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L1TD10 .pdf


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Université Abdelhamid Ibn Badis-Mostaganem
Faculté des Sciences Exactes et d’Informatique
Département de Mathématiques-Informatique
Tronc Commun Licence MIAS
Matière : AlgébreII
Responsable : Sidi Mohamed Bahri
Feuille d’exercices N 5

Bases d’un Espace Vectoriel
(28 Avril 2013)
Exercise 1 Soit V1 = (1; 0; 0) ; V2 = (1; a; 1) ; V1 = (0; 0; 1) ; des vecteurs de
l’espace vectoriel R3 ; a étant un nombre réel, trouver toutes les valeurs de a pour
lesquelles (V1 ; V2 ; V1 ) est une base de R3 .
Exercise 2 Soit E un R-espace vectoriel possédant une base B = (i; j; k).
1. Démontrer que B 0 = (j + k; k + i; i + j) est une base de E.
2. Soit u = xi + yj + zk ( x, y, z réels) un élément de R3 , quelles sont les
coordonnées de u dans la base B 0 ?
Exercise 3 Les ensembles suivants déterminent-ils des bases du C
vectoriel C2 ?

espace

1. P = f(1; i)g
2. Q = f(1; i) ; ( i; 1)g
3. S = f(1; 1) ; (i; i)g
4. T = f(1; 0) ; (0; 1) ; (i; 0) ; (0; i)g
Exercise 4 Construire une base de l’espace vectoriel
F = (x; y; z; t) 2 R4 : x + y

z

t=0 :

Exercise 5 Soit P2 l’espace vectoriel des fonctions polynômes de degré inférieur
ou égal à 2, à coe¢ cients réels.
1. Montrer que p1 : x ! x + 1; p2 : x ! x
une base de P2 .
2. Donner les coordonnées de f : x ! x2

1 et p3 : x ! x2

1 constituent

5x + 4 dans cette base.

3. Soit le sous-ensemble de P2 dé…ni par F = fp 2 P2 : p (1) = 0g, véri…er
que F est un sous-espace vectoriel de P2 et donner une base de F .

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