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Feuille d’exercices N 5

Bases d’un Espace Vectoriel
Exercise 1
Exercise 2
Exercise 3 Les ensembles suivants déterminent-ils des bases du C
vectoriel C2 ?

espace

1. La partie P = f(1; i)g n’est pas génératrice car par exemple le vecteur
(1; 0) de C2 n’est pas combinaison linéaire de (1; i) c’est-à-dire de la forme
(1; i), nombre complexe.
Donc P ne détermine pas une base de C2 .
2. La partie Q = f(1; i) ; ( i; 1)g n’est pas libre car (1; i) = i ( i; 1) :
Donc Q ne détermine pas une base de C2 .

3. A voir que la partie S = f(1; 1) ; (i; i)g est libre.
Soient

et

des nombres complexes véri…ant :
(1; 1) + (i; i) = 0

alors

et

satisfont au système :
+i
i
=

d’où l’on tire immédiatement
S est libre.

=
=

0
0

0 puis

= 0 . Donc la partie

A voir que la partie S est génératrice. Soit u = (z; z 0 ) un vecteur quelconque de C2 , u est combinaison linéaire d’éléments de S si et seulement
si il existe des nombres complexes et tels que
u=

(1; 1) + (i; i) :

Cela revient à trouver des solutions au système :
+i
i

= z
,
= z0

+i
2i

système ayant pour solution :
i
i
z + z0:
2
2

=
Donc la partie S est génératrice.

Conclusion : S détermine une base de C2 .
1

= z
=
z + z0

4. La partie T = f(1; 0) ; (0; 1) ; (i; 0) ; (0; i)g n’est pas libre, en e¤ et (i; 0) =
i (1; 0) :
Donc T ne détermine pas une base de C2 .
Exercise 4 Le vecteur u = (x; y; z; t) de F est élément de R4 si et seulement
si t = x + y z. Donc un élément u de R4 appartient à F si et seulement si il
existe trois réels x; y; z, tels que
u = (x; y; z; x + y

z)

ce qui équivaut à
u = x (1; 0; 0; 1) + y (0; 1; 0; 1) + z (0; 0; 1; 1) :
On met ainsi en évidence vecteurs :
u1 = (1; 0; 0; 1) ; u2 = (0; 1; 0; 1) ; u2 = (0; 0; 1; 1) :
Ces trois vecteurs sont des éléments de F et en constituent une famille génératrice.
Véri…ons qu’ils sont linéairement indépendants : Soit , et des réels tels
que
(1; 0; 0; 1) + (0; 1; 0; 1) + (0; 0; 1; 1) = 0
alors
( ; ; ;

+

) = (0; 0; 0; 0)

d’où
=

=

= 0:

Ainsi on vient de construire une base de F :
f(1; 0; 0; 1) ; (0; 1; 0; 1) ; (0; 0; 1; 1)g :
Exercise 5 Soit P2 l’espace vectoriel des fonctions polynômes de degré inférieur
ou égal à 2, à coe¢ cients réels.
1. Montrons que fp1 ; p2 ; p3 g est une famille libre de P2 : Soient des réels
; ; ; véri…ant
p1 + p 2 + p3 = 0
, donc pour tout réel x;
(x + 1) +

(x

1) +

En particulier pour x = 1;
2 = 0;
et pour x =

1;
2 = 0;
2

x2

1 = 0:

et pour x = 0;
=0
on obtient alors
=

=

= 0:

Ceci démontre que fp1 ; p2 ; p3 g est une partie libre.

On sait que q1 : x ! 1; q2 : x ! x et q3 : x ! x2 est la base canonique de
P2 . De plus
q1 =

1
p1
2

1
1
1
1
p2 ; q 2 = p 1 + p 2 ; q 3 = p1
2
2
2
2

1
p2 + p3 :
2

Donc toute combinaison linéaire de q1 ; q2 ; q3 est aussi combinaison linéaire
de p1 ; p2 ; p3 . Ceci démontre que fp1 ; p2 ; p3 g est une partie génératrice de
P2 .
On peut alors conclure que fp1 ; p2 ; p3 g est une base de P2 .
2. On cherche des réels

; ;

véri…ant :
p 1 + p2 + p3 = f

donc pour tout réel x;
(x + 1) +

(x

1) +

x2

1 = x2

Il su¢ t que f ; ; g soit solution du système :
8
8
=
4
<
<
+
=
5 ,
:
:
=
1
+

5x + 4:

=
=
=

1
5
5

qui a pour solution

= 0;

=

5;

= 1:

Ainsi les coordonnées de f dans la base fp1 ; p2 ; p3 g sont 0;

5; 1.

3. Une fonction polynôme p (x) = ax2 +bx+c est élément de F si et seulement
si
a+b+c=0
ce qui équivaut à
p (x) = a x2

1 + b (x

1)

c’est à dire
p = ap3 + bp2 :
Ainsi F est l’ensemble des combinaisons linéaires de p2 et p3 , c’est donc
le sous-espace vectoriel engendré par p2 et p3 .
En…n la famille fp2 ; p3 g, sous-famille d’une base donc d’une partie libre,
est aussi libre.
Conclusion : fp2 ; p3 g est une base de F .
3


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