Fichier PDF

Partagez, hébergez et archivez facilement vos documents au format PDF

Partager un fichier Mes fichiers Boite à outils PDF Recherche Aide Contact



L1TD10 correction .pdf



Nom original: L1TD10 correction.pdf

Ce document au format PDF 1.3 a été généré par / pdfTeX-1.0b-pdfcrypt, et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 25/05/2013 à 23:50, depuis l'adresse IP 41.201.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 1040 fois.
Taille du document: 57 Ko (3 pages).
Confidentialité: fichier public




Télécharger le fichier (PDF)









Aperçu du document


Feuille d’exercices N 5

Bases d’un Espace Vectoriel
Exercise 1
Exercise 2
Exercise 3 Les ensembles suivants déterminent-ils des bases du C
vectoriel C2 ?

espace

1. La partie P = f(1; i)g n’est pas génératrice car par exemple le vecteur
(1; 0) de C2 n’est pas combinaison linéaire de (1; i) c’est-à-dire de la forme
(1; i), nombre complexe.
Donc P ne détermine pas une base de C2 .
2. La partie Q = f(1; i) ; ( i; 1)g n’est pas libre car (1; i) = i ( i; 1) :
Donc Q ne détermine pas une base de C2 .

3. A voir que la partie S = f(1; 1) ; (i; i)g est libre.
Soient

et

des nombres complexes véri…ant :
(1; 1) + (i; i) = 0

alors

et

satisfont au système :
+i
i
=

d’où l’on tire immédiatement
S est libre.

=
=

0
0

0 puis

= 0 . Donc la partie

A voir que la partie S est génératrice. Soit u = (z; z 0 ) un vecteur quelconque de C2 , u est combinaison linéaire d’éléments de S si et seulement
si il existe des nombres complexes et tels que
u=

(1; 1) + (i; i) :

Cela revient à trouver des solutions au système :
+i
i

= z
,
= z0

+i
2i

système ayant pour solution :
i
i
z + z0:
2
2

=
Donc la partie S est génératrice.

Conclusion : S détermine une base de C2 .
1

= z
=
z + z0

4. La partie T = f(1; 0) ; (0; 1) ; (i; 0) ; (0; i)g n’est pas libre, en e¤ et (i; 0) =
i (1; 0) :
Donc T ne détermine pas une base de C2 .
Exercise 4 Le vecteur u = (x; y; z; t) de F est élément de R4 si et seulement
si t = x + y z. Donc un élément u de R4 appartient à F si et seulement si il
existe trois réels x; y; z, tels que
u = (x; y; z; x + y

z)

ce qui équivaut à
u = x (1; 0; 0; 1) + y (0; 1; 0; 1) + z (0; 0; 1; 1) :
On met ainsi en évidence vecteurs :
u1 = (1; 0; 0; 1) ; u2 = (0; 1; 0; 1) ; u2 = (0; 0; 1; 1) :
Ces trois vecteurs sont des éléments de F et en constituent une famille génératrice.
Véri…ons qu’ils sont linéairement indépendants : Soit , et des réels tels
que
(1; 0; 0; 1) + (0; 1; 0; 1) + (0; 0; 1; 1) = 0
alors
( ; ; ;

+

) = (0; 0; 0; 0)

d’où
=

=

= 0:

Ainsi on vient de construire une base de F :
f(1; 0; 0; 1) ; (0; 1; 0; 1) ; (0; 0; 1; 1)g :
Exercise 5 Soit P2 l’espace vectoriel des fonctions polynômes de degré inférieur
ou égal à 2, à coe¢ cients réels.
1. Montrons que fp1 ; p2 ; p3 g est une famille libre de P2 : Soient des réels
; ; ; véri…ant
p1 + p 2 + p3 = 0
, donc pour tout réel x;
(x + 1) +

(x

1) +

En particulier pour x = 1;
2 = 0;
et pour x =

1;
2 = 0;
2

x2

1 = 0:

et pour x = 0;
=0
on obtient alors
=

=

= 0:

Ceci démontre que fp1 ; p2 ; p3 g est une partie libre.

On sait que q1 : x ! 1; q2 : x ! x et q3 : x ! x2 est la base canonique de
P2 . De plus
q1 =

1
p1
2

1
1
1
1
p2 ; q 2 = p 1 + p 2 ; q 3 = p1
2
2
2
2

1
p2 + p3 :
2

Donc toute combinaison linéaire de q1 ; q2 ; q3 est aussi combinaison linéaire
de p1 ; p2 ; p3 . Ceci démontre que fp1 ; p2 ; p3 g est une partie génératrice de
P2 .
On peut alors conclure que fp1 ; p2 ; p3 g est une base de P2 .
2. On cherche des réels

; ;

véri…ant :
p 1 + p2 + p3 = f

donc pour tout réel x;
(x + 1) +

(x

1) +

x2

1 = x2

Il su¢ t que f ; ; g soit solution du système :
8
8
=
4
<
<
+
=
5 ,
:
:
=
1
+

5x + 4:

=
=
=

1
5
5

qui a pour solution

= 0;

=

5;

= 1:

Ainsi les coordonnées de f dans la base fp1 ; p2 ; p3 g sont 0;

5; 1.

3. Une fonction polynôme p (x) = ax2 +bx+c est élément de F si et seulement
si
a+b+c=0
ce qui équivaut à
p (x) = a x2

1 + b (x

1)

c’est à dire
p = ap3 + bp2 :
Ainsi F est l’ensemble des combinaisons linéaires de p2 et p3 , c’est donc
le sous-espace vectoriel engendré par p2 et p3 .
En…n la famille fp2 ; p3 g, sous-famille d’une base donc d’une partie libre,
est aussi libre.
Conclusion : fp2 ; p3 g est une base de F .
3


L1TD10 correction.pdf - page 1/3
L1TD10 correction.pdf - page 2/3
L1TD10 correction.pdf - page 3/3

Documents similaires


Fichier PDF cours mpsi mathematiques 1
Fichier PDF l1td10 correction
Fichier PDF algebre lineaire
Fichier PDF td espace vectoriels et applications lineaires
Fichier PDF 04 espaces vectoriels et affines cours complet
Fichier PDF l1 maths fondamentales


Sur le même sujet..