites horizontales ∶ y = ±

– On pose : ∀s ∈ C,
I(s)

∶=

∫H
24

r,

z s−1
ez − 1

dz

– Or la fonction sous l’intégrale est holomorphe en s sur C donc :
I(s)

r,

est indépendant en

– Faisons tendre vers 0 :
I(s)

=

z s−1
ez − 1

∫∣z∣=r

dz

+

(e2iπ(s−1) − 1)

+∞



∫r

ts−1
et − 1

– Faisons tendre r vers 0 :
I(s)

=

0

+

I(s)

(e2iπ(s−1) − 1)
=



+∞

∫0

ts−1
et − 1

dt

(e2iπ(s−1) − 1) ⋅ Γ(s) ⋅ ζ(s)

– Cela montre ainsi que ζ(s) se prolonge en une fonction méromorphe sur C.

25

dt

Chapitre 3
Théorème des nombres premiers
Sommaire
3.1
3.2
3.3
3.4

Étude de la fonction Ψ . . . . . . . . . . . . . . . .
Étude de la fonction φ . . . . . . . . . . . . . . . .
Liens entre les deux fonctions et conséquences
Preuve du théorème et d’un corollaire . . . . . .

.
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.

27
29
32
37

Comme son nom l’indique, ce chapitre aura pour objectif de démontrer notre premier
résultat majeur : le Théorème des nombres premiers.

Définition 3.1 (Fonction de comptage). ∀x > 0, on pose :
π(x)

=

# { p∈P ∣ p≤x }

Théorème 3.1 (Théorème des nombres premiers). Gauss et Legendre ont conjecturé vers 1790 que :
π(x)



x→+∞

x
ln(x)

⇐⇒

lim

xÐ→+∞

π(x) ⋅

ln(x)
x

=

1

Pour arriver à démontrer ce théorème ainsi qu’un corollaire que nous présenterons plus
tard, nous allons devoir utiliser deux fonctions auxiliaires Ψ et φ et démontrer des propriétés
les concernants comme des équivalents au voisinage de +∞.
26

3.1

Étude de la fonction Ψ

Pour démontrer les deux théorèmes de ce chapitre, nous allons devoir obtenir des résultats
sur les deux fonctions Ψ et φ que nous allons commencer par définir :
Définition 3.2 (La fonction Ψ). ∀s ∈ Ω1 , on pose :
Ψ(s)

=

+∞


n=1

ln(pn )
psn

Lemme 3.2 (Holomorphie de Ψ). La fonction Ψ est holomorphe sur Ω1 .

Démonstration. Il s’agit une nouvelle fois d’une application du théorème de Weierstrass (2.1).
– ∀n ∈ N,

s z→

ln(pn )
psn

est une fonction holomorphe sur Ω1 car fonction entière.

– Démontrons maintenant la convergence normale de la série :
● En reprenant les inégalités déjà vues, nous avons ∀s ∈ Ω1 et ∀n ≥ 1,


ln(pn )

psn



ln(n)
nRe(s)

● En utilisant les résultats sur les séries de Bertrand, nous avons la convergence de la
série du terme de droite sur tout compact K de Ω1 — ce qui prouve la convergence
normale de notre série sur tout compact K de Ω1 .
– L’application du théorème de Weierstrass (voir 2.1) nous permet d’obtenir le
résultat souhaité.

Proposition 3.3 (Liens avec la fonction ζ de Riemann). .
1. Il existe une fonction h holomorphe sur Ω1/2 telle que :
∀s ∈ Ω1 ,
Ψ(s)

=



27

ζ ′ (s)
ζ(s)

+

h(s)

2. ∀s ∈ Ω1 /{1},

ζ(s) ≠ 0

1
s − 1
holomorphe sur un voisinage de Ω1 .

3. La fonction

s z→ Ψ(s) −

définie sur Ω1 se prolonge en une fonction

Démonstration. Nous allons tout simplement démontrer les trois points de cette proposition :
1. Il existe une fonction h holomorphe sur Ω1/2 telle que :
∀s ∈ Ω1 ,
Ψ(s)

ζ ′ (s)
+ h(s)
ζ(s)
—————————
=



Pour cela, reprenons le produit infini que nous avons trouver pour la fonction ζ de
Riemann :
+∞
+∞
ζ(s)

=



( 1 − p−s
n )

−1

=

n=1

Chaque fonction fn est holomorphe dans Ω1 et ∀s ∈ Ω1 ,
fn (s)
fn′ (s)

fn (s)



n=1

1
1 − exp(−s ⋅ ln(pn ))

=
=

∀n ∈ N,

−ln(pn ) ⋅

1

psn

1
(1 − p−s
n )

2

Ainsi le théorème de Weierstrass (voir 2.1), nous permet d’avoir que :
ζ (s)


ζ (s)


=

=

n

lim

nÐ→+∞

n

lim

nÐ→+∞


k=1

28

(∏



fk (s) )

k=1



fk′ (s) ⋅ ⎜



n


j=1
j≠k


fj (s) ⎟



Le quotient donne ainsi :


n



lim

ζ ′ (s)
ζ(s)

fk′ (s) ⋅ ⎜


nÐ→+∞



k=1

=

n



lim

nÐ→+∞

=
ζ ′ (s)
ζ(s)

n→+∞

k=1

n→+∞

=



fk (s)

ln(pk )

n

lim

j=1
j≠k

fk′ (s)
fk (s)



lim





k=1
n

=


fj (s) ⎟



n


k=1

psk ⋅ ( 1 −

+∞

ln(pk )
psk − 1


k=1

1
)
psk

Revenons à notre objectif et regardons la somme suivante :
Ψ(s)

+

ζ ′ (s)
ζ(s)

+∞

=


n=1

ln(pn )
psn



− ∑

n=1


n=1

+∞

=

+∞

psn

ln(pn )
psn − 1

ln(pn )
⋅ (psn − 1)

On pose alors ∀s ∈ Ω1 :
h(s)

=

+∞

− ∑

n=1

psn

ln(pn )
⋅ (psn − 1)

Et nous devons démontrer que h est holomorphe dans Ω1 . Pour cela, il suffit d’utiliser
une nouvelle fois le théorème de Weierstrass en majorant la valeur absolue de notre
terme général par une série de Riemann.
2. Admis
3. Admis

3.2

Étude de la fonction φ

29

Définition 3.3 (La fonction φ). On pose, ∀x ≥ 2,
=

φ(x)

ln(pn )



pn ≤x
pn ∈P

Pour démontrer notre théorème des nombres premières, nous allons devoir utiliser le
théorème suivant que nous allons démontrer dans cette section :

Théorème 3.4 (Equivalent de φ(x)).


φ(x)

x→+∞

x

En reprenant notre seconde fonction auxiliaire φ (Définition 3.3), nous allons démontrer
par la proposition suivante que la fonction φ est dominée par la fonction identité, ce qui est
un premier pas vers l’équivalence entre les deux fonctions (ce qui donne le Théorème 3.4).

Proposition 3.5 (φ est dominée par la fonction identité). Il existe une constante
C0 > 0, telle que :
∀x ≥ 2,
φ(x) ≤ C0 ⋅ x

Démonstration. Pour obtenir notre résultat, nous allons devoir démontrer les inégalités suivantes :
1. ∀n ∈ N,
2n ⋅ ln(2) ≥ φ(2n) − φ(n)
2. ∀x ≥ 1,
φ(2x) − φ(x) ≤ (2 ⋅ ln(2) + 1) ⋅ x
3. ∀x ≥ 2,
φ(x) ≤ (2 ⋅ ln(2) + 1) ⋅ x
– Preuve de la première inégalité :
En utilisant la formule du binôme de Newtin, nous obtenons :
22n

=

(1 + 1)2n

=

2n

∑ (
k=0

30

2n
)
k



(

2n
)
n

=

(2n)!
(n!)2

L’inégalité est justifiée puisque tous les termes de la somme sont positifs, et que
2n
(
) est un terme de la somme. On note par k ce terme et ainsi :
n
(2n)!

=

k ⋅ (n!)2

Soit p ∈ P et p ∈]n; 2n], alors :
● p divise (2n)! et p ∧ (n!)2 = 1 (car p ∈ P et p ne divise pas n!).
● Donc le lemme de Gauss nous dit que : p divise k
● Ce raisonnement est valable pour quel que soit p choisi comme ci-dessus.
Ainsi, il existe un entier naturel m, tel que :
2n

2



=

k




m ⋅ ⎜ ∏ p⎟

⎝n<p≤2n

p∈P

Ensuite,



22n



∏ p
n<p≤2n
p∈P

∏ p
n<p≤2n
p∈P

Ô⇒

2n ⋅ ln(2)



∑ ln(p)
n<p≤2n
p∈P

Ô⇒

2n ⋅ ln(2)



φ(2n)



φ(n)

∀x ≥ 1

– Preuve de la seconde inégalité :

En reprenant n = E(x), on obtient x ∈ [n; n + 1[. Au vu de la définition de φ, il est clair
que φ(x) = φ(n) et on a aussi 2x ∈ [2n; 2n + 2[. Nous avons ainsi deux cas à distinguer :
● Si 2x ∈ [2n; 2n + 1[, φ(2x) = φ(2n) ≤ φ(2n) + ln(x)
● Sinon 2x ∈ [2n + 1; 2n + 2[, φ(2x) = φ(2n + 1) ≤ φ(2n) + ln(2n + 1) (avec
égalité si 2n + 1 ∈ P).
Ainsi dans tous les cas,
φ(2x)
Et donc :

φ(2x) − φ(x)

φ(2x) − φ(x)







31

φ(2n) + ln(x)
φ(2n) + ln(x) − φ(x)
φ(2n) + ln(x) − φ(n)
2n ⋅ ln(2) + ln(x)
2x ⋅ ln(2) + x
(2 ⋅ ln(2) + 1) ⋅ x

– Preuve de la dernière inégalité :
On fixe toujours x ≥ 1. Posons : r =

E(log2 (x)) et ainsi ;
x ∈ [2r ; 2r+1 [

Dans ce cas, les nombres x/2, x/22 , ..., x/2r sont toujours supérieurs ou égaux à 1.
La deuxième inégalité que l’on vient de démontrer s’applique donc à chacun d’entre
eux, et l’on peut additionner membre à membre ces inégalités :
φ(2x) − φ(x)



(2 ⋅ ln(2) + 1) ⋅ x

φ(x) − φ( x2 )



(2 ⋅ ln(2) + 1) ⋅ x2

φ( x2 ) − φ( x4 )



(2 ⋅ ln(2) + 1) ⋅ x4

...

...

...

x
) − φ( 2xr )
φ( 2r−1



(2 ⋅ ln(2) + 1) ⋅ 2xr

————————————————————–
φ(2x) − φ( 2xr )

r



(2 ⋅ ln(2) + 1) ⋅ ( ∑
k=0

avec :

r

1
∑ k ⋅x
k=0 2

=

1 − 0.5r−1
⋅x
1 − 0.5

=

1
⋅ x)
2k

2 ⋅ (1 − 0.5r+1 ) ⋅ x



2x

On remarque aussi que x/2r ∈ [1; 2[, donc φ(x/2r ) = 0, ce qui implique finalement que :
∀x ≥ 1,
φ(2x) ≤ (2 ⋅ ln(2) + 1) ⋅ 2x
et enfin pour changement de variable, ∀x ≥ 2,
φ(x)

3.3



(2 ⋅ ln(2) + 1) ⋅ x

Liens entre les deux fonctions et conséquences

Proposition 3.6 (Liaison entre les deux fonctions). ∀s ∈ Ω1 ,
Ψ(s)

=

s

⋅ ∫
1

32

+∞

φ(x)
xs+1

dx

Démonstration. La preuve va se faire en deux parties : Nous allons tout d’abord prouver la
convergence de la intégrale du terme de droite et ensuite nous allons démontrer l’égalité.


Convergence de l’intégrale :
φ(x)
La fonction φ est constante par morceaux donc x z→ s+1 est localement intégrable.
x
Puis, pour x ≥ 1, en utilisant la proposition 3.5, on a la majoration :


φ(x)

xs+1

=

φ(x)
xRe(s)+1

C0 ⋅ x
xRe(s)+1



C0
Re(s)
x

=

De là, l’intégrale est convergente car Re(s) > 1 car nous sommes dans Ω1 .


Preuve de l’égalité :
Pour obtenir des valeurs précises de φ(x), faisons une partition de l’intervalle [1; +∞[,
[1; +∞[ =

[1; 2[ ⋃

(

+∞

⋃ [pj ; pj+1 [ )

j=1

Calculons maintenant l’intégrale :
s ⋅ ∫
1

+∞

φ(x)
dx
xs+1

=
=

2

s ⋅ ∫
1
+∞

s ⋅ ∑ ∫
p
j=1

=

φ(x)
dx
xs+1
pj+1

s ⋅ ∫
1

+∞

φ(x)
dx
xs+1

j

+∞

s ⋅ ∑ φ(pj ) ⋅ ∫
p

pj+1

dx
xs+1

j

+∞

=

∑ φ(pj ) ⋅ (

j=1
+∞



φ(pj )
psj

φ(2)
2s

=
φ(x)
dx
xs+1

j

φ(x)
dx
xs+1

pj+1
1
]
s ⋅ ∑ φ(pj ) ⋅ [ −
s ⋅ xs pj
j=1

j=1

+∞

j=1

pj+1

+∞

=

s ⋅ ∫
1

s ⋅ ∑ ∫
p

φ(x)
dx
xs+1

j=1

=

+∞

+

+∞

=


j=1

33

+

ln(pj )
psj



1
1
− s
)
s
pj
pj+1
+∞


j=1

+∞


j=2

=

φ(pj )
psj+1

φ(pj ) − φ(pj−1 )
psj
Ψ(s)

Proposition 3.7 (Propriété de la fonction φ). L’intégrale généralisée
+∞

∫1

φ(x) − x
x2

dx

est convergente

Démonstration. Un changement de variable ne change pas la nature d’une intégrale généralisée, on pose donc le changement de variables t = ln(x) :
+∞

∫1

φ(x) − x
dx
x2

=

φ(et ) − et t
e ⋅ dt
e2t

+∞

∫0

=

+∞

∫0

φ(et ) − et
dt
et

– Il suffit donc de montrer l’existence de cette dernière intégrale.
φ(et ) − et
– Montrons déjà que f ∶ t z→
est bornée : on commence par écrire que ∀t ≥ 0,
et
∣ f (t) ∣
– Finalement,

=



φ(et ) − et

et



φ(et ) + et
et

=

φ(et )
+ 1
et



C0 + 1

f ∈ L∞ ( [0; +∞[, dx ).

– On pose alors :
F (z)

=



∫0

e−tz ⋅ f (t) dt

Fonction définie et holomorphe dans Ω0 , d’après la preuve du lemme de Newman (Théorème 2.2).
– On va alors essayer d’appliquer la suite du lemme en démontrant que :
F se prolonge en une fonction holomorphe dans un voisinage V de Ω0


1ère étape :

Écriture différente de F.

34

Soit z ∈ Ω0 .
F (z)

=
=
=
=
=

F (s − 1)

=

φ(et ) − et
dt
et

φ(x) − x dx
x−z ⋅
∫1
x
x

φ(x) − x
dx
∫1
xz+2

φ(x) − x
dx
∫1
xs+1


φ(x)
1
dx

∫1

s+1
x
xs
1
1
Ψ(s)

s
s−1


∫0

e−tz ⋅

(en posant :

x = et )

(en posant :

z =s−1 )

dx

en utilisant la proposition 3.6.


2e étape :

Vérification de l’hypothèse.

Nous avons vu dans la proposition 3.3 que la fonction suivante se prolonge en une
fonction holomorphe dans un voisinage de Ω1 (pour la variable s) :
g∶

s

z→

Ψ(s) −

1
s−1

Commençons par un calcul :
1
1
g(s)
1
1
g(s)
Ψ(s)

=
+

= −
+
s
s−1
s ⋅ (s − 1)
s
s−1
s
s
Or on sait par l’étude de la fonction Ψ, que la fonction g est holomorphe dans un
voisinage de Ω1 pour s. Le membre de droite de la dernière égalité ci-dessus est par
conséquent holomorphe sur un voisinage de Ω1 pour s, ce qui termine de prouver que
F se prolonge en une fonction holomorphe sur Ω0 pour z.
Le lemme de Newman s’applique alors, et l’intégrale étudiée est bien convergente.

Proposition 3.8 (Equivalence de φ). .
φ(x)



xÐ→+∞

35

x

Démonstration. Nous allons faire une preuve en deux parties. Dans un premier temps, nous
allons prouver par l’absurde que les x tel que le rapport φ(x)/x est trop loin de 1 sont bornées
en utilisant l’intégralité de l’intégrale de la proposition 3.7. Et enfin par un petit travail sur
les , nous allons pouvoir conclure.
Soit > 0 fixé quelconque. On définit les 2 ensembles suivants :










A+

=

{ x ∈ [1; +∞[ ;

φ(x) ≥ (1 + ) ⋅ x }

A−

=

{ x ∈ [1; +∞[ ;

φ(x) ≤ (1 − ) ⋅ x }

– Montrons par l’absurde que A+ est borné :
Supposons que : ∀n ∈ N, il existe xn ≥ n tel que : φ(xn ) ≥ (1 + ) ⋅ xn . En particulier
lim xn = +∞. En utilisant le caractère croissant de la fonction φ, on peut écrire :

nÐ→+∞

∀t ≥ xn et ∀n ∈ N,



φ(t)

φ(xn )



(1 + ) ⋅ xn

On se ramène alors à l’intégrale étudiée précédemment :
(1+ )⋅xn

∫x

n

φ(t) − t
dt
t2

(1+ )⋅xn



∫x

1+

=

∫1
∫1

n

φ(t) − t
dt
t2

(1 + ) − y
xn ⋅ dy
y2

1 1+
(1 + ) ⋅ [− ]
y 1

=

(1+ )⋅xn

(1 + ) ⋅ xn − xn ⋅ y
xn ⋅ dy
x2n ⋅ y 2
1+

=

∫x

n

(1 + ) ⋅ xn − t
dt
t2



1+

[ln(y)]

=

1 + − 1 − ln(1 + )



− ln(1 + )

1

Cette dernière quantité est strictement positive : c’est une inégalité classique de convexité
(ou plutôt concavité) : la fonction x z→ ln(1 + x) est concave (dérivée seconde négative) donc la courbe représentative est située sous les tangents, en particulier sous la
tangente en 0 qui a pour équation y = x.
Or on sait que la proposition 3.7 que l’intégrale :
+∞

∫1

φ(x) − x
x2
36

dx

est convergente

Par conséquent,
+∞

∫1

φ(x) − x
⋅ 1[xn ;(1+ )⋅xn [
x2

dx

ÐÐÐÐ→ 0
nÐ→+∞

En particulier, cela nous permet d’avoir un rang n0 tel que pour tout n ≥ n0 ,
∣∫
1

φ(x) − x
⋅ 1[xn ;(1+ )⋅xn [
x2

+∞

dx∣

<

− ln(1 + )

Ce qui donne une absurdité avec l’inégalité démontrée précédemment.
– Montrons par l’absurde que A− est borné : (Raisonnement analogue)
– Conclusion de la preuve :
Les deux ensembles A+ et A− étant bornés, on peut écrire :








∃x+ ≥ 1,

∀x ≥ x+ ,

φ(x) ≤ (1 + ) ⋅ x

∃x− ≥ 1,

∀x ≥ x− ,

φ(x) ≥ (1 − ) ⋅ x

Pour x ≥ x0 = max{x+ ; x− }, on a alors :
1 −

φ(x)
x





1+

φ(x)
− 1∣ ≤
x
Ce qui prouve la limite du quotient et l’équivalent de φ(x).
⇐⇒

3.4



Preuve du théorème et d’un corollaire

L’objectif de cette section est de démontrer le théorème des nombres premiers qui démontre un équivalent d’une nombre de nombres premiers au voisinage de +∞. Pour cela,
nous allons commencer par introduire une fonction de comptage de ces nombres premiers :
Démonstration. Théorème des nombres premiers (voir 3.1) : Nous allons démontrer
l’encadrement suivant et ensuite les résultats précédents vont nous permettre de conclure
(en faisant tendre x vers +∞ et ensuite vers 0) :
∀ > 0,
φ(x)
π(x)
1 φ(x)
ln(x)



+
x
x/ln(x)
1−
x
x
37

– Première inégalité :
∀x ≥ 1,
φ(x) =

∑ ln(p)



=

∑ ln(x)

p≤x
p∈P

π(x) ⋅ ln(x)

p≤x
p∈P

Ce qui nous donne bien (∀x ≥ 1) :
φ(x)
x

π(x)
x/ln(x)



– Seconde inégalité :
soit > 0 fixé.
∀x ≥ 1,
φ(x)
=

∑ ln(p)

p≤x
p∈P





ln(p)

x1− < p ≤ x
p∈P



ln(x1− )


x1− < p ≤ x
p∈P

=

(1 − ) ⋅ ln(x)





1

x1− < p ≤ x
p∈P

=

φ(x)



(1 − ) ⋅ ln(x)



(1 − ) ⋅ ln(x)



⎜ π(x) −





p ≤ x1−
p∈P

( π(x) − x1− )

Ce qui nous donne après quelques modifications :

Et ainsi :

π(x) ⋅ ln(x)



1
⋅ φ(x) + ln(x) ⋅ x1−
1−

π(x)
x/ln(x)



1 φ(x)
ln(x)

+
1−
x
x

Terminons rapidement par deux passages à la limite :

38



1 ⎟



φ(x)
x



Ô⇒
Ô⇒

π(x)
x/ln(x)

1 φ(x)
ln(x)

+
1−
x
x
π(x)
1
1 ≤

x/ln(x)
1−
x
π(x)

nÐ→+∞
ln(x)


Corollaire 3.9 (Localisation des nombres premiers). Soit pn le n-ième nombre premier de P.
pn

n ⋅ ln(n)
nÐ→+∞

Démonstration. La suite des nombres premiers étant infinie, on sait que :
lim

nÐ→+∞

pn

=

+∞

Et donc, en appliquant le théorème :
lim

π(pn )
pn /ln(pn )

=

1

lim

n
pn /ln(pn )

=

1

=

1 + n

nÐ→+∞

Ce qui donne :
nÐ→+∞

Ceci peut encore s’écrire :
n ⋅ ln(pn )
pn
est une suite de réelle qui tend vers 0.
∀n ∈ N,

où ( n )n∈N

● Il nous reste à régler le problème du ln(pn ) :
– Calcul d’une première limite :
∀n ∈ N,
(1 + n ) ⋅ pn
Ô⇒

ln(1 + n ) + ln(pn )

Ô⇒

ln(pn )

Ô⇒

1

=

=

=
=

n ⋅ ln(pn )
ln(n) + ln(ln((pn ))

ln(n) + ln(ln((pn )) − ln(1 + n )

ln(n)
ln(ln((pn ))
ln(1 + n )
+

ln(pn )
ln(pn )
ln(pn )
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
ÐnÐ→+∞
ÐÐÐ→ 0
ÐnÐ→+∞
ÐÐÐ→ 0
39

(1)

(2)

Ce qui donne par passage à la limite :
ln(n)
ln(pn )

lim

nÐ→+∞

Ô⇒

(1 + n ) ⋅

=

pn
n ⋅ ln(n)

1

Reprenons les formules (1) et (2)

– Calcul d’une seconde limite :

(1 + n ) ⋅ pn

=

n ⋅ ( ln(n) + ln(ln((pn )) − ln(1 + n ) )
=

+

1

ln(ln(pn )
ln(pn )

ln(pn )
ln(n)
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶
´¹¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹¶
ÐnÐ→+∞
ÐÐÐ→ 0 ÐnÐ→+∞
ÐÐÐ→ 1

On a alors par passage à la limite :
lim

nÐ→+∞

pn
n ⋅ ln(n)

40

=

1



ln(1 + n )
ln(n)
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
ÐnÐ→+∞
ÐÐÐ→ 0

Chapitre 4
Théorème de la progression arithmétique
L’objectif de cette dernière section est de démontrer le théorème de la progression arithmétique que nous pouvons voir comme une généralisation du théorème d’Euclide sur les
nombres premiers (infinité de nombres premiers — a = 0 et m = 1).

Théorème 4.1 (La progression arithmétique (Dirichlet)). Soient m, a deux entiers
premiers entre eux. Alors l’ensemble :
A

=

{ p ∈ P ∣ p ≡ a mod m }

est infini.

Pour nous permettre d’entreprendre une preuve de ce théorème, nous allons devoir nous
intéressé à la théorie des caractères de Dirichlet et également introduction les fonctions L de
Dirichlet.

4.1

Caractères de Dirichlet

Définition 4.1 (Caractère d’un groupe fini G). Un caractère d’un groupe fini G est un
morphisme ϕ de groupes :
ϕ ∶ (G; ∗) Ð→ (C∗ ; ×)
On remarquera au passage que (C∗ ; ×) est un groupe abélien (éléments inversibles).

Il semblerait que ce concept permet de définir le groupe dual de G, composé de l’ensemble
des caractères de G. Il est à la base de l’analyse harmonique sur les groupes abéliens finis.
Arrêtons là la parenthèse.
41

Lemme 4.2 (Propriétés élémentaires sur les caractères). Soit G un groupe fini abélien.
̂ des caractères de G a une structure naturelle de groupe abélien fini,
1. L’ensemble G
isomorphe (non canoniquement) à G.
2. L’application "évaluation"
G
g

Ð→
z→

̂G)

z→ χ(g) )

( χ

est un isomorphisme de groupes.
3. (Relation d’orthogonalité) Soit g ∈ G. Alors :


χ(g)

=

si g = 1
sinon

Card(G)
0

{

̂
χ∈G

4. Si χ ≠ 1, alors :


=

χ(g)

0

g∈G

̂ est donnée par m
Démonstration. (1) La structure de groupe de G
∀a ∈ G,

(χ1 ⋅ χ2 )(a)

=

χ1 (a) ⋅ χ2 (a)

Si on écrit G = ∏ Ci comme un produit direct de groupes cycliques Ci , alors on a :
i∈I

̂
G





̂i
C

i∈I

̂ est
et il suffit de montrer l’énoncé pour un groupe cyclique : G ≃ Z/nZ. Dans ce cas-là, G
isomorphe au groupe µn (C) des racines (non-nécessairement primitives) n-ième de l’unité
̂ est cyclique d’ordre n et isomorphe (non canoniquement) à G.
dans C. Donc G
(2) L’application évaluation est clairement un homorphisme de groupe. On voit qu’elle
est injective en écrivant G comme un produit direct de sous-groupes cycliques. Elle est donc
un isomorphisme par comparaison de cardinalités.
(3) Si g = 1, alors

̂
∀χ ∈ G,


χ(1)

χ(1) = 1,
=

̂
Card(G)

̂
χ∈G

42

=

Card(G)

L’égalité des cardinaux a été démontrée à la propriété (1).
̂ tel que χ1 (g) ≠ 1. Et ainsi :
Supposons maintenant que g ≠ 1. Par (2), il existe χ1 ∈ G


∑ χ(g) ⋅ χ1 (g)

⎝χ∈Ĝ

=

∑ (χ ⋅ χ1 )(g)
̂
χ∈G

=

∑ χ(g)
̂
χ∈G

et donc, par simplification :
∑ χ(g) = 0
̂
χ∈G

̂ par (2) et applique (3).
̂
(4) On identifie G à G
Maintenant que nous avons les propriétés élémentaires sur les caractères sur un groupe
fini, nous allons introduire les caractères de Dirichlet s’appliquant au groupe ((Z/mZ)× ; ×).

Définition 4.2 (Caractère modulo m (ou caractère de Dirichlet)). Un caractère
modulo m est un caractère du groupe (fini) des éléments inversibles de (Z/mZ) (c’est-à-dire
les entiers premiers avec m) que l’on note : ((Z/mZ)× ; ×)

Nous pouvons prolonger facilement un caractère χ modulo m en une fonction :
χ′ ∶

Ð→

N∗

C∗

avec ∀n ∈ N∗ :



χ′ (n) = χ(n)
χ′ (n) = 0

pour n appartenant à une classe d’équivalence n ∈ (Z/mZ)× .
pour n appartenant à une classe d’équivalence n ∉ (Z/mZ)× .

Remarques :
– La deuxième condition n ∉ (Z/mZ)× peut se traduire par n ∧ m ≠ 1.
– La fonction χ′ est périodique de période m, puisque n et n + k ⋅ m sont à chaque
fois dans la même classe d’équivalence.
– La fonction χ′ est (complètement) multiplicative, puisque ∀a, b ∈ Z2 :
χ′ (a ⋅ b) = χ(a ⋅ b) = χ(a ⋅ b) = χ(a) ⋅ χ(b) = χ′ (a) ⋅ χ′ (b)

43

Corollaire 4.3 (Lien avec la fonction indicatrice d’Euler ϕ). Fixons m ≥ 1. Soient
a, n ∈ Z avec a ∧ m = 1. Alors :


χ′ (a)−1 ⋅ χ′ (n)

=

{

χ mod m

si n ≡ a mod m
sinon

ϕ(m)
0

Démonstration. Conséquence directe de notre Lemme 4.2(3)

4.2

Non nullité de L(1, χ)

Définition 4.3 (Série L attachée à un caractère de Dirichlet χ). On associe à un
caractère de Dirichlet χ (modulo m et prolongé sur N∗ ) :
χ∶

N∗

Ð→

C∗

la série de Dirichlet :
L(X; χ)

=



n∈N∗

χ(n) ⋅ n−X

On peut réécrire cette série en utilisant le produit Eulérien (car notre fonction χ est
(complètement) multiplicative :
=

L(X; χ)

∏ ( 1 − χ(p) ⋅ p−X

)−1

p∈P

or dans le cas où p ∣ m, nous avons p ∧ m ≠ 1 ce qui implique que :
χ(p) = 0

( 1 − χ(p) ⋅ p−X

et

)−1 = 1

et donc :
L(X; χ)

=

∏ ( 1 − χ(p) ⋅ p−X

)−1

p∈P
p/∣m

Lemme 4.4 (Transformation d’Abel). Soit (zn )n∈N une suite de nombres complexes.

44

1. (Sommation d’Abel) Soit f ∶ [1; +∞[Ð→ C une fonction de classe (C)1 .
Posons : A(t) = ∑ zn . Alors pour tout x ≥ 1, on a :
1≤n≤t

∑ zn ⋅ f (n)

=

A(x) ⋅ f (x)

x



∫1

1≤n≤x

2. Soit r ∈ R.
– On suppose que
– Alors :

A(t) ⋅ f ′ (t) dt

∣A(t)∣ ⋅ t−r est bornée (par une constance c) quand t Ð→ +∞.

La série ∑ zn ⋅ n−s définit une fonction holomorphe sur Re(s) > r
n≥1

Démonstration.
1. La fonction A(x) est une fonction en escalier et on vérifie immédiatement que l’égalité à montrer se ramène à x = m un entier naturel. On a :
m

∫1

A(t) ⋅ f ′ (t) dt

m−1

=

∑ (∫
k

k+1

A(t) ⋅ f ′ (t) dt)

k=1
m−1

k

k=1

n=1

m−1

m−1

n=1

k=n

=

∑ ( ∑ zn ⋅ (f (k + 1) − f (k)) )

=
m

∫1

A(t) ⋅ f ′ (t) dt

∑ ( ∑ zn ⋅ (f (k + 1) − f (k)) )
m−1

=

∑ zn ⋅ (f (m) − f (n))

n=1

Et donc :
m

∫1

A(t) ⋅ f ′ (t) dt

+

m

∑ zn ⋅ f (n)

=

n=1

m

∑ zn ⋅ f (m)

=

A(m) ⋅ f (m)

n=1

Ce qui nous permet de conclure.
2. On a :

m≤n≤k

zn ⋅ n−s

=

A(k)
ks



A(m)
ms

+

s⋅∫

k

m

Le terme de droite en valeur absolue est majoré par :
(2c + ∣s∣ ⋅ c/δ) ⋅ m−δ
45

avec

δ = Re(s) − r

A(t)
dt
ts+1

D’où la convergence uniforme sur tout comptact de Re(s) > r et l’holomorphie de
∑n≥1 zn ⋅ n−s sur cette région.

Proposition 4.5 (Étude analytique d’un caractère de Dirichlet). Soit χ un caractère
modulo m.
1. ∀s ∈ Ω1 , on a =
L(s, χ)

=

∏ (1 − χ(p) ⋅ p−s )−1
p∈P

En particulier,

L(s; χ) ≠ 0

si s ∈ Ω1

2. Si χ = χ0 , le caractère trivial modulo m, alors ∀s ∈ Ω1 :
L(s; χ0 )

=


−s
ζ(s) ⋅ ⎜
⎜ ∏ (1 − p )
⎝ p∣m
p∈P






Elle se prolonge en une fonction mésomorphe sur C, avec un unique pôle en 1, de
résidu ϕ(m)/m.
3. Supposons χ ≠ χ0 . Alors L(s, χ) converge uniformément sur tout compact de Ω0 . En
particulier, L(s; χ) est holomorphe sur Ω0 .

Démonstration.
Dirichlet.

1. Se montre de la même manière que le Produit Eulérien des séries de

2. Découle du point 1. car :
– Si pgcd(p, m) = 1 , alors χ0 (p) = 1.
– Si p∣m , alors χ0 (p) = 0.
En appliquant le théorème 2.13, on obtient que :
Res1 ( L(s; χ0 ) )

=


p∣m
p∈P

3. Pour tout t ≥ 1, posons :

p−1
p

=

ϕ(m)
m

A(t) = ∑ χ(n). Pour tout k ∈ Z,
1≤n≤t

46



χ(i)

=



χ(a)

=

0

0 ≤ a ≤ m−1
a∧m=1

k ≤ i ≤ m+k

Il suit que ∣A(t)∣ ≤ ϕ(m) en écrivant t = m ⋅ r + t′ , r ∈ N, t′ ∈ [0; m]. On peut alors
appliquer le lemme 4.4 (2).

Lemme 4.6. Soit a ∈ (Z/mZ)∗ d’ordre d. Alors :
∏ ( 1 − χ(a) ⋅ T )

=

(1 − T d )

ϕ(m)
d

∈ C[T ]

χ

Démonstration. Soit H le groupe des caractères modulo m. Alors a correspond à un caractère :
a∗ ∶ χ z→ χ(a) de H
̂ ≃ (Z/mZ)∗ (c’est l’isomorphisme canonique). Il suit
C’est un élément d’ordre d dans H

facilement que a est un homomorphisme surjectif de H dans µd (C) (l’image de a∗ est un
sous-groupe fini de C∗ , donc égal à un µk (C) et on a nécessairement k = d). Donc :
∏ (1 − a∗ (χ)T )

=

χ∈H

∏ (1 − wT )



a∗ (χ)=w

w∈µd (C)

=

∏ (1 − wT )ϕ(m)/d
w∈µd (C)

Or
∏ (1 − wT )

=

1 − Td

w∈µd (C)

et le lemme est démontré.

Lemme 4.7. Soit (an )n≥1 une suite de nombres réels positifs ou nuls.
– On suppose que la série ∑n≥1 an ⋅ n−s converge et définit une fonction holomorphe
g(s) sur Ω1 . Supposons de plus que g(s) s’étend en une fonction holomorphe sur Ω0 .
– Alors

la série converge vers g(t) pour tout t ∈]0; 1].

Démonstration. Soit

bk =

(−1)k ⋅

g (k) (2)
. On a :
k!

g(s)

=

∑ bk ⋅ (2 − s)k
k≥0

47

dans un voisinage ouvert de 2. Mas g(s) est holomorphe, donc développable en série entière sur tout disque ouvert D(2; 2). Il suit que l’égalité ci-dessus vaut pour tout s ∈ D(2; 2).
Soit t ∈]0; 2[, on a :
g(t)

=

∑ bk ⋅ (2 − s)k
k≥0

=

∑ ( ∑ an ⋅
n≥1

k≥0

(ln(n))k −2
⋅ n ) ⋅ (2 − t)k
k!

C’est une série sommable à termes positifs ou nuls, donc :
g(t)

=

(ln(n))k
⋅ (2 − t)k ) ⋅ an ⋅ n−2
k!
k≥0

∑( ∑
n≥1

=

∑ an ⋅ n−t
n≥1

Théorème 4.8 (Non nullité des caractères de Dirichlet). Soit χ un caractère de Dirichlet modulo m.
Alors L(1; χ)



0

Démonstration. Considérons le produit fini sur tous les caractères modulo m :
ζm (s)

∶=

∏ L(s, χ)
χ

C’est une fonction holomorphe sur Ω0 /{1}. Comme les L(s; χ) sont holomorphes dans un
voisinage de s = 1 si χ ≠ χ0 et que L(s; χ0 ) a un pôle simple en 1, il suffit de montrer que
ζm (s) a un pôle en s = 1.
Supposons le contraire.
Alors ζm (s) est holomorphe sur Ω0 . Pour tout p ∣/ m, notons d(p) l’ordre de p dans (Z/mZ)∗ .
Alors pour tout s ∈ Ω1 , on a :
ζm (s) =

∏ ∏ (1 − χ(p) ⋅ p−s )−1
p/∣m

χ

=


p/∣m

(

ϕ(m)/d(p)
1
)
1 − p−d(p)⋅s

C’est une série de la forme ∑n≥1 an ⋅ n−s avec an ∈ R+ . Cette série converge pour tout
t > 0 et donc :
ϕ(m)/d(p)
1
)
= ∑ an ⋅ n−t
∏ (
−d(p)⋅s
1

p
n≥1
p/∣m
48

Notons que :
(

ϕ(m)/d(p)
1
)
1 − p−d(p)⋅s

=

(1 + p−d(p)s + p−2d(p)s + ...)ϕ(m)/d(p)



1 + p−ϕ(m)t + p−2ϕ(m)t + ...

Donc pour tout t ∈]1/ϕ(m); 1],
∑ an ⋅ n−t





n≥1

n−ϕ(m)t

=

L(ϕ(m)t; χ0 )

n≥1
pgcd(m,n)=1

Mais le membre de droite tend vers +∞ quand t Ð→ 1 ϕ(m). Contradiction.

Lemme 4.9 (Décomposition en facteurs premiers). On se donne, pour tout nombre
premier p, une suite de nombres complexes (apk )k≥1 . On pose : b1 = 1 et pour tout n ≥ 2,
apr11 ⋅ ... ⋅ aprl

bn =

si

l

n = pr11 ⋅ ... ⋅ prl l

Soit s ∈ C tel que la série ∑n≥1 bn ⋅ n−s converge absolument. Alors le produit infini
∏ (1

+

p∈P

existe et est égal à

∑ apk ⋅ p−k⋅s )
k≥1

∑ bn ⋅ n−s
n≥1

Démonstration. Pour tout p, la série 1 + ∑ ap ⋅ n−ks est une série extraite de ∑n bn ⋅ n−s , donc
k≥1

absolument convergente. Soit N ≥ 2, le produit partiel
∏ (1 + ∑ ap ⋅ n−ks )
p≤N

k≥1

est la somme des bn ⋅ n−s pour les n dont les facteurs premiers sont ≤ N . Cela implique
facilement le lemme

4.3

Preuve du théorème

Démonstration. Théorème de la progression arithmétique :
– Nous allons étudier les variations de la fonction :
g(s)

=

∑ p−s
p∈A

pour s ∈ Ω1 lorsque s tend vers 1.
49


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