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Nom original: L'indice R.pdfTitre: Indice RAuteur: RAKOTOARISOA

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Indice R
Et les indices classiques
Par A. L. Jocelyn RAKOTOARISOA
Juin 2013

**********************
Première tentative d’élaboration
Premier essaie
Anjara Lalaina Jocelyn RAKOTOARISOA ®
Juin 2013

L

es indices sont extrêmement utilisés et il est essentiel à la fois de savoir les
interpréter correctement et d’être capable de concevoir des indices pertinents.
C’est un domaine très intéressant et complexe du fait qu’il recoupe des
problématiques diverses qui interfèrent.
Pour le calcul de l’indice des prix à la consommation (IPC), deux produits identiques mais
vendus dans des types de magasins différents doivent-ils être considérés comme un seul et
même produit ?
L’étude des indices, est qui si l’on peut se satisfaire d’un appareillage mathématique très
modeste, l’usage des indices est assez subtil et plein de pièges. Il donne lieu par ailleurs à
des développements théoriques très sophistiqués, qui ne seront pas véritablement abordés.
Pour mémoire, signalons simplement que des grands économistes, comm e Solow ou
Samuelson, ont contribué à développer cette théorie. Par ailleurs, la recherche théorique sur
les indices est un domaine toujours actif, malgré l’ancienneté des problèmes posés.
L’indice simple n’a pas de défauts vu son élémentarité. Par contre, les indices synthétiques
présentent des faiblesses en termes de propriétés. Alors qu’on a souvent à faire avec des
tonnes de données, munies de plusieurs grandeurs, qu’on doit « agrégées » pour la bonne
anticipation.
Les indices synthétiques
Un indice synthétique est une combinaison d’indices élémentaires. Comme les CTC, il
n’existe pas d’indice synthétique idéal permettant de calculer l’indice d’une grandeur
complexe. Le problème est ancien, et a été résolu d’une certaine manière par les
statisticiens, dont les méthodes ont été exposées par I. Fisher dans « The making of index
numbers » (1922). En 1707, Fleetwood calcul un indice de prix sur la base de 4 prix de 4
biens fondamentaux : blé, viande, bière, drap. En base 100 en 1450 il établit le TCAM des
prix en 1700 = 0.72%. Il ne pose pas le problème de la différence de croissance des 4 prix,
autrement dit celui de la pondération des indices élémentaires. En 1764, Carli proposa un
indice pour calculer l’augmentation des prix liée à la découverte de l’Amérique, qui est définit
par :

Cet indice est synthétique car il prend la moyenne d’indices élémentaires. Ce n’est que
début XIXème que l’apparition de la notion de moyenne pondérée permettra de poser ce
problème (A. Young-1812). Ce problème dit de l’agrégation des constituants signifie que :
l’augmentation globale des prix doit prendre en considération les différences des parts des
biens dans la consommation, ou ce que l’on appellera les coefficients budgétaires.
La pondération est la même mais d’autres pondérations sont envisageables et plus
facilement justifiées. En effet, pourquoi accorder le même poids à la variation du prix du blé
et à celle de l’huile? Pour les dépenses des ménages, la variation du prix du blé était
beaucoup plus importante que celle du prix de l’huile. On peut alors calculer un indice
synthétique en prenant une moyenne pondérée.

Par exemple, dans le calcul du SMI, la pondération est déterminée par la capitalisation
boursière.
Anjara Lalaina Jocelyn RAKOTOARISOA ®
Juin 2013

La pondération de l’action Novartis est de 0.22, celle de l’action Nestlé 0.178 est ainsi de
suite pour les 26 titres du SMI. Pour l’indice des prix à la consommation, la pondération est
déterminée par la part des dépenses consacrées à chaque bien. Cette part peut être
calculée de différentes manières et on obtient alors plusieurs sortes d’indices de prix.
Les indices synthétiques de Laspeyres et de Paasche présentent l’avantage de vérifier, entre
autres propriétés, la propriété d’agrégation et donc de résoudre ce problème. Aussi sont ils
les plus fréquemment calculés. L’indice de Fisher qui en est issu, aussi utile et performant
soit-il, ne vérifie pas, par contre, cette propriété.
L’indice synthétique doit satisfaire les propriétés des indices élémentaires
Il serait souhaitable que les indices synthétiques satisfassent aux mêmes propriétés des
indices élémentaires. Les indices de Laspeyres et Paasche ne satisfont pas ces propriétés.
Pour la réversibilité, on a :
Indice de Laspeyres :

Indice de Paasche :

De ce fait, Fisher a fait la moyenne géométrique de ces deux indices pour avoir un indice
synthétique ayant la propriété de réversibilité.

Cet indice vérifie la réversibilité

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Juin 2013

Evidemment, parmi ces indices synthétiques classiques, celui de Fisher est plus meilleur.
Malgré cela, il ne vérifie pas la propriété de circularité.

L’indice R et son élaboration
La recherche d’un autre indice est donc nécessaire. Un indice synthétique qui vérifiera les
propriétés de l’indice élémentaire.
L’indice synthétique doit être un indice capable de présenter un ensemble, et complétant les
propriétés essentiels d’un indice pour la bonne pertinence de l’information.
L’indice R est un indice issu de la mobilisation des moyennes arithmétiques pondérées de
chaque proportion d’un ensemble.
0
q0
q 0A


q 0B
q 0C



1
p0
p0


p0
p0

q2
q2


q2
q2

p2
p2


p2
p2








t-2







q t-2
q t-2


q t-2
q t-2

t-1

p t-2
p t-2


p t-2
p t-2

q t-1
q t-1


q t-1
q t-1

t
p t-1
p t-1


p t-1
p t-1

qt
qt


qt
qt

pt
pt


pt
pt

La valeur représentative des prix dans chaque temps et leurs moyennes respectives. Mais
nous savons que le prix est influencé par la quantité, alors les moyennes doivent être
pondérées par les quantités respectives. Avec les indices classiques, on a à trouver la
moyenne des indices simples de chaque bien dans chaque moment. Pour l’indice R, on va
unifier les prix des biens à un temps t en un seul, autrement dit, on va les former en un seul
et unique bien. Il s’agit donc de représenter deux ou plusieurs produits en un seul, celui qui
pourra les représenter, c’est le « bien moyen ».
Le prix du bien moyen à l’instant t sera donc :

Prenons le temps 0 comme base 100, on a
donc une certaine constante

. Puisque 0 est la base 100, il existe

qui égalise cette relation à 1.

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Juin 2013

Soit

Au moment t, on a

, pour voir donc son évolution par rapport au moment 0, on

doit multiplier cette valeur par la même constante .
Soit

Or, on a

Alors,

Donc, en t on aura,

Anjara Lalaina Jocelyn RAKOTOARISOA ®
Juin 2013

Anjara Lalaina Jocelyn RAKOTOARISOA ®
Juin 2013

Circularité :

Réversibilité :

L’indice R est donc à la fois réversible et circulaire

Les propriétés de l’indice R

2010
Quantité-Prix

Bien A
Bien B
Bien C
Bien D

q
10
13
11
13

2011
p
110
123
175
120

q
12
12
13
10

2012
p
111
120
192
112

q
10
13
12
12

2013
p
111
125
189
116

q
11
12
11
12

Base 100 = 2010
Supposons que les biens A, B, C et D ne sont qu’un seul produit N. Le prix de N sera alors
de :

2010
131,57
100

Prix de N
IPC de N

Laspeyres
Paasche
Fisher
R

2011
135,91
103,30

2012
136,06
103,41

2013
131,43
99,89

2010

2011

2012

2013

100
100
100
100

100,87
101,87
101,37
103,30

102,23
102,50
102,36
103,41

99,84
99,21
99,52
99,89

104

103
102
101
100
99

98
97
2010

Laspeyres

Anjara Lalaina Jocelyn RAKOTOARISOA ®
Juin 2013

2011

Paasche

2012

2013

Fisher

R

p
110
121
180
117


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