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Produit scalaire .pdf



Nom original: Produit scalaire.pdf
Titre: Produit scalaire
Auteur: Corentin Lefebvre

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Lefebvre Corentin
Produit scalaire

Produit scalaire :
I - Angles orientés d’un couple de vecteurs non nuls :


Soient u et v deux vecteurs non nuls.


• OM est le représentant d'origine O de u.


• ON est le représentant d'origine O de v .
• C est le cercle trigonométrique de centre O.
• ⎡⎢OM⎤⎥ coupe C en M'.




• ⎢ON⎥ coupe C en N'.



• Les mesures de l'arc orienté MN' sont aussi
 
les mesures de l'angle u ; v .

( )

II - Produit scalaire de deux vecteurs :
A) Définition :




Soient u et v deux vecteurs du plan, on appelle le produit scalaire de u par v le nombre réel
 
noté u ⋅v défini par :
 
 
  ⎧⎪⎪0 si u = 0 ou si v = 0

 
 
 
u ⋅v = ⎪⎨ 
⎪⎪ u × v ×cos u ; v si u ≠ 0 et v ≠ 0
⎪⎩

( )

Exemples :


 
π
• u =3 ; v =4 ; u ;v =
6
 
⎛ π ⎞⎟
⇒ u ⋅v = 3×4 ×cos ⎜⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 6 ⎟⎠
 
⇒ u ⋅v = 6 3

( )

-1-



Lefebvre Corentin
Produit scalaire



3
• u =5 ; v = ;
2
 
15
⇒ u ⋅v = −
4


• u =4 ; v =2 ;
 
⇒ u ⋅v = 0

 

u ;v =
3

( )

 
π
u ;v =
2

( )

Remarque :
 


 
u ⋅v = 0 ⇔ u × v ×cos u ; v = 0


 
⇔ u = 0 ou v = 0 ou cos u ; v = 0
 
 
 
⇔ u = 0 ou v = 0 ou u ⊥ v .

( )
( )

B) Règles de calculs :
 

Propriétés : Soient u , v et w trois vecteurs et soient a et b deux réels :
   
1) u ⋅v = v ⋅u
  
   
2) u ⋅ v + w = u ⋅v + u ⋅w


 
3) au ⋅ bv = (ab ) × u ⋅v

(

)
( )( )

2

4) u = u

( )

2

 2
  2 2
  2
2
 

5) u + v = u + v = u + 2u ⋅v + v = u + 2u ⋅v + v

( )
 
 

  

6) u −v = (u −v ) = u − 2u ⋅v + v = u
   




7) (u + v ) ⋅ (u −v ) = u −v = u − v
2

2

2

2

2

2

2

2

 

− 2u ⋅v + v

2

-2-

2

2



Lefebvre Corentin
Produit scalaire

Démonstration :
 


 
1) u ⋅v = u × v ×cos u ; v
 


 
v ⋅u = v × u ×cos v ; u
 
 
 
 
v ; u = − u ; v mais cos v ; u = cos u ; v

( )
( )
( ) ( )
( )

( )

2  
4) u = u ⋅u


 
= u × u ×cos u ; u
2
= u ×1

= u

( )

2

En particulier, pour 4) :
 2  
 2
AB = AB ⋅ AB = AB = AB2

En particulier, pour 5) :
 2
2
2
• u +v ≠ u + v .

 
 
 2
2

• Si u ⊥ v alors u ⋅v = 0, donc u + v = u + v

-3-

2

on retrouve le théorème de Pythagore.



Lefebvre Corentin
Produit scalaire

III - Formules analytiques :
 


Le plan est muni d’un repère orthonormal O ; i ; j , Soient u (x ; y ) et v (x ' ; y ') .

(

)

Théorème :
 
1) u ⋅v = xx '+ yy '.

2) u = x 2 + y 2 .

3) Si A a pour coordonnées (x A ; y A ) et B (x B ; y B )
2

2

= AB2 = (x B − x A ) + (y B −y A ) .

Corollaire :
 
 
u ⊥ v ⇔ u ⋅v = 0 ⇔ xx '+ yy ' = 0
 
u / /v ⇔ xy '− x 'y = 0

Démonstration :
 




1) u ⋅v = xi + y j ⋅ x 'i + y ' j
 
 
 
 
 
u ⋅v = xx 'i ⋅i + xy 'i ⋅ j + yx ' j ⋅i + yy ' j ⋅ j
Or,
2
⎧⎪  2
⎪⎪i ⋅i = i = i = 1
⎪⎪
⎪⎪   2
2
⎪j ⋅ j = j = j = 1

⎪⎪
 
⎪⎪   
⎪⎪i ⋅ j = j ⋅i = 0 car i ⊥ j
⎪⎪

 
Donc u ⋅v = xx '+ yy '

(

)(

)

-4-

   2
2
alors AB ⋅ AB = AB = AB



Lefebvre Corentin
Produit scalaire

IV - Applications du produit scalaire :
A) La relation d’Al Kashi :
Théorème :
On a :
⎪⎧⎪a 2 = b 2 +c 2 − 2bc cos
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎨b 2 = a 2 +c 2 − 2ac cos
⎪⎪
⎪⎪ 2
⎪⎪c = b 2 + a 2 − 2ab cos
⎪⎩

(A )
(B )
(C )

Démonstration :
  
BC = BA + AC
  
BC = AC − AB
 2
  2
BC = AC − AB
 
2
2
BC = AC − 2AC ⋅ AB + AB2

(

)

()


BC2 = AC2 − 2AC×AB×cos A + AB2

()


a 2 = b 2 +c 2 − 2bc cos A

Remarque : Si le triangle ABC est rectangle en A :


a 2 = b 2 +c 2 − 2bc cos A or, cos A = 0 , d’où a 2 = b 2 +c 2 , on retrouve le théorème de

()

()

Pythagore.

-5-



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Produit scalaire

B) Théorème de la médiane :
Théorème :
Soit ABC un triangle quelconque avec I
milieu de [BC].
Si I est le milieu de [BC] dans un triangle
ABC alors :

AB2 + AC2 = 2AI2 +

Démonstration :
  
 2
 
AB = AI + IB donc AB = AI + IB

 2  2
   2
AB = AI + 2AI ⋅ IB + IB
 
AB2 = AI2 + 2AI ⋅ IB + IB2

(

)

2

  
AC = AI + IC

 
Donc AC2 = AI2 + 2AI ⋅ IC + IC2
 
 
2
2
AB + AC = AI + 2AI ⋅ IB + IB + AI + 2AI ⋅ IC + IC2
2
  
⎛ BC ⎞⎟
2
2
2

⎟⎟ + 2AI ⋅ IB + IC
AB + AC = 2AI + 2×⎜⎜
⎝ 2 ⎟⎠
2

2

2

(

AB2 + AC2 = 2AI2 +

)

BC2
2

-6-

BC2
2



Lefebvre Corentin
Produit scalaire

V - Equation d’un cercle :
Théorème :
Le plan est muni d’un repère orthonormal
 
O ; i ; j . On considère le cercle C de centre

(

)

(

)

Ω(a ; b) et de rayon r r ∈ * .
Le cercle C de centre Ω(a ; b) et de rayon r a pour
équation :
2

2

(x −a ) + (y −b)

Démonstration :

Soit M (x ; y ) un point du plan.
M ∈ C ⇔ ΩM = r
⇔ ΩM2 = r 2
2

2

⇔ (x M − x Ω ) + (y M −y Ω ) = r 2
2

2

⇔ (x −a ) + (y −b ) = r 2

-7-

= r2



Lefebvre Corentin
Produit scalaire

VI - Equations cartésiennes d’une droite :
 
Le plan est muni d’un repère orthonormal O ; i ; j .

(

)

A) Vecteur directeur et vecteur normal :
Définition :
On considère la droite d passant par deux points
distincts A et B du plan.
On appelle vecteur directeur de la droite d tout


vecteur non nul v colinéaire à AB .
On appelle vecteur normal à la droite d tout


vecteur non nul n orthogonal à AB .

Propriété : Soit M un point du plan :


M ∈ d ⇔ AM est colinéaire à v .


M ∈ d ⇔ AM est orthogonal à n.

B) Equations cartésiennes d’une droite :
1) 1er exemple :

On considère la droite d passant par A(3 ; -5) et de vecteur directeur v (2 ; 4) . Soit M(x ;
y) un point du plan :
 ⎛
x − 3 ⎞⎟⎟
On a AM ⎜⎜⎜
⎟.
⎜⎝ y + 5 ⎟⎟⎠
 
M ∈ d ⇔ AM / /v
⇔ XY '− X 'Y = 0

⇔ (x − 3) ×4 − 2×(y + 5) = 0
⇔ 4x − 2y − 22 = 0 (équation cartésienne de d).
⇔ 2x −y −11 = 0 (autre équation de d).
-8-



Lefebvre Corentin
Produit scalaire

y = 2x - 11 est l’équation réduite de d.

2) 2ème exemple :

On considère la droite d passant par A(3 ; -5) et de vecteur normal n (−4 ; 6) .
Soit M(x ; y) un point du plan, on a :
 ⎛
x − 3 ⎞⎟⎟
AM ⎜⎜⎜
⎟.
⎜⎝ y + 5 ⎟⎟⎠
 
M ∈ d ⇔ AM ⊥ n
 
⇔ AM ⋅n = 0
⇔ XX '+YY ' = 0

⇔ −4 (x − 3) + 6 (y + 5) = 0
⇔ −4x + 12 + 6y + 30 = 0
⇔ −4x + 6y + 42 = 0 (équation cartésienne de d)
⇔ −2x + 3y + 21 = 0 (autre équation de d)

3) Cas général :

★ d est la droite passant par A(x0 ; y0) et de vecteur directeur v (α ; β ) ≠ (0 ; 0) . Soit
M(x ; y) un point du plan, on a :
 ⎛⎜ x − x ⎞⎟
0 ⎟
⎟.
AM ⎜⎜
⎜⎜ y −y ⎟⎟⎟
0 ⎠



M ∈ d ⇔ AM et v sont colinéaires.
⇔ XY '− X 'Y = 0

⇔ (x − x 0 ) β − α (y −y 0 ) = 0
⇔ βx − αy − βx 0 + αy 0 = 0 (équation cartésienne de d)

-9-



Lefebvre Corentin
Produit scalaire


n
d
est
la
droite
passant
par
A(x
;
y
)
et
de
vecteur
normal
0
0

(α ; β ) avec
 ⎛⎜ x − x ⎞⎟
0 ⎟
⎜⎜
⎟.
α
;
β

0
;
0
AM
.
Soit
M(x
;
y)
un
point
du
plan,
on
a
:
( ) ( )
⎜⎜ y −y ⎟⎟⎟
0 ⎠

 
M ∈ d ⇔ AM ⊥ n
⇔ XX '+YY ' = 0
⇔ α (x − x 0 ) + β (y −y 0 ) = 0
⇔ αx + βy − αx 0 − βy 0 = 0 (équation cartésienne de d)
Propriété : Tout droite admet une équation de la forme ax + by + c = 0 avec (a ; b) ≠ (0 ;
0).
Réciproquement : Toute équation de la forme ax + by + c = 0 avec (a ; b) ≠ (0 ; 0) est


l’équation d’une droite d de vecteur normal n (a ; b ) et de vecteur directeur v (−b ; a ) .

C) Exemples :
1 - d1 a pour équation 3x - 2y + 5 = 0, pour trouver d1 on peut soit trouver deux points de
d1 ou revenir à l’équation réduite de d1 :
★ Trouver deux points de d1 :
A(-1 ; 1), A ∈d car 3×(−1) − 2×1 + 5 = 0 .
Si x = 2 alors 3×2 − 2y + 5 = 0 ⇔ −2y = −11 ⇔ y =

★ Revenir à l’équation réduite :
3
5
y= x+ .
2
2


m

p

- 10 -


11
11 ⎞⎟
⎟⎟ ; B ∈ d .
. B ⎜⎜⎜2 ;
2
2 ⎟⎠




Lefebvre Corentin
Produit scalaire


2 - d2 a pour équation 4x - 3y - 2 = 0, tracer d2, donner un vecteur directeur v de d2 et un

vecteur normal n à d2.
En prenant la méthode du passage à l’équation réduite :
4
2
y= x− .
3
3


v (3 ; 4 )

n (4 ; − 3)

- 11 -



Lefebvre Corentin
Produit scalaire

D) Exercices d’application :
d : x − 2y + 4 = 0
d ' : 6x + 3y − 7 = 0
Donner un vecteur directeur pour chaque droite :

v (−b ; a ) , d’où :

v (2 ; 1) est un vecteur directeur de d.

v ' (−3 ; 6) est un vecteur directeur de d '.
Ces deux droites sont-elles perpendiculaires ? :
 
XX '+YY ' = 2×(−3) + 1×6 = 0 donc v ⊥ v '.

Donc d ⊥ d '.
On considère la droite d’équation x + 2y - 7 = 0, on appelle D la droite passant par A de
coordonnées (2 ; -3) et parallèle à d. Trouver une équation de D.


v (−2 ; 1) est un vecteur directeur de d, donc de D car ces deux droites sont parallèles.
Soit M(x ; y) un point du plan :


M ∈ D ⇔ AM et v sont colinéaires.
⇔ XY '− X 'Y = 0

⇔ (x − 2) − (−2y −10) = 0
⇔ x + 2y + 8 = 0
On retrouve donc l’équation de D.
Autre méthode :

n (1 ; 2) est un vecteur normal à d, donc un vecteur normal à D.
Soit M(x ; y) un point du plan :
   ⎛
x −2
M ∈ D ⇔ AM ⊥ n AM ⎜⎜⎜
⎜⎝ y + 5
⇔ XX '+YY ' = 0

⎞⎟
⎟⎟.
⎟⎟⎠

⇔ x − 2 + 2 (y + 5) = 0
⇔ x + 2y + 8 = 0

- 12 -



Lefebvre Corentin
Produit scalaire

A(4 ; 1) et B(0 ; 6). Trouver une équation de la médiane de [AB].


AB est un vecteur normal à Δ1. I est le milieu de [AB], de coordonnées (2 ; 0).
 ⎛
2−x
Soit M(x ; y) un point du plan : On a MI ⎜⎜⎜
⎜⎝ −y
 
M ∈ Δ1 ⇔ MI ⊥ AB

 ⎛
⎞⎟

⎟⎟ et AB ⎜⎜ −4 ⎟⎟⎟ .
⎜⎜⎝ 5 ⎟⎠
⎟⎟⎠

⇔ XX '+YY ' = 0
⇔ −4 (2 − x ) − 5y = 0
⇔ 4x − 5y − 8 = 0

Donc y =

4
8
x+ .
5
5

VII - Formules de trigonométrie :
A) Formules d’addition :
C désigne le cercle trigonométrique de centre O,
 
O ; i ; j est un repère orthonormal, M est le point

(

)

du cercle C repéré par le réel a et N est le point du
cercle C repéré par le réel b.

 
On peut calculer OM ⋅ON .
 


 
OM ⋅ON = OM × ON ×cos OM ; ON
 
OM ⋅ON = 1×1×cos (a −b )

cos(a )−cos(b )

- 13 -

(

)



Lefebvre Corentin
Produit scalaire

 ⎛⎜ cos (a ) ⎞⎟⎟
 ⎛⎜ cos (b ) ⎞⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟ et ON ⎜⎜
⎟⎟
OM ⎜
⎜⎜
⎜⎜ sin (a ) ⎟⎟
sin
b
( ) ⎟⎟⎟⎠
⎜⎝
⎟⎠

 
Donc, OM ⋅ON = cos (a ) ⋅ cos (b ) + sin (a ) ⋅ sin (b )
Donc cos (a −b ) = cos (a ) ⋅ cos (b ) + sin (a ) ⋅ sin (b )
Propriété : cos (a −b ) = cos (a ) ⋅ cos (b ) + sin (a ) ⋅ sin (b ) .
En remplaçant b par (-b) on obtient :
Propriété : cos (a +b ) = cos (a ) ⋅ cos (b ) − sin (a ) ⋅ sin (b ) .

⎛π

Pour tout réel x, sin (x ) = cos ⎜⎜⎜ − x ⎟⎟⎟ :
⎟⎠
⎝2
⎛π

sin (a +b ) = cos ⎜⎜⎜ − (a +b )⎟⎟⎟
⎟⎠
⎝2
⎛⎛ π
⎞ ⎞⎟
= cos ⎜⎜⎜⎜⎜⎜ −a ⎟⎟⎟ −b ⎟⎟
⎟⎠ ⎟⎠
⎜⎝⎝ 2
⎛π

⎛π

= cos ⎜⎜⎜ −a ⎟⎟⎟ ⋅ cos (b ) + sin ⎜⎜⎜ −a ⎟⎟⎟ ⋅ sin (b )
⎟⎠
⎟⎠
⎝2
⎝2
= sin (a ) ⋅ cos (b ) + cos (a ) ⋅ sin (b )
Propriété : sin (a +b ) = sin (a ) ⋅ cos (b ) + cos (a ) ⋅ sin (b ) .
En remplaçant b par (-b) on obtient :
Propriété : sin (a −b ) = sin (a ) ⋅ cos (b ) − cos (a ) ⋅ sin (b ) .

- 14 -



Lefebvre Corentin
Produit scalaire

Exemples :

π
π π
= −
12 3 4
⎛π⎞
⎛π π⎞
cos ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = cos ⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟
⎜⎝12 ⎟⎠
⎝ 3 4 ⎟⎠

1-

⎛π⎞
⎛π⎞
⎛π⎞
⎛π⎞
⎛π⎞
cos ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = cos ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⋅ cos ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ + sin ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⋅ sin ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟
⎝12 ⎟⎠
⎝ 3 ⎟⎠
⎝ 4 ⎟⎠
⎝ 3 ⎟⎠
⎝ 4 ⎟⎠
⎛π⎞ 1
2
3
2
cos ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = −
+

⎜⎝12 ⎟⎠ 2
2
2
2
⎛π⎞
2
6
cos ⎜⎜ ⎟⎟⎟ =
+
⎜⎝12 ⎟⎠
4
4
⎛π⎞
⎛π⎞
⎛π⎞
⎛π⎞
⎛π⎞
2 - sin ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = sin ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⋅ cos ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ + cos ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⋅ sin ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟
⎜⎝12 ⎟⎠
⎝ 3 ⎟⎠
⎝ 4 ⎟⎠
⎝ 3 ⎟⎠
⎝ 4 ⎟⎠
⎛π⎞
3 2 1 2
sin ⎜⎜ ⎟⎟⎟ =

− ⋅
⎜⎝12 ⎟⎠
2 2
2 2
⎛π⎞
6
2
sin ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ =

4
4
⎝12 ⎠⎟

3-

5π 2π π
=

12
3
4

⎛ 5π ⎞
⎛ 2π ⎞
⎛π⎞
⎛π⎞
⎛ 2π ⎞
cos ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = cos ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⋅ cos ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ + sin ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⋅ sin ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟
⎜⎝ 12 ⎟⎠
⎝ 3 ⎟⎠
⎝ 4 ⎟⎠
⎝ 4 ⎟⎠
⎝ 3 ⎟⎠
⎛ 5π ⎞
1 2
2 3
cos ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = − ⋅
+

2 2
2 2
⎝ 12 ⎟⎠
⎛ 5π ⎞
2
6
cos ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = −
+
4
4
⎝ 12 ⎟⎠
⎛ 5π ⎞
3 2
2 ⎛⎜ 1 ⎞⎟


⋅ ⎜− ⎟⎟
4 - sin ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ =
2 2
2 ⎜⎝ 2 ⎟⎠
⎝ 12 ⎟⎠
⎛ 5π ⎞
6
2
sin ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ =
+

4
4
⎝ 12 ⎠

- 15 -



Lefebvre Corentin
Produit scalaire

B) Formules de duplication :
cos (a +b ) = cos (a ) ⋅ cos (b ) − sin (a ) ⋅ sin (b ) .
Posons b = a, alors pour tout réel a on a :
Propriété :
⎧⎪cos (2a ) = cos2 (a ) − sin 2 (a )
⎪⎪
⎪⎪
2
⎨cos (2a ) = 2cos (a ) −1
⎪⎪
⎪⎪cos (2a ) = 1 − 2sin 2 (a )
⎪⎩

Démonstration :

On a cos2 (a ) + sin 2 (a ) = 1

cos (2a ) = cos2 (a ) − sin 2 (a )

(

)

= 1 − sin 2 (a ) − sin 2 (a )
= 1 − 2sin 2 (a )
De même :
cos (2a ) = cos2 (a ) − sin 2 (a )

(

)

= cos2 (a ) − 1 − cos2 (a )
= 2cos2 (a ) −1

sin (a +b ) = sin (a ) ⋅ cos (b ) + sin (b ) ⋅ cos (a ) .
Posons b = a alors pour tout réel a :
Propriété : sin (2a ) = 2sin (a ) cos (a ) .

- 16 -



Lefebvre Corentin
Produit scalaire

VIII - Produit scalaire et orthogonalité :




On considère deux vecteurs non nuls u et v de représentants AB et AC :

On appelle H le projeté orthogonal de C sur (AB).

   
u ⋅v = AB ⋅ AC
  
= AB ⋅ AH + HB
 
 
= AB ⋅ AH + AB
⋅ HB


(

)

0 car perpendiculaire

 
 
Donc u ⋅v = AB×AH×cos AB ; AH

(

)



 
⇔ AB et AH sont de même sens alors cos AB ; AH = 1


 
⇔ AB et AH sont de sens contraire alors cos AB ; AH = −1

(

(

)

)

Propriété :
   
u ⋅v = AB ⋅ AC.
 
= AB ⋅ AH où H est le projeté orthogonal de C sur (AB).


⎪⎧⎪AB×AH si AB et AH sont colinéaires et de même sens
= ⎪⎨


⎪⎪−AB×AH si AB et AH sont colinéaire et de sens contraire
⎪⎩

- 17 -


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